CHYBY MĚŘENÍ. uvádíme ve tvaru x = x ± δ.

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "CHYBY MĚŘENÍ. uvádíme ve tvaru x = x ± δ."

Transkript

1 CHYBY MĚŘENÍ Úvod Představte s, že máte změřt délku válečku. Použjete posuvné měřítko a získáte určtou hodnotu. Pamětlv přísloví provedete ještě jedno měření. Ale ouha! Výsledek je jný. Co dělat? Měřt ještě jednou, desetkrát nebo kolkrát ještě? Jaká hodnota je ta pravá? Jná stuace: Teore praví, že ta a ta fyzkální velčna má nabývat určté hodnoty. Vaším úkolem je přesvědčt se o tom. Provedete měření. Velce pravděpodobně naměřená hodnota nebude stejná s teoretckou. Znamená to, že teore neplatí? Pro odpověď na tyto otázky se musíme obrátt na teor chyb. Ta nám umožní ohodnott kvaltu měření a na výše uvedené otázky odpovědět. Základním axomem, který musíme vždy podržet v pamět je: ŽÁDNÉ MĚŘENÍ NENÍ DOBRÝM MĚŘENÍM, POKUD NENÍ URČENA JEHO CHYBA. (Pozn.: Můžeme, a často je to nutné, mluvt o chybě teoretckých výsledků. Tím se však zde nebudeme zabývat.) Podrobný výklad teore chyb zde není možný, uvedeme proto jen základní pojmy a výsledky této teore. Chybou měření ε budeme rozumět rozdíl mez naměřenou hodnotou x m a skutečnou (pravou) hodnotou x měřené velčny X. Je tedy ε = x m x. Problém je, že skutečnou hodnotu měřené velčny neznáme a nemůžeme tedy takto chybu spočítat! (Pozor! Tabulková hodnota není skutečnou hodnotou! Je to také výsledek měření, a jako takový známý jen přblžně. Stejně není skutečnou hodnotou teoretcká předpověď: skutečnost může být jná než teore předvídá.) Teore chyb proto musí skutečnou hodnotu odhadnout a také odhadnout přesnost tohoto odhadu. Jedné měření k odhadu chyby nestačí není s čím srovnávat. Je proto třeba měřt vícekrát. (Mohl bychom sce použít chybu danou přístrojem, ale další naměřená hodnota může být jná.) Úkolem teore chyb je tedy na základě souboru měření najít nejlepší odhad x o skutečné hodnoty x měřené velčny X (v podstatě takový, aby rozptyl naměřených hodnot byl nejmenší) a určt jak přesný tento odhad je, tj. stanovt jeho absolutní chybu δ x o. Tato chyba není odchylkou od skutečné hodnoty (jak se často student domnívají), ale charakterzuje velkost ntervalu, v němž můžeme s nějakou dohodnutou pravděpodobností očekávat, že bude skutečná hodnota ležet. Standardně se volí pravděpodobnost výskytu skutečné hodnoty v ntervalu ( xo δ xo, xo + δ xo ) rovna 0, (vz dále). Výsledek pak uvádíme ve tvaru x = x ± δ. o x o 1

2 Kvaltu měření pak hodnotíme buď pomocí této absolutní chyby, nebo častěj pomocí chyby relatvní, defnované jako podíl absolutní chyby a odhadované hodnoty: ξ x o = δ xo / xo. Relatvní chyba je bezrozměrná, nebo j vyjadřujeme v procentech (po vynásobení čntelem 100). Toto vyjádření chyby odpovídá lépe logartmcké reakc našch smyslů běžné ntuc. (Zjevně je něco jného obdržet záslku uhlí na zmu s přesností jeden klogram a znát se stejnou absolutní chybou velkost rodnných zásob zlata. Zde je evdentně výhodnější uvést přesnost pomocí relatvní chyby.) Chyby obvykle rozdělujeme na soustavné a náhodné. Soustavné chyby, zvané též systematcké, jednosměrně zkreslují výsledek měření. Jsou dány metodou měření (tzv. chyba metody jde pak o ne zcela vhodně provedené měření), kvaltou přístrojů (tzv. přístrojová chyba, kterou obvykle lze na základě údajů výrobce odhadnout) a kvaltou prováděných měření (tzv. osobní chyba). Soustavnou chybu nelze odstrant výpočtem. Projeví se až porovnáváním daného měření s měřením provedeným jnou metodou, s měřením provedeným jným (lepším) přístroj nebo jným osobam. Je-l ovšem chyba jž zjštěna, můžeme provést odpovídající korekce. V rámc fyzkálního praktka by měly být zvolené metody dostatečně vhodné a přístroje dostatečně kvaltní. Náhodné chyby jsou dány ne úplně kontrolovatelným vnějším (tlak, teplota, vlhkost vzduchu, elektromagnetcké rušení, vbrace, sesmcké vlvy,...) a vntřním (kolísání měřené velčny, tepelný šum, ) vlvy. Obecně předpokládáme, že takové vlvy jsou malé, že je jch mnoho a že přblžně se stejnou pravděpodobností zvyšují nebo snžují měřenou velčnu. Nestejnost výsledků měření nterpretujeme jako důsledek přítomnost náhodných chyb a metody teore pravděpodobnost využívané v teor chyb nám dovolí tuto skutečnost kvantfkovat. Může se také stát, že mez naměřeným hodnotam je údaj, který je na první pohled zjevně výrazně odlšný. Vznkl nejspíše nepozorností, č nějakým netypckým ovlvněním systému. Takovéto chybě říkáme hrubá. Níže uvedeme konvenční pravdlo pro vyřazení takovéhoto údaje ze souboru naměřených hodnot. Dále se postupně zaměříme na určení odhadu výsledku měření a odhadu chyby v případě přímých měření. Ukážeme, jak provádět odhady chyb měřcích přístrojů. Uvedeme, jak zvolt optmální počet měření a kdy je možno vyškrtnout hrubou chybu. Poté se budeme věnovat odhadu výsledku měření a odhadu chyby pro nepřímé měření. Specálně se budeme věnovat chybám parametrů funkčních (lneárních a na lneární převodtelných) závslostí. Nakonec ukážeme, v jaké podobě uvádíme výsledky měření. A. Přímé měření fyzkální velčny zatížené náhodnou chybou Proveďme N měření fyzkální velčny X. Výsledky měření nechť jsou x 1,, x N. Zajímá nás, jaký je nejlepší odhad x o skutečné hodnoty x měřené velčny X a s jak velkou chybou δ x je určen. o 13

3 Budeme předpokládat, že rozložení náhodných chyb je takové, že nejlepším odhadem skutečné hodnoty je artmetcký průměr: 1 x = x. N To je např. splněno, je-l rozložení chyb dáno tzv. Gaussovým rozdělením (též zvaným normální). Pravděpodobnost dp, že chyba měřené hodnoty x m x leží v ntervalu ( ε, ε + dε) je pak dána vztahem 1 ε d p = G ( ε ) dε =.exp dε π. σ σ, kde parametr σ (tzv. směrodatná odchylka) charakterzuje šířku Gaussova rozdělení, a tím velkost očekávatelné chyby. Funkce G(ε) má význam hustoty pravděpodobnost, tj. pravděpodobnost přpadající na chybu jednotkové velkost (obr. 1). Pravděpodobnost výskytu chyby v nějakém ntervalu ε 1, ε zjstíme pak ntegrací uvedeného výrazu. hustota pravděpodobnost G( ) 0,683 0,1355 0,1355 0,017 0,017 0, , Obr. 1 Gaussovo rozdělení hustota pravděpodobnost Pravděpodobnost výskytu chyby ε jedné naměřené hodnoty uvntř určtého ntervalu je rovna velkost plochy (pod křvkou) vymezené hrancem tohoto ntervalu. (P ±σ = 0,683, P ±σ = 0, ,1355 = 0,954, P ±3σ = P ±σ + 0,017 = 0,9974, P ± = 1) Matematkové umějí dokázat, že pro nekonečně mnoho nekonečně malých náhodných vlvů dostaneme Gaussovo rozdělení přesně (tzv. centrální lmtní věta). Pro fyzkální stuace nemusí a často an nemůže (např. u velčn, které jsou vždy kladné) Gaussovo rozdělení popsovat rozdělení chyb. Předpokládá se ale, že odchylky artmetckých průměrů od skutečné hodnoty jsou už rozloženy podle Gaussova rozdělení. Pro dostatečně velké soubory měření, kde N 30, jž bývá tento předpoklad splněn. (Př menším počtu měření, jak tomu bývá ve fyzkálním praktku, s pouze hrajeme na správný výpočet. Můžeme ovšem provést korekc 14

