Dynamické chování pojistníků

Transkript

1 Dynamcké chování pojstníků První jarní setkání České společnost aktuárů 31. květen 2013

2 Obsah Co znamená dynamcké chování pojstníků? Typy opcí a garancí Motvace pro zahrnutí opcí a garancí do ocenění Faktory ovlvňující chování pojstníků Způsoby zahrnutí opcí a garancí v ocenění Explctní vzorec Statstcké metody Další důsledky dynamckého chování pojstníků 1

3 Typy opcí a motvace

4 Příklady opcí a garancí Storno; Garantovaná anutzační opce Možnost dodatečného pojstného případně prodloužení pojstné doby Zproštění od placení Varable annutes garantované plnění př úmrtí, odkup 3

5 Motvace Ze kterých požadavků vyplývá nutnost zohlednění dynamckého chování pojstníků? Market consstent embedded value, prncp č. 7 Allowance must be made n the MCEV for the potental mpact on future shareholder cash flows of all fnancal optons and guarantees wthn the n-force covered busness. The allowance for the tme value of fnancal optons and guarantees must be based on stochastc technques usng methods and assumptons consstent wth the underlyng embedded value. All projected cash flows should be valued usng economc assumptons such that they are valued n lne wth the prce of smlar cash flows that are traded n the captal markets. Assumptons should also allow for antcpated The models future changes and MCEV assumptons n movement experence Lapse employed was tems rates explaned (e.g. from polcyholders also by have been annutant the stochastc the mortalty smulaton dynamc mprovements, are polcyholder dynamcally adverse consstent behavor wth modeled. modelng For tradtonal lapse changes drven by changes n the the underlyng market). mprovements embedded value busness, across and regon, allow lapse wth rates man depend on the for the Avva effect MCEV of mpacts management methodology n Span, dfference actons requres AXA MPS and between the (Italy) use of the and credted rate to the stochastc scenaros for materal fnancal polcyholder optons and behavor Mexco. guarantees n dfferent polcyholders and other economc and the antcpated contracts scenaros. wth asymmetrc Allanz cashflows. polcyholders AXA Group AVIVA expectatons. Swss Lfe 4

6 Motvace Směrnce Solvency II, pův. článek 78 When calculatng techncal provsons, nsurance and rensurance undertakngs shall take account of the value of fnancal guarantees and any contractual optons ncluded n nsurance and rensurance polces. Any assumptons made by nsurance and rensurance undertakngs wth respect to the lkelhood that polcyholders wll exercse contractual optons, ncludng lapses and surrenders, shall be realstc and based on current and credble nformaton. The assumptons shall take account, ether explctly or mplctly, of the mpact that future changes n fnancal and non-fnancal condtons may have on the exercse of those optons IFRS 4, odst. 15 The test consders current estmates of all contractual cash flows, and of related cash flows such as clams handlng costs, as well as cash flows resultng from embedded optons and guarantees jaké přrážky zohledňují dobře cenu opcí? Je dobré používat konstantní přrážku př změně nejlepšího odhadu předpokladu? Ocenění produktů nastavení srážek př odbytném, resp. jné techncké změně 5

7 Příklady faktorů ovlvňujících chování pojstníků Standardní - produkt, délka trvání smlouvy, zprostředkovatel, lze věk, frekvence placení Typ zákazníka u movtějších, případně korporátních lze předpokládat raconálnější chování Role zprostředkovatele lze lépe ovlvňovat nterní síť, ale nelze přeceňovat nelze nutt nepříznvou varantu pro klenta. Daně chovají se daňově uznatelné pojstky jnak? Regulace zvýšení povnných nformačních povnností dopad nového občanského zákoníku (nejen sjednání, ale odkup) penzjní reforma 6

8 Příklady faktorů ovlvňujících chování pojstníků Předchozí masové storno ekvvalent equty dampeneru obecně lze říc, že mnoho pojstek je odkupováno v souvslost s potřebou peněžních prostředků US, %, jen 37% z důvodu, že není pojštění potřeba Půjčky v pojstkách, sekundární trh s pojstkam Marketngové akce (retence, nové smlouvy), Vnímání pojsttele veřejností kdo by s nechal peníze v MSD, kdyby s je mohl převést? 7

