Test M1-ZS06-1 M1-ZS06-1/1 M NB 1. Příklad 1 Vyšetřete spojitost funkce. arccotg ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ, x ŒH-, 1L, x ŒH1, L ÄÄÄÄÄÄÄÄ. v bodě x = 1. Řešení.
|
|
- Růžena Hrušková
- před 5 lety
- Počet zobrazení:
Transkript
1 M-06-NB Test M-ZS06- M-ZS06-/ Vyšetřete spojitost funkce v bodě = 0 lo - arccotg ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ, ŒH-, L, - fhl = pê0, =, o n lnhl sin ÄÄÄÄÄÄÄÄ ln ŒH, L Daná funkce je definovaná v okolí bodu, dokonce na celé nožině Je tedy v toto bodě spojitá právě když fhl = li fhl = li Ø+ fhl Dále je zřejé, že funkce y = ÅÅÅÅÅÅÅÅ zobrazuje prostě a spojitě interval H-, 0L - na sebe, přičež Ø - právě když y Ø - Podle věty o liitě součinu a věty o liitě složené funkce tedy J0- arccotg ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ - N = ÅÅÅÅÅÅ Å 0 li arccotg = ÅÅÅÅÅÅ Å 0 li arccotg y = ÅÅÅÅÅÅ p Å yø- 0 = fhl, ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ - = což znaená, že daná funkce je v bodě spojitá zleva Dále zřejě li Ø+ ln = 0 a funkce sin ÅÅÅÅÅÅÅ je v pravé ln prstencové okolí bodu (a dokonce na celé své definiční oboru) oezená Proto Ø+ Ø+ což znaená, že daná funkce není v bodě spojitá Vyšetřete eistenci tečen ke grafu funkce v bodech a =, b = a napište jejich rovnice i y jlnhl sin ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅz = 0 fhl, k ln fhl = Iln M ê Podle definice fhl = eph ÅÅÅÅ lnhln LL, a proto DH fl =8 : > 0fl ln 0< =H0, + L -8< =H0, L H, + L Bod a = do definičního oboru funkce f tedy nepatří, a proto o tečně v toto bodě neá sysl luvit Abycho našli rovnici tečny v bodě b, vypočtee postupně f ' HL, fhbl a f ' HbL a pak dosadíe do rovnice tečny v bodě b tj do rovnice y = fhbl + f HbL H - bl Dostanee a tedy tečna v bodě b = á rovnici f HL = fhl i j - ln Hln L ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ + y ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ k ln z, fhbl =, f HbL = ÅÅÅ Å, y = + ÅÅÅ Å H - L ó - y - = 0
2 M-06-NB Příklad Určete aiální intervaly onotonie a lokální etréy funkce Zřejě DH fl = a fhl = fhl = l o +,, n o - +,, f HL = 0 ó = 0 fi = f HL = l o, <, n o -, >, Intervaly, v nichž derivace neění znaénko, a příslušný charakter onotonie jsou uvedeny v následující tabulce: H-, 0L 0 H0, L H, L H, L f HL f HL ç ç é - ç Funkce tedy roste na intervalech H-, \, X, + L a klesá na intervalu X, \ V bodě á ostré lokální aiu fhl = a v bodě á ostré lokální iniu fhl = - Graf funkce nad intervale H-5, L: M-ZS06-/ Vyšetřete asyptoty funkce fhl = ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ Nejprve vyšetříe definiční obor Protože µ + - = µ IH ÅÅÅÅ 5 L - M je rostoucí funkce, jenovatel zloku v definici funkce f je roven 0 pouze pro = 0, a proto DH fl = -80< Funkce f tedy ůže ít horizontální nebo šikou asyptotu v a vertikální asyptotu v bodě 0 Vypočtee potřebné liity Protože li Ø- a = 0, li Ø a = pro a > a li Ø a = 0 pro 0 < a <, li fhl = ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ 0-0 ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ + Ø = -,
3 M-06-NB Ø Ø 5 I H ÅÅÅÅ 5 L ÅÅÅÅÅÅ M 5 ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ 5 I5 - H ÅÅÅÅ ÅÅÅÅÅ 5 L - M 5 = li Ø H ÅÅÅÅ 5 L ÅÅÅÅÅ 5 ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ ÅÅÅÅÅÅÅ 5 - H ÅÅÅÅ ÅÅÅÅÅ = 5 L - 5 µ ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ 5 - µ 0-0 = - ÅÅÅ Å 5 Z konečnosti liit v nevlastních bodech vyplývá, že funkce á v obou nevlastních bodech horizontální asyptotu, a to y = - v bodě - a y = -ê 5 v bodě - Zbývá vyšetřit jednostranné liity v bodě 0 Protože čitatel i jenovatel zloku v definici funkce f jsou v bodě 0 rovny nule, ůžee použít l'hospitalovo pravidlo Dostanee Ø0 Ø0 + ln ln 5 ln - 5 ln 5 ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ = ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ 5 + ln 5-6 µ + ln 5 ln 5-8 ln Protože liita v bodě 0 je vlastní, funkce neá vertikální asyptoty Vyšetřete eistenci tečen ke grafu funkce v bodech a =, b = fhl =H - ln L arctg Podle definice fhl = epharctghl lnh - ln LL, a proto DH fl =8 : > 0 fl ln < < =H0, L Bod a = do definičního oboru funkce f tedy nepatří, a proto o tečně v toto bodě neá sysl luvit Abycho našli rovnici tečny v bodě b, vypočtee postupně f ' HL, fhbl a f ' HbL a pak dosadíe do rovnice tečny v bodě b tj do rovnice y = fhbl + f HbL H - bl Dostanee takže tečna v bodě b = á rovnici Příklad f HL = fhl i lnh - ln L j ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ - arctg y ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ z, fhbl =, f HbL = - ÅÅÅ p Å k + H - ln L, y = - ÅÅÅ p Å H - L ó p + y = + p Určete aiální intervaly onotonie a lokální etréy funkce Zřejě DH fl = a fhl = fhl = l o - -, 0, n o - +, 0, f HL = l o - = H - L, < 0, n o - = H - L, > 0, f HL = 0 ó = ln Intervaly, v nichž derivace neění znaénko, a příslušný charakter onotonie ukazuje následující tabulka: H-, 0L 0 H0, ln L ln Hln, L f HL f HL é - é - ç Funkce tedy klesá na intervalu H-, ln \ a roste na intervalu Xln, + L V bodě ln á ostré lokální iniu f Hln L = -, lokální aia neá Graf funkce nad intervale H-, L:
