CHYBY MĚŘENÍ. uvádíme ve tvaru x = x ± δ.

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "CHYBY MĚŘENÍ. uvádíme ve tvaru x = x ± δ."

Transkript

1 CHYBY MĚŘENÍ Úvod Představte s, že máte změřt délku válečku. Použjete posuvné měřítko a získáte určtou hodnotu. Pamětlv přísloví provedete ještě jedno měření. Ale ouha! Výsledek je jný. Co dělat? Měřt ještě jednou, desetkrát nebo kolkrát ještě? Jaká hodnota je ta pravá? Jná stuace: Teore praví, že ta a ta fyzkální velčna má nabývat určté hodnoty. Vaším úkolem je přesvědčt se o tom. Provedete měření. Velce pravděpodobně naměřená hodnota nebude stejná s teoretckou. Znamená to, že teore neplatí? Pro odpověď na tyto otázky se musíme obrátt na teor chyb. Ta nám umožní ohodnott kvaltu měření a na výše uvedené otázky odpovědět. Základním axomem, který musíme vždy podržet v pamět je: ŽÁDNÉ MĚŘENÍ NENÍ DOBRÝM MĚŘENÍM, POKUD NENÍ URČENA JEHO CHYBA. (Pozn.: Můžeme, a často je to nutné, mluvt o chybě teoretckých výsledků. Tím se však zde nebudeme zabývat.) Podrobný výklad teore chyb zde není možný, uvedeme proto jen základní pojmy a výsledky této teore. Chybou měření ε budeme rozumět rozdíl mez naměřenou hodnotou x m a skutečnou (pravou) hodnotou x měřené velčny X. Je tedy ε = x m x. Problém je, že skutečnou hodnotu měřené velčny neznáme a nemůžeme tedy takto chybu spočítat! (Pozor! Tabulková hodnota není skutečnou hodnotou! Je to také výsledek měření, a jako takový známý jen přblžně. Stejně není skutečnou hodnotou teoretcká předpověď: skutečnost může být jná než teore předvídá.) Teore chyb proto musí skutečnou hodnotu odhadnout a také odhadnout přesnost tohoto odhadu. Jedné měření k odhadu chyby nestačí není s čím srovnávat. Je proto třeba měřt vícekrát. (Mohl bychom sce použít chybu danou přístrojem, ale další naměřená hodnota může být jná.) Úkolem teore chyb je tedy na základě souboru měření najít nejlepší odhad x o skutečné hodnoty x měřené velčny X (v podstatě takový, aby rozptyl naměřených hodnot byl nejmenší) a určt jak přesný tento odhad je, tj. stanovt jeho absolutní chybu δ x o. Tato chyba není odchylkou od skutečné hodnoty (jak se často student domnívají), ale charakterzuje velkost ntervalu, v němž můžeme s nějakou dohodnutou pravděpodobností očekávat, že bude skutečná hodnota ležet. Standardně se volí pravděpodobnost výskytu skutečné hodnoty v ntervalu ( xo δ xo, xo + δ xo ) rovna 0, (vz dále). Výsledek pak uvádíme ve tvaru x = x ± δ. o x o 1

2 Kvaltu měření pak hodnotíme buď pomocí této absolutní chyby, nebo častěj pomocí chyby relatvní, defnované jako podíl absolutní chyby a odhadované hodnoty: ξ x o = δ xo / xo. Relatvní chyba je bezrozměrná, nebo j vyjadřujeme v procentech (po vynásobení čntelem 100). Toto vyjádření chyby odpovídá lépe logartmcké reakc našch smyslů běžné ntuc. (Zjevně je něco jného obdržet záslku uhlí na zmu s přesností jeden klogram a znát se stejnou absolutní chybou velkost rodnných zásob zlata. Zde je evdentně výhodnější uvést přesnost pomocí relatvní chyby.) Chyby obvykle rozdělujeme na soustavné a náhodné. Soustavné chyby, zvané též systematcké, jednosměrně zkreslují výsledek měření. Jsou dány metodou měření (tzv. chyba metody jde pak o ne zcela vhodně provedené měření), kvaltou přístrojů (tzv. přístrojová chyba, kterou obvykle lze na základě údajů výrobce odhadnout) a kvaltou prováděných měření (tzv. osobní chyba). Soustavnou chybu nelze odstrant výpočtem. Projeví se až porovnáváním daného měření s měřením provedeným jnou metodou, s měřením provedeným jným (lepším) přístroj nebo jným osobam. Je-l ovšem chyba jž zjštěna, můžeme provést odpovídající korekce. V rámc fyzkálního praktka by měly být zvolené metody dostatečně vhodné a přístroje dostatečně kvaltní. Náhodné chyby jsou dány ne úplně kontrolovatelným vnějším (tlak, teplota, vlhkost vzduchu, elektromagnetcké rušení, vbrace, sesmcké vlvy,...) a vntřním (kolísání měřené velčny, tepelný šum, ) vlvy. Obecně předpokládáme, že takové vlvy jsou malé, že je jch mnoho a že přblžně se stejnou pravděpodobností zvyšují nebo snžují měřenou velčnu. Nestejnost výsledků měření nterpretujeme jako důsledek přítomnost náhodných chyb a metody teore pravděpodobnost využívané v teor chyb nám dovolí tuto skutečnost kvantfkovat. Může se také stát, že mez naměřeným hodnotam je údaj, který je na první pohled zjevně výrazně odlšný. Vznkl nejspíše nepozorností, č nějakým netypckým ovlvněním systému. Takovéto chybě říkáme hrubá. Níže uvedeme konvenční pravdlo pro vyřazení takovéhoto údaje ze souboru naměřených hodnot. Dále se postupně zaměříme na určení odhadu výsledku měření a odhadu chyby v případě přímých měření. Ukážeme, jak provádět odhady chyb měřcích přístrojů. Uvedeme, jak zvolt optmální počet měření a kdy je možno vyškrtnout hrubou chybu. Poté se budeme věnovat odhadu výsledku měření a odhadu chyby pro nepřímé měření. Specálně se budeme věnovat chybám parametrů funkčních (lneárních a na lneární převodtelných) závslostí. Nakonec ukážeme, v jaké podobě uvádíme výsledky měření. A. Přímé měření fyzkální velčny zatížené náhodnou chybou Proveďme N měření fyzkální velčny X. Výsledky měření nechť jsou x 1,, x N. Zajímá nás, jaký je nejlepší odhad x o skutečné hodnoty x měřené velčny X a s jak velkou chybou δ x je určen. o 13

3 Budeme předpokládat, že rozložení náhodných chyb je takové, že nejlepším odhadem skutečné hodnoty je artmetcký průměr: 1 x = x. N To je např. splněno, je-l rozložení chyb dáno tzv. Gaussovým rozdělením (též zvaným normální). Pravděpodobnost dp, že chyba měřené hodnoty x m x leží v ntervalu ( ε, ε + dε) je pak dána vztahem 1 ε d p = G ( ε ) dε =.exp dε π. σ σ, kde parametr σ (tzv. směrodatná odchylka) charakterzuje šířku Gaussova rozdělení, a tím velkost očekávatelné chyby. Funkce G(ε) má význam hustoty pravděpodobnost, tj. pravděpodobnost přpadající na chybu jednotkové velkost (obr. 1). Pravděpodobnost výskytu chyby v nějakém ntervalu ε 1, ε zjstíme pak ntegrací uvedeného výrazu. hustota pravděpodobnost G( ) 0,683 0,1355 0,1355 0,017 0,017 0, , Obr. 1 Gaussovo rozdělení hustota pravděpodobnost Pravděpodobnost výskytu chyby ε jedné naměřené hodnoty uvntř určtého ntervalu je rovna velkost plochy (pod křvkou) vymezené hrancem tohoto ntervalu. (P ±σ = 0,683, P ±σ = 0, ,1355 = 0,954, P ±3σ = P ±σ + 0,017 = 0,9974, P ± = 1) Matematkové umějí dokázat, že pro nekonečně mnoho nekonečně malých náhodných vlvů dostaneme Gaussovo rozdělení přesně (tzv. centrální lmtní věta). Pro fyzkální stuace nemusí a často an nemůže (např. u velčn, které jsou vždy kladné) Gaussovo rozdělení popsovat rozdělení chyb. Předpokládá se ale, že odchylky artmetckých průměrů od skutečné hodnoty jsou už rozloženy podle Gaussova rozdělení. Pro dostatečně velké soubory měření, kde N 30, jž bývá tento předpoklad splněn. (Př menším počtu měření, jak tomu bývá ve fyzkálním praktku, s pouze hrajeme na správný výpočet. Můžeme ovšem provést korekc 14

