MATEMATICKÁ STATISTIKA 1 ( )

Transkript

1 MATEMATICKÁ STATISTIKA 1 ( ) Zápočtové domácí úkoly (společné pro obě paralelky) Obecné pokyny q q Úlohy se odevzdávají vždy na začátku Vašeho cvičení (Vašemu cvičícímu, případně jeho záskoku). Úlohy není zapotřebí psát v TeXu či jiném editoru. Stačí, když budou čitelné. Je přípustné kombinovat psaný text a vytištěný obrázek. q Odevzdání řešení úlohy em je možné pouze ve formátu pdf. Soubory posílané em, prosím, pojmenujte svým příjmením a číslem úlohy, např. novak-2.pdf. Do předmětu (Subject) u napište NMSA331. q Pokud úloha vyžaduje číslo Vaší studentské karty, uved te na začátku úlohy také toto číslo (a samozřejmě také svoje jméno!). q Plagiátorství zjištěné v kterémkoliv z dodaných souborů bude mít za následek nulový počet bodů. Změna formátování, resp. překlad z jednoho jazyka do druhého nevede k práci, kterou nelze považovat za plagiát! V případě obdržení dvou prací, z nichž jednu lze považovat za plagiát, si cvičící vyhrazuje právo nezjišt ovat, kdo je primárním a kdo sekundárním autorem. q Okopírování výstupu z programu R nelze považovat za řešení! R je pouze výpočetní prostředek, který spočítá čísla a případně nakreslí obrázky, které používáte ve Vašem textu. q Pokud není řečené jinak, statistické testy provádějte na 5% hladině významnosti. q Pokud není řečené jinak, intervalové odhady konstruujte se spolehlivostí 95 %. q Při prezentaci výsledků používejte pouze rozumný počet desetinných míst. q Interpretace výsledků statistických procedur musí být srozumitelná a správná. Je třeba rozlišovat mezi tím, co je a co není náhodné (v klasické statistické indukci). Náhodná jsou data (která si představujeme jako realizace náhodných veličin) a vše, co je od nich odvozeno (testová statistika, rozhodnutí o platnosti nulové hypotézy, P-hodnota, meze intervalového odhadu). Skutečnost, že hypotéza platí však náhodná není. Stejně tak není náhodná skutečná hodnota parametru. Není tedy správné například říkat, že: Pravděpodobnost, že nulová hypotéza platí, je menší než 5 %. q Méně může znamenat více. Při psaní zpráv se omezte na to podstatné. Není cílem ukázat, co všechno umíte spočítat. Naopak čtenáři Vašich zpráv ocení, že je nezahlcujete čísly, která nejsou pro daný problém nezbytná. Podobně nezahlcujte zbytečně čtenáře grafy a tabulkami. q Nepouštějte se do postupů, kterým nerozumíte! Nepište věty, kterým nerozumíte! I když máte pocit, že něco takového se říkalo na přednášce nebo cvičení. Lépe je napsat toho méně a jenom to, čemu rozumím, než psát nesmysly. 1

2 Postup U každé úlohy dbejte na následující (nemusí to být v uvedeném pořadí): (a) Zformulujte vhodný pravděpodobnostní model a následné statistické hypotézy. (b) Vytvořte (alespoň jednu) tabulkou, která vhodně numericky shrnuje data tak, aby bylo možné si z uvedených čísel udělat představu o problému, který nás zajímá. (c) Nakreslete (alespoň jeden) vhodný obrázek, pomocí něhož si lze udělat představu o platnosti testovaných hypotéz. Obrázek okomentujte. (d) Uved te metodu (včetně vzorce), pomocí níž testujete. (e) Uved te rozdělení testové statistiky za platnosti nulové hypotézy (jde o přesné či asymptotické rozdělení?). (f) Uved te hodnotu testové statistiky, (jde o přesné či asymptotické rozdělení?), P-hodnotu testu (a vzorec, jak byla P-hodnota spočtena). (g) Závěr vyjádřete slovně ve formě srozumitelné pro nestatistika (zejména pak bez použití spojení typu (ne)zamítáme H 0 ). Uvědomte si, že pokud zamítnete nějaké tvrzení, tak klienta zpravidla zajímá, co tedy místo zamítnutého tvrzení platí. Tedy pokud např. zamítnete hypotézu o tom, že střední hodnota je nějaké µ 0, tak klienta zpravidla zajímá, jestli je tedy střední hodnota větší nebo menší než µ 0. Podobně, pokud zamítnete nezávislost, tak klienta zajímá, jak by závislost veličin mohla vypadat a jak by se dala charakterizovat. (h) Zamyslete se nad daty a pokuste se zhodnotit, v čem by mohly Váš model použitý v (a) a předpoklady metody použité v (c) pokulhávat za realitou a jak závažné důsledky by to mohlo mít. Případně se pokuste o alternativní řešení. Pokud např. předpokládáte normální rozdělení, tak zhodnot te, jak moc by vadilo, pokud by tento předpoklad nebyl splněn. 2

