M praktikum : M0130pr07 (Modely lokálního postupného trendu)

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "M praktikum : M0130pr07 (Modely lokálního postupného trendu)"

Transkript

1 RNDr Marie Forbelská, PhD 1 M praktikum : M0130pr07 (Modely lokálního postupného trendu) A Klouzavé průměry Klouzavé průměry aproximují neznámý trend polynomem stupně m uvnitř symetrického vyhlazovacího okénka[t s,t+s] a pro náhodný proces {Y t,t Z} uvažují model: Y t+τ = m β j (t)τ j +ε t+τ τ [ s,s]; Eε t+τ =0; Dε t+τ =σ 2 ; C(ε t+τ,ε t+τ )=0; τ τ j=0 Označme: X = 1 s ( s) m m 1 s s m H = X ( X X ) 1 X }{{} proj matice = h 1 h s+1 h 2s+1 Rozdělme časovou řadu na tři segmenty: Y (F) = Y 1 Y s Y 2s+1, Y (t)= Y t s Y t Y t+s a Y (L) = Y n 2s Y n s Y n Ŷ 1 =h 1 Y (F) Pak Ŷ s =h sy (F) Ŷ t =h s+1y (t) pro t=s+1,,n s, přičemž prvky projekční matice H se nazývají váhy Ŷ n s+1 =h s+2 Y (L) Ŷ n =h 2s+1 Y (L) Většina statistických programů pracuje pouze s prostředním segmentem a první a poslední část časové řady nechává nevyhlazenou Uvažujme například m=2,s=2,r=2s+1=5, pak matice plánu X = a projekční matice H= h 1 h 2 h 3 h 4 h 5 = x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 = , informační matice X X = váhy pro první bod (asymetrické váhy) váhy pro druhý bod (asymetrické váhy) váhy pro středové body (symetrické váhy) ( ) váhy pro předposlední bod (asymetrické váhy) váhy pro poslední bod (asymetrické váhy)

2 2 Praktikum z náhodných procesů (7 praktikum) Uvažujme ještě m=3,s=2,r=2s+1=5, pak matice plánu X = x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 = , informační matice X X = a projekční matice H= h 1 h 2 h 3 h 4 h 5 = váhy pro první bod (asymetrické váhy) váhy pro druhý bod (asymetrické váhy) váhy pro středové body (symetrické váhy) váhy pro předposlední bod (asymetrické váhy) váhy pro poslední bod (asymetrické váhy) Vidíme, že Součet vah v jednom řádku je roven jedné (jde o prvky projekční matice s jednotkovou normou) Středové váhy jsou symetrické kolem prostřední hodnoty (H je symetrická) Je-li m sudé, pak středové váhy řádu m a m+1 pro stejnou délku r=2s+1 jsou totožné (součty s lichými mocninami jsou nulové) Jednoduché klouzavé průměry Pro m=0, r=2s+1 ( Pro m=1, r=2s+1 X = X=(1,,1), X X=2s+1 H=X(X X) 1 X = 1 2s+1 XX = s 0 s H=X(X X) 1 X = ), X X= h 1 h s+1 h 2s+1 = Centrované klouzavé průměry 2s ( 2s h 1 1 2s+1 1 2s+1 h 2s+1 s(s+1)(2s+1) 3 ), Využívají se v případě, kdy chceme k vyhlazení použít okénko sudé délky, například u ročních či čtvrtletních časových řad, kdy potřebujeme časovou řadu očistit od sezónních vlivů 1 krok p 1 = 1 2s (Y t s+ +Y t+s 1 ) a p 2 = 1 2s (Y t s+1+ +Y t+s ) 2 krok p= 1 2 (p 1+ p 2 )= 1 4s (Y t s+2y t s+1 +2Y t+s 1 + Y t+s )

3 RNDr Marie Forbelská, PhD 3 Příklad 1 Pro použití klouzavých průměrů si zvolíme měsíční časovou řadu s počty nezaměstnaných mladých žen ve věku od 16 do 19 let v USA od ledna 1961 do srpna 2002 Nejprve načteme popis časové řady, který je v datovém souboru umístěn na prvních dvou řádcích Následně načteme samotnou časovou řadu pomocí příkazu scan, volbou skip3 zajistíme přeskočení prvních dvou řádků s textem a jednoho volného řádku > filedat <- paste(datalibrary, "MontlyUnemplWomendat", sep = "") > con <- file(filedat) > (popis <- readlines(con, n = 2)) [1] "Monthly unemployed young women between ages 16 and 19" [2] "in the US from January 1961 to August 2002" > close(con) > UnemplWomen <- scan(filedat, skip = 3) Z načtených dat vytvoříme časovou řadu a vykreslíme ji > UnemplWomenTS <- ts(unemplwomen, start = 1961, frequency = 12) > str(unemplwoments) Time-Series [1:500] from 1961 to 2003: > par(mar = c(2, 2, 0, 0) + 05) > plot(unemplwoments) Obrázek 1: Počet nezaměstnaných mladých žen ve věku od 16 do 19 let v USA od ledna 1961 do srpna 2002

4 4 Praktikum z náhodných procesů (7 praktikum) Klouzavé průměry se nejčastěji používají k odfiltrování sezónních vlivů K tomu bychom však potřebovaly, aby klouzavé průměry měly šířku 12, což není liché číslo Proto použijeme jednoduché centrované klouzavé průměry V prostředí R máme k dispozici příkaz filter(), ve kterém musíme zadat váhy (tj prostřední řádek h s+1 projekční matice H) Proto nejprve vytvoříme funkci CenterFilter(), která spočítá váhy pro centrované klouzavé průměry pro sudé k > CenterFilter <- function(k) { if (k%%2!= 0) stop("k must be a odd number") centerfilter <- c(1/(2 * k), rep(1/k, k - 1), 1/(2 * k)) } A nyní již můžeme provést vyhlazení (smoothing) časové řady pomocí centrovaných klouzavých průměrů a výsledky graficky znázornit > x <- UnemplWomenTS > k <- 12 > xsmooth <- filter(x, CenterFilter(k)) > str(xsmooth) Time-Series [1:500] from 1961 to 2003: NA NA NA NA NA > par(mar = c(2, 2, 2, 0) + 05) > plot(x) > lines(xsmooth, col = "red", lwd = 2) > txt <- paste(popis[1], popis[2], sep = "\n") > title(main = txt) Monthly unemployed young women between ages 16 and 19 in the US from January 1961 to August Obrázek 2: Použití centrovaných klouzavých průměrů pro měsíční data Počet nezaměstnaných mladých žen ve věku od 16 do 19 let v USA od ledna 1961 do srpna 2002

5 RNDr Marie Forbelská, PhD 5 B Exponenciální vyrovnávání Na rozdíl od klouzavých průměrů vychází z polynomiální lokální vážené metody nejmenších čtverců, kde váhy jednotlivých čtverců se směrem do minulosti exponenciálně snižují odtud název metody Uvažujeme-li vyhlazovací okno pouze směrem do minulosti, pak pro každé t, τ = 0, 1, dostaneme regresní model tvaru Y t τ = m ( τ) j β j (t)+ε t τ, Eε t τ =0; Eε q ε s =0, q s; Dε t τ =α τ σ 2 ; α (0,1) j=0 tj matice vah je rovna W=diag{w 1,,w n,}=diag{α 0,α 1,,α τ } Odhad parametrů β metodou nejmenších vážených čtverců (nebot rozptyly nejsou konstantní) je dán vzorcem: kde X WX= α τ ( τ) 1 α τ ( τ) m α τ ˆβ=(X WX) 1 X WY ( τ) 1 α τ ( τ) m α τ ( τ) 2 α τ ( τ) m+1 α τ ( τ) m+1 α τ ( τ) 2m α τ,x WY= α τ Y t τ ( τ) 1 α τ Y t τ ( τ) m α τ Y t τ Tento přístup založený na vážené polynomiální metodě nejmenších čtverců se nazývá Brownův přístup Značení: Pro dobrou srozumitelnost zavedeme následující značení Necht {Y t,t Z} je náhodná posloupnost, její realizace v časových okamžicích t 1,t 2,,t n označme y 1,y 2,,y n Symbolem ŷ t k označme odhad hodnoty Y t v čase t na základě hodnot do časového okamžiku k včetně Jestliže k < t, pak ŷ t k nazýváme predikcí, pokud k=t, ŷ t t nazýváme filtrací a je-li k= n > t, pak ŷ t n nazýváme vyrovnáním (smoothing) Jednoduché exponenciální vyrovnávání Exponenciální vyrovnávání pro m = 0 se nazývá jednoduché exponenciální vyrovnávání Použijeme li označení ˆβ0 (t)=b 0 (t) a uvážíme li, že pro α (0,1) je α τ = 1 1 α, dostaneme b o (t) α τ = α τ Y t τ b 0 (t)=ŷt=(1 α) α τ Y t τ