4 na malý počet měření pomocí tzv. Studentova rozdělení odhad očekávané chyby se pak zvětší.) Je možno dokázat, že rozdělení chyb artmetckých průměrů (získal bychom je z mnoha měření po N hodnotách, přčemž z každé N-tce hodnot by se vypočítal jeden artmetcký průměr) je N -krát užší než je rozdělení chyb jednotlvých naměřených hodnot. Lze vypočítat, že parametr σ Gaussova rozdělení je roven střední kvadratcké odchylce od skutečné hodnoty: ( ε ) σ = ε G dε. Velčna σ se nazývá rozptyl a lze jej odhadnout pomocí tzv. výběrového rozptylu naměřených hodnot od průměru, tj. velčny 1 s = ( x x). N 1 Ukazuje se, že nejlepší odhad rozptylu je σ s. Rozptyl σ, jenž charakterzuje rozdělení odchylek (chyb) artmetckých průměrů od skutečné hodnoty, bude pak N-krát menší: ( x x) σ σ =, tj. N N ( N 1) ( x x) σ σ =. N N ( N 1) Pro hodnocení přesnost měření se používá tzv. směrodatná (nazývaná též standardní nebo střední kvadratcká) chyba artmetckého průměru, která je rovna parametru σ. Výsledek měření pak konvenčně vyjadřujeme takto: Naměřená hodnota velčny X je rovna x ±σ. Pro správné pochopení výrazu x ± σ je vhodné s uvědomt tuto skutečnost: Pravděpodobnost, že chyba měření bude menší než E dostaneme ntegrací Gaussova rozdělení (vz obr. 1): E 1 ε E E p( E) = exp dε = Φ Φ, π. σ σ σ σ E 1 z z kde Φ( z) = e dz π je tzv. gaussovská dstrbuční funkce chyb, která bývá často tabelována. Provedeme-l ntegrac v mezích σ až + σ zjstíme, že pravděpodobnost výskytu chyby našeho artmetckého průměru v ntervalu ( σ, + σ ) je 0, (tečky symbolzují další neuváděná desetnná místa). Máme tedy 68,3% pravděpodobnost, že náš artm. průměr leží v oblast ± σ okolo skutečné hodnoty. Nebo obráceně: máme 68,3% pravděpodobnost, že skutečná hodnota leží v oblast ± σ okolo našeho průměru. Pokud bychom např krát změřl N hodnot a vypočetl 15

5 z nch 1000 artmetckých průměrů, pak přblžně 683 získaných průměrů bude ležet v oblast ± σ kolem skutečné hodnoty. Vdíme, že změření N hodnot a určení artmetckého průměru je vlastně náhodný výběr jednoho průměru z nekonečného množství potencálně možných artmetckých průměrů. Pro prax jsou důležté ještě následující případy: Pravděpodobnost chyby menší než: ± σ je 0,954..., ± 3σ je 0, , ± 0,674...σ je 0,5. Nejníže uvedená chyba se nazývá pravděpodobná a v dřívějších dobách byla užívána jako charakterstka chyby měření. Chybu o velkost 3σ nazýváme krajní. Pokud j použjeme, máme pravděpodobnost, že skutečná hodnota leží vně ntervalu ( x 3σ, x + 3σ ) as 0,007 tedy praktcky nulovou. Poznámka: Chyba σ je ovšem také jen odhadnuta. Lze ukázat, že chyba chyby ční přblžně δ σ σ ( N 1), což pro N = 50 dává chybu chyby as 10 %! Nemá tedy smysl uvádět ve výsledcích chybu přílš přesně. Doplňme nyní, kdy je možno vyloučt ze souboru měření hrubou chybu H. Můžeme to udělat tehdy, je-l její výskyt málo pravděpodobný. K tomu stačí, aby se příslušná naměřená hodnota lšla od artmetckého průměru o více než 3 σ. B. Odhad přístrojové chyby Protože není možno se věnovat odhadu přístrojové chyby obecně, omezíme se jen na dva nejvýznamnější případy: 1) Chyba čtení stupnce a dspleje Pro odhad chyby měření na stupnc se předpokládá, že skutečná hodnota leží s přblžně konstantní pravděpodobností v ntervalu ± 1/ dílku. Rozdělení odchylek tedy v tomto případě není gaussovské, ale přblžně obdélníkové, šroké 1 dílek. Směrodatnou chybu pak získáme (tak, aby byla rovna střední kvadratcké odchylce od skutečné hodnoty) jako odmocnnu z ntegrálu kvadrátů odchylek přes toto rozdělení. Výsledkem pak bude hodnota = 0, , 3 dílku. Jako směrodatnou chybu stupnce budeme proto uvažovat 0,3 dílku. Měřcí přístroje s dgtálním výstupem zaokrouhlují sgnál na poslední platnou číslc, přčemž rozdělení odchylek je opět přblžně rovnoměrné v ntervalu ± 1/ řádu poslední číslce dspleje. Směrodatná chyba proto bude opět 0,3 řádu poslední číslce. ) Chyba elektrckých měřcích přístrojů udávaná výrobcem Starší ručkové elektrcké měřcí přístroje mají uvedenu tzv. třídu přesnost, udávající kolk procent zvoleného rozsahu ční maxmální možná chyba. Např. třída přesnost 0, znamená, že maxmální absolutní chyba ční 0, % rozsahu, bez ohledu na to, jakou hodnotu na daném rozsahu právě měříme. (Rozsah proto volíme tak, aby výchylka ručky zasahovala do horní třetny stupnce, jnak neúměrně narůstá relatvní chyba měření.) 16

6 U novějších přístrojů bývá maxmální chyba udávána předpsem výrobce např. jako součet procentové chyby rozsahu a procentové chyby měřeného údaje nebo jako součet procentové chyby údaje a určtého počtu jednotek posledního místa dspleje. (vz odst. Dgtální měřcí přístroje na str. 37) Zbývá otázka, jak tuto maxmální chybu nterpretovat. Protože se zde také předpokládá přblžně rovnoměrné (obdélníkové) rozdělení odchylek o šířce ± 1 maxmální chyba, bude odpovídající směrodatná chyba rovna ,6 maxmální chyby. Nakonec je třeba se zmínt o problematce skládání chyb. Někdy musíme např. uvážt jak chybu stupnce, tak náhodnou chybu č chybu udanou výrobcem. Pro celkovou chybu σ vznklou skládáním nezávslých chyb σ 1 a σ platí: σ = σ 1 + σ (obdobně př skládání více chyb). Z daného výrazu vyplývají tyto závěry: 1) Je-l jedna z chyb více než 3 menší než druhá, lze j zanedbat. Celkovou chybu to ovlvní o méně než 5,5 %, což je vzhledem k nepřesnost určení chyby zanedbatelné. ) Protože náhodná chyba průměru s velkostí souboru obvykle klesá jako 1 N, může její hodnota být př dostatečně velkém N lbovolně malá. Optmální počet měření pak zřejmě odpovídá případu, kdy je tato chyba zanedbatelná vzhledem k přístrojové chybě č chybě stupnce, tj. je alespoň 3 menší. C. Chyba nepřímo měřené velčny Zatím jsme se zabýval stanovením chyby přímého měření, často ovšem fyzkální velčny měříme nepřímo. Pak je daná velčna funkcí několka přímo měřených velčn. (Např. hustotu látky zjšťujeme na základě měření hmotnost a objemu. Výsledná hustota je pak podílem těchto velčn.) Je-l výsledná velčna Z dána funkcí přímo měřených velčn A, B, C,, tj. Z = f (A, B, C, ), pak, pokud relatvní chyby ξ a, ξ b, ξ c, velčn A, B, C, jsou dostatečně malé (malost ovšem závsí na tvaru funkce f), pro vyhodnocení výsledku platí: 1) Rozumný odhad z o skutečné hodnoty z velčny Z, je dán funkcí f odhadů a o, b o, c o, příslušných velčnám A, B, C, : z o = f (a o, b o, c o, ). ( Rozumný proto, že tento odhad není vždy nejlepší např. artmetcký průměr kvadrátů je vždy větší než kvadrát artmetckého průměru. Obecně však tento odhad použtelný je.) ) Odhad směrodatné chyby σ z je dán vztahem kde σ a, σ b, f f f σ z = σ a + σ b + σ c + K, a b c σ, jsou směrodatné chyby velčn A, B, C,. c 17