4 M-06-NB M-ZS06-/ Vyšetřete spojitost funkce v bodě = lo + ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ, ŒH-, L - fhl = -ê, =, o n - è!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! arctgh -L ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ, ŒH, + L - Daná funkce je definovaná v okolí bodu, dokonce na celé nožině Je tedy v toto bodě spojitá právě když fhl = li fhl = li Ø+ fhl Levostrannou liitu ůžee vypočítat dvěa způsoby - bez l'hospitalova pravidla: = li nebo s jeho poocí: H - L ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ Å H - L I + è!!!!!!!!!!!!!!!!!! + M = li - è!!!!!!!!!!!!!!!!!! è!!!!!!!!!!!!!!!!!! + I - + M I + è!!!!!!!!!!!!!!!!!! + M ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ = li ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ - H - L I + è!!!!!!!!!!!!!!!!!!ååååååååååååååå = + M H - L H + L ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ Å H - L I + è!!!!!!!!!!!!!!!!!! + M = - li - è!!!!!!!!!!!!!!!!!! + ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ - = li Pravostrannou liitu vypočtee poocí l'hospitalova pravidla: Ø+ Ø+ -6 ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ è!!!!!!!!!!!!!!!!!! + ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ +H -L ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ arctgh ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ - ÅÅÅÅÅÅÅÅ L = li ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ - Ø+ - H + L ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ I + è!!!!!!!!!!!!!!!!!! + M = - ÅÅÅ Å = fhl, = - ÅÅÅ Å = fhl = - ÅÅÅ Å = fhl Protože obě jednostranné liity v bodě jsou rovny funkční hodnotě fhl, daná funkce je v bodě spojitá Vyšetřete eistenci tečen ke grafu funkce v bodech a = 0, b = fhl =I - M arcsin ÄÄÄÄÄ
5 M-06-NB 5 Podle definice fhl = epharcsinh ÅÅÅÅ L lnh - LL, a proto DH fl =8 :»» Ï < < =I- è!!!, è!!!! M Bod b = do definičního oboru funkce f tedy nepatří, a proto o tečně v toto bodě neá sysl luvit Abycho našli rovnici tečny v bodě a, vypočtee postupně f ' HL, fhal a f ' HaL a pak dosadíe do rovnice tečny v bodě a tj do rovnice y = fhal + f HaL H - al Dostanee takže tečna v bodě a = 0 á rovnici Příklad i f lnh - L HL = fhl ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ j k "############### - arcsinh ÅÅÅÅ L y ln ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ, fhal =, f ' HaL = ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ - ÅÅÅÅÅ - z, y = + ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ ln ó ln - y + = 0 Určete aiální intervaly onotonie a lokální etréy funkce Zřejě DH fl = a fhl = fhl = l o - -,, n o - + -,, f HL = 0 ó = 0 fi = f HL = l o -, <, n o - +, >, Intervaly, v nichž derivace neění znaénko, a příslušný charakter onotonie jsou uvedeny v následující tabulce: H-, 0L 0 H0, L H, L H, L f HL f HL é - é - ç é Funkce tedy klesá na intervalech H-, \, X, + L a roste na intervalu X, \ V bodě á ostré lokální iniu fhl = - a v bodě á ostré lokální aiu fhl = Graf funkce nad intervale H-, L:
6 6 M-06-NB M-ZS06-/ Vyšetřete asyptoty funkce fhl =Iln M Nejprve vyšetříe definiční obor Protože podle definice fhl = epi lnhln L ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅM, bod patří do DH fl právě tehdy, + když > 0 a ln Tedy DH fl =H0, L H, + L a funkce f ůže ít horizontální nebo šikou asyptotu v bodě + a vertikální asyptotu v bodě 0 nebo Protože = ep i j li Ø+ k ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ + epi lnhln L y j ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ Å Ø+ Ø+ k + z = lnhln ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ L y Å + z l'h = ep i k j li Ø+ ln y ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅz = ep i y j li ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅz = 0 =, ln k Ø+ ln epi lnhln L y j ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ Å Ø0+ Ø0+ k + z = + = +, epi lnhln L y j ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ Å Ø Ø k + z = epi j li lnhln L y ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ Å Ø k + z = - = 0, funkce á horizontální asyptotu y = v bodě + a vertikální asyptotu = 0 V bodě vertikální asyptotu neá Vyšetřete eistenci tečen ke grafu funkce v bodech a = p, b = -p fhl = i j ÄÄÄ Ä k p - ÄÄÄÄÄ y z arccos i k j ÄÄÄÄÄ p - y z Zřejě DH fl =8 : 0 fl» êp -» < =H0, p\ Bod b = -p tedy do definičního oboru funkce f nepatří, a proto o tečně v toto bodě neá sysl luvit Abycho našli rovnici tečny v bodě a, vypočtee postupně f ' HL, fhal a f ' HaL a pak dosadíe do rovnice tečny v bodě a tj do rovnice y = fhal + f HaL H - al Dostanee f HL = ÅÅÅÅÅÅÅ arccosj ÅÅÅÅÅ p - N - takže tečna v bodě a = p á rovnici Příklad ÅÅÅÅ p H ÅÅÅÅ p - ÅÅÅÅ L ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ, fhal = 0, f "############################## -H- + ÅÅÅÅ L y = ÅÅÅÅÅÅÅÅ H - pl ó - p y - p = 0 p Určete aiální intervaly onotonie a lokální etréy funkce fhl = H + L - 8 p HaL = ÅÅÅÅÅÅÅÅ p,
7 M-06-NB 7 Zřejě DH fl = a fhl = l o 8 -H + L, 0, n o H + L - 8, 0, f HL = 0 ó = - f HL = l o - H + L, < 0, n o H + L, > 0, Intervaly, v nichž derivace neění znaénko, a příslušný charakter onotonie jsou uvedeny v následující tabulce: H-, -L - H-, 0L 0 H0, L f HL fhl é 8 é 0 ç Funkce tedy klesá na intervalu H-, 0\ a roste na intervalu X0, + L V bodě 0 á ostré lokální i globální iniu fh0l = 0, lokální aia neá Graf funkce nad intervale H-, L: M-ZS06-/5 Vyšetřete asyptoty funkce lnh - L fhl = ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ - Zřejě DH fl =H, + L, takže funkce f ůže ít horizontální nebo šikou asyptotu v bodě + a vertikální asyptotu v bodě Protože Ø+ Ø+ lnh - L ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ - Ø+ Ø+ l'h = li Ø+ ÅÅÅÅÅÅÅÅ - ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ = li Ø+ ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ lnh - ÅÅÅÅÅÅÅÅÅ L - = À ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ À = -, ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ H - L = 0, funkce á horizontální asyptotu y = 0 v bodě + a vertikální asyptotu = 0 Určete rovnice tečen a norál ke grafu funkce v bodech a = 0, b = pê fhl =H cosh LL lnh+l