4 na malý počet měření pomocí tzv. Studentova rozdělení odhad očekávané chyby se pak zvětší.) Je možno dokázat, že rozdělení chyb artmetckých průměrů (získal bychom je z mnoha měření po N hodnotách, přčemž z každé N-tce hodnot by se vypočítal jeden artmetcký průměr) je N -krát užší než je rozdělení chyb jednotlvých naměřených hodnot. Lze vypočítat, že parametr σ Gaussova rozdělení je roven střední kvadratcké odchylce od skutečné hodnoty: ( ε ) σ = ε G dε. Velčna σ se nazývá rozptyl a lze jej odhadnout pomocí tzv. výběrového rozptylu naměřených hodnot od průměru, tj. velčny 1 s = ( x x). N 1 Ukazuje se, že nejlepší odhad rozptylu je σ s. Rozptyl σ, jenž charakterzuje rozdělení odchylek (chyb) artmetckých průměrů od skutečné hodnoty, bude pak N-krát menší: ( x x) σ σ =, tj. N N ( N 1) ( x x) σ σ =. N N ( N 1) Pro hodnocení přesnost měření se používá tzv. směrodatná (nazývaná též standardní nebo střední kvadratcká) chyba artmetckého průměru, která je rovna parametru σ. Výsledek měření pak konvenčně vyjadřujeme takto: Naměřená hodnota velčny X je rovna x ±σ. Pro správné pochopení výrazu x ± σ je vhodné s uvědomt tuto skutečnost: Pravděpodobnost, že chyba měření bude menší než E dostaneme ntegrací Gaussova rozdělení (vz obr. 1): E 1 ε E E p( E) = exp dε = Φ Φ, π. σ σ σ σ E 1 z z kde Φ( z) = e dz π je tzv. gaussovská dstrbuční funkce chyb, která bývá často tabelována. Provedeme-l ntegrac v mezích σ až + σ zjstíme, že pravděpodobnost výskytu chyby našeho artmetckého průměru v ntervalu ( σ, + σ ) je 0, (tečky symbolzují další neuváděná desetnná místa). Máme tedy 68,3% pravděpodobnost, že náš artm. průměr leží v oblast ± σ okolo skutečné hodnoty. Nebo obráceně: máme 68,3% pravděpodobnost, že skutečná hodnota leží v oblast ± σ okolo našeho průměru. Pokud bychom např krát změřl N hodnot a vypočetl 15

5 z nch 1000 artmetckých průměrů, pak přblžně 683 získaných průměrů bude ležet v oblast ± σ kolem skutečné hodnoty. Vdíme, že změření N hodnot a určení artmetckého průměru je vlastně náhodný výběr jednoho průměru z nekonečného množství potencálně možných artmetckých průměrů. Pro prax jsou důležté ještě následující případy: Pravděpodobnost chyby menší než: ± σ je 0,954..., ± 3σ je 0, , ± 0,674...σ je 0,5. Nejníže uvedená chyba se nazývá pravděpodobná a v dřívějších dobách byla užívána jako charakterstka chyby měření. Chybu o velkost 3σ nazýváme krajní. Pokud j použjeme, máme pravděpodobnost, že skutečná hodnota leží vně ntervalu ( x 3σ, x + 3σ ) as 0,007 tedy praktcky nulovou. Poznámka: Chyba σ je ovšem také jen odhadnuta. Lze ukázat, že chyba chyby ční přblžně δ σ σ ( N 1), což pro N = 50 dává chybu chyby as 10 %! Nemá tedy smysl uvádět ve výsledcích chybu přílš přesně. Doplňme nyní, kdy je možno vyloučt ze souboru měření hrubou chybu H. Můžeme to udělat tehdy, je-l její výskyt málo pravděpodobný. K tomu stačí, aby se příslušná naměřená hodnota lšla od artmetckého průměru o více než 3 σ. B. Odhad přístrojové chyby Protože není možno se věnovat odhadu přístrojové chyby obecně, omezíme se jen na dva nejvýznamnější případy: 1) Chyba čtení stupnce a dspleje Pro odhad chyby měření na stupnc se předpokládá, že skutečná hodnota leží s přblžně konstantní pravděpodobností v ntervalu ± 1/ dílku. Rozdělení odchylek tedy v tomto případě není gaussovské, ale přblžně obdélníkové, šroké 1 dílek. Směrodatnou chybu pak získáme (tak, aby byla rovna střední kvadratcké odchylce od skutečné hodnoty) jako odmocnnu z ntegrálu kvadrátů odchylek přes toto rozdělení. Výsledkem pak bude hodnota = 0, , 3 dílku. Jako směrodatnou chybu stupnce budeme proto uvažovat 0,3 dílku. Měřcí přístroje s dgtálním výstupem zaokrouhlují sgnál na poslední platnou číslc, přčemž rozdělení odchylek je opět přblžně rovnoměrné v ntervalu ± 1/ řádu poslední číslce dspleje. Směrodatná chyba proto bude opět 0,3 řádu poslední číslce. ) Chyba elektrckých měřcích přístrojů udávaná výrobcem Starší ručkové elektrcké měřcí přístroje mají uvedenu tzv. třídu přesnost, udávající kolk procent zvoleného rozsahu ční maxmální možná chyba. Např. třída přesnost 0, znamená, že maxmální absolutní chyba ční 0, % rozsahu, bez ohledu na to, jakou hodnotu na daném rozsahu právě měříme. (Rozsah proto volíme tak, aby výchylka ručky zasahovala do horní třetny stupnce, jnak neúměrně narůstá relatvní chyba měření.) 16

6 U novějších přístrojů bývá maxmální chyba udávána předpsem výrobce např. jako součet procentové chyby rozsahu a procentové chyby měřeného údaje nebo jako součet procentové chyby údaje a určtého počtu jednotek posledního místa dspleje. (vz odst. Dgtální měřcí přístroje na str. 37) Zbývá otázka, jak tuto maxmální chybu nterpretovat. Protože se zde také předpokládá přblžně rovnoměrné (obdélníkové) rozdělení odchylek o šířce ± 1 maxmální chyba, bude odpovídající směrodatná chyba rovna ,6 maxmální chyby. Nakonec je třeba se zmínt o problematce skládání chyb. Někdy musíme např. uvážt jak chybu stupnce, tak náhodnou chybu č chybu udanou výrobcem. Pro celkovou chybu σ vznklou skládáním nezávslých chyb σ 1 a σ platí: σ = σ 1 + σ (obdobně př skládání více chyb). Z daného výrazu vyplývají tyto závěry: 1) Je-l jedna z chyb více než 3 menší než druhá, lze j zanedbat. Celkovou chybu to ovlvní o méně než 5,5 %, což je vzhledem k nepřesnost určení chyby zanedbatelné. ) Protože náhodná chyba průměru s velkostí souboru obvykle klesá jako 1 N, může její hodnota být př dostatečně velkém N lbovolně malá. Optmální počet měření pak zřejmě odpovídá případu, kdy je tato chyba zanedbatelná vzhledem k přístrojové chybě č chybě stupnce, tj. je alespoň 3 menší. C. Chyba nepřímo měřené velčny Zatím jsme se zabýval stanovením chyby přímého měření, často ovšem fyzkální velčny měříme nepřímo. Pak je daná velčna funkcí několka přímo měřených velčn. (Např. hustotu látky zjšťujeme na základě měření hmotnost a objemu. Výsledná hustota je pak podílem těchto velčn.) Je-l výsledná velčna Z dána funkcí přímo měřených velčn A, B, C,, tj. Z = f (A, B, C, ), pak, pokud relatvní chyby ξ a, ξ b, ξ c, velčn A, B, C, jsou dostatečně malé (malost ovšem závsí na tvaru funkce f), pro vyhodnocení výsledku platí: 1) Rozumný odhad z o skutečné hodnoty z velčny Z, je dán funkcí f odhadů a o, b o, c o, příslušných velčnám A, B, C, : z o = f (a o, b o, c o, ). ( Rozumný proto, že tento odhad není vždy nejlepší např. artmetcký průměr kvadrátů je vždy větší než kvadrát artmetckého průměru. Obecně však tento odhad použtelný je.) ) Odhad směrodatné chyby σ z je dán vztahem kde σ a, σ b, f f f σ z = σ a + σ b + σ c + K, a b c σ, jsou směrodatné chyby velčn A, B, C,. c 17

