STP022 PŘÍKLADY LS 2004/2005
|
|
- Stanislava Pešková
- před 5 lety
- Počet zobrazení:
Transkript
1 STP022 PŘÍKLADY LS 2004/2005 Příklady jsou většinou převzaté ze skript Dupač & Hušková (1999), Zvára & Štěpán (2002) a ze sbírky Potocký et al. (1986). Některé příklady a protipříklady pocházejí z knihy Romano & Siegel (1986). Jsou členěny do sekcí podle jednotlivých cvičení. Většina sekcí obsahuje úlohu, která slouží jednak k procvičení a jednak k nahrazení absencí podle pravidel uvedených na stránkách cvičení 1. Přímý výpočet pravděpodobnosti ( ) 1. V antikvariátu má 20 % knih vytrženou stranu, 30 % je popsaných a 60 % je bez poškození. Jaká je pravděpodobnost, že náhodně vybraná kniha je popsaná, ale má všechny strany? 2. Z kartiček s čísly 1, 2, 3, 4, 5 náhodně vybereme tři a položíme je v pořadí, v němž jsme je vybrali. Jaká je pravděpodobnost, že vzniklé trojciferné číslo je sudé? 3. Skupina 10 studentů, z nichž 3 jsou z MFF, se náhodně seřadí do fronty. Určete pravděpodobnost, že 3 z MFF budou vedle sebe. 4. Hodíme 6 kostkami. Určete pravděpodobnost, že (i) padnou vesměs různá čísla, (ii) padnou pouze lichá čísla. 5. V krabici je 8 bílých, 8 červených a 8 modrých koulí. Náhodně vytáhneme jednu, zapíšeme si její barvu a vrátíme ji do krabice. Pak vytáhneme druhou kouli. (1) Jaká je pravděpodobnost, že bude mít stejnou barvu jako první koule? (2) Jak to bude v případě, že první kouli nevrátíme? 6. Ve sportce se sází 6 čísel, losuje se 6 ze 49. Spočtěte pravděpodobnost, že právě 4 čísla vsadíme správně. 7. Skupina n a lidí, z nichž dva jsou naši známí, se rozdělí náhodně do n skupina po a osobách. Jaká je pravděpodobnost, že se naši dva známí dostanou do stejné skupiny? 8. Jaká je pravděpodobnost, že ve třídě n žáků existuje dvojice, která má narozeniny ve stejný den? Jaká je pravděpodobnost, že existuje žák, který má narozeniny ve stejný den jako učitel? 9. (Maxwell Boltzmann.) Náhodně rozmístíme n rozlišitelných kuliček do r přihrádek. Stavem systému je seznam adres jednotlivých kuliček (tj. pro každou kuličku udáme přihrádku, v níž se nachází). Všechny stavy jsou stejně pravděpodobné. (i) Kolik je stavů? (ii) Jaká je pravděpodobnost p n,r,k, že v první přihrádce je právě k kuliček? (iii) Jaká je limita této pravděpodobnosti, když n a současně r = r n, a to tak, že n/r n λ (0, )? (k je pevné.) (iv) Jaká je pravděpodobnost, že aspoň jedna přihrádka je prázdná? Úloha 1. n dopisů různým adresátům umístíme do n obálek a zalepíme. Když si uvědomíme, že jsme zapomněli napsat na obálky adresy, rozhodneme se napsat je náhodně. Jaká je pravděpodobnost, že aspoň na jednom dopisu je správná adresa? Určete limitu této pravděpodobnosti při n. 1
2 2. Přímý výpočet pravděpodobnosti, podmíněná pravděpodobnost ( ) 10. (Bose Einstein.) Náhodně rozmístíme n nerozlišitelných kuliček do r přihrádek. Stavem systému jsou počty kuliček v jednotlivých přihrádkách (tj. pro každou z r přihrádek udáme, kolik je v ní kuliček). Všechny stavy jsou stejně pravděpodobné. (i) Kolik je stavů? (ii) Jaká je pravděpodobnost p n,r,k, že v první přihrádce je právě k kuliček? (iii) Jaká je limita této pravděpodobnosti, když n a současně r = r n, a to tak, že n/r n λ (0, )? (k je pevné.) (iv) Jaká je pravděpodobnost, že aspoň jedna přihrádka je prázdná? 11. Tenista má první podání úspěšné s pravděpodobností 0.6, druhé s pravděpodobností 0.8. Jaká je pravděpodobnost dvojchyby? 12. Máme tři karty: jedna má obě strany černé, druhá obě červené, třetí jednu černou a jednu červenou. Potmě vybereme náhodně jednu kartu a položíme ji náhodnou stranou na stůl. Po rozsvícení vidíme červenou. Jaká je pravděpodobnost, že karta je na druhé straně černá? 13. Hráči A, B a C střídavě házejí mincí do té doby, než někomu padne líc. V tom okamžiku hra končí a tento hráč je vítězem. Jaká je pravděpodobnost výhry hráče A, B, C? 14. V krabici je 15 tenisových míčků: 9 nových a 6 starých. Náhodně vybereme 3 a hrajeme s nimi (čímž se stanou nebo zůstanou starými). Pak je vrátíme a opět náhodně vybereme 3. Jaká je pravděpodobnost, že pro druhou hru máme právě k = 0, 1, 2, 3 nových? 15. K disposici máme N uren, v i-té je a i bílých a b i černých koulí. Náhodně vybereme jednu urnu a z ní jednu kouli. Zjistíme, že je bílá. Jaká je pravděpodobnost, že jsme táhli z k-té urny? Úloha 2. em vám chodí 70 % běžných (řekněme vyžádaných nebo nevadících) zpráv, zbývajících 30 % je spam. Připadá vám to moc a tak se rozhodnete nainstalovat si poštovního klienta, který třídí poštu. Jeho výrobce udává, že klient chybně označí vyžádanou zprávu jako spam s pravděpodobností 0.04, zatímco skutečný spam správně klasifikuje jako spam s pravděpodobností 0.8. Zanedlouho po instalaci přijde první a vidíme, že byl klientem označen jako spam. Jaká je pravděpodobnost, že je to skutečně spam? 3. Podmiňování, nezávislost, geometrická pravděpodobnost ( ) 16. Máme N uren, v i-té je a i bílých a b i černých koulí. Náhodně s pravděpodobnostmi p 1,..., p N ( N 1 p i = 1) vybereme jednu urnu. Z té pak náhodně taháme koule s vracením. (a) Uvažujme jevy A k = [v k-tém tahu je tažena bílá] (k = 1, 2,... ). Ukažte, že A k nejsou po dvou nezávislé. (b) Určete pravděpodobnost, že při n tazích bude právě k-krát tažena bílá. (c) Určete pravděpodobnost, že bílá bude poprvé tažena v k-tém tahu. 17. Hodíme modrou a zelenou kostkou. Uvažujme jevy A := [na modré je sudé číslo], B := [na zelené je liché číslo], C := [součet na obou kostkách je lichý]. Jsou tyto jevy nezávislé? Jsou po dvou nezávislé? 18. Třikrát po sobě hodíme mincí. Rub (R) i líc (L) mají pravděpodobnost 1/2. Uvažujme jevy A = RRR, LRR, RLL, LLL}, B = RRL, RLR, LLR, LLL}, C = RRL, RLR, LRL, LLL}. Ukažte, že A, B, C nejsou nezávislé, ale přitom platí Pr(A B C) = Pr(A) Pr(B) Pr(C). 19. Opakovaně házíme současně dvěma kostkami. Jaká je pravděpodobnost, že součet 5 padne dřív než součet 7? 20. Hráče A porazím s pravděpodobností p 1, hráče B s pravděpodobností p 2 ; p 1 > p 2. Hraji tři hry. Pokud se mi podaří vyhrát aspoň dvě za sebou, získám odměnu. Mám na výběr dvě strategie: 2