8 8 M-06-NB Zřejě DH fl =8 : cosh L > 0fl + > 0< = 8H- ÅÅÅÅ p + k p, ÅÅÅÅ p + k pl»k = 0,,,, < Bod b = pê tedy do definičního oboru funkce f nepatří, a proto o tečně v toto bodě neá sysl luvit Abycho našli rovnici tečny v bodě a, vypočtee postupně f ' HL, fhal a f ' HaL a pak dosadíe do rovnice tečny v bodě a tj do rovnice y = fhal + f HaL H - al Dostanee f ' HL = fhl HlnH + L H + ln cos LL' = fhl i j + ln cosh L sinh L y ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ - lnh + L ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅz, fhal =, f HaL =, k + cosh L takže tečna v bodě a = 0 á rovnici Příklad y = + Určete aiální intervaly onotonie a lokální etréy funkce Zřejě DH fl = -87< a fhl = l o - êh7-l, 0, n o êh7-l, 0, fhl = êh7-l lo f HL = o n - êh7-l I + ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ H7-L M, < 0, êh7-l I + ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ H7-L M, 0 < 7, a f ' HL 0 pro všechna, protože kvadratická rovnice = 0 neá reálné kořeny Intervaly, v nichž derivace neění znaénko, a příslušný charakter onotonie jsou uvedeny v následující tabulce: H-, 0L 0 H0, 7L H7, L f HL fhl é 0 ç ç Funkce tedy klesá na intervalu H-, 0\ a roste na intervalech X0, 7\ a X7, + L V bodě 0 á ostré lokální i globální iniu f H0L = 0, lokální aia neá Graf funkce nad intervale H-, L:
M1-Seminar-ZS06.nb 1. x + 4 ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ x - 3 ó x œi k. ~ 2 a, b = ÅÅÅÅÅÅÅÅ. -b è!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! b 2-4 a c
M-Semnar-ZS06.nb. Opakování Intervaly a nerovnost.. Vyjádřete jako ntervaly nebo sjednocení ntervalů množny HaL 8x :» x + 4» <
Více2 Fyzikální aplikace. Předpokládejme, že f (x 0 ) existuje. Je-li f (x 0 ) vlastní, pak rovnice tečny ke grafu funkce f v bodě [x 0, f(x 0 )] je
Derivace funkce a jej geometrický význam Je dána funkce f) 3 6 + 9 + a naším úkolem je určit směrnici tečny v bodě [; f)] Pro libovolné lze směrnici sečny danou body [; f)] a [; f)] spočítat jako f) f)
VíceDerivace funkce. Obsah. Aplikovaná matematika I. Isaac Newton. Mendelu Brno. 2 Derivace a její geometrický význam. 3 Definice derivace
Derivace funkce Aplikovaná matematika I Dana Říhová Mendelu Brno Obsah Směrnice přímk Derivace a její geometrický význam 3 Definice derivace 4 Pravidla a vzorce pro derivování 5 Tečna a normála 6 Derivace
Vícef( x) x x 4.3. Asymptoty funkce Definice lim f( x) =, lim f( x) =, Jestliže nastane alespoň jeden z případů
3 Výklad Definice 3 Jestliže nastane alespoň jeden z případů lim =, lim =, + + lim =, lim =, kde ( D ), pak říkáme, že přímka = je asymptotou funkce f() v bodě f Jestliže lim ( k q) =, resp lim ( k q)
VíceMATEMATIKA. Příklady pro 1. ročník bakalářského studia. II. část Diferenciální počet. II.1. Posloupnosti reálných čísel
MATEMATIKA Příklady pro 1. ročník bakalářského studia II. část II.1. Posloupnosti reálných čísel Rozhodněte, zda posloupnost a n (n = 1, 2, 3,...) je omezená (omezená shora, omezená zdola) resp. monotónní
VíceNejčastějšími funkcemi, s kterými se setkáváme v matematice i v jejích aplikacích, jsou
4 Cíle Nejčastějšími funkcemi, s kterými se setkáváme v matematice i v jejích aplikacích, jsou funkce, jejichž ita v bodě 0 je rovna funkční hodnotě v tomto bodě Seznámíme se s vlastnostmi takových funkcí
Více. 1 x. Najděte rovnice tečen k hyperbole 7x 2 2y 2 = 14, které jsou kolmé k přímce 2x+4y 3 = 0. 2x y 1 = 0 nebo 2x y + 1 = 0.
Diferenciální počet příklad s výsledky ( Najděte definiční obor funkce f() = ln arcsin + ) D f = (, 0 Najděte rovnici tečny ke grafu funkce f() = 3 +, která je rovnoběžná s přímkou y = 4 4 y 4 = 0 nebo
VíceDiferenciální počet 1 1. f(x) = ln arcsin 1 + x 1 x. 1 x 1 a x 1 0. f(x) = (cos x) cosh x + 3x. x 0 je derivace funkce f(x) v bodě x0.
Nalezněte definiční obor funkce Diferenciální počet f = ln arcsin + Definiční obor funkce f je určen vztahy Z těchto nerovností plyne < + ln arcsin + je tedy D f =, Určete definiční obor funkce arcsin
Více1. Písemka skupina A...
. Písemka skupina A.... jméno a příjmení Načrtněte grafy funkcí (v grafu označte všechny průsečíky funkce s osami a asymptoty). y y sin 4 y y arccos ) Určete, jestli je funkce y ln prostá? ) Je funkce
VíceDerivace úvod. Jak zjistit míru změny?
Derivace úvod P ČEZ Jak zjistit míru změny? Derivace nám dá odpověď jestli je funkce: rostoucí/klesající konkávní/konvení jak moc je strmá jak moc roste kde má maimum/minimum 1000 700 P ČEZ P ČEZ 3% 4%
Více3. Derivace funkce Definice 3.1. Nechť f : R R je definována na nějakém okolí U(a) bodu a R. Pokud existuje limita f(a + h) f(a) lim
3 a b s = (a + b) 2 f(s) 3,46 4,680 3,93-2,9422 3,93 4,680 4,2962-2,034 4,2962 4,680 4,4886-0,0954 4,4886 4,680 4,5848 3,2095 4,4886 4,5848 4,5367,0963 4,4886 4,5367 4,526 0,427 4,4886 4,526 4,5006 0,508
VíceNalezněte hladiny následujících funkcí. Pro které hodnoty C R jsou hladiny neprázdné
. Definiční obor a hladiny funkce více proměnných Nalezněte a graficky znázorněte definiční obor D funkce f = f(x, y), kde a) f(x, y) = x y, b) f(x, y) = log(xy + ), c) f(x, y) = xy, d) f(x, y) = log(x
VíceMonotonie a lokální extrémy. Konvexnost, konkávnost a inflexní body. 266 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné
66 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné I. 5. Vyšetřování průběhu funkce Monotonie a lokální etrémy Důsledek. Nechť má funkce f) konečnou derivaci na intervalu I. Je-li f ) > 0 pro každé I, pak
Více1. Písemka skupina A1..