7 Toto je tzv. věta o přenosu chyby. Výše uvedená dvě tvrzení umožňují výpočet odhadu skutečné hodnoty nepřímo měřené velčny a její směrodatné chyby. Specálně pro součet a rozdíl přímo měřených velčn dostaneme a ± b a σ = σ + σ a vztah pro chybu výrazu a m b n, kde m a n jsou číselné parametry (součn velčn odpovídá m = n = 1, podíl m = 1, n = 1), můžeme elegantně zapsat ve tvaru: b m n ( a b ) ( mξa) ( nξb) ξ = +, kde ξ a a ξ b jsou relatvní směrodatné chyby výchozích velčn. (Rozšíření vzorců na případ více velčn je přímočaré.) Ve vztazích vyjadřujících nepřímo měřené velčny často vystupují konstanty. Nechceme-l zvětšt chybu výsledné velčny, je třeba, pokud je to možné, vyjádřt konstantu tak přesně, aby její příspěvek k celkové chybě byl zanedbatelný. Obyčejně volíme relatvní chybu konstanty o řád menší než je velkost ostatních chyb. Není-l to možné, je zapotřebí započítat chybu příslušné konstanty. D. Lneární regrese a její chyba Často nezjšťujeme výslednou velčnu jako funkční vyjádření jných přímo měřených velčn, ale jako parametr vyjadřující charakter závslost měřených velčn. Příkladem může být určení elektrckého odporu na základě voltampérové charakterstky. Níže se omezíme na lneární závslost mez vystupujícím velčnam. Procedura je ovšem použtelná pro závslost převodtelné, např. logartmováním, na lneární. Předpokládejme, že máme dvě řady souvsejících velčn x a y ( = 1 N) a že jejch vzájemná závslost je vyjádřtelná ve tvaru: y = k.x + q. Nejlepším odhadem parametrů k a q, ve smyslu nejmenšího součtu kvadratckých odchylek, je: ( x x) y k = x x a q = y k. x. ( ) V těchto výrazech pruh označuje artmetcký průměr. Geometrcky se jedná o proložení přímky daným (naměřeným) body. Druhá rovnce zjevně říká, že přímka prochází těžštěm bodů grafu. Nalezení optmální přímky aproxmující daná data se nazývá úlohou (jednoduché) lneární regrese. Chyby parametrů k a q jsou dány vztahy: ( y k. x q) ( x x) 1 σ k = a N σ q 1 x = + ( ) N x x ( y k. x q) N 18

8 Víme-l, že parametr q má být roven nule (jde tedy o přímou úměrnost a hledaná přímka prochází počátkem), pak nejlepší odhad směrnce a její chyba jsou dány vztahy: x y k, = x ( y k. x ) = 1 σ k. N 1 x E. Konečný tvar výsledku měření Výslednou hodnotu měřené velčny píšeme ve tvaru : MĚŘENÁ VELIČINA = VÝSLEDNÁ HODNOTA ± SMĚRODATNÁ CHYBA Směrodatná chyba je určena značně nepřesně (s přesností horší než 10 % vz výše), a proto j zaokrouhlujeme na jednu platnou cfru. Pouze v případě, že první cfrou je číslce 1, zaokrouhlujeme na dvě platné cfry. Za platné se považují všechny cfry kromě nul vlevo od první nenulové cfry. Např. číslo 0,0170 má tř platné cfry. Cfra nula na konc je platná číslo je tím udáno s přesností na desettsícny. Vynechání této nuly sníží přesnost čísla desetkrát. Číslo má pět platných cfer a chceme-l jej uvést pouze na tř platné cfry, musíme použít tvaru 1, ! Výslednou hodnotu zaokrouhlujeme na tolk míst, kolk jch má (jž zaokrouhlená) chyba. Ta korguje poslední (resp. dvě poslední) cfry výsledku. Př konečném zápsu využíváme často exponencálního tvaru zápsu čísel: např. číslo 3 44 ± 679 zaokrouhlíme a zapíšeme jako (34 ± 7).10. Přpomeňme ještě, že zaokrouhlujeme podle hodnoty výrazu za poslední platnou cfrou: Je-l větší než 5, zaokrouhlujeme nahoru, je-l menší pak dolů. V případě, že je výraz přesně roven 5, zaokrouhlujeme nahoru, je-l předchozí cfra lchá, a dolů, je-l sudá (pro vyrovnání statstky zaokrouhlování). Příklady zápsu: Správně: 1,50 ± 0,0 0,6 ± 0,3 0,3 ± 0, ± 9 (3,0 ± 0,) km/s Nesprávně: 1,5 ± 0,0 0,56 ± 0,3 0,341 ± 0, ,1 ± ± 0000 km/s Závěr Zjstl jsme, jak určovat odhad skutečné hodnoty měřené velčny a jeho chybu na základě měření. Odpověděl jsme tak na první otázku z počátku kaptoly. Budeme-l mít více souborů měření téže velčny, pak zjštěné odhady hodnoty a směrodatné chyby nejspíše nebudou zcela stejné. Tyto hodnoty pak můžeme snadno porovnat takto: dva odhady výsledku měření budeme považovat 19

9 za souhlasné, pokud jejch rozdíl bude v absolutní hodnotě menší než dvojnásobek směrodatné chyby, která je v daném případě rovna σ = σ 1 + σ, kde σ 1 a σ jsou směrodatné chyby těchto odhadů. (Odpovídá to vytvoření rozdílu obou odhadů a testování, kdy je tento rozdíl nulový.) Pravděpodobnost, že odhady souhlasí, ale my je na základě tohoto testu označíme (nesprávně) za odlšné, ční cca 5 %. Pokud je rozdíl odhadů větší než dvě a menší než tř směrodatné odchylky σ, považujeme stuac za nerozhodnou a vyžadující další měření. Je-l rozdíl větší než 3 σ, považujeme výsledky za různé, a tedy nesouhlasící. Umíme tedy porovnávat soubory měření. (Souborem měření je tabulková hodnota!) Porovnání s teoretckým výsledkem provádíme obdobně. Teoretcký výsledek charakterzujeme parametry x t a σ t (teoretcká hodnota a její směrodatná chyba teoretcká chyba nebývá vždy uvedena: pak j budeme považovat za zanedbatelnou). Pak s představíme teoretcký výsledek jako kdyby to byl soubor měřených dat, reprezentovaný parametry x t a σ t a porovnáme jej s našm naměřeným daty. Experment pak souhlasí s teorí, pokud se rozdíl expermentální a teoretcké hodnoty nelší v absolutní hodnotě o více než dvě směrodatné chyby σ = σ t + σ e, kde σ e je směrodatná chyba našeho měření. I druhá otázka ze začátku kaptoly je tedy odpovězena. Zpracováno podle normy European Cooperaton for Accredtaton of Laboratores EAL R (vyd. 1997). STRUČNÝ POSTUP PŘI VÝPOČTU CHYB SHRNUTÍ V běžných případech můžeme použít schéma výpočtu chyb zobrazené na obr. 1 na následující straně. Př měření každé z velčn A, B, C, je třeba rozhodnout, zda j měřt vícekrát (N-krát), nebo jen jednou. Nejdříve tedy provedeme několk zkušebních měření a pokud se jednotlvá měření velčny vzájemně lší, musíme měřt vícekrát a data zpracovat statstcky podle kaptoly Chyby měření, odst. A. Vychází-l zkušební měření stále stejně, stačí samozřejmě uvažovat jedné. V obou případech je nutné ještě př měření stanovt chybu použtého měřcího přístroje a sloučt j s chybou statstckou (ve druhém případě rovnou nule). Stanovení hodnot jednotlvých chyb je uvedeno v předcházející kaptole. Pops některých měřcích přístrojů a stanovení jejch chyb je uveden v kaptole Přístroje užívané ve fyzkálním praktku. 0

10 1

ANALÝZA VZTAHU DVOU SPOJITÝCH VELIČIN

ANALÝZA VZTAHU DVOU SPOJITÝCH VELIČIN ANALÝZA VZTAHU DVOU SPOJITÝCH VELIČIN V dokumentu 7a_korelacn_a_regresn_analyza jsme řešl rozdíl mez korelační a regresní analýzou. Budeme se teď věnovat pouze lneárnímu vztahu dvou velčn, protože je nejjednodušší