7 Toto je tzv. věta o přenosu chyby. Výše uvedená dvě tvrzení umožňují výpočet odhadu skutečné hodnoty nepřímo měřené velčny a její směrodatné chyby. Specálně pro součet a rozdíl přímo měřených velčn dostaneme a ± b a σ = σ + σ a vztah pro chybu výrazu a m b n, kde m a n jsou číselné parametry (součn velčn odpovídá m = n = 1, podíl m = 1, n = 1), můžeme elegantně zapsat ve tvaru: b m n ( a b ) ( mξa) ( nξb) ξ = +, kde ξ a a ξ b jsou relatvní směrodatné chyby výchozích velčn. (Rozšíření vzorců na případ více velčn je přímočaré.) Ve vztazích vyjadřujících nepřímo měřené velčny často vystupují konstanty. Nechceme-l zvětšt chybu výsledné velčny, je třeba, pokud je to možné, vyjádřt konstantu tak přesně, aby její příspěvek k celkové chybě byl zanedbatelný. Obyčejně volíme relatvní chybu konstanty o řád menší než je velkost ostatních chyb. Není-l to možné, je zapotřebí započítat chybu příslušné konstanty. D. Lneární regrese a její chyba Často nezjšťujeme výslednou velčnu jako funkční vyjádření jných přímo měřených velčn, ale jako parametr vyjadřující charakter závslost měřených velčn. Příkladem může být určení elektrckého odporu na základě voltampérové charakterstky. Níže se omezíme na lneární závslost mez vystupujícím velčnam. Procedura je ovšem použtelná pro závslost převodtelné, např. logartmováním, na lneární. Předpokládejme, že máme dvě řady souvsejících velčn x a y ( = 1 N) a že jejch vzájemná závslost je vyjádřtelná ve tvaru: y = k.x + q. Nejlepším odhadem parametrů k a q, ve smyslu nejmenšího součtu kvadratckých odchylek, je: ( x x) y k = x x a q = y k. x. ( ) V těchto výrazech pruh označuje artmetcký průměr. Geometrcky se jedná o proložení přímky daným (naměřeným) body. Druhá rovnce zjevně říká, že přímka prochází těžštěm bodů grafu. Nalezení optmální přímky aproxmující daná data se nazývá úlohou (jednoduché) lneární regrese. Chyby parametrů k a q jsou dány vztahy: ( y k. x q) ( x x) 1 σ k = a N σ q 1 x = + ( ) N x x ( y k. x q) N 18

8 Víme-l, že parametr q má být roven nule (jde tedy o přímou úměrnost a hledaná přímka prochází počátkem), pak nejlepší odhad směrnce a její chyba jsou dány vztahy: x y k, = x ( y k. x ) = 1 σ k. N 1 x E. Konečný tvar výsledku měření Výslednou hodnotu měřené velčny píšeme ve tvaru : MĚŘENÁ VELIČINA = VÝSLEDNÁ HODNOTA ± SMĚRODATNÁ CHYBA Směrodatná chyba je určena značně nepřesně (s přesností horší než 10 % vz výše), a proto j zaokrouhlujeme na jednu platnou cfru. Pouze v případě, že první cfrou je číslce 1, zaokrouhlujeme na dvě platné cfry. Za platné se považují všechny cfry kromě nul vlevo od první nenulové cfry. Např. číslo 0,0170 má tř platné cfry. Cfra nula na konc je platná číslo je tím udáno s přesností na desettsícny. Vynechání této nuly sníží přesnost čísla desetkrát. Číslo má pět platných cfer a chceme-l jej uvést pouze na tř platné cfry, musíme použít tvaru 1, ! Výslednou hodnotu zaokrouhlujeme na tolk míst, kolk jch má (jž zaokrouhlená) chyba. Ta korguje poslední (resp. dvě poslední) cfry výsledku. Př konečném zápsu využíváme často exponencálního tvaru zápsu čísel: např. číslo 3 44 ± 679 zaokrouhlíme a zapíšeme jako (34 ± 7).10. Přpomeňme ještě, že zaokrouhlujeme podle hodnoty výrazu za poslední platnou cfrou: Je-l větší než 5, zaokrouhlujeme nahoru, je-l menší pak dolů. V případě, že je výraz přesně roven 5, zaokrouhlujeme nahoru, je-l předchozí cfra lchá, a dolů, je-l sudá (pro vyrovnání statstky zaokrouhlování). Příklady zápsu: Správně: 1,50 ± 0,0 0,6 ± 0,3 0,3 ± 0, ± 9 (3,0 ± 0,) km/s Nesprávně: 1,5 ± 0,0 0,56 ± 0,3 0,341 ± 0, ,1 ± ± 0000 km/s Závěr Zjstl jsme, jak určovat odhad skutečné hodnoty měřené velčny a jeho chybu na základě měření. Odpověděl jsme tak na první otázku z počátku kaptoly. Budeme-l mít více souborů měření téže velčny, pak zjštěné odhady hodnoty a směrodatné chyby nejspíše nebudou zcela stejné. Tyto hodnoty pak můžeme snadno porovnat takto: dva odhady výsledku měření budeme považovat 19

9 za souhlasné, pokud jejch rozdíl bude v absolutní hodnotě menší než dvojnásobek směrodatné chyby, která je v daném případě rovna σ = σ 1 + σ, kde σ 1 a σ jsou směrodatné chyby těchto odhadů. (Odpovídá to vytvoření rozdílu obou odhadů a testování, kdy je tento rozdíl nulový.) Pravděpodobnost, že odhady souhlasí, ale my je na základě tohoto testu označíme (nesprávně) za odlšné, ční cca 5 %. Pokud je rozdíl odhadů větší než dvě a menší než tř směrodatné odchylky σ, považujeme stuac za nerozhodnou a vyžadující další měření. Je-l rozdíl větší než 3 σ, považujeme výsledky za různé, a tedy nesouhlasící. Umíme tedy porovnávat soubory měření. (Souborem měření je tabulková hodnota!) Porovnání s teoretckým výsledkem provádíme obdobně. Teoretcký výsledek charakterzujeme parametry x t a σ t (teoretcká hodnota a její směrodatná chyba teoretcká chyba nebývá vždy uvedena: pak j budeme považovat za zanedbatelnou). Pak s představíme teoretcký výsledek jako kdyby to byl soubor měřených dat, reprezentovaný parametry x t a σ t a porovnáme jej s našm naměřeným daty. Experment pak souhlasí s teorí, pokud se rozdíl expermentální a teoretcké hodnoty nelší v absolutní hodnotě o více než dvě směrodatné chyby σ = σ t + σ e, kde σ e je směrodatná chyba našeho měření. I druhá otázka ze začátku kaptoly je tedy odpovězena. Zpracováno podle normy European Cooperaton for Accredtaton of Laboratores EAL R (vyd. 1997). STRUČNÝ POSTUP PŘI VÝPOČTU CHYB SHRNUTÍ V běžných případech můžeme použít schéma výpočtu chyb zobrazené na obr. 1 na následující straně. Př měření každé z velčn A, B, C, je třeba rozhodnout, zda j měřt vícekrát (N-krát), nebo jen jednou. Nejdříve tedy provedeme několk zkušebních měření a pokud se jednotlvá měření velčny vzájemně lší, musíme měřt vícekrát a data zpracovat statstcky podle kaptoly Chyby měření, odst. A. Vychází-l zkušební měření stále stejně, stačí samozřejmě uvažovat jedné. V obou případech je nutné ještě př měření stanovt chybu použtého měřcího přístroje a sloučt j s chybou statstckou (ve druhém případě rovnou nule). Stanovení hodnot jednotlvých chyb je uvedeno v předcházející kaptole. Pops některých měřcích přístrojů a stanovení jejch chyb je uveden v kaptole Přístroje užívané ve fyzkálním praktku. 0

10 1

Korelační energie. Celkovou elektronovou energii molekuly lze experimentálně určit ze vztahu. E vib. = E at. = 39,856, E d

Korelační energie. Celkovou elektronovou energii molekuly lze experimentálně určit ze vztahu. E vib. = E at. = 39,856, E d Korelační energe Referenční stavy Energ molekul a atomů lze vyjádřt vzhledem k různým referenčním stavům. V kvantové mechance za referenční stav s nulovou energí bereme stav odpovídající nenteragujícím

Více

6. Demonstrační simulační projekt generátory vstupních proudů simulačního modelu

6. Demonstrační simulační projekt generátory vstupních proudů simulačního modelu 6. Demonstrační smulační projekt generátory vstupních proudů smulačního modelu Studjní cíl Na příkladu smulačního projektu představeného v mnulém bloku je dále lustrována metodka pro stanovování typů a

Více

Energie elektrického pole

Energie elektrického pole Energe elektrckého pole Jž v úvodní kaptole jsme poznal, že nehybný (centrální elektrcký náboj vytváří v celém nekonečném prostoru slové elektrcké pole, které je konzervatvní, to znamená, že jakýkolv jný

Více

Laboratorní práce č. 1: Měření délky

Laboratorní práce č. 1: Měření délky Přírodní vědy moderně a interaktivně FYZIKA 3. ročník šestiletého a 1. ročník čtyřletého studia Laboratorní práce č. 1: Měření délky G Gymnázium Hranice Přírodní vědy moderně a interaktivně FYZIKA 3.

