Rozvoj matematických predstáv o číslach

Transkript

1 KATEDRA MATEMATIKY UNIVERZITA KONŠTANTÍNA FILOZOFA V NITRE FAKULTA PRÍRODNÝCH VIED Rozvoj matematických predstáv o číslach Dagmar Markechová - Anna Tirpáková ISBN NITRA 011

2 UNIVERZITA KONŠTANTÍNA FILOZOFA V NITRE Rozvoj matematických predstáv o číslach Dagmar Markechová, Anna Tirpáková Publikácia bola vydaná s finančnou podporou projektu KEGA K Nitra 011

3 Názov: Autori: Rozvoj matematických predstáv o číslach doc. RNDr. Dagmar Markechová, CSc.. prof. RNDr. Anna Tirpáková, CSc. Recenzenti: doc. RNDr. Bc. Jitka Poměnková, PhD. doc. PaedDr. Tomáš Lengyelfalusy, CSc. Edícia: Prírodovedec č. 460 Schválené: Vedením FPV UKF v Nitre dňa Rukopis neprešiel jazykovou úpravou. UKF v Nitre 011 ISBN EAN

4 Obsah OBSAH PREDSLOV KARDINÁLNE ČÍSLA A PRIRODZENÉ ČÍSLA AKO KARDINÁLNE ČÍSLA KONEČNÝCH NEPRÁZDNYCH MNOŽÍN Pojem kardinálneho čísla Konečné a nekonečné množiny Nerovnosť medzi kardinálnymi číslami Sčítanie a násobenie kardinálnych čísel Vlastnosti sčítania a násobenia kardinálnych čísel Operácie v množine prirodzených čísel a prirodzené usporiadanie množiny prirodzených čísel Kardinálne čísla nekonečných množín Metodické poznámky ČÍSELNÉ SÚSTAVY....1 Zápis prirodzených čísel v desiatkovej sústave a počítanie v desiatkovej sústave.... Znaky deliteľnosti v desiatkovej sústave.... Iné číselné sústavy....4 Počítanie v iných číselných sústavách....5 Metodické poznámky... ZLOMKY A KLADNÉ RACIONÁLNE ČÍSLA....1 Základné pojmy.... Sčítanie a násobenie kladných racionálnych čísel.... Usporiadanie množiny kladných racionálnych čísel. Odčítanie a delenie kladných racionálnych čísel....4 Metodické poznámky... LITERATÚRA

5 Základy matematiky a rozvoj matematickej logiky. 4

6 Predslov PREDSLOV Predkladaná publikácia je určená pre študentov denného a externého štúdia študijného programu Predškolská a elementárna pedagogika na Pedagogickej fakulte Univerzity Konštantína Filozofa v Nitre. Výučbu matematických disciplín pre študentov tohto študijného programu zabezpečuje Katedra matematiky Fakulty prírodných vied Univerzity Konštantína Filozofa v Nitre. Cieľom kurzu z matematiky v tomto študijnom programe je prehĺbiť stredoškolské poznatky z matematiky tak, aby študenti získali teoretické východiská pre rozvíjanie matematických predstáv u detí predškolského veku a u žiakov prvého stupňa základnej školy. Tento učebný text svojím obsahom pokrýva učivo z matematiky, ktoré sa vyučuje v druhom semestri uvedeného študijného programu. Cieľom výučby matematiky v druhom semestri je rozvoj matematických predstáv o číslach. Ide predovšetkým o čísla prirodzené, keďže predstavy o prirodzených číslach sa formujú už u detí predškolského veku a na prvom stupni základnej školy žiaci začínajú pracovať s číslami prirodzenými. Obsah učebných textov je rozdelený do troch kapitol. V prvej kapitole definujeme kardinálne čísla a prirodzené čísla ako kardinálne čísla konečných neprázdnych množín. Definujeme ďalej sčítanie a násobenie kardinálnych čísel a dokazujeme základné vlastnosti týchto operácií. V ďalších častiach tejto kapitoly sa zaoberáme operáciami s prirodzenými číslami. V druhej kapitole pojednávame o zápisoch prirodzených čísel v desiatkovej sústave a v iných číselných sústavách. Uvádzame algoritmy počítania v desiatkovej sústave a v iných číselných sústavách a najpoužívanejšie kritériá deliteľnosti. Tretia kapitola je venovaná zlomkom a kladným racionálnym číslam. V školskej matematike je učivo o zlomkoch zaradené do štvrtej triedy základnej školy, pričom sa preberajú len zlomky zapísané prirodzenými číslami. Až po zavedení zlomkov sa preberá učivo o záporných číslach. Všeobecne je totiž rozšírený názor, že pochopenie pojmu zlomok kladie na žiakov oveľa väčšie nároky než pochopenie pojmu záporného čísla. Je zrejmé, že svoju rolu tu zohrávajú aj historické dôvody. Zatiaľ čo aritmetika kladných racionálnych čísel bola známa už v staroveku, pojem záporného čísla prijímali ľudia historicky pomerne neskoro. Aj my sme zachovali tradičný postup a definovali sme najskôr pojem kladného racionálneho čísla. 5

7 Základy matematiky a rozvoj matematickej logiky Nasledujúci diel tejto učebnice obsahuje kapitolu venovanú celým číslam, racionálnym číslam a reálnym číslam. V zozname literatúry sme uviedli dostupnú literatúru, ktorá prípadným záujemcom umožní hlbšie preniknúť do študovanej problematiky. Autorky touto cestou ďakujú recenzentom, ktorými boli boli doc. RNDr. Bc. Jitka Poměnková, PhD. a doc. PaedDr. Tomáš Lengyelfalusy, CSc., za pozorné prečítanie textu a za pripomienky a podnety, ktoré pomohli odstrániť niektoré chyby a pomohli zlepšiť obsah a formu publikácie. Učebnica vznikla ako čiastkové riešenie grantového projektu KEGA K V Nitre, 011 Autorky 6

8 1. kapitola Kardinálne čísla 1 KARDINÁLNE ČÍSLA A PRIRODZENÉ ČÍSLA AKO KARDINÁLNE ČÍSLA KONEČNÝCH NEPRÁZDNYCH MNOŽÍN 1.1 Pojem kardinálneho čísla Na prvom stupni základnej školy žiaci na hodinách matematiky začínajú pracovať najskôr s prirodzenými číslami. Prvé predstavy o prirodzených číslach sa však formujú už u detí predškolského veku. Cieľom tejto kapitoly bude zaviesť pojem prirodzeného čísla, definovať operácie s prirodzenými číslami a dokázať základné vlastnosti týchto operácií. Kľúčovým pojmom v ďalších úvahách bude pojem bijektívneho zobrazenia. Zopakujme si preto tento pojem na nasledujúcom príklade. Príklad 1.1 Nech A = { a, b, c}, B = {1,,, 4}, C = { k, l, m, n}. Nech sú dané zobrazenia f : A B, f = {[ a, 1 ],[ b,],[ c,] }, g : C A, g = {[ k, a],[ l, b],[ m, c],[ n, c] } a h : B C, h = {[ 1, k],[, l][,, l][, 4, m] }. Zostrojme ich uzlové grafy. Obr