6 6 Praktikum z náhodných procesů (7 praktikum) Abychom získali rekurentní vztah, upravujme Ŷ t = (1 α) ατ Y t τ =(1 α)y t +(1 α) = (1 α)y t +(1 α) = (1 α)y t + α(1 α) k=0 αk+1 Y t 1 k τ=1 ατ Y t τ = α k Y t 1 k =(1 α)y t + αŷt 1 k=0 } {{ } Ŷ t 1 subst k=τ 1 Protože predikce o τ (τ >0) kroků dopředu pro jednoduché exponenciální vyrovnávání je rovna Ŷt+τ t= Ŷt= b 0 (t), můžeme předchozí rekurentní vztah přepsat pro realizace a dále upravovat ŷ t+1 t =(1 α)y t + αŷ t t 1 =(1 α)y t + αŷ t t 1 + ŷ t t 1 ŷ t t 1 = ŷ t t 1 +(1 α) (y t ŷ t t 1 ) }{{} chyba predikceˆε t t 1 a o rekurentním vzorci s chybou predikceˆε t t 1 se říká, že je ve formě korekce chyby předpovědi (error correction form) Ad hoc přístupy Holta a Winterse Pokud chceme na základě pozorování y 1,,y t sestrojit předpověd budoucí hodnoty y t+1 v čase t+1, označme ji ŷ t+1 t, pak nejjednodušším odhadem může být obyčejmý průměr Tato předpověd je vhodná, pokud hodnoty časové řady náhodně kolísají kolem střední hodnoty, která se v čase nemění Jako rozumější se však jeví použít pro predikci budoucí hodnoty ve větší míře pozorování, která jsou časově nejbliže Pak se nabízejí vážené průměry t 1 ŷ t+1 t = w j,t y t j, (1) j=0 kde součet vah je roven jedné, tj n j=0 w j,t=1 Exponenciální vyrovnávání je založeno na myšlence použití vah, které do minulosti klesají exponenciálně S využitím vztahu t 1 α j = 1 αt, pro α (0,1), (2) 1 α j=0 chceme-li, aby součet vah, které exponenciálně klesají, byl roven jedné, položíme w j,t = 1 α 1 α tαj (3) Protože pro t konvergují váhy w j,t w j =(1 α)α j, můžeme uvažovat jednokrokovou předpověd ze všech minulých pozorování ve tvaru ŷ t+1 t =(1 α) α j y t j, pro α (0,1) (4) j=0

7 RNDr Marie Forbelská, PhD 7 Analogicky jako u Brownova přístupu odvodíme rekurentní vztahy ŷ t+1 t =(1 α)y t +(1 α) =(1 α)y t + α(1 α) =(1 α)y t + αŷ t t 1 α j y t j j=1 α k y t 1 k k=0 Obdobně získáme i tvar využívající korekci chyby předpovědi ŷ t+1 t =(1 α)y t + αŷ t t 1 + ŷ t t 1 ŷ t t 1 = ŷ t t 1 +(1 α)(y t ŷ t t 1 ) = ŷ t t 1 +(1 α) ε t t 1 Na tomto ad-hoc přístupu se nám podařilo ukázat, že se v podstatě jedná o jednoduché exponenciální vyrovnávání, které přepokládá model s lokální hladinou β 0 (t) Y t = β 0 (t)+ε t Použijeme-li značení obvyklá pro tento přístup, kdy váhy mají tvar w j = β(1 β) j, (5) tj α=1 β, místo β 0 (t), píšeme L t (level) Odvozené vztahy v novém značení: ŷ t+1 t = βy t +(1 β)ŷ t t 1 = ŷ t t 1 + β ε t t 1 (6) L t+1 = L t + β ε t+1 t (7) Holtovo exponenciální vyrovnávání Oproti jednoduchému exponenciálnímu vyrovnávání Holtova metoda předpokládá lokálně lineární trend, jehož koeficienty β 0 (t) i β 1 (t) se v čase mění Hodnota časové řady v okamžiku t je určena jednak její úrovní β 0 (t), jednak směrnicí β 1 (t) V Holtově metodě se úroveň v čase t značí symbolem L t (zkratka pro level) a směrnice jako T t (zkratka pro trend) Úroveň L t je zároveň vyrovnanou hodnotou realizace y t v okamžiku t Směrnice lokálně lineárního trendu T t (někdy se mluvíme krátce o trendu) vyjadřuje očekávanou změnu úrovně časové řady při jednotkové časové změně Pokud chceme pomocí Holtovy metody přepovídat hodnotu časové řady o h >0 jednotek dopředu, položíme Takže, je-li h=1, dostaneme jednokrokovou předpověd jako ŷ t+h t = L t + T t h (8) ŷ t+1 t = L t + T t (9)

8 8 Praktikum z náhodných procesů (7 praktikum) Protože by přibližně mělo platit, že realizace y t+1 L t+1, pak se jeví vhodné získat L t+1, jako konvexní lineární kombinaci hodnot(l t + T t ) a y t+1 V Holtově metodologii bývá zvykem místo α (0,1) používat β=1 α, takže konvexní lineární kombinace bude mít tvar L t+1 =(1 β)(l t + T t )+βy t+1 (10) Hodnota β se nazývá vyrovnávací konstanta pro úroveň řady Analogickou úvahu použijeme i pro směrnici trendu T t Z přepokladu, že řada má lokálně lineární trend vyplývá, že by přibližně mělo platit T t+1 T t, ale zároveň má také smysl očekávat, že směrnice trendu je přibližně rozdílem sousedních úrovní, tj T t+1 L t+1 L t Novou hodnotu směrnice T t+1 budeme uvažovat jako konvexní lineární kombinaci T t+1 =(1 γ)t t + γ(l t+1 L t ), kde γ (0,1) (11) γ je tzv vyrovnávací konstanta pro lineární růst (pro směrnici) Na závěr odstavce ještě ukážeme přepsání předchozích rekurentních vztahů do chybového tvaru L t+1 =(1 β)(l t + T t )+βy t+1 =(1 β)(l t + T t )+βy t+1 + βŷ t+1 t βŷ t+1 t = β(y t+1 ŷ t+1 t ) +(1 β)(l t + T t )+βŷ t+1 t }{{}}{{} bε t+1 t L t+t t = β ε t+1 t + L t + T t T t+1 =(1 γ)t t + γ(l t+1 L t )=T t γt t + γ L t+1 }{{} L t+t t+βbε t+1 t γl t = T t γt t + γ(l t + T t + β ε t+1 t ) γl t = T t + γβ ε t+1 t Holtovo-Wintersovo exponenciální vyrovnávání V případě, kdy časová řada má sezonní charakter, nevystačíme se žádnou z předchozích metod Rozšíření Holtovy metody na sezónní časové řady je známo jako Holtova Wintersova metoda Autorem je Holtův student Peter R Winters Holtova-Wintersova metoda je založena na třech vyrovnávacích konstantách Jedna je pro hladinu, druhá pro trend a třetí pro sezónnost Dle charakteru dat využívá aditivní nebo multiplikativní notaci

