Je založen na pojmu derivace funkce a její užití. Z předchozího studia je třeba si zopakovat a orientovat se v pojmech: funkce, D(f), g 2 : y =

Transkript

1 0.1 Diferenciální počet Je částí infinitezimálního počtu, což je souhrnný název pro diferenciální a integrální počet. Je založen na pojmu derivace funkce a její užití. Z předchozího studia je třeba si zopakovat a orientovat se v pojmech: funkce, D(f), H(f), graf fce, fce sudá, lichá, rostoucí, klesající, prostá, inverzní, omezená, extrémy funkce, periodická funkce. Def. 1. Rovnost funkcí: f = g a současně Př. 1. Rovnají se funkce? Načrtněte jejich grafy: a) f 1 : y = x2 4 x 2 g 1 : y = x + 2 b) f 2 : y = x x g 2 : y = x x 2 c) f 3 : y = x3 + x 2 + x + 1 x g 3 : y = x + 1 [f 1 g 1, f 2 = g 2, f 3 = g 3 ] Okolí bodu Nenahraditelný pojem. Umožní přesně popsat vlastnosti funkce v bodě a. (Tj. x=a). Def. 2. Okolí bodu a, často též δ okolí bodu a, je otevřený interval (a δ, a + δ), kde δ je kladné reálné číslo.

2 Náčrt: a... střed okolí, δ... poloměr okolí. δ-okolí je tvořeno všemi body x, pro které platí: a δ < x < a + δ, tj. x a < δ. Levé okolí bodu a:... (a δ, a], tj. a δ < x a. Pravé okolí bodu a:... [a, a + δ), tj. a x < a + δ. Př. 2. Popište množinu zadanou graficky. Obrázek. Def. 3. Okolí, z něhož jsme vyjmuli střed a, lze popsat jako množinu všech bodů x s vlastností: 0 < x a < δ Př. 3. Charakterizujte interval (2, 4) jako okolí bodu 3. [a = 3, δ = 1] Přírůstek argumentu, přírůstek funkce Řekneme, že x... argument funkce f nebo y je funkcí argumentu x. f : y = f(x) Popis obrázku: Pracujme v okolí U(a) bodu a, x U(a)-libovolný. x a... přírůstek argumentu v bodě a (kladný/záporný) x = x a f(x) f(a)... přírůstek fce v bodě a odpovídající přírůstku argumentu x = x a Platí: x = x + a = a + x y = f(a + x) f(a) y = f(x) f(a)

3 0.1.2 Spojitost funkce Obrázky Všimněte si, že funkce f má v blízkosti bodu 2 tuto vlastnost: budu-li se blížit k bodu x = 2, pak se funkční hodnota bude blížit k 3 A to je presně funkční hodnota f(2). Proto je fce f v bodě 2 spojitá. Sloveso blížit se popišme přesně - matematicky, tj. pomocí pojmu okolí: At zvolím jakkoliv malé ɛ-okolí bodu 3 na ose y, vždy se podaří najít takové δ-okolí bodu 2 na ose x tak, že pro všechny body x z δ-okolí bodu 2 budou funkční hodnoty ležet v ɛ-okolí bodu 3. Def. 4. Definice spojitosti funkce v bodě a: Fce f je spojitá v bodě a ( ɛ > 0)( δ > 0) takové, že ( x R : x a < δ = f(x) f(a) < ɛ). Def. 5. Fce f je spojitá v intervalu v D(f), je-li spojitá v každém bodě intervalu I. Př. 4. Příklady funkcí, které jsou spojité v každém bodě svého definičního oboru, tj. jsou spojité: f : y = c, c R f : y = x f : y = sin x Platí: Jsou-li v bodě a spojité funkce f a g a, pak jsou v tomto bodě spojité i funkce f + g, f g, f g, f g pro g(a) 0, f, g.

4 0.1.3 Limita funkce Obrázek Def. 6. Limita funkce v bodě a je číslo (hranice, mez), ke které se blíží funkční hodnoty f(x), když se x blíží k a. A co je podstatou? Je potřeba, aby funkce f byla definovaná v jistém okolí bodu a, ale v samotném bodě a být definovaná nemusí. Zápis: lim n a f(x) = L a čteme: funkce f má ve vlastním bodě a (tj. a R) vlastní limitu L. (Tj.L R). Def. 7. lim x a f(x) = L ( ɛ > 0)( δ > 0)( x : 0 < x a < δ = f(x) L < ɛ) Jiná obdoba téže definice: Def. 8. lim x a f(x) = L ( ɛ > 0)( δ > 0)( x (a δ, a + δ), x a : f(x) (L ɛ, L + ɛ) Věty o limitách 1) Jestliže je f v bodě a spojitá, pak lim f(x) = f(a) x a Platí i věta obrácená: Je-li fce f v bodě a definovaná a platí-li lim x a f(x) = f(a), pak je fce f v bodě a spojitá. 2) Každá fce má v lib. bodě svého definičního oboru nejvýš jednu limitu. 3) Jsou-li fce f a g definovány v jistém okolí bodu a a platí-li x (a δ, a + δ), kde x a: f(x) = g(x) a dále lim x a g(x) = L, pak také lim x a f(x) = L. Př. 5. Příklady na řešení limit funkcí: Petáková str /1-6.