9 Rozvoj matematických predstáv o číslach Zobrazenie f nie je surjektívne, lebo prvok 4 B nemá vzor v množine A. Zobrazenie g je surjektívne, lebo každý prvok množiny A má vzor v množine C. Zobrazenie g nie je však injektívne, lebo dvom rôznym prvkom z množiny C (prvkom m a n) prislúcha ten istý obraz. Rovnako aj zobrazenie h nie je injektívne, lebo dvom rôznym prvkom z množiny B (prvkom a ) prislúcha ten istý obraz. To znamená, že uvedené zobrazenia nie sú bijektívne. Ľahko sa dá nahliadnuť, že bijektívne zobrazenie je možné zostrojiť len medzi množinami B a C, ktoré majú rovnaký počet prvkov. Táto vlastnosť platí aj vo všeobecnosti medzi dvoma konečnými množinami možno zostrojiť bijektívne zobrazenie vtedy a len vtedy, keď majú rovnaký počet prvkov. Vzťah množiny majú rovnaký počet prvkov zovšeobecníme v nasledujúcej definícii. Definícia 1.1 Budeme hovoriť, že množiny A, B sú ekvivalentné (a zapisovať A ~ B) práve vtedy, keď existuje bijektívne zobrazenie f : A B. Poznámka. Ekvivalentné množiny sú z hľadiska počtu prvkov nerozlíšiteľné. Príklad 1. Nech A je množina všetkých párnych prirodzených čísel, B nech je množina všetkých nepárnych prirodzených čísel. Dokážeme, že množiny A a B sú ekvivalentné. Definujme zobrazenie f : A B predpisom f ( x) = x 1 pre každé x A. Zobrazenie f je injektívne, lebo pre ľubovoľné dva prvky x 1, x A platí implikácia, ak x1 x, potom f ( x1) f ( x ). Zobrazenie f je aj surjektívne, lebo pre každé y B existuje x A také, že y = f (x). Stačí položiť x = y +1. Tým sme dokázali, že existuje bijektívne zobrazenie f : A B. To znamená, že množiny A a B sú ekvivalentné. Príklad 1. Nech N = {0,1,,,...} 0 a N = {1,,,...}. Dokážeme, že množiny N 0 a N sú ekvivalentné, a teda z hľadiska počtu prvkov nerozlíšiteľné. K tomu stačí skonštruovať bijektívne zobrazenie g : N 0 N. Definujme zobrazenie g : N 0 N predpisom g( x) = x + 1 pre každé x A. Rovnakým spôsobom ako v predchádzajúcom príklade 8

10 1. kapitola Kardinálne čísla sa dá ľahko dokázať, že zobrazenie g je bijektívne. Tým je dokázané, že množiny a N sú ekvivalentné. N 0 Veta 1.1 Nech M je ľubovoľný systém množín. Binárna relácia R = { A, B M M; A ~ je reláciou ekvivalencie. [ ] B} Dôkaz. Treba dokázať, že binárna relácia R je reflexívna, symetrická a tranzitívna. a) Najskôr dokážeme, že binárna relácia R je reflexívna, t.j. že pre každé A M platí A ~ A. K tomu stačí ukázať, že existuje bijektívne zobrazenie f : A A. Také zobrazenie existuje, je ním identické zobrazenie I : A A definované predpisom I ( x) = x pre každé x A. b) Dokážeme, že binárna relácia R je symetrická. Treba dokázať, že pre každé A, B M platí, ak A ~ B, potom B ~ A. Predpokladajme teda, že A, B sú ľubovoľné množiny zo systému M také, že A ~ B. Potom existuje bijektívne zobrazenie f : A B. Treba ukázať, že existuje bijektívne zobrazenie g : B A. Také zobrazenie existuje, je ním 1 inverzné zobrazenie f : B A. To znamená, že B ~ A. c) Zostáva dokázať, že binárna relácia R je tranzitívna, t.j. že pre ľubovoľné množiny A, B, C M platí, ak A ~ B a B ~ C, potom A ~ C. Nech teda pre ľubovoľné množiny A, B, C M platí A ~ B a B ~ C. Potom existuje bijektívne zobrazenie f : A B a bijektívne zobrazenie g : B C. Zložené zobrazenie g o f : A C je bijektívne zobrazenie, čo znamená, že A ~ C. Dôkaz je hotový. Každá relácia ekvivalencie definovaná v množine indukuje rozklad tejto množiny na triedy navzájom ekvivalentných prvkov. Preto aj binárna relácia R definovaná v predchádzajúcej vete určuje rozklad systému M na triedy navzájom ekvivalentných množín. Do tej istej triedy rozkladu systému M patrí množina A M a všetky množiny X M, ktoré sú s množinou A ekvivalentné. Pre ilustráciu uvedieme príklad. Príklad 1.4 Nech A = { a, b, c, d}. Utvorme potenčný systém P (A) množiny A: P (A) = {{ a},{ b},{ c},{ d}, { a, b}, { a, c}, { a, d}, { b, c}, 9

11 Rozvoj matematických predstáv o číslach { b, d},{ c, d}, { a, b, c}, { a, b, d}, { a, c, d}, { b, c, d}, { a, b, c, d}, 0/ }. Binárna relácia R z predchádzajúcej vety indukuje rozklad systému P(A) na triedy navzájom ekvivalentných množín. Sú to nasledujúce triedy: T 1 = {{ a},{ b},{ c},{ d}}, T = {{ a, b}, { a, c}, { a, d}, { b, }, { b, d},{ c, d}}, c T = {{ a, b, c}, { a, b, d}, { a, c, d}, { b, c, }}, T = {{ a, b, c, }}, T { 0/ }. d T 5 4 d Triedy T 1, T, T, 4 a T tvoria rozklad systému P(A). Množiny patriace do tej istej triedy sú navzájom ekvivalentné. Vidíme, že množiny patriace do tej istej triedy majú rovnaký počet prvkov. Charakterizovať množinu znamená okrem iného určiť aj počet jej prvkov. Táto vlastnosť množiny sa v matematickej terminológii nazýva mohutnosť resp. kardinálne číslo množiny. Uvedieme definíciu. Definícia 1. Budeme hovoriť, že množiny A, B majú rovnaké kardinálne číslo (resp. rovnakú mohutnosť) práve vtedy, keď sú ekvivalentné. Poznámka. Ak množiny A, B majú rovnaké kardinálne číslo, budeme písať card A = card B. Symbol card A čítame kardinálne číslo (niekedy aj mohutnosť) množiny A. Ekvivalentným (a teda z hľadiska počtu prvkov nerozlíšiteľným množinám) priradíme ten istý symbol. V priebehu dlhého historického vývoja boli pre označenie kardinálnych čísel zavedené určité symboly. Každé prirodzené číslo vlastne vyjadruje počet prvkov - t.j. kardinálne číslo - konečnej neprázdnej množiny. Napríklad, symbol 1 nie je nič iné ako označenie kardinálneho čísla jednoprvkovej množiny, symbol je označenie kardinálneho čísla dvojprvkovej množiny, atď. Prirodzené čísla vznikli abstrakciou. Všimnime si, ako si pojem čísla vytvára dieťa. Ako dlho to trvá, kým pochopí, že spoločnou vlastnosťou dvoch očí, dvoch nôh, dvoch jabĺčok je ich počet. Obyčajná značka je iba symbolom pre všetky skutočné dvojice. Kardinálne číslo prázdnej množiny označujeme 0, takže píšeme card 0/ = 0. Pre označenie kardinálneho čísla množiny N = { 1,,,... } bol zavedený symbol א) je písmeno hebrejskej abecedy). Symbol čítame alef nula. 5 = 10

12 1. kapitola Kardinálne čísla Kardinálne číslo množiny reálnych čísel sa zvykne označovať symbolom c. Píšeme card R = c a hovoríme, že množina reálnych čísel má mohutnosť kontinua. 1. Konečné a nekonečné množiny Čitateľovi je intuitívne zrejmý pojem konečnej a nekonečnej množiny. V tejto časti budeme tieto pojmy exaktne definovať. Uvedieme najskôr príklad. N a M = {,4,6,... }. Aký je vzťah medzi uvedenými množinami? Zrejme platí M N a M N, čiže množina M je pravá podmnožina množiny N. Zdalo by sa, že množina M má menej prvkov ako množina N. Ukážeme však, že množiny M a N sú ekvivalentné, a teda z hľadiska počtu prvkov nerozlíšiteľné. K tomu stačí nájsť bijektívne zobrazenie f : N M. Pre lepšiu názornosť zostrojme nasledujúci graf. Príklad 1.5 Uvažujme množiny = { 1,,,... } Obr. 1. Z obrázka je zrejmé, že priradenie znázornené na obrázku je bijektívne zobrazenie z množiny N na množinu M. Ľahko sa nájde predpis, pomocou ktorého sa toto zobrazenie riadi: f : N M, pričom f ( n) = n pre každé n N. Analogicky ako v predchádzajúcich príkladoch sa dá 11

