Matematika 5 FSV UK, ZS Miroslav Zelený
|
|
|
- Přemysl Říha
- před 4 lety
- Počet zobrazení:
Transkript
1 Matematika 5 FSV UK, ZS Miroslav Zelený
2 1. Stabilita řešení soustav diferenciálních rovnic 2. Úvod do variačního počtu 3. Globální extrémy 4. Teorie optimálního řízení 5. Různé
3 1. Stabilita řešení soustav diferenciálních rovnic
4 Budeme uvažovat rovnici x (t) = f (x(t)), (1.1) kde f je zobrazení definované na neprázdné otevřené množině G R n s hodnotami v R n. Soustavy tvaru (1.1) se nazývají autonomní.
5 Budeme uvažovat rovnici x (t) = f (x(t)), (1.1) kde f je zobrazení definované na neprázdné otevřené množině G R n s hodnotami v R n. Soustavy tvaru (1.1) se nazývají autonomní. V dalším budeme předpokládat, že f C 1 (G, R n ), tj. složky f 1,..., f n zobrazení f jsou třídy C 1 na G.
6 Budeme uvažovat rovnici x (t) = f (x(t)), (1.1) kde f je zobrazení definované na neprázdné otevřené množině G R n s hodnotami v R n. Soustavy tvaru (1.1) se nazývají autonomní. V dalším budeme předpokládat, že f C 1 (G, R n ), tj. složky f 1,..., f n zobrazení f jsou třídy C 1 na G. Definice Řekneme, že a G je stacionární bod rovnice (1.1), jestliže f (a) = o.
7 Definice Řekneme, že stacionární bod a G rovnice (1.1) je
8 Definice Řekneme, že stacionární bod a G rovnice (1.1) je stabilní, jestliže pro každé ε > 0 existuje δ > 0 takové, že pro každé maximální řešení x rovnice (1.1) splňující x(0) a < δ platí:
9 Definice Řekneme, že stacionární bod a G rovnice (1.1) je stabilní, jestliže pro každé ε > 0 existuje δ > 0 takové, že pro každé maximální řešení x rovnice (1.1) splňující x(0) a < δ platí: (a) definiční obor řešení x obsahuje interval 0, + ); (b) x(t) a < ε pro t 0, + );
10 Definice Řekneme, že stacionární bod a G rovnice (1.1) je stabilní, jestliže pro každé ε > 0 existuje δ > 0 takové, že pro každé maximální řešení x rovnice (1.1) splňující x(0) a < δ platí: (a) definiční obor řešení x obsahuje interval 0, + ); (b) x(t) a < ε pro t 0, + ); nestabilní, jestliže není stabilní,
11 Definice Řekneme, že stacionární bod a G rovnice (1.1) je stabilní, jestliže pro každé ε > 0 existuje δ > 0 takové, že pro každé maximální řešení x rovnice (1.1) splňující x(0) a < δ platí: (a) definiční obor řešení x obsahuje interval 0, + ); (b) x(t) a < ε pro t 0, + ); nestabilní, jestliže není stabilní, asymptoticky stabilní, jestliže je stabilní a navíc existuje > 0 takové, že pro každé maximální řešení x rovnice (1.1) splňující x(0) a < platí lim t + x(t) = a.
12 Věta 1.1 Necht A M(n n). Stacionární bod o rovnice x = Ax je asymptoticky stabilní, právě když Rλ < 0 pro každé vlastní číslo λ matice A.
13 Věta 1.1 Necht A M(n n). Stacionární bod o rovnice x = Ax je asymptoticky stabilní, právě když Rλ < 0 pro každé vlastní číslo λ matice A. Stacionární bod o rovnice x = Ax je stabilní, právě když Rλ 0 pro každé vlastní číslo λ matice A a pokud Rλ = 0, pak násobnost λ je rovna n h(λi A).
14 Věta 1.2 (Ljapunov) Necht f C 1 (G, R n ) a a je stacionární bod rovnice (1.1). Označme ( ) fi A = (a). x j Pak platí: i=1..n,j=1..n Jestliže každé vlastní číslo matice A má zápornou reálnou část, pak a je asymptoticky stabilní bod rovnice (1.1).
15 Věta 1.2 (Ljapunov) Necht f C 1 (G, R n ) a a je stacionární bod rovnice (1.1). Označme ( ) fi A = (a). x j Pak platí: i=1..n,j=1..n Jestliže každé vlastní číslo matice A má zápornou reálnou část, pak a je asymptoticky stabilní bod rovnice (1.1). Jestliže alespoň jedno vlastní číslo matice A má kladnou reálnou část, pak je a nestabilní bod rovnice (1.1).
16 λ1 > 0, λ2 > 0, λ1 6= λ2
17 λ1 < 0, λ2 < 0, λ1 6= λ2
18 λ1 < 0 < λ2
19 λ 1 C \ R, Rλ 1 > 0
20 λ 1 C \ R, Rλ 1 < 0
21 y x
22 y x
23 y x
24 y x
25 2. Úvod do variačního počtu
26 2.1 Derivování funkcí na vektorových prostorech Definice Necht X je vektorový prostor F : X R, a X, h X. Derivací funkce F v bodě a ve směru h rozumíme F(a + th) F(a) δf(a, h) = lim, t 0 t pokud limita existuje vlastní.
27 Definice Necht X je reálný vektorový prostor, M X, a M a F je reálná funkce definovaná alespoň na M. Řekneme, že a je bod minima (resp. bod maxima) funkce F na množině M, jestliže pro každé x M platí F(x) F(a) (resp. F(x) F(a)).
28 Definice Necht X je reálný vektorový prostor, M X, a M a F je reálná funkce definovaná alespoň na M. Řekneme, že a je bod minima (resp. bod maxima) funkce F na množině M, jestliže pro každé x M platí F(x) F(a) (resp. F(x) F(a)). Věta 2.1 Necht X je vektorový prostor, F : X R a a X. Jestliže má F v bodě a extrém (tj. minimum nebo maximum), pak pro každé h X platí, že δf(a, h) neexistuje nebo je rovna nule.
29 2.2 Derivování integrálu Definice Necht M R n. Řekneme, že funkce f je stejnoměrně spojitá na M, jestliže platí ε > 0 δ > 0 x, y M, x y < δ : f (x) f (y) < ε.
30 2.2 Derivování integrálu Definice Necht M R n. Řekneme, že funkce f je stejnoměrně spojitá na M, jestliže platí ε > 0 δ > 0 x, y M, x y < δ : f (x) f (y) < ε. Věta 2.2 Necht K R n je kompaktní a f : K R je spojitá na K. Potom f je stejnoměrně spojitá na K.
31 Věta 2.3 Necht f : (a, b) (c, d) R je spojitá a 1 f (= parciálni derivace podle první proměnné) je také spojitá na (a, b) (c, d). Necht ϕ: (a, b) (c, d) je funkce, která má v každém bodě vlastní derivaci. Necht x 0 (c, d).
32 Věta 2.3 Necht f : (a, b) (c, d) R je spojitá a 1 f (= parciálni derivace podle první proměnné) je také spojitá na (a, b) (c, d). Necht ϕ: (a, b) (c, d) je funkce, která má v každém bodě vlastní derivaci. Necht x 0 (c, d). Položme K (y) = ϕ(y) x 0 f (y, x)dx pro y (a, b).