5 K výpočtu některých se limit se často používá limita: sin x lim x 0 x = 1 Proč je tomu tak? K důkazu je potřeba použít větu o limitách tří funkcí: Necht pro každé x a v jistém okolí bodu a platí: f(x) < g(x) < h(x) a necht lim x a f(x) = lim x a h(x) = L Pak také lim x a g(x) = L. Důkaz: Předpokládejme, že cos x < sin x x < 1 V I. kvadrantu: (a v ostatních postupujeme obdobně) Platí tento předpoklad?? cos x < sin x x /x (kladné!)? sin x < 1 /x (kladné!) x x cos x < sin x / : cos x (kladné) sin x < x x < tg x platí. platí. Dokázali jsme, že a protože musí být limita prostřední funkce jednička, tj. cos x < sin x x < 1, lim cos x = cos 0 = 1 a lim 1 = 1, x 0 x 0 sin x lim x 0 x = 1. Př. 6. Využijte tuto limitu pro řešení cvičení Pet 153/9. Funkce spojitá zleva, funkce spojitá zprava Def. 9. Funkce f je v bodě a spojitá zleva, jestliže ke každému ɛ > 0 existuje δ > 0 takové, že nerovnost f(x) f(a) < ɛ je splněna pro všechna reálná x z intervalu (a δ, a]. Def. 10. Funkce f je v bodě a spojitá zprava, jestliže ke každému ɛ > 0 existuje δ > 0 takové, že nerovnost f(x) f(a) < ɛ je splněna pro všechna reálná x z intervalu [a, a + δ). Obrázek

6 0.1.4 Jednostranné limity: limita zleva, limita zprava Def. 11. Funkce f má v bodě a limitu L zleva, jestliže ke každému ɛ-okolí bodu L existuje levé δ-okolí bodu a takové, že pro všechna reálná x a z levého δ- okolí bodu a patří funkční hodnoty f(x) do ɛ-okolí bodu L. Zápis: lim f(x) = L x a Def. 12. (Obdobně..) Funkce f má v bodě a limitu L zprava, jestliže ke každému ɛ-okolí bodu L existuje pravé δ-okolí bodu a takové, že pro všechna reálná x a z pravého δ- okolí bodu a patří funkční hodnoty f(x) do ɛ-okolí bodu L. Zápis: lim f(x) = L x a + Souvislost mezi limitou funkce v bodě a jednostrannou limitou: Limita funkce f v bodě a existuje existují v bodě a limity zleva i zprava a jsou si rovny. lim x a f(x) = L lim f(x) = lim f(x) = L x a + x a Př. 7. Pro fce f, g, h určete limitu v bodě 0, limitu zleva v bodě 0 a limitu zprava v bodě 0. Řešení: f : y = 1 + x, g : y = 1 + x, h : y = 1 + x Př. 8. Pet 154/14, a-e.

7 0.1.5 Nevlastní body Pracujme s množinou R {, } = R a nazvěme ji rozšířená množina reálných čísel. Prvky, se nazývají nevlastní body a prvky množiny R jsou vlastní body. Na R definujeme pro a R, tj. < a < tyto operace: a + = + a = a = + a = + = = = ( ) = ( ) = = a = a = 0 ± = pro a > 0 : a =, a ( ) = pro a < 0 : a =, a ( ) = Na R nejsou definovány tyto výrazy:, ± 0, ± ± Těmto výrazům říkáme neurčité výrazy a pro práci s nimi se používají derivace Nevlastní limity funkce v bodě Tj. limity pro x jdoucí k reálnému a, které vyjdou ±. Př. 9. Pro funkce f a g určete limitu v bodě 0. f : y = 1 x 2 g : y = ln x Řešení:

8 0.1.7 Limita funkce v nevlastním bodě Tj. limity pro x jdoucí k nebo Př. 10. Pro funkci f určete limity v nevlastních bodech. Řešení: f : y = 1 x Tip: Pro řešení těchto limit používáme, podobně jako u limit posloupností, limitu Př. 11. Pet 154/ Př. 12. Opakování: některé důležité limity 1 lim x ± x = 0.

