České vysoké učení technické v Praze

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "České vysoké učení technické v Praze"

Transkript

1 České vysoké učení techncké v Praze Fakulta stavební Katedra vyšší geodéze Magsterská práce 211 Mloš Tchý

2 Prohlašuj, že jsem tuto magsterskou prác vypracoval samostatně, pouze za odborného vedení vedoucího prof. Ing. Jana Kosteleckého, DrSc. Dále prohlašuj, že veškeré podklady, ze kterých jsem čerpal, jsou uvedeny v seznamu použté lteratury. podps

3 Děkuj prof. Ing. Janu Kosteleckému, DrSc, za podnětné přpomínky a cenné rady, které vedly k vylepšení práce. Děkuj též svým kolegům z Observatoře Kleť Ing. Janě Tché, Mgr. Mchaele Honkové a dr. Mchalu Kočerov, za vynkající spoluprác př získávání dat, použtých př přípravě a tvorbě této práce.

4 Metody určování poloh a dentfkace těles sluneční soustavy Methods of astrometry and dentfcaton of the solar system bodes

5 Anotace: V prác jsou presentovány metody astrometrckých měření na obloze se zaměřením na malá tělesa sluneční soustavy, v tomto případě planetky a komety, a to včetně základních nformací o astronomckých souřadncích a používaných astrometrckých katalozích. Druhá část práce je zaměřena na metody dentfkace malých těles sluneční soustavy v souvslost s astrometrckým měřením poloh těles a včetně výpočtů jejch efemerd. Poslední část práce popsuje metody dentfkací těles ve sluneční soustavě s ohledem na jejch dráhové parametry s užtím metod nebeské mechanky a meznárodních databází drahových elementů těles. V prác jsou též presentovány vybrané příklady dentfkací planetek a komet spočtené autorem. Klíčová slova: astrometre, dráhové elementy, dentfkace, planetky, komety Abstract: The work presents methods for astrometrc measurements, wth a focus on small Solar system bodes, n ths case asterods and comets, ncludng basc nformaton about the astronomcal coordnates systems and astrometrc catalogs. The second part s drected to methods of dentfcaton of small Solar system bodes n relatonshp to astrometrc measurements ncludng calculaton of ther ephemerdes. The last part of the work descrbes a method of dentfcaton of small Solar system bodes wth regard to ther orbtal elements usng the methods of celestal mechancs and nternatonal databases of orbtal elements of asterods and comets. At ths work selected examples of dentfcatons of asterods and comets calculated by the author are also presented. Keywords: astrometry, orbtal elements, dentfcaton, mnor planets, comets

6 Obsah 1 Úvod Hstorcký přehled astrometrcké astronome Bezdalekohledová astrometre Jakubova hůl Paralaktcké pravítko Kvadrant Oktant Astrometre s použtím dalekohledu Sextant Zakreslovací dalekohledová astrometre Pasážník Technologcký zlom aneb od oka k fotograf a CCD Fotografcká astrometre CCD astrometre Souřadncové systémy Pravoúhlá souřadncová soustava Sfércká souřadncová soustava Astronomcké souřadnce Obzorníková soustava souřadnc Rovníkové souřadnce I. druhu Rovníkové souřadnce II. druhu Eklptkální souřadncová soustava Galaktcká souřadncová soustava Převodní vztahy mez jednotlvým typy souřadncových systémů Transformace obzorníkových a rovníkových souřadnc Transformace rovníkových a eklptkálních souřadnc Transformace rovníkových a galaktckých souřadnc Gnómoncká projekce Vlastní projekce Transformace souřadnc Astrometrcké katalogy SAO (Smthsonan Astrophyscal Observatory Star Catalog) AGK PPM (Postons and Proper Motons Star Catalogue) GSC

7 6.5 USNO A Hpparcos Tycho USNO B UCAC Astrometre malých těles sluneční soustavy Malá tělesa sluneční soustavy Blízkozemní planetky Astrometre planetek a komet Observatoř Kleť a Projekt KLENOT Dráhové elementy malých těles sluneční soustavy Výpočet efemerd malých těles sluneční soustavy Identfkace malých těles sluneční soustavy Proč je potřeba dentfkovat tělesa Metoda dentfkace malých těles sluneční soustavy Příklady dentfkací Identfkace planetek hlavního pásu Identfkace 2 QM Identfkace 1999 LX Identfkace 1997 AY Identfkace blízkozemních planetek Amor 23 HU Apollo 21 YF Apollo 22 SR PHA Apollo 1999 TF Aten 22 FT Identfkace Kentaurů Kentaur 1997 CU Identfkace komet Kometa C/22 A2 (LINEAR) Kometa C/22 A1 (LINEAR) Kometa P/2 U6 (Tchý) Závěr Lteratura Seznam obrázků Seznam tabulek

8 Seznam použtých symbolů A [ ] azmut h [ ] výška nad obzorem z [ ] zentová vzdálenost δ č Decl. [ ] deklnace t [ nebo hod.] hodnový úhel α č R.A. [ nebo hod.] rektascenze λ [ ] eklptkální délka β [ ] eklptkální šířka l [ ] galaktcká délka b [ ] galaktcká šířka θ [hod.] hvězdný čas φ [ ] zeměpsná šířka a [AU] velká poloosa dráhy ε [AU] lneární excentrcta e [ ] numercká excentrcta Ω č Per. [ ] délka výstupního uzlu dráhy [ ] sklon dráhy k eklptce ω č Node. [ ] argument šířky perhelu T [datum] čas průchodu přísluním M [ ] střední anomále Epocha [JD] epocha dráhových elementů υ [ ] pravá anomále E [ ] excentrcká anomále P [let] oběžná doba n [ /den] střední denní pohyb q [AU] vzdálenost přísluní Q [AU] vzdálenost odsluní X,Y,Z [AU] pravoúhlé souřadnce (helocentrcké) π [ ] paralaxa ρ [AU] geocentrcká vzdálenost - 3 -

9 1 Úvod Astrometre, nebol určování přesných poloh objektů na nebeské sféře, patří mez základní úlohy nebeské mechanky. Pomocí astrometre se určovaly nejen polohy objektů na obloze, ale sekundárně poloha pozorovatele na zemském povrchu. Prostřednctvím astrometre tak byly svázány pozemské a nebeské souřadncové systémy. Přesnost astrometre ovlvňovala vývoj astronome, obzvláště vývoj názorů na pohyb těles ve sluneční soustavě, jednotlvé populace těles sluneční soustavy a strukturu ve sluneční soustavě. Díky omezené a neměnící se přesnost astrometrckých přístrojů se až do konce 19. století zdálo, že astrometre bude na okraj vědeckého zájmu. Se zlepšujícím se přístrojovým vybavením a nástupem fotografcké a následně CCD technologe se přesná astrometre následně stala velce důležtou a vlastně základní součástí př výzkumu dynamky těles nejen naší sluneční soustavy ale naší Galaxe a celého pozorovatelného vesmíru. 2 Hstorcký přehled astrometrcké astronome Technologe astrometre její přesnost byla vždy odvslá od technologckého rozvoje. Podobně se měnly velčny, které se prostřednctvím astrometre měří [3]. 2.1 Bezdalekohledová astrometre Astrometre na obloze bez použtí dalekohledu se užívala do počátku 17. století, kdy byl první dalekohled použt na pozorování oblohy. Měřenou velčnou př této astrometr byl úhel, a to buď vzájemná úhlová vzdálenost pozorovaných objektů, tak třeba azmut a výška tělesa nad obzorem. S vývojem technky se používaly různé přístroje, a to čím dál tím větší [9] Jakubova hůl Prvním doloženým měřícím astrometrckým přístrojem byla Jakubova hůl. Jakubova hůl je jednoduchý astronomcký přístroj sloužící buď k měření úhlové vzdálenost dvou objektů č k měření výšky objektu nad obzorem. Fungoval na prncpu průhledítka oko se přložlo ke konc pravítka a posuvným ramenem se posouvalo, až se docíllo stavu, aby měřené objekty byly vděny přesně na koncích posuvné část. Na pravítku se pak odečetl úhel mez objekty

10 Jakubova hůl byla poměrně nepřesná, její přesnost byla na úrovn několka desítek úhlových mnut až do jednoho stupně. Závsela na kvaltě pozorovatele, na jeho schopnostech a zkušenostech. Obr. 1: Jakubova hůl Paralaktcké pravítko Paralaktcké pravítko nebo též trquetrum, sloužlo též k měření zentové vzdálenost objektů na obloze. Čl měřenou jednotkou byl opět úhel. Vyvnul se z gnómonu přpevněním dvou pohyblvých ramen, kdy jedno bylo přpevněno na vrcholu a mělo průhledítka na zaměřování objektů. Druhé rameno pak sloužlo přímo k měření, kdy na něm byla stupnce zentových vzdáleností a vzájemná poloha obou ramen udávala měřený úhel. Z paralaktckého pravítka posléze vznkly přístroje jako kvadrant, sextant č oktant

11 Obr. 2: Paralaktcké pravítko Kvadrant Poměrně málo přesná Jakubova hůl byla v průběhu let nahrazena kvadrantem. Měřenou jednotkou u tohoto přístroje byl úhel. Kvadrant byl zařízen na měření zentových vzdáleností objektů. Měření se provádělo pomocí průzorů, průhledítek, a úhel se následně odečítal na čtvrtkruhové stupnc (proto se přístroj též jmenuje kvadrant). Kvadranty byly jak malé, cestovní, tak velké, nástěnné č stojací. Přpevněním kvadrantu na zeď č na podstavec se zvýšla jejch přesnost, a to nejen díky větším rozměrům ale díky stabltě celého přístroje. Na konc éry kvadrantů v renesanc dosahoval známý dánský astronom Tycho Brahe s kvadrantem přesnost měření až téměř 1 úhlovou mnutu, nebol třcetnu průměru měsíčního úplňku. V samém závěru užívání kvadrantů v astronom byl tento přístroj doplněn dalekohledem

12 Obr. 3: Kvadrant Oktant Oktant je dalším přístrojem, který byl vyvnut z paralaktckého pravítka. Měřenou velčnou je opět úhel. Je velm podobný sextantu, jen výsek je osmnový. Oktant byl poprvé zkonstruován v první polovně osmnáctého století v Angl