33 Věta 2.3 Necht f : (a, b) (c, d) R je spojitá a 1 f (= parciálni derivace podle první proměnné) je také spojitá na (a, b) (c, d). Necht ϕ: (a, b) (c, d) je funkce, která má v každém bodě vlastní derivaci. Necht x 0 (c, d). Položme K (y) = ϕ(y) x 0 f (y, x)dx pro y (a, b). Potom má funkce K v každém bodě intervalu (a, b) vlastní derivaci a platí K (y) = ϕ(y) x 0 1 f (y, x)dx + f (y, ϕ(y))ϕ (y), y (a, b).
34 2.3 Základní úloha variačního počtu Formulace základní úlohy variačního počtu (P1). Dáno: T R, T > 0; A, Z R; F C 2 ( 0, T R R)
35 2.3 Základní úloha variačního počtu Formulace základní úlohy variačního počtu (P1). Dáno: T R, T > 0; A, Z R; F C 2 ( 0, T R R) Hledáme takové y C 1 ( 0, T ), y(0) = A, y(t ) = Z, že hodnota V (y) = T je minimální (resp. maximální). 0 F(s, y(s), y (s))ds
36 Věta 2.4 (nutná podmínka pro extrém) Necht y je bodem extrému pro (P1). Pak y je řešením rovnice (ER1) F y (t, y, y ) = d dt F y (t, y, y ).
37 Lemma 2.5 Necht funkce ϕ C( 0, T ) je nezáporná a ϕ(s)ds = 0. Pak ϕ = 0 na 0, T. T 0
38 Lemma 2.5 Necht funkce ϕ C( 0, T ) je nezáporná a ϕ(s)ds = 0. Pak ϕ = 0 na 0, T. T 0 Lemma 2.6 (základní lemma variačního počtu) Necht a, b C( 0, T ) a T 0 (a(t)h(t) + b(t)h (t))dt = 0 pro každou funkci h C 1 ( 0, T ) splňující h(0) = h(t ) = 0. Pak funkce b má na 0, T derivaci a platí zde b = a.
39 Lemma 2.7 Necht T a F jsou jako v (P1), y, u C 1 ( 0, T ). Necht zobrazení G : C 1 ( 0, T ) R je definováno takto: G(u) = T 0 F(t, y(t) + u(t), y (t) + u (t))dt.
40 Lemma 2.7 Necht T a F jsou jako v (P1), y, u C 1 ( 0, T ). Necht zobrazení G : C 1 ( 0, T ) R je definováno takto: Potom δg(o, h) = G(u) = T 0 T pro libovolné h C 1 ( 0, T ). 0 F(t, y(t) + u(t), y (t) + u (t))dt. ( Fy (t, y(t), y (t)) h(t)+f y (t, y(t), y (t)) h (t) ) dt
41 2.4 Pevný koncový čas a volná koncová hodnota Formulace úlohy (P2). Dáno: T R, T > 0; A R; F C 2 ( 0, T R R)
42 2.4 Pevný koncový čas a volná koncová hodnota Formulace úlohy (P2). Dáno: T R, T > 0; A R; F C 2 ( 0, T R R) Hledáme takové y C 1 ( 0, T ), y(0) = A, že hodnota V (y) = T 0 je minimální (resp. maximální). F(s, y(s), y (s))ds
43 Věta 2.8 Necht y je bodem extrému pro (P2). Pak y splňuje F y (t, y, y ) = d dt F y (t, y, y ), F y (T, y(t ), y (T )) = 0. (ER1) (ER2)
44 2.5 Isoperimetrická úloha Formulace úlohy (P3). Dáno: T R, T > 0; A, Z R; B R; F C 2 ( 0, T R R)
45 2.5 Isoperimetrická úloha Formulace úlohy (P3). Dáno: T R, T > 0; A, Z R; B R; F C 2 ( 0, T R R) Hledáme takové y C 1 ( 0, T ) splňující y(0) = A, y(t ) = Z, že hodnota T V (y) = 0 G(t, y, y ) = B, T je minimální (resp. maximální). 0 F(s, y(s), y (s))ds
46 Věta 2.9 Necht y je bodem extrému pro (P3). Pak y splňuje bud G y (t, y, y ) = d dt G y (t, y, y ), (I) nebo existuje λ R, že y splňuje F y (T, y(t ),y (T )) λg y (T, y(t ), y (T )) = d ( Fy (t, y, y ) λg y (t, y, y ) ). dt (II)
47 3. Postačující podmínky pro extrém
48 3.1 Globální extrémy Definice Necht X je vektorový prostor a V : X R je funkcionál. Řekneme, že V je konkávní (resp. konvexní) na X, jestliže x, y X t 0, 1 : V (tx +(1 t)y) tv (x)+(1 t)v (y)
49 3.1 Globální extrémy Definice Necht X je vektorový prostor a V : X R je funkcionál. Řekneme, že V je konkávní (resp. konvexní) na X, jestliže x, y X t 0, 1 : V (tx +(1 t)y) tv (x)+(1 t)v (y) (resp. x, y X t 0, 1 : V (tx+(1 t)y) tv (x)+(1 t)v (y)).
50 Věta 3.1 Necht V : X R je konkávní. Jestliže δv (x, h) = 0 pro každé h X, pak V má v x maximum.
51 Věta 3.1 Necht V : X R je konkávní. Jestliže δv (x, h) = 0 pro každé h X, pak V má v x maximum. Věta 3.2 Necht F C 2 ( 0, T R R). (K) Necht pro každé t 0, T je funkce [y, y ] F(t, y, y ) konkávní.
52 Věta 3.1 Necht V : X R je konkávní. Jestliže δv (x, h) = 0 pro každé h X, pak V má v x maximum. Věta 3.2 Necht F C 2 ( 0, T R R). (K) Necht pro každé t 0, T je funkce [y, y ] F(t, y, y ) konkávní. Pak je funkcionál V : C 1 ( 0, T )) R definovaný předpisem konkávní. V : y T 0 F(t, y, y )dt
53 Věta 3.3 Necht F v (P1) splňuje (K). Pak je (ER1) postačující podmínkou pro maximum.
54 3.2 Postačující podmínky pro lokální extrém Definice Normovaným lineárním prostorem rozumíme dvojici (X,. ), kde X je vektorový prostor (nad R) a. je norma na X, tj. zobrazení. : X 0, + ) splňující
55 3.2 Postačující podmínky pro lokální extrém Definice Normovaným lineárním prostorem rozumíme dvojici (X,. ), kde X je vektorový prostor (nad R) a. je norma na X, tj. zobrazení. : X 0, + ) splňující x X : x = 0 x = o,
56 3.2 Postačující podmínky pro lokální extrém Definice Normovaným lineárním prostorem rozumíme dvojici (X,. ), kde X je vektorový prostor (nad R) a. je norma na X, tj. zobrazení. : X 0, + ) splňující x X : x = 0 x = o, x X λ R : λx = λ x,
57 3.2 Postačující podmínky pro lokální extrém Definice Normovaným lineárním prostorem rozumíme dvojici (X,. ), kde X je vektorový prostor (nad R) a. je norma na X, tj. zobrazení. : X 0, + ) splňující x X : x = 0 x = o, x X λ R : λx = λ x, x, y X : x + y x + y.
58 Definice Necht (X,. ) je normovaný lineární prostor, f : X R a x 0 X. Řekneme, že f má v bodě x 0 lokální maximum, jestliže existuje r > 0 takové, že x X, x x 0 < r : f (x) f (x 0 );
59 Definice Necht (X,. ) je normovaný lineární prostor, f : X R a x 0 X. Řekneme, že f má v bodě x 0 lokální maximum, jestliže existuje r > 0 takové, že x X, x x 0 < r : f (x) f (x 0 ); ostré lokální maximum, jestliže existuje r > 0 takové, že x X, 0 < x x 0 < r : f (x) < f (x 0 ).