13 Rozvoj matematických predstáv o číslach dokázať, že zobrazenie f je bijektívne. Tým je dokázané, že množiny N a M sú ekvivalentné. Platí card N = card M. V predchádzajúcom príklade sme dokázali, že množina N je ekvivalentná so svojou pravou podmnožinou. Intuitívna predstava o konečných množinách hovorí, že v prípade konečnej množiny sa to nikdy nestane. Tým je motivovaná nasledujúca definícia. Definícia 1. Budeme hovoriť, že množina A je nekonečná, ak je ekvivalentná so svojou pravou podmnožinou. Množina, ktorá nie je nekonečná, sa nazýva konečná. Poznámka. Predchádzajúcu definíciu môžeme inými slovami sformulovať nasledovne: Množina A je nekonečná, ak existuje podmnožina B množiny A taká, že A B a A ~ B. Príkladmi konečných množín sú množiny A = { a, b, c}, 1000 B = {1,,, 4}, C = {1,,,...,10 }. V predchádzajúcom príklade sme dokázali, že množina N je nekonečná. Množiny Z, Q, R, A = {,4,6,... }, B = { 1,,5,...} sú ďalšími príkladmi nekonečných množín. Niekedy sa ťažšie hľadá príslušná pravá podmnožina, s ktorou je uvažovaná nekonečná množina ekvivalentná. Dá sa dokázať, že množina Z je ekvivalentná s množinou N. Množina R je ekvivalentná s množinou reálnych čísel z intervalu (0, 1). Príklad 1.6 Dokážte, že množina = {,4,6,... } A je nekonečná. Riešenie. Treba nájsť pravú podmnožinu B množiny A, ktorá je ekvivalentná s množinou A. Položme B = { 4,6,8,... }. Potom platí B A a B A, čiže množina B je pravá podmnožina množiny A. Dokážeme, že A ~ B. Definujme zobrazenie f : A B predpisom f ( x) = x + pre každé x A. Ľahko sa dokáže, že zobrazenie f je bijektívne. Množina A je ekvivalentná so svojou pravou podmnožinou, a teda je nekonečná. Veta 1. a) Množina, ktorá je ekvivalentná s konečnou množinou, je konečná. 1

14 1. kapitola Kardinálne čísla b) Množina, ktorej podmnožina je nekonečná, je nekonečná. c) Každá podmnožina konečnej množiny je konečná množina. d) Ak zjednotenie množín A, B je konečná množina, potom množiny A, B sú konečné. e) Prienik dvoch konečných množín je konečná množina. f) Zjednotenie dvoch konečných množín je konečná množina. Dôkaz. Vlastnosť v bode a) je zrejmá. b) Nech A je nekonečná množina, pričom platí, že A B. Treba dokázať, že množina B je nekonečná. Podľa predpokladu existuje pravá podmnožina množiny A, ktorá je ekvivalentná s množinou A. Označme túto množinu symbolom A. Položme X = A A, Y = B A. Zrejme X 0/ a A = A X. Ďalej platí B = A Y = A X Y. Pretože A ~ A, A ~ A X, a teda A Y ~ A X Y. Takže množina A Y je pravá podmnožina množiny B, ktorá je s množinou B ekvivalentná. To ale znamená, že množina B je nekonečná. Dôkaz je hotový. c) Nech B je konečná množina a A B. Treba dokázať, že množina A je konečná. Ak by množina A bola nekonečná, potom na základe predchádzajúcej vlastnosti aj množina B by bola nekonečná, čo je ale spor s predpokladom. Spor dokazuje dané tvrdenie. d) Aj túto vlastnosť dokážeme sporom. Nech A B je konečná množina a nech aspoň jedna z množín A, B je nekonečná. Pretože A A B a B A B, potom podľa vlastnosti b) je množina A B nekonečná. To je však spor s predpokladom. e) Opäť budeme dokazovať sporom. Nech A, B sú konečné množiny a nech množina A B je nekonečná. Keďže A B A, A B B, podľa vlastnosti b) sú množiny A, B nekonečné. Dostali sme spor, ktorý dokazuje dané tvrdenie. f) Ak by množina A B bola nekonečná, potom aspoň jedna z množín A, B by musela byť nekonečná. Definícia 1.4 Prirodzené čísla sú kardinálne čísla konečných neprázdnych množín. 1

15 Rozvoj matematických predstáv o číslach Poznámka. Aj keď uvedená definícia množiny prirodzených čísel má z teoretického hľadiska viaceré nedostatky, v ďalších úvahách budeme vychádzať z tejto definície, nakoľko pojem prirodzeného čísla sa u detí vytvára práve na základe počtu prvkov množín. V matematickej teórii sa množina prirodzených čísel buduje axiomaticky. Axiomatická metóda vychádza z istých tvrdení (tzv. axióm), ktoré sa prehlásia za pravdivé a priori a z nich sa potom odvodzujú ďalšie poznatky pomocou prípustných logických prostriedkov. V axiómach sú sformulované určité vlastnosti základných pojmov. Základné pojmy pritom nedefinujeme. Neexistujú totiž žiadne jednoduchšie pojmy, pomocou ktorých by sme mohli tieto pojmy popísať. V ďalšom stručne popíšeme axiomatickú výstavbu množiny prirodzených čísel. Základnými pojmami v axiomatickej sústave prirodzených čísel sú pojmy prirodzené číslo, jednotka a nasledovník. Ako všetky základné pojmy v matematike, ani tieto pojmy nedefinujeme. Axiómami v axiomatickej sústave prirodzených čísel sú nasledujúce vlastnosti: 1. Číslo 1 je prirodzené číslo.. Každé prirodzené číslo má nasledovníka.. Číslo 1 nie je nasledovníkom žiadneho prirodzeného čísla. 4. Len rovnaké prirodzeného čísla majú rovnakých nasledovníkov. 5. Ak číslo 1 má nejakú vlastnosť a táto vlastnosť sa prenáša z ľubovoľného prirodzeného čísla na jeho nasledovníka, potom každé prirodzené číslo má túto vlastnosť. Pristavme sa pri význame uvedených axióm. Druhá axióma hovorí, že tvorba nasledovníka (teda ďalších prirodzených čísel) sa nekončí, a tak množina prirodzených čísel nemá posledný prvok. Tretia a štvrtá axióma vyjadrujú našu predstavu, že prirodzené čísla sa dajú znázorniť na číselnej osi, na polpriamke. Tretia axióma vyjadruje ďalej nielen to, že číslo 1 je prvým prirodzeným číslom, ale aj to, že pri tvorbe ďalších prirodzených čísel pomocou nasledovníka sa nemôžeme k jednotke nikdy vrátiť. Zo štvrtej axiómy vyplýva, že ani ďalšie prirodzené čísla sa nemôžu dvakrát objaviť v rade na číselnej osi. V piatej axióme je sformulovaný princíp matematickej indukcie. 14

16 1. kapitola Kardinálne čísla 1. Nerovnosť medzi kardinálnymi číslami Kardinálne čísla budeme označovať vo všeobecnosti malými písmenami a, b, c, atď. Ak a je kardinálne číslo, potom a = card A. Hovoríme, že množina A je reprezentantom kardinálneho čísla a. Každé kardinálne číslo má viacerých reprezentantov, je to množina A a všetky množiny, ktoré sú s množinou A ekvivalentné. Nerovnosť medzi kardinálnymi číslami definujeme nasledovne: Definícia 1.5 Nech a, b sú kardinálne čísla, a = card A, b = card B. Hovoríme, že kardinálne číslo a je menšie alebo rovné ako kardinálne číslo b (a zapisujeme a b), ak množina A je ekvivalentná s nejakou podmnožinou množiny B. Hovoríme, že kardinálne číslo a je menšie ako kardinálne číslo b (a zapisujeme a < b), ak množina A je ekvivalentná s nejakou podmnožinou množiny B a zároveň nie je ekvivalentná s množinou B. Teda a < b vtedy a len vtedy, keď a b a zároveň a b. Príklad 1.7 Nech A = { a, b, c}, B = {1,,, 4}. Dokážeme, že card A < card B. Dá sa ukázať, že medzi množinami A a B neexistuje bijektívne zobrazenie, teda card A card B. Položme B = {1,,}. Množina B je podmnožinou množiny B a je ekvivalentná s množinou A. Na nasledujúcom obrázku je znázornené bijektívne zobrazenie, ktoré reprezentuje ekvivalenciu množín A a B. Obr. 1.. f : A B Podľa definície platí card A < card B. 15