3 (I) hrát nejprve s A, pak s B, nakonec s A, (II) hrát nejprve s B, potom s A, pak s B. Která strategie je pro mě výhodnější? 21. Tyč délky l se náhodně rozláme na tři kusy. Jaká je pravděpodobnost, že z nich lze sestavit trojúhelník? 22. Náhodně zvolíme čísla x, y (0, 1). S jakou pravděpodobností je jejich součet menší než 1 a součin menší než 0.09? Úloha 3. Uvažujme pravděpodobnostní prostor (Ω, A, P ) = ([0, 1], B, λ), kde B je σ-algebra borelovských množin na intervalu [0, 1] a λ je Lebesgueova míra. Ukažte, že jevy jsou nezávislé. A n = [ 0, 1 2 n ) [ 2 2 n, 3 2 n ) [ 2 n 2 2 n, 2n 1 2 n ), n = 1, 2, Náhodné veličiny, diskretní rozdělení ( ) 23. Na měřitelném prostoru (Ω, A), kde Ω = 1, 2, 3, 4} a A =, 1, 2}, 3, 4}, Ω}, uvažujme funkce X a Y s hodnotami v R definované takto: X(1) = X(2) = 1, X(3) = X(4) = 2, Y (1) = Y (2) = Y (3) = 1, Y (4) = 2. Rozhodněte, zda jsou tyto funkce náhodnými veličinami. 24. Na pravděpodobnostním prostoru (Ω, A, P ), kde Ω = 1, 2}, A =, 1}, 2}, Ω} a P (1}) = P (2}) = 1/2, je definována náhodná veličina X. Dále uvažujme pravděpodobnostní prostor (Ω, A, P ), kde Ω = [0, 1], A = B([0, 1]) jsou borelovské množiny na [0, 1] a P = λ je Lebesgueova míra. Na (Ω, A, P ) jsou definovány veličiny Y, Z, V. Definice X, Y, Z, V jsou následující 0, ω = 1, X(ω) = 1, ω = 2, 0, ω [0, 1/4] [3/4, 1], Z(ω) = 1, ω (1/4, 3/4), 0, ω [0, 1/2], Y (ω) = 1, ω (1/2, 1], 0, ω [0, 1/2] \ 0.1}, V (ω) = 1, ω (1/2, 1] 0.1}. Rozmyslete si, že X, Y, Z, V mají všechny stejné rozdělení (alternativní s parametrem 1/2), ačkoli jsou jinak definované, dokonce i na různých pravděpodobnostních prostorech. 25. Nechť X má binomické rozdělení s parametry n, p, tj. p k = Pr[X = k] = ( n k) p k (1 p) n k, k = 0,..., n (p k = 0, k > n). Spočtěte vytvořují funkci pravděpodobností A(t) = k=0 p kt k = E t X a pomocí ní určete E X a var X. K témuž můžete využít i momentovou vytvořující funkci M(t) = E exptx}. 26. Pro p (n) k = ( n k) p k (n) (1 p (n) ) n k, k = 0,..., n ukažte, že lim n p(n) k = e jestliže p (n) 0 tak, že np (n) λ (0, ). λ λk, k = 0, 1,..., k! 27. Nechť X má Poissonovo rozdělení s parametrem λ, tj. p k = Pr[X = k] = e k!, k = 0, 1,... Spočtěte E X a var X (pomocí vytvořují funkce pravděpodobností, momentové vytvořující funkce nebo přímým výpočtem). 28. V kolejní síti je 923 počítačů, jeden z nich je váš a provozujete na něm FTP server. Každý počítač dá během hodiny na váš server požadavek s pravděpodobností Spočtěte pravděpodobnost, že k vám během hodiny přijde požadavek (a) právě z 6, (b) nejvýše z 6 počítačů. Jednak počítejte tyto pravděpodobnosti přesně, tzn. v binomickém rozdělení, a jednak s použitím aproximace Poissonovým rozdělením. 29. Na server přijde za hodinu průměrně 60 požadavků. Jaká je pravděpodobnost, že po dobu 2 minut, kdy je server restartován, nepřijde žádný požadavek? 3 λ λk
4 30. Nechť veličina X má hypergeometrické rozdělení dané pravděpodobnostmi ( M )( N M ) p (N) k n k k = Pr[X = k] = ( N pro k = 0,..., n, n) kde parametry N, M, n splňují M N, 0 n min(m, N M). Nechť N a M, a to takovým způsobem, že M/N p pro nějaké p (0, 1). Naopak n a k nechť zůstávají pevná. Ukažte, že lim N p(n) k = ( ) n p k (1 p) n k, k = 0,..., n. k 31. S použitím některé vytvořující funkce nebo přímo spočítejte střední hodnotu a rozptyl veličiny s geometrickým rozdělením, tj. p k = Pr[X = k] = q k p, k = 0, 1,... (q = 1 p). Úloha 4. Na sledovaném úseku dálnice se denně stane průměrně 8 nehod. Jaká je pravděpodobnost, že se dnes stanou více než 4 nehody? 5. Diskretní a spojitá rozdělení ( ) 32. Dva hráči střídavě házejí na koš, první se trefí s pravděpodobností p 1, druhý s p 2. Hra končí, když se někdo trefí. Označme X 1 počet hodů prvního hráče během celé hry, X 2 totéž pro druhého. Určete Pr[X 1 = k], Pr[X 2 = k]. 33. Dokažte, že pro nezápornou veličinu X s diskretním rozdělením jsou následující tvrzení ekvivalentní: (i) X má geometrické rozdělení, (ii) Pr[X = k + n X k] = Pr[X = n] pro všechna k, n = 0, 1, Určete střední hodnotu a rozptyl náhodné veličiny s rovnoměrným rozdělením na intervalu [a, b]. 35. Nechť veličina X má spojité rozdělení s hustotou f(x) = cx 3 pro x 1, f(x) = 0 jinak. Určete konstantu c, distribuční funkci, střední hodnotu, rozptyl, Pr[0 < X < 2]. 36. Určete distribuční funkci, střední hodnotu a rozptyl veličiny s exponenciálním rozdělením s intensitou λ (tj. f(x) = λe λx 1 (0, ) (x)). (Momenty počítejte pomocí momentové vytvořující funkce M(t) nebo přímo.) 37. Dokažte, že pro nezápornou veličinu X se spojitým rozdělením jsou následující tvrzení ekvivalentní: (i) X má exponenciální rozdělení, (ii) Pr[T > s + t T > s] = Pr[T > t] pro všechna s, t Veličina X má Cauchyho rozdělení s hustotou 1 f(x) = π(1 + x 2 ), x R. Povšimněte si, že veličina nemá střední hodnotu. Ukažte, že Y = 1/X má opět Cauchyho rozdělení. Úloha 5. Nechť X N(0, 1), zaveďme veličinu Y = e X (tzn. Y má lognormální rozdělení). Určete její distribuční funkci, hustotu, střední hodnotu a median. 6. Náhodné veličiny a vektory ( ) 39. Nechť F je nějaká spojitá rostoucí distribuční funkce, F 1 její inverse. Mějme veličinu U R(0, 1). Ukažte, že veličina X = F 1 (U) má distribuční funkci F. (Poznámka: Tvrzení platí i bez předpokladu, že F je spojitá rostoucí. V tom případě je definováno F 1 (u) = infx : F (x) u}.) Uvědomte si význam pro simulace. Jak nasimulujete veličinu například s exponenciálním či Cauchyovým rozdělením, jestliže máte k disposici generátor (pseudo)náhodných čísel s rovnoměrným rozdělením? 4
5 40. Užitím Fubiniovy věty dokažte, že pro nezápornou náhodnou veličinu s konečnou střední hodnotou můžeme počítat E X = 0 Pr[X > t]dt. Použijte na výpočet střední hodnoty exponenciálního rozdělení. 41. Má-li veličina X střední hodnotu µ a rozptyl σ 2, pak Y = a + bx (b 0) má střední hodnotu a + bµ a rozptyl b 2 σ 2. Ukažte, že je-li rozdělení X normální, pak i Y je normální (tj. Y N(a + bµ, b 2 σ 2 )). Zejména platí (X µ)/σ N(0, 1). 42. Náhodný vektor (X, Y ) T má hustotu c, x 0, y 0, x + y 1, f(x, y) = 0 jinde (rovnoměrné rozdělení na uvedené množině). Najděte konstantu c, marginální hustoty X a Y, střední hodnoty, kovarianční a korelační matici. Rozhodněte, zda X a Y jsou nezávislé. 43. Pro veličinu X R(1, 2) určete cov(x, 1/X) a cor(x, 1/X) (a porovnejte jejich vypovídací hodnotu o vztahu veličin). 44. Nezávisle hodíme dvěma symetrickými mincemi. Pro každou minci zaznamenáme výsledek 1, když padne panna, 0, když padne orel. Označme S součet výsledků na obou mincích, R jejich rozdíl. Jaké je rozdělení vektoru (S, R) T? (Zapište tabulku pravděpodobností.) Jsou S a R nezávislé? Určete korelaci. Úloha 6. Hustota náhodného vektoru (X, Y, Z) T je cx 3 y 2 z pro 0 x 1, 0 y x, 0 z xy, f(x, y, z) = 0 jinde. Najděte konstantu c a hustotu podvektoru (X, Y ) T. Rozhodněte o nezávislosti X, Y, Z. 7. Náhodné vektory, konvoluce ( ) 45. Uvažujme dva náhodné vektory: (U, V ) T s rozdělením s hustotou a (X, Y ) T s hustotou g(u, v) = 1 2π exp 1 2 (u2 + v 2 )}, (u, v) R 2, h(x, y) = 2g(x, y) pro xy 0, 0 jinak. Určete marginální rozdělení U a V v rozdělení (U, V ) T a totéž pro X a Y v rozdělení (X, Y ) T. Povšimněte si, že sdružené rozdělení není marginálními rozděleními určeno. 46. Nechť veličiny X 1,..., X n jsou nezávislé stejně rozdělené s distribuční funkcí F a hustotou f. Označme U = minx 1,..., X n }, V = maxx 1,..., X n }. Najděte rozdělení (distribuční funkci, hustotu) veličin U a V. Určete E U a E V pro případ, že X 1,..., X n mají rozdělení R(0, 1). 47. Pro nezávislé veličiny X Exp(λ 1 ) a Y Exp(λ 2 ) (i) určete rozdělení Z = min(x, Y ), (ii) spočtěte Pr[X < Y ]. 48. Určete rozdělení S = X + Y, jestliže X Po(λ 1 ), Y Po(λ 2 ) a X, Y jsou nezávislé. 49. Najděte rozdělení součtu veličin U 1, U 2, jestliže tyto jsou nezávislé a (a) U 1 R(0, 1), U 2 R(0, 1), (b) U 1 R(0, 1), U 2 R(0, 2). Určete střední hodnotu a rozptyl U 1 + U 2. 5