9 RNDr Marie Forbelská, PhD 9 Uvažujme časovou řadu s lokálně lineárním trendem a sezónností s periodou p 2 Stejně jako u Holtovy metody označme symbolem L t úroveň v čase t, symbolem T t směrnici lokálně lineárního trendu a symbolem S t sezónní výkyv čase t Součet úrovně L t s hodnotou sezónního výkyvu S t představuje v okamžiku t vyrovnanou hodnotu realizace y t Předpověd hodnoty časové řady o h >0jednotek dopředu je pak dána vztahem takže v případě jednokrokové predikce platí Protože by mělo přibližně platit ŷ t+h t = L t + S t p+h + T t h, (12) ŷ t+1 t = L t + S t+1 p + T t (13) y t+1 L t+1 + S t+1 p a L t+1 L t + T t, má smysl získat úroveň L t+1 jako konvexní lineární kombinaci hodnot (L t + S t ) a(y t+1 S t+1 p ), tj L t+1 =(1 β)(l t + T t )+β(y t+1 S t+1 p ) (14) Protože řada má lokálně lineární trend, mělo by přibližně platit T t+1 T t, ale zároveň lze směrnici lokálně lineárního trendu vyjádřit pomocí rozdílu sousedních hladin T t+1 L t+1 L t Oba předchozí vztahy využijeme při konstrukci směrnice lokálně linárního trendu díky konvexní linární kombinaci T t+1 =(1 γ)t t + γ(l t+1 L t ), kde γ (0, 1) se nazývá vyrovnávací konstanta pro směrnici trendu Pro sezónní výkyvy musí platit vztah a také S t+1 S t+1 p, S t+1 y t+1 L t+1 Tedy označíme-li symbolem δ (0,1) vyrovnávací konstantu pro sezónní výkyvy, pak S t+1 =(1 δ)s t+1 p + δ(y t+1 L t+1 )

10 10 Praktikum z náhodných procesů (7 praktikum) Na závěr odstavce odvodíme rekuretní vztahy v chybové formě Tedy upravujme L t+1 =(1 β)(l t + T t )β(y t+1 S t+1 p ) =(1 β)(l t + T t )+β(y t+1 S t+1 p )+βŷ t+1 t βŷ t+1 t = β(y t+1 ŷ t+1 t )+L t + T t βl t + βt t βs t+1 p + β ŷ t+1 t }{{} L t+s t+1 p +T t = L t + T t + β ε t+1 t T t+1 =(1 γ)t t + γ(l t+1 L t )=T t γt t + γ L t+1 }{{} L t+t t+βbε t+1 t L t = T t γt t + γ(l t + T t + β ε t+1 t γl t ) = T t + γβ ε t+1 t S t+1 =(1 δ)s t+1 p + δ(y t+1 L t+1 ) = S t+1 p δ(s t+1 p y t+1 ) δ(l t + T t + β ε t+1 t ) = S t+1 p + δy t+1 δ(l t + T t + S t+1 p ) δβ ε t+1 t = S t+1 p + δ(1 β) ε t+1 t Exponenciální vyrovnávání v prostředí R V prostředí R je pro exponenciální vyhlazování v balíčku stats k dispozici funkce HoltWinters(), která například v případě aditivního modelu uvažuje rekurentní vztahy úroveň (level) L t = α(y t S t p )+(1 α)(l t 1 + T t 1 ) lineární růst (growth) T t = β(l t L t 1 )+(1 β)t t 1 sezónní výkyvy (seasonal) S t = γ(y t L t 1 T t 1 )+(1 γ)s t p předpověd (forecast) ŷ t+h t = L t + T t h+s t p+h + p kde h + p =[(h 1) mod p]+1 Počáteční stavy L 0,T 0,S 1 p,,s 0 a tzv vyrovnávací konstanty α,β,γ jsou odhadnuty na základě dat Na podrobný popis funkce se podívejte pomocí příkazu?holtwinters Mnohem komplexnější možnosti nabízí funkce ets() z balíčku forecast, která navíc dovoluje tzv tlumící faktor Tak například, označíme li µ t = ŷ t, pak model s tlumeným lineárním trendem, kdy µ t = ŷ t = L t 1 T t 1

11 RNDr Marie Forbelská, PhD 11 a který je ve formě korekce chyby predikce (error correction form), bude definován rekuretními vztahy y t = L t 1 + φt t 1 + ε t L t = L t 1 + φt t 1 + αε t T t = φt t 1 + β(l t L t 1 φt t 1 )=φt t 1 + αβε t Optimální model je vybrán na základě tzv AIC kritéria kde m je počet parametrů AIC= 2log(Likelihood)+2m, Při výstupu procedura ets() používá následující notaci Trendová Sezónní komponenta komponenta N A M (None) (Additive) (Multiplikative) N (None) N,N N,A N,M A (Additive) A, N A, A A, M A d (Additive damped) A d,n A d,a A d,m M (Multiplikative) M, N M, A M, M M d (Multiplikative damped) M d,n M d,a M d,m Označení optimálního modelu tvoří trojici ETS(E,T,S), kde Příklad 1 (pokračování) E error možné hodnoty A,M T trend N,A,A d,m,m d S seasonal N, A, M Na načtená data vyzkoušíme Holtův Wintersenův model se všemi komponentami a výsledky exponenciálního vyrovnávání vypíšeme > x <- UnemplWomenTS > model <- HoltWinters(x) > summary(model) Length Class Mode fitted 1952 mts numeric x 500 ts numeric alpha 1 -none- numeric beta 1 -none- numeric gamma 1 -none- numeric coefficients 14 -none- numeric seasonal 1 -none- character SSE 1 -none- numeric call 2 -none- call

12 12 Praktikum z náhodných procesů (7 praktikum) > coefficients(model) a b s1 s2 s3 s s5 s6 s7 s8 s9 s s11 s Hodnoty sezónních složek vykreslíme do grafu > par(mar = c(2, 2, 0, 0) + 05) > plot(1:12, coefficients(model)[3:14], type = "o") > for (k in 1:12) abline(v = k, col = "gray", lty = 1) Obrázek 3: Hodnoty sezónních složek z Holtova Wintersonova exponenciálního vyrovnávání pomocí funkce HoltWinters() pro časovou řadu: Počet nezaměstnaných mladých žen ve věku od 16 do 19 let v USA od ledna 1961 do srpna 2002 Na základě tohoto modelu provedeme predikci na dva roky dopředu Výsledky Holtova Wintersenova exponenciální vyrovnání i predikci vykreslíme > pred <- predict(model, nahead = 24, predictioninterval = T) > summary(pred) fit upr lwr Min :5616 Min :6501 Min :3778 1st Qu:5651 1st Qu:6784 1st Qu:4088 Median :5683 Median :7095 Median :4337 Mean :5697 Mean :7055 Mean :4339 3rd Qu:5736 3rd Qu:7382 3rd Qu:4605 Max :5811 Max :7671 Max :4920

13 RNDr Marie Forbelská, PhD 13 > par(mar = c(2, 2, 1, 0) + 05) > plot(model, predictedvalues = pred) Holt Winters filtering Obrázek 4: Holtovo Wintersonovo exponenciální vyrovnávání pomocí funkce HoltWinters() pro časovou řadu: Počet nezaměstnaných mladých žen ve věku od 16 do 19 let v USA od ledna 1961 do srpna 2002 Podíváme se, jak dopadnou výsledky v případě použití funkce ets() z balíčku forecast > library(forecast) > x <- UnemplWomenTS > modelets <- ets(x) > summary(modelets) ETS(A,N,N) Call: ets(y = x) Smoothing parameters: alpha = Initial states: l = sigma: AIC AICc BIC In-sample error measures: ME RMSE MAE MPE MAPE MASE

14 14 Praktikum z náhodných procesů (7 praktikum) Na základě AIC kritéria funkce ets() vybrala pro naše data jednoduché exponenciální vyrovnávání (značení ET S(A, N, N)) Výsledky jednoduchého exponenciálního vyhlazení opět vykreslíme > par(mar = c(2, 2, 1, 0) + 05) > plot(modelets, plottype = "single", col = 1:3, ylab = "") Decomposition by ETS(A,N,N) method Obrázek 5: Holtovo Wintersonovo exponenciální vyrovnávání pomocí funkce ets() pro časovou řadu: Počet nezaměstnaných mladých žen ve věku od 16 do 19 let v USA od ledna 1961 do srpna 2002 > predets <- forecast(modelets) > summary(predets) Forecast method: ETS(A,N,N) Model Information: ETS(A,N,N) Call: ets(y = x) Smoothing parameters: alpha = Initial states: l = sigma: AIC AICc BIC