13 Obr. 4: Oktant 2.2 Astrometre s použtím dalekohledu Astrometre s přímým použtím dalekohledu vedla ke zpřesnění měření. Sce se pořád k pozorování používalo oko, ale dalekohled díky zvětšení a dosahu na slabší objekty zpřesnl měření, což výsledně vedlo k dalším objevům pohybů těles na nebeské sféře. Prvním přístrojem určeným na měření souřadnc byl sextant. V astronom se prvně používala astrometre zakreslovací, kdy byly pomocí dalekohledu kresleny polohy těles, posléze se používal pasážník - 8 -

14 2.2.1 Sextant Prvním přístrojem, který na přesnější měření úhlů použl ke stupnc dalekohled, byl sextant. Opět jde o přístroj, který byl vyvnut stejně jako oktant z paralaktckého pravítka. Tento přístroj byl základním navgačním měřícím přístrojem až do nástupu družcové navgace GPS a dodnes slouží jako záložní navgační přístroj. Užívá překryvu obrazů pozorovaného objektu a úhel se měří pomocí pohyblvého zrcátka a kalbrované stupnce. S přesností měření sextantem souvsí délka námořní míle, což byla přesně přesnost měření tímto přístrojem, což v úhlové míře představuje 1. Pomocí sextantu se dá měřt výška těles nad obzorem, s užtím statvu úhlová vzdálenost dvou objektů na obloze. Obr. 5: Sextant - 9 -

15 2.2.2 Zakreslovací dalekohledová astrometre Šlo o použtí dalekohledu jako pomocného prostředku a jž dříve používané zakreslovací technologe. Polohy objektů pozorované dalekohledem se zakreslovaly do mapy č jné pomůcky, aby byly následně změřeny a převedeny na astronomcké souřadnce. Podobnou technologí byla objevena v roce 181 první planetka Ceres, kdy př mapování oblohy by zjštěn pohyb jednoho ze sledovaných objektů, ze kterého se následně vyklubal objekt dosud neznámého typu planetka Pasážník Pasážník je vlastně průhledový dalekohled, který se otáčí pouze v jedné rovně, a to v rovně poledníku. Oprot předchozím metodám jsou zde dvě měřené velčny úhel a čas. Jako základ je měření přesného času průchodu objektu místním poledníkem. Z této velčny př znalost hvězdného času určíme přesně rektascenz objektu. Druhou měřenou velčnou je úhel, nebol výška objektu nad obzorem, která nám př znalost zeměpsné šířky poskytne druhý potřebný údaj, deklnac objektu. Upravený pasážník, otáčející se ve dvou rovnách, deklnační a azmutální, nám může poskytnout nformac nejen o výšce objektu nad obzorem ale o azmutu sledovaného objektu. Oprot klasckému průchodnímu pasážníku může takto upravený přístroj pozorovat po celé obloze, a nejen přesně nad jhem. 2.3 Technologcký zlom aneb od oka k fotograf a CCD Všechny doposud zmíněné technologe astrometre měly jednu podstatnou nevýhodu. Pozorování byla závslá na kvaltě pozorovatele a získaná data se nedala obvykle opakovaně ověřt př stávajících an př objevu nových technologí. To se změnlo koncem 19. století, kdy do astronome nastoupla fotografe. Objekty byly zaznamenány na fotografcké desce a mohlo tak být prováděno několk astrometrckých měření s použtím různých přístrojů č opakovaně. Takto se dají zpětně na nové objekty zpracovávat v mnulost nasnímané archvované desky. V osmdesátých letech dvacátého století byla fotografcká technka nahrazena CCD čpy (CCD = Charge-Coupled Devce nebol zařízení s vázaným náboj), ale prncpy zpracování archvace obrazu zůstaly praktcky nezměněné

16 2.4 Fotografcká astrometre Ve druhé polovně devatenáctého století nastoupla do služeb astronome fotografe. Její obrovskou výhodou byl s ohledem na delší expozce dosah na okem nepozorovatelné objekty a zároveň možnost napozorovaná data archvovat a zpracovávat následně. Zároveň byly vyvnuty přesnější matematcké metody na výpočet astronomckých souřadnc na nebeské sféře z kartézských souřadnc měřených na fotografckých flmech č skleněných deskách [6]. Obr. 6: Fotografcká deska (v tomto případě 13x18 cm s kometou) 2.5 CCD astrometre V polovně osmdesátých let dvacátého století byla postupně fotografcká technologe nahrazena elektronckým záznamem obrazu CCD detektory. Př záznamu obrazu je zde využto fotoefektu, kdy dochází v polovodčovém materálu vlvem absorpce fotonu k exctac elektronu a tím pádem změně vodvost daného pxelu, čl část matce polovodčového prvku

17 Obr. 7: CCD kamera s řídící elektronkou Výsledně je pomocí AD převodníku počet zachycených fotonů skrze elektrony převeden na ADU jednotky a je z hodnot na jednotlvých pxelech sestaven celý snímek. Nové materály umožňují kvantovou účnnost CCD čpů přesahující 9 procent (pro porovnání, fotografcká deska má kvantovou účnnost cca 1 procento, neozbrojené ldské oko cca,1 procenta) [7, 3]. Obr. 8: CCD snímek (s označeným rychle se pohybujícím objektem)

18 Tab. 1: Astrometrcká přesnost Pozorovatel Technka datum Přesnost Hpparchos Sextant (vzuálně) 15 př.n.l. 5 Tycho Brahe Kvadrant (vzuálně) 16 1 Flamstead Zední kvadrant (dalekohled) 17 1 Bradley Upravený kvadrant (dalekohled) 175,5 Bessel Optcký helometr (dalekohled) 1835,1 Schlesnger et al. Fotografe 192,5 USNO et al. Fotografe mas nterfometre Skvrnková nterferometre mas USNO et al. CCD astrometre 2 1 mas Hpparcos Družcová astrometre mas HST FGS 2,5 mas nterferometre LBI 2 1 µas GAIA Astrometrcká družce 212? 1 µas SIM Vesmírná nterferometre 29 1 µas 3 Souřadncové systémy Polohu lbovolného bodu v trojrozměrném prostoru je možné popsat pomocí různých typů souřadnc. V astronom se nejčastěj používají dva systémy souřadnc - pravoúhlá souřadncová soustava a sfércká souřadncová soustava [1,2,9]. 3.1 Pravoúhlá souřadncová soustava Tř navzájem kolmé vektory, j, k s počátkem v jedném bodě tvoří pravoúhlou nebol ortogonální souřadncovou soustavu. Dané vektory, které určují tento souřadncový systém, jsou na sobě nezávslé. Přímky, které jsou nostelkam vektorů,j,k se nazývají souřadncové osy. Obvykle je označujeme jako osy x, y a z

19 Obr. 9: Pravoúhlý souřadncový systém Polohu lbovolného bodu R můžeme jednoznačně vyjádřt jako lneární kombnac jednotkových vektorů,j, k. Pokud máme bod R jako koncový bod vektoru r s začátkem v počátku souřadncového systému, dostaneme r = x. + y. j + z. k (3.1) Velčny x, y, z označujeme jako souřadnce bodu R, nebol R (x,y,z). Úhly α, β, γ jsou úhly, které svírá vektor r s jednotlvým souřadncovým osam. Souřadnce jednotkového vektoru nazýváme směrové kosíny. Je zřejmé, že jednotkový vektor splňuje následující podmínku: x + y + z = 1 (3.2) Souřadncová soustava může mít dvojí orentac. Pravotočvá, kdy př pohledu od konce osy z se dostaneme od osy x k ose y pootočením o 9 v matematcky kladném směru, čl prot směru otáčení hodnových ručček. Druhou orentací je levotočvá soustava, která má orentac os obráceně

20 3.2 Sfércká souřadncová soustava Sfércká souřadncová soustava je tvořena základní rovnou a základním směrem, kterého počátek leží v základní rovně soustavy. Za základní rovnu se obvykle používá rovna xy, za základní směr se používá směr osy x. Poloha bodu R v trojrozměrném prostoru je pak určena trojcí souřadnc, kde r představuje délku průvodče r, úhel λ představuje úhel mez osou x a průmětem průvodče r do rovny xy, a konečně úhel φ, který představuje úhel mez průvodčem r a rovnou xy. Velčny r, φ a λ se označují jako sfércké souřadnce bodu R nebol R (r, φ, λ). Obr. 1: Sfércká souřadncová soustava V případě, že má R počátek v počátku souřadného systému, dostaneme následující: R = r cosϕ, x = R cosλ, y = R sn λ, z = r snϕ (3.3) A dále pak pro x,y,z dostaneme následující vztahu: x = r cosϕ cos λ, y = r cosϕ sn λ, z = r snϕ (3.4)

21 Inverzní převodní vztahy mají následující tvar: x z z r = x + y + z, λ = arctan, ϕ = arc cot = arcsn (3.5) y 2 2 x + y r Souřadncové soustavy můžeme umístt a orentovat v prostoru praktcky lbovolným způsobem. Obvykle se jako počátek souřadncového systému používá například střed Země č střed Slunce nebo hmotný střed sluneční soustavy. 4 Astronomcké souřadnce Pro orentac na obloze a schopnost se vzájemně komunkovat mez sebou, používají astronomové systém astronomckých souřadnc [2,9]. Pomocí astronomckých souřadnc defnujeme č určujeme polohu těles na obloze, polohu na nebeské sféře. A to pro jakékolv těleso ať jž umělé, vytvořené ldm, nebo těleso sluneční soustavy č naší Galaxe, nebo objekt na kraj pozorovatelného vesmíru. Abychom mohl zavést souřadncovou soustavu, v tomto případě s ohledem na myšlenou nebeskou klenbu nad našm hlavam sférckou, musíme zvolt tuto sféru (vlastně by se dalo říc koul) s určtým rozměrem a základní směry jednotlvých rovn, které lze matematcky a případně fyzkálně defnovat. Pokud jde o rozměr sféry, je vhodné j zvolt jednotkovou, ušetříme s tím řadu problémů s následným přepočty. Pokud jde o základní směry, máme zde několk možností. Můžeme za základní směr zvolt například svslc v bodě pozorování nebo směr rotační osy naší Země, případně směr k pólu eklptky č k pólu naší Galaxe. Podobné je to se základní rovnou souřadncového systému. Můžeme j vzít jako rovnu horzontu v bodě pozorování, nebo například rovnu světového rovníku. Tento světový rovník získáme průmětem zemského rovníku na nebeskou sféru. Též je jako základní rovnu možné vzít rovnu eklptky. Eklptka je zdánlvá dráha Slunce po obloze z hledska pozorovatele na Zem. Můžeme za základní rovnu vzít také například rovnu naší Galaxe

