Řešení Eulerových rovnic v Lagrangeovském tvaru: = v, (1) = p, (2) d t. = p v, (3)

Transkript

1 Příklad: Střídavá (staggered) hydrodynamika Řešení Eulerovýh rovni v Lagrangeovském tvaru: pohyb sítě stavová rovnie d ρ ρ d t ρ d v d t ρ d ɛ d t = v, () = p, () = p v, () d x d t = v, (4) p = P(ρ, ε), např. pro ideální plyn p = (γ ) ε ρ. (5) Staggered diskretizae vektorové (kinematiké) veličiny na uzleh sítě, skalární (termodynamiké) veličiny na jejíh uzleh ρ p ε n x n v n n Lagrangeovské metoda, konečné diferene. Odvození numeriké metody: Zahování hmoty () splněno automatiky, protože hmota v buňe m se nemění během elého výpočtu. Integrae rovnie pro hybnost () přes duální (nodální) buňku ( ) d v d v m n = ρ d t n d t dv = p dv F n p. (6) V n V n

2 Síly na pravé straně lze zapsat jako F p n = F p,n, (7) C(n) kde F p,n je síla z buňky na uzel n v důsledku tlaku v, lze spočítat z hodnot tlaku a geometrie buňky. Na levé straně nahrazení derivae ryhlosti diferení = v tn+ n = v tn n + t m n F p n (8) Pohyb výpočetní sítě z ODE pro souřadnie (4) a opět po nahrazení derivae diferení x tn+ n = x tn n + t v n p. (9) Výpočet novýh objemů buněk V tn+ z geometrie a nové hustoty ρ tn+ = m /V tn+. () Celková energie vnitřní + kinetiká E = = m ε + m n v n n m ε + m,n v n, n N() () přičemž m = m,n, n N() m n = C(n) m,n. () Zahování = E/ t =, bude splněno pokud E / t =, m ε t = n N() m,n v n v n t Po dosazení z (6) a nějaké algebře lze přepsat jako m ε t = W, W = n N() W. () m,n m n v n F p,n. (4) W lze přímo spočítat, update energie opět pomoí entrální diferene ε tn+ = ε tn + t m W. (5)

3 Díky této konstruki je shema konzervativní v energii absolutně přesně. Zbývá už jen nový tlak z EOS (5), ( = P p tn+ ρ tn+ ), ε tn+. (6) Toto Lagrangovské shema je konzervativní pro hmotu, hybnost a elkovou energii. Většinou se používá dvoukroková forma (preditor-orretor) s predikí tlaku a ryhlosti poté druhého řádu přesnosti. Pro stabilizai shematu (eliminai osilaí v blízkosti nespojitostí) je nutné přidat viskózní síly F,n, q několik typů. Dále možnost přidat subzonální tlakové síly F,n dp eliminujíí hourglass ve výsledné síti. Dále například gravitační a další síly, podle fyzikálníh modelů. ALE (Arbitrary Lagrangian-Eulerian) metoda: Lagrangeovská metoda výpočetní sít fixována na tekutinu a pohybuje se s tekutinou = vhodné pro simulae laserového plazmatu, kde se typiky výrazně mění velikost výpočetní oblasti (silné komprese nebo expanze). Nevýhoda pohybujíí se sít může degenerovat. V praktikýh simulaíh ALE:. Lagrangeovský výpočet, dokud je sít hladká.. Výpočetní sít degeneruje = její opravení a vyhlazení (regularizae).. Poté musí následovat remapování konzervativní interpolae všeh veličin z Lagrangeovské sítě na regularizovanou. 4. A zpět na bod. Regularizae sítě a následné remapování odpovídá Eulerovské části ALE metody, umožňuje tok hmoty mezi buňkami sítě. ALE metoda kombinuje klady obou přístupů sít se pohybuje s tekutinou (Lagr.), ale Eulerovská část udržuje sít hladkou. Regularizae sítí: Regularizae sítí = jejih rozmotávání a vyhlazování. Pro následné remapování potřebujeme pohnout pouze těmi uzly sítě, kde je to nezbytné, a to pouze tak málo, jak jen možno. Zbytečný (příliš velký) pohyb sítě způsobuje příliš mnoho remapování a následně příliš velkou numerikou difuzi řešení.