1. Psemka skupina A1.. Nartněte grafy funkc (v grafu oznate všechny průseky funkce s osami) 3 y y sin( ) y y log ( 1) 1 y 1 y = arccotg - 1) Urete, jestli je funkce y = - + 1 omezená zdola nebo shora?
VíceLIMITA FUNKCE, SPOJITOST FUNKCE
MENDELOVA UNIVERZITA V BRNĚ LDF MT MATEMATIKA LIMITA FUNKCE, SPOJITOST FUNKCE Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakult MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na disciplin
VíceMatematika 1. Matematika 1
5. přednáška Elementární funkce 24. října 2012 Logaritmus a exponenciální funkce Věta 5.1 Existuje právě jedna funkce (značíme ji ln a nazýváme ji přirozeným logaritmem), s následujícími vlastnostmi: D(ln)
VíceLimita a spojitost LDF MENDELU
Limita a spojitost Základy vyšší matematiky LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipĺıny společného základu
Více2.7. Průběh funkce. Vyšetřit průběh funkce znamená určit (ne nutně v tomto pořadí): 1) Definiční obor; sudost, lichost; periodičnost
.7. Průběh unkce Všetřit průběh unkce znamená určit ne nutně v tomto pořadí: deiniční obor; sudost, lichost; periodičnost, interval spojitosti a bod nespojitosti, průsečík grau unkce s osami, interval,
VíceKapitola 4: Průběh funkce 1/11
Kapitola 4: Průběh funkce 1/11 Funkce monotonní 2/11 Věta: Necht je f spojitá a má derivaci na intervalu I. Potom platí (i) Je-li f (x) > 0 na I, je f rostoucí na I. (ii) Je-li f (x) 0 na I, je f neklesající
Vícey H = c 1 e 2x + c 2 xe 2x, Partikularni reseni hledam metodou variace konstant ve tvaru c 1(x)e 2x + c 2(x)xe 2x = 0
1 Urcete vsechna maximalni reseni: y + 4y + 4y = e 2x x + 1 Definicni obor: x 1, tj. resim na intervalech (, 1) a ( 1, ) Charakteristicky polynom λ 2 + 4λ + 4 ma dvojnasobny koren -2, tedy tvar homogenniho
Více( + ) ( ) f x x f x. x bude zmenšovat nekonečně přesný. = derivace funkce f v bodě x. nazýváme ji derivací funkce f v bodě x. - náš základní zápis
1.. Derivace elementárních funkcí I Předpoklad: 1 Shrnutí z minulé hodin: Chceme znát jakým způsobem se mění hodnot funkce f ( f ( + f ( přibližná hodnota změn = přesnost výpočtu se bude zvětšovat, kdž
Vícey = 2x2 + 10xy + 5. (a) = 7. y Úloha 2.: Určete rovnici tečné roviny a normály ke grafu funkce f = f(x, y) v bodě (a, f(a)). f(x, y) = x, a = (1, 1).
III Diferenciál funkce a tečná rovina Úloha 1: Určete rovnici tečné roviny ke grafu funkce f = f(x, y) v bodě (a, f(a)) f(x, y) = 3x 3 x y + 5xy 6x + 5y + 10, a = (1, 1) Řešení Definičním oborem funkce
VíceNMAF 051, ZS Zkoušková písemná práce 17. února ( sin (π 2 arctann) lim + 3. n 2. π 2arctan n. = lim + 3.
Jednotlivé kroky při výpočtech stručně ale co nejpřesněji odůvodněte. Pokud používáte nějaké tvrzení nezapomeňte ověřit splnění předpokladů. Jméno a příjmení: Skupina: Příklad 3 Celkem bodů Bodů 5 7 0
Vícearcsin x 2 dx. x dx 4 x 2 ln 2 x + 24 x ln 2 x + 9x dx.
Neurčitý integrál arcsin. Integrál najdeme integrací per partes. Pomocí této metody dostaneme arcsin = arcsin 4 = arcsin + 4 + C, (,. ln + 4 ln + 9. Tento integrál lze převést substitucí ln = y na integrál
VíceDerivace funkce. Přednáška MATEMATIKA č Jiří Neubauer
Přednáška MATEMATIKA č. 9-11 Katedra ekonometrie FEM UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz Šotová, J., Doudová, L. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné Motivační příklady
VíceMatematika 1. 1 Derivace. 2 Vlastnosti a použití. 3. přednáška ( ) Matematika 1 1 / 16
Matematika 1 3. přednáška 1 Derivace 2 Vlastnosti a použití 3. přednáška 6.10.2009) Matematika 1 1 / 16 1. zápočtový test již během 2 týdnů. Je nutné se něj registrovat přes webové rozhraní na https://amos.fsv.cvut.cz.