17 Rozvoj matematických predstáv o číslach 1.4 Sčítanie a násobenie kardinálnych čísel V tejto časti budeme definovať operácie sčítania a násobenia kardinálnych čísel. Motiváciou pre definíciu sčítania kardinálnych čísel môže byť nasledujúci príklad. Príklad 1.8 Nech A = { a, b, c}, B = { d, e}. Množiny A, B sú disjunktné. Bude nás zaujímať súčet kardinálnych čísel množín A a B. Pre lepšiu názornosť zostrojíme nasledujúci graf. Obr. 1.4 Platí + = card A + card B = card A B = 5. Uvažujme teraz množiny C = { a, b, c}, D = { c, d}, ktoré nie sú disjunktné. Obr

18 1. kapitola Kardinálne čísla Vidíme, že v tomto prípade card C + card D card kardinálnych čísel budeme preto definovať nasledovne. C D. Súčet Definícia 1.6 Nech a, b sú kardinálne čísla, a = card A, b = card B, pričom A B = 0/. Potom kardinálne číslo množiny A B nazývame súčtom kardinálnych čísel a, b a označujeme a + b. Poznámka. Čísla a, b z predchádzajúcej definície sú tzv. sčítance. Operácia, pomocou ktorej z daných dvoch sčítancov vypočítame ich súčet, sa nazýva sčítanie. Z definície súčtu kardinálnych čísel vyplýva, že súčet kardinálnych čísel sa určuje pomocou reprezentantov týchto čísel. Vieme však, že každé kardinálne číslo má viacerých reprezentantov. Preto je potrebné ukázať, že súčet kardinálnych čísel a, b nezávisí na výbere ich reprezentantov. V opačnom prípade by hore uvedená definícia súčtu kardinálnych čísel nebola korektná. Nech a = card A 1, a = card A, b = card B 1, b = card B, pričom A 1 B 1 = 0/ a A B = 0/. Podľa predpokladu A 1~ A, B 1~ B, a preto existuje bijektívne zobrazenie f : A1 A a bijektívne zobrazenie g : B. 1 B Potom zobrazenie f g : A1 B1 A B je tiež bijektívne. To znamená, že A1 B 1 ~ A B, takže card A1 B1 = = card A B. Tým je dokázané, že súčet kardinálnych čísel a, b nezávisí na výbere ich reprezentantov. V nasledujúcom príklade ukážeme, ako budeme postupovať v prípade sčítania kardinálnych čísel dvoch množín, ktoré nie sú disjunktné. Príklad 1.9 Nech C = { a, b, c}, D = { c, d}. Vypočítajme súčet kardinálnych čísel množín C a D. Keďže C D 0/, bude potrebné zvoliť reprezentantov kardinálnych čísel množín C a D tak, aby ich prienikom bola prázdna množina. Položme D = {1,}. Potom D ~ D a C D =. 0/ Keďže platí card D = card, dostávame D C D = card { a,b,c,1, } 5. card C + card D = card C + card D = card = 17

19 Rozvoj matematických predstáv o číslach Definícia 1.7 Nech a = card A, b = card B. Potom kardinálne číslo množiny A B nazývame súčinom kardinálnych čísel a, b a označujeme a b. Teda a b = card A B. Poznámka. Čísla a, b z predchádzajúcej definície sa nazývajú činitele. Operácia, pomocou ktorej z daných dvoch činiteľov vypočítame ich súčin, sa nazýva násobenie. Dokážeme, že súčin kardinálnych čísel a, b nezávisí na výbere ich reprezentantov. Nech a = card A 1, a = card A, b = card B 1, b = card B. Potom platí A 1~ A, B 1~ B, a preto existuje bijektívne zobrazenie f : A1 A a bijektívne zobrazenie g : B 1 B. Definujme zobrazenie h : A B A B nasledujúcim predpisom: 1 1 h : [ x, y] a [ f ( x), g( y) ] pre každé [ x y] A 1 B., 1 Dá sa ľahko nahliadnuť, že zobrazenie h je bijektívne. Takže platí A 1 B 1 ~ A B, a preto card A 1 B1 = card A B. Dokázali sme, že definícia súčinu kardinálnych čísel je korektná. Príklad 1.10 Nech A = {1,, }, B = { a, b}. Potom card A card B = card B = Situáciu môžeme znázorniť graficky: { }. A card [ 1, a ], [ 1, b],[, a],[, b][,, a][,, b] Obr

20 1. kapitola Kardinálne čísla 1.5 Vlastnosti sčítania a násobenia kardinálnych čísel V tejto časti dokážeme základné vlastnosti sčítania a násobenia kardinálnych čísel. Veta 1. Pre každé dve kardinálne čísla a, b platí a + b = b + a, t.j. operácia sčítania kardinálnych čísel je komutatívna. Dôkaz. Nech a = card A, b = card B, pričom A B = 0/. Potom podľa definície sčítania kardinálnych čísel platí a + b = card A + card B = card A B, b + a = card B + card A = card B A. Keďže A B = B A, platí aj rovnosť card A B = card B A. Odtiaľ dostávame a + b = b + a. Dôkaz je hotový. Veta 1.4 Pre každé tri kardinálne čísla a, b, c platí (a + b) + c = = a + ( b + c), t.j. operácia sčítania kardinálnych čísel je asociatívna. Dôkaz. Nech a = card A, b = card B, c = card C, pričom množiny A, B, C zvolíme tak, aby boli po dvoch disjunktné. Počítajme: ( a + b) + c = (card A + card B) + card C = card A B + card C = = card ( A B) C. V poslednom kroku sme využili skutočnosť, že z predpokladu A C = 0/ a B C = 0/ vyplýva tiež, že ( A B) C = 0/. Na druhej strane platí a + ( b + c) = card A + (card B + card C) = card A + card B C = = card A ( B C). Ľahko totiž nahliadneme, že z predpokladu A B = 0/ a A C = 0/ vyplýva, že A ( B C) = 0/. Pretože ( A B) C = A ( B C), platí card ( A B) C = card A ( B C), t.j. ( a + b) + c = a + ( b + c). 19

21 Rozvoj matematických predstáv o číslach Veta 1.5 Pre každé dve kardinálne čísla a, b platí operácia násobenia kardinálnych čísel je komutatívna. a b = b a, Dôkaz. Nech a = card A, b = card B. Budeme uvažovať dva prípady: 1. Aspoň jedna z množín A, B je prázdna.. Množiny A, B sú neprázdne. 1. Ak aspoň jedna z množín A, B je prázdna, potom platí A B = B A = 0/. Preto a b = card A card B = card. Nech A 0/ a B 0/. Potom t.j. A B = card B A = card B card A = b a. a b = card A card B = card A B, b a = card B card A = card B A. Keďže card A B = card B A práve vtedy, keď A B ~ B A, stačí nájsť bijektívne zobrazenie, ktoré bude reprezentovať ekvivalenciu množín A B = {[ x, y] ; x A, y B} a B A = {[ y, x] ; y B, x A}. Definujme zobrazenie f : A B B A nasledujúcim predpisom: f : [ x, y] a [ y, x]. Zobrazenie f je bijektívne. Preto A B ~ B A, odkiaľ dostávame, že card A B = card B A. Tým sme dokázali rovnosť a b = b a. Veta 1.6 Pre každé tri kardinálne čísla a, b, c platí (a b) c = = a ( b c), t.j. operácia násobenia kardinálnych čísel je asociatívna. Dôkaz. Nech a = card A, b = card B, c = card C. Budeme uvažovať dva prípady: 1. Aspoň jedna z množín A, B, C je prázdna.. Množiny A, B, C sú neprázdne. 1. Ak aspoň jedna z množín A, B, C je prázdna, potom ( A B) C = A ( B C) = 0/. Preto platí ( a b) c = (card A card B) card C = card A B card C = 0