22 Z hledska základních směrů a základních rovn můžeme rozdělt sfércké souřadncové soustavy do několka typů. Známe tak obzorníkovou souřadncovou soustavu, rovníkovou I. a II. druhu, eklptkální č galaktckou. Některé z uvedených soustav můžeme ještě dělt z hledska polohy pozorovatele, přesněj z hledska polohy středu koule souřadncové soustavy, na topocentrckou, geocentrckou, helocentrckou č v centru jného objektu, a barycentrcké. Topocentrcká soustava je vztažena přímo k místu pozorování. V případě pozemského pozorovatele je poloha defnována polohou na Zem, čl zeměpsnou šířkou φ a zeměpsnou délkou λ, a nadmořskou výškou h. V astronom se obvykle používá geocentrcká zeměpsná šířka, která představuje úhel, který svírá spojnce daného bodu se středem Země a rovna rovníku. V geodéz se používá přesnější geodetcká (geografcká) zeměpsná šířka, která měří úhel, který svírá normála k použtému elpsodu v daném bodě s rovnou rovníku. S ohledem na malý rozdíl mez oběma druhy zeměpsných šířek, je užtí z hledska geodéze méně přesných geocentrckých souřadnc v astronom s ohledem na rychlejší výpočty topocentrckých korekcí odůvodntelné a logcké. Geocentrcká soustava má za počátek souřadnc střed Země, ke kterému jsou vztaženy všechny souřadnce. Helocentrcká souřadncová soustava má počátek ve středu slunce, případně Xcentrcká ve středu objektu X. Barycentrcká soustava má počátek v těžšt systému. Například barycentrcká soustava v barycentru Země-Měsíc, č například počátek soustavy v těžšt sluneční soustavy. Souřadncové systémy, které jsou vázány na hmotný objekt a které se pohybují vzhledem k základnímu prostoru rovnoměrně a přímočaře nazýváme nercální souřadncové systémy. Například souřadncová soustava navázaná na systém kvazarů, čl velm vzdálených vesmírných objektů, je sama o sobě nercální soustavou. Oprot tomu jakákolv souřadncová soustava pevně spojená s rotující Zemí je soustavou nenercální

23 4.1 Obzorníková soustava souřadnc Obzorníková souřadncová soustava patří mez souřadncové soustavy, které jsou závslé na čase na pozorovatelském stanovšt. Základním směrem soustavy souřadnc je směr svslce v bodě pozorovatele, čl v místě, kde přímo pozorujeme. Do tohoto bodu je umístěn pomyslný střed jednotkové koule se souřadným systémem. Důležtým bodem je bod, kde nám jednotkovou koul protíná svslce, čl bod přímo nad naší hlavou. Tomuto bodu říkáme zent nebol nadhlavník. Rovna kolmá ke svslc procházející pozorovatelským stanovštěm se nazývá rovnou obzorníku. Jednotkovou koul protíná v hlavní kružnc, která se nazývá horzont nebol obzorník. Horzont nám zároveň rozděluje jednotkovou koul na dvě polovny, ze kterých je vdtelná vždy jen jedna. Obr. 11: Obzorníková soustava souřadnc Hlavní kružnce, které procházejí zentem nadrem, se nazývají vertkály nebol výškové kružnce. Z nch jsou velm význačné dvě - místní poledník a první vertkál. Místní

24 poledník je defnován jako kružnce, která protíná horzont přesně na jhu a přesně na severu, a zároveň prochází zentem. Slunce př svém zdánlvém pohybu na obloze je na místním poledníku nachází vždy v pravé místní sluneční poledne. Rovna prvního vertkálu prochází zentem a nadrem a zároveň je kolmá na rovnu místního poledníku. Dala by se defnovat tak, že protíná horzont přesně na východě na západě a prochází nadhlavníkem. Horzont a poledník nám defnují obzorníkovou soustavu souřadnc. Souřadnce se nazývají azmut A a výška objektu nad obzorem h (někdy lze místo výšky nad obzorem použít zentovou vzdálenost z, pro kterou platí z = 9 - h). Azmut je úhel, který svírá rovna vertkálu procházející objektem s rovnou místního poledníku. Měří se od jžní větve místního poledníku, čl od jhu, v matematcky záporném směru, čl od jhu k západu. Azmut měříme v úhlových stupních a nabývá hodnot od do 36. Výška nad obzorem je úhel měřený po výškové kružnc od obzorníku nebol horzontu k objektu. V tomto případě musí být zajštěn tzv. nulový horzont, což je někdy obtížné. Proto lze použít měření zentové vzdálenost, kdy měříme po výškové kružnc úhel mez nadhlavníkem a měřeným objektem a následně provést přepočet ze zentové vzdálenost na výšku tělesa nad obzorem (platí, že z+h=9 ). Výška h je měřena též ve stupních a př praktckých měřeních nabývá hodnot až 9. Teoretcky je možné mít př přepočtech různých souřadnc zápornou výšku tělesa nad obzorem. V takovémto případě se objekt nalézá pod obzorem, kde může nabývat hodnot od - do -9. Obr. 12: Obzorníková soustava souřadnc azmut a výška

25 Pokud proložíme pozorovaným objektem rovnu rovnoběžnou s rovnou obzorníkovou, protne nám tato jednotkovou koul ve vedlejší kružnc, na které mají všechny body stejnou výšku nad obzorem, případně by se dalo říc, že mají stejnou zentovou vzdálenost. Takováto kružnce se nazývá almukantarat. V obzorníkové soustavě souřadnc se souřadnce objektů mění jednak v závslost na čase, což je způsobeno rotací Země, a jednak se změnou pozorovacího místa, protože pro každé místo na Zem má, s ohledem na svoj zeměpsnou šířku φ a zeměpsnou délku λ jný horzont nebol obzorník a jný zent. Z tohoto hledska je tento typ souřadnc s ohledem na jednoduchost určení polohy objektu na obloze vhodný pro pozorování na jednom místě, ale velce nevhodný pro sdílení nformací o souřadncích objektu mez pozorovatel na různých místech zeměkoule. Proto byly navrženy jné pro předávání nformací vhodnější astronomcké souřadncové systémy. 4.2 Rovníkové souřadnce I. druhu Prvním předstupněm pro na pozorovacím stanovšt nezávslém souřadncovém systému jsou rovníkové souřadnce I. druhu. Základním směrem je směr rotační osy Země, která protíná jednotkovou koul přesně v bodech severního a jžního světového pólu. Základní rovnou je rovna světového rovníku. Světový rovník vznkne jako průsečík jednotkové kružnce a zemského rovníku. Rovny, které procházejí oběma světovým póly, severním jžním, se nazývají deklnační kružnce. Polohu objektu vůč světovému rovníku určuje souřadnce, která se nazývá deklnace a značí se δ. Deklnace je úhlová vzdálenost objektu od světového rovníku měřena podél deklnační kružnce (čl by se dalo říc nejkratší vzdálenost). Deklnace se uvádí v úhlových stupních a nabývá hodnot od -9 do +9. Pro severní polokoul platí kladné hodnoty, pro jžní polokoul se deklnace udává v záporných hodnotách. Rovny rovnoběžné s rovnou rovníku protínají jednotkovou koul v kružncích, která nazýváme deklnační rovnoběžky. Po těchto rovnoběžkách vykonávají objekty svůj zdánlvý denní pohyb jako obraz skutečné rotace Země

26 V rovníkových souřadncích I. druhu je druhou základní rovnou rovna místního poledníku. Polohu hvězdy určuje hodnový úhel, což je úhel, který svírá rovna místního poledníku s deklnační kružncí procházející měřeným objektem. Hodnový úhel měříme v matematcky záporném směru, čl od jhu, kde je t = směrem na západ. Hodnový úhel je udáván v úhlové míře, čl může nabývat hodnot až 36. V prax se používá hodnová míra, kdy 36 odpovídá 24 hodnám (nebol 1 hodna je 15, případně 1 odpovídá 4 mnutám). Pak nabývá hodnový úhel hodnot od hod. do 24 hod. Obr. 13: Rovníkové souřadnce I. druhu Jak vyplývá z defnce, hodnový úhel je závslý na poloze místního poledníku. Ten však vlvem rotace Země mění neustále svou polohu vůč objektům na obloze, z čehož vyplývá změna hodnového úhlu s plynoucím časem. Rovníkové souřadnce I. druhu jsou vlastně mezkrok pro meznárodní komunkac. Deklnace δ je jž souřadncí nezávslou na poloze pozorovatele, ale druhá souřadnce,

27 hodnový úhel t je závslý na poloze pozorovatele. Proto byly tyto souřadnce nahrazeny rovníkovým souřadncem II. druhu, které problém místně závslé druhé souřadnce jž řeší. 4.3 Rovníkové souřadnce II. druhu Rovníkové souřadnce II. druhu je jž souřadncový systém nezávslý na poloze pozorovatele a času pozorování. Základním směrem je stejně jako v případě rovníkových souřadnc I. druhu směr rotační osy Země, která protíná jednotkovou koul přesně v bodech severního a jžního světového pólu. Základní rovnou je opět rovna světového rovníku. Poloha objektů vůč světovému rovníku určuje stejně jako v případě rovníkových souřadnc I. druhu souřadnce, která se nazývá deklnace a značí se δ. Deklnace je úhlová vzdálenost objektu od světového rovníku měřena podél deklnační kružnc (čl by se dalo říc nejkratší vzdálenost). Deklnace se uvádí v úhlových stupních a nabývá hodnot od -9 do +9. Pro severní polokoul platí kladné hodnoty, pro jžní polokoul se deklnace udává v záporných hodnotách. Rovny rovnoběžné s rovnou rovníku protínají jednotkovou koul v kružncích, která nazýváme deklnační rovnoběžky. Po těchto rovnoběžkách vykonávají objekty svůj zdánlvý denní pohyb jako obraz skutečné rotace Země