60 Definice Necht (X,. ) je normovaný lineární prostor, f : X R a x 0 X. Řekneme, že f má v bodě x 0 lokální maximum, jestliže existuje r > 0 takové, že x X, x x 0 < r : f (x) f (x 0 ); ostré lokální maximum, jestliže existuje r > 0 takové, že x X, 0 < x x 0 < r : f (x) < f (x 0 ). Analogicky definujeme lokální minimum a ostré lokální minimum.
61 Věta 3.4 Necht y řeší (ER1) v úloze (P1). Jestliže je matice ( ) Fyy (t, y(t), y (t)) F yy (t, y(t), y (t)) F yy (t, y(t), y (t)) F y y (t, y(t), y (t)) negativně definitní pro každé t 0, T, pak y je bodem ostrého lokálního maxima.
62 4. Teorie optimálního řízení
63 Definice Řekneme, že funkce f je po částech spojitá na intervalu 0, T, jestliže existuje dělení 0 = t 0 < t 1 < < t n = T takové, že f (ti,t i+1 ) je spojitá na (t i, t i+1 ) pro každé i {0,..., n 1} a v krajních bodech existují vlastní limity.
64 Definice Řekneme, že funkce f je po částech spojitá na intervalu 0, T, jestliže existuje dělení 0 = t 0 < t 1 < < t n = T takové, že f (ti,t i+1 ) je spojitá na (t i, t i+1 ) pro každé i {0,..., n 1} a v krajních bodech existují vlastní limity. Řekneme, že funkce f je po částech diferencovatelná na intervalu 0, T, jestliže existuje dělení 0 = t 0 < t 1 < < t n = T takové, že f (ti,t i+1 ) má na (t i, t i+1 ) vlastní derivaci a v krajních bodech existují příslušné jednostranné vlastní derivace pro každé i {0,..., n 1}.
65 Formulace úlohy (P4) Dáno: T R, T > 0; A R;
66 Formulace úlohy (P4) Dáno: T R, T > 0; A R; F C( 0, T R R), 1 F, 2 F jsou spojité;
67 Formulace úlohy (P4) Dáno: T R, T > 0; A R; F C( 0, T R R), 1 F, 2 F jsou spojité; f C( 0, T R R), 1 f, 2 f jsou spojité;
68 Formulace úlohy (P4) Dáno: T R, T > 0; A R; F C( 0, T R R), 1 F, 2 F jsou spojité; f C( 0, T R R), 1 f, 2 f jsou spojité; U je omezený uzavřený interval.
69 Formulace úlohy (P4) Dáno: T R, T > 0; A R; F C( 0, T R R), 1 F, 2 F jsou spojité; f C( 0, T R R), 1 f, 2 f jsou spojité; U je omezený uzavřený interval.
70 Hledáme y po částech diferencovatelnou na intervalu 0, T a u po částech spojitou na 0, T takové, že
71 Hledáme y po částech diferencovatelnou na intervalu 0, T a u po částech spojitou na 0, T takové, že y(0) = A,
72 Hledáme y po částech diferencovatelnou na intervalu 0, T a u po částech spojitou na 0, T takové, že y(0) = A, y (t) = f (t, y(t), u(t)) pro každé t 0, T vyjma konečné množiny,
73 Hledáme y po částech diferencovatelnou na intervalu 0, T a u po částech spojitou na 0, T takové, že y(0) = A, y (t) = f (t, y(t), u(t)) pro každé t 0, T vyjma konečné množiny, u(t) U pro každé t 0, T,
74 Hledáme y po částech diferencovatelnou na intervalu 0, T a u po částech spojitou na 0, T takové, že y(0) = A, y (t) = f (t, y(t), u(t)) pro každé t 0, T vyjma konečné množiny, u(t) U pro každé t 0, T, T 0 F(t, y(t), u(t))dt je maximální.
75 Věta 4.1 (Pontrjaginův princip maxima) Necht u je bod maxima v úloze (P4). Pak existuje funkce t λ(t), že pro H(t, y, u, λ) = F(t, y, u) + λf (t, y, u) (tzv. hamiltonián) platí:
76 Věta 4.1 (Pontrjaginův princip maxima) Necht u je bod maxima v úloze (P4). Pak existuje funkce t λ(t), že pro H(t, y, u, λ) = F(t, y, u) + λf (t, y, u) (tzv. hamiltonián) platí: (PM1) pro každé t 0, T vyjma konečné množiny a pro každé ũ U platí H(t, y(t), u(t), λ(t)) H(t, y(t), ũ, λ(t)),
77 Věta 4.1 (Pontrjaginův princip maxima) Necht u je bod maxima v úloze (P4). Pak existuje funkce t λ(t), že pro H(t, y, u, λ) = F(t, y, u) + λf (t, y, u) (tzv. hamiltonián) platí: (PM1) pro každé t 0, T vyjma konečné množiny a pro každé ũ U platí H(t, y(t), u(t), λ(t)) H(t, y(t), ũ, λ(t)), (PM2) y = H λ (stavová rovnice),
78 Věta 4.1 (Pontrjaginův princip maxima) Necht u je bod maxima v úloze (P4). Pak existuje funkce t λ(t), že pro H(t, y, u, λ) = F(t, y, u) + λf (t, y, u) (tzv. hamiltonián) platí: (PM1) pro každé t 0, T vyjma konečné množiny a pro každé ũ U platí H(t, y(t), u(t), λ(t)) H(t, y(t), ũ, λ(t)), (PM2) y = H (stavová rovnice), λ (PM3) λ = H (pohybová rovnice), y
79 Věta 4.1 (Pontrjaginův princip maxima) Necht u je bod maxima v úloze (P4). Pak existuje funkce t λ(t), že pro H(t, y, u, λ) = F(t, y, u) + λf (t, y, u) (tzv. hamiltonián) platí: (PM1) pro každé t 0, T vyjma konečné množiny a pro každé ũ U platí H(t, y(t), u(t), λ(t)) H(t, y(t), ũ, λ(t)), (PM2) y = H (stavová rovnice), λ (PM3) λ = H (pohybová rovnice), y (PM4) λ(t ) = 0 (podmínka transverzality).
80 4.2 Postačující podmínky Věta 4.2 Princip maxima je postačující podmínkou pro extrém v úloze (P4), jestliže F a f jsou diferencovatelné,
81 4.2 Postačující podmínky Věta 4.2 Princip maxima je postačující podmínkou pro extrém v úloze (P4), jestliže F a f jsou diferencovatelné, F a f jsou konkávní v (y, u),
82 4.2 Postačující podmínky Věta 4.2 Princip maxima je postačující podmínkou pro extrém v úloze (P4), jestliže F a f jsou diferencovatelné, F a f jsou konkávní v (y, u), bud f je lineární v y a v u nebo λ(t) 0 pro každé t 0, T.
83 4.3 Problémy s více stavovými proměnnými Formulace úlohy (P4 ) Dáno: T R, T > 0; y 0 R n ;
84 4.3 Problémy s více stavovými proměnnými Formulace úlohy (P4 ) Dáno: T R, T > 0; y 0 R n ; F C 1 ( 0, T R n R m );
85 4.3 Problémy s více stavovými proměnnými Formulace úlohy (P4 ) Dáno: T R, T > 0; y 0 R n ; F C 1 ( 0, T R n R m ); f C 1 ( 0, T R n R m, R n );
86 4.3 Problémy s více stavovými proměnnými Formulace úlohy (P4 ) Dáno: T R, T > 0; y 0 R n ; F C 1 ( 0, T R n R m ); f C 1 ( 0, T R n R m, R n ); U 1,..., U m R.