22 1. kapitola Kardinálne čísla = card ( A B) C = card A ( B C) = card A card B C = = card A (card B card C) = a ( b c).. Nech A 0/, B 0/ a C 0/. Potom ( a b) c = (card A card B) card C = card A B card C = = card ( A B) C, a ( b c) = card A (card B card C) = card A card B C = = card A ( B C). Keďže card ( A B) C = card A ( B C) práve vtedy, keď ( A B) C ~ A ( B C), stačí nájsť bijektívne zobrazenie, ktoré bude reprezentovať ekvivalenciu týchto množín. Pritom ( A B) C = { x, y, z ; x, y A B, z C}, [ ] ] [ ] [ x, [ y, z ]; x A, [ y, z] A ( B C) = { B C}. Definujme zobrazenie f : ( A B) C A ( B C) predpisom : [ x, y], z] a [ x, [ y z ] pre každé [ x, y], z] ( A B) C. f, Dá sa ľahko dokázať, že zobrazenie f je bijektívne. Preto ( A B) C ~ A ( B C), odkiaľ dostávame, že card ( A B) C = = card A ( B C). Tým sme dokázali rovnosť ( a b) c = a ( b c). Veta 1.7 Pre každé tri kardinálne čísla a, b, c platí a ( b + c) = = a b + a c, t.j. operácia násobenia kardinálnych čísel je distributívna vzhľadom k ich sčítaniu. Dôkaz. Nech a = card A, b = card B, c = card C, pričom Počítajme: B C = 0/. a ( b + c) = card A (card B + card C) = card A card B C = Na druhej strane = card A ( B C). a b + a c = card A card B + card A card C = 1

23 Rozvoj matematických predstáv o číslach = card A B + card A C = card ( A B) ( A C), keďže z predpokladu B C = 0/ vyplýva tiež, že ( A B) ( A C) = 0/. Ak teraz využijeme rovnosť A ( B C) = ( A B) ( A C) známu z množinovej matematiky, dostávame záver card A ( B C) = card ( A B) ( A C). Preto a ( b + c) = a b + a c. Dôkaz je hotový. Veta 1.8 Pre každé kardinálne číslo a platí a) a + 0 = 0 + a = a, b) a 1 = 1 a = a, kde 0 je kardinálne číslo prázdnej množiny a 1 je kardinálne číslo ľubovoľnej jednoprvkovej množiny. Dôkaz. Nech a = card A. a) Keďže platí A 0/ = 0/, dostávame a + 0 = card A + card 0/ = card A 0/ = card A = a. Rovnako sa dokáže, že 0 + a = a. b) Položme 1 = card{ 0 }. Potom a 1 = card A card { 0}= card A { 0}. Ukážeme, že A ~ { 0}. A 0 = { x,0 ; x A}. Preto budeme definovať zobrazenie f : A A { 0} predpisom f ( x) = [ x, 0] pre každé x A. Zobrazenie f je bijektívne, a preto Rovnako sa dokáže, že 1 a = a. A Platí { } [ ] a 1 = card A { 0}= card A = a. Veta 1.9 Pre každé dve kardinálne čísla a, b platí vtedy, keď a = b = 1. Dôkaz. Nech a = card A, b = card B. 1. Predpokladajme, že a b = 1. Potom platí a b = 1 práve

24 1. kapitola Kardinálne čísla 1 = a b = card A card B = card A B, a teda množina A B je jednoprvková, t.j. A B = {[ x, y] }, kde x A, y B. Odtiaľ dostávame, že A = { x}, B = { y}, a preto a = card A = 1, b = card B = 1.. Nech a = b = 1. Potom A = { x}, B = { y}, a preto karteziánsky A B = x, y je jednoprvková množina. Dostávame súčin {[ ]} a b = card A card B = card B = Dôkaz je hotový. { x, }= 1. A card [ y] 1.6 Operácie v množine prirodzených čísel a prirodzené usporiadanie množiny prirodzených čísel Definícia 1.8 Nech a, b sú prirodzené čísla, t.j. existujú konečné neprázdne množiny A, B také, že a = card A, b = card B. Nech A, B sú disjunktné množiny. Potom kardinálne číslo množiny A B nazývame súčtom prirodzených čísel a, b a označujeme a + b. Poznámka. Pretože zjednotenie dvoch konečných množín je konečná množina, súčet dvoch prirodzených čísel je prirodzené číslo. Čísla a, b z predchádzajúcej definície sa nazývajú sčítance. Operácia, pomocou ktorej z daných dvoch sčítancov vypočítame ich súčet, sa nazýva sčítanie. Ako špeciálne prípady viet 1. a 1.4 dostávame nasledujúce základné vlastnosti operácie sčítania prirodzených čísel: 1. Pre každé dve prirodzené čísla a, b platí a + b = b + a, t.j. operácia sčítania prirodzených čísel je komutatívna.. Pre každé tri prirodzené čísla a, b, c platí (a + b) + c = = a + ( b + c), t.j. operácia sčítania prirodzených čísel je asociatívna. Dá sa dokázať, že platí tiež nasledujúca vlastnosť, tzv. zákon krátenia:

25 Rozvoj matematických predstáv o číslach b = c.. Pre každé tri prirodzené čísla a, b, c platí ak a + b = a + c, tak Definícia 1.9 Nech a, b sú prirodzené čísla, t.j. existujú konečné neprázdne množiny A, B také, že a = card A, b = card B. Potom kardinálne číslo množiny A B nazývame súčinom prirodzených čísel a, b a označujeme a b. Poznámka. Keďže karteziánsky súčin dvoch konečných množín je konečná množina, súčin dvoch prirodzených čísel je prirodzené číslo. Čísla a, b z predchádzajúcej definície sú tzv. činitele. Operácia, pomocou ktorej z daných dvoch činiteľov vypočítame ich súčin, sa nazýva násobenie. V piatej časti tejto kapitoly sme dokázali základné vlastnosti operácie násobenia kardinálnych čísel. Ich špeciálnymi prípadmi sú nasledujúce vlastnosti operácie násobenia prirodzených čísel: 4. Pre každé dve prirodzené čísla a, b platí a b = b a, t.j. operácia násobenia prirodzených čísel je komutatívna. 5. Pre každé tri prirodzené čísla a, b, c platí ( a b) c = t.j. operácia násobenia prirodzených čísel je asociatívna. = a ( b c), 6. Pre každé tri prirodzené čísla a, b, c platí a ( b + c) = = a b + a c, t.j. operácia násobenia prirodzených čísel je distributívna vzhľadom k ich sčítaniu. 7. Pre každé prirodzené číslo a platí a 1 = 1 a = a. 8. Pre každé dve prirodzené čísla a, b platí a b = 1 práve vtedy, keď a = b = 1. Dá sa dokázať, že platí tiež nasledujúca vlastnosť, tzv. zákon krátenia: 9. Pre každé tri prirodzené čísla a, b, c platí ak a c = b c, tak a = b. 4