6 50. Krajta průměrně naklade λ = 40 vajec (počet vajec N Po(λ)). Z každého se vylíhne krajta s pravděpodobností p = 0.6. Určete rozdělení počtu nových krajt a střední počet nových krajt. Úloha 7. Nechť náhodný vektor (X, Y ) T má rovnoměrné rozdělení na trojúhelníku jako v příkladu 42. Určete rozdělení X + Y. (Pozor: Veličiny X, Y nejsou nezávislé, při počítání hustoty součtu je potřeba použít sdruženou hustotu vektoru.) 8. Borel Cantelliho lemma, zákony velkých čísel ( ) 51. Pro nekonečnou posloupnost nezávislých hodů kostkou určete (a) Pr[nekonečně krát padne šestka], (b) Pr[nekonečně krát padne 1000 šestek za sebou]. 52. Nechť X n, n 1 jsou nezávislé veličiny s Pr[X n = n λ ] = Pr[X n = n λ ] = 1 2 (kde λ < 1 2 je konstanta). Dokažte, že pro posloupnost X n, n 1} platí silný zákon velkých čísel. 53. Nechť X n, n 1} je posloupnost nezávislých stejně rozdělených veličin s konečným rozptylem. Uvažujme posloupnost Y n, n 1} s Y n = n 1/3 X n. Platí pro ni SZVČ? 54. Veličiny X 1, X 2,... nechť jsou nezávislé s rozdělením daným pravděpodobnostmi Pr[X n = 1] = Pr[X n = 1] = n+1, Pr[X n = 2 n ] = Pr[X n = 2 n ] = 1 2 n+1. Dokažte, že pro posloupnost X n } platí silný zákon velkých čísel. 55. Nechť X 1, X 2,... jsou nezávislé veličiny s rozdělením R(1, 2). Dokažte, že 1 n n k=1 a s.j. kx k 3a/2, jestliže platí 1 n n k=1 a kx k a < a k=1 a2 k /k2 <. Krátká písemka. (Varianta A) Pro čtverec s náhodnou délkou strany X R(0, 3) najděte rozdělení (distribuční funkci a hustotu) jeho obvodu a obsahu. (Varianta B) Pro X R(0, 1) určete cov(x, X 2 ). Úloha 8. Jestliže X n značí euklidovskou vzdálenost dvou náhodně umístěných bodů v n-rozměrné krychli jednotkové krychli. Ukažte, že X n / n 1/ 6 s.j. 9. Zákony velkých čísel, centrální limitní věta ( ) 56. Nechť X k, k 1} jsou nezávislé s hustotami f k (x) = 1 2 k λ exp k λ x } pro x R, k = 1, 2,... ; λ < 1 2. Ukažte, že X n = 1 n n k=1 X k konverguje k 0 skoro jistě. 57. Životnost součástky má exponenciální rozdělení s intensitou 1/10. Pomocí centrální limitní věty řešte následující. (a) Máme 100 součástek. Jakmile se jedna porouchá, nahradíme ji další. Jaká je pravděpodobnost, že celková životnost bude mezi 900 a 1050 hodinami? (b) Kolik máme koupit součástek, aby nám celkově vydržely aspoň 600 hodin s pravděpodobností aspoň 95 %? 58. Na server má přístup 100 uživatelů. Z dřívějších zkušeností víme, že uživatel má na serveru průměrně µ = 120 MB dat, směrodatná odchylka množství dat je σ = 30 MB. Jak velký diskový prostor potřebujeme, aby s pravděpodobností 99 % nedošlo k jeho přeplnění? (Užijte CLV.) 59. Pojišťovna má 1000 pojištěnců stejného věku. Každý z nich během roku zemře s pravděpodobností Roční pojistné každého z nich je 1200 Kč. V případě smrti pojišťovna vyplatí Kč. Určete (s využitím CLV) přibližnou pravděpodobnost, že pojišťovna utrpí ztrátu. 60. Generováním náhodných čísel odhadneme π. Nechť (X 1, Y 1 ),..., (X n, Y n ) jsou nezávislé vektory s nezávislými složkami s rovnoměrným rozdělením na [0, 1]. Označme U i = 1 [X 2 i +Yi 2 1], tedy U i je rovno 1 právě tehdy, když (X i, Y i ) leží ve čtvrtkruhu se středem 0 a poloměrem 1, jinak je U i rovno 0. Podle silného zákona velkých čísel Ūn = 1 n n i=1 U s.j. i E U 1 = Pr[U 1 = 1] = π/4. Tudíž n číslo π odhadneme hodnotou ˆπ n = 4Ūn. Určete přibližně (použitím CLV) Pr[3.1 ˆπ ]. 6
7 Úloha 9. Označme ν n poměrnou četnost líců v n hodech symetrickou mincí. Kolik musíme provést hodů, aby ν n s pravděpodobností alespoň 0.95? Řešte pomocí (a) Čebyševovy nerovnosti, (b) centrální limitní věty. 10. Centrální limitní věta, bodové odhady parametrů ( ) 61. (Pokračování příkladu 60.) Určete n tak, aby ˆπ n π 0.01 s pravděpodobností alespoň 0.9. Použijte jednak Čebyševovu nerovnost a jednak CLV. 62. Ukažte, že pro prosloupnost X 1, X 2,... nezávislých veličin, jež mají rozdělení Pr[X k = k λ ] = Pr[X k = k λ ] = 1/2 (kde λ > 0 je nějaká konstanta), platí centrální limitní věta. 63. Je-li X 1,..., X n výběr z Poissonova rozdělení s parametrem λ, najděte maximálně věrohodný odhad ˆλ tohoto parametru a zdůvodněte jeho nestrannost a konsistenci. Spočtěte Fisherovu informaci pro parametr λ, spočtěte rozptyl ˆλ a ukažte, že odhad ˆλ je eficientní (jeho rozptyl dosahuje Rao Cramérovy dolní meze). Dále si povšimněte, že λ = Sn 2 = 1 n n 1 k=1 (X k X n ) 2 je rovněž nestranným a konsistentním odhadem λ. 64. Pro X 1,..., X n výběr z Po(λ) ukažte, že ˆp 0 = (1 1 n )n X n je nestranným a konsistentním odhadem p 0 = Pr[X = 0] = e λ. 65. Pro X 1,..., X n výběr z Po(λ) ukažte, že ( X n ) 2 není nestranným odhadem λ Ukažte, že nemůže být současně T nestranným odhadem θ a T 2 nestranným odhadem θ 2. Přesněji: Jestliže E T = θ a E T 2 = θ 2, pak T je roven konstantě skoro jistě. Úloha 10. Nechť X 1, X 2,... je posloupnost nezávislých veličin, pro něž Pr[X k = log k] = Pr[X k = log k] = 1/2. Ukažte, že pro tuto posloupnost platí CLV. Zapište explicitně tvrzení CLV pro tento případ. 11. Bodové odhady parametrů ( ) 67. Ukažte, že pro výběr o rozsahu n z alternativního rozdělení s parametrem p (0, 1) neexistuje nestranný odhad parametrické funkce 1/p. 68. Uvažujme výběr X 1,..., X n z rozdělení s hustotou f(x; θ) = 3θ 3 x 4 1 (θ, ) (x), x R. (Povšimněte si, že nosič rozdělení závisí na parametru a nejsou tedy splněny předpoklady Rao Cramérovy věty.) (i) Najděte maximálně věrohodný odhad ˆθ parametru θ. (ii) Ukažte, že θ = 3n 1 3n minx 1,..., X n } je nestranný odhad θ. (iii) Ověřte, že θ = 2 X 3 n je nestranný odhad θ. (iv) Najděte rozptyl θ a θ a porovnejte rychlost konvergence rozptylů k 0 při n. 69. Najděte nestranné odhady parametrických funkcí e 2λ a e 3λ, máme-li k disposici výběr o rozsahu 1 z Poissonova rozdělení s parametrem λ > 0. Všimněte si podivnosti těchto odhadů: srovnejte hodnoty, kterých tyto odhady mohou nabývat, s hodnotami, které odhadují. Úloha 11. Je-li X 1,..., X n výběr z exponenciálního rozdělení s intensitou λ (s hustotou f(x; λ) = λe λx 1 (0, ) (x)), odhadněte λ metodou maximální věrohodnosti. Ukažte, že získaný odhad ˆλ není nestranný (s využitím rozvoje v geometrickou řadu ukažte, že E λ ˆλ > λ). 