9 Možné ekonomcké faktory ovlvňující rozhodování Úrokové sazby Vývoj akcových ndexů Míra nezaměstnanost Růst HDP Inflace Otázky Exstují spolehlvé projekce pro tyto proměnné? Jak rychle reaguje pojstník? Jsou proměnné zachyceny pomocí ESGs? 8

10 Krátký příklad Parametry Pojštění na smrt a dožtí s jednorázovým pojstným, pojstná doba 10 let Muž, 30 let, pojstná částka ; nákladové přrážky Techncká úroková míra nastavena varantně na 2% / 4% / 6% Storna pro lustrac možného dopadu nastavena v prvních letech na 20%, 15%, 10% a potom 5% do konce. 80% nvestčního výnosu nad garanc je přpsáno pojstníkům k rezervě Scénáře kalbrované na současné ekonomcké podmínky. Aktva kryjí rezervy amortzovanou hodnotou Na počátku nvestce do desetletého zero-coupon dluhopsu, poté jž jen prodeje z důvodu storen (převažují nad podíly na zsku) 9

11 Výsledky PVFP se snžuje se zvyšující se částkou Časová cena opcí a garancí roste se zvyšující se TIR Ztráty jsou už zohledněny v PVFP, pouze v některých případech má TÚM PVFP AVG (stoch. PVFP) TVOG 2% % % S dynamckým storny pojstníc mají tendence držet vyšší garanc (zahrnutí nákladovost do rozhodování není v tomto zjednodušeném příkladu uvažováno) TÚM PVFP AVG (stoch. PVFP) TVOG 2% % %

12 Explctní vzorec Explctně nastavené parametry, jak ekonomcké proměnné ovlvňují storna lze považovat za nejjednodušší přístup Příklady typů stornovost jako funkce spreadu 40% 35% 30% 25% 20% 15% 10% Varanta 1 Varanta 2 Varanta 3 5% 0% -5% -4% -3% -2% -1% 0% 1% 2% 3% 4% 5% 6% 7% Spread mez market rate a credted rate Varanta 1 15%* (20%+80% * IF (spread <=0; exp(120%*100*spread); 2-exp(120%*100*spread)) Varanta 2 IF (spread<=0; 15% ; 15% *(1+mn(spread*15 ; 75%)) Varanta 3. IF (spread<=1%; 15% ; 15% + mn (200 * spread^2 spread*4+2%) ; 90%) 11

13 Metody založené na statstcké analýze

14 Regrese Lnearní regrese standardní metoda matematcké statstky Závslost stornovost na dříve uvedených ekonomckých faktorech Modelují nadstorno resp. podstorno. Pokud neuvažuj vektor závslých proměnných (tzn. zanedbávám možnou změnu kmene a jeho neekonomckých faktorů), stuace se ještě zjednodušší a lze faktcky standardně testovat nulovou hypotézu, zda stornovost závsí na vybrané tržní proměnné Jak stanovt nejlepší odhad stornovost bez zohlednění ekonomckých faktorů? Obecně zřejmě narazím se splněním předpokladů normalty lneární závslost na parametru. 13

15 Tobt model 14

16 Zobecněný lneární model

17 GLM Formální shoda řady regresních modelů: lneární modely, ANOVA, logstcká regrese, loglneární modely, multnomcké modely... Snaha co nejúplněj posthnout vzájemnou souvslost různých jevů: škodní frekvence v závslost na segmentac, průměrná výše škody v závslost na segmentac, stornovost v závslost na čemkolv, marketng Metoda schopná správných předpovědí, zohledňující korelace nterakce. Praktcky použtelná, tj. v běžné prax nepřílš složtá. 16

18 GLM struktura modelu 1a Pozorujeme náhodnou velčnu Y, jejíž každou realzac y (výsledek měření) považujeme za kombnac systematcké složky E[Y] a náhodné složky ε. y = E [ Y ] + ε = µ + ε Systematckou složku se snažíme vyjádřt pomocí vysvětlujících velčn X, náhodná složka je generována podkladovým náhodným dějem, který je zodpovědný za rozdělení ρ (y ) velčny Y. GLM umožňuje na základě hstore (n měření) předpovídat systematckou složku pomocí zvolených vysvětlujících velčn a zároveň respektovat náhodnost podkladového děje. Bohužel an závslost µ (x 1,...,x p ) an rozdělení ρ (y ) nemohou být lbovolné. 17