87 Hledáme y = [y 1,..., y n ], kde složky jsou po částech diferencovatelné funkce na intervalu 0, T,
88 Hledáme y = [y 1,..., y n ], kde složky jsou po částech diferencovatelné funkce na intervalu 0, T, a funkci u = [u 1,..., u m ] s po částech spojitými složkami na 0, T takové, že
89 Hledáme y = [y 1,..., y n ], kde složky jsou po částech diferencovatelné funkce na intervalu 0, T, a funkci u = [u 1,..., u m ] s po částech spojitými složkami na 0, T takové, že y(0) = y 0,
90 Hledáme y = [y 1,..., y n ], kde složky jsou po částech diferencovatelné funkce na intervalu 0, T, a funkci u = [u 1,..., u m ] s po částech spojitými složkami na 0, T takové, že y(0) = y 0, y (t) = f (t, y(t), u(t)) pro každé t 0, T vyjma konečné množiny,
91 Hledáme y = [y 1,..., y n ], kde složky jsou po částech diferencovatelné funkce na intervalu 0, T, a funkci u = [u 1,..., u m ] s po částech spojitými složkami na 0, T takové, že y(0) = y 0, y (t) = f (t, y(t), u(t)) pro každé t 0, T vyjma konečné množiny, u j (t) U j pro každé t 0, T, j = 1,..., m,
92 Hledáme y = [y 1,..., y n ], kde složky jsou po částech diferencovatelné funkce na intervalu 0, T, a funkci u = [u 1,..., u m ] s po částech spojitými složkami na 0, T takové, že y(0) = y 0, y (t) = f (t, y(t), u(t)) pro každé t 0, T vyjma konečné množiny, u j (t) U j pro každé t 0, T, j = 1,..., m, T 0 F(t, y(t), u(t))dt je maximální.
93 Věta 4.3 (Pontrjaginův princip maxima pro (P4 )) Necht vektorová funkce u = (u 1,..., u m ) je bodem maxima v úloze (P4 ).
94 Věta 4.3 (Pontrjaginův princip maxima pro (P4 )) Necht vektorová funkce u = (u 1,..., u m ) je bodem maxima v úloze (P4 ). Pak existuje vektorová funkce λ: 0, T R n, že pro hamiltonián platí: H(t, y, u, λ) = F(t, y, u) + λ T f (t, y, u)
95 (PM1) pro každé t 0, T vyjma konečné množiny a pro každé ũ U 1 U m platí H(t, y(t), u(t), λ(t)) H(t, y(t), ũ, λ(t)),
96 (PM1) pro každé t 0, T vyjma konečné množiny a pro každé ũ U 1 U m platí H(t, y(t), u(t), λ(t)) H(t, y(t), ũ, λ(t)), (PM2) y i = H λ i, i = 1,..., n (stavová rovnice),
97 (PM1) pro každé t 0, T vyjma konečné množiny a pro každé ũ U 1 U m platí H(t, y(t), u(t), λ(t)) H(t, y(t), ũ, λ(t)), (PM2) y i = H λ i, i = 1,..., n (stavová rovnice), (PM3) λ i = H y i, i = 1,..., n (pohybová rovnice),
98 (PM1) pro každé t 0, T vyjma konečné množiny a pro každé ũ U 1 U m platí H(t, y(t), u(t), λ(t)) H(t, y(t), ũ, λ(t)), (PM2) y i = H λ i, i = 1,..., n (stavová rovnice), (PM3) λ i = H y i, i = 1,..., n (pohybová rovnice), (PM4) λ i (T ) = 0, i = 1,..., n (podmínka transverzality).
99 (PM1) pro každé t 0, T vyjma konečné množiny a pro každé ũ U 1 U m platí H(t, y(t), u(t), λ(t)) H(t, y(t), ũ, λ(t)), (PM2) y i = H λ i, i = 1,..., n (stavová rovnice), (PM3) λ i = H y i, i = 1,..., n (pohybová rovnice), (PM4) λ i (T ) = 0, i = 1,..., n (podmínka transverzality).
Matematika V. Dynamická optimalizace
Matematika V. Dynamická optimalizace Obsah Kapitola 1. Variační počet 1.1. Derivace funkcí na vektorových prostorech...str. 3 1.2. Derivace integrálu...str. 5 1.3. Formulace základní úlohy P1 var. počtu,
Definice 1.1. Nechť je M množina. Funkci ρ : M M R nazveme metrikou, jestliže má následující vlastnosti:
Přednáška 1. Definice 1.1. Nechť je množina. Funkci ρ : R nazveme metrikou, jestliže má následující vlastnosti: (1 pro každé x je ρ(x, x = 0; (2 pro každé x, y, x y, je ρ(x, y = ρ(y, x > 0; (3 pro každé
10 Funkce více proměnných
M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika II kap. 10: Funkce více proměnných 16 10 Funkce více proměnných 10.1 Základní pojmy Definice. Eukleidovskou vzdáleností bodů x = (x 1,...,x n ), y = (y 1,...,y
IX. Vyšetřování průběhu funkce
IX. Vyšetřování průběhu funkce Úvodní poznámky: Cíl: vyšetřit průběh dané funkce f. Zahrnuje: základní vlastnosti: D(f), spojitost, limity v krajních bodech, průsečíky s osami souřadnic, intervaly, kde
9. přednáška 26. listopadu f(a)h < 0 a pro h (0, δ) máme f(a 1 + h, a 2,..., a m ) f(a) > 1 2 x 1
9 přednáška 6 listopadu 007 Věta 11 Nechť f C U, kde U R m je otevřená množina, a a U je bod Pokud fa 0, nemá f v a ani neostrý lokální extrém Pokud fa = 0 a H f a je pozitivně negativně definitní, potom
Matematika 4 FSV UK, LS Miroslav Zelený
Matematika 4 FSV UK, LS 2017-18 Miroslav Zelený 13. Diferenční rovnice 14. Diferenciální rovnice se separovanými prom. 15. Lineární diferenciální rovnice prvního řádu 16. Lineární diferenciální rovnice
Vlastní (charakteristická) čísla a vlastní (charakteristické) Pro zadanou čtvercovou matici A budeme řešit maticovou
1 Vlastní (charakteristická) čísla a vlastní (charakteristické) vektory matice Pro zadanou čtvercovou matici A budeme řešit maticovou rovnici A x = λ x, kde x je neznámá matice o jednom sloupci (sloupcový
Definice globální minimum (absolutní minimum) v bodě A D f, jestliže X D f
Výklad Globální extrémy mají stejný význam jako u funkcí jedné proměnné. Hledáme je bud na celém definičním oboru dané funkce, nebo na předem zadané podmnožině definičního oboru. Definice 6..1. Řekneme,
5. Lokální, vázané a globální extrémy
5 Lokální, vázané a globální extrémy Studijní text Lokální extrémy 5 Lokální, vázané a globální extrémy Definice 51 Řekneme, že f : R n R má v bodě a Df: 1 lokální maximum, když Ka, δ Df tak, že x Ka,
17. Posloupnosti a řady funkcí
17. Posloupnosti a řady funkcí Aplikovaná matematika III, NMAF073 M. Rokyta, KMA MFF UK ZS 2011/12 17.1 Stejnoměrná konvergence posloupnosti funkcí Definice Necht M je množina, f, f n : M R m, m, n N.