VícePříklad 1 ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z M1A ČÁST 6
Příklad 1 Vyšetřete průběh funkce: a) = b) = c) = d) =ln1+ e) =ln f) = Poznámka K vyšetřování průběhu funkce použijeme postup uvedený v zadání. Některé kroky nejsou již tak detailní, všechny by ale měly
VíceKapitola 4: Průběh funkce 1/11
Kapitola 4: Průběh funkce 1/11 Funkce monotonní 2/11 Věta: Necht je f spojitá a má derivaci na intervalu I. Potom platí (i) Je-li f (x) > 0 na I, je f rostoucí na I. (ii) Je-li f (x) 0 na I, je f neklesající
VíceNMAF 051, ZS Zkoušková písemná práce 4. února 2009
Jednotlivé kroky při výpočtech stručně, ale co nejpřesněji odůvodněte. Pokud používáte nějaké tvrzení, nezapomeňte ověřit splnění předpokladů. Jméno a příjmení: Skupina: Příklad 4 Celkem bodů Bodů 4 4
Více{ } Ox ( 0) 4.2. Konvexnost, konkávnost, inflexe. Definice Obr. 52. Poznámka. nad tečnou
Konvenost, konkávnost, inflee 4.. Konvenost, konkávnost, inflee Definice 4... Nechť eistuje f ( ), D f. Řekneme, že funkce f ( ) je v bodě konkávní, jestliže eistuje { } O ( ) tak, že platí D : O( )\ f(
VíceAsymptoty funkce. 5,8 5,98 5,998 5,9998 nelze 6,0002 6,002 6,02 6, nelze
Asymptoty funkce 1 Asymptota bez směrnice 6 Máme dvě funkce f 1 : y a 3 f : y 3 Člověk nemusí být matematický génius, aby pochopil, že do předpisu obou funkcí lze dosadit za libovolné reálné číslo kromě
VíceVypracoval: Mgr. Lukáš Bičík TENTO PROJEKT JE SPOLUFINANCOVÁN EVROPSKÝM SOCIÁLNÍM FONDEM A STÁTNÍM ROZPOČTEM ČESKÉ REPUBLIKY
Průběh funkce Vypracoval: Mgr. Lukáš Bičík TENTO PROJEKT JE SPOLUFINANCOVÁN EVROPSKÝM SOCIÁLNÍM FONDEM A STÁTNÍM ROZPOČTEM ČESKÉ REPUBLIKY Průběh funkce Průběhem funkce rozumíme určení vlastností funkce
Více30. listopadu Derivace. VŠB-TU Ostrava. Dostupné: s1a64/cd/index.htm.
KMA/MAT1 Přednáška a cvičení č. 11 30. listopadu 2017 [KS] Jaromír Kuben Petra Šarmanová: Diferenciální počet funkcí jedné proměnné. VŠB-TU Ostrava. Dostupné: http://homel.vsb.cz/ s1a64/cd/inde.htm. 1
VíceDerivace funkce. prof. RNDr. Čestmír Burdík DrCs. prof. Ing. Edita Pelantová CSc. Katedra matematiky BI-ZMA ZS 2009/2010
Derivace funkce prof. RNDr. Čestmír Burdík DrCs. prof. Ing. Edita Pelantová CSc. Katedra matematiky České vysoké učení technické v Praze c Čestmír Burdík, Edita Pelantová 2009 Základy matematické analýzy
Více5. Limita funkce a spojitost strana 1/5 2018/KMA/MA1/přednášky. Definice 5.1. Mějme funkci f : D R a bod x 0 R.
5. Limita funkce a spojitost strana 1/5 2018/KMA/MA1/přednášky Definice 5.1. Mějme funkci f : D R a bod 0 R. a) Číslo c R je částečná ita funkce f v bodě 0, pokud eistuje posloupnost ( n ) taková, že platí
VíceAplikace derivace ( )
Aplikace derivace Mezi aplikace počítáme:. LHospitalovo pravidlo. Etrémy funkce (růst a pokles funkce) 3. Inflee (konávnost a konvenost). Asymptoty funkce (se i bez směrnice) 5. Průběh funkce 6. Ekonomické
VíceSpojitost a limita funkce, limita posloupnosti
Spojitost a ita funkce, ita posloupnosti Spojitost funkce Limita funkcí Limita posloupností. p.1/14 Spojitost funkce Příklad 2.1.1 Vyšetřete spojitost funkce x sin 1 pro x 0, f(x) = x 1 pro x =0. Příklad
VíceText m ºe být postupn upravován a dopl ován. Datum poslední úpravy najdete u odkazu na staºení souboru. Veronika Sobotíková
Tento text není samostatným studijním materiálem. Jde jen o prezentaci promítanou na p edná²kách, kde k ní p idávám slovní komentá. N které d leºité ásti látky pí²u pouze na tabuli a nejsou zde obsaºeny.
VíceDERIVACE FUNKCE, L HOSPITALOVO PRAVIDLO
MENDELOVA UNIVERZITA V BRNĚ LDF MT MATEMATIKA DERIVACE FUNKCE, L HOSPITALOVO PRAVIDLO Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakult MENDELU v Brně (LDF) s ohledem
VíceFunkce a limita. Petr Hasil. Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF)
Funkce a limita Petr Hasil Přednáška z matematiky Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipĺıny společného základu
VíceLimita a spojitost funkce
Limita a spojitost funkce Základ všší matematik Dana Říhová Mendelu Brno Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakult MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na disciplin společného základu
Více= 2x + y, = 2y + x 3. 2x + y = 0, x + 2y = 3,
V. Lokální extrémy. Příklad 1: Určete lokální extrémy zadané funkce. 1. f(x, y) = x 2 + y 2 + xy 3y 2. Definičním oborem funkce je množina Df = R 2 a funkce f má spojité parciální = 2x + y, = 2y + x 3.
Více30849 30849 3 30849 4 30849 5 30849 6 0473 30849 7 ÄÄÄÄ ÄÄÄÄ ÄÄÄÄ 04735 8 30849 30849 9 04735 ÄÄÄÄÄ ÄÄÄÄÄ ÄÄÄÄÄ ÄÄÄÄÄ ÄÄÄÄÄ 30849 0 0473 0473 04733 04736 3 3 04734 30849 04736 3 3 3 0479 30849 04733 30849
VíceMatematika 1 pro PEF PaE
Derivace funkcí jedné proměnné / 9 Matematika pro PEF PaE 4. Derivace funkcí jedné proměnné Přemysl Jedlička Katedra matematiky, TF ČZU Derivace funkcí jedné proměnné Nejjednodušší derivace 2 / 9 Derivace
VíceTest M1-ZS12-2 M1-ZS12-2/1. Příklad 1 Najděte tečnu grafu funkce f x 2 x 6 3 x 2, která je kolmá na přímku p :2x y 3 0.
