Numerická derivace a kvadratura

Rozměr: px

Začít zobrazení ze stránky:

Download "Numerická derivace a kvadratura"

Stanislav Matyáš Dvořák
před 5 lety
Počet zobrazení:

1 Numerická derivce kvdrtur 1/7 kvdrtur = výpoèet urèitého integrálu jednodimenzionální Dt prolo¾it vhodnou funkcí tu pk derivovt/integrovt. Vhodné, jsou-li dt ztí¾en chybmi. Pøíkld: Shomteov rovnice C pm(t) = A + BT + CT 2 + DT 3 + E/T 2 Nhrdit derivce diferencemi { potøebujeme nìkolik bodù v okolí { pøesnost klesá Nhrdit kvdrturu souètem pøes vybrné body v dném intervlu { pøesnost stoupe vícedimenzionální prciální derivce: opkuj pro v¹echny promìnné/smìry kvdrtur: do cc 3D{5D, nìkolik vnoøených 1D kvdrtur více dimenzí: Monte Crlo, Conroy

2 Numerická derivce 2/7 Diferenèní vzorce se odvodí z Tylorov rozvoje. První derivce: f(x + h) f(x) h = f (x) + h 2 f (x) + h2 6 f (x) + = f (x) + O(h) O(h n ) znmená, ¾e pro dostteènì mlé h existuje M tkové, ¾e O(h n ) < M h n f f(x + h) f(x) (x) = + O(h) h Je to tedy vzorec 1. øádu v h (chyb je O(h) neboli øádu h). Zpøesnìní f (x) = f (x) = f(x + h) f(x h) 2h + O(h 2 ) f(x + 2h) + 8f(x + h) 8f(x h) + f(x 2h) 12h Derivce zprv { kdy¾ známe funkci jen n jedné strnì f (x) = f(x + 2h) + 4f(x + h) 3f(x) 2h + O(h 2 ) + O(h 4 ) (1)

3 Numerická derivce { pokrèování 3/7 Stejnì odvodíme vzorce pro druhou derivci, nejjednodu¹¹í je f (x) = Jký krok h zvolit? f(x + h) 2f(x) + f(x h) h2 + O(h 2 ) Ozn. ε = numerická pøesnost: nejmen¹í zobrzitelné èíslo > 1 v dném formátu je 1 + ε 64 bit (double, REAL*8): ε = = , dne¹ní stndrd (prkticky spí¹ ) 80 bit (extended, long double, REAL*10): ε = = (vnitønì pou¾ívá FPU n x86 rchitekturách, lze i smosttnì) 32 bit (flot, REAL*4): ε = = (dnes minimální zisk rychlosti { nedoporuèuje se) Prvidlo: Nejlep¹í h má stejnou zokrouhlovcí chybu chybu metody. Pøíkld. Jké h je optimální v rovnici (1)? zokr. chyb ε/h, chyb metody h 4, h ε 1/5 =

4 Numerická kvdrtur 4/7 Numerická integrce n intervlu [, b]. Pøedpokld: dostteèný poèet derivcí je koneèný v celém intervlu. Pokud není (npø. x v intervlu [0, 1]), nutno øe¹it substitucí. Obecný vzorec: Metody: f(x)dx = w i f(x i ), x i [, b] ekvidistntní rgumenty (Newton{Cotes): { uzvøené: pou¾ívjí f(), f(b) { otevøené: body jen uvnitø intervlu neekvidistntní rgumenty (Guss): obvykle efektivnìj¹í (pro slo¾itou funkci máme-li dt v libovolných bodech) Nevlstní intervly: vhodná substituce pøevádìjící intervl n koneèný speciální metody Typicky se intervl rozdìlí n krt¹í intervly vhodná metod se plikuje v k¾dém z nich

5 Newtonovy{Cotesovy vzorce Lichobì¾níkové prvidlo: f(x)dx = b [ ] f() + f(b) + O((b ) 2 ) 2 S více dìlícími body: [ ] f() f(b) f(x)dx = + f( + h) + f( + 2h) + + h + O(h 2 ), 2 2 5/7 h = b n Obdélníkový vzorec (otevøený): 2 pøesnìj¹í ne¾ lichobì¾ník Simpsonovo prvidlo: f(x)dx = (b ) [ f(( + b)/2) ] + O((b ) 2 ) f(x)dx = b [ ] f() + 4f(( + b)/2) + f(b) + O((b ) 4 ) 6 Výpoèet øádu chyby: z dùvodu linerity stèí pro funkce 1, x, x 2,... Pøíkld. Ovìøte, ¾e Simpsonovo prvidlo pøesnì integruje 1, x, x 2, x 3, v¹k ji¾ ne x 4, proto je øád chyby O(h 4 )

6 Gussov kvdrtur 6/7 Dvoubodový vzorec 4. øádu (polovièní chyb o bod ménì ve srovnání se Simpsonem): f(x)dx = b [ ( + b f 2 2 b ) ( + b 2 + f b )] 2 + O((b ) 4 ) 3 Ètyøbodový vzorec 8. øádu (chyb O(h 8 )) s dobrou numerickou stbilitou: double Guss8(double (*f)(double),double,double b,int n) // int[,b] f(x) dx using 4-point Guss qudrture with n subintervls { const double q1= , // sqrt((15+sqrt(120))/140) q2= , // sqrt((15-sqrt(120))/140) w= ; // 1/4-sqrt(5/864) double h=(b-)/n; double w1=h*w, w2=h/2-w1; double h1=h*q1, h2=h*q2; int i; double sum=0,x; } for (i=0; i<n; i++) { x=h*(i+0.5)+; sum+=(f(x-h1)+f(x+h1))*w1+(f(x-h2)+f(x+h2))*w2; } return sum;

7 Richrdsonov extrpolce 7/7 Vzorce pro derivce integrály mjí èsto chybu tvru (liché èleny jsou nulové) S = S(h) + Ah n + Bh n+2 + n je obv. sudé Obecnì mù¾eme mít Zpøesnìní: S = S(h) + Ah n + Bh n+1 + S = 2n S(h/2) S(h) 2 n 1 S 2(h/2) + { O(h n+2 ) O(h n+1 ) V procesu mù¾eme pokrèovt (s dvojicí S2(h/4) S2(h/2)), td. Pozor, proces sel¾e, nejsou-li splnìny pøedpokldy, toti¾ ¾e funkce má koneèných dost derivcí v celém intervlu! Pøíkld. Uk¾te, ¾e jeden krok Richrdsonovy extrpolce lichobì¾níkové metody je ekvivlentní Simpsonovì metodì.

Podobné dokumenty

Obecně: K dané funkci f hledáme funkci ϕ z dané množiny funkcí M, pro kterou v daných bodech x 0 < x 1 <... < x n. (δ ij... Kroneckerovo delta) (4)

Obecně: K dané funkci f hledáme funkci ϕ z dané množiny funkcí M, pro kterou v daných bodech x 0 < x 1 <... < x n. (δ ij... Kroneckerovo delta) (4) KAPITOLA 13: Numerická integrce interpolce [MA1-18:P13.1] 13.1 Interpolce Obecně: K dné funkci f hledáme funkci ϕ z dné množiny funkcí M, pro kterou v dných bodech x 0 < x 1