Více

Korelační energie. Celkovou elektronovou energii molekuly lze experimentálně určit ze vztahu. E vib. = E at. = 39,856, E d

Korelační energie. Celkovou elektronovou energii molekuly lze experimentálně určit ze vztahu. E vib. = E at. = 39,856, E d Korelační energe Referenční stavy Energ molekul a atomů lze vyjádřt vzhledem k různým referenčním stavům. V kvantové mechance za referenční stav s nulovou energí bereme stav odpovídající nenteragujícím

Více

Energie elektrického pole

Energie elektrického pole Energe elektrckého pole Jž v úvodní kaptole jsme poznal, že nehybný (centrální elektrcký náboj vytváří v celém nekonečném prostoru slové elektrcké pole, které je konzervatvní, to znamená, že jakýkolv jný

Více

6. Demonstrační simulační projekt generátory vstupních proudů simulačního modelu

6. Demonstrační simulační projekt generátory vstupních proudů simulačního modelu 6. Demonstrační smulační projekt generátory vstupních proudů smulačního modelu Studjní cíl Na příkladu smulačního projektu představeného v mnulém bloku je dále lustrována metodka pro stanovování typů a

Více

ANOVA. Analýza rozptylu při jednoduchém třídění. Jana Vránová, 3.lékařská fakulta UK, Praha

ANOVA. Analýza rozptylu při jednoduchém třídění. Jana Vránová, 3.lékařská fakulta UK, Praha ANOVA Analýza rozptylu př jednoduchém třídění Jana Vránová, 3.léařsá faulta UK, Praha Teore Máme nezávslých výběrů, > Mají rozsahy n, teré obecně nemusí být stejné V aždém z nch známe průměr a rozptyl

Více

Monte Carlo metody Josef Pelikán CGG MFF UK Praha.

Monte Carlo metody Josef Pelikán CGG MFF UK Praha. Monte Carlo metody 996-7 Josef Pelkán CGG MFF UK Praha pepca@cgg.mff.cun.cz http://cgg.mff.cun.cz/~pepca/ Monte Carlo 7 Josef Pelkán, http://cgg.ms.mff.cun.cz/~pepca / 44 Monte Carlo ntegrace Odhadovaný

Více

9. cvičení 4ST201. Obsah: Jednoduchá lineární regrese Vícenásobná lineární regrese Korelační analýza. Jednoduchá lineární regrese

9. cvičení 4ST201. Obsah: Jednoduchá lineární regrese Vícenásobná lineární regrese Korelační analýza. Jednoduchá lineární regrese cvčící 9. cvčení 4ST01 Obsah: Jednoduchá lneární regrese Vícenásobná lneární regrese Korelační analýza Vysoká škola ekonomcká 1 Jednoduchá lneární regrese Regresní analýza je statstcká metoda pro modelování

Více

Laboratorní práce č. 1: Měření délky

Laboratorní práce č. 1: Měření délky Přírodní vědy moderně a interaktivně FYZIKA 3. ročník šestiletého a 1. ročník čtyřletého studia Laboratorní práce č. 1: Měření délky G Gymnázium Hranice Přírodní vědy moderně a interaktivně FYZIKA 3.

Více

2. Definice pravděpodobnosti

2. Definice pravděpodobnosti 2. Defnce pravděpodobnost 2.1. Úvod: V přírodě se setkáváme a v přírodních vědách studujeme pomocí matematckých struktur a algortmů procesy dvojího druhu. Jednodušší jsou determnstcké procesy, které se

Více

2 Zpracování naměřených dat. 2.1 Gaussův zákon chyb. 2.2 Náhodná veličina a její rozdělení

2 Zpracování naměřených dat. 2.1 Gaussův zákon chyb. 2.2 Náhodná veličina a její rozdělení 2 Zpracování naměřených dat Důležitou součástí každé experimentální práce je statistické zpracování naměřených dat. V této krátké kapitole se budeme věnovat určení intervalů spolehlivosti získaných výsledků

Více

[ jednotky ] Chyby měření

[ jednotky ] Chyby měření Chyby měřeí Provedeme-l určté měřeí za stejých podmíek vícekrát, jedotlvá měřeí se mohou odlšovat (z důvodu koečé rozlšovací schopost měř. přístrojů, áhodých vlvů apod.). Chyba měřeí: e = x x x...přesá

Více

9. Měření kinetiky dohasínání fluorescence ve frekvenční doméně

9. Měření kinetiky dohasínání fluorescence ve frekvenční doméně 9. Měření knetky dohasínání fluorescence ve frekvenční doméně Gavolův experment (194) zdroj vzorek synchronní otáčení fázový posun detektor Měření dob žvota lumnscence Frekvenční doména - exctace harmoncky

Více

ina ina Diskrétn tní náhodná veličina může nabývat pouze spočetně mnoha hodnot (počet aut v náhodně vybraná domácnost, výsledek hodu kostkou)

ina ina Diskrétn tní náhodná veličina může nabývat pouze spočetně mnoha hodnot (počet aut v náhodně vybraná domácnost, výsledek hodu kostkou) Náhodná velčna na Výsledek náhodného pokusu, daný reálným číslem je hodnotou náhodné velčny. Náhodná velčna je lbovolná reálná funkce defnovaná na množně elementárních E pravděpodobnostního prostoru S.

Více

Univerzita Tomáše Bati ve Zlíně

Univerzita Tomáše Bati ve Zlíně nverzta Tomáše Bat ve líně LABOATOÍ CČEÍ ELETOTECHY A PŮMYSLOÉ ELETOY ázev úlohy: ávrh dělče napětí pracoval: Petr Luzar, Josef Moravčík Skupna: T / Datum měření:.února 8 Obor: nformační technologe Hodnocení:

Více

Čas potřebný k prostudování učiva kapitoly: 1,25 hodiny

Čas potřebný k prostudování učiva kapitoly: 1,25 hodiny Fyzikální praktikum III 15 3. PROTOKOL O MĚŘENÍ V této kapitole se dozvíte: jak má vypadat a jaké náležitosti má splňovat protokol o měření; jak stanovit chybu měřené veličiny; jak vyhodnotit úspěšnost

Více

MODELOVÁNÍ A SIMULACE

MODELOVÁNÍ A SIMULACE MODELOVÁNÍ A SIMULACE základní pojmy a postupy vytváření matematckých modelů na základě blancí prncp numerckého řešení dferencálních rovnc základy práce se smulačním jazykem PSI Základní pojmy matematcký

Více

REGRESNÍ ANALÝZA. 13. cvičení

REGRESNÍ ANALÝZA. 13. cvičení REGRESNÍ ANALÝZA 13. cvčení Závslost náhodných velčn Závslost mez kvanttatvním proměnným X a Y: Funkční závslost hodnotam nezávsle proměnných je jednoznačně dána hodnota závslé proměnné. Y=f(X) Stochastcká

Více

Regresní a korelační analýza

Regresní a korelační analýza Regresní a korelační analýza Závslost příčnná (kauzální). Závslostí pevnou se označuje případ, kdy výskytu jednoho jevu nutně odpovídá výskyt druhé jevu (a často naopak). Z pravděpodobnostního hledska

Více

Spojité regulátory - 1 -

Spojité regulátory - 1 - Spojté regulátory - 1 - SPOJIÉ EGULÁOY Nespojté regulátory mají většnou jednoduchou konstrukc a jsou levné, ale jsou nevhodné tím, že neudržují regulovanou velčnu přesně na žádané hodnotě, neboť regulovaná

Více

3 VYBRANÉ MODELY NÁHODNÝCH VELIČIN. 3.1 Náhodná veličina

3 VYBRANÉ MODELY NÁHODNÝCH VELIČIN. 3.1 Náhodná veličina 3 VBRANÉ MODEL NÁHODNÝCH VELIČIN 3. Náhodná velčna Tato kaptola uvádí stručný pops vybraných pravděpodobnostních modelů spojtých náhodných velčn s důrazem na jejch uplatnění př rozboru spolehlvost stavebních

Více

Iterační výpočty. Dokumentace k projektu pro předměty IZP a IUS. 22. listopadu projekt č. 2

Iterační výpočty. Dokumentace k projektu pro předměty IZP a IUS. 22. listopadu projekt č. 2 Dokumentace k projektu pro předměty IZP a IUS Iterační výpočty projekt č.. lstopadu 1 Autor: Mlan Setler, setl1@stud.ft.vutbr.cz Fakulta Informačních Technologí Vysoké Učení Techncké v Brně Obsah 1 Úvod...