Diferenˇcní rovnice Diferenciální rovnice Matematika IV Matematika IV Program
Program Diferenční rovnice Program Diferenční rovnice Diferenciální rovnice Program Frisch a Samuelson: Systém je dynamický, jestliže jeho chování v čase je určeno funkcionální rovnicí, jejíž neznámé závisí
Průvodce studiem. do bodu B se snažíme najít nejkratší cestu. Ve firmách je snaha minimalizovat
6. Extrémy funkcí více proměnných Průvodce studiem Hledání extrémů je v praxi často řešená úloha. Např. při cestě z bodu A do bodu B se snažíme najít nejkratší cestu. Ve firmách je snaha minimalizovat
verze 1.4 Ekvivalentní podmínkou pro stacionární bod je, že totální diferenciál je nulový
1 Úvod Lokální extrémy funkcí více proměnných verze 14 Následující text popisuje výpočet lokálních extrémů funkcí více proměnných Měl by sloužit především studentům předmětu MATEMAT1 na Univerzitě Hradec
Funkce v ıce promˇ enn ych Extr emy Pˇredn aˇska p at a 12.bˇrezna 2018
Funkce více proměnných Extrémy Přednáška pátá 12.března 2018 Zdroje informací Diferenciální počet http://homen.vsb.cz/~kre40/esfmat2/fceviceprom.html http://www.studopory.vsb.cz/studijnimaterialy/sbirka_uloh/pdf/7.pdf
Derivace a monotónnost funkce
Derivace a monotónnost funkce Věta : Uvažujme funkci f (x), která má na intervalu I derivaci f (x). Pak platí: je-li f (x) > 0 x I, funkce f je na intervalu I rostoucí. je-li f (x) < 0 x I, funkce f je
Primitivní funkce a Riemann uv integrál Lineární algebra Taylor uv polynom Extrémy funkcí více prom ˇenných Matematika III Matematika III Program
Program Primitivní funkce a Riemannův integrál Program Primitivní funkce a Riemannův integrál Lineární algebra Program Primitivní funkce a Riemannův integrál Lineární algebra Taylorův polynom Program Primitivní
1 Funkce dvou a tří proměnných
1 Funkce dvou a tří proměnných 1.1 Pojem funkce více proměnných Definice Funkce dvou proměnných je předpis, který každému bodu z R 2 (tj. z roviny) přiřazuje jediné reálné číslo. z = f(x, y), D(f) R 2
1 Množiny, výroky a číselné obory
1 Množiny, výroky a číselné obory 1.1 Množiny a množinové operace Množinou rozumíme každé shrnutí určitých a navzájem různých objektů (které nazýváme prvky) do jediného celku. Definice. Dvě množiny jsou
Funkce jedn e re aln e promˇ enn e Derivace Pˇredn aˇska ˇr ıjna 2015
Funkce jedné reálné proměnné Derivace Přednáška 2 15. října 2015 Obsah 1 Funkce 2 Limita a spojitost funkce 3 Derivace 4 Průběh funkce Informace Literatura v elektronické verzi (odkazy ze STAGu): 1 Lineární
Matematika pro informatiky
(FIT ČVUT v Praze) Konvexní analýza 13.týden 1 / 1 Matematika pro informatiky Jaroslav Milota Fakulta informačních technologíı České vysoké učení technické v Praze Letní semestr 2010/11 Extrémy funkce
12. Funkce více proměnných
12. Funkce více proměnných 12.1 Parciální derivace a totální diferenciál Definice Necht f je reálná funkce n proměnných, a 2 R n a 1 i n. 12.1 Parciální derivace a totální diferenciál Definice Necht f
Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Základy teorie funkcí více proměnných. študenti MFF 15. augusta 2008
Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Základy teorie funkcí více proměnných študenti MFF 15. augusta 2008 1 5 Základy teorie funkcí více proměnných Požadavky Parciální derivace a totální
Definice. Nechť k 0 celé, a < b R. Definujeme. x < 1. ϕ(x) 0 v R. Lemma [Slabá formulace diferenciální rovnice.] x 2 1
![Definice. Nechť k 0 celé, a < b R. Definujeme. x < 1. ϕ(x) 0 v R. Lemma [Slabá formulace diferenciální rovnice.] x 2 1](/thumbs/103/161289080.jpg "Definice. Nechť k 0 celé, a < b R. Definujeme. x < 1. ϕ(x) 0 v R. Lemma [Slabá formulace diferenciální rovnice.] x 2 1")
9. Vriční počet. Definice. Nechť k 0 celé, < b R. Definujeme C k ([, b]) = { ỹ [,b] : ỹ C k (R) } ; C 0 ([, b]) = { y C ([, b]) : y() = y(b) = 0 }. Důležitá konstrukce. Shlzovcí funkce (molifiér, bump
7.1 Extrémy a monotonie
KAPITOLA 7: Průběh funkce [ZMA13-P38] 7.1 Extrémy a monotonie Řekneme, že funkce f nabývá na množině M Df svého globálního maxima globálního minima A v bodě x 0, jestliže x 0 M, fx 0 = A a pro každé x
Přijímací zkouška na navazující magisterské studium 2014
Přijímací zkouška na navazující magisterské studium 4 Studijní program: Studijní obory: Příklad (5 bodů) Spočtěte Matematika MA, MMIB, MMFT, MSTR, NVM, PMSE, MDU Varianta A M xy dxdy, kde M = {(x, y) R
DRN: Kořeny funkce numericky
DRN: Kořeny funkce numericky Kořenem funkce f rozumíme libovolné číslo r splňující f(r) = 0. Fakt. Nechť f je funkce na intervalu a, b. Jestliže f(a) f(b) < 0 (tj. f(a) a f(b) mají opačná znaménka) a f
Extrémy funkce dvou proměnných
Extrémy funkce dvou proměnných 1. Stanovte rozměry pravoúhlé vodní nádrže o objemu 32 m 3 tak, aby dno a stěny měly nejmenší povrch. Označme rozměry pravoúhlé nádrže x, y, z (viz obr.). ak objem této nádrže
Kapitola 4: Průběh funkce 1/11
Kapitola 4: Průběh funkce 1/11 Funkce monotonní 2/11 Věta: Necht je f spojitá a má derivaci na intervalu I. Potom platí (i) Je-li f (x) > 0 na I, je f rostoucí na I. (ii) Je-li f (x) 0 na I, je f neklesající
EXTRÉMY FUNKCÍ VÍCE PROMĚNNÝCH
EXTRÉMY FUNKCÍ VÍCE PROMĚNNÝCH DEFINICE. Funkce f více proměnných. má v bodě C D(f) lokální maximum, resp. lokální minimum, jestliže existuje okolí U bodu C takové, že f(c) je maximální (resp. minimální
Funkce dvou a více proměnných
Funkce dvou a více proměnných. Motivace V praxi nevstačíme s funkcemi jedné proměnné, většina veličin závisí více než na jedné okolnosti, např.: obsah obdélníka: S( ) kinetická energie: Ek = = x mv ekonomika:
Drsná matematika III 2. přednáška Funkce více proměnných: Aproximace vyšších rádů, Taylorova věta, inverzní zobrazení
Drsná matematika III. přednáška Funkce více proměnných: Aproximace vyšších rádů, Taylorova věta, inverzní zobrazení Masarykova univerzita Fakulta informatiky 3. 9. 6 Obsah přednášky Literatura Derivace
Přijímací zkouška na navazující magisterské studium 2018
Přijímací zkouška na navazující magisterské studium 208 Studijní program: Studijní obory: Matematika MA, MMIT, MMFT, MSTR, MNVM, MPMSE Varianta A Řešení příkladů pečlivě odůvodněte. Věnujte pozornost ověření
Nelineární optimalizace a numerické metody (MI NON)
Nelineární optimalizace a numerické metody (MI NON) Magisterský program: Informatika Obor: Teoretická informatika Katedra: 18101 Katedra teoretické informatiky Jaroslav Kruis Evropský sociální fond Praha
Kapitola 4: Průběh funkce 1/11
Kapitola 4: Průběh funkce 1/11 Funkce monotonní 2/11 Věta: Necht je f spojitá a má derivaci na intervalu I. Potom platí (i) Je-li f (x) > 0 na I, je f rostoucí na I. (ii) Je-li f (x) 0 na I, je f neklesající
Drsná matematika III 2. přednáška Funkce více proměnných: Aproximace vyšších rádů, Taylorova věta, inverzní zobrazení
Drsná matematika III. přednáška Funkce více proměnných: Aproximace vyšších rádů, Taylorova věta, inverzní zobrazení Masarykova univerzita Fakulta informatiky 6. 9. Obsah přednášky Literatura Derivace vyšších
Dnešní látka Variačně formulované okrajové úlohy zúplnění prostoru funkcí. Lineární zobrazení.