26 1. kapitola Kardinálne čísla Definícia 1.10 Nech a, b sú prirodzené čísla. Hovoríme, že číslo b je menšie ako číslo a a píšeme b < a práve vtedy, keď existuje prirodzené číslo x, pre ktoré platí a = b + x. Prirodzené číslo x nazývame rozdielom prirodzených čísel a a b v tomto poradí a zapisujeme x = a b. Dokážeme, že binárna relácia < je reláciou úplného usporiadania množiny N. Toto usporiadanie množiny prirodzených čísel sa nazýva prirodzené usporiadanie množiny prirodzených čísel. Treba dokázať, že binárna relácia < je antisymetrická, tranzitívna a súvislá. Najskôr dokážeme, že je antisymetrická. Treba dokázať, že ak pre prirodzené čísla a, b platí a < b, tak neplatí b < a. Túto vlastnosť dokážeme nepriamo. Nech existujú prirodzené čísla a, b také, že platí a < b a zároveň b < a. Potom na základe predchádzajúcej definície existujú prirodzené čísla x, x 1 také, že b = a + x1 a a = b + x. Po dosadení druhej rovnosti do prvej dostávame b = ( b + x ) + x 1 = = b + ( x ). + x1 Odtiaľ vyplýva, že x 1 + x = 0, čo je ale spor s predpokladom, že x, x 1 sú prirodzené čísla (súčet dvoch prirodzených čísel je prirodzené číslo a nie 0). Dokážeme, že binárna relácia < je tranzitívna. Treba dokázať, že ak pre prirodzené čísla a, b, c platí a < b a zároveň b < c, potom a < c. Nech pre prirodzené čísla a, b, c platí a < b a zároveň b < c. Potom na základe definície existujú prirodzené čísla x, x 1 také, že b = a + x1 a c = b + x. Po dosadení prvej rovnosti do druhej dostávame c = ( a + x ) 1 + x = a + ( x ). 1 + x Keďže x, x 1 sú prirodzené čísla, aj ich súčet x + je prirodzené číslo. Odtiaľ vyplýva, že a < c. 1 x Zostáva dokázať, že binárna relácia < je súvislá, t.j. že pre ľubovoľné prirodzené čísla a, b platí ak a b, potom a < b alebo b < a. Nech a, b N, pričom a b. Potom a = card A, b = card B, pričom A, B sú konečné neprázdne množiny, ktoré nie sú ekvivalentné. V takomto prípade existuje konečná neprázdna množina A taká, že B ~ A A a A A = 0/ alebo konečná neprázdna množina B taká, že A ~ B B a B B = 0/. Ak položíme card A = a card B =, dostávame, že x 1 x 5

27 Rozvoj matematických predstáv o číslach b = a + x 1 alebo a = b + x, pričom x, x 1 sú prirodzené čísla. To však znamená, že a < b alebo b < a. Poznámka. Z predchádzajúcej definície vyplýva, že rozdiel a b prirodzených čísel a, b existuje práve vtedy, keď b < a. Dá sa dokázať, že ak rozdiel dvoch prirodzených čísel existuje, potom je určený jednoznačne. Keďže binárna relácia < je reláciou úplného usporiadania množiny N, pre ľubovoľné prirodzené čísla a, b také, že a b, existuje v množine prirodzených čísel práve jeden z rozdielov a b, b a. Číslo a z predchádzajúcej definície sa nazýva menšenec a číslo b je tzv. menšiteľ. Operácia, pomocou ktorej z daného menšenca a menšiteľa vypočítame rozdiel, sa nazýva odčítanie. Uvedieme najdôležitejšie vlastnosti odčítania. Predpokladáme pritom, že uvedené rozdiely existujú v množine prirodzených čísel. 10. Ak menšenca zväčšíme (resp. zmenšíme) o číslo k, tak aj rozdiel sa zväčší (resp. zmenší) o číslo k, t.j. platí ( a + k) b = ( a b) + k, ( a k) b = ( a b) k. 11. Ak menšiteľa zväčšíme (resp. zmenšíme) o číslo k, tak rozdiel sa zmenší (resp. zväčší) o číslo k, t.j. platí a ( b + k) = ( a b) k, a ( b k) = ( a b) + k. 1. Rozdiel sa nezmení, ak menšenca a menšiteľa zväčšíme alebo zmenšíme o to isté číslo, t.j. platí ( a + k) ( b + k) = a b, ( a k) ( b k) = a b. 1. Operácia násobenia prirodzených čísel je distributívna vzhľadom k odčítaniu, t.j. platí a ( b c) = a b a c. Definícia 1.11 Nech a, b sú prirodzené čísla. Ak platí a = b q + r, kde q, r sú nezáporné celé čísla, pričom 0 < r < b, potom číslo q sa nazýva neúplný podiel čísel a, b v tomto poradí a číslo r sa nazýva zvyšok. Číslo a sa nazýva delenec a číslo b je tzv. deliteľ. Operácia, pomocou ktorej z daného delenca a deliteľa vypočítame neúplný 6

28 1. kapitola Kardinálne čísla podiel a zvyšok, sa nazýva delenie so zvyškom. Píšeme a : b = q (zv. r ). Ak r = 0, tak číslo q sa nazýva podiel čísel a, b v tomto poradí a hovoríme o delení bezo zvyšku. Píšeme a : b = q. Poznámka. Dá sa dokázať, že ak existuje podiel dvoch prirodzených čísel, potom je určený jednoznačne. Hovoríme, že číslo b delí číslo a a píšeme b a práve vtedy, keď existuje prirodzené číslo q, pre ktoré platí a = b q. Uvedieme najdôležitejšie vlastnosti delenia. Predpokladáme pritom, že uvedené podiely existujú v množine prirodzených čísel. 14. Súčinom podielu a deliteľa je delenec, t.j. platí ( a : b) b = a. 15. Podielom súčinu dvoch činiteľov a jedného z činiteľov je druhý činiteľ, t.j. platí ( a b) : b = a. 16. Ak zväčšíme alebo zmenšíme delenca k-krát, tak aj podiel sa zväčší alebo zmenší k-krát, t.j. platí ( a k) : b = ( a : b) k, ( a : k) : b = ( a : b) : k. 17. Ak zväčšíme deliteľa k-krát, tak podiel sa zmenší k-krát a ak zmenšíme deliteľa k-krát, tak podiel sa zväčší k-krát, t.j. platí a : ( b k) = ( a : b) : k, a : ( b : k) = ( a : b) k. 18. Podiel sa nezmení, ak delenca a deliteľa násobíme alebo delíme tým istým číslom, t.j. platí ( a k) : ( b k) = a : b, ( a : k) : ( b : k) = a : b. 1.7 Kardinálne čísla nekonečných množín Uvažujme množinu N = { 1,,,...} a množiny R a (0, 1). Intuitívne je nám zrejmé, že pokiaľ ide o počet prvkov týchto množín, aj keď všetky uvedené množiny sú nekonečné, je medzi nimi rozdiel. Uvažované množiny sa líšia svojimi kardinálnymi číslami. Nasledujúca definícia určitým spôsobom roztrieďuje nekonečné množiny. 7

29 Rozvoj matematických predstáv o číslach Definícia 1.1 Množina sa nazýva nekonečná spočítateľná, ak je ekvivalentná s množinou N = { 1,,,...}. Množina sa nazýva spočítateľná, ak je konečná alebo nekonečná spočítateľná. Množina, ktorá nie je spočítateľná, sa nazýva nespočítateľná. Nekonečné množiny môžeme teda rozdeliť na spočítateľné a nespočítateľné. Už v roku 1874 publikoval George Cantor článok O jednej vlastnosti súboru všetkých reálnych algebraických čísel, v ktorom dokazuje, že množina reálnych čísel je nespočítateľná. Cantorov výsledok ukázal, že medzi nekonečnými množinami možno zaviesť rozlíšenia, pokiaľ ide o ich mohutnosť. Pôvodne si Cantor myslel, že väčšiu mohutnosť než je mohutnosť reálnej osi bude mať rovina, ale po neúspešných pokusoch dokázať túto hypotézu dospel k prekvapujúcemu výsledku, že reálna os a rovina majú rovnakú mohutnosť. V roku 1878 publikoval George Cantor článok Príspevok k teórii variet, v ktorom ukázal, že n-rozmerný priestor je ekvivalentný s reálnou osou. V tomto článku podáva Cantor po prvýkrát definíciu mohutnosti množín: Ak dve dobre definované variety možno priviesť do vzájomnej korešpondencie prvok po prvku (čo ak je možné jedným spôsobom, sa môže vždy uskutočniť aj mnohými ďalšími), budeme používať vyjadrenie, že tieto variety majú rovnakú mohutnosť alebo tiež, že sú ekvivalentné. n Skutočnosť, že množiny R majú rovnakú mohutnosť pre všetky n N, nás oprávňuje hovoriť jednoducho o mohutnosti kontinua, lebo kontinuá všetkých dimenzií sú navzájom ekvivalentné. Príkladom nespočítateľnej množiny je množina R všetkých reálnych čísel, množina I všetkých iracionálnych čísel, množina C všetkých komplexných čísel, množina všetkých reálnych čísel z intervalu (0, 1). Príkladom spočítateľných množín sú všetky konečné množiny, ďalej samotná množina N = { 1,,,... }, množina Z všetkých celých čísel, množina Q všetkých racionálnych čísel. Všetky nekonečné spočítateľné množiny majú kardinálne číslo. Platí nerovnosť < c, kde c je mohutnosť kontinua. Príklad 1.11 Nech A = {,4,6,... }, B = { 1,,5,... }. Dokážte, že card A = card B =. Riešenie. Treba dokázať, že množiny A, B sú ekvivalentné s množinou N = { 1,,,... }. 8