Více

VLIV VELIKOSTI OBCE NA TRŽNÍ CENY RODINNÝCH DOMŮ

VLIV VELIKOSTI OBCE NA TRŽNÍ CENY RODINNÝCH DOMŮ VLIV VELIKOSTI OBCE NA TRŽNÍ CENY RODINNÝCH DOMŮ Abstrakt Martn Cupal 1 Prncp tvorby tržní ceny nemovtost je sce založen na tržní nabídce a poptávce, avšak tento trh je značně nedokonalý. Nejvíce ovlvňuje

Více

VYSOKONAPĚŤOVÉ ZKUŠEBNICTVÍ. #2 Nejistoty měření

VYSOKONAPĚŤOVÉ ZKUŠEBNICTVÍ. #2 Nejistoty měření VYSOKONAPĚŤOVÉ ZKUŠEBNICTVÍ # Nejistoty měření Přesnost měření Klasický způsob vyjádření přesnosti měření chyba měření: Absolutní chyba X = X M X(S) Relativní chyba δ X = X(M) X(S) - X(M) je naměřená hodnota

Více

podle typu regresní funkce na lineární nebo nelineární model Jednoduchá lineární regrese se dá vyjádřit vztahem y

podle typu regresní funkce na lineární nebo nelineární model Jednoduchá lineární regrese se dá vyjádřit vztahem y 4 Lneární regrese 4 LINEÁRNÍ REGRESE RYCHLÝ NÁHLED DO KAPITOLY Častokrát potřebujete zjstt nejen, jestl jsou dvě nebo více proměnných na sobě závslé, ale také jakým vztahem se tato závslost dá popsat.

Více

Zpracování fyzikálních měření. Studijní text pro fyzikální praktikum

Zpracování fyzikálních měření. Studijní text pro fyzikální praktikum Zpracování fyzkálních měření Studjní text pro fyzkální praktkum Mlan Červenka, katedra fyzky FEL-ČVUT mlan.cervenka@fel.cvut.cz 3. ledna 03 ObrázeknattulnístraněpocházízknhyogeometraměřeníodJacobaKöbela(460

Více

I. D i s k r é t n í r o z d ě l e n í

I. D i s k r é t n í r o z d ě l e n í 6. T y p y r o z d ě l e n í Poznámka: V odst. 5.5-5.10 jsme uvedli příklady náhodných veličin a jejich distribučních funkcí. Poznali jsme, že se od sebe liší svým typem. V příkladech 5.5, 5.6 a 5.8 jsme

Více

Počítání s neúplnými čísly 1

Počítání s neúplnými čísly 1 Aproximace čísla A: Počítání s neúplnými čísly 1 A = a ± nebo A a, a + Aproximace čísla B: B = b ± β nebo B b β, b + β nebo a A a+ nebo b β B b + β Součet neúplných čísel odvození: a + b β A + B a+ + (b

Více

p(x) = P (X = x), x R,

p(x) = P (X = x), x R, 6. T y p y r o z d ě l e n í Poznámka: V odst. 5.5-5.10 jsme uvedli příklady náhodných veličin a jejich distribučních funkcí. Poznali jsme, že se od sebe liší svým typem. V příkladech 5.5, 5.6 a 5.8 jsme

Více

SIMULACE. Numerické řešení obyčejných diferenciálních rovnic. Měřicí a řídicí technika magisterské studium FTOP - přednášky ZS 2009/10

SIMULACE. Numerické řešení obyčejných diferenciálních rovnic. Měřicí a řídicí technika magisterské studium FTOP - přednášky ZS 2009/10 SIMULACE numercké řešení dferencálních rovnc smulační program dentfkace modelu Numercké řešení obyčejných dferencálních rovnc krokové metody pro řešení lneárních dferencálních rovnc 1.řádu s počátečním

Více

Jednofaktorová analýza rozptylu

Jednofaktorová analýza rozptylu I I.I Jednofaktorová analýza rozptylu Úvod Jednofaktorová analýza rozptylu (ANOVA) se využívá při porovnání několika středních hodnot. Často se využívá ve vědeckých a lékařských experimentech, při kterých

Více

í I - 13 - Průchod a rozptyl záření gama ve vrstvách materiálu Prof. Ing. J. Šeda, DrSc. KDAIZ - PJPI

í I - 13 - Průchod a rozptyl záření gama ve vrstvách materiálu Prof. Ing. J. Šeda, DrSc. KDAIZ - PJPI - 13 - í Průchod a rozptyl záření gama ve vrstvách materálu Prof. ng. J. Šeda, DrSc. KDAZ - PJP Na našem pracovšt byl vypracován program umožňující modelovat průchod záření gama metodou Monte Carlo, homogenním

Více

Úloha II.P... Temelínská

Úloha II.P... Temelínská Úloha IIP Temelínská 4 body; průměr 278; řešlo 49 studentů Odhadněte kolk jaderného palva se spotřebuje v jaderné elektrárně na 1 MWh elektrcké energe kterou spotřebují ldé až v domácnost Srovnejte to

Více

MĚRENÍ V ELEKTROTECHNICE

MĚRENÍ V ELEKTROTECHNICE EAICKÉ OKHY ĚENÍ V ELEKOECHNICE. řesnost měření. Chyby analogových a číslcových měřcích přístrojů. Chyby nepřímých a opakovaných měření. rmární etalon napětí. Zdroje referenčních napětí. rmární etalon

Více

5. MĚŘENÍ STEJNOSMĚRNÝCH MOTORŮ. 5.1 Stejnosměrný motor s cizím buzením 5.1.1 Štítkové údaje

5. MĚŘENÍ STEJNOSMĚRNÝCH MOTORŮ. 5.1 Stejnosměrný motor s cizím buzením 5.1.1 Štítkové údaje nastavíme synchronzac se sítí (označení LINE), což značí, že př kmtočtu 50 Hz bude počet záblesků, kterým osvětlíme hřídel, 3000 mn -1. Řízením dynamometru docílíme stav, kdy se na hřídel objeví tř nepohyblvé

Více

Příprava ke státním maturitám 2011, vyšší úroveň obtížnosti materiál stažen z www.e-matematika.cz

Příprava ke státním maturitám 2011, vyšší úroveň obtížnosti materiál stažen z www.e-matematika.cz Příprava ke státním maturtám 0, všší úroveň obtížnost materál stažen z wwwe-matematkacz 80 60 Jsou dána čísla s 90, t 5 0 Ve stejném tvaru (součn co nejmenšího přrozeného čísla a mocnn deset) uveďte čísla

Více

Teoretické modely diskrétních náhodných veličin

Teoretické modely diskrétních náhodných veličin Teoretcké modely dskrétních náhodných velčn Velčny, kterým se zabýváme, bývají nejrůznější povahy. Přesto však estují skupny náhodných velčn, které mají podobně rozloženou pravděpodobnostní funkc a lze

Více

MATEMATICKO STATISTICKÉ PARAMETRY ANALYTICKÝCH VÝSLEDKŮ

MATEMATICKO STATISTICKÉ PARAMETRY ANALYTICKÝCH VÝSLEDKŮ MATEMATICKO STATISTICKÉ PARAMETRY ANALYTICKÝCH VÝSLEDKŮ Má-li analytický výsledek objektivně vypovídat o chemickém složení vzorku, musí splňovat určitá kriteria: Mezinárodní metrologický slovník (VIM 3),

Více

Mechatronické systémy s elektronicky komutovanými motory

Mechatronické systémy s elektronicky komutovanými motory Mechatroncké systémy s elektroncky komutovaným motory 1. EC motor Uvedený motor je zvláštním typem synchronního motoru nazývaný též bezkartáčovým stejnosměrným motorem (anglcky Brushless Drect Current

Více

Odhad parametrů N(µ, σ 2 )

Odhad parametrů N(µ, σ 2 ) Odhad parametrů N(µ, σ 2 ) Mějme statistický soubor x 1, x 2,, x n modelovaný jako realizaci náhodného výběru z normálního rozdělení N(µ, σ 2 ) s neznámými parametry µ a σ. Jaký je maximální věrohodný