12. Bodové a intervalové odhady ( ) 70. Mějme výběr o rozsahu n z normálního rozdělení N(µ 0, σ 2 ), kde µ 0 R je známá hodnota a σ 2 > 0 neznámý parametr. Nalezněte metodou maximální věrohodnosti odhad σ 2 parametru σ 2. Vyšetřete nestrannost a konsistenci. Je σ 2 nejlepším nestranným odhadem σ 2? (Spočtěte rozptyl tohoto odhadu a Rao Cramérovu dolní mez pro rozptyl nestranného odhadu.) 71. Najděte maximálně věrohodný odhad ˆp parametru p pro výběr X 1,..., X n z Ge(p). Ukažte, že není nestranný (s využitím rozvoje v geometrickou řadu ukažte, že E p ˆp > p). 7
8 72. Hmotnost výrobku má normální rozdělení s neznámou střední hodnotou a s rozptylem σ 2 = 16 g 2. Bylo zváženo 6 výrobků s výsledky 105, 95, 100, 99, 93, 101 (v gramech). Najděte oboustranný a dolní intervalový odhad střední hmotnosti výrobku o spolehlivosti 95 %. Úloha 12. Uvažujte výběr X 1,..., X n z normálního rozdělení N(µ 0, σ 2 ), kde µ 0 je známé, σ 2 > 0 neznámé. Najděte intervalový odhad rozptylu σ 2 o spolehlivosti 1 α. (Nejprve si uvědomte, jaké je rozdělení vhodně standardisovaného bodového odhadu rozptylu σ 2 = 1 n n i=1 (X i µ 0 ) 2. Pozor na stupně volnosti, střední hodnota je známá.) 13. Intervalové odhady, Neyman Pearsonovo lemma ( ) 73. Předpokládejme, že spotřeba elektrické energie stroje má normální rozdělení, jehož střední hodnotu ani rozptyl neznáme. Sledovali jsme spotřebu 12 strojů. Průměr naměřených hodnot byl kw, výběrový rozptyl 0.33 (kw) 2. Najděte oboustranný a horní intervalový odhad střední spotřeby o spolehlivosti 95 %. Dále najděte oboustranný interval o spolehlivosti 95 % pro rozptyl spotřeby. 74. Máme-li výběr X 1,..., X n z rozdělení s neznámou distribuční funkcí F, můžeme ji odhadnou pomocí empirické distribuční funkce ˆF n (x) = 1 n n i=1 1[X i x], x R. Zvolme pevné x 0 R. Najděte na základě centrální limitní věty intervalový odhad hodnoty F (x 0 ) o přibližné (asymptotické) spolehlivosti 1 α. 75. Uvažujme výběr o rozsahu n z alternativního rozdělení s neznámým parametrem p (0, 1). Podle Neyman Pearsonova lemmatu sestrojte test (najděte jeho kritický obor) hypotesy H 0 : p = p 0 proti alternativě H 1 : p = p 1, který je mezi všemi testy s hladinou nejvýše α nejsilnější. (Hodnoty p 0, p 1 jsou známé, předem dané, a splňují p 0 < p 1.) Lze v tomto případě vždy nalézt test, který má hladinu přesně α? Úloha 13. Je-li X 1,..., X n výběr z exponenciálního rozdělení s intensitou λ > 0 (s hustotou f(x; λ) = λe λx 1 (0, ) (x)), sestavte na základě Neyman Pearsonova lemmatu test nulové hypotesy H 0 : λ = λ 0 proti alternativě H 1 : λ = λ 1. (λ 0 < λ 1 jsou známé konstanty.) 14. Testování hypotes ( ) 76. Máme podezření, že nás v hospodě okrádají. Proto koupíme 8 piv a změříme jejich objem: 0.51, 0.462, 0.491, 0.466, 0.461, 0.503, 0.495, (v litrech). Prokazují naše data, že hostinský je nepoctivý? Zformulujte hypotesu a alternativu, doplňte předpoklady a testujte na hladině α = 5 %. 77. Přesnost stroje je charakterisována rozptylem délky vyrobených předmětů. Stroj je špatně seřízen, pokud délka výrobku má rozptyl větší než 400 (µm) 2. Vybereme náhodně 15 výrobků, výběrový rozptyl jejich délek je 680 (µm) 2. Je třeba stroj seřídit? Zformulujte hypotesu a alternativu, doplňte předpoklady a testujte na hladině 0.1, Ve dvou městech byla měřena tvrdost vody. V místě A bylo analysováno 40 vzorků, průměrná tvrdost vyšla 4.0 s výběrovým rozptylem Ve městě B bylo zkoumáno 50 vzorků, průměr naměřených hodnot zde byl 3.8, výběrový rozptyl Liší se tvrdost v těchto dvou městech? Zformulujte hypotesu a alternativu, doplňte předpoklady a testujte na hladině Firma provedla test znalostí angličtiny u vých sedmi zaměstnanců. Poté jim zaplatila jazykový kurs a po něm opět otestovala jejich znalosti. Počty bodů získané jednotlivými zaměstnanci před a po kursu zachycuje tabulka: Zaměstnanec Před kursem Po kursu Došlo k významnému zlepšení? Zformulujte hypotesu a alternativu, doplňte předpoklady a testujte na hladině 0.05 a
9 80. Před francouzským referendem o euroústavě ( ) nechal list Le Figaro 20. a 21. května provést průzkum 1 veřejného mínění. Z 950 dotázaných se 53 % vyslovilo proti euroústavě. Prokazují výsledky, že většína je proti? Zformulujte hypotesu a alternativu, doplňte předpoklady a testujte na asymptotické hladině 0.05 (s využitím CLV). Úloha 14. Dva stroje vyrábějí výrobky s rozměry s chybami s normálním rozdělením. Výběrový rozptyl určený na vzorku 9 výrobků stroje 1 je 5.9. Výběrový rozptyl ve vzorku 11 výrobků stroje 2 je Jsou stroje stejně přesné? Zformulujte hypotesu a alternativu, doplňte předpoklady a testujte na hladině 10 %. Reference Dupač, V. & Hušková, M. (1999). Pravděpodobnost a matematická statistika. Karolinum, Praha. Potocký, R., Kalas, J., Komorník, J. & Lamoš, F. (1986). Zbierka úloh z pravdepodobnosti a matematickej štatistiky. SNTL/Alfa, Praha/Bratislava. Romano, J. P. & Siegel, A. F. (1986). Counterexamples in probability and statistics. Wadsworth & Brooks, Monterey. Zvára, K. & Štěpán, J. (2002). Pravděpodobnost a matematická statistika. Matfyzpress, Praha
STP022 PRAVDĚPODOBNOST A MATEMATICKÁ STATISTIKA PŘÍKLADY LS 2005/2006
STP022 PRAVDĚPODOBNOST A MATEMATICKÁ STATISTIKA PŘÍKLADY LS 2005/2006 Příklady jsou většinou převzaté ze skript Dupač & Hušková (1999), Zvára & Štěpán (2002) a ze sbírky Potocký et al. (1986). Některé
VíceSTP022 PRAVDĚPODOBNOST A MATEMATICKÁ STATISTIKA
Poslední aktualizace: 29. května 200 STP022 PRAVDĚPODOBNOST A MATEMATICKÁ STATISTIKA PŘÍKLADY Pro zdárné absolvování předmětu doporučuji věnovat pozornost zejména příkladům označenými hvězdičkou. Příklady
Vícez Matematické statistiky 1 1 Konvergence posloupnosti náhodných veličin
Příklady k procvičení z Matematické statistiky Poslední úprava. listopadu 207. Konvergence posloupnosti náhodných veličin. Necht X, X 2... jsou nezávislé veličiny s rovnoměrným rozdělením na [0, ]. Definujme
Více1 Klasická pravděpodobnost. Bayesův vzorec. Poslední změna (oprava): 11. května 2018 ( 6 4)( 43 2 ) ( 49 6 ) 3. = (a) 1 1 2! + 1 3!
