FAKULTA STAVEBNÍ. Stavební statika. Telefon: WWW:

Transkript

1 VYSOKÁ ŠKOLA BÁŇSKÁ TECHNICKÁ UNIVERZITA OSTRAVA FAKULTA STAVEBNÍ Stavební statika Vnitřní síly na nosnících Jiří Brožovský Kancelář: LP H 406/3 Telefon: jiri.brozovsky@vsb.cz WWW:

2 Vnitřní síly nosníku? Pro představu myšleně rozřízněme nosník: Síly v řezu : viz výslednice rovinné soustavy sil. 2

3 Rovinný nosník (2D, rovina XZ) My z x Vz N N... normálová síla V (Vz)... posouvající síla M (My)... ohybový moment Celkem 2 síly a 1 moment. 3

4 Prostorový nosník (3D) Vz N... normálová síla y z x My Mz Mx Vy N Vy, Vz... posouvající síly Mx... krouticí moment My, Mz... ohybové momenty Celkem 3 síly a 3 momenty. 4

5 Normálová síla (osová úloha) R F1 F2 F3x N N = F i,x Normálová síla v průřezu x se určí jako výslednice všech osových sil působících po jedné straně zadaného průřezu (platí pro obě strany průřezu). 5

6 Normálová síla znaménka Síla je kladná tahová, působí-li od sledovaného průřezu. Síla je záporná tlaková, působí-li k sledovanému průřezu. x F +F 6

7 Normálová síla síla v průřezu Působí-li zatížení právě ve sledovaném průřezu, pak v něm stanovujeme dvě hodnoty - před (N) a za (N+F) silou. N x F N+F 7

8 Normálová síla příklad Ra,x =

9 Normálová síla zatížení (1) L x Rax = n L a b Nv = n L n n (x L) n L N(x) = R(a) + n x = n L + n x = n(x L) 9

10 Normálová síla zatížení (1a) L x Rax = n L n x n L a b Nv = n L n N(x) = R(a) + n x = 0 + n x = n x 10

11 Normálová síla zatížení (2) 1) c Nc x L n n L d Nd 1. Rovnoměrné zatížení: n = konst, R x = n x, N(x) = N c n x 2) c tecna Nc 3) n x x L n d d Nd n d o 2 2. Trojúhelníkové zatížení: n x = n d x L, R x = 1 2 x n x, N(x) = N c n d x 2 2 b 3. Lichoběžníkové zatížení: c Nc x L d Nd 2 o součet rovnoměrného a trojúhelníkového: N(x) = N c n d x 2 2 b n x 11

12 Diferenciální podmínky rovnováhy pro N N n dx N + dn x dx Fx = 0 : N + (N + dn) + n dx = 0 dn dx = n 12

13 Posouvající síla F1 p1 F2 V + R x + Posouvající síla v průřezu x se určí jako výslednice všech příčných sil působících po jedné straně zadaného průřezu (platí pro obě strany průřezu). V x = F i,z 13

14 Posouvající síla konvence +V +V

15 Posouvající síla příklad V 10 kn 10 kn 1 m 1 m 1 m 10 kn 10 kn

16 Ohybový moment R F1 d1 P3 dr p3 d3 F2 d2 x M + Ohybový moment v průřezu x se určí jako součet momentů všech příčných sil působících po jedné straně zadaného průřezu (platí pro obě strany průřezu). M x = F i,z d i 16

17 Ohybový moment konvence (1) +M +M + Ohybový moment se považuje za kladný, pokud vyvozuje tah ve spodních vláknech nosníku. 17

18 Ohybový moment konvence (2) +M Ohybový moment se považuje za kladný, pokud vyvozuje tah ve spodních vláknech nosníku. 18

19 Ohybový moment příklad V 10 kn 10 kn 1 m 1 m 1 m 10 kn 10 kn Mb=10 Mc=10 a b c d M M = x 0 Fi di [knm] M b = Ra,z d ab = 10 1 = 10 knm Mc = Ra,z dac 10 d bc = = 10 knm M d = Ra,z d ad 10 d bd 10 d cd = = 0 knm 19

20 Diferenciální podmínky rovnováhy pro V a M (k bodu S) V dq= q dx M S m M + dm x dx V + dv Fz Mi.x dm dx = 0 : V + (V + dv ) + q dx = 0 dv dx = q = 0 : M (M + dm) (V + dv ) dx + m dx = 0 = V m Poznámka: Výslednice Q = q dx je umístěna do počátečního průřezu v souladu se zásadami diferenciálního počtu. Malou hodnotu (dv dx) zanedbáme. 20

21 Diferenciální podmínky rovnováhy pro V a M (k bodu S) Schwedlerovy vztahy: Pro m = 0 dostaneme: dv dx = q, V (x) = q(x) dx + C 1 dm dx = V, M(x) = V (x) dx + C 2 d 2 M dx 2 = q 21

22 Diferenciální podmínky rovnováhy pro V a M Extrémy V a M: Extrém V je v průřezu, kde q = 0: dv dx = q = 0 V (x) = q(x)dx + C 1 Extrém M je v průřezu, kde V = 0 nebo V = m nebo V mění znaménko: dm dx = V = 0 M(x) = C 1, C 2 určíme z okrajových podmínek: V (x)dx + C 2, m = 0 M =0 M =0, V = 0 22