Více

Chyby a neurčitosti měření

Chyby a neurčitosti měření Radioelektronická měření (MREM) Chyby a neurčitosti měření 10. přednáška Jiří Dřínovský Ústav radioelektroniky FEKT VUT v Brně Základní pojmy Měření je souhrn činností s cílem určit hodnotu měřené veličiny

Více

Laboratorní cvičení L4 : Stanovení modulu pružnosti

Laboratorní cvičení L4 : Stanovení modulu pružnosti Laboratorní cvčení L4 Laboratorní cvčení L4 : Stanovení modulu pružnost 1. Příprava Modul pružnost statcký a dynamcký (kap. 3.4.2., str. 72, str.36, 4) Měření statckého modulu pružnost (kap. 5.11.1, str.97-915,

Více

Transformace dat a počítačově intenzivní metody

Transformace dat a počítačově intenzivní metody Transformace dat a počítačově ntenzvní metody Jří Mltký Katedra textlních materálů, Textlní fakulta, Techncká unversta v Lberc, Lberec, e- mal jr.mltky@vslb.cz Mlan Meloun, Katedra analytcké cheme, Unversta

Více

ANALÝZA ROZPTYLU (Analysis of Variance ANOVA)

ANALÝZA ROZPTYLU (Analysis of Variance ANOVA) NLÝZ OZPYLU (nalyss of Varance NOV) Používá se buď ako samostatná technka, nebo ako postup, umožňuící analýzu zdroů varablty v lneární regres. Př. použtí: k porovnání středních hodnot (průměrů) více než

Více

Čísla a aritmetika. Řádová čárka = místo, které odděluje celou část čísla od zlomkové.

Čísla a aritmetika. Řádová čárka = místo, které odděluje celou část čísla od zlomkové. Příprava na cvčení č.1 Čísla a artmetka Číselné soustavy Obraz čísla A v soustavě o základu z: m A ( Z ) a z (1) n kde: a je symbol (číslce) z je základ m je počet řádových míst, na kterých má základ kladný

Více

Zkouškový test z fyzikální a koloidní chemie

Zkouškový test z fyzikální a koloidní chemie Zkouškový test z fyzkální a kolodní cheme VZOR/1 jméno test zápočet průměr známka Čas 9 mnut. Povoleny jsou kalkulačky. Nejsou povoleny žádné písemné pomůcky. Uotázeksvýběrema,b,c...odpověd b kroužkujte.platí:

Více

1. Stanovení modulu pružnosti v tahu přímou metodou

1. Stanovení modulu pružnosti v tahu přímou metodou . Stanovení moduu pružnost v tahu přímou metodou.. Zadání úohy. Určte modu pružnost v tahu přímou metodou pro dva vzorky různých materáů a výsedky porovnejte s tabukovým hodnotam.. Z naměřených hodnot

Více

3/8.4 PRAKTICKÉ APLIKACE PŘI POUŽÍVÁNÍ NEJISTOT

3/8.4 PRAKTICKÉ APLIKACE PŘI POUŽÍVÁNÍ NEJISTOT PROKAZOVÁNÍ SHODY VÝROBKŮ část 3, díl 8, kapitola 4, str. 1 3/8.4 PRAKTICKÉ APLIKACE PŘI POUŽÍVÁNÍ NEJISTOT Vyjadřování standardní kombinované nejistoty výsledku zkoušky Výsledek zkoušky se vyjadřuje v

Více

Masarykova univerzita Ekonomicko správní fakulta

Masarykova univerzita Ekonomicko správní fakulta Masarykova unverzta Ekonomcko správní fakulta Fnanční matematka dstanční studjní opora Frantšek Čámský Brno 2005 Tento projekt byl realzován za fnanční podpory Evropské une v rámc programu SOCRATES Grundtvg.

Více

Zákony hromadění chyb.

Zákony hromadění chyb. Zákony hromadění chyb. Zákon hromadění skutečných chyb. Zákon hromadění středních chyb. Tomáš Bayer bayertom@natur.cuni.cz Přírodovědecká fakulta Univerzity Karlovy v Praze, Katedra aplikované geoinformatiky

Více

2 Přímé a nepřímé měření odporu

2 Přímé a nepřímé měření odporu 2 2.1 Zadání úlohy a) Změřte jednotlivé hodnoty odporů R 1 a R 2, hodnotu odporu jejich sériového zapojení a jejich paralelního zapojení, a to těmito způsoby: přímou metodou (RLC můstkem) Ohmovou metodou

Více

Inferenční statistika - úvod. z-skóry normální rozdělení pravděpodobnost rozdělení výběrových průměrů

Inferenční statistika - úvod. z-skóry normální rozdělení pravděpodobnost rozdělení výběrových průměrů Inferenční statistika - úvod z-skóry normální rozdělení pravděpodobnost rozdělení výběrových průměrů Pravděpodobnost postupy induktivní statistiky vycházejí z teorie pravděpodobnosti pravděpodobnost, že

Více

676 + 4 + 100 + 196 + 0 + 484 + 196 + 324 + 64 + 324 = = 2368

676 + 4 + 100 + 196 + 0 + 484 + 196 + 324 + 64 + 324 = = 2368 Příklad 1 Je třeba prověřit, zda lze na 5% hladině významnosti pokládat za prokázanou hypotézu, že střední doba výroby výlisku je 30 sekund. Přitom 10 náhodně vybraných výlisků bylo vyráběno celkem 540

Více

ČVUT FEL. X16FIM Finanční Management. Semestrální projekt. Téma: Optimalizace zásobování teplem. Vypracoval: Marek Handl

ČVUT FEL. X16FIM Finanční Management. Semestrální projekt. Téma: Optimalizace zásobování teplem. Vypracoval: Marek Handl ČVUT FEL X16FIM Fnanční Management Semestrální projekt Téma: Optmalzace zásobování teplem Vypracoval: Marek Handl Datum: květen 2008 Formulace úlohy Pro novou výstavbu 100 bytových jednotek je třeba zvolt

Více

Charakterizují kvantitativně vlastnosti předmětů a jevů.

Charakterizují kvantitativně vlastnosti předmětů a jevů. Měřicí aparatura 1 / 34 Fyzikální veličiny Charakterizují kvantitativně vlastnosti předmětů a jevů. Můžeme je dělit: Podle rozměrů: Bezrozměrné (index lomu, poměry) S rozměrem fyzikální veličiny velikost

Více

Úvod do teorie měření. Eva Hejnová

Úvod do teorie měření. Eva Hejnová Úvod do teorie měření Eva Hejnová Literatura: Novák, R. Úvod do teorie měření. Ústí nad Labem: UJEP, 2003 Sprušil, B., Zieleniecová, P.: Úvod do teorie fyzikálních měření. Praha: SPN, 1985 Brož, J. a kol.

Více

Pravděpodobnost, náhoda, kostky

Pravděpodobnost, náhoda, kostky Pravděpodobnost, náhoda, kostky Radek Pelánek IV122, jaro 2015 Výhled pravděpodobnost náhodná čísla lineární regrese detekce shluků Dnes lehce nesourodá směs úloh souvisejících s pravděpodobností krátké

Více

Fyzikální sekce přírodovědecké fakulty Masarykovy univerzity v Brně FYZIKÁLNÍ PRAKTIKUM. Speciální praktikum z abc

Fyzikální sekce přírodovědecké fakulty Masarykovy univerzity v Brně FYZIKÁLNÍ PRAKTIKUM. Speciální praktikum z abc Fyzikální sekce přírodovědecké fakulty Masarykovy univerzity v Brně FYZIKÁLNÍ PRAKTIKUM Speciální praktikum z abc Zpracoval: Jan Novák Naměřeno: 1. ledna 2001 Obor: F Ročník: IV Semestr: IX Testováno:

Více

1.2. Postup výpočtu. , [kwh/(m 3.a)] (6)

1.2. Postup výpočtu. , [kwh/(m 3.a)] (6) 1. Stavebn energetcké vlastnost budov Energetcké chování budov v zním období se v současné době hodnotí buď s pomocí průměrného součntele prostupu tepla nebo s pomocí měrné potřeby tepla na vytápění. 1.1.

