Neparametrické odhady podmíněné rizikové funkce

HTML
DOWNLOAD

Rozměr: px

Začít zobrazení ze stránky:

Download "Neparametrické odhady podmíněné rizikové funkce"

Luboš Malý
před 6 lety
Počet zobrazení:

1 Ústav matematiky a statistiky Přírodovědecká fakulta Masarykova univerzita Finanční matematika v praxi III a Matematické modely a aplikace září 2013

2 Obsah 1 Analýza přežití Funkce přežití a riziková funkce Předpoklady 2 Jádrové odhady rizikové funkce Volba vyhlazovacího parametru 3 Podmíněná riziková funkce Coxův model proporcionálního rizika Jádrové odhady podmíněné rizikové funkce 4 5

3 Analýza přežití Analýza přežití Funkce přežití a riziková funkce Předpoklady Čas přežití T (čas od počáteční události do koncové události) Cenzorování (levostranné, intervalové, pravostranné) T 1, T 2,..., T n nezávislé a stejně rozdělené časy přežití s distribuční funkcí F C 1, C 2,..., C n nezávislé a stejně rozdělené časy cenzorování s distribuční funkcí G (X i, δ i ), kde X i = min(t i, C i ) a δ i = I Ti C i X 1, X 2,..., X n nezávislé a stejně rozdělené časy sledování s distribuční funkcí L splňující L(x) = 1 (1 F (x))(1 G(x))

4 Otázky v analýze přežití Analýza přežití Funkce přežití a riziková funkce Předpoklady 1 Jaká je pravděpodobnost přežití např. po 5 letech? Kdy je největší riziko úmrtí? 2 Je rozdíl v přežití např. mezi ženami a muži? 3 Jak závisí přežití např. na věku?

5 Funkce přežití a riziková funkce Analýza přežití Funkce přežití a riziková funkce Předpoklady Funkce přežití F (x) = P(T x) = 1 F (x) Kaplan-Meierův odhad funkce přežití F (x) = i:x (i ) <x ( n i ) δ(i ) n i + 1 kde X (i) značí i-té pozorování seřazených X 1, X 2,..., X n a δ (i) je odpovídající indikátor cenzorování Riziková funkce λ(x) x = P(x T < x + x T x) λ(x) = f (x) F (x)

6 Funkce přežití a riziková funkce Analýza přežití Funkce přežití a riziková funkce Předpoklady Kumulativní riziková funkce Λ(x) = x 0 λ(u)du Nelson-Aalenův odhad ˆΛ n (x) = X (i ) x δ (i) n i + 1

7 Předpoklady Analýza přežití Funkce přežití a riziková funkce Předpoklady 1 [0, T ] interval, pro který L(T ) < 1 2 λ C 2 [0, T ] 3 K reálná funkce splňující podmínky 1 K Lip[ 1, 1] 2 supp(k) = [ 1, 1], K( 1) = K(1) = j = 1, x j K(x)dx = 1 j = 0, 1 β 2 0 j = 2. Taková funkce se nazývá jádro řádu 2 4 {h(n)} nenáhodná posloupnost kladných čísel splňující lim h(n) = 0, lim h(n)n = n n

8 Jádrové odhady rizikové funkce Jádrové odhady rizikové funkce Volba vyhlazovacího parametru λ(t) = f (t) F (t) and L(x) = F (x)g(x) λ(x) = G(x)f (x) L(x) = r(x) L(x) r(x) hustota úmrtí, L(x) funkce přežití pozorovaných časů ˆλ(x) = ˆr(x) ˆλ 1 (x) = ˆλ 2 (x) = L(x) 1 n nh i=1 δ i K 1 L n(x) 1 nh n i=1 δ i K ( ) x Xi h ( x Xi h 1 1 n n i=1 W ( x Xi h ) ), where W (x) = x K(t)dt

9 Jádrové odhady rizikové funkce Jádrové odhady rizikové funkce Volba vyhlazovacího parametru Konvoluce jádra K s Nelson-Aalenovým odhadem ˆλ 3 (x) = 1 ( ) x u K dˆλ n (u) = h h = 1 n ( ) x X(i) δ (i) K h h n i + 1 i=1

10 Volba vyhlazovacího parametru Jádrové odhady rizikové funkce Volba vyhlazovacího parametru Metoda křížového ověřování ĥcv = arg min h Hn CV (h) CV (h) = 0 ˆλ 2 (x)dx 2 1 n n i=1 ˆλ i (X i ) (1 L n (X i )) δ i Metoda maximální věrohodnosti ĥml = arg max h Hn ML(h) n ML(h) = ˆλ i (X i ) δ i F i (X i ) i=1 iterační metoda, plug-in metoda,...