3 Úloha č. 1 (do nebo ) Načtěte si data ze cvičení Hosi.RData pomocí (modifikace) následujícího příkazu. load('hosi.rdata') Znaky AAA v příkazu set.seed nahrad te číslem své studentské karty a spust te následující příkazy. n <- sample(50:150, size=1); X <- sample(hosi0$por.del, size=n); Proměnná X nyní obsahuje Vaše data o rozsahu n o porodních délkách chlapců. Úkoly: (i) Popište data X pomocí vhodných charakteristik polohy a variability. (ii) Váš právě narozený potomek měří 47 cm. Na základě dat X kvantifikujte, jak moc je velký (resp. malý) ve srovnání s jinými novorozenci. (iii) Často se tvrdí, že průměrná délka novorozence (chlapce) je 51 cm. Jsou data X v souladu s tímto tvrzením? Jaká tvrzení o průměrné délce novorozence by byla v souladu s daty X? Úloha č. 2 (do nebo ) Uvažujte náhodný výběr X 1,..., X n z exponenciálního rozdělení s hustotou f(x) = λe λx I{x > 0}, kde λ > 0. Pro každý z následujících jednovýběrových testů - t-test, znaménkový test, Wilcoxonův test - odvod te, co je zde testovaný parametr (jako funkce λ). Odpověd by tedy měla být, např. že t-test testuje, že λ 6 + 2λ se rovná dané hodnotě. Nakreslete tyto parametrické funkce do jednoho obrázku a porovnejte. Jednovýběrový Wilcoxonův test má sice v předpokladech symetrii rozdělení, ale v tomto úkolu zkoumáme, co se děje, pokud ho používáme na náhodný výběr, který není ze symetrického rozdělení. Může se Vám bude hodit neúplná gamma funkce Γ(a, t) = t 0 xa 1 e x dx. Pokud budete pro tvorbu obrázků využívat program R, tak doporučujeme věnovat pozornost příkazu qgamma. Podobně jako v Úloze č.1 načtěte soubor Hosi.RData. Dále znaky AAA v příkazu set.seed nahrad te číslem své studentské karty a spust te následující příkazy. n <- sample(150:250, size=1); X <- sample(hosi0$delka, size=n); Proměnná X nyní obsahuje Vaše data o rozsahu n o délkách chlapců ve 12 měsících. Dle růstových grafů zveřejněných Státním zdravotním ústavem je 90%-ní kvantil chlapců ve 12 měsících 80,8 cm. Jsou data X v souladu s tímto tvrzením? 3

4 Úloha č. 3 (do nebo ) Podobně jako na 7. cvičení načtěte soubor Kojeni.csv. Stejně jako v Úloze č. 1 znaky AAA v příkazu set.seed nahrad te číslem své studentské karty a spust te následující příkazy. n <- sample(70:90, size=1); indexy <- sample(1:99, size=n); subkojeni <- Kojeni[indexy,]; Na základě dat subkojeni odpovězte následující otázky. (i) Souvisí spolu výška matky a výška otce? (ii) Dá se říci, že otcové jsou v průměru alespoň o 10 cm vyšší než matky? (iii) Dá se říci, že většina otců je alespoň o 10 cm vyšší než matky? Úloha č. 4 (do nebo ) Stejně jako v Úloze č. 3 si vyrobte data subkojeni. Dá se na základě dat subkojeni tvrdit, že to, zda dítě bylo plánováno nebo ne, souvisí s tím, zda matka má alespoň maturitní vzdělání nebo je bez maturity? Najděte vhodné grafické/tabulkové shrnutí, zdůvodněte volbu testu a své rozhodnutí o nulové a alternativní hypotéze. Pomocí následujícího příkazu si načtěte následující tabulka, která zachycuje barvu očí otců a jejich synů. barva.oci <- as.table( matrix(c(194,83,25,56,70,124,34,36,41,41,55,43,30,36,23,109), nrow = 4, ncol = 4, dimnames = list(syn=c("sm", "MZ_S", "TS_SH", "TH"), otec=c("sm", "MZ_S", "TS_SH", "TH")))); Zkratky mají následující význam: SM (světle modré), MZ_S (modro-zelené až šedé), TS_SH (tmavě šedé až světle hnědé), TH (tmavě hnědé). Zjistěte, zda jsou naše data v souladu s tvrzením, že zastoupení různých barev očí se v populaci v čase nemění. Úloha č. 5 (do nebo ) Předpokládejte, že sledujete nezávislé stejně rozdělené náhodné vektory (X 1, Y 1 ) T,..., (X n, Y n ) T s nenulovou a konečnou varianční maticí. Předpokládejme, že místo párového t-testu použijte 4