15 RNDr Marie Forbelská, PhD 15 In-sample error measures: ME RMSE MAE MPE MAPE MASE Forecasts: Point Forecast Lo 80 Hi 80 Lo 95 Hi 95 Sep Oct Nov Dec Jan Feb Mar Apr May Jun Jul Aug Sep Oct Nov Dec Jan Feb Mar Apr May Jun Jul Aug > par(mar = c(2, 2, 1, 0) + 05) > plot(predets) Forecasts from ETS(A,N,N) Obrázek 6: Predikce pomocí funkce forecast() pro časovou řadu: Počet nezaměstnaných mladých žen ve věku od 16 do 19 let v USA od ledna 1961 do srpna 2002

16 16 Praktikum z náhodných procesů (7 praktikum) C Úkol: Na časové řady, které jste si našli v úvodním praktiku, aplikujte klouzavé průměry a exponenciální vyhlazování

M praktikum : M0130pr03

M praktikum : M0130pr03 RNDr. Marie Forbelská, Ph.D. 1 M0130 3. praktikum : M0130pr03 (Úvodní analýza časových řad) A. Roční data: Příklad 1 Máme k dispozici historická roční data, která se týkají minimálních (dolních) hladin

Více

Periodicita v časové řadě, její popis a identifikace, exponenciální vyrovnáván

Periodicita v časové řadě, její popis a identifikace, exponenciální vyrovnáván Periodicita v časové řadě, její popis a identifikace, exponenciální vyrovnávání Statistika II Katedra ekonometrie FVL UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz Periodicita v časových

Více

Časové řady, typy trendových funkcí a odhady trendů

Časové řady, typy trendových funkcí a odhady trendů Statistika II Katedra ekonometrie FVL UO Brno kancelář 69a, tel 973 442029 email:jirineubauer@unobcz Stochastický proces Posloupnost náhodných veličin {Y t, t = 0, ±1, ±2 } se nazývá stochastický proces

Více

Časové řady, typy trendových funkcí a odhady trendů

Časové řady, typy trendových funkcí a odhady trendů Časové řady, typy trendových funkcí a odhady trendů Jiří Neubauer Katedra ekonometrie FVL UO Brno kancelář 69a, tel 973 442029 email:jirineubauer@unobcz Jiří Neubauer (Katedra ekonometrie UO Brno) Časové

Více

Úvod do analýzy časových řad

Úvod do analýzy časových řad Přednáška STATISTIKA II - EKONOMETRIE Katedra ekonometrie FEM UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz Posloupnost náhodných veličin {Y t, t = 0, ±1, ±2... } se nazývá stochastický

Více

M cvičení : GLM04b (Vztah mezi Poissonovým a

M cvičení : GLM04b (Vztah mezi Poissonovým a RNDr. Marie Forbelská, Ph.D. 1 M7222 4. cvičení : GLM04b (Vztah mezi Poissonovým a binomických rozdělením) Připomeňme, že pomocí Poissonova rozdělení P o(λ) lze dobře aproximovat binomické rozdělení Bi(n,

Více

8 ANALÝZA ČASOVÝCH ŘAD SEZÓNNÍ SLOŽKA

8 ANALÝZA ČASOVÝCH ŘAD SEZÓNNÍ SLOŽKA 8 ANALÝZA ČASOVÝCH ŘAD SEZÓNNÍ SLOŽKA RYCHLÝ NÁHLED KAPITOLY Následující kapitolou pokračujeme v tématu analýza časových řad a blíže se budeme zabývat problematikou jich pravidelné kolísavost, která je

Více

Modely stacionárních časových řad

Modely stacionárních časových řad Statistika II Katedra ekonometrie FVL UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz Proces bílého šumu Proces {ɛ t} nazveme bílým šumem s nulovou střední hodnotou a rozptylem σ 2 a

Více

Zadání Máme data hdp.wf1, která najdete zde: Bodová předpověď: Intervalová předpověď:

Zadání Máme data hdp.wf1, která najdete zde:  Bodová předpověď: Intervalová předpověď: Predikce Text o predikci pro upřesnění pro ty, které zajímá, kde se v EViews všechna ta čísla berou. Ruční výpočty u průběžného testu nebudou potřeba. Co bude v závěrečném testu, to nevím. Ale přečíst

Více

M cvičení : GLM03a (The Working Activities of Bees)

M cvičení : GLM03a (The Working Activities of Bees) RNDr. Marie Forbelská, Ph.D. 1 M7222 3. cvičení : GLM03a (The Working Activities of Bees) Popis dat je v souboru bees.txt, samotná data jsou uložena v souboru bees.dat. Nejprve načteme popisný soubor pomocí

Více

Statistická analýza jednorozměrných dat

Statistická analýza jednorozměrných dat Statistická analýza jednorozměrných dat Prof. RNDr. Milan Meloun, DrSc. Univerzita Pardubice, Pardubice 31.ledna 2011 Tato prezentace je spolufinancována Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem

Více

ODHADY BUDOUCÍCH POČTŮ POJIŠTĚNCŮ VZP ČR NA BÁZI JEDNOLETÝCH ČASOVÝCH ŘAD. ROBUST 2018 RYBNÍK u Domažlic,

ODHADY BUDOUCÍCH POČTŮ POJIŠTĚNCŮ VZP ČR NA BÁZI JEDNOLETÝCH ČASOVÝCH ŘAD. ROBUST 2018 RYBNÍK u Domažlic, ODHADY BUDOUCÍCH POČTŮ POJIŠTĚNCŮ VZP ČR NA BÁZI JEDNOLETÝCH ČASOVÝCH ŘAD ROBUST 2018 RYBNÍK u Domažlic, 21.-26.1.2018 Obsah 1. Úvod (Východiska a účely) 2. Datové zdroje 2.1 Časové řady počtů pojištěnců

Více

LWS při heteroskedasticitě

LWS při heteroskedasticitě Stochastické modelování v ekonomii a financích Petr Jonáš 7. prosince 2009 Obsah 1 2 3 4 5 47 1 Předpoklad 1: Y i = X i β 0 + e i i = 1,..., n. (X i, e i) je posloupnost nezávislých nestejně rozdělených

Více

2011 (datový soubor life expectancy CR.txt). Budeme predikovat vývoj očekávané doby dožití pomocí

2011 (datový soubor life expectancy CR.txt). Budeme predikovat vývoj očekávané doby dožití pomocí Příklady užití časových řad k predikci rizikových jevů 1 Očekávaná doba dožití v ČR Máme k dispozici časovou řadu udávající očekávanou dobu dožití v České republice od roku 1960 do roku 2011 (datový soubor

Více

Odhad parametrů N(µ, σ 2 )

Odhad parametrů N(µ, σ 2 ) Odhad parametrů N(µ, σ 2 ) Mějme statistický soubor x 1, x 2,, x n modelovaný jako realizaci náhodného výběru z normálního rozdělení N(µ, σ 2 ) s neznámými parametry µ a σ. Jaký je maximální věrohodný

Více

Regresní analýza 1. Regresní analýza

Regresní analýza 1. Regresní analýza Regresní analýza 1 1 Regresní funkce Regresní analýza Důležitou statistickou úlohou je hledání a zkoumání závislostí proměnných, jejichž hodnoty získáme při realizaci experimentů Vzhledem k jejich náhodnému

Více

Testování hypotéz o parametrech regresního modelu

Testování hypotéz o parametrech regresního modelu Statistika II Katedra ekonometrie FVL UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz Lineární regresní model kde Y = Xβ + e, y 1 e 1 β y 2 Y =., e = e 2 x 11 x 1 1k., X =....... β 2,

Více

4EK211 Základy ekonometrie

4EK211 Základy ekonometrie 4EK211 Základy ekonometrie ZS 2015/16 Cvičení 7: Časově řady, autokorelace LENKA FIŘTOVÁ KATEDRA EKONOMETRIE, FAKULTA INFORMATIKY A STATISTIKY VYSOKÁ ŠKOLA EKONOMICKÁ V PRAZE 1. Časové řady Data: HDP.wf1

Více

Odhad parametrů N(µ, σ 2 )

Odhad parametrů N(µ, σ 2 ) Odhad parametrů N(µ, σ 2 ) Mějme statistický soubor x 1, x 2,, x n modelovaný jako realizaci náhodného výběru z normálního rozdělení N(µ, σ 2 ) s neznámými parametry µ a σ. Jaký je maximální věrohodný