19 GLM struktura modelu 2 Předpokládáme, že systematcká složka µ je prostřednctvím prosté a dferencovatelné funkce g, tzv. spojovací (lnk) funkce, spojena s tzv. lneárním predktorem η, tj. lneární funkcí parametrů modelu. g 1 ( µ ) = η µ = g ( η ) V rámc GLM je tedy systematcká složka µ funkcí lneárního predktoru η. Dále předpokládáme, že rozdělení ρ velčny Y je z tzv. exponencální rodny rozdělení. Pro tato rozdělení platí, že jsou plně určena střední hodnotou a rozptylem (mají až 2 volné parametry) a rozptyl je funkcí střední hodnoty. V modelu zvolíme spojovací funkc g, vysvětlující velčny X, a na základě předpokladu o rozdělení ρ náhodné velčny Y hledáme takové koefcenty lneárního predktoru, aby model co nejlépe vysthoval výsledky měření. 18

20 GLM vysvětlující proměnné 1 Lneární predktor je následující funkce p η = xjβ j + ξ; = 1,, n j= 1 η = Xβ + ξ X je tzv. konstrukční matce (desgn matrx) nebol matce n x p, jejíž řádky odpovídají jednotlvým měřením a sloupce tvoří jednotlvé vysvětlující proměnné. Aby byl model jednoznačně defnován, musí mít matce X plnou sloupcovou hodnost. jsou koefcenty, které vyjadřují vlv jednotlvých vysvětlujících proměnných na modelovanou velčnu a jejchž hodnoty hledáme. ξ je tzv. offset nebol člen shrnující vlvy, jejchž efekt na modelovanou velčnu známe a nepotřebujeme jej tedy odhadovat. Vysvětlující velčny, resp. proměnné, mohou být jak kvanttatvní (spojté), například hmotnost, tak kvaltatvní (kategorální), například barva. Toto rozlšení je však často dáno spíše kontextem a volbou. 19

21 GLM vysvětlující proměnné 2 Kategorálním proměnným jsou hladny (levels) jednotlvých kategorálních velčn, faktorů (factors). Například velčna barva může mít několk hladn, které pak tvoří jednotlvé proměnné. Kategorální proměnné jsou takové, pomocí nchž sledujeme, zda měření patří nebo nepatří do nějaké kategore. Nabývají tedy typcky hodnot 1 patří, 0 nepatří (Dummy varables). Hladny lze zakódovat různě (1,0;-1,1;...) matce kontrastů (contrast matrx). U kategorálních proměnných může snadno dojít k lneární závslost. Například pro proměnné muž a žena, by platlo muž=1-žena. Tyto závslost ohrožují hodnost desgn matrx, a tedy určtost modelu je třeba správně zvolt kontrasty. Absolutní člen (ntercept) β 0, který v sobě obsáhne všechny základní hladny faktorů reprezentovaných kategorálním proměnným takové obtíže řeší. Všechna měření pak obsahují tento absolutní člen (základní hladnu) a proměnné popsují pouze odlšnost od této reference. Máme pak jen nezávslé proměnné a absolutní člen. p = η xjβ j + β + ξ ; = 1,, n j=

22 GLM exponencální rodna rozdělení Hustota pravděpodobnost exponencální rodny rozdělení má obecně tvar y θ b θ ρ ( y ) ( ) ( ) ; θ, φ = Exp + c y, φ a φ θ je kanoncký parametr souvsející se střední hodnotou, φ je rozptylový parametr souvsející s rozptylem, a (φ) je spojtá a kladná funkce, b(θ) (kumulantová funkce) je dvakrát dferencovatelná konvexní funkce a c(y,φ) je funkce normující ρ, nezávslá na θ. ( ) var E [ y ] = µ = = b ( θ ) V je varanční funkce, obvykle a (φ)=φ /w, kde w je aprorní váha -tého měření d b dθ ( y ) a ( φ) = a ( φ) b ( θ ) = a ( φ) V ( µ ) 2 d b dθ = 2 θ θ 21