Výsledky příkladů na procvičení z NMSA0 Klasická pravděpodobnost. 5. ( 4( 43 ( 49 3. 8! 3! 0! = 5 Poslední změna (oprava:. května 08 4. (a! + 3! + ( n+ n! = n k= ( k+ /k! = n k=0 ( k /k!; (b n k=0 ( k
Více1. Klasická pravděpodobnost
Příklady 1. Klasická pravděpodobnost 1. Házíme dvakrát kostkou. Jaká je pravděpodobnost, že padne alespoň jedna šestka? 2. Základy teorie pravděpodobnosti vznikly v korespondenci mezi dvěma slavnými francouzskými
VícePříklady na procvičení z NMSA202
1 Klasická pravděpodobnost Příklady na procvičení z NMSA202 Naposledy změněno: 11. května 2018 1. Z kartiček s čísly 1, 2, 3, 4, 5 náhodně vybereme tři a položíme je v pořadí, v němž jsme je vybrali. Jaká
VícePříklady na procvičení z NSTP022
1 Klasická pravděpodobnost Příklady na procvičení z NSTP022 Naposledy změněno: 24. března 2013 1. Z kartiček s čísly 1, 2, 3, 4, 5 náhodně vybereme tři a položíme je v pořadí, v němž jsme je vybrali. Jaká
VíceBakalářské studium na MFF UK v Praze Obecná matematika Zaměření: Stochastika. 1 Úvodní poznámky. Verze: 13. června 2013
Bakalářské studium na MFF UK v Praze Obecná matematika Zaměření: Stochastika Podrobnější rozpis okruhů otázek pro třetí část SZZ Verze: 13. června 2013 1 Úvodní poznámky 6 Smyslem SZZ by nemělo být toliko
VícePříklad 2 (klasický pravděpodobnostní prostor hod dvěma desetistěnnými kostkami). Uvažujme
Cvičení k základům pravděpodobnosti Připomeňte si: klasický pravděpodobnostní prostor, elementární jev, náhodný jev, doplňkový jev, pravděpodobnost, věta o inkluzi a exkluzi, podmíněná pravděpodobnost,
Více1. Klasická pravděpodobnost
Příklady 1. Klasická pravděpodobnost 1. Házíme dvakrát kostkou. Jaká je pravděpodobnost, že padne alespoň jedna šestka? 2. Základy teorie pravděpodobnosti vznikly v korespondenci mezi dvěma slavnými francouzskými
VícePravděpodobnost a statistika (BI-PST) Cvičení č. 4
Pravděpodobnost a statistika (BI-PST) Cvičení č. 4 J. Hrabáková, I. Petr, F. Štampach, D. Vašata Katedra aplikované matematiky Fakulta informačních technologií České vysoké učení technické v Praze ZS 2014/2015
VíceVýběrové charakteristiky a jejich rozdělení
Katedra ekonometrie, FVL, UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz Statistické šetření úplné (vyčerpávající) neúplné (výběrové) U výběrového šetření se snažíme o to, aby výběrový
VíceKlasická pravděpodobnost a geometrická pravděpodobnost
Klasická pravděpodobnost a geometrická pravděpodobnost 1. Házíme čtyřmi šestistěnnými hracími kostkami. Určete, jaká je pravděpodobnost, že (a) součet čísel na kostkách bude sudé číslo a zároveň součin
Více10. cvičení z PST. 5. prosince T = (n 1) S2 X. (n 1) s2 x σ 2 q χ 2 (n 1) (1 α 2 ). q χ 2 (n 1) 2. 2 x. (n 1) s. x = 1 6. x i = 457.
0 cvičení z PST 5 prosince 208 0 (intervalový odhad pro rozptyl) Soubor (70, 84, 89, 70, 74, 70) je náhodným výběrem z normálního rozdělení N(µ, σ 2 ) Určete oboustranný symetrický 95% interval spolehlivosti
VícePříklad 1: Házíme dvěma kostkami. Stanovte pravděpodobnost jevu, že na kostkách padne součet menší než 5.
Příklad 1: Házíme dvěma kostkami. Stanovte pravděpodobnost jevu, že na kostkách padne součet menší než 5. Řešení: Výsledky pokusu jsou uspořádané dvojice. První člen dvojice odpovídá hodu 1. kostkou a
VícePříklady na procvičení z NMFM202
Příklady na procvičení z NMFM202 Naposledy změněno: 24. října 203 Klasická pravděpodobnost. Z kartiček s čísly, 2, 3, 4, 5 náhodně vybereme tři a položíme je v pořadí, v němž jsme je vybrali. Jaká je pravděpodobnost,
VícePravděpodobnost a matematická statistika
Pravděpodobnost a matematická statistika Příklady k přijímacím zkouškám na doktorské studium 1 Popisná statistika Určete aritmetický průměr dat, zadaných tabulkou hodnot x i a četností n i x i 1 2 3 n
Víceprof. RNDr. Roman Kotecký DrSc., Dr. Rudolf Blažek, PhD Pravděpodobnost a statistika Katedra teoretické informatiky Fakulta informačních technologií
prof. RNDr. Roman Kotecký DrSc., Dr. Rudolf Blažek, PhD Katedra teoretické informatiky Fakulta informačních technologií České vysoké učení technické v Praze c Rudolf Blažek, Roman Kotecký, 2011 Pravděpodobnost
Více1. Klasická pravděpodobnost
1. Klasická pravděpodobnost 1. Házíme postupně čtyřikrát korunovou mincí. Jaká je pravděpodobnost, že padne jednou panna a třikrát orel? Jaká se tato pravděpodobnost změní, když mince není symetrická a
VíceDefinice 7.1 Nechť je dán pravděpodobnostní prostor (Ω, A, P). Zobrazení. nebo ekvivalentně
7 Náhodný vektor Nezávislost náhodných veličin Definice 7 Nechť je dán pravděpodobnostní prostor (Ω, A, P) Zobrazení X : Ω R n, které je A-měřitelné, se nazývá (n-rozměrný) náhodný vektor Měřitelností
VícePravděpodobnost a aplikovaná statistika
Pravděpodobnost a aplikovaná statistika MGR. JANA SEKNIČKOVÁ, PH.D. 2. KAPITOLA PODMÍNĚNÁ PRAVDĚPODOBNOST 3. KAPITOLA NÁHODNÁ VELIČINA 9.11.2017 Opakování Uveďte příklad aplikace geometrické definice pravděpodobnosti
VíceNMAI059 Pravděpodobnost a statistika
NMAI059 Pravděpodobnost a statistika podle přednášky Daniela Hlubinky (hlubinka@karlin.mff.cuni.cz) zapsal Pavel Obdržálek (pobdr@matfyz.cz) 205/20 poslední změna: 4. prosince 205 . přednáška. 0. 205 )
VíceNMSA202 PRAVDĚPODOBNOST A MATEMATICKÁ STATISTIKA POZNÁMKY O ZKOUŠCE
Datum poslední aktualizace: 13. června 2014 NMSA202 PRAVDĚPODOBNOST A MATEMATICKÁ STATISTIKA POZNÁMKY O ZKOUŠCE Zkouška má písemnou a ústní část. Nejdříve je písemná část, která se dále dělí na početní
VíceMinikurz aplikované statistiky. Minikurz aplikované statistiky p.1
Minikurz aplikované statistiky Marie Šimečková, Petr Šimeček Minikurz aplikované statistiky p.1 Program kurzu základy statistiky a pravděpodobnosti regrese (klasická, robustní, s náhodnými efekty, ev.