Více

11 Analýza hlavních komponet

11 Analýza hlavních komponet 11 Analýza hlavních komponet Tato úloha provádí transformaci měřených dat na menší počet tzv. fiktivních dat tak, aby většina informace obsažená v původních datech zůstala zachována. Jedná se tedy o úlohu

Více

Stavový model a Kalmanův filtr

Stavový model a Kalmanův filtr Stavový model a Kalmanův filtr 2 prosince 23 Stav je veličina, kterou neznáme, ale chtěli bychom znát Dozvídáme se o ní zprostředkovaně prostřednictvím výstupů Příkladem může býapř nějaký zašuměný signál,

Více

AVDAT Nelineární regresní model

AVDAT Nelineární regresní model AVDAT Nelineární regresní model Josef Tvrdík Katedra informatiky Přírodovědecká fakulta Ostravská univerzita Nelineární regresní model Ey i = f (x i, β) kde x i je k-členný vektor vysvětlujících proměnných

Více

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA PRAVDĚPODOBNOS A SAISIKA Regresní analýza - motivace Základní úlohou regresní analýzy je nalezení vhodného modelu studované závislosti. Je nutné věnovat velkou pozornost tomu aby byla modelována REÁLNÁ

Více

Bodové a intervalové odhady parametrů v regresním modelu

Bodové a intervalové odhady parametrů v regresním modelu Statistika II Katedra ekonometrie FVL UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz Lineární regresní model Mějme lineární regresní model (LRM) Y = Xβ + e, kde y 1 e 1 β y 2 Y =., e

Více

1 Tyto materiály byly vytvořeny za pomoci grantu FRVŠ číslo 1145/2004.

1 Tyto materiály byly vytvořeny za pomoci grantu FRVŠ číslo 1145/2004. Prostá regresní a korelační analýza 1 1 Tyto materiály byly vytvořeny za pomoci grantu FRVŠ číslo 1145/2004. Problematika závislosti V podstatě lze rozlišovat mezi závislostí nepodstatnou, čili náhodnou

Více

Modely pro nestacionární časové řady

Modely pro nestacionární časové řady Modely pro nestacionární časové řady Jiří Neubauer Katedra ekonometrie FVL UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz Jiří Neubauer (Katedra ekonometrie UO Brno) Modely pro nestacionární

Více

Regresní analýza. Ekonometrie. Jiří Neubauer. Katedra ekonometrie FVL UO Brno kancelář 69a, tel

Regresní analýza. Ekonometrie. Jiří Neubauer. Katedra ekonometrie FVL UO Brno kancelář 69a, tel Regresní analýza Ekonometrie Jiří Neubauer Katedra ekonometrie FVL UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz Jiří Neubauer (Katedra ekonometrie UO Brno) Regresní analýza 1 / 23

Více

Testování hypotéz o parametrech regresního modelu

Testování hypotéz o parametrech regresního modelu Testování hypotéz o parametrech regresního modelu Ekonometrie Jiří Neubauer Katedra kvantitativních metod FVL UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz Jiří Neubauer (Katedra UO

Více

Charakteristika datového souboru

Charakteristika datového souboru Zápočtová práce z předmětu Statistika Vypracoval: 10. 11. 2014 Charakteristika datového souboru Zadání: Při kontrole dodržování hygienických norem v kuchyni se prováděl odběr vzduchu a pomocí filtru Pallflex

Více

Tomáš Karel LS 2012/2013

Tomáš Karel LS 2012/2013 Tomáš Karel LS 2012/2013 Doplňkový materiál ke cvičení z předmětu 4ST201. Na případné faktické chb v této presentaci mě prosím upozorněte. Děkuji. Tto slid berte pouze jako doplňkový materiál není v nich

Více

STATISTICKÉ ODHADY Odhady populačních charakteristik

STATISTICKÉ ODHADY Odhady populačních charakteristik STATISTICKÉ ODHADY Odhady populačních charakteristik Jak stanovit charakteristiky rozložení sledované veličiny v základní populaci? Populaci většinou nemáme celou k dispozici, musíme se spokojit jen s

Více

Testování předpokladů pro metodu chain-ladder. Seminář z aktuárských věd Petra Španihelová

Testování předpokladů pro metodu chain-ladder. Seminář z aktuárských věd Petra Španihelová Testování předpokladů pro metodu chain-ladder Seminář z aktuárských věd 4. 11. 2016 Petra Španihelová Obsah Datová struktura Posouzení dat Předpoklady metody chain-ladder dle T. Macka Běžná lineární regrese

Více

vyjádřete ve tvaru lineární kombinace čtverců (lineární kombinace druhých mocnin). Rozhodněte o definitnosti kvadratické formy κ(x).

vyjádřete ve tvaru lineární kombinace čtverců (lineární kombinace druhých mocnin). Rozhodněte o definitnosti kvadratické formy κ(x). Řešené příklady z lineární algebry - část 6 Typové příklady s řešením Příklad 6.: Kvadratickou formu κ(x) = x x 6x 6x x + 8x x 8x x vyjádřete ve tvaru lineární kombinace čtverců (lineární kombinace druhých

Více

Úvod do teorie odhadu. Ing. Michael Rost, Ph.D.

Úvod do teorie odhadu. Ing. Michael Rost, Ph.D. Úvod do teorie odhadu Ing. Michael Rost, Ph.D. Náhodný výběr Náhodným výběrem ze základního souboru populace, která je popsána prostřednictvím hustoty pravděpodobnosti f(x, θ), budeme nazývat posloupnost

Více

AVDAT Klasický lineární model, metoda nejmenších

AVDAT Klasický lineární model, metoda nejmenších AVDAT Klasický lineární model, metoda nejmenších čtverců Josef Tvrdík Katedra informatiky Přírodovědecká fakulta Ostravská univerzita Lineární model y i = β 0 + β 1 x i1 + + β k x ik + ε i (1) kde y i

Více

Modely pro nestacionární časové řady

Modely pro nestacionární časové řady Statistika II Katedra ekonometrie FVL UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz Modely ARIMA Transformace Proces náhodné procházky Random Walk Process Proces Y t = Y t 1 + ɛ t je

Více

Interpolace, ortogonální polynomy, Gaussova kvadratura

Interpolace, ortogonální polynomy, Gaussova kvadratura Interpolace, ortogonální polynomy, Gaussova kvadratura Petr Tichý 20. listopadu 2013 1 Úloha Lagrangeovy interpolace Dán omezený uzavřený interval [a, b] a v něm n + 1 různých bodů x 0, x 1,..., x n. Nechť

Více

VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ

VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ BRNO UNIVERSITY OF TECHNOLOGY FAKULTA STROJNÍHO INŽENÝRSTVÍ ÚSTAV MATEMATIKY FACULTY OF MECHANICAL ENGINEERING INSTITUTE OF MATHEMATICS ANALÝZA A SROVNÁNÍ ČASOVÝCH ŘAD POMOCÍ

Více

Věta 12.3 : Věta 12.4 (princip superpozice) : [MA1-18:P12.7] rovnice typu y (n) + p n 1 (x)y (n 1) p 1 (x)y + p 0 (x)y = q(x) (6)

Věta 12.3 : Věta 12.4 (princip superpozice) : [MA1-18:P12.7] rovnice typu y (n) + p n 1 (x)y (n 1) p 1 (x)y + p 0 (x)y = q(x) (6) 1. Lineární diferenciální rovnice řádu n [MA1-18:P1.7] rovnice typu y n) + p n 1 )y n 1) +... + p 1 )y + p 0 )y = q) 6) počáteční podmínky: y 0 ) = y 0 y 0 ) = y 1 y n 1) 0 ) = y n 1. 7) Věta 1.3 : Necht

Více

12. cvičení z PSI prosince (Test střední hodnoty dvou normálních rozdělení se stejným neznámým rozptylem)

12. cvičení z PSI prosince (Test střední hodnoty dvou normálních rozdělení se stejným neznámým rozptylem) cvičení z PSI 0-4 prosince 06 Test střední hodnoty dvou normálních rozdělení se stejným neznámým rozptylem) Z realizací náhodných veličin X a Y s normálním rozdělením) jsme z výběrů daného rozsahu obdrželi

Více

1 Polynomiální interpolace

1 Polynomiální interpolace Polynomiální interpolace. Metoda neurčitých koeficientů Příklad.. Nalezněte polynom p co nejmenšího stupně, pro který platí p() = 0, p(2) =, p( ) = 6. Řešení. Polynom hledáme metodou neurčitých koeficientů,

Více

Univerzita Palackého v Olomouci , Ostrava

Univerzita Palackého v Olomouci , Ostrava Časové řady I Ondřej Vencálek Univerzita Palackého v Olomouci ondrej.vencalek@upol.cz seminář pro VŠB-TUO 2015-03-13, Ostrava Nové kreativní týmy v prioritách vědeckého bádání CZ.1.07/2.3.00/30.0055 Tento

Více

Problematika analýzy rozptylu. Ing. Michael Rost, Ph.D.

