Komplexní analýza. Reziduová věta a její aplikace. Martin Bohata. Katedra matematiky FEL ČVUT v Praze

HTML
DOWNLOAD

Rozměr: px

Začít zobrazení ze stránky:

Download "Komplexní analýza. Reziduová věta a její aplikace. Martin Bohata. Katedra matematiky FEL ČVUT v Praze"

Ladislav Kubíček
před 6 lety
Počet zobrazení:

1 Komplexní analýza Reziduová věta a její aplikace Martin Bohata Katedra matematiky FEL ČVUT v Praze bohata@math.feld.cvut.cz Martin Bohata Komplexní analýza Reziduová věta a její aplikace /

2 Motivace Mějme holomorfní funkci f(z) na P (z 0 ; r; R), kde r < R. Necht C je kladně orientovaná Jordanova křivka ležící v P (z 0 ; r; R) taková, že z 0 Int C. Jak vypočítat C f(z) dz? Informace o C f(z) dz je skryta v Laurentově rozvoji funkce f na P (z 0 ; r; R). Víme, že a n = 2πi C f(z) (z z 0 dz. Proto ) n+ f(z) dz = 2πia. C Martin Bohata Komplexní analýza Reziduová věta a její aplikace 2 /

3 Reziduum Definice Necht z 0 C je izolovaná singularita funkce f a f(z) = n= a n (z z 0 ) n na P (z 0 ). Koeficient a se nazývá reziduum funkce f v bodě z 0 a značí se res z0 f. res (z ) 3 = 0. 2 res 0 e z z 2 =. 3 Již jsme nalezli, že z( z) = n= ( )n (z ) n na P (; 0; ). Proto res z( z) =. Martin Bohata Komplexní analýza Reziduová věta a její aplikace 3 /

4 Výpočet rezidua Tvrzení Necht z 0 C je k-násobný pól funkce f. Potom res z0 f(z) = [ (k ) (k )! lim (z z 0 ) f(z)] k. z z 0 Důkaz: Viz přednáška. Speciálně: je-li z 0 jednoduchý pól funkce f, pak Necht f(z) = (z )(z+) 2. res f(z) = 4. 2 res f(z) = 4. res z0 f(z) = lim z z0 (z z 0 )f(z). Martin Bohata Komplexní analýza Reziduová věta a její aplikace 4 /

5 Výpočet rezidua res i z (z i) 2 (z+) = 2. (+i) 2 Věta (l Hospitalovo pravidlo) Jestliže z 0 C a funkce f a g jsou holomorfní na U(z 0 ) a splňují f(z 0 ) = g(z 0 ) = 0. Potom f(z) lim z z 0 g(z) = lim f (z) z z 0 g (z) Důkaz: Vynecháváme. res 0 e z =. Martin Bohata Komplexní analýza Reziduová věta a její aplikace 5 /

6 Výpočet rezidua Tvrzení Necht z 0 C, f je holomorfní na U(z 0 ) a g má v z 0 jednoduchý pól. Pak res z0 f(z)g(z) = f(z 0 ) res z0 g(z). Důkaz: Vynecháváme. Tvrzení Necht z 0 C a funkce f a g jsou holomorfní na U(z 0 ). Jestliže g má v z 0 f(z) jednonásobný kořen, potom res z0 g(z) = f(z 0) g (z 0 ). Důkaz: Viz cvičení. res 0 (3e z +2(z ) 2 sin(zπ) cos(z))(e z ) z 2 = 2. 2 res π +e iz = i. Martin Bohata Komplexní analýza Reziduová věta a její aplikace 6 /

7 Reziduová věta Věta (Reziduová věta) Necht Ω C je jednoduše souvislá oblast, C je kladně orientovaná Jordanova křivka ležící v Ω a S Int C je konečná množina. Jestliže f je holomorfní na Ω \ S a body z množiny S jsou izolované singularity funkce f, potom f(z) dz = 2πi res w f(z). C w S Důkaz: Viz přednáška. At C je obdélník o vrcholech i, 4 i, 4 + i, i. Pak 3πi dz = (z )(z 3)(z 5) 2 6. C Martin Bohata Komplexní analýza Reziduová věta a její aplikace 7 /

8 Hlavní hodnota integrálu Pro hezké funkce f definujeme nevlastní (Riemannův) integrál předpisem f(x) dx = 0 lim a a f(x) dx + lim b + b 0 f(x) dx. Při takové definici integrál x dx neexistuje. V dalším budeme chápat integrál f(x) dx ve smyslu tzv. Cauchyovy hlavní hodnoty: R f(x) dx = lim f(x) dx. R R Ve smyslu hlavní hodnoty je x dx = 0. Existuje-li integrál jako nevlastní Riemannův, pak existuje i ve smyslu hlavní hodnoty. Martin Bohata Komplexní analýza Reziduová věta a její aplikace 8 /

9 Integrály z racionálních funkcí Tvrzení Necht P a Q jsou polynomy a S + = {z C Q(z) = 0, Im z > 0}. Jestliže + st P < st Q a Q nemá žádný reálný kořen, potom P (x) P (z) dx = 2πi res w Q(x) Q(z). w S + Důkaz: Viz přednáška. (x 2 + )(x 2 + 4) dx = π 6. Martin Bohata Komplexní analýza Reziduová věta a její aplikace 9 /

10 Integrály obsahující oscilující exponenciálu Tvrzení Necht P a Q jsou polynomy takové, že st P < st Q. Předpokládejme, že Q nemá žádný reálný kořen. Jestliže α > 0 a S + = {z C Q(z) = 0, Im z > 0}, pak P (x) Q(x) eiαx dx = 2πi P (z) res w Q(z) eiαz. w S + 2 Jestliže α < 0 a S = {z C Q(z) = 0, Im z < 0}, pak P (x) Q(x) eiαx dx = 2πi P (z) res w Q(z) eiαz. w S Důkaz: Vynecháváme. Martin Bohata Komplexní analýza Reziduová věta a její aplikace 0 /

11 Integrály obsahující oscilující exponenciálu sin x x 2 4x + 5 cos x x 2 4x + 5 π sin 2 dx =, e π cos 2 dx =. e 2 e iπx x dx = π 4e π. Martin Bohata Komplexní analýza Reziduová věta a její aplikace /

Podobné dokumenty

Komplexní analýza. Holomorfní funkce. Martin Bohata. Katedra matematiky FEL ČVUT v Praze

Komplexní analýza. Holomorfní funkce. Martin Bohata. Katedra matematiky FEL ČVUT v Praze Komplexní analýza Holomorfní funkce Martin Bohata Katedra matematiky FEL ČVUT v Praze bohata@math.feld.cvut.cz Martin Bohata Komplexní analýza Holomorfní funkce 1 / 8 Derivace Definice Necht f je komplexní