4 Mnoho metod pro regularizai. V reálnýh výpočteh efektivnější metoda, např. Winslow. Nové pozie vypočítány jako vážený průměr x k+ i,j = ( α k ( x k (α k + γ k i,j+ + x k ) i,j ) + γ k ( x k i+,j + x k i,j) ) βk ( x k i+,j+ x k i,j+ + x k i,j x k i+,j ), kde koefiienty α k = x ξ + y ξ, βk = x ξ x η + y ξ y η, γ k = x η + y η, a kde (ξ, η) jsou logiké souřadnie. Další metody např. Laplaeovo vyhlazování, minimalizae CN, RJM. Pro rozmotávání (untangling) sítí např. metody založené na přípustné množině (feasible set). Remapování: Remapování = konzervativní interpolae všeh veličin z jedné (Lagrangeovské) výpočetní sítě na druhou (vyhlazenou). Zadány hodnoty veličin (např. hustoty ρ ) v geometrikém středu buněk x Lagrangeovské výpočetní sítě { x n }, které vnímáme jako střední hodnoty nějaké neznámé funke ρ, m = ρ(x, y) dx dy, ρ = m /V. (7) Cílem je spočítat hmoty m ρ(x, y) dx dy (8) a střední hodnoty ρ = m /V na regularizované výpočetní síti { xñ} s přihlédnutím k následujíím požadavkům konzervativita: m = přesnost: ρ ρ( ), m, zahování lin. funke: ρ lineární ρ = ρ( ), konzistene: = ρ = ρ. 4

5 První fáze po částeh lineární interpolae: ( ) ρ ρ(x, y) ρ (x, y) = ρ + (x x ) + x ( ) ρ (y y ). (9) y Směrnie ( ρ/ x), ( ρ/ y) lze spočítat různými metodami, např. pomoí minimalizae rozdílu interpolovoné hodnoty od středníh hodnot ve středeh sousedníh buněk. Druhá fáze integrae, založená bud na průniíh nebo aproximai pomoí toků posunutí (swept fluxes) průsečíky swept fluxes m m = m + m = C() nutnost najít průniky Výpočet m = m e e E() možnost osilaí ρ (x, y) dx dy, () m e = ρ (x, y) dx dy () V e je integrae lineární funke přes polygon, lze vyčíslit analytiky. Možná třetí fáze oprava = redistribue hmoty k odstranění možnýh osilaí. Tepelná vodivost: Vedení tepla reprezentováno jako paraboliký člen v rovnii energie, ρ d ɛ d t = p v + (κ T ) I. () Pomoí splittingu lze oddělit hyperboliká část rovnie a po substitui řešit zvlášt jako T t = (κ T )/(ρ ɛ T ). 5

6 Konstruke mimetikýh diskrétníh operátorů G, D mají stejné diskrétní integrální vlastnosti jako standardní operátory gradientu a divergene. Plně impliitní shema v čase (T n+ T n )/δt + snadné přidání limiteru tepelného toku. ρ ɛ T D G T n+, umožňuje Celková matie systému je symetriká a pozitivně definitní metoda sdruženýh gradientů. Druhého řádu přesnosti v prostoru, dobře prauje na sítíh nízké kvality, umožňuje nespojitý difúzní koefiient κ. Absorpe laseru: Jednoduhý model absorpe laseru na kritiké ploše. Laser dopadajíí shora I = (, I z (t, r)). Na každé hraně sítě projeke intenzity do směru normály I e. Interpolae hustoty ve vrholeh z okolníh buněk. Hustota ve všeh uzleh buňky bud pod- nebo nadkritiká (D I) =. Smíšené hodnoty (D I) = L s (e) I V () e, L s (e) podkritiká délka hrany, I e intenzita podél hrany. e δ i,j+ i+,j+ i,j i+,j Rovnie absorpe: ρ d ɛ d t + p v = C A I, C A =.5 nebo.75. 6

7 Pokročilý model raytraingu sledování jednotlivýh parsků laseru v prostředí včetně odrazů. Kód PALE (Prague ALE): simulae interakí laseru s plazmatem, PALS řešení Eulerovýh rovni ve staggered diskretizai, popsané metody stavová rovnie QEOS vedení tepla absorpe laseru D, kartézská a ylindriká geometrie Fortran PALE příklady: Sedov (bodová exploze), Lagrangeovský běh (video )

8 RTI Multimateria love rozhranı materia lu, ra zova vlna + vortex (video ) γ =.5 ρ =.5 p =. γ =.5 ρ = p =.5 γ =.4 ρ = p =. 7 Time:

9 Jet dírou ve zdi (video ) γ = 5/ ρ = p = u = v = γ = 5/ ρ = p = u = v = (a) (b) () (d) Impakt terčíku počáteční fáze, porovnání Lagrangeovské a ALE simulae (video 4)

10 Impakt elá simulae LASER LASER BEAM BEAM DISC FLYER d L v imp r MASSIVE TARGET. fáze: ablatiká akelerae terčíku (videa 5 a 6) fáze: interpolae výsledku na sít pro impakt

11 . fáze: simulae impaktu, kráter (videa 7 a 8) gas liquid.85 solid

12 Slide lines klouzání sítí po sobě jako prevene degenerae (video 9).5 ρ= ε= 9.5 ρ= ε= ρ= ε=

13 Plazma v kavitě (videa a ) LASER LASER LASER CH CH Al Al Al