28 Obr. 14: Rovníkové souřadnce II. druhu Druhá rovna se od rovníkových souřadnc I. druhu lší. Prvně s musíme nadefnovat pomocnou kružnc. Země obíhá kolem Slunce v rovně, která svírá s rovnou světového rovníku úhel přblžně 23,5. Tato rovna se nazývá rovnou eklptky. Pozorovatel na zemském povrchu se skutečný pohyb Země kolem Slunce jeví jako zdánlvý pohyb Slunce po obloze a to právě po této kružnc, která se nazývá eklptka. Eklptka protíná světový rovník ve dvou bodech. Průsečík, kterým prochází Slunce v den jarní rovnodennost se nazývá jarní bod. Ten to bod se obvykleoznačuje astrologckoastronomckým symbolem souhvězdí/znamení Berana. Druhý průsečík, kde se nalézá Slunce v den podzmní rovnodennost, se logcky nazývá podzmní bod a značí se astrologckoastronomckým symbolem Vah. Pomocnou základní rovnou rovníkových souřadnc II. druhu je deklnační rovna procházející právě jarním bodem. Takto vytvořenou deklnační kružnc zvolíme jako základní, nulovou. Polohu objektů v této souřadné soustavě určujeme pomocí jž předem defnované deklnace δ a rektascenze α. Rektascenze představuje úhel mez deklnační rovnou procházející měřeným objektem a deklnační rovnou procházející jarním bodem

29 Měří se v matematcky kladném směru, čl prot směru otáčení hodnových ručček. Dalo by se říc, že roste od jhu směrem k východu. Rektascenze je měřena v úhlech a může tak nabývat hodnot od do 36. Obvykle se udává v hodnové míře, čl nabývá hodnot od hodn po 24 hodn. Rovníkové souřadnce II. druhu jsou jž nezávslé na místě pozorování a na čase pozorování. Ale pro přesnost musíme uvést, že tato nezávslost není úplná. V případě těles sluneční soustavy má na výslednou polohu na obloze vlv přepočet geocentrckých poloh na topocentrcké, čl na poloze pozorovatele v případě Zem nebo pozorovatel blízkých objektů je tato souřadná soustava závslá. A je zde určtá závslost na čase, protože na přesné souřadnce má vlv nutace a precese, nebol pohyby souřadné soustavy způsobené změnam polohy rotační osy naší Země. Naštěstí, obojí jsme schopn vyjádřt matematcky a tudíž poměrně snadno transformovat polohu objektu na obloze v jednom místě na místo jné. 4.4 Eklptkální souřadncová soustava Pro některé specální výpočty, aby byl omezen počet mezstupňů př výpočtech, se používají specální souřadncové soustavy. Například pro výpočty pohybů objektů ve sluneční soustavě, a to jak planet, planetek č komet, se používá eklptkální souřadncová soustava. Základní rovnou, jak název napovídá, je rovna eklptky (eklptka je defnovaná u rovníkových souřadnc II. druhu). Hlavním směrem je směr kolmý k rovně eklptky, který protíná koul v pólech eklptky. Jnak, pokud jde o prncp, jde o ekvvalent rovníkových souřadnc II. druhu, jen místo světového rovníku je základní rovnou rovna eklptky

30 Obr. 15: Eklptkální souřadnce Šířkovou kružnc, která prochází jarním bodem, zvolíme jako výchozí čl nulovou. Poloha hvězdy v eklptkální souřadncové soustavě se vyjadřuje v eklptkální délce λ a eklptkální šířce β. Eklptkální délka představuje úhel, který svírá nulová šířkoví rovna s šířkovou rovnou proloženou měřeným objektem. Měří se od jarního bodu v matematcky kladném směru, čl prot směru hodnových ručček a dosahuje hodnot od do 36. Eklptkální šířka je úhel, který svírá směr k objektu s rovnou eklptky podél šířkové kružnce, čl nejkratší vzdálenost. Nabývá hodnot od -9 do +9, s kladným hodnotam pro severní polokoul a záporným pro polokoul jžní. 4.5 Galaktcká souřadncová soustava Další specální varantou souřadnc je galaktcká souřadncová soustava. Slouží specálně pro studum pohybu hvězd v naší Galax, Mléčné dráze. Je vlastně takovou analogí eklptkální souřadncové soustavy

31 Základní rovnou, jak název napovídá, je rovna naší Galaxe. Hlavním směrem je směr kolmý k rovně galaxe, který protíná koul ve dvou galaktckých pólech, severním a jžním. Jnak, pokud jde o prncp, jde o ekvvalent eklptkálních souřadnc, jen místo eklptky je základní rovnou rovna galaktcká. Obr. 16: Galaktcké souřadnce Šířkovou kružnc, která prochází jarním bodem, zvolíme opět jako výchozí čl nulovou. Poloha hvězdy v galaktcké souřadncové soustavě se vyjadřuje v galaktcké délce l a galaktcké šířce b. Galaktcká délka představuje úhel, který svírá nulová šířková rovna s šířkovou rovnou proloženou měřeným objektem. Měří se od jarního bodu v matematcky kladném směru, čl prot směru hodnových ručček a dosahuje hodnot od do 36. Galaktcká šířka je úhel, který svírá směr k objektu s rovnou galaxe podél šířkové kružnce, čl nejkratší vzdálenost. Nabývá hodnot od -9 do +9, s kladným hodnotam pro severní polokoul a záporným pro jžní polokoul

32 4.6 Převodní vztahy mez jednotlvým typy souřadncových systémů Astronomcké souřadnce lze pochoptelně mez sebou přepočítávat. Uvedeme základní přepočty používané v astronom. S ohledem na detalní pops souřadncových systémů v předchozích kaptolách uvedeme jen transformační rovnce [2,9] Transformace obzorníkových a rovníkových souřadnc cos z = sn ϕ sn δ + cos ϕ cos δ cos t (4.1) sn z sn A = cos δ sn t (4.2) h = 9 - z (4.3) sn δ = cos z sn ϕ - sn z cos ϕ cos A (4.4) cos δ cos t = cos z cos ϕ + sn z sn ϕ cos A (4.5) cos δ sn t = sn z sn A (4.6) α = t - θ (4.7) (t = hodnový úhel, θ = hvězdný čas) Transformace rovníkových a eklptkálních souřadnc sn λ cos β = sn δ sn ε +cos δ cos ε sn α (4.8) cos λ cos β = cos δ cos α (4.9) sn β = sn δ cos ε - cos δ sn ε sn α (4.1) sn α cos δ = - sn β sn ε + cos β cos ε sn λ (4.11) cos α cos δ = cos β cos λ (4.12) sn δ = sn β cos ε + cos β sn ε sn λ (4.13)

33 Obr. 17: Přehled souřadncových systémů Transformace rovníkových a galaktckých souřadnc sn l cos b = sn δ sn ε +cos δ cos ε sn α (4.14) cos l cos b = cos δ cos α (4.15) sn b = sn δ cos ε - cos δ sn ε sn α (4.16) sn α cos δ = - sn b sn ε + cos b cos ε sn l (4.17) cos α cos δ = cos b cos l (4.18) sn δ = sn b cos ε + cos b sn ε sn l (4.19)

34 5 Gnómoncká projekce Abychom mohl spočítat sfércké souřadnce nasnímaných objektů, v našem případě rovníkové souřadnce druhého druhu - rektascenz α a deklnac δ, ať už na fotografckých nebo CCD snímcích, musíme nejdříve zjstt, jakým způsobem se zobrazí do rovny snímku. Průmět kulové sféry na tečnou rovnu se nazývá gnómcká projekce [1,9]. 5.1 Vlastní projekce Pro vztah mez sférckým souřadncem objektů α a δ na nebeské sféře a pravoúhlým kartézským souřadncem x, y obrazu těchto objektů na snímku zavedeme tzv. deální č standardní souřadnce ξ a η. Ideální souřadnce určují tečnou rovnu snímku σ, která je rovnoběžná s rovnou záznamového zařízení, tj. fotografcké desky nebo CCD čpu. Tečná rovna se dotýká nebeské sféry v bodě O, který má souřadnce α a δ. Do tohoto bodu směřuje optcká osa záznamového zařízení, přesně z bodu O'. Body A a B na nebeské sféře představují objekty o souřadncích α a δ, jejch projekce do rovny je A' a B' a projekce do tečné rovny představují body A" a B"

35 Obr. 18: Gnómoncká projekce Transformační rovnce rovníkových souřadnc druhého druhu a deálních souřadnc tedy vycházejí z rovnc sfércké trgonometre. Transformační rovnce pro ξ : ( α α ) cotδ sn ξ = = sn α + cotδ cosδ cos( α α ) ( α α ) cosδ sn. (5.1) snα snδ + cosδ cosδ cos( α α ) - 3 -

ANALÝZA VZTAHU DVOU SPOJITÝCH VELIČIN

ANALÝZA VZTAHU DVOU SPOJITÝCH VELIČIN ANALÝZA VZTAHU DVOU SPOJITÝCH VELIČIN V dokumentu 7a_korelacn_a_regresn_analyza jsme řešl rozdíl mez korelační a regresní analýzou. Budeme se teď věnovat pouze lneárnímu vztahu dvou velčn, protože je nejjednodušší

Více

Sférická trigonometrie v matematické geografii a astronomii

Sférická trigonometrie v matematické geografii a astronomii Sférická trigonometrie v matematické geografii a astronomii Mgr. Hana Lakomá, Ph.D., Mgr. Veronika Douchová 00 Tento učební materiál vznikl v rámci grantu FRVŠ F1 066. 1 Základní pojmy sférické trigonometrie

Více

Energie elektrického pole

Energie elektrického pole Energe elektrckého pole Jž v úvodní kaptole jsme poznal, že nehybný (centrální elektrcký náboj vytváří v celém nekonečném prostoru slové elektrcké pole, které je konzervatvní, to znamená, že jakýkolv jný

Více

Základní jednotky v astronomii

Základní jednotky v astronomii v01.00 Základní jednotky v astronomii Ing. Neliba Vlastimil AK Kladno 2005 Délka - l Slouží pro určení vzdáleností ve vesmíru Základní jednotkou je metr metr je definován jako délka, jež urazí světlo ve

Více

Obr. 4 Změna deklinace a vzdálenosti Země od Slunce v průběhu roku

Obr. 4 Změna deklinace a vzdálenosti Země od Slunce v průběhu roku 4 ZÁKLADY SFÉRICKÉ ASTRONOMIE K posouzení proslunění budovy nebo oslunění pozemku je vždy nutné stanovit polohu slunce na obloze. K tomu slouží vztahy sférické astronomie slunce. Pro sledování změn slunečního

Více

MODELOVÁNÍ A SIMULACE

MODELOVÁNÍ A SIMULACE MODELOVÁNÍ A SIMULACE základní pojmy a postupy vytváření matematckých modelů na základě blancí prncp numerckého řešení dferencálních rovnc základy práce se smulačním jazykem PSI Základní pojmy matematcký