Problematika analýzy rozptylu. Ing. Michael Rost, Ph.D. Problematika analýzy rozptylu Ing. Michael Rost, Ph.D. Úvod do problému Již umíte testovat shodu dvou středních hodnot prostřednictvím t-testů. Otázka: Jaké předpoklady musí být splněny, abyste mohli použít

Více

Limita funkce. FIT ČVUT v Praze. (FIT) Limita funkce 3.týden 1 / 39

Limita funkce. FIT ČVUT v Praze. (FIT) Limita funkce 3.týden 1 / 39 Limita funkce FIT ČVUT v Praze 3.týden (FIT) Limita funkce 3.týden 1 / 39 Definice funkce. Zobrazení (f, D f ), jehož definiční obor D f i obor hodnot H f je podmnožinou množiny reálných čísel, se nazývá

Více

AVDAT Geometrie metody nejmenších čtverců

AVDAT Geometrie metody nejmenších čtverců AVDAT Geometrie metody nejmenších čtverců Josef Tvrdík Katedra informatiky Přírodovědecká fakulta Ostravská univerzita Lineární model klasický lineární regresní model odhad parametrů MNČ y = Xβ + ε, ε

Více

4EK211 Základy ekonometrie

4EK211 Základy ekonometrie 4EK211 Základy ekonometrie Predikce Multikolinearita Cvičení 4 Zuzana Dlouhá Aplikace EM predikce obecně ekonomické prognózování, předpověď, předvídání hlavním cílem je odhad hodnot vysvětlované proměnné

Více

KGG/STG Statistika pro geografy. Mgr. David Fiedor 4. května 2015

KGG/STG Statistika pro geografy. Mgr. David Fiedor 4. května 2015 KGG/STG Statistika pro geografy 11. Analýza časových řad Mgr. David Fiedor 4. května 2015 Motivace Úvod chceme získat představu o charakteru procesu, která časová řada reprezentuje Jaké jevy lze znázornit

Více

7. Analýza rozptylu.

7. Analýza rozptylu. 7. Analýza rozptylu. Uvedeme obecnou ideu, která je založena na minimalizaci chyby metodou nejmenších čtverců. Nejdříve uvedeme několik základních tvrzení. Uvažujeme náhodný vektor Y = (Y, Y,..., Y n a

Více

EUKLIDOVSKÉ PROSTORY

EUKLIDOVSKÉ PROSTORY EUKLIDOVSKÉ PROSTORY Necht L je lineární vektorový prostor nad tělesem reálných čísel R. Zobrazení (.,.) : L L R splňující vlastnosti 1. (x, x) 0 x L, (x, x) = 0 x = 0, 2. (x, y) = (y, x) x, y L, 3. (λx,

Více

velkou variabilitou: underdispersion, overdispersion)

velkou variabilitou: underdispersion, overdispersion) RNDr. Marie Forbelská, Ph.D. 1 M7222 4. cvičení : GLM04a (Problémy s příliš malou či příliš velkou variabilitou: underdispersion, overdispersion) Mějme náhodný výběry n =(Y 1,...,Y n ) T z rozdělení exponenciálního

Více

Základní statistické modely Statistické vyhodnocování exp. dat M. Čada ~ cada

Základní statistické modely Statistické vyhodnocování exp. dat M. Čada   ~ cada Základní statistické modely 1 Statistika Matematická statistika se zabývá interpretací získaných náhodných dat. Snažíme se přiřadit statistickému souboru vhodnou distribuční funkci a najít základní číselné

Více

Generování pseudonáhodných. Ing. Michal Dorda, Ph.D.

Generování pseudonáhodných. Ing. Michal Dorda, Ph.D. Generování pseudonáhodných čísel při simulaci Ing. Michal Dorda, Ph.D. 1 Úvodní poznámky V simulačních modelech se velice často vyskytují náhodné proměnné. Proto se budeme zabývat otázkou, jak při simulaci

Více

10. cvičení z PST. 5. prosince T = (n 1) S2 X. (n 1) s2 x σ 2 q χ 2 (n 1) (1 α 2 ). q χ 2 (n 1) 2. 2 x. (n 1) s. x = 1 6. x i = 457.

10. cvičení z PST. 5. prosince T = (n 1) S2 X. (n 1) s2 x σ 2 q χ 2 (n 1) (1 α 2 ). q χ 2 (n 1) 2. 2 x. (n 1) s. x = 1 6. x i = 457. 0 cvičení z PST 5 prosince 208 0 (intervalový odhad pro rozptyl) Soubor (70, 84, 89, 70, 74, 70) je náhodným výběrem z normálního rozdělení N(µ, σ 2 ) Určete oboustranný symetrický 95% interval spolehlivosti

Více

13.1. Úvod Cílem regresní analýzy je popsat závislost hodnot znaku Y na hodnotách

13.1. Úvod Cílem regresní analýzy je popsat závislost hodnot znaku Y na hodnotách 13 Regrese 13.1. Úvod Cílem regresní analýzy je popsat závislost hodnot znaku Y na hodnotách znaku X. Přitom je třeba vyřešit jednak volbu funkcí k vystižení dané závislosti a dále stanovení konkrétních

Více

Cvičení 9 dekompozice časových řad a ARMA procesy

Cvičení 9 dekompozice časových řad a ARMA procesy Cvičení 9 dekompozice časových řad a ARMA procesy Příklad 1: Dekompozice časové řady Soubor 18AEK-cv09.xls obsahuje dvě časové řady (X a Y) se 72 pozorováními. Použijte časovou řadu Y. a) Pokuste se na

Více

Opravená data Úloha (A) + (E) Úloha (C) Úloha (B) Úloha (D) Lineární regrese

Opravená data Úloha (A) + (E) Úloha (C) Úloha (B) Úloha (D) Lineární regrese - základní ukazatele Komentované řešení pomocí programu R Ústav matematiky Fakulta chemicko inženýrská Vysoká škola chemicko-technologická v Praze - základní ukazatele Načtení vstupních dat Vstupní data

Více

BCH kódy. Alena Gollová, TIK BCH kódy 1/27

BCH kódy. Alena Gollová, TIK BCH kódy 1/27 7. přednáška z algebraického kódování Alena Gollová, TIK 1/27 Obsah 1 Binární Alena Gollová, TIK 2/27 Binární jsou cyklické kódy zadané svými generujícími kořeny. Díky šikovné volbě kořenů opravuje kód

Více

5 Časové řady. Definice 16 Posloupnost náhodných veličin {X t, t T } nazveme slabě stacionární, pokud

5 Časové řady. Definice 16 Posloupnost náhodných veličin {X t, t T } nazveme slabě stacionární, pokud 5 Časové řady Časovou řadou rozumíme posloupnost reálných náhodných veličin X 1,..., X n, přičemž indexy t = 1,..., n interpretujeme jako časové okamžiky. Někdy však uvažujeme i nekonečné posloupnosti

Více

1.1 Existence a jednoznačnost řešení. Příklad 1.1: [M2-P1] diferenciální rovnice (DR) řádu n: speciálně nás budou zajímat rovnice typu

1.1 Existence a jednoznačnost řešení. Příklad 1.1: [M2-P1] diferenciální rovnice (DR) řádu n: speciálně nás budou zajímat rovnice typu [M2-P1] KAPITOLA 1: Diferenciální rovnice 1. řádu diferenciální rovnice (DR) řádu n: speciálně nás budou zajímat rovnice typu G(x, y, y, y,..., y (n) ) = 0 y (n) = F (x, y, y,..., y (n 1) ) Příklad 1.1:

Více

RNDr. Marie Forbelská, Ph.D. 1

RNDr. Marie Forbelská, Ph.D. 1 RNDr. Marie Forbelská, Ph.D. 1 M61 3. cvičení : M61cv03 (Základy grafiky v R) A. Úrovně grafiky: High-level je vhodná pro tvorbu jednoduchých grafů, patří sem funkce jako plot\verb, hist, dotplot atd.