23 Extrém M 0 o V 1 o o 0 M 2 o 1 o 23

24 Diferenciální podmínky rovnováhy pro V a M důsledek integrace 0 o 0 o 1 o 1 o 2 o 1 o 2 o 3 o q V M derivac n n+1 n+2 24

25 Konvence při vykreslování M a V kladné posouvající síly se vynášejí nahoru, záporné dolů momenty se vykreslují na stranu tažených vláken (zde podtržená) 25

26 Příklad výpočtu M a V (1) F a b L/2 L/2 Raz = F/2 Rbz = F/2 + Vb = F/2 Va = F/2 1 o M = Raz L/2 = F L/4 Reakce: R az = F 2 ( ) R bz = F 2 ( ) Posouvající síla: V a = + F 2 V b = F 2 V (L/2) L = + F 2 V (L/2) P = F 2 Moment: M(L/2) = R L az 2 = F 4 26

27 Příklad výpočtu M a V (2) q a L L/2 Q L/4 Raz + 1 o Va M(L/2) Rbz o 2 b Vb Reakce: R az = q L 2 ( ) R bz = q L 2 ( ) Posouvající síla: V a = + q L 2 V b = q L 2 Moment: M(L/2) = V a L 2 L 2 q L 4 = = q L2 4 L2 8 q = 1 8 q L2 27

28 Příklad výpočtu M a V (3) Q = q L/2 a L q b Reakce: R az = Q = q L( ) M a = Q L 1 2 = q L2 2 Posouvající síla: V a = +R az = q L Ma M Raz Va = q L 1 o 2 o Moment: M(x) = q (L x) (L x) 2 = q (L x)2 2 M(a) = q (L 0) L 0 2 = 1 2 q L2 M(b) = q (L L) L L 2 = 0 28

29 Příklad 2 (1) Stanovte vnitřní síly zadaného nosníku s převislým koncem. Vypočtené hodnoty vykreslete. q = 10 kn/m Md = 4 knm a b c d 0.5m 1m 1.5m 29

30 Příklad 2 (2) Náhradní břemena: výslednice spojitých zatížení Q 1 = d ab q = = 5 kn Q 2 = d bc q = = 10 kn Q2 Q1 0.25m 0.5 m q = 10 kn/m Md = 4 knm a b c d 0.5m 1m 1.5m 30

31 Příklad 2 (3) Reakce Fi,x = 0 : R bx = 0 kn Q2 Q1 0.25m 0.5 m q = 10 kn/m Md = 4 knm a Rbx b c d 0.5m 1m 1.5m Rbz Rdz 31

32 Příklad 2 (4) Mi,d = 0 : Q R bz Q M d = 0 R bz = R bz = = 15.1 kn( ) 2.5 Q2 Q1 0.25m 0.5 m q = 10 kn/m Md = 4 knm a Rbx b c d 0.5m 1m 1.5m Rbz Rdz 32

33 Příklad 2 (5) Mi,b = 0 : Q Q M d + R dz 2.5 = 0 R dz R dz 2.5 = 0 ( ) = = 0.1 kn( ) 2.5 Q2 Q1 0.25m 0.5 m q = 10 kn/m Md = 4 knm a Rbx b c d 0.5m 1m 1.5m Rbz Rdz 33

34 Příklad 2 (5) Q2 Q1 0.25m 0.5 m q = 10 kn/m Md = 4 knm a 0 b c d 0.5m 1m 1.5m Kontrola: Fi,z = 0 : R bz R dz Q 1 Q 2 = = 0 kn 34

35 Příklad 2 (6) Normálové síly: q = 10 kn/m Md = 4 knm a 0 b 15.1 c 0.1 d 0.5m 1m 1.5m 0 N 35

36 Příklad 2 (7) Posouvající síly převislý konec: q = 10 kn/m Md = 4 knm a 0 b 15.1 c 0.1 d 0.5m 1m 1.5m V 5 V l ba = q d ab = = 5 kn 36

37 Příklad 2 (8) Posouvající síly celý nosník: 0.5m 1m 1.5m c d a b 0 q = 10 kn/m Md = 4 knm V V p ba = q d ab R bz = = 10.1 kn 37

38 Příklad 2 (9) Posouvající síly celý nosník: 0.5m 1m 1.5m c d a b 0 q = 10 kn/m Md = 4 knm V V l cd = V p ba q d bc = = 0.1 kn 38

39 Příklad 2 (10) Ohybové momenty převislý konec: 0.25m a Q1 = 5 kn q = 10 kn/m b c Md = 4 knm 0.1 d 0.5m 1m 1.5m 1.25 M M b = Q = = 1.25 knm 39

40 Příklad 2 (11) Ohybové momenty pod spojitým zatížením: Q1 = 5 kn Q2=10 kn 1.25m Md = 4 knm a 0 b m c 0.1 d 0.5m 1m 1.5m 1.25 M 3.85 M l c = Q R bz 1 Q = =

41 Příklad 2 (12) Ohybové momenty pod spojitým zatížením: Q1 = 5 kn Q2=10 kn 2m Md = 4 knm a 0 b 15.1 c 2.75m 0.1 d 0.5m 1m 1.5m o 3.85 M 2 o 1 o 4 M l d = Q R bz 2.5 Q 2 2 = =