30 1. kapitola Kardinálne čísla Najskôr dokážeme, že N ~ A. K tomu stačí skonštruovať bijektívne zobrazenie f : N A. Definujme zobrazenie f : N A predpisom f ( n) = n pre každé n N. Dokážeme, že zobrazenie f je bijektívne. Keďže pre každé n 1, n N platí implikácia n1 n n1 n, zobrazenie f je injektívne. Zobrazenie f je aj surjektívne, lebo pre každé y A existuje x N také, že x = y. Stačí y položiť x =. Tým sme dokázali, že card A = card N =. Analogicky dokážeme, že N ~ B. Definujme zobrazenie g : N B nasledujúcim spôsobom: pre každé n N položme g ( n) = n 1. Analogicky ako v predchádzajúcom prípade sa dokáže, že zobrazenie g je bijektívne. Preto card B = card N =. Dôkaz je hotový. V nasledujúcich príkladoch ukážeme, že aritmetika kardinálnych čísel nekonečných množín sa značne líši od aritmetiky kardinálnych čísel konečných množín, t.j. od aritmetiky prirodzených čísel. Príklad 1.1 Dokážte, že platí 1 + =. Riešenie. Položme 1 = card A, kde A = { 0}. Potom a preto 1 + = card A + card N = card N = A card { 0,1,,,...} A N = 0/, V príklade 1. sme dokázali, že množiny N 0 = {0,1,,,...} a N sú ekvivalentné. Preto card N 0 = card N =. Dostávame 1 + = card N 0 =. Príklad 1.1 Dokážte, že platí + =. Riešenie. V príklade 1.11 sme dokázali, že card A = card B =, kde A = {,4,6,... }, B = { 1,,5,... }. Pretože A B = 0/ a A B = N, platí + = card A + card B = card A B = card N =. 9

31 Rozvoj matematických predstáv o číslach Príklad 1.14 Dokážte, že platí Riešenie. Položme A = { a,b}. Potom =. = card A card N = card A N,, { ; n N}. Dokážeme, že A N ~ N. Definujme zobrazenie f : A N N nasledujúcim spôsobom: kde A N = { a b} N = [ a, n], [ b, n] [ a, n] n 1, [ b, n] a n. f : a Treba dokázať, že zobrazenie f je bijektívne. a) Najskôr dokážeme, že zobrazenie f je injektívne. Nech x 1, x A N, pričom x1 x. Je zrejmé, že môžu nastať nasledujúce tri prípady: 1. x = [ a ], x = [ a ], pričom n n, n ; 1, n1, n 1, N 1 n. x = [ b ], x = [ b ], pričom n n, n ; 1, n1, n 1, N. x = [ a ], x = [ b ], pričom n n. 1, n1, n 1, N 1 n Uvažujme prvý prípad. V tomto prípade f ( x1 ) = n1 1, f ( x ) = n 1. Keďže n1 n, platí f ( x 1 ) f ( x ). platí Preto V druhom prípade f ( x 1 ) = n1, f ( x ) = n. Pretože f ( x 1 ) f x ). ( n1 n, V treťom prípade f ( x 1 ) je nepárne číslo a f ( x ) je párne číslo. f ( x 1 ) f x ). ( To znamená, že zobrazenie f je injektívne. b) Dokážeme, že zobrazenie f je surjektívne. Treba dokázať, že pre ľubovoľné y N existuje x A N také, že f ( x) = y. 1. Nech y je nepárne, t.j. y = n 1, n N. Potom za x stačí vziať a Platí x = [ a, n] A N a f ( x) = n 1 = y. x = [ b,n], usporiadanú dvojicu [,n].. Nech y je párne, t.j. y = n, n N. Ak položíme potom x A N a f ( x) = n = y. 0

32 1. kapitola Kardinálne čísla Takže zobrazenie f je aj surjektívne. Tým sme dokázali, že A N ~ N, a preto platí card A N = card N. Dostávame = card A N = card N =. Cvičenia. 1. Dané sú nasledujúce množiny: A = { a, g, i, o, u, x, z}, B = {1,, }, 4 C = { a, g, m, n, o, x, p}, D = {, 4,6,8}, E = {,,, }, F = { 1,,, 4}, G = { a, a, a}. Zistite, ktoré z uvedených množín sa rovnajú a ktoré sú ekvivalentné.. Nech A = { a, b}, N = { 1,,,... }. Dokážte, že card A < card N.. Dokážte, že množina = { 1,,5,... } A je nekonečná. 4. Nech A = {0,1,,}, C = {5, 6}. a) card A + card B, b) card A + card C, c) card B + card C, d) card A + card A. Vypočítajte: 5. Dokážte, že platí + =. 6. Nech A = { a, b, c, d}, B = {1, }, N = { 1,,,... }. Vypočítajte: a) card A card B, b) card B card N, c) card A card A. 7. Dokážte, že pre každé kardinálne číslo a platí a 0 = 0 a = Dokážte, že pre ľubovoľné prirodzené čísla a, b, c platia nasledujúce rovnosti. Predpokladáme pritom, že uvedené rozdiely existujú. 1

33 Rozvoj matematických predstáv o číslach a) ( a + b) c = ( a c) + b, b) ( a + b) c = a + ( b c), c) ( a b) c = ( a c) b, d) ( a b) c = a ( b + c), e) a ( b + c) = ( a b) c, f) a ( b + c) = ( a c) b, g) a ( b c) = ( a b) + c, h) a ( b c) = a + ( c b). 9. Dokážte, že platí zákon krátenia pre sčítanie a pre násobenie prirodzených čísel. 1.8 Metodické poznámky V tejto časti sa budeme zaoberať budovaním pojmu prirodzeného čísla na primárnom stupni základnej školy. Učiteľka prvej triedy prinesie do triedy súpravu kvetináčov a tanierov. Poverí žiaka, aby polial kvety. Aby voda nevytiekla na stôl, pod každý kvetináč je potrebné položiť tanier. Týmto ku každému prvku z množiny kvetináčov priradíme práve jeden prvok z množiny tanierov. Keďže sa jedná o súpravu, každý tanier bude položený pod kvetináč. Pritom dvom rôznym kvetináčom priradíme samozrejme dva rôzne taniere. Takéto vzájomne jednoznačné priradenie sa v matematickej terminológii nazýva bijektívne zobrazenie. Je potrebné pomocou vhodných príkladov vytvoriť rôzne situácie tak, aby si žiaci všimli, že pri jednotlivých priradeniach prvky oboch množín alebo naraz vyčerpáme alebo v niektorej z množín zostanú voľné prvky. Takto si dieťa vytvorí predstavu o pojmoch rovnaký počet, viac, menej aj vtedy, keď ešte nepozná čísla. Pri vytváraní pojmu prirodzeného čísla dieťa vykonáva veľmi významnú matematickú abstrakciu. Určité jednoduché matematické poznatky sa u detí vytvoria už v predškolskom veku. Deti prichádzajú do prvého ročníka už s určitými počtárskymi skúsenosťami a poznatkami. Niektoré deti sú schopné