23 GLM exponencální rodna rozdělení 1 Označení Defnční obor φ b ( θ ) c ( y,φ) µ ( θ ) θ ( µ ) V ( µ ) (kanoncký lnk) Normální 2 N( µ,σ ) (, ) 2 σ 2 θ y + ln φ ( 2πφ ) θ µ 1 Possonovo P( µ ) 0,1,2, 1 θ e ln( y! ) θ e ln( µ ) µ Bnomcké B ( m, π ) m 0,1,2,, m m 1 m θ ( 1 e ) ln + m ln my θ e 1+ e θ µ ln 1 µ µ ( 1 µ ) Gamma G( µ,ν ) ( 0, ) 1 ν ln( θ ) ν ln ( ν y) ln( y) ln( Γ( ν )) 1 θ 1 µ 2 µ Inverzní Gaussovo 2 IG ( µ,σ ) ( 0, ) 2 σ 2θ ln 2 1 ( ) 2πφ y + φ y θ 1 2 µ 3 µ Blízcí příbuzní: negatvně bnomcké, Webulovo,... (Lognormální NE) 22 22

24 Sestavení a vyhodnocení modelu Rozdělení Analýza rozdělení sledované velčny, porovnání výsledků modelu se skutečností Spojovací funkce Praktčnost Realstčnost Vysvětlující proměnné, desgn matrx Volba velčn Volba hladn kategorálních velčn Zahrnutí nterakcí Analýza vlvu jednotlvých proměnných na výsledky modelu 23

25 Sestavení modelu rozdělení Volba rozdělení vychází z předchozí znalost, zkušeností a podstaty podkladového náhodného děje. Správnost volby lze (ne nezávsle na zbytku modelu) ověřt pomocí různých měr rozdílu, rezduí, mez měřeným a modelem předpovídaným hodnotam. Vhodnou volbou jsou tzv. devanční rezdua, která jsou př správné volbě modelu velm dobře normálně rozdělena. D = N = 1 r 2 D, r D = sgn y t µ 2 dt V ( y ) d = sgn( y µ ) Standardzovaná devanční rezdua mají navíc jednotkový rozptyl. r DS = r φ D ( 1 h ) = sgn φ y ( y µ ) y t 2 ( 1 h ) V ( t) h jsou dagonální prvky vlvové matce (hat-matrx) tzv. páky (leverage), které popsují vlv - tého měření na model, 1 velký vlv, 0 malý vlv µ y µ dt ( t) 24

26 Sestavení modelu spojovací funkce Kanoncký lnk zjednodušuje tvar věrohodnostní funkce, a jeho použtí má jné příznvé důsledky, které však dnes, díky počítačům, nejsou rozhodující. Rozhodují data a praktčnost v pojšťovnctví je zpravdla příjemný multplkatvní model s logartmem jako spojovací funkcí. Pro bnomcké modely je třeba lnk, který zobrazuje hodnoty z ntervalu <0,1> na <-, > - např. kvantlové funkce. Testovat lze maxmum věrohodnostní funkce, kterého je možné dosáhnout s různým spojovacím funkcem. g ( x; λ) = λ x 1, λ 0 λ ln( x), λ = 0 g(x;λ) přechází od nverzní, pro λ = -1, přes logartmckou, pro λ = 0, do dentcké, pro λ = 1, spojovací funkce, a nabízí tak možnost určt vhodnou spojovací funkc nalezením maxma věrohodnostní funkce v závslost na λ, a vybrat tak spojovací funkc maxmalzující věrohodnost. 25

27 Sestavení modelu proměnné testování Přdávány by měly být pouze proměnné, které model sgnfkantně vylepší. Standardní mírou dobré shody modelu je devance D, repektve škálovaná devance D * n n y t * 1 y t D = 2 dt D = 2 ( ) = V t dt 1 µ = 1 φ V ( t) µ Dva vnořené modely lze tedy porovnávat srovnáním jejch škálovaných devancí, pokud je parametr ϕ známý (např. u Possonova rozdělení) (model ω je podmodelem modelu Ω). Případně, pokud je φ odhadované, D * ω y 2 ( Ω ω ) ~ χ df df, dfω Ω D 2 df Ω * Ω = > ω y 1 D ˆ φ df ω ω D df ~ F df Ω df > ω dfω, dfω ω Ω, df Ω ˆ = φ X 2 df φˆ = D df Porovnávání různých modelů Akakeho nformační krtérum AIC [ ( ˆ β ) + p] 2[ ( ˆ β ) + 1] = 2 p + 26