VíceTéma 22. Ondřej Nývlt
Téma 22 Ondřej Nývlt nyvlto1@fel.cvut.cz Náhodná veličina a náhodný vektor. Distribuční funkce, hustota a pravděpodobnostní funkce náhodné veličiny. Střední hodnota a rozptyl náhodné veličiny. Sdružené
VícePoznámky k předmětu Aplikovaná statistika, 5.téma
Poznámky k předmětu Aplikovaná statistika, 5.téma 5. Některá významná rozdělení A. Diskrétní rozdělení (i) Diskrétní rovnoměrné rozdělení na množině {,..., n} Náhodná veličina X, která má diskrétní rovnoměrné
VíceZáklady teorie odhadu parametrů bodový odhad
Katedra ekonometrie, FVL, UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz Odhady parametrů Úkolem výběrového šetření je podat informaci o neznámé hodnotě charakteristiky základního souboru
VíceNáhodná veličina Číselné charakteristiky diskrétních náhodných veličin Spojitá náhodná veličina. Pravděpodobnost
Pravděpodobnost Náhodné veličiny a jejich číselné charakteristiky Petr Liška Masarykova univerzita 19.9.2014 Představme si, že provádíme pokus, jehož výsledek dokážeme ohodnotit číslem. Před provedením
VíceDefinice spojité náhodné veličiny zjednodušená verze
Definice spojité náhodné veličiny zjednodušená verze Náhodná veličina X se nazývá spojitá, jestliže existuje nezáporná funkce f : R R taková, že pro každé a, b R { }, a < b, platí P(a < X < b) = b a f
Vícematematická statistika 1 Klasická pravděpodobnost
Příklady na procvičení z předmětu Pravděpodobnost a matematická statistika Poslední úprava 5. prosince 2017. Většina příkladů je již upravena na základě toho, co jsme propočítali na cvičení a co bylo probráno
Více1 Rozptyl a kovariance
Rozptyl a kovariance Nechť X je náhodná veličina s konečnou střední hodnotou EX Potom rozptyl náhodné veličiny X definujeme jako: DX E(X EX, pokud střední hodnota na pravé straně existuje Podobně jako
VíceNáhodná veličina. Michal Fusek. 10. přednáška z ESMAT. Ústav matematiky FEKT VUT, Michal Fusek
Náhodná veličina Michal Fusek Ústav matematiky FEKT VUT, fusekmi@feec.vutbr.cz 10. přednáška z ESMAT Michal Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) 1 / 71 Obsah 1 Náhodná veličina 2 Diskrétní náhodná veličina 3
VícePRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA. Odhady parametrů Postačující statistiky
PRAVDĚPODOBNOS A SAISIKA Odhady parametrů SP3 Připomenutí pojmů Připomenutí pojmů z S1P a SP2 odhady Nechť X,, je náhodný výběr z rozdělení s distribuční funkcí. 1 X,, X ) ( 1 n Statistika se nazývá bodovým
VícePravděpodobnost a statistika (BI-PST) Cvičení č. 7
Pravděpodobnost a statistika (BI-PST) Cvičení č. 7 R. Blažek, M. Jiřina, J. Hrabáková, I. Petr, F. Štampach, D. Vašata Katedra aplikované matematiky Fakulta informačních technologií České vysoké učení
VíceNMAI059 Pravděpodobnost a statistika. 22. listopadu Zadání cvičení na jednotlivé týdny není myšleno tak, že se během hodiny proberou všechny
NMAI059 Pravděpodobnost a statistika Zadání cvičení a doplňkových příkladů. 22. listopadu 2017 Jak používat tuto příručku. Jde o postupně vznikající text, který bude obsahovat klíčové příklady k procvičení
VíceAKM CVIČENÍ. Opakování maticové algebry. Mějme matice A, B regulární, potom : ( AB) = B A
AKM - 1-2 CVIČENÍ Opakování maticové algebry Mějme matice A, B regulární, potom : ( AB) = B A 1 1 ( A ) = ( A ) ( A ) = A ( A + B) = A + B 1 1 1 ( AB) = B A, kde A je řádu mxn a B nxk Čtvercová matice
VíceKGG/STG Statistika pro geografy
KGG/STG Statistika pro geografy 4. Teoretická rozdělení Mgr. David Fiedor 9. března 2015 Osnova Úvod 1 Úvod 2 3 4 5 Vybraná rozdělení náhodných proměnných normální rozdělení normované normální rozdělení
Vícen = 2 Sdružená distribuční funkce (joint d.f.) n. vektoru F (x, y) = P (X x, Y y)
5. NÁHODNÝ VEKTOR 5.1. Rozdělení náhodného vektoru Náhodný vektor X = (X 1, X 2,..., X n ) T n-rozměrný vektor, složky X i, i = 1,..., n náhodné veličiny. Vícerozměrná (n-rozměrná) náhodná veličina n =
VíceÚVOD DO TEORIE ODHADU. Martina Litschmannová
ÚVOD DO TEORIE ODHADU Martina Litschmannová Obsah lekce Výběrové charakteristiky parametry populace vs. výběrové charakteristiky limitní věty další rozdělení pravděpodobnosti (Chí-kvadrát (Pearsonovo),
VíceOdhad parametrů N(µ, σ 2 )
Odhad parametrů N(µ, σ 2 ) Mějme statistický soubor x 1, x 2,, x n modelovaný jako realizaci náhodného výběru z normálního rozdělení N(µ, σ 2 ) s neznámými parametry µ a σ. Jaký je maximální věrohodný
Více1. A c B c, 2. (A C) B, 3. A B C.
Příklad 1: V urně jsou kuličky tří barev. Nechť jevy A, B, C, postupně znamenají, že náhodně vybraná kulička je černá, červená, bílá. Určete význam následujících jevů: 1. A c B c, 2. (A C) B, 3. A B C.
VíceJan Hamhalter. 1. Náhodná veličina je dána maximem počtu ok při šesti hodech hrací kostkou. Určete pravděpodobnostní funkci a střední hodnotu. j.
M6C Některé příklady z přednášky a cvičení 24. února 2006 Jan Hamhalter 1 Náhodné veličiny 1. Náhodná veličina je dána maximem počtu ok při šesti hodech hrací kostkou. Určete pravděpodobnostní funkci a
Více2. Friesl, M.: Posbírané příklady z pravděpodobnosti a statistiky. Internetový zdroj (viz odkaz).
1 Cvičení z předmětu KMA/PST1 Pro získání zápočtu je nutno mimo docházky (max. 3 absence) uspět minimálně ve dvou ze tří písemek, které budou v průběhu semestru napsány. Součástí třetí písemky bude též
VíceCharakterizace rozdělení
Charakterizace rozdělení Momenty f(x) f(x) f(x) μ >μ 1 σ 1 σ >σ 1 g 1 g σ μ 1 μ x μ x x N K MK = x f( x) dx 1 M K = x N CK = ( x M ) f( x) dx ( xi M 1 C = 1 K 1) N i= 1 K i K N i= 1 K μ = E ( X ) = xf
VícePřednáška. Diskrétní náhodná proměnná. Charakteristiky DNP. Základní rozdělení DNP
IV Přednáška Diskrétní náhodná proměnná Charakteristiky DNP Základní rozdělení DNP Diskrétní náhodná veličina Funkce definovaná na Ω, přiřazující každému elementárnímu jevu E prvky X(E) D R kde D je posloupnost
Více12. cvičení z PST. 20. prosince 2017
1 cvičení z PST 0 prosince 017 11 test rozptylu normálního rozdělení Do laboratoře bylo odesláno n = 5 stejných vzorků krve ke stanovení obsahu alkoholu X v promilích alkoholu Výsledkem byla realizace
VíceNěkdy lze výsledek pokusu popsat jediným číslem, které označíme X (nebo jiným velkým písmenem). Hodíme dvěma kostkami jaký padl součet?
Náhodné veličiny Náhodné veličiny Někdy lze výsledek pokusu popsat jediným číslem, které označíme X (nebo jiným velkým písmenem). Příklad Vytáhneme tři karty z balíčku zajímá nás, kolik je mezi nimi es.
VíceNÁHODNÉ VELIČINY JAK SE NÁHODNÁ ČÍSLA PŘEVEDOU NA HODNOTY NÁHODNÝCH VELIČIN?
NÁHODNÉ VELIČINY GENEROVÁNÍ SPOJITÝCH A DISKRÉTNÍCH NÁHODNÝCH VELIČIN, VYUŽITÍ NÁHODNÝCH VELIČIN V SIMULACI, METODY TRANSFORMACE NÁHODNÝCH ČÍSEL NA HODNOTY NÁHODNÝCH VELIČIN. JAK SE NÁHODNÁ ČÍSLA PŘEVEDOU
VíceE(X) = np D(X) = np(1 p) 1 2p np(1 p) (n + 1)p 1 ˆx (n + 1)p. A 3 (X) =
Základní rozdělení pravděpodobnosti Diskrétní rozdělení pravděpodobnosti. Pojem Náhodná veličina s Binomickým rozdělením Bi(n, p), kde n je přirozené číslo, p je reálné číslo, < p < má pravděpodobnostní
VíceNáhodný vektor a jeho charakteristiky
Náhodný vektor a jeho číselné charakteristiky 1 Náhodný vektor a jeho charakteristiky V následující kapitole budeme věnovat pozornost pouze dvourozměřnému náhodnému vektoru, i když uvedené pojmy a jejich
VíceMgr. Rudolf Blažek, Ph.D. prof. RNDr. Roman Kotecký Dr.Sc.