Více

Stanislav Olivík POROVNÁNÍ DVOU METOD HLEDÁNÍ ODRAZNÉHO BODU NA POVRCHU ELIPSOIDU

Stanislav Olivík POROVNÁNÍ DVOU METOD HLEDÁNÍ ODRAZNÉHO BODU NA POVRCHU ELIPSOIDU 5. KONFERENCE O GEOMETRII A POČÍTAČOVÉ GRAFICE Stanslav Olvík POROVNÁNÍ DVOU METOD HLEDÁNÍ ODRAZNÉHO BODU NA POVRCHU ELIPSOIDU Abstrakt Úlohou GPS altmetre je nalezení odrazného bodu sgnálu vyslaného z

Více

Astronomie jednoduchými prostředky. Miroslav Jagelka

Astronomie jednoduchými prostředky. Miroslav Jagelka Astronomie jednoduchými prostředky Miroslav Jagelka 20.10.2016 Když si vystačíte s kameny... Stonehenge (1600-3100 BC) Pyramidy v Gize (2550 BC) El Castilllo (1000 BC) ... nebo s hůlkou Gnomón (5000 BC)

Více

ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ V ROVINĚ

ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ V ROVINĚ ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ V ROVINĚ Parametrické vyjádření přímky v rovině Máme přímku p v rovině určenou body A, B. Sestrojíme vektor u = B A. Pro bod B tím pádem platí: B = A + u. Je zřejmé,

Více

Vzdálenosti ve sluneční soustavě: paralaxy a Keplerovy zákony

Vzdálenosti ve sluneční soustavě: paralaxy a Keplerovy zákony Vzdálenosti ve sluneční soustavě: paralaxy a Keplerovy zákony Astronomové při sledování oblohy zaznamenávají především úhly a pozorují něco, co se nazývá nebeská sféra. Nicméně, hvězdy nejsou od Země vždy

Více

ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE

ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE FAKULTA STAVEBNÍ OBOR GEODÉZIE A KARTOGRAFIE KATEDRA VYŠŠÍ GEODÉZIE název předmětu úloha/zadání název úlohy Geodetická astronomie 3/6 Aplikace keplerovského pohybu

Více

2. Kinematika bodu a tělesa

2. Kinematika bodu a tělesa 2. Kinematika bodu a tělesa Kinematika bodu popisuje těleso nebo také bod, který se pohybuje po nějaké trajektorii, křivce nebo jinak definované dráze v závislosti na poloze bodu na dráze, rychlosti a

Více

Filip Hroch. Astronomické pozorování. Filip Hroch. Výpočet polohy planety. Drahové elementy. Soustava souřadnic. Pohyb po elipse

Filip Hroch. Astronomické pozorování. Filip Hroch. Výpočet polohy planety. Drahové elementy. Soustava souřadnic. Pohyb po elipse ÚTFA,Přírodovědecká fakulta MU, Brno, CZ březen 2005 březnového tématu Březnové téma je věnováno klasické sférické astronomii. Úkol se skládá z měření, výpočtu a porovnání výsledků získaných v obou částech.

Více

Korelační energie. Celkovou elektronovou energii molekuly lze experimentálně určit ze vztahu. E vib. = E at. = 39,856, E d

Korelační energie. Celkovou elektronovou energii molekuly lze experimentálně určit ze vztahu. E vib. = E at. = 39,856, E d Korelační energe Referenční stavy Energ molekul a atomů lze vyjádřt vzhledem k různým referenčním stavům. V kvantové mechance za referenční stav s nulovou energí bereme stav odpovídající nenteragujícím

Více

SIMULACE. Numerické řešení obyčejných diferenciálních rovnic. Měřicí a řídicí technika magisterské studium FTOP - přednášky ZS 2009/10

SIMULACE. Numerické řešení obyčejných diferenciálních rovnic. Měřicí a řídicí technika magisterské studium FTOP - přednášky ZS 2009/10 SIMULACE numercké řešení dferencálních rovnc smulační program dentfkace modelu Numercké řešení obyčejných dferencálních rovnc krokové metody pro řešení lneárních dferencálních rovnc 1.řádu s počátečním

Více

VÝVOJ SOFTWARU NA PLÁNOVÁNÍ PŘESNOSTI PROSTOROVÝCH SÍTÍ PRECISPLANNER 3D. Martin Štroner 1

VÝVOJ SOFTWARU NA PLÁNOVÁNÍ PŘESNOSTI PROSTOROVÝCH SÍTÍ PRECISPLANNER 3D. Martin Štroner 1 VÝVOJ SOFWARU NA PLÁNOVÁNÍ PŘESNOSI PROSOROVÝCH SÍÍ PRECISPLANNER 3D DEVELOPMEN OF HE MEASUREMEN ACCURACY PLANNING OF HE 3D GEODEIC NES PRECISPLANNER 3D Martn Štroner 1 Abstract A software for modellng

Více

REGRESNÍ ANALÝZA. 13. cvičení

REGRESNÍ ANALÝZA. 13. cvičení REGRESNÍ ANALÝZA 13. cvčení Závslost náhodných velčn Závslost mez kvanttatvním proměnným X a Y: Funkční závslost hodnotam nezávsle proměnných je jednoznačně dána hodnota závslé proměnné. Y=f(X) Stochastcká

Více

Korekce souřadnic. 2s [ rad] R. malé změny souřadnic, které je nutno uvažovat při stanovení polohy astronomických objektů. výška pozorovatele

Korekce souřadnic. 2s [ rad] R. malé změny souřadnic, které je nutno uvažovat při stanovení polohy astronomických objektů. výška pozorovatele OPT/AST L07 Korekce souřadnic malé změny souřadnic, které je nutno uvažovat při stanovení polohy astronomických objektů výška pozorovatele konečný poloměr země R výška h objektu závisí na výšce s stanoviště

Více

Astronomická pozorování

Astronomická pozorování KLASICKÁ ASTRONOMIE Astronomická pozorování Základní úloha při pozorování nějakého děje, zejména pohybu těles je stanovení jeho polohy (rychlosti) v daném okamžiku Astronomie a poziční astronomie Souřadnicové

Více

Mechatronické systémy s elektronicky komutovanými motory

Mechatronické systémy s elektronicky komutovanými motory Mechatroncké systémy s elektroncky komutovaným motory 1. EC motor Uvedený motor je zvláštním typem synchronního motoru nazývaný též bezkartáčovým stejnosměrným motorem (anglcky Brushless Drect Current

Více

[ ] 6.2.2 Goniometrický tvar komplexních čísel I. Předpoklady: 4207, 4209, 6201

[ ] 6.2.2 Goniometrický tvar komplexních čísel I. Předpoklady: 4207, 4209, 6201 6.. Gonometrcký tvar kompleních čísel I Předpoklad: 07, 09, 60 Pedagogcká poznámka: Gonometrcký tvar kompleních čísel není pro student njak obtížný. Velm obtížné je pro student s po roce vzpomenout na

Více

Projekt: Inovace oboru Mechatronik pro Zlínský kraj Registrační číslo: CZ.1.07/1.1.08/

Projekt: Inovace oboru Mechatronik pro Zlínský kraj Registrační číslo: CZ.1.07/1.1.08/ Projekt: Inovace oboru Mechatronik pro Zlínský kraj Registrační číslo: CZ.1.07/1.1.08/03.0009 Zrcadla Zobrazení zrcadlem Zrcadla jistě všichni znáte z každodenního života ráno se do něj v koupelně díváte,

Více

ALGORITMUS SILOVÉ METODY

ALGORITMUS SILOVÉ METODY ALGORITMUS SILOVÉ METODY CONSISTENT DEFORMATION METHOD ALGORITHM Petr Frantík 1, Mchal Štafa, Tomáš Pal 3 Abstrakt Příspěvek se věnuje popsu algortmzace slové metody sloužící pro výpočet statcky neurčtých

Více

X = A + tu. Obr x = a 1 + tu 1 y = a 2 + tu 2, t R, y = kx + q, k, q R (6.1)

X = A + tu. Obr x = a 1 + tu 1 y = a 2 + tu 2, t R, y = kx + q, k, q R (6.1) .6. Analtická geometrie lineárních a kvadratických útvarů v rovině. 6.1. V této kapitole budeme studovat geometrické úloh v rovině analtick, tj. lineární a kvadratické geometrické útvar vjádříme pomocí

Více

ZÁKLADNÍ ZOBRAZOVACÍ METODY

ZÁKLADNÍ ZOBRAZOVACÍ METODY ZÁKLADNÍ ZOBRAZOVACÍ METODY Prostorové útvary zobrazujeme do roviny pomocí promítání, což je jisté zobrazení trojrozměrného prostoru (uvažujme rozšířený Eukleidovský prostor) do roviny, které je zadáno

Více

4. Statika základní pojmy a základy rovnováhy sil

4. Statika základní pojmy a základy rovnováhy sil 4. Statika základní pojmy a základy rovnováhy sil Síla je veličina vektorová. Je určena působištěm, směrem, smyslem a velikostí. Působiště síly je bod, ve kterém se přenáší účinek síly na těleso. Směr

Více

AXONOMETRIE. Rozměry ve směru os (souřadnice bodů) jsou násobkem příslušné jednotky.