Předmět: MA4 Dnešní látka Variačně formulované okrajové úlohy zúplnění prostoru funkcí. Lineární zobrazení. Literatura: Kapitola 2 a)-c) a kapitola 4 a)-c) ze skript Karel Rektorys: Matematika 43, ČVUT,
LDF MENDELU. Simona Fišnarová (MENDELU) Průběh funkce ZVMT lesnictví 1 / 21
Průběh funkce Základy vyšší matematiky LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipĺıny společného základu
Kristýna Kuncová. Matematika B3
(5) Funkce více proměnných II Kristýna Kuncová Matematika B3 Kristýna Kuncová (5) Funkce více proměnných II 1 / 20 Parciální derivace - příklad Otázka Tabulka vpravo znázorňuje hodnoty funkce f (x, y).
Matematika I A ukázkový test 1 pro 2011/2012. x + y + 3z = 1 (2a 1)x + (a + 1)y + z = 1 a
Matematika I A ukázkový test 1 pro 2011/2012 1. Je dána soustava rovnic s parametrem a R x y + z = 1 a) Napište Frobeniovu větu. x + y + 3z = 1 (2a 1)x + (a + 1)y + z = 1 a b) Vyšetřete počet řešení soustavy
18 Fourierovy řady Úvod, základní pojmy
M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika III kap. 18: Fourierovy řady 7 18 Fourierovy řady 18.1 Úvod, základní pojmy Otázka J. Fouriera: Lze každou periodickou funkci napsat jako součet nějakých "elementárních"
DERIVACE FUKNCÍ VÍCE PROMĚNNÝCH
DERIVACE FUKNCÍ VÍCE PROMĚNNÝCH Reálná funkce dvou proměnných a definiční obor Kartézský součin R R značíme R 2 R 2 je množina všech uspořádaných dvojic reálných čísel (rovina) Prvk R 2 jsou bod v rovině
Uzavřené a otevřené množiny
Teorie: Uzavřené a otevřené množiny 2. cvičení DEFINICE Nechť M R n. Bod x M nazveme vnitřním bodem množiny M, pokud existuje r > 0 tak, že B(x, r) M. Množinu všech vnitřních bodů značíme Int M. Dále,
Přednáška 11, 12. prosince Část 5: derivace funkce
Přednáška 11, 12. prosince 2014 Závěrem pasáže o spojitých funkcích zmíníme jejich podtřídu, lipschitzovské funkce, nazvané podle německého matematika Rudolfa Lipschitze (1832 1903). Fukce f : M R je lipschitzovská,
VIII. Primitivní funkce a Riemannův integrál
VIII. Primitivní funkce Riemnnův integrál VIII.2. Riemnnův integrál opkování Vět. Nechť f je spojitá funkce n intervlu, b nechť c, b. Oznčíme-li F (x) = x (, b), pk F (x) = f(x) pro kždé x (, b). VIII.3.
Petr Hasil. Prvákoviny c Petr Hasil (MUNI) Úvod do infinitezimálního počtu Prvákoviny / 57
Úvod do infinitezimálního počtu Petr Hasil Prvákoviny 2015 c Petr Hasil (MUNI) Úvod do infinitezimálního počtu Prvákoviny 2015 1 / 57 Obsah 1 Úvod Funkce Reálná čísla a posloupnosti Limita a spojitost
Otázku, kterými body prochází větev implicitní funkce řeší následující věta.
1 Implicitní funkce Implicitní funkce nejsou funkce ve smyslu definice, že funkce bodu z definičního oboru D přiřadí právě jednu hodnotu z oboru hodnot H. Přesnější termín je funkce zadaná implicitně.
Matematika B 2. Úvodní informace
Matematika B 2 MIROSLAV KUČERA Úvodní informace Kontakt miroslav.kucera@vsfs.czvsfs.cz Studijní středisko Kladno IT oddělení 306B (kanceláře studijního oddělení) Konzultační hodiny Po Pá 8:30 15:00 možno
Kapitola 12: Soustavy diferenciálních rovnic 1. řádu
Kapitola 12: Soustavy diferenciálních rovnic 1. řádu Základní pojmy Definice: Rovnice tvaru = f(t, x, y) = g(t, x, y), t I nazýváme soustavou dvou diferenciálních rovnic 1. řádu. Řešením soustavy rozumíme
Matematika I A ukázkový test 1 pro 2014/2015
Matematika I A ukázkový test 1 pro 2014/2015 1. Je dána soustava rovnic s parametrem a R x y + z = 1 x + y + 3z = 1 (2a 1)x + (a + 1)y + z = 1 a a) Napište Frobeniovu větu (existence i počet řešení). b)
Diferenciální počet funkcí jedné proměnné
Diferenciální počet funkcí jedné proměnné 1 4. Derivace funkce 4.3. Průběh funkce 2 Pro přesné určení průběhu grafu funkce je třeba určit bližší vlastnosti funkce. Monotónnost funkce Funkce monotónní =
Matematická analýza pro informatiky I. Extrémy funkcí více proměnných
Matematická analýza pro informatiky I. 12. přednáška Extrémy funkcí více proměnných Jan Tomeček jan.tomecek@upol.cz http://aix-slx.upol.cz/ tomecek/index Univerzita Palackého v Olomouci 12. dubna 2011
Greenova funkce pro dvoubodové okrajové úlohy pro obyčejné diferenciální rovnice
Greenova funkce pro dvoubodové okrajové úlohy pro obyčejné diferenciální rovnice Jan Tomeček Tento stručný text si klade za cíl co nejrychlejší uvedení do teorie Greenových funkcí pro obyčejné diferenciální
Dnešní látka: Literatura: Kapitoly 3 a 4 ze skript Karel Rektorys: Matematika 43, ČVUT, Praha, Text přednášky na webové stránce přednášejícího.