Více

ina ina Diskrétn tní náhodná veličina může nabývat pouze spočetně mnoha hodnot (počet aut v náhodně vybraná domácnost, výsledek hodu kostkou)

ina ina Diskrétn tní náhodná veličina může nabývat pouze spočetně mnoha hodnot (počet aut v náhodně vybraná domácnost, výsledek hodu kostkou) Náhodná velčna na Výsledek náhodného pokusu, daný reálným číslem je hodnotou náhodné velčny. Náhodná velčna je lbovolná reálná funkce defnovaná na množně elementárních E pravděpodobnostního prostoru S.

Více

9. Měření kinetiky dohasínání fluorescence ve frekvenční doméně

9. Měření kinetiky dohasínání fluorescence ve frekvenční doméně 9. Měření knetky dohasínání fluorescence ve frekvenční doméně Gavolův experment (194) zdroj vzorek synchronní otáčení fázový posun detektor Měření dob žvota lumnscence Frekvenční doména - exctace harmoncky

Více

2 Zpracování naměřených dat. 2.1 Gaussův zákon chyb. 2.2 Náhodná veličina a její rozdělení

2 Zpracování naměřených dat. 2.1 Gaussův zákon chyb. 2.2 Náhodná veličina a její rozdělení 2 Zpracování naměřených dat Důležitou součástí každé experimentální práce je statistické zpracování naměřených dat. V této krátké kapitole se budeme věnovat určení intervalů spolehlivosti získaných výsledků

Více

Transformace dat a počítačově intenzivní metody

Transformace dat a počítačově intenzivní metody Transformace dat a počítačově ntenzvní metody Jří Mltký Katedra textlních materálů, Textlní fakulta, Techncká unversta v Lberc, Lberec, e- mal jr.mltky@vslb.cz Mlan Meloun, Katedra analytcké cheme, Unversta

Více

Zkouškový test z fyzikální a koloidní chemie

Zkouškový test z fyzikální a koloidní chemie Zkouškový test z fyzkální a kolodní cheme VZOR/1 jméno test zápočet průměr známka Čas 9 mnut. Povoleny jsou kalkulačky. Nejsou povoleny žádné písemné pomůcky. Uotázeksvýběrema,b,c...odpověd b kroužkujte.platí:

Více

1.2. Postup výpočtu. , [kwh/(m 3.a)] (6)

1.2. Postup výpočtu. , [kwh/(m 3.a)] (6) 1. Stavebn energetcké vlastnost budov Energetcké chování budov v zním období se v současné době hodnotí buď s pomocí průměrného součntele prostupu tepla nebo s pomocí měrné potřeby tepla na vytápění. 1.1.

Více

LOGICKÉ OBVODY J I Ř Í K A L O U S E K

LOGICKÉ OBVODY J I Ř Í K A L O U S E K LOGICKÉ OBVODY J I Ř Í K A L O U S E K Ostrava 2006 Obsah předmětu 1. ČÍSELNÉ SOUSTAVY... 2 1.1. Číselné soustavy - úvod... 2 1.2. Rozdělení číselných soustav... 2 1.3. Polyadcké číselné soustavy... 2

Více

ČVUT FEL. X16FIM Finanční Management. Semestrální projekt. Téma: Optimalizace zásobování teplem. Vypracoval: Marek Handl

ČVUT FEL. X16FIM Finanční Management. Semestrální projekt. Téma: Optimalizace zásobování teplem. Vypracoval: Marek Handl ČVUT FEL X16FIM Fnanční Management Semestrální projekt Téma: Optmalzace zásobování teplem Vypracoval: Marek Handl Datum: květen 2008 Formulace úlohy Pro novou výstavbu 100 bytových jednotek je třeba zvolt

Více

Čísla a aritmetika. Řádová čárka = místo, které odděluje celou část čísla od zlomkové.

Čísla a aritmetika. Řádová čárka = místo, které odděluje celou část čísla od zlomkové. Příprava na cvčení č.1 Čísla a artmetka Číselné soustavy Obraz čísla A v soustavě o základu z: m A ( Z ) a z (1) n kde: a je symbol (číslce) z je základ m je počet řádových míst, na kterých má základ kladný

Více

1. Úvod do základních pojmů teorie pravděpodobnosti

1. Úvod do základních pojmů teorie pravděpodobnosti 1. Úvod do záladních pojmů teore pravděpodobnost 1.1 Úvodní pojmy Většna exatních věd zobrazuje své výsledy rgorózně tj. výsledy jsou zísávány na záladě přesných formulí a jsou jejch nterpretací. em je

Více

VOLBA HODNOTÍCÍCH KRITÉRIÍ VE VEŘEJNÝCH ZAKÁZKÁCH

VOLBA HODNOTÍCÍCH KRITÉRIÍ VE VEŘEJNÝCH ZAKÁZKÁCH VOLBA HODNOTÍCÍCH KRITÉRIÍ VE VEŘEJNÝCH ZAKÁZKÁCH THE CHOICE OF EVALUATION CRITERIA IN PUBLIC PROCUREMENT Martn Schmdt Masarykova unverzta, Ekonomcko-správní fakulta m.schmdt@emal.cz Abstrakt: Článek zkoumá

Více

MATEMATICKO STATISTICKÉ PARAMETRY ANALYTICKÝCH VÝSLEDKŮ

MATEMATICKO STATISTICKÉ PARAMETRY ANALYTICKÝCH VÝSLEDKŮ MATEMATICKO STATISTICKÉ PARAMETRY ANALYTICKÝCH VÝSLEDKŮ Má-li analytický výsledek objektivně vypovídat o chemickém složení vzorku, musí splňovat určitá kriteria: Mezinárodní metrologický slovník (VIM 3),

Více

STATISTIKA (pro navazující magisterské studium)

STATISTIKA (pro navazující magisterské studium) Slezská unverzta v Opavě Obchodně podnkatelská fakulta v Karvné STATISTIKA (pro navazující magsterské studum) Jaroslav Ramík Karvná 007 Jaroslav Ramík, Statstka Jaroslav Ramík, Statstka 3 OBSAH MODULU

Více

Časová hodnota peněz ve finančním rozhodování podniku. 1.1. Význam faktoru času a základní metody jeho vyjádření

Časová hodnota peněz ve finančním rozhodování podniku. 1.1. Význam faktoru času a základní metody jeho vyjádření Časová hodnota peněz ve fnančním rozhodování podnku 1.1. Význam faktoru času a základní metody jeho vyjádření Fnanční rozhodování podnku je ovlvněno časem. Peněžní prostředky získané dnes mají větší hodnotu

Více

INŽ ENÝ RSKÁ MECHANIKA 2002

INŽ ENÝ RSKÁ MECHANIKA 2002 Ná dní konference s mezná dní účastí INŽ ENÝ RSÁ MECHANIA 00 1. 16. 5. 00, Svratka, Č eská republka PODRITICÝ RŮ ST TRHLINY VE SVAROVÉ M SPOJI OMORY PŘ EHŘÍVÁ U Jan ouš, Ondřej Belak 1 Abstrakt: V důsledku

Více

Hodina 50 Strana 1/14. Gymnázium Budějovická. Hodnocení akcií

Hodina 50 Strana 1/14. Gymnázium Budějovická. Hodnocení akcií Hodina 50 Strana /4 Gymnázium Budějovická Volitelný předmět Ekonomie - jednoletý BLOK ČÍSLO 8 Hodnocení akcií Předpokládaný počet : 9 hodin Použitá literatura : František Egermayer, Jan Kožíšek Statistická

Více

2.POPIS MĚŘENÉHO PŘEDMĚTU Měřený předmětem jsou v tomto případě polovodičové diody, jejich údaje jsou uvedeny v tabulce:

2.POPIS MĚŘENÉHO PŘEDMĚTU Měřený předmětem jsou v tomto případě polovodičové diody, jejich údaje jsou uvedeny v tabulce: REDL 3.EB 8 1/14 1.ZADÁNÍ a) Změřte voltampérovou charakteristiku polovodičových diod pomocí voltmetru a ampérmetru v propustném i závěrném směru. b) Sestrojte grafy =f(). c) Graficko početní metodou určete

Více

Teorie efektivních trhů (E.Fama (1965))

Teorie efektivních trhů (E.Fama (1965)) Teore efektvních trhů (E.Fama (965)) Efektvní efektvní zpracování nových nformací Efektvní trh trh, který rychle a přesně absorbuje nové nf. Ceny II (akcí) náhodná procházka Předpoklady: na trhu partcpuje

Více

Konverze kmitočtu Štěpán Matějka

Konverze kmitočtu Štěpán Matějka 1.Úvod teoretcký pops Konverze kmtočtu Štěpán Matějka Směšovač měnč kmtočtu je obvod, který přeměňuje vstupní sgnál s kmtočtem na výstupní sgnál o kmtočtu IF. Někdy bývá tento proces označován také jako

Více

Numerické výpočty ve světovém geodetickém referenčním systému 1984 (WGS84)

Numerické výpočty ve světovém geodetickém referenčním systému 1984 (WGS84) Numercké výpočty ve světovém geodetckém referenčním systému 984 (WGS84) prof. Mara Ivanovna Jurkna, DrSc. CNIIGAK, Moskva prof. Ing. Mloš Pck, DrSc. Geofyzkální ústav ČAV, Praha Vojenský geografcký obzor,

Více

SÍŤOVÁ ANALÝZA. Základní pojmy síťové analýzy. u,. Sjednocením množin { u, u,..., 2. nazýváme grafem G.