28 Dagnostka modelu obecně Levý horní graf zobrazuje závslost rezduí na hodnotách lneárního predktoru. Tento graf pomáhá vyhodnott adekvátnost předpokladů o rozdělení, spojovací funkc, vysvětlujících proměnných aj. Pravý horní graf zobrazuje QQ dagram, který porovnává rozdělení standardzovaných devančních rezduí se standardním normálním rozdělením. Levý dolní graf slouží k lepší dentfkac případných významných závslostí v rozptylu rezduí. Pravý dolní graf, zobrazuje standardzovaná devanční rezdua a dagonální prvky projekční matce. Slouží k dentfkac měření s přílš velkým vlvem na odhad parametrů modelu. Zobrazeny jsou rovněž kontury Cookovy vzdálenost. 27

29 Další možnost zohlednění opcí

30 Jné metody pro zohlednění opcí Klasfkační stromy Chc rozdělt zkoumané osoby do skupn stejných charakterstk podle pravdel, která vycházejí ze vztahu storna k charakterstce Lze nastavt asymetrcké penalzace za špatné zařazení Lze budovat zespoda (postupná agregace lstů) nebo seshora (větvení př dostatečném zlepšování modelu) Nevděl jsem zatím uplatněné v prax pojšťovny 29

31 Další využtí klasfkačních stromů Na základě těchto skutečností musíme dovodt, že snahy o zabránění časných storen přnesly malý efekt, ačkolv víme výrazně více o charakteru kvaltního obchodu. a) Tomáš Síkora, výkonný ředtel ČAP b) Petr Borkovec, generální ředtel Partners Fnancal Servces, a.s. c) Jaroslav Mlynář, generální ředtel České pojšťovny, a.s. d) nejmenovaný pojstný matematk Jž v roce

32 Klasfkační stromy Mohu vhodnou akcí (dops, telefonát) odradt klenta od stornování? Na některé skupny má akce nebude mít vlv problém zbytečných nákladů U určtého typu klentů mohu svou akcí naopak storno způsobt Jak vybrat vhodnou skupnu klentů? Dva možné přístupy: Zkoumám, která skupna osob je nejnáchylnější ke stornování (reálně pomíjí první problém, tedy zbytečné náklady u klentů, které neovlvním) E[ y x ; t = 0] (y = 1 pro storno, 0 jnak; x vysvětlující proměnné, t = 0 nevolám ) Zkoumám, u které skupny nejvíce získám, tedy u které v průměru nejvíce snížím pravděpodobnost stornování, pokud zavolám (UPLIFT) E[ y x ; t = 0] E[ y x ; t = 1] (y a x jako výše, t = 0 nevolám, t = 1 volám ) 31

33 Klasfkační stromy První možný přístup dva modely jeden modelující pravděpodobnost storna v stuac, kdy nezavolám, druhý v opačném případě. Problém: rozdíl nezávslých přesných modelů nemusí být přesným modelem. Druhý možný přístup: určovat přímo rozdíl mez pravděpodobnostm storna v obou případech Model založený na logstcké regres. Vysvětlující proměnné jsou nterakce mez jednotlvým charakterstkam klenta a faktem, zda jsem zatelefonoval č nkolv. Do modelu musím přdat nterakc volání se všem ostatním proměnným složtý model, snžuje počet stupňů volnost Regresní model založený na předcházejícím posouzení relevance vysvětlujících proměnných Modely založené na klasfkačních stromech: postupně přdávám krtéra rozdělující portfolo na skupny podle toho, které je dle stanoveného klíče nejvýznamnější 32

34 Klasfkační stromy Problém klasfkačního stromu: chyby v horních patrech se propagují do hloubky vysoká varance výsledku. Možné řešení: generování více náhodných stromů z náhodně vybraných vzorků Možné schéma modelu založeného na náhodně generovaných klasfkačních stromech. a) Vezm náhodný vzorek velkost M z trénnkových dat (bootstrap) b) Sestroj klasfkační strom. V každém uzlu. Vyber náhodnou skupnu z vysvětlujících znaků.. Z této skupny vyber znak, který poskytuje nejlepší splt na dvě větve (jedna znak mající, druhá nkolv) dle předem stanoveného krtéra Pokračuj dále, dokud velkost zbývajícího vzorku v uzlu není menší než stanovená mez c) Dle bodů a) a b) sestroj B náhodných klasfkačních stromů. Předpovídaný zsk v pravděpodobnost se stanoví jako průměr ze zsku vyplývající z jednotlvých stromů. 33