34 1. kapitola Kardinálne čísla vymenovať čísla až do 100, väčšina z nich už vie sčitovať a odpočítavať v obore do 10. Túto činnosť ale poznajú na základe konkrétnej činnosti a predstáv. Napríklad, vedia, že dve autíčka a tri autíčka je päť autíčok. Alebo vedia, koľko Lukášovi ostalo cukríkov, ak dostal päť cukríkov a dva z nich zjedol. Pri riešení takýchto typov úloh žiaci v podstate využívajú predstavu o počte prvkov zjednotenia dvoch množín bez spoločných prvkov. Riešením slovných úloh pomáhame lepšie pochopiť podstatu sčítania. Slovné úlohy na sčitovanie obsahujú dva základné typy súvislostí: 1. K dvom sčítancom hľadáme ich súčet. Napríklad, ak sme kúpili sveter za 8 eur a topánky za 15 eur, koľko sme za nákup zaplatili?. Dané číslo zväčšíme o určité číslo. Napríklad, sveter stojí 8 eur a topánky stoja o 7 eur viac. Koľko stoja topánky? Počas vyučovania sa snažíme, aby žiaci na rôznych príkladoch spozorovali, že súčet sa nezmení, ak zameníme poradie sčítancov a nezmení sa ani vtedy, keď sčítance združíme do skupín. Tým žiaci majú možnosť, aby sami spozorovali platnosť zákonov sčítania. Pritom je potrebné ukázať žiakom aj to, že v mnohých prípadoch je výhodné použiť pri počítaní tieto zákony. K tomu môžu poslúžiť príklady typu = (7 + ) + (14 + 6). Operáciu násobenia môžeme zaviesť pomocou nasledujúceho príkladu. Treba nájsť počet kníh, ktoré sú uložené na troch poličkách, keď vieme, že v každej poličke sú štyri knihy. Označme poličky a knihy, ktoré sú v nich uložené, číslami podľa obrázku. Takto je ku každej knihe priradená práve jedna usporiadaná

35 Rozvoj matematických predstáv o číslach dvojica. Počet prvkov množiny týchto usporiadaných dvojíc určuje počet všetkých kníh. V skutočnosti sme vytvorili karteziánsky súčin dvoch množín a počet prvkov tejto množiny je súčinom dvoch prirodzených čísel. Riešením slovných úloh pomáhame lepšie pochopiť podstatu násobenia. Pomocou násobenia riešime dva základné druhy slovných úloh: 1. Treba určiť súčet niekoľkých sčítancov.. Dané číslo treba niekoľkokrát zväčšiť. Pri riešení príkladov je potrebné postupovať tak, aby žiaci sami spozorovali platnosť zákonov násobenia a uvedomili si aj výhodnosť ich použitia pri počítaní. V začiatkoch školskej dochádzky sa vytvára aj pojem rozdielu dvoch prirodzených čísel, a to na základe počtu prvkov množín. Množinu s počtom prvkov a máme doplniť o určité prvky tak, aby vznikla množina s počtom prvkov b. Počet prvkov, o ktoré sme doplnili pôvodnú množinu, je potom rozdielom b a. Slovné úlohy súvisiace s operáciou odčítania možno rozdeliť na tieto základné tri typy: 1. Máme vypočítať rozdiel dvoch daných prirodzených čísel.. Dané číslo treba zmenšiť o určité číslo.. Je potrebné zistiť, o koľko je dané číslo väčšie ako druhé. Pri riešení príkladov postupujeme tak, aby si žiaci uvedomili ďalšie zákonitosti vzťahujúce sa na operáciu odčítania. Týmto sa u žiakov vytvoria lepšie techniky počítania, žiaci hlbšie pochopia matematické zákonitosti a rozvíja sa tiež myslenie žiakov. Zavedeniu operácie delenia na primárnom stupni základnej školy predchádza osvojovanie si rozkladania konkrétnych množín na podmnožiny. Pritom sa žiakom zadávajú nasledujúce dva typy úloh. a) Danú množinu treba rozložiť na podmnožiny tak, aby počet prvkov každej podmnožiny bol rovnaký. Počet prvkov každej podmnožiny je pritom vopred daný. b) Danú množinu treba rozložiť na vopred daný počet podmnožín, pričom každá podmnožina obsahuje rovnaký počet prvkov. Delenie teda chápeme dvoma spôsobmi: 4

36 1. kapitola Kardinálne čísla a) V množine s počtom prvkov a máme vytvoriť podmnožiny, pričom každá podmnožina má mať počet prvkov b. Otázkou je, koľko takých podmnožín možno vytvoriť. V tomto prípade ide o delenie podľa obsahu. b) Z prvkov množiny, počet ktorých je a, máme vytvoriť b podmnožín, pričom počet prvkov týchto podmnožín je rovnaký. Otázkou je, koľko prvkov bude mať jedna podmnožina. V tomto prípade ide o delenie na rovnaké časti. Podľa logického obsahu riešime na primárnom stupni základnej školy štyri druhy slovných úloh, ktorých riešenie vedie k deleniu: 1. Daný počet prvkov je treba rozdeliť na daný počet rovnakých častí.. Daný počet prvkov je treba rozdeliť na rovnaké časti o vopred danej veľkosti.. Dané číslo máme niekoľkokrát zmenšiť. 4. Je potrebné zistiť, koľkokrát je jedno z daných dvoch čísel väčšie ako druhé. Pomocou vhodných metodických postupov rozvíjame u žiakov ich počtárske zručnosti. Pritom postupujeme tak, aby žiaci na základe riešenia vhodne zvolených príkladov zistili, aké pravidlá platia pre delenie. Tým vytvárame tiež predpoklady pre pochopenie pojmu zlomok. 5

37 Rozvoj matematických predstáv o číslach ČÍSELNÉ SÚSTAVY V predchádzajúcich kapitolách sme zaviedli pojem prirodzeného čísla. Prirodzené čísla sme definovali ako kardinálne čísla konečných neprázdnych množín. Definovali sme ďalej operácie s prirodzenými číslami a ukázali sme základné vlastnosti operácií s prirodzenými číslami. Dokázali sme, že operácie sčítania a násobenia prirodzených čísel sú asociatívne a komutatívne a že operácia násobenia prirodzených čísel je distributívna vzhľadom k ich sčítaniu. Nezaujímali nás pritom spôsoby zapisovania jednotlivých prirodzených čísel, ani postupy, ktoré by nám umožnili ľahko nájsť výsledky operácií s prirodzenými číslami. A práve týmto otázkam, ktoré majú zásadný význam pri praktickom počítaní, sa budeme venovať v tejto kapitole. Prirodzené čísla zapisujeme v pozičnej desiatkovej sústave. Zápis čísel v desiatkovej sústave je pre nás taký prirodzený, že si ani neuvedomujeme geniálnosť tejto sústavy. Desať znakov nám umožňuje zapísať ľubovoľne veľké alebo ľubovoľne malé číslo. Ťažko si vieme predstaviť, že by niekto tento zápis nepoznal. Ale nebolo to vždy tak. Je to prekvapujúce, ale v Európe sa desiatková sústava rozšírila až v storočí. Vznikla už v treťom storočí v Indii a približne v 10. storočí sa prostredníctvom arabského sprostredkovateľa dostala do Európy (odtiaľ je názov arabské číslice ), ale hneď sa nerozšírila. Používanie desiatkovej sústavy súvisí s tým, že človek má desať prstov, ktoré mu plnili úlohu počítacieho stroja. Dnes bežný spôsob zápisu prirodzených čísel v desiatkovej sústave je výsledkom veľmi dlhého a zložitého historického vývoja. Historicky najstarší a najjednoduchší spôsob zápisu prirodzených čísel spočíval v používaní jediného znaku, mohol ním byť napríklad zárez na tyči alebo uzol na šnúre. Tento znak označoval číslo 1 a postupným priraďovaním tohto znaku sa vytvárali zápisy ďalších prirodzených čísel. Veľkým pokrokom bol vznik nepozičných číselných sústav o rôznych základoch. Skupiny s rovnakým počtom znakov tvorili zoskupenia, alebo sa pre celú skupinu vytvoril znak nový. Aj dnes niekedy používame takéto veľmi jednoduché sústavy, napríklad o základe päť, keď počítame nejaké predmety a zapisujeme (napr. sedemnásť ) spôsobom uvedeným na nasledujúcom obrázku. Obr..1 6