SÍŤOVÁ ANALÝZA. Základní pojmy síťové analýzy. u,. Sjednocením množin { u, u,..., 2. nazýváme grafem G. SÍŤOVÁ ANALÝZA Využívá grafcko-analytcké metody pro plánování, řízení a kontrolu složtých návazných procesů. yto procesy se daí rozložt na dílčí a organzačně spolu souvseící čnnost. yto procesy se nazývaí

Více

MOŽNOSTI PREDIKCE DYNAMICKÉHO CHOVÁNÍ LOPAT OBĚŽNÝCH KOL KAPLANOVÝCH A DÉRIAZOVÝCH TURBÍN.

MOŽNOSTI PREDIKCE DYNAMICKÉHO CHOVÁNÍ LOPAT OBĚŽNÝCH KOL KAPLANOVÝCH A DÉRIAZOVÝCH TURBÍN. MOŽNOSTI PREDIKCE DYNAMICKÉHO CHOVÁNÍ LOPAT OBĚŽNÝCH KOL KAPLANOVÝCH A DÉRIAZOVÝCH TURBÍN. Mroslav VARNER, Vktor KANICKÝ, Vlastslav SALAJKA ČKD Blansko Strojírny, a. s. Anotace Uvádí se výsledky teoretckých

Více

Jiří Militky Škály měření Nepřímá měření Teorie měření Kalibrace

Jiří Militky Škály měření Nepřímá měření Teorie měření Kalibrace Tetlní zkušebnctv ebnctví II Jří Mltky Škály měření epřímá měření Teore měření Kalbrace Základní pojmy I PRAVDĚPODOBOST Jev A, byl sledován v m pokusech. astal celkem m a krát. Relatvní četnost výskytu

Více

MEZNÍ STAVY A SPOLEHLIVOST OCELOVÝCH KONSTRUKCÍ LIMIT STATES AND RELIABILITY OF STEEL STRUCTURES

MEZNÍ STAVY A SPOLEHLIVOST OCELOVÝCH KONSTRUKCÍ LIMIT STATES AND RELIABILITY OF STEEL STRUCTURES VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ Fakulta stavební Ústav stavební mechanky Doc. Ing. Zdeněk Kala, Ph.D. MEZNÍ STAVY A SPOLEHLIVOST OCELOVÝCH KONSTRUKCÍ LIMIT STATES AND RELIABILITY OF STEEL STRUCTURES TEZE

Více

Zákony hromadění chyb.

Zákony hromadění chyb. Zákony hromadění chyb. Zákon hromadění skutečných chyb. Zákon hromadění středních chyb. Tomáš Bayer bayertom@natur.cuni.cz Přírodovědecká fakulta Univerzity Karlovy v Praze, Katedra aplikované geoinformatiky

Více

2.POPIS MĚŘENÉHO PŘEDMĚTU Měřeným předmětem je v tomto případě zenerova dioda její hodnoty jsou uvedeny v tabulce:

2.POPIS MĚŘENÉHO PŘEDMĚTU Měřeným předmětem je v tomto případě zenerova dioda její hodnoty jsou uvedeny v tabulce: REDL 3.EB 9 1/11 1.ZADÁNÍ a) Změřte voltampérovou charakteristiku zenerovy diody v propustném i závěrném směru. Charakteristiky znázorněte graficky. b) Vypočtěte a graficky znázorněte statický odpor diody

Více

Pravděpodobnost v závislosti na proměnné x je zde modelován pomocí logistického modelu. exp x. x x x. log 1

Pravděpodobnost v závislosti na proměnné x je zde modelován pomocí logistického modelu. exp x. x x x. log 1 Logistická regrese Menu: QCExpert Regrese Logistická Modul Logistická regrese umožňuje analýzu dat, kdy odezva je binární, nebo frekvenční veličina vyjádřená hodnotami 0 nebo 1, případně poměry v intervalu

Více

Univerzita Pardubice Fakulta ekonomicko-správní. Modelování predikce časových řad návštěvnosti web domény pomocí SVM Bc.

Univerzita Pardubice Fakulta ekonomicko-správní. Modelování predikce časových řad návštěvnosti web domény pomocí SVM Bc. Unverzta Pardubce Fakulta ekonomcko-správní Modelování predkce časových řad návštěvnost web domény pomocí SVM Bc. Vlastml Flegl Dplomová práce 2011 Prohlašuj: Tuto prác jsem vypracoval samostatně. Veškeré

Více

1 Náhodný výběr a normální rozdělení 1.1 Teoretická a statistická pravděpodobnost

1 Náhodný výběr a normální rozdělení 1.1 Teoretická a statistická pravděpodobnost 1 Náhodný výběr a normální rozdělení 1.1 Teoretická a statistická pravděpodobnost Ve světě kolem nás eistují děje, jejichž výsledek nelze předem jednoznačně určit. Například nemůžete předem určit, kolik

Více

Národní informační středisko pro podporu kvality

Národní informační středisko pro podporu kvality Národní informační středisko pro podporu kvality Nestandardní regulační diagramy J.Křepela, J.Michálek REGULAČNÍ DIAGRAM PRO VŠECHNY INDIVIDUÁLNÍ HODNOTY xi V PODSKUPINĚ V praxi se někdy setkáváme s požadavkem

Více

M ě ř e n í o d p o r u r e z i s t o r ů

M ě ř e n í o d p o r u r e z i s t o r ů M ě ř n í o d p o r u r z s t o r ů Ú k o l : Proměřt sadu rzstorů s nznámým odporm různým mtodam a porovnat přsnost jdnotlvých měřní P o t ř b y : Vz sznam v dskách u úlohy na pracovním stol Obcná část:

Více

PRAKTIKUM I. Oddělení fyzikálních praktik při Kabinetu výuky obecné fyziky MFF UK. úloha č. 10 Název: Rychlost šíření zvuku. Pracoval: Jakub Michálek

PRAKTIKUM I. Oddělení fyzikálních praktik při Kabinetu výuky obecné fyziky MFF UK. úloha č. 10 Název: Rychlost šíření zvuku. Pracoval: Jakub Michálek Oddělení fyzikálních praktik při Kabinetu výuky obecné fyziky MFF UK PRAKTIKUM I. úloha č. 10 Název: Rychlost šíření zvuku Pracoval: Jakub Michálek stud. skup. 15 dne: 20. března 2009 Odevzdal dne: Možný

Více

Střední hodnota a rozptyl náhodné. kvantilu. Ing. Michael Rost, Ph.D.

Střední hodnota a rozptyl náhodné. kvantilu. Ing. Michael Rost, Ph.D. Střední hodnota a rozptyl náhodné veličiny, vybraná rozdělení diskrétních a spojitých náhodných veličin, pojem kvantilu Ing. Michael Rost, Ph.D. Príklad Předpokládejme že máme náhodnou veličinu X která

Více

Bezpečnost práce, měření fyzikálních veličin, chyby měření

Bezpečnost práce, měření fyzikálních veličin, chyby měření I N V E S T I C E D O R O Z V O J E V Z D Ě L Á V Á N Í TENTO PROJEKT JE SPOLUFINANCOVÁN EVROPSKÝM SOCIÁLNÍM FONDEM A STÁTNÍM ROZPOČTEM ČESKÉ REPUBLIKY Laboratorní práce č. 1 Bezpečnost práce, měření fyzikálních

Více

E(X) = np D(X) = np(1 p) 1 2p np(1 p) (n + 1)p 1 ˆx (n + 1)p. A 3 (X) =

E(X) = np D(X) = np(1 p) 1 2p np(1 p) (n + 1)p 1 ˆx (n + 1)p. A 3 (X) = Základní rozdělení pravděpodobnosti Diskrétní rozdělení pravděpodobnosti. Pojem Náhodná veličina s Binomickým rozdělením Bi(n, p), kde n je přirozené číslo, p je reálné číslo, < p < má pravděpodobnostní

Více

Základy finanční matematiky

Základy finanční matematiky Hodna 38 Strana 1/10 Gymnázum Budějovcká Voltelný předmět Ekonome - jednoletý BLOK ČÍSLO 6 Základy fnanční matematky ředpokládaný počet : 5 hodn oužtá lteratura : Frantšek Freberg Fnanční teore a fnancování

Více

Vykazování solventnosti pojišťoven

Vykazování solventnosti pojišťoven Vykazování solventnost pojšťoven Ing. Markéta Paulasová, Techncká unverzta v Lberc, Hospodářská fakulta marketa.paulasova@centrum.cz Abstrakt Pojšťovnctví je fnanční službou zabývající se přenosem rzk

Více

Zpracování náhodného výběru. Ing. Michal Dorda, Ph.D.