Předmět: MA4 Dnešní látka: Od okrajových úloh v 1D k o. ú. ve 2D Laplaceův diferenciální operátor Variačně formulované okrajové úlohy pro parciální diferenciální rovnice a metody jejich přibližného řešení
Časopis pro pěstování matematiky
Časopis pro pěstování matematiky Jiří Bečvář; Miloslav Nekvinda Poznámka o extrémech funkcí dvou a více proměnných Časopis pro pěstování matematiky, Vol. 81 (1956), No. 3, 267--271 Persistent URL: http://dml.cz/dmlcz/117194
Pavlína Matysová. 5. listopadu 2018
Soubor řešených úloh Vyšetřování průběhu funkce Pavlína Matysová 5. listopadu 018 1 Soubor řešených úloh Tento text obsahuje 7 úloh na téma vyšetřování průběhu funkce. Každé úloha je řešena dvěma způsoby
Co jsme udělali: Au = f, u D(A)
Předmět: MA4 Dnešní látka: Od okrajových úloh v 1D k o. ú. ve 2D Laplaceův diferenciální operátor Variačně formulované okrajové úlohy pro parciální diferenciální rovnice a metody jejich přibližného řešení
Písemná zkouška z Matematiky II pro FSV vzor
Písemná zkouška z Matematik II pro FSV vzor. (0 bodů) Určete a nakreslete definiční obor funkce sin x f(x, ) = (Kalenda 00/) spočtěte její parciální derivace podle všech proměnných všude, kde existují,
Michal Bulant. Masarykova univerzita Fakulta informatiky
Matematika III 3. přednáška Funkce více proměnných: derivace vyšších řádů, lokální a absolutní extrémy Michal Bulant Masarykova univerzita Fakulta informatiky 6. 10. 2010 Obsah přednášky 1 Literatura 2
Derivace funkce. Přednáška MATEMATIKA č Jiří Neubauer
Přednáška MATEMATIKA č. 9-11 Katedra ekonometrie FEM UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz Šotová, J., Doudová, L. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné Motivační příklady
Projekty - Úvod do funkcionální analýzy
Projekty - Úvod do funkcionální analýzy Projekt č. 1. Nechť a, b R, a < b. Dokažte, že prostor C( a, b ) = f : R R: f je spojitá na D(f) = a, b s metrikou je úplný. ρ(f, g) = max f(x) g(x) x a,b Projekt
fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na disciplíny společného základu http://akademie.ldf.mendelu.cz/cz (reg. č. CZ.1.07/2.2.00/28.
Základy lineárního programování Vyšší matematika, Inženýrská matematika LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem
EXTRÉMY FUNKCÍ VÍCE PROMĚNNÝCH
EXTRÉMY FUNKCÍ VÍCE PROMĚNNÝCH ÚLOHY ŘEŠITELNÉ BEZ VĚTY O MULTIPLIKÁTORECH Nalezněte absolutní extrémy funkce f na množině M. 1. f(x y) = x + y; M = {x y R 2 ; x 2 + y 2 1} 2. f(x y) = e x ; M = {x y R
Příklady na konvexnost a inflexní body. Funkce f (x) = x 3 9x. Derivace jsou f (x) = 3x 2 9 a f (x) = 6x. Funkce f je konvexní na intervalu (0, )
Příklady na konvexnost a inflexní body. Funkce = x 3 9x. Derivace jsou f (x) = 3x 9 a f (x) = 6x. Funkce f je konvexní na intervalu (, ) a konkávní na intervalu (, ). Inflexní bod c =. 3 1 1 y = x 3 9x
Diferenciální počet - II. část (Taylorův polynom, L Hospitalovo pravidlo, extrémy
Diferenciální počet - II. část (Taylorův polynom, L Hospitalovo pravidlo, extrémy funkcí, průběh funkce) Michal Fusek Ústav matematiky FEKT VUT, fusekmi@feec.vutbr.cz 5. přednáška z AMA1 Michal Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz)
I. Diferenciální rovnice. 3. Rovnici y = x+y+1. převeďte vhodnou transformací na rovnici homogenní (vzniklou
Typy příkladů pro I. část písemky ke zkoušce z MA II I. Diferenciální rovnice. 1. Určete obecné řešení rovnice y = y sin x.. Určete řešení rovnice y = y x splňující počáteční podmínku y(1) = 0. 3. Rovnici
Drsná matematika III 1. přednáška Funkce více proměnných: křivky, směrové derivace, diferenciál
Drsná matematika III 1. přednáška Funkce více proměnných: křivky, směrové derivace, diferenciál Jan Slovák Masarykova univerzita Fakulta informatiky 16. 9. 2008 Obsah přednášky 1 Literatura 2 Funkce a
Základní spádové metody
Základní spádové metody Petr Tichý 23. října 2013 1 Metody typu line search Problém Idea metod min f(x), f : x R Rn R. n Dána počáteční aproximace x 0. Iterační proces (krok k): (a) zvol směr d k, (b)
1.1 Existence a jednoznačnost řešení. Příklad 1.1: [M2-P1] diferenciální rovnice (DR) řádu n: speciálně nás budou zajímat rovnice typu
![1.1 Existence a jednoznačnost řešení. Příklad 1.1: [M2-P1] diferenciální rovnice (DR) řádu n: speciálně nás budou zajímat rovnice typu](/thumbs/102/155926571.jpg "1.1 Existence a jednoznačnost řešení. Příklad 1.1: [M2-P1] diferenciální rovnice (DR) řádu n: speciálně nás budou zajímat rovnice typu")
[M2-P1] KAPITOLA 1: Diferenciální rovnice 1. řádu diferenciální rovnice (DR) řádu n: speciálně nás budou zajímat rovnice typu G(x, y, y, y,..., y (n) ) = 0 y (n) = F (x, y, y,..., y (n 1) ) Příklad 1.1:
DEFINICE,VĚTYADŮKAZYKÚSTNÍZKOUŠCEZMAT.ANALÝZY Ib
INFORMACE O PRŮBĚHU A POŽADAVKY KE ZKOUŠCE Z MAT. ANALÝZYIbVLS2010/11 Ke zkoušce mohou přistoupit studenti, kteří získali zápočet. Do indexu jej zapíši na zkoušce, pokud cvičící potvrdí, že na něj student
LDF MENDELU. Simona Fišnarová (MENDELU) Základy lineárního programování VMAT, IMT 1 / 25
Základy lineárního programování Vyšší matematika, Inženýrská matematika LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem
Přednáška 6, 6. listopadu 2013
Přednáška 6, 6. listopadu 2013 Kapitola 2. Posloupnosti a řady funkcí. V dalším jsou f, f n : M R, n = 1, 2,..., reálné funkce jedné reálné proměnné definované na (neprázdné) množině M R. Co to znamená,
Základy matematiky pro FEK
Základy matematiky pro FEK 10. přednáška Blanka Šedivá KMA zimní semestr 016/017 Blanka Šedivá (KMA) Základy matematiky pro FEK zimní semestr 016/017 1 / 1 Použití derivace pro vyšetřování průběhu funkce
= 2x + y, = 2y + x 3. 2x + y = 0, x + 2y = 3,
V. Lokální extrémy. Příklad 1: Určete lokální extrémy zadané funkce. 1. f(x, y) = x 2 + y 2 + xy 3y 2. Definičním oborem funkce je množina Df = R 2 a funkce f má spojité parciální = 2x + y, = 2y + x 3.