AXONOMETRIE. Rozměry ve směru os (souřadnice bodů) jsou násobkem příslušné jednotky. AXONOMETRIE 1) Princip, základní pojmy Axonometrie je rovnoběžné promítání do průmětny různoběžné se souřadnicovými rovinami. Kvádr v axonometrii : {O,x,y,z} souřadnicový systém XYZ - axonometrická průmětna

Více

Soutěžní úlohy části A a B (12. 6. 2012)

Soutěžní úlohy části A a B (12. 6. 2012) Soutěžní úlohy části A a B (1. 6. 01) Pokyny k úlohám: Řešení úlohy musí obsahovat rozbor problému (náčrtek dané situace), základní vztahy (vzorce) použité v řešení a přesný postup (stačí heslovitě). Nestačí

Více

REKONSTRUKCE ASTROLÁBU POMOCÍ STEREOGRAFICKÉ PROJEKCE

REKONSTRUKCE ASTROLÁBU POMOCÍ STEREOGRAFICKÉ PROJEKCE REKONTRUKCE ATROLÁBU POMOCÍ TEREOGRAFICKÉ PROJEKCE Václav Jára 1 1 tereografická projekce a její vlastnosti tereografická projekce kulové plochy je středové promítání z bodu této kulové plochy do tečné

Více

Rychlost, zrychlení, tíhové zrychlení

Rychlost, zrychlení, tíhové zrychlení Úloha č. 3 Rychlost, zrychlení, tíhové zrychlení Úkoly měření: 1. Sestavte nakloněnou rovinu a změřte její sklon.. Změřte závislost polohy tělesa na čase a stanovte jeho rychlost a zrychlení. 3. Určete

Více

9. Měření kinetiky dohasínání fluorescence ve frekvenční doméně

9. Měření kinetiky dohasínání fluorescence ve frekvenční doméně 9. Měření knetky dohasínání fluorescence ve frekvenční doméně Gavolův experment (194) zdroj vzorek synchronní otáčení fázový posun detektor Měření dob žvota lumnscence Frekvenční doména - exctace harmoncky

Více

Transformace dat mezi různými datovými zdroji

Transformace dat mezi různými datovými zdroji Transformace dat mezi různými datovými zdroji Zpracovali: Datum prezentace: BUČKOVÁ Dagmar, BUC061 MINÁŘ Lukáš, MIN075 09. 04. 2008 Obsah Základní pojmy Souřadnicové systémy Co to jsou transformace Transformace

Více

Identifikace práce. Žák jméno příjmení věk. Bydliště ulice, č.p. město PSČ. Škola ulice, č.p. město PSČ

Identifikace práce. Žák jméno příjmení věk. Bydliště ulice, č.p. město PSČ. Škola ulice, č.p. město PSČ vyplňuje žák Identifikace práce Žák jméno příjmení věk Bydliště ulice, č.p. město PSČ vyplňuje škola Učitel jméno příjmení podpis Škola ulice, č.p. město PSČ jiný kontakt (např. e-mail) A. Přehledový test

Více

Čísla a aritmetika. Řádová čárka = místo, které odděluje celou část čísla od zlomkové.

Čísla a aritmetika. Řádová čárka = místo, které odděluje celou část čísla od zlomkové. Příprava na cvčení č.1 Čísla a artmetka Číselné soustavy Obraz čísla A v soustavě o základu z: m A ( Z ) a z (1) n kde: a je symbol (číslce) z je základ m je počet řádových míst, na kterých má základ kladný

Více

Astronavigace. Zdeněk Halas KDM MFF UK, Aplikace matem. pro učitele

Astronavigace. Zdeněk Halas KDM MFF UK, Aplikace matem. pro učitele Základní princip Zdeněk Halas KDM MFF UK, 2011 Aplikace matem. pro učitele Zdeněk Halas (KDM MFF UK, 2011) Aplikace matem. pro učitele 1 / 13 Tradiční metody Tradiční navigační metody byly v nedávné době

Více

Numerické výpočty ve světovém geodetickém referenčním systému 1984 (WGS84)

Numerické výpočty ve světovém geodetickém referenčním systému 1984 (WGS84) Numercké výpočty ve světovém geodetckém referenčním systému 984 (WGS84) prof. Mara Ivanovna Jurkna, DrSc. CNIIGAK, Moskva prof. Ing. Mloš Pck, DrSc. Geofyzkální ústav ČAV, Praha Vojenský geografcký obzor,

Více

GEOMETRICKÁ OPTIKA. Znáš pojmy A. 1. Znázorni chod význačných paprsků pro spojku. Čočku popiš a uveď pro ni znaménkovou konvenci.

GEOMETRICKÁ OPTIKA. Znáš pojmy A. 1. Znázorni chod význačných paprsků pro spojku. Čočku popiš a uveď pro ni znaménkovou konvenci. Znáš pojmy A. Znázorni chod význačných paprsků pro spojku. Čočku popiš a uveď pro ni znaménkovou konvenci. Tenká spojka při zobrazování stačí k popisu zavést pouze ohniskovou vzdálenost a její střed. Znaménková

Více

Výslednice, rovnováha silové soustavy.

Výslednice, rovnováha silové soustavy. Výslednce, ovnováha slové soustavy. Základy mechanky, 2. přednáška Obsah přednášky : výslednce a ovnováha slové soustavy, ovnce ovnováhy, postoová slová soustava Doba studa : as 1,5 hodny Cíl přednášky

Více

Referenční plochy a souřadnice na těchto plochách Zeměpisné, pravoúhlé, polární a kartografické souřadnice

Referenční plochy a souřadnice na těchto plochách Zeměpisné, pravoúhlé, polární a kartografické souřadnice Referenční plochy a souřadnice na těchto plochách Zeměpisné, pravoúhlé, polární a kartografické souřadnice Kartografie přednáška 5 Referenční plochy souřadnicových soustav slouží k lokalizaci bodů, objektů

Více

Staré mapy TEMAP - elearning

Staré mapy TEMAP - elearning Staré mapy TEMAP - elearnng Modul 4 Kartometrcké analýzy Ing. Markéta Potůčková, Ph.D., 2013 Přírodovědecká fakulta UK v Praze Katedra aplkované geonformatky a kartografe Kartometre a kartometrcké vlastnost

Více

h n i s k o v v z d á l e n o s t s p o j n ý c h č o č e k

h n i s k o v v z d á l e n o s t s p o j n ý c h č o č e k h n i s k o v v z d á l e n o s t s p o j n ý c h č o č e k Ú k o l : P o t ř e b : Změřit ohniskové vzdálenosti spojných čoček různými metodami. Viz seznam v deskách u úloh na pracovním stole. Obecná

Více

Fyzikální sekce přírodovědecké fakulty Masarykovy univerzity v Brně FYZIKÁLNÍ PRAKTIKUM. Fyzikální praktikum 2

Fyzikální sekce přírodovědecké fakulty Masarykovy univerzity v Brně FYZIKÁLNÍ PRAKTIKUM. Fyzikální praktikum 2 Fyzikální sekce přírodovědecké fakulty Masarykovy univerzity v Brně FYZIKÁLNÍ PRAKTIKUM Fyzikální praktikum 2 Zpracoval: Markéta Kurfürstová Naměřeno: 16. října 2012 Obor: B-FIN Ročník: II Semestr: III

Více

Cyklografie. Cyklický průmět bodu

Cyklografie. Cyklický průmět bodu Cyklografie Cyklografie je nelineární zobrazovací metoda - bodům v prostoru odpovídají kružnice v rovině a naopak. Úlohy v rovině pak převádíme na řešení prostorových úloh, např. pomocí cyklografie řešíme

Více

Iterační výpočty. Dokumentace k projektu pro předměty IZP a IUS. 22. listopadu projekt č. 2

Iterační výpočty. Dokumentace k projektu pro předměty IZP a IUS. 22. listopadu projekt č. 2 Dokumentace k projektu pro předměty IZP a IUS Iterační výpočty projekt č.. lstopadu 1 Autor: Mlan Setler, setl1@stud.ft.vutbr.cz Fakulta Informačních Technologí Vysoké Učení Techncké v Brně Obsah 1 Úvod...

Více

CHYBY MĚŘENÍ. uvádíme ve tvaru x = x ± δ.

CHYBY MĚŘENÍ. uvádíme ve tvaru x = x ± δ. CHYBY MĚŘENÍ Úvod Představte s, že máte změřt délku válečku. Použjete posuvné měřítko a získáte určtou hodnotu. Pamětlv přísloví provedete ještě jedno měření. Ale ouha! Výsledek je jný. Co dělat? Měřt

Více

Určení tvaru vnějšího podhledu objektu C" v areálu VŠB-TU Ostrava

Určení tvaru vnějšího podhledu objektu C v areálu VŠB-TU Ostrava Acta Montanstca lovaca Ročník 0 (005), číslo, 3-7 Určení tvaru vnějšího podhledu objektu C" v areálu VŠB-TU Ostrava J. chenk, V. Mkulenka, J. Mučková 3, D. Böhmová 4 a R. Vala 5 The determnaton of the

Více

ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE

ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE FAKULTA STAVEBNÍ OBOR GEODÉZIE A KARTOGRAFIE KATEDRA VYŠŠÍ GEODÉZIE název předmětu úloha/zadání název úlohy Vyšší geodézie 1 2/3 GPS - Výpočet drah družic školní rok

Více

Momenty setrvačnosti a deviační momenty

Momenty setrvačnosti a deviační momenty Momenty setrvačnosti a deviační momenty Momenty setrvačnosti a deviační momenty charakterizují spolu shmotností a statickými momenty hmoty rozložení hmotnosti tělesa vprostoru. Jako takové se proto vyskytují

Více

Základní pojmy Zobrazení zrcadlem, Zobrazení čočkou Lidské oko, Optické přístroje

Základní pojmy Zobrazení zrcadlem, Zobrazení čočkou Lidské oko, Optické přístroje Optické zobrazování Základní pojmy Zobrazení zrcadlem, Zobrazení čočkou Lidské oko, Optické přístroje Základní pojmy Optické zobrazování - pomocí paprskové (geometrické) optiky - využívá model světelného

Více

Definice Tečna paraboly je přímka, která má s parabolou jediný společný bod,

Definice Tečna paraboly je přímka, která má s parabolou jediný společný bod, 5.4 Parabola Parabola je křivka, která vznikne řezem rotační kuželové plochy rovinou, jestliže odchylka roviny řezu od osy kuželové plochy je stejná jako odchylka povrchových přímek plochy a rovina řezu

Více

Rovinné přetvoření. Posunutí (translace) TEORIE K M2A+ULA

Rovinné přetvoření. Posunutí (translace) TEORIE K M2A+ULA Rovinné přetvoření Rovinné přetvoření, neboli, jak se také často nazývá, geometrická transformace je vlastně lineární zobrazení v prostoru s nějakou soustavou souřadnic. Jde v něm o přepočet souřadnic

Více

Teorie sférické trigonometrie

Teorie sférické trigonometrie Teorie sférické trigonometrie Trigonometrie (z řeckého trigónon = trojúhelník a metrein= měřit) je oblast goniometrie zabývající se praktickým užitím goniometrických funkcí při řešení úloh o trojúhelnících.