Více

7. STATISTICKÝ SOUBOR S JEDNÍM ARGUMENTEM

7. STATISTICKÝ SOUBOR S JEDNÍM ARGUMENTEM 7. STATISTICKÝ SOUBOR S JEDNÍM ARGUMENTEM Průvodce studem Předchozí kaptoly byly věnovány pravděpodobnost a tomu, co s tímto pojmem souvsí. Nyní znalost z počtu pravděpodobnost aplkujeme ve statstce. Předpokládané

Více

6 LINEÁRNÍ REGRESNÍ MODELY

6 LINEÁRNÍ REGRESNÍ MODELY 1 6 LINEÁRNÍ REGRESNÍ MODELY Př budování regresních modelů se běžně užívá metody nejmenších čtverců. Metoda nejmenších čtverců poskytuje postačující odhady parametrů jenom př současném splnění všech předpokladů

Více

ANALÝZA RIZIKA A CITLIVOSTI JAKO SOUČÁST STUDIE PROVEDITELNOSTI 1. ČÁST

ANALÝZA RIZIKA A CITLIVOSTI JAKO SOUČÁST STUDIE PROVEDITELNOSTI 1. ČÁST Abstrakt ANALÝZA ZKA A CTLOST JAKO SOUČÁST STUDE POVEDTELNOST 1. ČÁST Jří Marek Úspěšnost nvestce závsí na tom, jaké nejstoty ovlvní její předpokládaný žvotní cyklus. Pomocí managementu rzka a analýzy

Více

JEDNOVÝBĚROVÉ TESTY. Komentované řešení pomocí programu Statistica

JEDNOVÝBĚROVÉ TESTY. Komentované řešení pomocí programu Statistica JEDNOVÝBĚROVÉ TESTY Komentované řešení pomocí programu Statistica Vstupní data Data umístěná v excelovském souboru překopírujeme do tabulky ve Statistice a pojmenujeme proměnné, viz prezentace k tématu

Více

Rozdělení náhodné veličiny. Distribuční funkce. Vlastnosti distribuční funkce

Rozdělení náhodné veličiny. Distribuční funkce. Vlastnosti distribuční funkce Náhodná veličina motivace Náhodná veličina Často lze výsledek náhodného pokusu vyjádřit číslem: číslo, které padlo na kostce, výška náhodně vybraného studenta, čas strávený čekáním na metro, délka života

Více

Základní škola národního umělce Petra Bezruče, Frýdek-Místek, tř. T. G. Masaryka 454. Název DUM: Měření fyzikálních veličin

Základní škola národního umělce Petra Bezruče, Frýdek-Místek, tř. T. G. Masaryka 454. Název DUM: Měření fyzikálních veličin Základní škola národního umělce Petra Bezruče, Frýdek-Místek, tř. T. G. Masaryka 454 Zpracováno v rámci OP VK - EU peníze školám Jednička ve vzdělávání CZ.1.07/1.4.00/21.2759 Název DUM: Měření fyzikálních

Více

Národní informační středisko pro podporu kvality

Národní informační středisko pro podporu kvality Národní informační středisko pro podporu kvality Nestandardní regulační diagramy J.Křepela, J.Michálek REGULAČNÍ DIAGRAM PRO VŠECHNY INDIVIDUÁLNÍ HODNOTY xi V PODSKUPINĚ V praxi se někdy setkáváme s požadavkem

Více

DOBA DOZVUKU V MÍSTNOSTI

DOBA DOZVUKU V MÍSTNOSTI DOBA DOZVUKU V MÍSTNOSTI 1. Úvod Po zapnutí zdroje zvuku v místnost trvá jstou krátkou dobu (řádově vteřny až zlomky vteřn), než dojde k ustálení zvukového pole. Často je v takových případech možné skutečné

Více

Postup pro kalibraci vyměřené zkušební dráhy pro stanovení konstanty vozidla W a účinného obvodu pneumatik (dále jen dráhy )

Postup pro kalibraci vyměřené zkušební dráhy pro stanovení konstanty vozidla W a účinného obvodu pneumatik (dále jen dráhy ) Postup pro kalibraci vyměřené zkušební dráhy pro stanovení konstanty vozidla W a účinného obvodu pneumatik (dále jen dráhy ) Kalibrace se provede porovnávací metodou pomocí kalibrovaného ocelového měřicího

Více

Měřicí přístroje a měřicí metody

Měřicí přístroje a měřicí metody Měřicí přístroje a měřicí metody Základní elektrické veličiny určují kvalitativně i kvantitativně stav elektrických obvodů a objektů. Neelektrické fyzikální veličiny lze převést na elektrické veličiny

Více

DYNAMICKÉ MODULY PRUŽNOSTI NÁVOD DO CVIČENÍ

DYNAMICKÉ MODULY PRUŽNOSTI NÁVOD DO CVIČENÍ DYNAMICKÉ MODUY PRUŽNOSTI NÁVOD DO CVIČNÍ D BI0 Zkušebnctví a technologe Ústav stavebního zkušebnctví, FAST, VUT v Brně 1. STANOVNÍ DYNAMICKÉHO MODUU PRUŽNOSTI UTRAZVUKOVOU IMPUZOVOU MTODOU [ČSN 73 1371]

Více

KATEDRA MATERIÁLOVÉHO INŽENÝRSTVÍ A CHEMIE. Stanovení základních materiálových parametrů

KATEDRA MATERIÁLOVÉHO INŽENÝRSTVÍ A CHEMIE. Stanovení základních materiálových parametrů KATEDRA MATERIÁLOVÉHO INŽENÝRSTVÍ A CHEMIE Stanovení základních materiálových parametrů Vzor laboratorního protokolu Titulní strana: název experimentu jména studentů v pracovní skupině datum Protokol:

Více

1. Úvod do základních pojmů teorie pravděpodobnosti

1. Úvod do základních pojmů teorie pravděpodobnosti 1. Úvod do záladních pojmů teore pravděpodobnost 1.1 Úvodní pojmy Většna exatních věd zobrazuje své výsledy rgorózně tj. výsledy jsou zísávány na záladě přesných formulí a jsou jejch nterpretací. em je

Více

LOGICKÉ OBVODY J I Ř Í K A L O U S E K

LOGICKÉ OBVODY J I Ř Í K A L O U S E K LOGICKÉ OBVODY J I Ř Í K A L O U S E K Ostrava 2006 Obsah předmětu 1. ČÍSELNÉ SOUSTAVY... 2 1.1. Číselné soustavy - úvod... 2 1.2. Rozdělení číselných soustav... 2 1.3. Polyadcké číselné soustavy... 2

Více

1 Elektrotechnika 1. 9:00 hod. G 0, 25

1 Elektrotechnika 1. 9:00 hod. G 0, 25 A 9: hod. Elektrotechnka a) Napětí stejnosměrného zdroje naprázdno je = 5 V. Př proudu A je svorkové napětí V. Vytvořte napěťový a proudový model tohoto reálného zdroje. b) Pomocí přepočtu napěťových zdrojů

Více

7. Rozdělení pravděpodobnosti ve statistice

7. Rozdělení pravděpodobnosti ve statistice 7. Rozdělení pravděpodobnosti ve statistice Statistika nuda je, má však cenné údaje, neklesejte na mysli, ona nám to vyčíslí Jednou z úloh statistiky je odhad (výpočet) hodnot statistického znaku x i,

Více

Stanovení hustoty pevných a kapalných látek

Stanovení hustoty pevných a kapalných látek 55 Kapitola 9 Stanovení hustoty pevných a kapalných látek 9.1 Úvod Hustota látky ρ je hmotnost její objemové jednotky, definované vztahem: ρ = dm dv, kde dm = hmotnost objemového elementu dv. Pro homogenní

Více

Hodina 50 Strana 1/14. Gymnázium Budějovická. Hodnocení akcií

Hodina 50 Strana 1/14. Gymnázium Budějovická. Hodnocení akcií Hodina 50 Strana /4 Gymnázium Budějovická Volitelný předmět Ekonomie - jednoletý BLOK ČÍSLO 8 Hodnocení akcií Předpokládaný počet : 9 hodin Použitá literatura : František Egermayer, Jan Kožíšek Statistická

Více

ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ V ROVINĚ

ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ V ROVINĚ ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ V ROVINĚ Parametrické vyjádření přímky v rovině Máme přímku p v rovině určenou body A, B. Sestrojíme vektor u = B A. Pro bod B tím pádem platí: B = A + u. Je zřejmé,

Více

Téma 5: Parametrická rozdělení pravděpodobnosti spojité náhodné veličiny

Téma 5: Parametrická rozdělení pravděpodobnosti spojité náhodné veličiny 0.05 0.0 0.05 0.0 0.005 Nomnální napětí v pásnc Std Mean 40 60 80 00 0 40 60 Std Téma 5: Parametrcká rozdělení pravděpodobnost spojté náhodné velčn Přednáška z předmětu: Pravděpodobnostní posuzování konstrukcí