Více

Obecný Hookeův zákon a rovinná napjatost

Obecný Hookeův zákon a rovinná napjatost Obecný Hookeův zákon a rovinná napjatost Základní rovnice popisující napěťově-deformační chování materiálu při jednoosém namáhání jsou Hookeův zákon a Poissonův zákon. σ = E ε odtud lze vyjádřit také poměrnou

Více

odpovídá jedna a jen jedna hodnota jiných

odpovídá jedna a jen jedna hodnota jiných 8. Regresní a korelační analýza Problém: hledání, zkoumání a hodnocení souvislostí, závislostí mezi dvěma a více statistickými znaky (veličinami). Typy závislostí: pevné a volné Pevná závislost každé hodnotě

Více

POLYNOMICKÁ REGRESE. Jedná se o regresní model, který je lineární v parametrech, ale popisuje nelineární závislost mezi proměnnými.

POLYNOMICKÁ REGRESE. Jedná se o regresní model, který je lineární v parametrech, ale popisuje nelineární závislost mezi proměnnými. POLYNOMICKÁ REGRESE Jedná se o regresní model, který je lineární v parametrech, ale popisuje nelineární závislost mezi proměnnými. y = b 0 + b 1 x + b 2 x 2 + + b n x n kde b i jsou neznámé parametry,

Více

1 Tyto materiály byly vytvořeny za pomoci grantu FRVŠ číslo 1145/2004.

1 Tyto materiály byly vytvořeny za pomoci grantu FRVŠ číslo 1145/2004. Vícenásobná regresní a korelační analýza 1 1 Tto materiál bl vtvořen za pomoci grantu FRVŠ číslo 1145/2004. O vícenásobné závislosti mluvíme tehd, jestliže je závisle proměnná závislá na více nezávislých

Více

Statistické metody v marketingu. Ing. Michael Rost, Ph.D.

Statistické metody v marketingu. Ing. Michael Rost, Ph.D. Statistické metody v marketingu Ing. Michael Rost, Ph.D. Jihočeská univerzita v Českých Budějovicích Regresní analýza doplnění základů Vzhledem k požadavku Vašich kolegů zařazuji doplňující partii o regresní

Více

4EK211 Základy ekonometrie

4EK211 Základy ekonometrie 4EK211 Základy ekonometrie Predikce Multikolinearita Cvičení 4 Zuzana Dlouhá Aplikace EM predikce obecně ekonomické prognózování, předpověď, předvídání hlavním cílem je odhad hodnot vysvětlované proměnné

Více

X = x, y = h(x) Y = y. hodnotám x a jedné hodnotě y. Dostaneme tabulku hodnot pravděpodobnostní

X = x, y = h(x) Y = y. hodnotám x a jedné hodnotě y. Dostaneme tabulku hodnot pravděpodobnostní ..08 8cv7.tex 7. cvičení - transformace náhodné veličiny Definice pojmů a základní vzorce Je-li X náhodná veličina a h : R R je měřitelná funkce, pak náhodnou veličinu Y, která je definovaná vztahem X

Více

Přednáška 4. Lukáš Frýd

Přednáška 4. Lukáš Frýd Přednáška 4 Lukáš Frýd Časová řada: stochastický (náhodný) proces, sekvence náhodných proměnných indexovaná časem Pozorovaná časová řada: jedna realizace stochastického procesu Analogie: Průřezový výběr,

Více

Lineární regrese. Komentované řešení pomocí MS Excel

Lineární regrese. Komentované řešení pomocí MS Excel Lineární regrese Komentované řešení pomocí MS Excel Vstupní data Tabulka se vstupními daty je umístěna v oblasti A1:B11 (viz. obrázek) na listu cela data Postup Základní výpočty - regrese Výpočet základních

Více

Diferenˇcní rovnice Diferenciální rovnice Matematika IV Matematika IV Program

Diferenˇcní rovnice Diferenciální rovnice Matematika IV Matematika IV Program Program Diferenční rovnice Program Diferenční rovnice Diferenciální rovnice Program Frisch a Samuelson: Systém je dynamický, jestliže jeho chování v čase je určeno funkcionální rovnicí, jejíž neznámé závisí

Více

STATISTIKA I Metodický list č. 1 Název tématického celku:

STATISTIKA I Metodický list č. 1 Název tématického celku: STATISTIKA I Metodický list č. 1 Analýza závislostí Základním cílem tohoto tématického celku je seznámit se s pokročilejšími metodami zpracování statistických údajů.. 1. kontingenční tabulky 2. regresní

Více

Strukturální regresní modely. určitý nadhled nad rozličnými typy modelů

Strukturální regresní modely. určitý nadhled nad rozličnými typy modelů Strukturální regresní modely určitý nadhled nad rozličnými typy modelů Jde zlepšit odhad k-nn? Odhad k-nn konverguje pro slušné k očekávané hodnotě. ALE POMALU! Jiné přístupy přidají předpoklad o funkci

Více

15. T e s t o v á n í h y p o t é z

15. T e s t o v á n í h y p o t é z 15. T e s t o v á n í h y p o t é z Na základě hodnot náhodného výběru činíme rozhodnutí o platnosti hypotézy o hodnotách parametrů rozdělení nebo o jeho vlastnostech. Rozeznáváme dva základní typy testů:

Více

Regrese. 28. listopadu Pokud chceme daty proložit vhodnou regresní křivku, musíme obvykle splnit tři úkoly:

Regrese. 28. listopadu Pokud chceme daty proložit vhodnou regresní křivku, musíme obvykle splnit tři úkoly: Regrese 28. listopadu 2013 Pokud chceme daty proložit vhodnou regresní křivku, musíme obvykle splnit tři úkoly: 1. Ukázat, že data jsou opravdu závislá. 2. Provést regresi. 3. Ukázat, že zvolená křivka

Více

Necht tedy máme přirozená čísla n, k pod pojmem systém lineárních rovnic rozumíme rovnice ve tvaru

Necht tedy máme přirozená čísla n, k pod pojmem systém lineárních rovnic rozumíme rovnice ve tvaru 2. Systémy lineárních rovnic V této kapitole se budeme zabývat soustavami lineárních rovnic s koeficienty z pole reálných případně komplexních čísel. Uvádíme podmínku pro existenci řešení systému lineárních

Více

9. T r a n s f o r m a c e n á h o d n é v e l i č i n y

9. T r a n s f o r m a c e n á h o d n é v e l i č i n y 9. T r a n s f o r m a c e n á h o d n é v e l i č i n y Při popisu procesů zpracováváme vstupní údaj, hodnotu x tak, že výstupní hodnota y závisí nějakým způsobem na vstupní, je její funkcí y = f(x).

Více

PSY117/454 Statistická analýza dat v psychologii přednáška 8. Statistické usuzování, odhady

PSY117/454 Statistická analýza dat v psychologii přednáška 8. Statistické usuzování, odhady PSY117/454 Statistická analýza dat v psychologii přednáška 8 Statistické usuzování, odhady Výběr od deskripce k indukci Deskripce dat, odhad parametrů Usuzování = inference = indukce Počítá se s náhodným

Více

Definice (Racionální mocnina). Buď,. Nechť, kde a a čísla jsou nesoudělná. Pak: 1. je-li a sudé, (nebo) 2. je-li liché, klademe

Definice (Racionální mocnina). Buď,. Nechť, kde a a čísla jsou nesoudělná. Pak: 1. je-li a sudé, (nebo) 2. je-li liché, klademe Úvodní opakování. Mocnina a logaritmus Definice ( -tá mocnina). Pro každé klademe a dále pro každé, definujeme indukcí Dále pro všechna klademe a pro Později budeme dokazovat následující větu: Věta (O

Více

II. Statistické metody vyhodnocení kvantitativních dat Gejza Dohnal

II. Statistické metody vyhodnocení kvantitativních dat Gejza Dohnal Základy navrhování průmyslových experimentů DOE II. Statistické metody vyhodnocení kvantitativních dat Gejza Dohnal! Testování statistických hypotéz kvalitativní odezva kvantitativní chí-kvadrát test homogenity,