Zpracování náhodného výběru. Ing. Michal Dorda, Ph.D. Zpracování náhodného výběru popisná statistika Ing. Michal Dorda, Ph.D. Základní pojmy Úkolem statistiky je na základě vlastností výběrového souboru usuzovat o vlastnostech celé populace. Populace(základní

Více

Komplexní čísla. Pojem komplexní číslo zavedeme při řešení rovnice: x 2 + 1 = 0

Komplexní čísla. Pojem komplexní číslo zavedeme při řešení rovnice: x 2 + 1 = 0 Komplexní čísl Pojem komplexní číslo zvedeme př řešení rovnce: x 0 x 0 x - x Odmocnn ze záporného čísl reálně neexstuje. Z toho důvodu se oor reálných čísel rozšíří o dlší číslo : Všechny dlší odmocnny

Více

Vždy na Vaší straně. Uživatelská příručka. Thermolink P Thermolink RC

Vždy na Vaší straně. Uživatelská příručka. Thermolink P Thermolink RC Vždy na Vaší straně Užvatelská příručka Thermolnk P Thermolnk RC OBSAH ÚVOD 1 Základní dokumentace... 3 2 Označení CE... 3 INSTALACE 3 Instalace zařízení... 3 3.1 Seznam balení... 3 3.2 Uchycení... 3 4

Více

BEZRIZIKOVÁ VÝNOSOVÁ MÍRA OTEVŘENÝ PROBLÉM VÝNOSOVÉHO OCEŇOVÁNÍ

BEZRIZIKOVÁ VÝNOSOVÁ MÍRA OTEVŘENÝ PROBLÉM VÝNOSOVÉHO OCEŇOVÁNÍ Prof. Ing. Mloš Mařík, CSc. BEZRIZIKOVÁ VÝNOSOVÁ MÍRA OEVŘENÝ PROBLÉM VÝNOSOVÉHO OCEŇOVÁNÍ RESUMÉ: Jedním z důležtých a přtom nepřílš uspokojvě řešených problémů výnosového oceňování podnku je kalkulace

Více

[ ] 6.2.2 Goniometrický tvar komplexních čísel I. Předpoklady: 4207, 4209, 6201

[ ] 6.2.2 Goniometrický tvar komplexních čísel I. Předpoklady: 4207, 4209, 6201 6.. Gonometrcký tvar kompleních čísel I Předpoklad: 07, 09, 60 Pedagogcká poznámka: Gonometrcký tvar kompleních čísel není pro student njak obtížný. Velm obtížné je pro student s po roce vzpomenout na

Více

194/2007 Sb. Vyhláška

194/2007 Sb. Vyhláška 194/2007 Sb. Vyhláška ze dne 17. července 2007, kterou se stanoví pravdla pro vytápění a dodávku teplé vody, měrné ukazatele spotřeby tepelné energe pro vytápění a pro přípravu teplé vody a požadavky na

Více

Znamená vyšší korupce dražší dálnice? Evidence z dat Eurostatu. Michal Dvořák *

Znamená vyšší korupce dražší dálnice? Evidence z dat Eurostatu. Michal Dvořák * Znamená vyšší korupce dražší dálnce? Evdence z dat Eurostatu Mchal Dvořák * Článek je pozměněnou verzí práce Analýza vztahu mez mírou korupce a cenovou úrovní nfrastrukturních staveb, kterou autor zakončl

Více

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA aneb Krátký průvodce skripty [1] a [2]

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA aneb Krátký průvodce skripty [1] a [2] PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA aneb Krátký průvodce skripty [1] a [2] Použitá literatura: [1]: J.Reif, Z.Kobeda: Úvod do pravděpodobnosti a spolehlivosti, ZČU Plzeň, 2004 (2. vyd.) [2]: J.Reif: Metody matematické

Více

Univerzita Karlova v Praze Pedagogická fakulta

Univerzita Karlova v Praze Pedagogická fakulta Uverzta Karlova v Praze Pedagogcká fakulta SEMINÁRNÍ PRÁCE Z OBECNÉ ALGEBRY DĚLITELNOST CELÝCH ČÍSEL V SOUSTAVÁCH O RŮZNÝCH ZÁKLADECH / Cfrk C. Zadáí: Najděte pět krtérí pro děltelost v jých soustavách

Více

Příklad 1. Korelační pole. Řešení 1 ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z MV2 ČÁST 13

Příklad 1. Korelační pole. Řešení 1 ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z MV2 ČÁST 13 Příklad 1 Máme k dispozici výsledky prvního a druhého testu deseti sportovců. Na hladině významnosti 0,05 prověřte, zda jsou výsledky testů kladně korelované. 1.test : 7, 8, 10, 4, 14, 9, 6, 2, 13, 5 2.test

Více

- 1 - Zdeněk Havel, Jan Hnízdil. Cvičení z Antropomotoriky. Obsah:

- 1 - Zdeněk Havel, Jan Hnízdil. Cvičení z Antropomotoriky. Obsah: - - Zdeněk Havel, Jan Hnízdl Cvčení z Antropomotorky Obsah: Úvod... S Základní charakterstky statstckých souborů...3 S Charakterstka základních výběrových technk a teoretcká rozložení četností...9 S 3

Více

1 CHYBY, VARIABILITA A NEJISTOTY INSTRUMENTÁLNÍCH MĚŘENÍ

1 CHYBY, VARIABILITA A NEJISTOTY INSTRUMENTÁLNÍCH MĚŘENÍ 1 CHYBY, VARIABILITA A NEJISTOTY INSTRUMENTÁLNÍCH MĚŘENÍ Účele ěření je stanovení velkost ěřené velčny, charakterzující určtou specfckou vlastnost. Specfkace ěřené velčny ůže vyžadovat údaje o dalších

Více

8 Střední hodnota a rozptyl

8 Střední hodnota a rozptyl Břetislav Fajmon, UMAT FEKT, VUT Brno Této přednášce odpovídá kapitola 10 ze skript [1]. Také je k dispozici sbírka úloh [2], kde si můžete procvičit příklady z kapitol 2, 3 a 4. K samostatnému procvičení

Více

Užití swapových sazeb pro stanovení diskontní míry se zřetelem na Českou republiku

Užití swapových sazeb pro stanovení diskontní míry se zřetelem na Českou republiku M. Dvořák: Užtí swapových sazeb pro stanovení dskontní míry Užtí swapových sazeb pro stanovení dskontní míry se zřetelem na Českou republku Mchal Dvořák * 1 Úvod Korektní určení bezrzkových výnosových

Více

2.1.4 Funkce, definiční obor funkce. π 4. Předpoklady: 2103. Pedagogická poznámka: Následující ukázky si studenti do sešitů nepřepisují.

2.1.4 Funkce, definiční obor funkce. π 4. Předpoklady: 2103. Pedagogická poznámka: Následující ukázky si studenti do sešitů nepřepisují. .. Funkce, definiční obor funkce Předpoklady: 03 Pedagogická poznámka: Následující ukázky si studenti do sešitů nepřepisují. Uděláme si na tabuli jenom krátký seznam: S = a, y = x, s = vt, výška lidí v

Více

MODELOVÁNÍ POPTÁVKY, NABÍDKY A TRŽNÍ ROVNOVÁHY

MODELOVÁNÍ POPTÁVKY, NABÍDKY A TRŽNÍ ROVNOVÁHY MODELOVÁÍ POPTÁVKY, ABÍDKY A TRŽÍ ROVOVÁHY Schéma tržní rovnováhy Modely otávky na trhu výrobků a služeb Formulace otávkové funkce Komlexní model Konstrukce modelu otávky Tržní otávka Dynamcké modely otávky

Více

4ST201 STATISTIKA CVIČENÍ Č. 7

4ST201 STATISTIKA CVIČENÍ Č. 7 4ST201 STATISTIKA CVIČENÍ Č. 7 testování hypotéz parametrické testy test hypotézy o střední hodnotě test hypotézy o relativní četnosti test o shodě středních hodnot testování hypotéz v MS Excel neparametrické

Více

LABORATORNÍ CVIČENÍ Z FYZIKÁLNÍ

LABORATORNÍ CVIČENÍ Z FYZIKÁLNÍ MASARYKOVA UNIVERZITA FAKULTA PŘÍRODOVĚDECKÁ LABORATORNÍ CVIČENÍ Z FYZIKÁLNÍ CHEMIE ÚLOHY ZÁKLADNÍHO PRAKTIKA PRO POSLUCHAČE VYSOKOŠKOLSKÉHO STUDIA ODBORNÉ A UČITELSKÉ CHEMIE KOLEKTIV: PAVEL BROŽ MIROSLAV

