Téma: Modální analýza a volné kmitání slabě tlumených lineárních kmitavých soustav

Transkript

1 Téma: Modální analýza a volné kmitání slabě tlumených lineárních kmitavých soustav Zpracoval Doc. RNDr. Zdeněk Hlaváč, CSc Volné kmitání konzervativních(netlumených) soustav je popsáno maticovou pohybovou rovnicí při počátečních podmínkách M q+ Kq=0, (1) q(0)=q 0, q(0)= q 0. M je symetrická matice hmotnosti a K rovněž symetrická matice tuhosti soustavy. Popišme, za jakých podmínek rovnici(1) vyhovuje řešení Zřejmě takže dosazením do(1) odkud q(t)=vsin(ωt+ϕ). (2) q(t)= vsin(ωt+ϕ)ω 2, ( MΩ 2 + K)vsin(Ωt+ϕ)=0, ( MΩ 2 + K)v=0. (3) Vektor vjezatímneznámývektoraωzatímneznáméčíslo.rovnice(3)představujez matematického hlediska tzv. zobecněný problém vlastních hodnot přiřazený k maticím M a K. Rovnice(3) je de facto soustavou homogenních lineárních algebraických rovnic pro neznámé souřadnice vektoru v. Tato soustava má netriviální řešení, právě když její determinant je nulový. Rovnice det( MΩ 2 + K)=0 (4) je tzv. charakteristická rovnice soustavy(1). Je to algebraická rovnice n-tého stupně pro neznámáčíslaω 2,přičemž njeřádmatic Ma K(tojestpočetstupňůvolnostikmitavésoustavy).Kořenycharakteristickérovnicenazývámevlastníčíslasoustavy λ i =Ω 2 i. Protože matice hmotnosti je vždy positivně definitní a matice tuhosti positivně semidefinitní, jsou vlastní čísla nezáporná a můžeme je v reálném oboru odmocnit, čímž dostanemeω i =+ λ i.těmtoveličinámříkámevlastnífrekvencesoustavy.protože podle základní věty algebry kořenů rovnice n-tého stupně je právě n(včetně násobností), existuje pro soustavu s n stupni volnosti n vlastních frekvencí. V praxi je obvykle uspořádávámevzestupněpodlevelikostiω 1 Ω 2... Ω n.dosadíme-liurčenévlastní frekvencedo(3),získámehomogennísoustavulineárníchrovnicproneznámývektor v i, příslušejícívlastnífrekvenciω i.maticesoustavyvšakjesingulární(takbylyurčovány

2 vlastní frekvence). Soustava(3) má proto nekonečně mnoho netriviálních řešení. Každémutakovémuřešení v i říkámevlastnívektorpříslušejícíkvlastnífrekvenciω i.podle hodnosti singulární matice soustavy volíme počet souřadnic vlastního vektoru a zbylé souřadnice jednoznačně dopočítáme. Ve většině případů je hodnost matice soustavy n 1, takže stačí volit jednu souřadnici každého vlastního vektoru. Vlastní vektor tak v n-rozměrném Euklidovském prostoru má určen jednoznačně směr a volíme pouze jeho velikost. Říkáme, že vlastní vektor normalizujeme. Pro pozdější použití je nejvýhodnější tzv. normalizace M-normou, kdy požadujeme platnost vztahů Zrovnice(3)proΩ=Ω i a v= v i plyne v T i Mv i =1,,...,n. (5) Ω 2 imv i = Kv i. (6) Napíšeme-litutorovniciještěprojinéhodnotyΩ=Ω j a v= v j dostaneme Ω 2 jmv j = Kv j. (7) Přenásobímerovnici(6)zleva v T j arovnici(7) v T i.dostaneme Ω 2 iv T j Mv i = v T j Kv i (8) Ω 2 jv T i Mv j = v T i Kv j. (9) Odečteme-li nyní od první rovnice transponovanou druhou, dostáváme vzhledem k symetriimatic Ma K (Ω 2 i Ω 2 j)v T j Mv i =0. Pokud vlastní frekvence jsou různé, plyne odtud v T j Mv i =0, i j. (10) Jsou to tzv. podmínky M-ortogonality. Kombinací rovnic(5) a(10) získáme, že v T j Mv i = δ ij. (11) Na pravé straně této rovnosti stojí tzv. Kroneckerův symbol, označující velikost prvku jednotkové matice na místě i-tého řádku a j-tého sloupce. Kombinací(8) a(11) dostaneme v T j Kv i =Ω 2 iδ ij. (12) Jestližeuspořádámevlastníčísladotzv.spekrálnímaticeΛ=diag[Ω 2 i]aknimpříslušející(m-normou znormalizované) vlastní vektory po sloupcích do tzv. modální matice V,lze(11)a(12)souhrnnězapsatprovšechnyindexymaticovějako V T MV = E n, V T KV =Λ, (13) kde E n jejednotkovámaticeřádu n. Poznámka: Poznamenejme, že výše popsané výrazy jsme odvodili za předpokladu všech vlastních frekvencí po dvou různých. Jestliže soustava má některé vlastní frekvence násobné, je situace složitější a nebudeme se jí zabývat.