Test M-ZS- M-ZS-/ Příklad Najděte tečnu grafu funkce f x x 6 3 x, která je kolmá na přímku p :x y 3 0. Zřejmě D f R. Přímka p má směrnici, tečna na ní kolmá má proto směrnici. Protože směrnice tečny ke
VíceÚvodní informace. 17. února 2018
Úvodní informace Funkce více proměnných Přednáška první 17. února 2018 Obsah 1 Úvodní informace. 2 Funkce více proměnných Definiční obor Limita a spojitost Derivace, diferencovatelnost, diferenciál Úvodní
Více7.1 Extrémy a monotonie
KAPITOLA 7: Průběh funkce [ZMA13-P38] 7.1 Extrémy a monotonie Řekneme, že funkce f nabývá na množině M Df svého globálního maxima globálního minima A v bodě x 0, jestliže x 0 M, fx 0 = A a pro každé x
VíceMATEMATIKA I - vybrané úlohy ze zkoušek v letech
MATEMATIKA I - vybrané úlohy ze zkoušek v letech 008 0 doplněné o další úlohy. část DIFERENCIÁLNÍ POČET funkcí jedné proměnné Další část ( integrální počet) bude vydána na konci listopadu 9. 9. 0 Případné
VíceMatematika I A ukázkový test 1 pro 2011/2012. x + y + 3z = 1 (2a 1)x + (a + 1)y + z = 1 a
Matematika I A ukázkový test 1 pro 2011/2012 1. Je dána soustava rovnic s parametrem a R x y + z = 1 a) Napište Frobeniovu větu. x + y + 3z = 1 (2a 1)x + (a + 1)y + z = 1 a b) Vyšetřete počet řešení soustavy
VíceFunkce. RNDR. Yvetta Bartáková. Gymnázium, SOŠ a VOŠ Ledeč nad Sázavou
Funkce RNDR. Yvetta Bartáková Gmnázium, SOŠ a VOŠ Ledeč nad Sázavou Derivace funkce VY INOVACE_05 0_M Gmnázium, SOŠ a VOŠ Ledeč nad Sázavou Definice Mějme funkci f definovanou v okolí bodu 0. Eistuje-li
Více2. FUNKCE JEDNÉ PROMĚNNÉ
2. FUNKCE JEDNÉ PROMĚNNÉ Funkce 2.. Definice Říkáme, že na množině D reálných čísel je definována funkce f jedné reálné proměnné, je-li dán předpis, podle kterého je ke každému číslu x D přiřazeno právě
VíceDiferenciální počet funkcí jedné proměnné
Diferenciální počet funkcí jedné proměnné 1 4. Derivace funkce 4.3. Průběh funkce 2 Pro přesné určení průběhu grafu funkce je třeba určit bližší vlastnosti funkce. Monotónnost funkce Funkce monotónní =
VíceOznačení derivace čárkami, resp. římskými číslicemi, volíme při nižším řádu derivace, jinak užíváme horní index v závorce f (5), f (6),... x c g (x).
9 Využití derivace 9.1 Derivace vyšších řádů Definice 1. Nechť funkce má derivaci v nějakém okolí bodu c D(f). Nechť funkce ϕ() =f () máderivacivboděc. Pak hodnotu ϕ (c) nazýváme derivací 2. řádu (2. derivací)
VíceCyklometrické funkce
4 Cyklometrické funkce V minulé kapitole jsme zkoumali první funkci inverzní ke funkci goniometrické (tyto funkce se nazývají cyklometrické) funkci y = arcsin x (inverzní k funkci y = sin x ) Př: Nakresli
VíceWikiSkriptum Ing. Radek Fučík, Ph.D. verze: 4. ledna 2017
Matematika I - Sbírka příkladů WikiSkriptum Ing. Radek Fučík, Ph.D. verze: 4. ledna 7 Obsah Limity a spojitost. l Hôpitalovo pravidlo zakázáno............................ 4. l Hôpitalovo pravidlo povoleno............................
VíceŘešení: Odmocninu lze vždy vyjádřit jako mocninu se zlomkovým exponentem. A pro práci s mocninami = = = 2 0 = 1.
Varianta A Př.. Zloek 3 3 je roven číslu: a), b) 3, c), d), e) žádná z předchozích odpovědí není Řešení: Odocninu lze vždy vyjádřit jako ocninu se zlokový exponente. A pro práci s ocninai již áe jednoduchá
VíceTento text se snaží být takovým atlasem elementárních funkcí podobně jako atlas hub, ptáků či květin.
A T L A S F U N K C Í Každý absolvent(ka) gynázia či střední odborné školy zaěřené na techniku by si ěl(a) do života po aturitě odnést povědoí o eleentárních funkcích, jejich seznau a vlastností jednotlivých
Více8. Elementární funkce. I. Exponenciální funkce Definice: Pro komplexní hodnoty z definujeme exponenciální funkci předpisem ( ) e z z k k!.
8. Elementární funkce I. Exponenciální funkce Definice: Pro komplexní hodnoty z definujeme exponenciální funkci předpisem ( ) e z z k = k!. Vlastnosti exponenciální funkce: a) řada ( ) konverguje absolutně
VíceMatematická analýza 1, příklady na procvičení (Josef Tkadlec, )
Matematická analýza, příklady na procvičení (Josef Tkadlec, 6.. 7) Reálná čísla. Určete maximum, minimum, supremum a infimum následujících množin: Z; b) M = (, ), 5 ; c) M =, Q; d) M = { + n : n N}; e)
VíceNeparametrické testy. 1. Úvod. 2. Medián
Neparametrické testy. Úvod Testy hypotéz o parametrech základních souborů, které jsme zatím poznali, jsou založeny na předpokladu, že tyto soubory mají normální rozdělení pravděpodobnosti, popřípadě i
VíceDefinice derivace v bodě
Definice derivace v bodě tgϕ = f ( ) f () f () : = tgϕ = lim f f () tgϕ = f f () Obecně: f f f ( ) ( ) : = lim f ( + h) f f : = lim h h Derivace zleva (zprava): f ( ) : = lim f f ( ) f ( ) : = lim + +
VícePřednáška z MA. Michal Tuláček 16. prosince 2004. 1 IV.7 Průběhy funkce 3. 2 Vyšetřování průběhu funkce- KUCHAŘKA 4
Přednáška z MA Michal Tuláček 6. prosince 004 Obsah IV.7 Průběhy funkce 3 Vyšetřování průběhu funkce- KUCHAŘKA 4 3 Vzorový příklad na průběh funkce ze cvičení 4 4 Příkladynadobumezikapremahusou 7 Definice:
Víceprof. RNDr. Čestmír Burdík DrCs. prof. Ing. Edita Pelantová CSc. BI-ZMA ZS 2009/2010
Věty o přírustku funkce prof. RNDr. Čestmír Burdík DrCs. prof. Ing. Edita Pelantová CSc. Katedra matematiky České vysoké učení technické v Praze c Čestmír Burdík, Edita Pelantová 2009 Základy matematické
VíceKapitola 2: Spojitost a limita funkce 1/20
Kapitola 2: Spojitost a limita funkce 1/20 Okolí bodu 2/20 Značení: a R, ε > 0 O ε (a) = (a ε, a + ε) ε-ové okolí bodu a O + ε (a) = a, a + ε) pravé okolí, O ε (a) = (a ε, a levé okolí P ε (a) = O ε (a)
VícePojem limity funkce charakterizuje chování funkce v blízkém okolí libovolného bodu, tedy i těch bodů, ve kterých funkce není definovaná. platí. < ε.