Více

Západočeská univerzita v Plzni Fakulta aplikovaných věd Katedra matematiky. Bakalářská práce. Zpracování výsledků vstupních testů z matematiky

Západočeská univerzita v Plzni Fakulta aplikovaných věd Katedra matematiky. Bakalářská práce. Zpracování výsledků vstupních testů z matematiky Západočeská unverzta v Plzn Fakulta aplkovaných věd Katedra matematky Bakalářská práce Zpracování výsledků vstupních testů z matematky Plzeň, 13 Tereza Pazderníková Prohlášení Prohlašuj, že jsem bakalářskou

Více

STATISTICKÉ ZJIŠŤOVÁNÍ

STATISTICKÉ ZJIŠŤOVÁNÍ STATISTICKÉ ZJIŠŤOVÁNÍ ÚVOD Základní soubor Všechny ryby v rybníce, všechny holky/kluci na škole Cílem určit charakteristiky, pravděpodobnosti Průměr, rozptyl, pravděpodobnost, že Maruška kápne na toho

Více

Určujeme neznámé hodnoty parametru základního souboru. Pomocí výběrové charakteristiky vypočtené z náhodného výběru.

Určujeme neznámé hodnoty parametru základního souboru. Pomocí výběrové charakteristiky vypočtené z náhodného výběru. 1 Statistické odhady Určujeme neznámé hodnoty parametru základního souboru. Pomocí výběrové charakteristiky vypočtené z náhodného výběru. Odhad lze provést jako: Bodový odhad o Jedna číselná hodnota Intervalový

Více

9 Kolmost vektorových podprostorů

9 Kolmost vektorových podprostorů 9 Kolmost vektorových podprostorů Od kolmosti dvou vektorů nyní přejdeme ke kolmosti dvou vektorových podprostorů. Budeme se zabývat otázkou, kdy jsou dva vektorové podprostory na sebe kolmé a jak to poznáme.

Více

Jiří Neubauer. Katedra ekonometrie, FVL, UO Brno kancelář 69a, tel

Jiří Neubauer. Katedra ekonometrie, FVL, UO Brno kancelář 69a, tel Katedra ekonometrie, FVL, UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz Výsledky některých náhodných pokusů jsou přímo vyjádřeny číselně (např. při hodu kostkou padne 6). Náhodnou veličinou

Více

PRAKTIKUM II Elektřina a magnetismus

PRAKTIKUM II Elektřina a magnetismus Oddělení fyzikálních praktik při Kabinetu výuky obecné fyziky MFF UK PRAKTIKUM II Elektřina a magnetismus Úloha č.: II Název: Měření odporů Pracoval: Pavel Brožek stud. skup. 12 dne 28.11.2008 Odevzdal

Více

Diskrétní náhodná veličina

Diskrétní náhodná veličina Lekce Diskrétní náhodná veličina Výsledek náhodného pokusu může být vyjádřen slovně to vede k zavedení pojmu náhodného jevu Výsledek náhodného pokusu můžeme někdy vyjádřit i číselně, což vede k pojmu náhodné

Více

Přesnost a chyby měření

Přesnost a chyby měření Přesnost a chyby měření Výsledek každého měření se poněkud liší od skutečné hodnoty. Rozdíl mezi naměřenou hodnotou M a skutečnou hodnotou S se nazývá chyba měření. V praxi se rozlišují dvě chyby, a to

Více

3 Bodové odhady a jejich vlastnosti

3 Bodové odhady a jejich vlastnosti 3 Bodové odhady a jejich vlastnosti 3.1 Statistika (Skripta str. 77) Výběr pořizujeme proto, abychom se (více) dověděli o souboru, ze kterého jsme výběr pořídili. Zde se soustředíme na situaci, kdy známe

Více

2.POPIS MĚŘENÉHO PŘEDMĚTU Měřený předmětem jsou v tomto případě polovodičové diody, jejich údaje jsou uvedeny v tabulce:

2.POPIS MĚŘENÉHO PŘEDMĚTU Měřený předmětem jsou v tomto případě polovodičové diody, jejich údaje jsou uvedeny v tabulce: REDL 3.EB 8 1/14 1.ZADÁNÍ a) Změřte voltampérovou charakteristiku polovodičových diod pomocí voltmetru a ampérmetru v propustném i závěrném směru. b) Sestrojte grafy =f(). c) Graficko početní metodou určete

Více

Statistická teorie učení

Statistická teorie učení Statistická teorie učení Petr Havel Marek Myslivec přednáška z 9. týdne 1 Úvod Představme si situaci výrobce a zákazníka, který si u výrobce objednal algoritmus rozpoznávání. Zákazník dodal experimentální

Více

Teorie měření a regulace

Teorie měření a regulace Ústav technologie, mechanizace a řízení staveb CW01 Teorie měření a regulace Praxe názvy 1. ZS 2015/2016 2015 - Ing. Václav Rada, CSc. OBECNÝ ÚVOD - praxe Elektrotechnická měření mohou probíhat pouze při

Více

MOŽNOSTI PREDIKCE DYNAMICKÉHO CHOVÁNÍ LOPAT OBĚŽNÝCH KOL KAPLANOVÝCH A DÉRIAZOVÝCH TURBÍN.

MOŽNOSTI PREDIKCE DYNAMICKÉHO CHOVÁNÍ LOPAT OBĚŽNÝCH KOL KAPLANOVÝCH A DÉRIAZOVÝCH TURBÍN. MOŽNOSTI PREDIKCE DYNAMICKÉHO CHOVÁNÍ LOPAT OBĚŽNÝCH KOL KAPLANOVÝCH A DÉRIAZOVÝCH TURBÍN. Mroslav VARNER, Vktor KANICKÝ, Vlastslav SALAJKA ČKD Blansko Strojírny, a. s. Anotace Uvádí se výsledky teoretckých

Více

Teorie efektivních trhů (E.Fama (1965))

Teorie efektivních trhů (E.Fama (1965)) Teore efektvních trhů (E.Fama (965)) Efektvní efektvní zpracování nových nformací Efektvní trh trh, který rychle a přesně absorbuje nové nf. Ceny II (akcí) náhodná procházka Předpoklady: na trhu partcpuje

Více

P1: Úvod do experimentálních metod

P1: Úvod do experimentálních metod P1: Úvod do epermetálích metod Chyby a ejstoty měřeí - Každé měřeí je zatížeo určtou epřesostí, která je způsobea ejrůzějším egatvím vlvy, vyskytujícím se v procesu měřeí. - Výsledek měřeí se díky tomu

Více

Střední od 1Ω do 10 6 Ω Velké od 10 6 Ω do 10 14 Ω

Střední od 1Ω do 10 6 Ω Velké od 10 6 Ω do 10 14 Ω Měření odporu Elektrický odpor základní vlastnost všech pasivních a aktivních prvků přímé měření ohmmetrem nepříliš přesné používáme nepřímé měřící metody výchylkové můstkové rozsah odporů ovlivňující

Více

Pravděpodobnost v závislosti na proměnné x je zde modelován pomocí logistického modelu. exp x. x x x. log 1

Pravděpodobnost v závislosti na proměnné x je zde modelován pomocí logistického modelu. exp x. x x x. log 1 Logistická regrese Menu: QCExpert Regrese Logistická Modul Logistická regrese umožňuje analýzu dat, kdy odezva je binární, nebo frekvenční veličina vyjádřená hodnotami 0 nebo 1, případně poměry v intervalu

Více

Simulační metody hromadné obsluhy

Simulační metody hromadné obsluhy Smulační metody hromadné osluhy Systém m a model vstupy S výstupy Systém Část prostředí, kterou lze od jeho okolí oddělt fyzckou neo myšlenkovou hrancí Model Zjednodušený, astraktní nástroj používaný pro

Více

ANALÝZA RIZIKA A JEHO CITLIVOSTI V INVESTIČNÍM PROCESU

ANALÝZA RIZIKA A JEHO CITLIVOSTI V INVESTIČNÍM PROCESU AALÝZA RIZIKA A JEHO CITLIVOSTI V IVESTIČÍM PROCESU Jří Marek ) ABSTRAKT Príspevek nformuje o uplatnene manažmentu rzka v nvestčnom procese. Uvádza príklad kalkulace rzka a analýzu jeho ctlvost. Kľúčové

Více