3 Pro konkrétní výpočet použijeme výpočtový systém MATLAB. Při znalosti matic M a K(dopříkazůMATLABUjakoMaK)určímespektrálnímaticiΛamodálnímatici V (v příkazech MATLABU jako L a V) příkazem[v,l]=eig(k,m). Vlastní čísla z tohoto příkazu vystupují neseřazená a odpovídající vlastní vektory nejsou znormalizovány M- normou. Proto musíme udělat ještě sled následujících příkazů: [L,i1]=sort(diag(L)) V=V(:,i1) Q=1./sqrt(diag(V *M*V)) VN=V*diag(Q) První příkaz z matice L utvoří vektor jejích diagonálních prvků(tedy vlastních čísel soustavy), tento setřídí vzestupně podle velikosti a výsledek umístí do proměnné L. Proměnná i1 vyjadřuje permutační vektor, znamenající jakým způsobem se vlastní čísla přeskupovala. Druhý příkaz analogickým způsobem přeskupí i vlastní vektory(sloupce modální matice). Třetí příkaz vypočítá vektor převrácených hodnot M-norem vlastních vektorů vystoupivších z původního příkazu eig. Poslední příkaz těmito hodnotami přenásobí sloupce vlastních vektorů vystoupivších z původního příkazu eig. Násobení sloupců se dosahuje pravým násobením diagonální maticí s prvky výše popsaného vektoru na diagonále. Výsledkem doplňujících příkazů je vzestupně srovnaný vektor vlastních čísel L a jemu odpovídající matice M-normou znormalizovaných vlastních vektorů VN. Dokážeme, že vlastní vektory, příslušející k po dvou různým vlastním frekvencím jsoulineárněnezávislé.nechťtedypronějakékonstanty c i,,...,nplatí c i v i =0. Přenásobmetutorovnicizlevařádkovýmvektorem v T j M.Dostaneme c i v T j Mv i =0, odkudvzhledemk(11) c j =0.Lineárnínezávislostvlastníchvektorůjetímdokázána. Vlastní vektory přiřazené k n po dvou různým vlastním frekvencím soustavy s n stupni volnosti tedy tvoří bázi n-rozměrného Euklidova prostoru. Každý vektor q lze proto psát jako lineární kombinaci těchto vlastních vektorů ve tvaru q = x i v i.jestliževektor q závisí na čase(a tedy vyjadřuje libovolný pohyb kmitavé soustavy), závisejí na čase i koeficientylineárníkombinace x i.platítedy neboli maticově q(t)= x i (t)v i q(t)=vx(t). (14) Vektor x(t)=[x 1 (t),...,x n (t)] T senazývávektoremmodálníchsouřadnic.transformaci (14) říkáme modální transformace a procesu nalezení vlastních čísel a vlastních vektorů soustavy modální analýza.

4 Slabě tlumené soustavy Slabě(proporcionálně) tlumenou soustavou nazýváme soustavu, kdy matice tlumení B je lineární kombinací matic hmotnosti a tuhosti, tedy B= c 1 M+ c 2 K. (15) Nechť V je modální matice(znormalizovaná M-normou) přidružené konzervativní soustavy. Potom vzhledem k(13) je V T BV = c 1 V T MV+ c 2 V T KV = c 1 E n + c 2 Λ. (16) Transformacetypu V T Y V tedydiagonalizujenejenmaticehmotnostiatuhosti,ale pro slabě tlumenou soustavu i matici tlumení. V korespondenci se soustavami s jedním stupněm volnosti má proto smysl psát V T BV =diag[2d i Ω i ], (17) kde D i jsoupoměrnéútlumy i-téhotvarukmitánísoustavy.přizadánídvou(tzv.dominantních)poměrnýchútlumů D r a D s tvarůkmitánízvolenýchpořadí rasdostaneme podle(16) a(17) rovnice Odečtením uvedených rovnic vznikne c 1 + c 2 Ω 2 r=2d r Ω r, c 1 + c 2 Ω 2 s=2d s Ω s. apotézprvnírovnice c 2 =2 D rω r D s Ω s Ω 2 r Ω 2 s (18) c 1 =2D r Ω r c 2 Ω 2 r. (19) Známe-li konstanty úměrnosti, platí pro poměrné útlumy vztah 2D i Ω i = c 1 + c 2 Ω 2 i, odkud D i = c 1+ c 2 Ω 2 i 2Ω i. (20) Poznámka: Pomocí rovnice(20) získáme poměrné útlumy všech tvarů kmitání, tedy i r-téhoas-tého.tymusíbýtrovnypořadě D r a D s (zadané).tentovýpočetpotom slouží jako kontrola správnosti řešení. Při praktickém řešení slabě tlumených soustav musíme mít určeny matice hmotnosti atuhostiadvapoměrnéútlumydominantníchtvarůkmitání D r a D s zadanýchpořadí r a s. Nejprve provedeme modální analýzu přidružené konzervativní soustavy. Získáme tímvlastnífrekvenceω i =+ λ i ajimpřiřazené(m-normouznormalizované)vlastní vektory v i =[v ji ].Přiřazovacímipříkazypodle(18)určímenejprvekonstantu c 2,poté podle(19)ikonstantu c 1 anakonecpodle(20)všechnypoměrnéútlumy D i.