35 Jné metody pro zohlednění opcí GLMM Zobecněný lneární model s náhodným efekty p η = xjβ j + U + Wj; = 1,, n j= 1 U, W j se uvažuje jako náhodná velčna, obvykle s normálním rozdělením. U reprezentuje odchylku výběru kategore, W j ndvduální odchylku v rámc kategore. p q η = xjβ j + j= 1 k = 1 Z k u k, u k 2 ~ N(0, σ ) u k jsou parametry náhodných efektů a Z k jejch úrovně.η jsou potom korelované a je nutné tyto korelace odhadovat. Náhodné efekty kvantfkují varabltu regresních proměnných mez jednotlvým kategorálním úrovněm vybrané proměnné pomocí pravděpodobnostního rozdělení místo odhadování pevných regresních koefcentů. V GLMM je toto rozdělení normální s nulovou střední hodnotou a rozptylem, který je nutné odhadnout. k 34

36 Jné metody pro zohlednění opcí GLMM - pokračování Jednotlvé úrovně proměnné, kterou používám jako náhodný efekt, by měla představovat náhodný výběr z větší skupny, tzn. jednc vybraní z populace, a varablta mez úrovněm je pro nás významnější než efekt jednotlvé úrovně. Ocenění bez predkce Oceňování amerckých opcí Zahrnutí raconálního elementu (např. De Govann D., Workng paper F ; Fnance Research Group, Unversty of Aaarhus) 35

37 Shrnutí Exstuje šroká škála možných přístupů k chování pojstníků, od nejjednodušších k v současnost spíše teoretckým konceptům lze např. ~ využtí teore extrémních hodnot rozdělení podmíněné tím, že jná proměnná překročí krtckou hranc (délka období bez krze, nezaměstnanost) Každý model nám dá nějaký výsledek ne nutně správný U všech modelů narážíme na nutnost kvaltních podkladových dat Pokud se zdá, že něco funguje a jde o market practce, proč to NEzměnt? Lehmnan Brothers 36

38 Lteratura a odkazy Kent, J. and Morgan, E.,; Staple Inn Actuaral Socety 18 November 2008, Dynamc Polcyholder Behavour Renshaw, A. E. and Haberman, S.J.; Inst. Act.; 113 (1986), Statstcal Analyss of Lfe Assurance Lapses Rchardson, C. B. F. and Hartwell, J. M.; Transactons of Soc. of Act. Vol. 3 No. 7 (1951); Cox, S.H. and Ln, Y.; Annuty Lapse Rate modellng: Tobt or not tobt Brere-Groux G., Huet J.-F., Spaul R., Staudt A., Wenser D.; Towers Watson (2010): Predctve Modelng for Lfe Insurers (Applcaton of Predctve Modelng Technques n Measurng Polcyholder Behavor n Varable Annuty Contracts) Mlhaud X., Losel S., Maume-Deschamps V.; Surrender Trggers n Lfe Insurance: Classfcaton and Rsk Predctons Guelman L., Gullén M., Pérez-Marín A. M. MS 2012, LNBIP 115, pp , 2012.: Random Forests for Uplft Modelng: An Insurance Customer Retenton Case. Rzepakowsk P, Jaroszewcz S., publshed onlne : Decson trees for uplft modelng wth sngle and multple treatments. 37

39 Prostor pro otázky Presentaton by Zdeněk Roubal

40 2013 Central and Eastern Europe Ltd., a Cyprus lmted lablty company and a member frm of the KPMG network of ndependent member frms afflated wth KPMG Internatonal Cooperatve ( KPMG Internatonal ), a Swss entty. All rghts reserved. Prnted n the Czech The KPMG name, logo and cuttng through complexty are regstered trademarks or trademarks of KPMG Internatonal Cooperatve (KPMG Internatonal).