5 testovou statistiku Welchova t-testu, tj. S 2 n,x n T W n = X n Y n + S2 n,y n, kde X n, S 2 n,x je výběrový průměr a výběrový rozptyl spočtený z veličin X 1,..., X n a podobně Y n, S 2 n,y. Za předpokladu, že E X 1 = E Y 1 odvod te asymptotické rozdělení (pro n ) statistiky T W n. Za jakých předpokladů je toto limitní rozdělení normované normální, tj. N(0, 1)? Stejně jako v Úloze č. 3 si vyrobte data subkojeni. Dá se na základě dat subkojeni tvrdit, že délka kojení v prvních 24 týdnech po porodu souvisí s tím, zda dítě bylo či nebylo plánováno? Pokud ano, pokuste se tuto souvislost nějak blíže kvantifikovat. Úloha č. 6 (do nebo ) Předpokládejte, že máte k dispozici data o pohlaví novorozenců narozených v roce 2012 v České republice a ve Slovenské republice. Vaším úkolem je testovat hypotézu o tom, zda pohlaví souvisí s místem narození. Teoreticky porovnejte (Wilsonův asymptotický) test (implementovaný ve funkci prop.test) o shodě parametrů binomického rozdělení s chí-kvadrát testem nezávislosti ve čtyřpolní kontingenční tabulce: napište předpoklady testu, hypotézu a alternativu, testovou statistiku, kritický obor a popište rozdíly, případně zdůvodněte, proč jde o stejný test. Stejně jako v Úloze č. 3 si vyrobte data subkojeni. Tentokrát nás bude zajímat vztah toho, zda dítě bylo ve 24. týdnu kojeno s tím, zda bylo plánováno. Rozhodněte, zda pravděpodobnost toho, že plánované dítě bude ve 24. týdnu kojeno, je alespoň o 10 % vyšší, než u neplánované dítěte. Náhradní domácí úloha (do , 12:00 (poledne)) Hráči JA, DH a MO postupně zkoušeli šestihrannou hrací kostku. Nejdříve házel JA. Hodil 148-krát a padla mu 25-krát jednička, 35-krát dvojka, 24-krát trojka, 19-krát čtyřka, 21-krát pětka a 24-krát šestka. Potom házel DH 84-krát a padla mu 9-krát jednička, 18-krát dvojka, 6-krát trojka, 10-krát čtyřka, 17-krát pětka a 24-krát šestka. Nakonec házel hráč MO 68-krát a padla mu 9-krát jednička, 6-krát dvojka, 10-krát trojka, 12-krát čtyřka, 17-krát pětka a 14-krát šestka. Otestujte, zda čísla, která padají na kostce, jsou ovlivněna tím, kdo z hráčů hází. Stáhněte si soubor beta-galaktosidasa.csv a uložte do svého pracovního adresáře. Dále znaky AAA v příkazu set.seed nahrad te číslem své studentské karty a spust te následující příkazy. 5

6 DATA <- read.table("beta-galaktosidasa.csv", sep=";", header=true); i0 <- sample(1:8, size=5, replace=true); indexy <- i0 + (0:4)*8; subdata <- DATA[-indexy,] Data subdata nyní představují aktivitu enzymu beta-galaktosidáza naměřenou v pěti různých experimentálních podmínkách označených jako AA, BB, BC, CB, CC. Dá se říci, že aktivita enzymu je ovlivněna různými experimentálními podmínkami? Pokud ano, tak nás zajímá, jakým způsobem je tato aktivita ovlivněna a které experimentální podmínky jsou od sebe významně odlišné. 6