LIMITA FUNKCE Pojem ity unkce charakterizuje chování unkce v blízkém okolí libovolného bodu, tedy i těch bodů, ve kterých unkce není deinovaná Zápis ( ) L Přesněji to vyjadřuje deinice: znamená, že pro
Více1 L Hospitalovo pravidlo
L Hospitalovo pravidlo Věta.. Bud R R R {± }). Necht je splněna jedna z podmínek i) ii) f) g), g). Eistuje-li vlastní nebo nevlastní) f ) g ) Obdobné tvrzení platí i pro jednostranné ity., pak eistuje
VíceNMAF 051, ZS Zkoušková písemná práce 16. ledna 2009
Jednotlivé kroky při výpočtech stručně, ale co nejpřesněji odůvodněte. Pokud používáte nějaké tvrzení, nezapomeňte ověřit splnění předpokladů. Jméno a příjmení: Skupina: Příklad 3 5 Celkem bodů Bodů 8
VícePro jakou hodnotu parametru α jsou zadané vektory kolmé? (Návod: Vektory jsou kolmé, je-li jejich skalární součin roven nule.)
Vybrané příklady ze skript J. Neustupa, S. Kračmar: Sbírka příkladů z Matematiky I I. LINEÁRNÍ ALGEBRA I.. Vektory, vektorové prostory Jsou zadány vektory u, v, w a reálná čísla α, β, γ. Vypočítejte vektor
VíceMatematika I A ukázkový test 1 pro 2014/2015
Matematika I A ukázkový test 1 pro 2014/2015 1. Je dána soustava rovnic s parametrem a R x y + z = 1 x + y + 3z = 1 (2a 1)x + (a + 1)y + z = 1 a a) Napište Frobeniovu větu (existence i počet řešení). b)
VíceZimní semestr akademického roku 2014/ prosince 2014
Cvičení k předmětu BI-ZMA Tomáš Kalvoda Katedra aplikované matematiky FIT ČVUT Matěj Tušek Katedra matematiky FJFI ČVUT Obsah Cvičení Zimní semestr akademického roku 2014/2015 7. prosince 2014 Předmluva
VíceObsah. Aplikovaná matematika I. Gottfried Wilhelm Leibniz. Základní vlastnosti a vzorce
Neurčitý integrál Aplikovaná matematika I Dana Říhová Mendelu Brno Obsah Primitivní funkce, neurčitý integrál Základní vlastnosti a vzorce Základní integrační metody Úpravy integrandu Integrace racionálních
Více1. Funkce dvou a více proměnných. Úvod, limita a spojitost. Definiční obor, obor hodnot a vrstevnice grafu
22- a3b2/df.te. Funkce dvou a více proměnných. Úvod, ita a spojitost. Definiční obor, obor hodnot a vrstevnice grafu. Určete definiční obor funkce a proveďte klasifikaci bodů z R 2 vzhledem k a rozhodněte
VíceNMAF 051, ZS Zkoušková písemná práce 26. ledna x. x 1 + x dx. q 1. u = x = 1 u2. = 1 u. u 2 (1 + u 2 ) (1 u 2 du = 2.
Jednotlivé kroky při výpočtech stručně, ale co nejpřesněji odůvodněte Pokud používáte nějaké tvrzení, nezapomeňte ověřit splnění předpokladů Jméno a příjmení: Skupina: Příklad 4 Celkem bodů Bodů 5 6 8
Více6. Bez použití funkcí min a max zapište formulí predikátového počtu tvrzení, že každá množina
Instrukce: Příklady řešte výhradně elementárně, bez použití nástrojů z diferenciálního a integrálního počtu. Je-li součástí řešení úlohy podmnožina reálných čísel, vyjádřete ji jako disjunktní sjednocení
Více1 LIMITA FUNKCE Definice funkce. Pravidlo f, které každému x z množiny D přiřazuje právě jedno y z množiny H se nazývá funkce proměnné x.
1 LIMITA FUNKCE 1. 1 Definice funkce Pravidlo f, které každému z množiny D přiřazuje právě jedno y z množiny H se nazývá funkce proměnné. Píšeme y f ( ) Někdy používáme i jiná písmena argument (nezávisle
VícePavlína Matysová. 5. listopadu 2018
Soubor řešených úloh Vyšetřování průběhu funkce Pavlína Matysová 5. listopadu 018 1 Soubor řešených úloh Tento text obsahuje 7 úloh na téma vyšetřování průběhu funkce. Každé úloha je řešena dvěma způsoby
Více3. ledna list a odevzdejte tento zvláštní list (listy) i všechny ostatní listy, které jste při řešení
Jméno a příjmení: Písemná část zkoušky z předmětu AN1E 3. ledna 2019 Skutečná písemná práce bude obsahovat 5 příkladů. Zvolte si pořadí, v jakém budete příklady řešit. Vaše řešení nemusí být kulturně zapsané,
Více. (x + 1) 2 rostoucí v intervalech (, 1) a. ) a ( 2, + ) ; rostoucí v intervalu ( 7, 2) ; rostoucí v intervalu,
Příklad Najděte intervaly monotonie a lokální etrémy funkce f() = +. ( + ) ( rostoucí v intervalech (, ) a 7, + ) klesající v intervalu ( ), 7 5 5 v bodě = 7 5 je lokální minimum 4. Najděte intervaly monotonie
Více( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Užití derivací. x, x a, b : x x f x f x MATA P12. Funkce rostoucí a klesající: Definice rostoucí a klesající funkce
MATA P1 Užití derivací Funkce rostoucí a klesající: Deinice rostoucí a klesající unkce Funkce je rostoucí v intervalu (a,b), právě když platí: ( ) ( ) ( ), a, b : 1 1 1 Funkce je klesající v intervalu
VíceLimita a spojitost funkce
Přednáška 5 Limita a spojitost funkce V této přednášce se konečně dostaneme k diferenciálnímu počtu funkce jedné reálné proměnné. Diferenciální počet se v podstatě zabývá lokálním chováním funkce v daném
VíceDerivace. Petr Hasil. Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF)
Petr Hasil Přednáška z matematiky Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipĺıny společného základu (reg. č. CZ.1.07/2.2.00/28.0021)
VíceMatematická analýza I