9 0.2 Užití limit funkcí: Asymptoty grafu funkce Druhy asymptot Př. 1. Načrtněte si graf nepřímé úměrnosti f : y = 1 x Přímky x = 0 a y = 0 jsou asymptotami grafu zadané funkce. Význam: umožňují poměrně přesné sestrojení grafu. Všimněte si, že asymptota y = 0 je současně grafem funkce. Existuje její rovnice ve směrnicovém tvaru: y = ax + b Proto se nazývá asymptota se směrnicí. Asymptota x = 0 je kolmá k ose x, proto není grafem funkce, a tudíž neexistuje směrnicový tvar její rovnice. Nazývá se asymptota bez směrnice a vždy má rovnici x = c, kde c je reálná konstanta Výpočet asymptoty bez směrnice Idea: je to kolmice na osu x graf funkce se k této kolmici víc a víc přibližuje, ale nedotkne se jí (protne ji v nekonečnu) tj. je to kolmice vedená bodem nespojitosti bod nespojitosti vyčtu z definičního oboru funkce asymptotu prokáži tím, že existuje alespoň jedna jednostranná nevlastní limita v tomto bodě nespojitosti jestliže jsme prokázali asymptotu v bodě nespojitosti c, pak asymptota má rci a 1 : x = c Výpočet asymptoty se směrnicí Idea: jedná se o přímku a 2 : y = ax + b, kde a, b jsou neznámé a naším úkolem je je určit. Přímku y = ax + b nazveme asymptotou se směrnicí grafu fce f, jestliže Načrtněte. lim (f(x) (ax + b)) = 0 nebo lim (f(x) (ax + b)) = 0 x x

10 a -? Jestliže pak b -? 0 = lim x f(x) ax b x lim (f(x) (ax + b)) = 0, x ( f(x) = lim x x a b ) f(x) = lim x x x a = 0 a = lim x f(x) x 0 = lim x (f(x) ax b) = lim x (f(x) ax) b = 0 b = lim x (f(x) ax) a 2 : y = ax + b, kde a = lim x f(x) x a b = lim x (f(x) ax) Př. 2. Nalezněte asymptoty fce f : y = x + 1 x Může se zdát, že asymptotami jsou pouze přímky, ke kterým se graf přibližuje a neprotíná je, ale pozor, není tomu tak vždycky. Promyslete následující příklad. Př. 3. Ukažte, že přímka y = 0 je asymptotou se směrnicí grafu funkce Načrtneme pak, jak se křivka chová. Př. 4. Určete asymptoty grafů funkcí a) f : y = x2 +1 x+3 b) f : y = x2 x 2 f : y = x 1 + x 2 [x = 3, y = x 3] [x = 2, y = x + 2]

11 c) f : y = x3 2(x+1) 2 [x = 1, y = 1/2x 1] d) f : y = x 2x 1 + x [x = 1/2, y = x + 1/2] e) f : y = 3x + 3 x 2 [x = 2, y = 3x] f) f : y = 1 x 2 [x = 0, y = 0] Tečna grafu funkce Obrázek kružnice se sečnou a tečnou. Souvislost mezi pojmem limita a tečnou: Čím blíž volím bod X k bodu T, tím méně se poloha sečny TX liší od polohy tečny t v b. T. Tečna t je limitní polohou sečny TX, blíží-li se po kružnici bod X k bodu T. Výřez obrázku v kartézské soustavě Je-li křivka y = f(x) grafem funkce a existuje-li vlastní limita y k = lim x 0 x = lim f(x) f(x 0 ), x x 0 x x 0 pak tečna křivky v bodě T [x 0, y 0 ] je přímka s rovnicí y y 0 = k(x x 0 ) Př. 5. V bodě T [1, 1] napište rovnici tečny grafu funkce f : y = 1 x [y = x + 2] V praxi se ale daleko častěji používá způsob jiný, jednodušší, kde se směrnice tečny počítá pomocí derivace zadané funkce.

12 0.2.5 Derivace funkce, její geometrický a fyzikální význam Obrázek Derivací funkce f v bodě a D(f) je číslo f (a), pokud tato limita existuje. Geometrický význam f (a) = lim h 0 f(a + h) f(a) h f (a) je směrnice tečny ke grafu fce f v bodě A[a, f(a)]. Fyzikální význam y = lim x 0 x, Zákony o pohybu: v = s (t), a = v (t) Př. 1. Vypočtěte f (x) funkce f : y = x [f (x) = 1] Tento způsob počítání se taky nepoužívá.. Jednou pro vždy se odvodí tímto způsobem, tj. podle definice, derivace tzv. elementárních funkcí. Naučíme se je, tj. zapamatujeme si je a dále je budeme používat pro další výpočty používat zpaměti. Derivace elementárních funkcí c = 0 (x n ) = n x n 1 (sin x) = cosx

13 (cos x) = sin x (tg x) = 1 cos 2 x (cotg x) = 1 sin 2 x (e x ) = e x (a x ) = a x ln a (ln x) = 1 x (log a x) = 1 x ln a Pravidla pro derivování funkcí Mějme funkce f, g, g(x) 0 a konstantu c R. Pak [c f(x)] = c f (x) [f(x) ± g(x)] = f (x) ± g (x) [f(x) g(x)] = f (x)g(x) + f(x)g (x) [ f(x) g(x) ] = f (x)g(x) f(x)g (x) g 2 (x) Př. 2. Petáková /19, 20, Derivace složené funkce