Více

Markovské metody pro modelování pravděpodobnosti

Markovské metody pro modelování pravděpodobnosti Markovské metody pro modelování pravděpodobnosti rizikových stavů 1 Markovský řetězec Budeme uvažovat náhodný proces s diskrétním časem (náhodnou posloupnost) X(t), t T {0, 1, 2,... } s konečnou množinou

Více

Generující kořeny cyklických kódů. Generující kořeny. Alena Gollová, TIK Generující kořeny 1/30

Generující kořeny cyklických kódů. Generující kořeny. Alena Gollová, TIK Generující kořeny 1/30 Generující kořeny cyklických kódů 6. přednáška z algebraického kódování Alena Gollová, TIK Generující kořeny 1/30 Obsah 1 Alena Gollová, TIK Generující kořeny 2/30 Hammingovy kódy Hammingovy kódy jsou

Více

Matematika 4 FSV UK, LS Miroslav Zelený

Matematika 4 FSV UK, LS Miroslav Zelený Matematika 4 FSV UK, LS 2017-18 Miroslav Zelený 13. Diferenční rovnice 14. Diferenciální rovnice se separovanými prom. 15. Lineární diferenciální rovnice prvního řádu 16. Lineární diferenciální rovnice

Více

Limita a spojitost funkce. 3.1 Úvod. Definice: [MA1-18:P3.1]

Limita a spojitost funkce. 3.1 Úvod. Definice: [MA1-18:P3.1] KAPITOLA 3: Limita a spojitost funkce [MA-8:P3.] 3. Úvod Necht je funkce f definována alespoň na nějakém prstencovém okolí bodu 0 R. Číslo a R je itou funkce f v bodě 0, jestliže pro každé okolí Ua) bodu

Více

4EK211 Základy ekonometrie

4EK211 Základy ekonometrie 4EK211 Základ ekonometrie Odhad klasického lineárního regresního modelu I Cvičení 2 Zuzana Dlouhá Metodologický postup tvor EM 1. Specifikace modelu určení proměnných určení vzájemných vaze mezi proměnnými

Více

Figurální čísla, Pascalův trojúhelník, aritmetické posloupnost vyšších řádů

Figurální čísla, Pascalův trojúhelník, aritmetické posloupnost vyšších řádů Figurální čísla, Pascalův trojúhelník, aritmetické posloupnost vyšších řádů Jaroslav Zhouf, PedF UK, Praha Úvod Pascalův trojúhelník je schéma přirozených čísel, která má své využití např. v binomické

Více

1 Odvození poptávkové křivky

1 Odvození poptávkové křivky Odvození poptávkové křivky Optimalizační chování domácností (maximalizace užitku) vzhledem k rozpočtovému omezení. Nejprve odvodíme deterministický model, který potom rozšíříme o stochastické prvky. Odvozené

Více

Soustavy lineárních diferenciálních rovnic I. řádu s konstantními koeficienty

Soustavy lineárních diferenciálních rovnic I. řádu s konstantními koeficienty Soustavy lineárních diferenciálních rovnic I řádu s konstantními koeficienty Definice a) Soustava tvaru x = ax + a y + az + f() t y = ax + a y + az + f () t z = a x + a y + a z + f () t se nazývá soustava

Více

mezi studenty. Dále bychom rádi posoudili, zda dobrý výsledek v prvním testu bývá doprovázen dobrým výsledkem i v druhém testu.

mezi studenty. Dále bychom rádi posoudili, zda dobrý výsledek v prvním testu bývá doprovázen dobrým výsledkem i v druhém testu. Popisná statistika Slovní popis problému Naším cílem v této úloze bude stručně a přehledně charakterizovat rozsáhlý soubor dat - v našem případě počty bodů z prvního a druhého zápočtového testu z matematiky.

Více

f(x) = ax + b mocnin (čili čtverců, odtud název metody) odchylek proložených hodnot od naměřených hodnot byl co (ax i + b y i ) 2 2(ax i + b y i ).

f(x) = ax + b mocnin (čili čtverců, odtud název metody) odchylek proložených hodnot od naměřených hodnot byl co (ax i + b y i ) 2 2(ax i + b y i ). Úvod Metoda nejmenších čtverců Metodu nejmenších čtverců používáme, chceme-li naměřenými (nebo jinak získanými) body proložit křivku, např. přímku. Tedy hledáme taková reálná čísla a, b, aby graf funkce

Více

Čebyševovy aproximace

Čebyševovy aproximace Čebyševovy aproximace Čebyševova aproximace je tzv hledání nejlepší stejnoměrné aproximace funkce v daném intervalu Hledáme funkci h x, která v intervalu a,b minimalizuje maximální absolutní hodnotu rozdílu

Více

Diferenciální rovnice

Diferenciální rovnice Obyčejné diferenciální rovnice - studijní text pro cvičení v předmětu Matematika - 2. Studijní materiál byl připraven pracovníky katedry E. Novákovou, M. Hyánkovou a L. Průchou za podpory grantu IG ČVUT

Více

Z transformace. Definice. Z transformací komplexní posloupnosti f = { } f n z n, (1)

Z transformace. Definice. Z transformací komplexní posloupnosti f = { } f n z n, (1) Z transformace Definice Z transformací komplexní posloupnosti f = { roumíme funkci F ( definovanou vtahem F ( = n, ( pokud řada vpravo konverguje aspoň v jednom bodě 0 C Náev Z transformace budeme také

Více

LINEÁRNÍ REGRESE Komentované řešení pomocí programu Statistica

LINEÁRNÍ REGRESE Komentované řešení pomocí programu Statistica LINEÁRNÍ REGRESE Komentované řešení pomocí programu Statistica Vstupní data Data umístěná v excelovském souboru překopírujeme do tabulky ve Statistice a pojmenujeme proměnné, viz prezentace k tématu Popisná

Více

Číselné charakteristiky a jejich výpočet

Číselné charakteristiky a jejich výpočet Katedra ekonometrie, FVL, UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz charakteristiky polohy charakteristiky variability charakteristiky koncetrace charakteristiky polohy charakteristiky

Více

AVDAT Mnohorozměrné metody, metody klasifikace

AVDAT Mnohorozměrné metody, metody klasifikace AVDAT Mnohorozměrné metody, metody klasifikace Josef Tvrdík Katedra informatiky Přírodovědecká fakulta Ostravská univerzita Mnohorozměrné metody Regrese jedna náhodná veličina je vysvětlována pomocí jiných

Více

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA Definice lineárního normálního regresního modelu Lineární normální regresní model Y β ε Matice n,k je matice realizací. Předpoklad: n > k, h() k - tj. matice je plné hodnosti

Více

10. cvičení - LS 2017

10. cvičení - LS 2017 10. cvičení - LS 2017 Michal Outrata Příklad 1 Spočtěte následující itu daných posloupností: (a) (b) (c) n 3 +5n 2 n 3 6n 2 +3 n ; n 4 3n 2 6 n 4 + 3n 2 + 6; n 2 15n+2(1 n). 2(n 2) 3 2n 3 Příklad 2 Pro

Více

Matematické modelování Náhled do ekonometrie. Lukáš Frýd

Matematické modelování Náhled do ekonometrie. Lukáš Frýd Matematické modelování Náhled do ekonometrie Lukáš Frýd Výnos akcie vs. Výnos celého trhu - CAPM model r it = r ft + β 1. (r mt r ft ) r it r ft = α 0 + β 1. (r mt r ft ) + ε it Ekonomický (finanční model)

Více

Jednofaktorová analýza rozptylu

Jednofaktorová analýza rozptylu I I.I Jednofaktorová analýza rozptylu Úvod Jednofaktorová analýza rozptylu (ANOVA) se využívá při porovnání několika středních hodnot. Často se využívá ve vědeckých a lékařských experimentech, při kterých

Více

3. Podmíněná pravděpodobnost a Bayesův vzorec

3. Podmíněná pravděpodobnost a Bayesův vzorec 3. Podmíněná pravděpodobnost a Bayesův vzorec Poznámka: V některých úlohách řešíme situaci, kdy zkoumáme pravděpodobnost náhodného jevu za dalších omezujících podmínek. Nejčastěji má omezující podmínka

Více