Náhodné veličiny III Mgr. Rudolf Blažek, Ph.D. prof. RNDr. Roman Kotecký Dr.Sc. Katedra teoretické informatiky Fakulta informačních technologií České vysoké učení technické v Praze c Rudolf Blažek, Roman
VíceVybraná rozdělení náhodné veličiny
3.3 Vybraná rozdělení náhodné veličiny 0,16 0,14 0,12 0,1 0,08 0,06 0,04 0,02 0 Rozdělení Z 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 Život je umění vytvářet uspokojivé závěry na základě nedostatečných předpokladů.
VíceMATEMATICKÁ STATISTIKA. Katedra matematiky a didaktiky matematiky Technická univerzita v Liberci
MATEMATICKÁ STATISTIKA Dana Černá http://www.fp.tul.cz/kmd/ Katedra matematiky a didaktiky matematiky Technická univerzita v Liberci Matematická statistika Matematická statistika se zabývá matematickým
Vícepravděpodobnosti a Bayesova věta
NMUMP0 (Pravděpodobnost a matematická statistika I) Nezávislost, podmíněná pravděpodobnost, věta o úplné pravděpodobnosti a Bayesova věta. Házíme dvěma pravidelnými kostkami. (a) Jaká je pravděpodobnost,
VíceVšechno, co jste chtěli vědět z teorie pravděpodobnosti, z teorie informace a
Všechno, co jste chtěli vědět z teorie pravděpodobnosti, z teorie informace a báli jste se zeptat Jedinečnou funkcí statistiky je, že umožňuje vědci číselně vyjádřit nejistotu v jeho závěrech. (G. W. Snedecor)
VíceStřední hodnota a rozptyl náhodné. kvantilu. Ing. Michael Rost, Ph.D.
Střední hodnota a rozptyl náhodné veličiny, vybraná rozdělení diskrétních a spojitých náhodných veličin, pojem kvantilu Ing. Michael Rost, Ph.D. Príklad Předpokládejme že máme náhodnou veličinu X která
VíceI. D i s k r é t n í r o z d ě l e n í
6. T y p y r o z d ě l e n í Poznámka: V odst. 5.5-5.10 jsme uvedli příklady náhodných veličin a jejich distribučních funkcí. Poznali jsme, že se od sebe liší svým typem. V příkladech 5.5, 5.6 a 5.8 jsme
VíceOdhad parametrů N(µ, σ 2 )
Odhad parametrů N(µ, σ 2 ) Mějme statistický soubor x 1, x 2,, x n modelovaný jako realizaci náhodného výběru z normálního rozdělení N(µ, σ 2 ) s neznámými parametry µ a σ. Jaký je maximální věrohodný
VíceJan Hamhalter. 1 Kombinatorická pravděpodobnost
M4B Příklady z přednášky a cvičení 11. ledna 2007 Jan Hamhalter 1 Kombinatorická pravděpodobnost 1. Házíme šesti kostkami. Jaká je pravděpodobnost, že padnou a) různá čísla b) pouze lichá čísla? Výsledek:
VíceStatistika II. Jiří Neubauer
Statistika II Katedra ekonometrie FVL UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz Zaměříme se především na popis dvourozměrných náhodných veličin (vektorů). Definice Nechť X a Y jsou
VícePravděpodobnost a statistika, Biostatistika pro kombinované studium. Tutoriál č. 5: Bodové a intervalové odhady, testování hypotéz.
Pravděpodobnost a statistika, Biostatistika pro kombinované studium Letní semestr 2015/2016 Tutoriál č. 5: Bodové a intervalové odhady, testování hypotéz Jan Kracík jan.kracik@vsb.cz Obsah: Výběrová rozdělení
Vícep(x) = P (X = x), x R,
6. T y p y r o z d ě l e n í Poznámka: V odst. 5.5-5.10 jsme uvedli příklady náhodných veličin a jejich distribučních funkcí. Poznali jsme, že se od sebe liší svým typem. V příkladech 5.5, 5.6 a 5.8 jsme
VíceVícerozměrná rozdělení
Vícerozměrná rozdělení 7. září 0 Učivo: Práce s vícerozměrnými rozděleními. Sdružené, marginální, podmíněné rozdělení pravděpodobnosti. Vektorová střední hodnota. Kovariance, korelace, kovarianční matice.
VícePřednáška. Další rozdělení SNP. Limitní věty. Speciální typy rozdělení. Další rozdělení SNP Limitní věty Speciální typy rozdělení
VI Přednáška Další rozdělení SNP Limitní věty Speciální typy rozdělení Rovnoměrné rozdělení R(a,b) Příklad Obejít celý areál trvá strážnému 30 minut. Jaká je pravděpodobnost, že u vrátnice budete čekat
VíceMatematika III. 4. října Vysoká škola báňská - Technická univerzita Ostrava. Matematika III
Vysoká škola báňská - Technická univerzita Ostrava 4. října 2018 Podmíněná pravděpodobnost Při počítání pravděpodobnosti můžeme k náhodnému pokusu přidat i nějakou dodatečnou podmínku. Podmíněná pravděpodobnost
VícePRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA
PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA Náhodný výběr Nechť X je náhodná proměnná, která má distribuční funkci F(x, ϑ). Předpokládejme, že známe tvar distribuční funkce (víme jaké má rozdělení) a neznáme parametr
VícePřijímací zkouška na navazující magisterské studium 2014
Přijímací zkouška na navazující magisterské studium 24 Příklad (25 bodů) Spočtěte Studijní program: Studijní obor: Matematika Finanční a pojistná matematika Varianta A M x 2 dxdy, kde M = {(x, y) R 2 ;
VíceTomáš Karel LS 2012/2013
Tomáš Karel LS 2012/2013 Doplňkový materiál ke cvičení z předmětu 4ST201. Na případné faktické chyby v této presentaci mě prosím upozorněte. Děkuji. Tyto slidy berte pouze jako doplňkový materiál není
VíceJiří Neubauer. Katedra ekonometrie, FVL, UO Brno kancelář 69a, tel
Katedra ekonometrie, FVL, UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz Výsledky některých náhodných pokusů jsou přímo vyjádřeny číselně (např. při hodu kostkou padne 6). Náhodnou veličinou
VíceLimitní věty teorie pravděpodobnosti. Jiří Neubauer. Katedra ekonometrie, FVL, UO Brno kancelář 69a, tel
Katedra ekonometrie, FVL, UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz Jestliže opakujeme nezávisle nějaký pokus, můžeme z pozorovaných hodnot sestavit rozdělení relativních četností
VícePoznámky k předmětu Aplikovaná statistika, 4. téma
Poznámky k předmětu Aplikovaná statistika, 4. téma 4. Náhodné vektory V praxi se nám může hodit postihnout více vlastností jednoho objektu najednou, např. výšku, váhu a pohlaví člověka; rychlost chemické
VíceS1P Příklady 01. Náhodné jevy
S1P Příklady 01 Náhodné jevy Pravděpodobnost, že jedinec z jisté populace se dožije šedesáti let, je 0,8; pravděpodobnost, že se dožije sedmdesáti let, je 0,5. Jaká je pravděpodobnost, že jedinec zemře
Více1. Náhodný vektor (X, Y ) má diskrétní rozdělení s pravděpodobnostní funkcí p, kde. p(x, y) = a(x + y + 1), x, y {0, 1, 2}.