Více

Měření délky, určení objemu tělesa a jeho hustoty

Měření délky, určení objemu tělesa a jeho hustoty Úloha č. 1a Měření délky, určení objemu tělesa a jeho hustoty Úkoly měření: 1. Seznámení se s měřicími přístroji posuvné měřítko, mikrometr, laboratorní váhy. 2. Opakovaně (10x) změřte rozměry dvou zadaných

Více

Příklad 1. Řešení 1a. Řešení 1b. Řešení 1c ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z MV2 ČÁST 7

Příklad 1. Řešení 1a. Řešení 1b. Řešení 1c ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z MV2 ČÁST 7 Příklad 1 a) Autobusy městské hromadné dopravy odjíždějí ze zastávky v pravidelných intervalech 5 minut. Cestující může přijít na zastávku v libovolném okamžiku. Určete střední hodnotu a směrodatnou odchylku

Více

Fyzikální veličiny a jednotky, přímá a nepřímá metoda měření

Fyzikální veličiny a jednotky, přímá a nepřímá metoda měření I N V E S T I C E D O R O Z V O J E V Z D Ě L Á V Á N Í TENTO PROJEKT JE SPOLUFINANCOVÁN EVROPSKÝM SOCIÁLNÍM FONDEM A STÁTNÍM ROZPOČTEM ČESKÉ REPUBLIKY Laboratorní práce č. 2 Fyzikální veličiny a jednotky,

Více

Sčítání a odčítání Jsou-li oba sčítanci kladní, znaménko výsledku je + +421 +23 = + 444

Sčítání a odčítání Jsou-li oba sčítanci kladní, znaménko výsledku je + +421 +23 = + 444 ARITMETIKA CELÁ ČÍSLA Celá čísla jsou. -6, -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, Celá čísla rozdělujeme na záporná (-1, -2, -3, ) kladná (1, 2, 3,.) nula 0 (není číslo kladné ani záporné) absolutní

Více

Laboratorní práce č. 1: Určení voltampérových charakteristik spotřebičů

Laboratorní práce č. 1: Určení voltampérových charakteristik spotřebičů Přírodní vědy moderně a interaktivně FYZIKA 5. ročník šestiletého a 3. ročník čtyřletého studia Laboratorní práce č. 1: Určení voltampérových charakteristik spotřebičů G Gymnázium Hranice Přírodní vědy

Více

SMÍCHOVSKÁ STŘEDNÍ PRŮMYSLOVÁ ŠKOLA. LABORATORNÍ PRÁCE Z FYZIKY 1. ročník

SMÍCHOVSKÁ STŘEDNÍ PRŮMYSLOVÁ ŠKOLA. LABORATORNÍ PRÁCE Z FYZIKY 1. ročník SMÍCHOVSKÁ STŘEDNÍ PRŮMYSLOVÁ ŠKOLA LABORATORNÍ PRÁCE Z FYZIKY. ročník Mgr. Věra Krajčová Praha 005 OBSAH Bezpečnostní předpsy pro laboratoř... Laboratorní řád.... Základy fyzkálních měření. Protokol...

Více

opravdu považovat za lepší aproximaci. Snížení odchylky o necelá dvě procenta

opravdu považovat za lepší aproximaci. Snížení odchylky o necelá dvě procenta Řetězové zlomky a dobré aproximace Motivace Chceme-li znát přibližnou hodnotu nějakého iracionálního čísla, obvykle používáme jeho (nekonečný) desetinný rozvoj Z takového rozvoje, řekněme z rozvoje 345926535897932384626433832795028849769399375

Více

1 Mnohočleny a algebraické rovnice

1 Mnohočleny a algebraické rovnice 1 Mnohočleny a algebraické rovnice 1.1 Pojem mnohočlenu (polynomu) Připomeňme, že výrazům typu a 2 x 2 + a 1 x + a 0 říkáme kvadratický trojčlen, když a 2 0. Číslům a 0, a 1, a 2 říkáme koeficienty a písmenem

Více

Analýza chování servopohonů u systému CNC firmy Siemens

Analýza chování servopohonů u systému CNC firmy Siemens Analýza chování servopohonů u systému CNC frmy Semens Analyss and behavour of servo-drve system n CNC Semens Bc. Tomáš áčalík Dplomová práce 00 UTB ve Zlíně, Fakulta aplkované nformatky, 00 4 ABSTRAKT

Více

Měření součinitele smykového tření dynamickou metodou

Měření součinitele smykového tření dynamickou metodou Měření součinitele smykového tření dynamickou metodou Online: http://www.sclpx.eu/lab1r.php?exp=6 Měření smykového tření na nakloněné rovině pomocí zvukové karty řešil např. Sedláček [76]. Jeho konstrukce

Více

Číselné charakteristiky a jejich výpočet

Číselné charakteristiky a jejich výpočet Katedra ekonometrie, FVL, UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz charakteristiky polohy charakteristiky variability charakteristiky koncetrace charakteristiky polohy charakteristiky

Více

Tomáš Karel LS 2012/2013

Tomáš Karel LS 2012/2013 Tomáš Karel LS 2012/2013 Doplňkový materiál ke cvičení z předmětu 4ST201. Na případné faktické chyby v této presentaci mě prosím upozorněte. Děkuji. Tyto slidy berte pouze jako doplňkový materiál není

Více

Mendelova univerzita v Brně Statistika projekt

Mendelova univerzita v Brně Statistika projekt Medelova uverzta v Brě Statstka projekt Vypracoval: Marek Hučík Obsah 1. Úvod... 3. Skupové tříděí... 3 o Data:... 3 o Počet hodot:... 3 o Varačí rozpětí:... 3 o Počet tříd:... 4 o Šířka tervalu:... 4

Více

1. Několik základních pojmů ze středoškolské matematiky. Na začátku si připomeneme následující pojmy:

1. Několik základních pojmů ze středoškolské matematiky. Na začátku si připomeneme následující pojmy: Opakování středoškolské matematiky Slovo úvodem: Tato pomůcka je určena zejména těm studentům presenčního i kombinovaného studia na VŠFS, kteří na středních školách neprošli dostatečnou průpravou z matematiky

Více

Biostatistika Cvičení 7

Biostatistika Cvičení 7 TEST Z TEORIE 1. Střední hodnota pevně zvolené náhodné veličiny je a) náhodná veličina, b) konstanta, c) náhodný jev, d) výběrová charakteristika. 2. Výběrový průměr je a) náhodná veličina, b) konstanta,

Více

Rovnoměrné rozdělení

Rovnoměrné rozdělení Rovnoměrné rozdělení Nejjednodušší pravděpodobnostní rozdělení pro diskrétní náhodnou veličinu. V literatuře se také nazývá jako klasické rozdělení pravděpodobnosti. Náhodná veličina může nabývat n hodnot

Více

h n i s k o v v z d á l e n o s t s p o j n ý c h č o č e k

h n i s k o v v z d á l e n o s t s p o j n ý c h č o č e k h n i s k o v v z d á l e n o s t s p o j n ý c h č o č e k Ú k o l : P o t ř e b : Změřit ohniskové vzdálenosti spojných čoček různými metodami. Viz seznam v deskách u úloh na pracovním stole. Obecná

Více

pracovní list studenta Kombinatorika, pravděpodobnost, základy statistiky Jak jsou vysocí? Mirek Kubera

pracovní list studenta Kombinatorika, pravděpodobnost, základy statistiky Jak jsou vysocí? Mirek Kubera Výstup RVP: Klíčová slova: pracovní list studenta Kombinatorika, pravděpodobnost, základy statistiky Mirek Kubera žák diskutuje a kriticky zhodnotí statistické informace a daná statistická sdělení, volí

Více

Optimalizační přístup při plánování rekonstrukcí vodovodních řadů

Optimalizační přístup při plánování rekonstrukcí vodovodních řadů Optmalzační přístup př plánování rekonstrukcí vodovodních řadů Ladslav Tuhovčák*, Pavel Dvořák**, Jaroslav Raclavský*, Pavel Vščor*, Pavel Valkovč* * Ústav vodního hospodářství obcí, Fakulta stavební VUT

Více

Vliv realizace, vliv přesnosti centrace a určení výšky přístroje a cíle na přesnost určovaných veličin

Vliv realizace, vliv přesnosti centrace a určení výšky přístroje a cíle na přesnost určovaných veličin Vliv realizace, vliv přesnosti centrace a určení výšky přístroje a cíle na přesnost určovaných veličin doc. Ing. Martin Štroner, Ph.D. Fakulta stavební ČVUT v Praze 1 Úvod Při přesných inženýrsko geodetických

Více

Kapitola 7 TESTOVÁNÍ LAKTÁTOVÉHO PRAHU. Definice laktátového prahu

Kapitola 7 TESTOVÁNÍ LAKTÁTOVÉHO PRAHU. Definice laktátového prahu Kapitola 7 TESTOVÁNÍ LAKTÁTOVÉHO PRAHU Definice laktátového prahu Laktátový práh je definován jako maximální setrvalý stav. Je to bod, od kterého se bude s rostoucí intenzitou laktát nepřetržitě zvyšovat.