Více

í I - 13 - Průchod a rozptyl záření gama ve vrstvách materiálu Prof. Ing. J. Šeda, DrSc. KDAIZ - PJPI

í I - 13 - Průchod a rozptyl záření gama ve vrstvách materiálu Prof. Ing. J. Šeda, DrSc. KDAIZ - PJPI - 13 - í Průchod a rozptyl záření gama ve vrstvách materálu Prof. ng. J. Šeda, DrSc. KDAZ - PJP Na našem pracovšt byl vypracován program umožňující modelovat průchod záření gama metodou Monte Carlo, homogenním

Více

Michal Zamboj. December 23, 2016

Michal Zamboj. December 23, 2016 Meziřádky mezi kuželosečkami - doplňkový materiál k přednášce Geometrie Michal Zamboj December 3, 06 Pozn. Najdete-li chybu, neváhejte mi napsat, může to ušetřit tápání Vašich kolegů. Pozn. v dokumentu

Více

4. Matematická kartografie

4. Matematická kartografie 4. Země má nepravidelný tvar, který je dán půsoením mnoha sil, zejména gravitační a odstředivé (vzhledem k rotaci Země). Odstředivá síla způsouje, že tvar Země je zploštělý, tj. zemský rovník je dále od

Více

POTENCIÁL ELEKTRICKÉHO POLE ELEKTRICKÉ NAPĚTÍ

POTENCIÁL ELEKTRICKÉHO POLE ELEKTRICKÉ NAPĚTÍ POTENCIÁL ELEKTRICKÉHO POLE ELEKTRICKÉ NAPĚTÍ ELEKTRICKÝ POTENCIÁL Elektrcká potencální energe Newtonův zákon pro gravtační sílu mm F = G r 1 2 2 Coulombův zákon pro elektrostatckou sílu QQ F = k r 1 2

Více

37. PARABOLA V ANALYTICKÉ GEOMETRII

37. PARABOLA V ANALYTICKÉ GEOMETRII 37.. Napiš rovnici paraboly, která má osu rovnoběžnou s osou y a prochází body A 0; 60, B 4; 8, C 8;36. 0m p60n 4m p8n 8m p36n m p pn 0 6 8 6 mm p pn 64 6 7 3 mm p pn 6 8m64 p 3 64 6m9 p Je-li osa rovnoběžná

Více

Registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/ Elektronická podpora zkvalitnění výuky CZ.1.07 Vzděláním pro konkurenceschopnost

Registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/ Elektronická podpora zkvalitnění výuky CZ.1.07 Vzděláním pro konkurenceschopnost Registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/34.0553 Elektronická podpora zkvalitnění výuky CZ.1.07 Vzděláním pro konkurenceschopnost Projekt je realizován v rámci Operačního programu Vzdělávání pro konkurence

Více

1. Spektrální rozklad samoadjungovaných operátorů 1.1. Motivace Vlastní čísla a vlastní vektory symetrické matice 1 1 A = 1 2.

1. Spektrální rozklad samoadjungovaných operátorů 1.1. Motivace Vlastní čísla a vlastní vektory symetrické matice 1 1 A = 1 2. . Spektrální rozklad samoadjungovaných operátorů.. Motvace Vlastní čísla a vlastní vektory symetrcké matce A = A λe = λ λ = λ 3λ + = λ 3+ λ 3 Vlastní čísla jsou λ = 3+, λ = 3. Pro tato vlastní čísla nalezneme

Více

Regresní a korelační analýza

Regresní a korelační analýza Regresní a korelační analýza Závslost příčnná (kauzální). Závslostí pevnou se označuje případ, kdy výskytu jednoho jevu nutně odpovídá výskyt druhé jevu (a často naopak). Z pravděpodobnostního hledska

Více

Příklady k analytické geometrii kružnice a vzájemná poloha kružnice a přímky

Příklady k analytické geometrii kružnice a vzájemná poloha kružnice a přímky Příklady k analytické geometrii kružnice a vzájemná poloha kružnice a přímky Př. 1: Určete rovnice všech kružnic, které procházejí bodem A = * 6; 9+, mají střed na přímce p: x + 3y 18 = 0 a jejich poloměr

Více

Geometrická optika. předmětu. Obrazový prostor prostor za optickou soustavou (většinou vpravo), v němž může ležet obraz - - - 1 -

Geometrická optika. předmětu. Obrazový prostor prostor za optickou soustavou (většinou vpravo), v němž může ležet obraz - - - 1 - Geometrická optika Optika je část fyziky, která zkoumá podstatu světla a zákonitosti světelných jevů, které vznikají při šíření světla a při vzájemném působení světla a látky. Světlo je elektromagnetické

Více

Příprava ke státním maturitám 2011, vyšší úroveň obtížnosti materiál stažen z www.e-matematika.cz

Příprava ke státním maturitám 2011, vyšší úroveň obtížnosti materiál stažen z www.e-matematika.cz Příprava ke státním maturtám 0, všší úroveň obtížnost materál stažen z wwwe-matematkacz 80 60 Jsou dána čísla s 90, t 5 0 Ve stejném tvaru (součn co nejmenšího přrozeného čísla a mocnn deset) uveďte čísla

Více

Výpočet vzdálenosti Země Slunce pozorováním přechodu Venuše před Sluncem

Výpočet vzdálenosti Země Slunce pozorováním přechodu Venuše před Sluncem Výpočet vzdálenosti Země Slunce pozorováním přechodu Venuše před Sluncem Podle mateiálu ESO přeložil Rostislav Halaš Úkol: Změřit vzdálenost Země Slunce (tzv. astronomickou jednotku AU) pozorováním přechodu

Více

1.1 Napište středovou rovnici kružnice, která má střed v počátku soustavy souřadnic a prochází bodem

1.1 Napište středovou rovnici kružnice, která má střed v počátku soustavy souřadnic a prochází bodem Analytická geometrie - kružnice Napište středovou rovnici kružnice, která má střed v počátku soustavy souřadnic a prochází bodem A = ; 5 [ ] Napište středový i obecný tvar rovnice kružnice, která má střed

Více

1.6.9 Keplerovy zákony

1.6.9 Keplerovy zákony 1.6.9 Keplerovy zákony Předpoklady: 1608 Pedagogická poznámka: K výkladu této hodiny používám freewareový program Celestia (3D simulátor vesmíru), který umožňuje putovat vesmírem a sledovat ho z různých

Více

1 Analytická geometrie

1 Analytická geometrie 1 Analytická geometrie 11 Přímky Necht A E 3 a v R 3 je nenulový Pak p = A + v = {X E 3 X = A + tv, t R}, je přímka procházející bodem A se směrovým vektorem v Rovnici X = A + tv, t R, říkáme bodová rovnice

Více

PLANETA ZEMĚ A JEJÍ POHYBY. Maturitní otázka č. 1

PLANETA ZEMĚ A JEJÍ POHYBY. Maturitní otázka č. 1 PLANETA ZEMĚ A JEJÍ POHYBY Maturitní otázka č. 1 TVAR ZEMĚ Geoid = skutečný tvar Země Nelze vyjádřit matematicky Rotační elipsoid rovníkový poloměr = 6 378 km vzdálenost od středu Země k pólu = 6 358 km

Více

Kapitola 2. o a paprsek sil lze ztotožnit s osou x (obr.2.1). sil a velikost rovnou algebraickému součtu sil podle vztahu R = F i, (2.

Kapitola 2. o a paprsek sil lze ztotožnit s osou x (obr.2.1). sil a velikost rovnou algebraickému součtu sil podle vztahu R = F i, (2. Kapitola 2 Přímková a rovinná soustava sil 2.1 Přímková soustava sil Soustava sil ležící ve společném paprsku se nazývá přímková soustava sil [2]. Působiště všech sil m i lze posunout do společného bodu

Více

Pro mapování na našem území bylo použito následujících souřadnicových systémů:

Pro mapování na našem území bylo použito následujících souřadnicových systémů: SOUŘADNICOVÉ SYSTÉMY Pro mapování na našem území bylo použito následujících souřadnicových systémů: 1. SOUŘADNICOVÉ SYSTÉMY STABILNÍHO KATASTRU V první polovině 19. století bylo na našem území mapováno

Více

základy astronomie 1 praktikum 6. Pozorování dalekohledem

základy astronomie 1 praktikum 6. Pozorování dalekohledem základy astronomie 1 praktikum 6. Pozorování dalekohledem 1 Úvod Oko bylo základním přístrojem astronoma, základním detektorem světla po dlouhá staletí ba tisíciletí, a zůstalo jím dokonce i tři století

Více

NUMERICAL INTEGRATION AND DIFFERENTIATION OF SAMPLED TIME SIGNALS BY USING FFT

NUMERICAL INTEGRATION AND DIFFERENTIATION OF SAMPLED TIME SIGNALS BY USING FFT NUMERICAL INTEGRATION AND DIFFERENTIATION OF SAMPLED TIME SIGNALS BY USING FFT J. Tuma Summary: The paper deals wth dfferentaton and ntegraton of sampled tme sgnals n the frequency doman usng the FFT and

Více

Souřadnicové výpočty I.

Souřadnicové výpočty I. Geodézie přednáška 7 Souřadnicové výpočt I. Ústav geoinformačních technologií Lesnická a dřevařská fakulta ugt.mendelu.cz tel.: 545134015 Výpočet směrníku a délk stran v základním i podrobném bodovém poli

Více

VLIV VELIKOSTI OBCE NA TRŽNÍ CENY RODINNÝCH DOMŮ

VLIV VELIKOSTI OBCE NA TRŽNÍ CENY RODINNÝCH DOMŮ VLIV VELIKOSTI OBCE NA TRŽNÍ CENY RODINNÝCH DOMŮ Abstrakt Martn Cupal 1 Prncp tvorby tržní ceny nemovtost je sce založen na tržní nabídce a poptávce, avšak tento trh je značně nedokonalý. Nejvíce ovlvňuje

Více

A[a 1 ; a 2 ; a 3 ] souřadnice bodu A v kartézské soustavě souřadnic O xyz

A[a 1 ; a 2 ; a 3 ] souřadnice bodu A v kartézské soustavě souřadnic O xyz 1/15 ANALYTICKÁ GEOMETRIE Základní pojmy: Soustava souřadnic v rovině a prostoru Vzdálenost bodů, střed úsečky Vektory, operace s vektory, velikost vektoru, skalární součin Rovnice přímky Geometrie v rovině

Více

Pozorování dalekohledy. Umožňují pozorovat vzdálenější a méně jasné objekty (až stonásobně více než pouhým okem). Dají se použít jakékoli dalekohledy

Pozorování dalekohledy. Umožňují pozorovat vzdálenější a méně jasné objekty (až stonásobně více než pouhým okem). Dají se použít jakékoli dalekohledy Vesmírná komunikace Pozorování Za nejběžnější vesmírnou komunikaci lze označit pozorování vesmíru pouhým okem (možno vidět okolo 7000 objektů- hvězdy, planety ).Je to i nejstarší a nejběžnější prostředek.