VIII. Náhodný vektor. Náhodný vektor (X, Y má diskrétní rozdělení s pravděpodobnostní funkcí p, kde p(x, y a(x + y +, x, y {,, }. a Určete číslo a a napište tabulku pravděpodobnostní funkce p. Řešení:
VícePoznámky k předmětu Aplikovaná statistika, 4. téma
Poznámky k předmětu Aplikovaná statistika, 4. téma 4. Náhodné vektory V praxi se nám může hodit postihnout více vlastností jednoho objektu najednou, např. výšku, váhu a pohlaví člověka; rychlost chemické
VíceDiskrétní náhodná veličina
Lekce Diskrétní náhodná veličina Výsledek náhodného pokusu může být vyjádřen slovně to vede k zavedení pojmu náhodného jevu Výsledek náhodného pokusu můžeme někdy vyjádřit i číselně, což vede k pojmu náhodné
VíceZÁklady teorie pravděpodobnosti
ZÁklady teorie pravděpodobnosti Pro předmět MatematickÁ statistika 1 Michal Kulich Katedra pravděpodobnosti a matematické statistiky Matematicko-fysikální fakulta University Karlovy Tyto poznámky poskytují
VíceMatematika III 10. týden Číselné charakteristiky střední hodnota, rozptyl, kovariance, korelace
Matematika III 10. týden Číselné charakteristiky střední hodnota, rozptyl, kovariance, korelace Jan Slovák Masarykova univerzita Fakulta informatiky 28. 11 2. 12. 2016 Obsah přednášky 1 Literatura 2 Střední
VícePRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA
PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA Testování hypotéz Nechť X je náhodná proměnná, která má distribuční funkci F(x, ϑ). Předpokládejme, že známe tvar distribuční funkce (víme jaké má rozdělení) a neznáme parametr
Více3 Bodové odhady a jejich vlastnosti
3 Bodové odhady a jejich vlastnosti 3.1 Statistika (Skripta str. 77) Výběr pořizujeme proto, abychom se (více) dověděli o souboru, ze kterého jsme výběr pořídili. Zde se soustředíme na situaci, kdy známe
Více8.1. Definice: Normální (Gaussovo) rozdělení N(µ, σ 2 ) s parametry µ a. ( ) ϕ(x) = 1. označovat písmenem U. Její hustota je pak.
8. Normální rozdělení 8.. Definice: Normální (Gaussovo) rozdělení N(µ, ) s parametry µ a > 0 je rozdělení určené hustotou ( ) f(x) = (x µ) e, x (, ). Rozdělení N(0; ) s parametry µ = 0 a = se nazývá normované
VíceNáhodná veličina a rozdělení pravděpodobnosti
3.2 Náhodná veličina a rozdělení pravděpodobnosti Bůh hraje se světem hru v kostky. Jsou to ale falešné kostky. Naším hlavním úkolem je zjistit, podle jakých pravidel byly označeny, a pak toho využít pro
VíceAproximace binomického rozdělení normálním
Aproximace binomického rozdělení normálním Aproximace binomického rozdělení normálním Příklad Sybilla a Kassandra tvrdí, že mají telepatické schopnosti, a chtějí to dokázat následujícím pokusem: V jedné
VíceALGEBRA. Téma 5: Vektorové prostory
SLEZSKÁ UNIVERZITA V OPAVĚ Matematický ústav v Opavě Na Rybníčku 1, 746 01 Opava, tel. (553) 684 611 DENNÍ STUDIUM Téma 5: Vektorové prostory Základní pojmy Vektorový prostor nad polem P, reálný (komplexní)
VíceX = x, y = h(x) Y = y. hodnotám x a jedné hodnotě y. Dostaneme tabulku hodnot pravděpodobnostní
..08 8cv7.tex 7. cvičení - transformace náhodné veličiny Definice pojmů a základní vzorce Je-li X náhodná veličina a h : R R je měřitelná funkce, pak náhodnou veličinu Y, která je definovaná vztahem X
VícePravděpodobnost a statistika I KMA/K413
Pravděpodobnost a statistika I KMA/K413 Konzultace 3 Přírodovědecká fakulta Katedra matematiky jiri.cihlar@ujep.cz Kovariance, momenty Definice kovariance: Kovariance náhodných veličin Dále můžeme dokázat:,
VícePravděpodobnost a statistika
Pravděpodobnost a statistika Normální rozdělení a centrální limitní věta Vilém Vychodil KMI/PRAS, Přednáška 9 Vytvořeno v rámci projektu 2963/2011 FRVŠ V. Vychodil (KMI/PRAS, Přednáška 9) Normální rozdělení
VíceStatistika a spolehlivost v lékařství Charakteristiky spolehlivosti prvků I
Statistika a spolehlivost v lékařství Charakteristiky spolehlivosti prvků I Příklad Tahová síla papíru používaného pro výrobu potravinových sáčků je důležitá charakteristika kvality. Je známo, že síla
VíceLIMITNÍ VĚTY DALŠÍ SPOJITÁ ROZDĚLENÍ PR. 8. cvičení
LIMITNÍ VĚTY DALŠÍ SPOJITÁ ROZDĚLENÍ PR. 8. cvičení Způsoby statistického šetření Vyčerpávající šetření prošetření všech jednotek statistického souboru (populace) Výběrové šetření ze základního souboru
VíceROZDĚLENÍ SPOJITÝCH NÁHODNÝCH VELIČIN
ROZDĚLENÍ SPOJITÝCH NÁHODNÝCH VELIČIN Rovnoměrné rozdělení R(a,b) rozdělení s konstantní hustotou pravděpodobnosti v intervalu (a,b) f( x) distribuční funkce 0 x a F( x) a x b b a 1 x b b 1 a x a a x b
Více15. T e s t o v á n í h y p o t é z
15. T e s t o v á n í h y p o t é z Na základě hodnot náhodného výběru činíme rozhodnutí o platnosti hypotézy o hodnotách parametrů rozdělení nebo o jeho vlastnostech. Rozeznáváme dva základní typy testů:
VícePravděpodobnost a statistika, Biostatistika pro kombinované studium. Jan Kracík
Pravděpodobnost a statistika, Biostatistika pro kombinované studium Letní semestr 2017/2018 Tutoriál č. 2:, náhodný vektor Jan Kracík jan.kracik@vsb.cz náhodná veličina rozdělení pravděpodobnosti náhodné
Vícejevu, čas vyjmutí ze sledování byl T j, T j < X j a T j je náhodná veličina.
Parametrické metody odhadů z neúplných výběrů 2 1 Metoda maximální věrohodnosti pro cenzorované výběry 11 Náhodné cenzorování Při sledování složitých reálných systémů často nemáme možnost uspořádat experiment
VíceKMA/P506 Pravděpodobnost a statistika KMA/P507 Statistika na PC
Přednáška 03 Přírodovědecká fakulta Katedra matematiky KMA/P506 Pravděpodobnost a statistika KMA/P507 Statistika na PC jiri.cihlar@ujep.cz Diskrétní rozdělení Důležitá diskrétní rozdělení pravděpodobnosti
VícePravděpodobnost a statistika
Pravděpodobnost a statistika Bodové odhady a intervaly spolehlivosti Vilém Vychodil KMI/PRAS, Přednáška 10 Vytvořeno v rámci projektu 963/011 FRVŠ V. Vychodil (KMI/PRAS, Přednáška 10) Bodové odhady a intervaly
VíceMATEMATICKÁ STATISTIKA 1, CVIČENÍ (NMSA331) Poslední úprava dokumentu: 17. listopadu 2016
MATEMATICKÁ STATISTIKA, CVIČENÍ NMSA33 Příklay nejen pro přípravu na písemnou zápočtovou práci Poslení úprava okumentu: 7. listopau 206 Poslení úprava okumentu: 7. listopau 206 Mnohorozměrné normální rozěleni
VíceŘešení. Označme po řadě F (z) Odtud plyne, že
Úloha Nechť ~ R(, ) a Y = Jinak řečeno, Y je odmocnina čísla vybraného zcela náhodně z intervalu (, ) Popište rozdělení veličiny Y a určete jeho modus, medián, střední hodnotu a rozptyl Řešení Označme
VíceTestování statistických hypotéz
Testování statistických hypotéz 1 Testování statistických hypotéz 1 Statistická hypotéza a její test V praxi jsme nuceni rozhodnout, zda nějaké tvrzeni o parametrech náhodných veličin nebo o veličině samotné
Vícey = 0, ,19716x.
Grafické ověřování a testování vybraných modelů 1 Grafické ověřování empirického rozdělení Při grafické analýze empirického rozdělení vycházíme z empirické distribuční funkce F n (x) příslušné k náhodnému
VíceAVDAT Náhodný vektor, mnohorozměrné rozdělení
AVDAT Náhodný vektor, mnohorozměrné rozdělení Josef Tvrdík Katedra informatiky Přírodovědecká fakulta Ostravská univerzita Opakování, náhodná veličina, rozdělení Náhodná veličina zobrazuje elementární
Vícepopulace soubor jednotek, o jejichž vlastnostech bychom chtěli vypovídat letní semestr Definice subjektech.
Populace a Šárka Hudecová Katedra pravděpodobnosti a matematické statistiky Matematicko-fyzikální fakulta Univerzity Karlovy letní semestr 2012 1 populace soubor jednotek, o jejichž vlastnostech bychom
Více