Matematická analýza I Cvičení 1 (4. 10. 2016) Definice absolutní hodnoty. Řešení nerovnic s absolutními hodnotami. Geometrická interpretace řešení nerovnice x + 1 < 3. Komplexní čísla a operace s nimi,
VíceFunkce zadané implicitně
Kapitola 8 Funkce zadané implicitně Začneme několika příklady. Prvním je známá rovnice pro jednotkovou kružnici x 2 + y 2 1 = 0. Tato rovnice popisuje křivku, kterou si však nelze představit jako graf
VíceVypracoval: Mgr. Lukáš Bičík TENTO PROJEKT JE SPOLUFINANCOVÁN EVROPSKÝM SOCIÁLNÍM FONDEM A STÁTNÍM ROZPOČTEM ČESKÉ REPUBLIKY
Vlastnosti funkcí Vypracoval: Mgr. Lukáš Bičík TENTO PROJEKT JE SPOLUFINANCOVÁN EVROPSKÝM SOCIÁLNÍM FONDEM A STÁTNÍM ROZPOČTEM ČESKÉ REPUBLIKY Definiční obor Definiční obor funkce je množina všech čísel,
VíceDERIVACE FUNKCE, L HOSPITALOVO PRAVIDLO
MENDELOVA UNIVERZITA V BRNĚ LDF MT MATEMATIKA DERIVACE FUNKCE, L HOSPITALOVO PRAVIDLO Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem
VíceDiferenciální počet funkcí více proměnných
Vysoké učení technické v Brně Fakulta strojního inženýrství Diferenciální počet funkcí více proměnných Doc RNDr Miroslav Doupovec, CSc Neřešené příklady Matematika II OBSAH Obsah I Diferenciální počet
VíceZlín, 23. října 2011
(. -. lekce) Sylva Potůčková, Dana Stesková, Lubomír Sedláček Gymnázium a Jazyková škola s právem státní jazykové zkoušky Zlín Zlín, 3. října 0 Postup při vyšetřování průběhu funkce. Definiční obor funkce,
Více3. LIMITA A SPOJITOST FUNKCE
3. LIMITA A SPOJITOST FUNKCE Okolí reálného čísla a 3.1. Deinice Okolím reálného čísla a nazýváme otevřený interval a, a, kde je libovolné kladné číslo. Je to tedy množina reálných čísel x, která vyhovují
VíceMocninná funkce: Příklad 1
Mocninná funkce: Příklad 1 Zadání: Vyšetřete průběh mocninné funkce. Řešení: 1. Jako první si určíme definiční obor: D(f)=R. 2. Nyní si spočítáme zda je daná funkce sudá nebo lichá: Daná funkce je lichá.
VíceCyklometrické funkce
4..7 Cyklometrické funkce Předpoklady: 46 Cyklometrické funkce: funkce inverzní k funkcím goniometrickým z minulé hodiny známe první cyklometrickou funkci y = arcsin x (inverzní k funkci y = sin x ). Př.
Více2. spojitost (7. cvičení) 3. sudost/lichost, periodicita (3. cvičení) 4. první derivace, stacionární body, intervaly monotonie (10.
MA. cvičení průběh funkce Lukáš Pospíšil,202 Průběh funkce Pod úkolem vyšetřete průběh funkce budeme rozumět nalezení všech kvalitativních vlastností zadané funkce - tedy bude potřeba zjistit o funkci
VíceTeorie. Hinty. kunck6am
kytaristka@gmail.com www.natur.cuni.cz/ kunck6am 2. cvičení Teorie Věta (Aritmetika derivací). Necht a R a necht f a g jsou funkce definované na nějakém okolí bodu a. Necht existují f (a) R a g (a) R.
Víceln(1 + 3x) lim lim lim ln(x 2 x + 1) lim ln(x 10 + x + 1) = ln x 2 (1 1 x + 1 x 2 ) ln x 10 (1 + 1 x = lim 2 ln x + ln(1 1 x 2 + ln(1 1 x
6. cvičení http://www.karlin.mff.cuni.cz/ kuncova/ ktaristka@gmail.com Příklad. a) b) c) ln + 3x) x x ln 3 ) x x x e 2 e 2x arccos x d) Vtkněte nejrchleji rostoucí člen z logaritmu lnx 2 x + ) lnx 0 +
VíceVýznam a výpočet derivace funkce a její užití
OPAKOVÁNÍ ZÁKLADŮ MATEMATIKY Metodický list č. 1 Význam a výpočet derivace funkce a její užití 1. dílčí téma: Výpočet derivace přímo z definice a pomocí základních vzorců. K tomuto tématu je třeba zopakovat
VícePřijímací zkouška pro nav. magister. studium, obor učitelství F-M, 2012, varianta A
Přijímací zkouška pro nav. magister. studium, obor učitelství F-M, 1, varianta A Příklad 1 (5 bodů) Koule o poloměru R1 cm leží na vodorovné rovině. Z jejího nejvyššího bodu vypustíme s nulovou počáteční
VíceText může být postupně upravován a doplňován. Datum poslední úpravy najdete u odkazu na stažení souboru. Veronika Sobotíková
Tento text není samostatným studijním materiálem. Jde jen o prezentaci promítanou na přednáškách, kde k ní přidávám slovní komentář. Některé důležité části látky píšu pouze na tabuli a nejsou zde obsaženy.
VíceImplicitní funkce. 2 + arcsin(x + y2 ) = arccos(y + x 2 ), [0, 0] , 5] stacionární bod?
Implicitní funkce V následujících úlohách ukažte, že uvedená rovnice určuje v jistém okolí daného bodu [ 0, y 0 ] implicitně zadanou funkci proměnné. Spočtěte první a druhou derivaci této funkce v bodě
Více9. Limita a spojitost
OKOLÍ BODU, VNITŘNÍ A HRANIČNÍ BOD Okolí bodu a je libovolný interval (a r, a + r), kde r > 0; značí se O(a, r), případně jen O(a) (obr. 9..). Číslo r se nazývá poloměr okolí. O(a, r) 0 a r a a + r Obrázek
Více1 1 x. (arcsinx) = (arccosx) = (arctanx) = x 2. (arcctg) = (e x ) = e x
.cvičení 0..009 Teorie Definice. Necht f je reálná funkce a a R. Jestliže eistuje lim h 0 f(a + h) f(a), h pak tuto limitu nazýváme derivací funkce f v bodě a. Značíme f f(a + h) f(a) (a) := lim. h 0 h
VíceObsah. Derivace funkce. Petr Hasil. L Hospitalovo pravidlo. Konvexnost, konkávnost a inflexní body Asymptoty
Petr Hasil Přednáška z Matematické analýzy I c Petr Hasil (MUNI) MA I (M0) / 46 Obsah Základní vlastnosti derivace Geometrický význam derivace Věty o střední hodnotě L Hospitalovo pravidlo 2 Etrémy Konvenost,
Více