Více

1. Určete závislost povrchového napětí σ na objemové koncentraci c roztoku etylalkoholu ve vodě odtrhávací metodou.

1. Určete závislost povrchového napětí σ na objemové koncentraci c roztoku etylalkoholu ve vodě odtrhávací metodou. 1 Pracovní úkoly 1. Určete závislost povrchového napětí σ na objemové koncentraci c roztoku etylalkoholu ve vodě odtrhávací metodou. 2. Sestrojte graf této závislosti. 2 Teoretický úvod 2.1 Povrchové napětí

Více

Žák plní standard v průběhu primy a sekundy, učivo absolutní hodnota v kvartě.

Žák plní standard v průběhu primy a sekundy, učivo absolutní hodnota v kvartě. STANDARDY MATEMATIKA 2. stupeň ČÍSLO A PROMĚNNÁ 1. M-9-1-01 Žák provádí početní operace v oboru celých a racionálních čísel; užívá ve výpočtech druhou mocninu a odmocninu 1. žák provádí základní početní

Více

Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2013-2014

Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2013-2014 Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2013-2014 1. ročník (první pololetí, druhé pololetí) 1) Množiny. Číselné obory N, Z, Q, I, R. 2) Absolutní hodnota reálného čísla, intervaly. 3) Procenta,

Více

Poř. č. Příjmení a jméno Třída Skupina Školní rok 2 BARTEK Tomáš S3 1 2009/10

Poř. č. Příjmení a jméno Třída Skupina Školní rok 2 BARTEK Tomáš S3 1 2009/10 Vyšší odborná škola a Střední průmyslová škola elektrotechnická Božetěchova 3, Olomouc Laboratoře elektrotechnických měření Název úlohy MĚŘENÍ CHARAKTERISTIK REZONANČNÍCH OBVODŮ Číslo úlohy 301-3R Zadání

Více

pv = nrt. Lord Celsius udržoval konstantní tlak plynu v uzavřené soustavě. Potom můžeme napsat T, tedy V = C(t t0) = Ct Ct0, (1)

pv = nrt. Lord Celsius udržoval konstantní tlak plynu v uzavřené soustavě. Potom můžeme napsat T, tedy V = C(t t0) = Ct Ct0, (1) 17. ročník, úloha I. E... absolutní nula (8 bodů; průměr 4,03; řešilo 40 studentů) S experimentálním vybavením dostupným v době Lorda Celsia změřte teplotu absolutní nuly (v Celsiově stupnici). Poradíme

Více

Pracovní list č. 3: Pracujeme s kategorizovanými daty

Pracovní list č. 3: Pracujeme s kategorizovanými daty Pracovní lt č. 3: Pracujeme kategorzovaným daty Cíl cvčení: Tento pracovní lt je určen pro cvčení ke 3. a. přednášce předmětu Kvanttatvní metody B (.1 Třídění tattckých dat a. Číelné charaktertky tattckých

Více

1 Tyto materiály byly vytvořeny za pomoci grantu FRVŠ číslo 1145/2004.

1 Tyto materiály byly vytvořeny za pomoci grantu FRVŠ číslo 1145/2004. Testování hypotéz na základě jednoho a dvou výběrů 1 1 Tyto materiály byly vytvořeny za pomoci grantu FRVŠ číslo 1145/004. Testování hypotéz Pokud nás zajímá zda platí, či neplatí tvrzení o určitém parametru,

Více

Úloha 1. Napište matici pro případ lineárního regresního spline vyjádřeného přes useknuté

Úloha 1. Napište matici pro případ lineárního regresního spline vyjádřeného přes useknuté Úloha 1. Napište matici pro případ lineárního regresního spline vyjádřeného přes useknuté polynomy pro případ dvou uzlových bodů ξ 1 = 1 a ξ 2 = 4. Experimentální body jsou x = [0.2 0.4 0.6 1.5 2.0 3.0

Více

ČESKÁ ZEMĚDĚLSKÁ UNIVERZITA V PRAZE

ČESKÁ ZEMĚDĚLSKÁ UNIVERZITA V PRAZE ČESKÁ ZEMĚDĚLSKÁ UNIVERZITA V PRAZE FAKULTA ŽIVOTNÍHO PROSTŘEDÍ KATEDRA APLIKOVANÉ GEOINFORMATIKY A ÚZEMNÍHO PLÁNOVÁNÍ PROSTOROVÁ NEURČITOST GEODAT V ANALÝZÁCH DISTRIBUCE VYBRANÝCH DRUHŮ PTÁKŮ DIPLOMOVÁ

Více

Vysoká škola ekonomická v Praze Fakulta financí a účetnictví BAKALÁŘSKÁ PRÁCE. 2010 Michal Dvořák

Vysoká škola ekonomická v Praze Fakulta financí a účetnictví BAKALÁŘSKÁ PRÁCE. 2010 Michal Dvořák Vysoká škola ekonomcká v Praze Fakulta fnancí a účetnctví BAKALÁŘSKÁ PRÁCE 2010 Mchal Dvořák Vysoká škola ekonomcká v Praze Fakulta fnancí a účetnctví Katedra veřejných fnancí Studjní obor: Fnance Analýza

Více

(ne)závislost. α 1 x 1 + α 2 x 2 + + α n x n. x + ( 1) x Vektoru y = ( 1) y říkáme opačný vektor k vektoru y. x x = 1. x = x = 0.

(ne)závislost. α 1 x 1 + α 2 x 2 + + α n x n. x + ( 1) x Vektoru y = ( 1) y říkáme opačný vektor k vektoru y. x x = 1. x = x = 0. Lineární (ne)závislost [1] Odečítání vektorů, asociativita BI-LIN, zavislost, 3, P. Olšák [2] Místo, abychom psali zdlouhavě: x + ( 1) y, píšeme stručněji x y. Vektoru y = ( 1) y říkáme opačný vektor k

Více

100 1500 1200 1000 875 750 675 600 550 500 - - 775 650 550 500 450 400 350 325 - -

100 1500 1200 1000 875 750 675 600 550 500 - - 775 650 550 500 450 400 350 325 - - Prostý kružnicový oblouk Prostý kružnicový oblouk se používá buď jako samostatné řešení změny směru osy nebo nám slouží jako součást směrové změny v kombinaci s přechodnicemi nebo složenými oblouky. Nejmenší

Více

Matematika stavebního spoření

Matematika stavebního spoření Matematika stavebního spoření Výpočet salda ve stacionárním stavu a SKLV Petr Kielar Stavební spořitelny se od klasických bank odlišují tím, že úvěry ze stavebního spoření poskytují zásadně z primárních

Více

Testování statistických hypotéz. Ing. Michal Dorda, Ph.D.

Testování statistických hypotéz. Ing. Michal Dorda, Ph.D. Testování statistických hypotéz Ing. Michal Dorda, Ph.D. Testování normality Př. : Při simulaci provozu na křižovatce byla získána data o mezerách mezi přijíždějícími vozidly v [s]. Otestujte na hladině

Více

Kapitola 2. o a paprsek sil lze ztotožnit s osou x (obr.2.1). sil a velikost rovnou algebraickému součtu sil podle vztahu R = F i, (2.

Kapitola 2. o a paprsek sil lze ztotožnit s osou x (obr.2.1). sil a velikost rovnou algebraickému součtu sil podle vztahu R = F i, (2. Kapitola 2 Přímková a rovinná soustava sil 2.1 Přímková soustava sil Soustava sil ležící ve společném paprsku se nazývá přímková soustava sil [2]. Působiště všech sil m i lze posunout do společného bodu

Více

Projekt IMPLEMENTACE ŠVP. pořadí početních operací, dělitelnost, společný dělitel a násobek, základní početní operace

Projekt IMPLEMENTACE ŠVP. pořadí početních operací, dělitelnost, společný dělitel a násobek, základní početní operace Střední škola umělecká a řemeslná Evropský sociální fond "Praha a EU: Investujeme do vaší budoucnosti" Projekt IMPLEMENTACE ŠVP Evaluace a aktualizace metodiky předmětu Matematika Výrazy Obory nástavbového

Více

MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ základní úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT)

MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ základní úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT) MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ základní úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT) 1. Číselné obory 1.1 Přirozená čísla provádět aritmetické operace s přirozenými čísly rozlišit prvočíslo

Více

Limita a spojitost funkce

Limita a spojitost funkce Limita a spojitost funkce Základ všší matematik Dana Říhová Mendelu Brno Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakult MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na disciplin společného základu

Více