Více

1. Jak probíhá FOTOSYNTÉZA? Do šipek doplň látky, které rostlina při fotosyntéze přijímá a které uvolňuje.

1. Jak probíhá FOTOSYNTÉZA? Do šipek doplň látky, které rostlina při fotosyntéze přijímá a které uvolňuje. 1. Jak probíhá FOTOSYNTÉZA? Do šipek doplň látky, které rostlina při fotosyntéze přijímá a které uvolňuje. I. 2. Doplň: HOUBY Nepatří mezi ani tvoří samostatnou skupinu živých. Živiny čerpají z. Houby

Více

prostorová definice (viz obrázek vlevo nahoře): elipsa je průsečnou křivkou rovinného

prostorová definice (viz obrázek vlevo nahoře): elipsa je průsečnou křivkou rovinného Elipsa Výklad efinice a ohniskové vlastnosti prostorová definice (viz obrázek vlevo nahoře): elipsa je průsečnou křivkou rovinného řezu na rotační kuželové ploše, jestliže řezná rovina není kolmá k ose

Více

Vektorové prostory R ( n 1,2,3)

Vektorové prostory R ( n 1,2,3) n Vektorové prostory R ( n 1,2,) (Velikonoční doplněk ke cvičení LAG) Prvky kartézské mocniny R RR R jsou uspořádané trojice reálných čísel, které spolu s operacemi ( a1, a2, a) ( b1, b2, b) ( a1b1, a2

Více

Elementární křivky a plochy

Elementární křivky a plochy Příloha A Elementární křivky a plochy A.1 Analytický popis geometrických objektů Geometrické vlastnosti, které jsme dosud studovali, se týkaly především základních geometrických objektů bodů, přímek, rovin

Více

Stereofotogrammetrie

Stereofotogrammetrie Stereootogrammetrie Princip stereoskopického vidění a tzv. yziologické paralaxy Paralaxa je relativní změna v poloze stacionárních objektů způsobená změnou v geometrii pohledu. horizontální yziologická

Více

Projekt: Inovace oboru Mechatronik pro Zlínský kraj Registrační číslo: CZ.1.07/1.1.08/ Zobrazení čočkou

Projekt: Inovace oboru Mechatronik pro Zlínský kraj Registrační číslo: CZ.1.07/1.1.08/ Zobrazení čočkou Projekt: Inovace oboru Mechatronik pro Zlínský kraj Registrační číslo: CZ.1.07/1.1.08/03.0009 Zobrazení čočkou Čočky, stejně jako zrcadla, patří pro mnohé z nás do běžného života. Někdo nosí brýle, jiný

Více

Úvod do předmětu geodézie

Úvod do předmětu geodézie 1/1 Úvod do předmětu geodézie Ing. Hana Staňková, Ph.D. IGDM, HGF, VŠB-TU Ostrava hana.stankova@vsb.cz A911, 5269 1 Geodézie 1/2 vědní obor o měření části zemského povrchu, o určování vzájemných vztahů

Více

3. Obecný rovinný pohyb tělesa

3. Obecný rovinný pohyb tělesa . Obecný rovinný pohyb tělesa Při obecném rovinném pohybu tělesa leží dráhy jeho jednotlivých bodů v navzájem rovnoběžných rovinách. Těmito dráhami jsou obecné rovinné křivky. Všechny body ležící na téže

Více

ZÁKLADNÍ PLANIMETRICKÉ POJMY

ZÁKLADNÍ PLANIMETRICKÉ POJMY ZÁKLADNÍ PLANIMETRICKÉ POJMY Základní geometrické pojmy jsou bod, přímka a rovina. Geometrie je chápána jako část matematiky, která se zabývá studiem geometrických útvarů v rovině. Body určujeme jako průsečíky

Více

pracovní list studenta

pracovní list studenta Výstup RVP: Klíčová slova: pracovní list studenta Funkce kvadratická funkce Mirek Kubera žák načrtne grafy požadovaných funkcí, formuluje a zdůvodňuje vlastnosti studovaných funkcí, modeluje závislosti

Více

6. Geometrie břitu, řezné podmínky. Abychom mohli určit na nástroji jednoznačně jeho geometrii, zavádíme souřadnicový systém tvořený třemi rovinami:

6. Geometrie břitu, řezné podmínky. Abychom mohli určit na nástroji jednoznačně jeho geometrii, zavádíme souřadnicový systém tvořený třemi rovinami: 6. Geometrie břitu, řezné podmínky Abychom mohli určit na nástroji jednoznačně jeho geometrii, zavádíme souřadnicový systém tvořený třemi rovinami: Základní rovina Z je rovina rovnoběžná nebo totožná s

Více

Ukázkové řešení úloh ústředního kola kategorie EF A) Úvodní test

Ukázkové řešení úloh ústředního kola kategorie EF A) Úvodní test Ukázkové řešení úloh ústředního kola kategorie EF A) Úvodní test 1. Ve kterém městě je pohřben Tycho Brahe? [a] v Kodani [b] v Praze [c] v Gdaňsku [d] v Pise 2. Země je od Slunce nejdál [a] začátkem ledna.

Více

Zavádění inovativních metod a výukových materiálů do přírodovědných předmětů na Gymnáziu v Krnově 07_10_Zobrazování optickými soustavami 1

Zavádění inovativních metod a výukových materiálů do přírodovědných předmětů na Gymnáziu v Krnově 07_10_Zobrazování optickými soustavami 1 Zavádění inovativních metod a výukových materiálů do přírodovědných předmětů na Gymnáziu v Krnově 07_10_Zobrazování optickými soustavami 1 Ing. Jakub Ulmann Zobrazování optickými soustavami 1. Optické

Více

ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE

ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE FAKULTA STAVEBNÍ OBOR GEODÉZIE A KARTOGRAFIE KATEDRA VYŠŠÍ GEODÉZIE název předmětu úloha/zadání název úlohy Vyšší geodézie 1 3/3 GPS - výpočet polohy stanice pomocí

Více

b) Po etní ešení Všechny síly soustavy tedy p eložíme do po átku a p ipojíme p íslušné dvojice sil Všechny síly soustavy nahradíme složkami ve sm

b) Po etní ešení Všechny síly soustavy tedy p eložíme do po átku a p ipojíme p íslušné dvojice sil Všechny síly soustavy nahradíme složkami ve sm b) Početní řešení Na rozdíl od grafického řešení určíme při početním řešení bod, kterým nositelka výslednice bude procházet. Mějme soustavu sil, která obsahuje n - sil a i - silových dvojic obr.36. Obr.36.

Více

Západočeská univerzita v Plzni Fakulta aplikovaných věd Katedra matematiky. Bakalářská práce. Zpracování výsledků vstupních testů z matematiky

Západočeská univerzita v Plzni Fakulta aplikovaných věd Katedra matematiky. Bakalářská práce. Zpracování výsledků vstupních testů z matematiky Západočeská unverzta v Plzn Fakulta aplkovaných věd Katedra matematky Bakalářská práce Zpracování výsledků vstupních testů z matematky Plzeň, 13 Tereza Pazderníková Prohlášení Prohlašuj, že jsem bakalářskou

Více

ČAS, KALENDÁŘ A ASTRONOMIE

ČAS, KALENDÁŘ A ASTRONOMIE ČAS, KALENDÁŘ A ASTRONOMIE Čas Založen na základě praktických zkušeností s následností dějů Je vzájemně vázán s existencí hmoty a prostoru, umožňuje rozhodnout o následnosti dějů, neexistuje možnost zpětné

Více

Astronomie, sluneční soustava

Astronomie, sluneční soustava Základní škola Nový Bor, náměstí Míru 128, okres Česká Lípa, příspěvková organizace e mail: info@zsnamesti.cz; www.zsnamesti.cz; telefon: 487 722 010; fax: 487 722 378 Registrační číslo: CZ.1.07/1.4.00/21.3267

Více

5.2.3 Duté zrcadlo I. Předpoklady: 5201, 5202

5.2.3 Duté zrcadlo I. Předpoklady: 5201, 5202 5.2.3 Duté zrcadlo I Předpoklady: 520, 5202 Dva druhy dutých zrcadel: Kulové zrcadlo = odrazivá plocha zrcadla je částí kulové plochy snazší výroba, ale horší zobrazení (pro přesné zobrazení musíme použít

Více

Spojité regulátory - 1 -

Spojité regulátory - 1 - Spojté regulátory - 1 - SPOJIÉ EGULÁOY Nespojté regulátory mají většnou jednoduchou konstrukc a jsou levné, ale jsou nevhodné tím, že neudržují regulovanou velčnu přesně na žádané hodnotě, neboť regulovaná

Více

Část A strana A 1. (14 b) (26 b) (60 b) (100 b)

Část A strana A 1. (14 b) (26 b) (60 b) (100 b) Část A strana A 1 Bodové hodnocení vyplňuje komise! část A B C Celkem body (14 b) (26 b) (60 b) (100 b) Pokyny k testovým otázkám: U následujících otázek zakroužkuj vždy právě jednu správnou odpověď. Zmýlíš-li

Více

(3) Vypočítejte moment setrvačnosti kvádru vzhledem k zadané obecné ose rotace.

(3) Vypočítejte moment setrvačnosti kvádru vzhledem k zadané obecné ose rotace. STUDUM OTÁčENÍ TUHÉHO TěLESA TEREZA ZÁBOJNÍKOVÁ 1. Pracovní úkol (1) Změřte momenty setrvačnosti kvádru vzhledem k hlavním osám setrvačnosti. (2) Určete složky jednotkového vektoru ve směru zadané obecné

Více

GEOGRAFICKÁ SLUŽBA ARMÁDY ČESKÉ REPUBLIKY

GEOGRAFICKÁ SLUŽBA ARMÁDY ČESKÉ REPUBLIKY GEOGRAFICKÁ SLUŽBA ARMÁDY ČESKÉ REPUBLIKY VOJENSKÝ GEOGRAFICKÝ A HYDROMETEOROLOGICKÝ ÚŘAD Popis a zásady používání světového geodetického referenčního systému 1984 v AČR POPIS A ZÁSADY POUŽÍVÁNÍ V AČR

Více

KLASICKÁ MECHANIKA. Předmětem mechaniky matematický popis mechanického pohybu v prostoru a v čase a jeho příčiny.

KLASICKÁ MECHANIKA. Předmětem mechaniky matematický popis mechanického pohybu v prostoru a v čase a jeho příčiny. MECHANIKA 1 KLASICKÁ MECHANIKA Předmětem mechaniky matematický popis mechanického pohybu v prostoru a v čase a jeho příčiny. Klasická mechanika rychlosti těles jsou mnohem menší než rychlost světla ve

Více