5 Volné kmitání slabě tlumených soustav Pohybová rovnice soustavy má tvar kterou řešíme při počátečních podmínkách M q+ B q+ Mq=0, (21) q(0)=q 0, q(0)= q 0. Soustavajeslabětlumená,pročežpromaticitlumeníplatívztah(15).Nechť V je(mnormou normalizovaná) modální matice a Λ spektrální matice přidružené konzervativní soustavy. Proveďme modální transformaci(14). Protože modální matice nezávisí na čase, platí rovněž q(t)=vẋ(t); q(t)=vẍ(t). Dosazenímdo(21)alevýmpřenásobenímmaticí V T vznikne V T MV ẍ(t)+v T BV ẋ(t)+v T KV x(t)=0. Vzhledem k(13) a(17) přepíšeme tuto maticovou rovnici na tvar E n ẍ(t)+diag[2d i Ω i ]ẋ(t)+diag[ω 2 i]x(t)=0. Provázaná soustava n diferenciálních rovnic druhého řádu se tak v modálních souřadnicích stala soustavou diferenciálních rovnic s diagonálními maticemi. Každou rovnici můžeme řešit zvlášť, bez ohledu na ostatní rovnice jako rovnici náležející soustavě s jedním stupněm volnosti. Jednotlivá rovnice(i-tá) má tvar ẍ i (t)+2d i Ω i ẋ i (t)+ω 2 ix i (t)=0. (22) Propřípadpodkritickéhotlumení,kdyprovšechna iplatí1>d i 0anenulovévlastní frekvenceω i mářešenítétorovnicetvar x i (t)=e D iω i t (A i cosω Di t+b i sinω Di t), (23) kdeω Di =Ω i 1 D 2 i jevlastnífrekvence i-téhotvarukmitánítlumenésoustavy.integračníkonstanty A i a B i určímezpočátečníchpodmínekvmodálníchsouřadnicích. Časovouderivací(14)adosazenímčasu t=0dostáváme odkud q(0)=vx(0); q(0)=vẋ(0), x(0)=v 1 q(0); ẋ(0)=v 1 q(0). Srovnáme-liprvnírovnicive(13)sdefinicíinverznímatice,kdy V 1 V = E n,dostáváme, že Proto V 1 = V T M. (24) x(0)=v T Mq(0); ẋ(0)=v T M q(0),

6 neboli pro i-tou modální souřadnici Derivací(23) dle času získáme x i (0)=v T i Mq 0 ; ẋ i (0)=v T i M q 0. (25) ẋ i (t)=e D iω i t [ D i Ω i (A i cosω Di t+b i sinω Di t)+ω Di ( A i sinω Di t+b i cosω Di t)].(26) Dosazenímdo(23)a(26)času t=0azohledněnímpočátečníchpodmínek(25)máme pro integrační konstanty výrazy A i = v T i Mq 0 ; B i Ω Di D i Ω i A i = v T i M q 0. Dosazením do(23) dostaneme řešení v modálních souřadnicích ve tvaru x i (t)=v T i M q 0 cosω Di t+ q 0 + q 0D i sinω Ω Di 1 Di 2 Di t e D iω i t. Přepíšeme-li transformaci(14) na původní souřadnice pro j tou souřadnici(j 1,..., n), dostaneme q j (t)= v ji x i (t). Dosazením z předchozí rovnice získáme konečný tvar řešení v původních souřadnicích jako q j (t)= v ji v T i M q 0 cosω Di t+ q 0 + q 0D i sinω Ω Di 1 Di 2 Di t e D iω i t ; j=1,...,n, (27) kdeω Di =Ω i 1 Di. 2 Pro případ netlumené soustavy, jež nemá žádnou nulovou vlastní frekvenci, stačí do (27)dosadit D i =0.Vzniknetak q j (t)= v ji v T i M ( q 0 cosω t+ q ) 0 i sinω i t ; j=1,...,n. Ω i PropřípadizolovanésoustavysnulovouvlastnífrekvencíΩ 1 budediferenciálnírovnice(22)míttvar jejíž obecné řešení je ẍ 1 (t)=0, x 1 (t)=a 1 t+b 1 ; ẋ i (t)=a 1. Zohledněnímpočátečníchpodmínek(25)vznikne B 1 = v T 1 Mq 0 a A 1 = v T 1 M q 0.Příslušný(první) mód v modálních souřadnicích potom je x 1 (t)=v T 1 M( q 0 t+q 0 ). (28)