11 Podmíněná riziková funkce Podmíněná riziková funkce Coxův model proporcionálního rizika Jádrové odhady podmíněné rizikové funkce (X i, δ i, Y i ), kde X i = min(t i, C i ), δ i = I Ti C i a Y i je vektor kovariát λ(x y) x = P(x T < x + x T x, Y = y) λ(x y) = f (x y) G(x y)f (x y) = = r(x y) F (x y) L(x y) L(x y) Λ(x y) = x 0 λ(u y)du

12 Coxův model proporcionálního rizika Podmíněná riziková funkce Coxův model proporcionálního rizika Jádrové odhady podmíněné rizikové funkce λ(x y) = λ 0 (x) exp(βy), kde λ 0 (x) je základní riziko a β je parametr Poměr riziko: λ(x y) λ(x y ) = λ 0(x) exp(βy) λ 0 (x) exp(βy ) = exp(β(y y )) β maximalizace věrohodnostní funkce

13 Podmíněná riziková funkce Coxův model proporcionálního rizika Jádrové odhady podmíněné rizikové funkce Jádrové odhady podmíněné rizikové funkce ˆλ 2 (x y) = 1 ( ) x Xi h x n h x i=1 w i(y)δ i K ( ) n i=1 w Xi x i(y)w h x kde W (x) = x K(t)dt a w i(y) jsou váhy Nadaraya Watsonovy váhy ( ) K y Yi h y w i (y) = ( ) n j=1 K y Yj h y

14 Podmíněná riziková funkce Coxův model proporcionálního rizika Jádrové odhady podmíněné rizikové funkce Jádrové odhady podmíněné rizikové funkce ˆλ 3 (x y) = 1 h x ( ) x u K dˆλ n (u y) = h x = 1 n ( ) x X(i) K h x i=1 h x δ (i) w (i) (y) 1 i 1 j=1 w (j)(y) kde X (i) jsou seřazené pozorované časy, δ (i) je odpovídající indikátor cenzorování and w (i) (y) je odpovídající váha

15 Metoda křížového ověřování Podmíněná riziková funkce Coxův model proporcionálního rizika Jádrové odhady podmíněné rizikové funkce ISE = = = (ˆλ(x y) λ(x y)) 2 f (y)dxdy = ˆλ 2 (x y)f (y)dxdy 2 ˆλ(x y)λ(x y)f (y)dxdy + = ˆλ 2 (x y)f (y)dxdy 2 ˆλ(x y) r(x y)f (y)dxdy + L(x y) CV (h x, h y ) = 1 n n i=1 0 ˆλ 2 (x Y i )dx 2 1 n n ˆλ i (X i Y i ) L(X ˆ i Y i ) i=1 δ i (ĥx, ĥy ) = arg min CV (h x, h y )

16 500 pozorování. Cenzorování 15 %. log T i = Y i + ε i, Y i U(0, 1), ε i N(0, 1), C i log N(1.9, )

17 Vnější typ odhadu

18 Vnitřní typ odhadu

19 391 pacientů, kteří byli v letech léčeni na MOÚ v Brně 75 úmrtí (cenzorování 80 %) čas sledování 9 dní až 154 měsíců (medián 38 měsíců) velikost tumoru 0 až 200 mm (průměr 54 mm), hranice pro nepříznivou předpověď 70 mm věk 21 až 93 let (průměr 61 let)

21 kovariáta = velikost tumoru

22 kovariáta = věk

23 Děkuji za pozornost.

Podobné dokumenty

Ústav matematiky a statistiky Masarykova univerzita Brno. workshopy Finanční matematika v praxi III Matematické modely a aplikace Podlesí

Ústav matematiky a statistiky Masarykova univerzita Brno workshopy Finanční matematika v praxi III Matematické modely a aplikace Podlesí 3. 6. září 2013 Obsah 1 2 3 4 y Motivace y 10 0 10 20 30 40 0 5