Úvod. Integrování je inverzní proces k derivování Máme zderivovanou funkci a integrací získáme původní funkci kterou jsme derivovali
NEURČITÝ INTEGRÁL Úvod Integrování je inverzní proces k derivování Máme zderivovanou funkci a integrací získáme původní funkci kterou jsme derivovali Umět pracovat s integrálním počtem Je důležité pro
1. POJMY 1.1. FORMULE VÝROKOVÉHO POČTU
Obsah 1. Pojmy... 2 1.1. Formule výrokového počtu... 2 1.2. Množina... 3 1.2.1. Operace s množinami... 3 1.2.2. Relace... 3 2. Číselné obory... 5 2.1. Uzavřenost množiny na operaci... 5 2.2. Rozšíření
4EK213 LINEÁRNÍ MODELY
4EK213 LINEÁRNÍ MODELY Úterý 11:00 12:30 hod. učebna SB 324 Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 2. PŘEDNÁŠKA MATEMATICKÝ MODEL ÚLOHY LP Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 2 OSNOVA PŘEDNÁŠKY Obecná formulace MM Množina
Diferenciální počet funkcí více proměnných
Vysoké učení technické v Brně Fakulta strojního inženýrství Diferenciální počet funkcí více proměnných Doc RNDr Miroslav Doupovec, CSc Neřešené příklady Matematika II OBSAH Obsah I Diferenciální počet
12 Obyčejné diferenciální rovnice a jejich soustavy
12 Obyčejné diferenciální rovnice a jejich soustavy 121 Úvod - opakování Opakování z 1 ročníku (z kapitoly 5) Definice 121 Rovnice se separovanými proměnnými je rovnice tvaru Návod k řešení: Pokud g(c)
22 Základní vlastnosti distribucí
M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika IV kap. 22: Základní vlastnosti distribucí 5 22 Základní vlastnosti distribucí 22.1 Temperované distribuce Definice. O funkci ϕ C (R m ) řekneme, že je rychle klesající
Aplikace derivace a průběh funkce
Aplikace derivace a průběh funkce Petr Hasil Přednáška z matematiky Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipĺıny společného
(Poznámka: V MA 43 je věta formulována trochu odlišně.)
Předmět: MA4 Dnešní látka Variačně formulované okrajové úlohy: zúplnění prostoru funkcí přibližné řešení minim. úlohy metoda konečných prvků jiný pohled na zobecněné řešení stejný způsob numerické aproximace
1. POJMY 1.1. FORMULE VÝROKOVÉHO POČTU
Obsah 1. Pojmy... 2 1.1. Formule výrokového počtu... 2 1.2. Množina... 3 1.2.1. Operace s množinami... 3 1.2.2. Relace... 3 2. Číselné obory... 5 2.1. Uzavřenost množiny na operaci... 5 2.2. Rozšíření
MA2, M2. Kapitola 4. Vektorové funkce jedné reálné proměnné. c 2009, analyza.kma.zcu.cz
79 Kapitola 4 Vektorové funkce jedné reálné proměnné 80 Definice 4.1(vektorová funkce jedné reálné proměnné) Nechť D R.Zobrazení x: D R n se nazývá vektorová funkce jedné reálné proměnné t s definičním
fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na disciplíny společného základu (reg. č. CZ.1.07/2.2.00/28.
Extrémy Vyšší matematika LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na disciplíny společného základu http://akademie.ldf.mendelu.cz/cz
Drsná matematika III 3. přednáška Funkce více proměnných: Inverzní a implicitně definovaná zobrazení, vázané extrémy
Drsná matematika III 3. přednáška Funkce více proměnných: Inverzní a implicitně definovaná zobrazení, vázané extrémy Jan Slovák Masarykova univerzita Fakulta informatiky 3. 10. 2011 Obsah přednášky 1 Literatura
Limita posloupnosti, limita funkce, spojitost. May 26, 2018
Limita posloupnosti, limita funkce, spojitost May 26, 2018 Definice (Okolí bodu) Okolím bodu a R (také ε- okolím) rozumíme množinu U(a, ε) = {x R; x a < ε} = (a ε, a + ε), bod a se nazývá střed okolí a
6. přednáška 5. listopadu 2007
6. přednáška 5. listopadu 2007 Souvislost diferenciálu a parciálních derivací. Diferenciál implikuje parciální derivace a spojité parciální derivace implikují diferenciál. Tvrzení 2.3. Když je funkce f
F (x, h(x)) T (g)(x) = g(x)
11 Implicitní funkce Definice 111 (implicitní funkce) Nechť F : R 2 R je funkce a [x 0, y 0 ] R 2 je takový bo, že F (x 0, y 0 ) = 0 Řekneme, že funkce y = f(x) je v okolí bou [x 0, y 0 ] zaána implicitně
Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Diferenciální rovnice. študenti MFF 15. augusta 2008
Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Diferenciální rovnice študenti MFF 15. augusta 2008 1 7 Diferenciální rovnice Požadavky Soustavy lineárních diferenciálních rovnic prvního řádu lineární
I. Úvod. I.1. Množiny. I.2. Výrokový a predikátový počet
I. Úvod I.1. Množiny Množinou rozumíme každé shrnutí určitých a navzájem různých objektů (které nazýváme prvky) do jediného celku. Značení. Symbol x A značí, že element x je prvkem množiny A. Značení x
Texty k přednáškám z MMAN3: 4. Funkce a zobrazení v euklidovských prostorech
Texty k přednáškám z MMAN3: 4. Funkce a zobrazení v euklidovských prostorech 1. července 2008 1 Funkce v R n Definice 1 Necht n N a D R n. Reálnou funkcí v R n (reálnou funkcí n proměnných) rozumíme zobrazení
Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Skalární součin. študenti MFF 15. augusta 2008
Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Skalární součin študenti MFF 15. augusta 2008 1 10 Skalární součin Požadavky Vlastnosti v reálném i komplexním případě Norma Cauchy-Schwarzova nerovnost
Zlín, 23. října 2011
(. -. lekce) Sylva Potůčková, Dana Stesková, Lubomír Sedláček Gymnázium a Jazyková škola s právem státní jazykové zkoušky Zlín Zlín, 3. října 0 Postup při vyšetřování průběhu funkce. Definiční obor funkce,
Derivace funkce. existuje limita lim 0 ) xx xx0. Jestliže tato limita neexistuje nebo pokud funkce ff
Derivace funkce Derivace je základním pojmem v diferenciálním počtu. Má uplatnění tam, kde se zkoumá povaha funkčních závislostí určitých proměnných (veličin). V matematice, ekonomii, fyzice ale i v jiných
Hledáme lokální extrémy funkce vzhledem k množině, která je popsána jednou či několika rovnicemi, vazebními podmínkami. Pokud jsou podmínky
6. Vázané a absolutní extrémy. 01-a3b/6abs.tex Hledáme lokální extrémy funkce vzhledem k množině, která je popsána jednou či několika rovnicemi, vazebními podmínkami. Pokud jsou podmínky jednoduché, vyřešíme
14. Monotonnost, lokální extrémy, globální extrémy a asymptoty funkce
. Monotonnost, lokální extrém, globální extrém a asmptot funkce Studijní text. Monotonnost, lokální extrém, globální extrém a asmptot funkce A. Rostoucí a klesající funkce Pojm rostoucí, klesající a konstantní
Diferenciální rovnice a jejich aplikace. (Brkos 2011) Diferenciální rovnice a jejich aplikace 1 / 36
Diferenciální rovnice a jejich aplikace Zdeněk Kadeřábek (Brkos 2011) Diferenciální rovnice a jejich aplikace 1 / 36 Obsah 1 Co to je derivace? 2 Diferenciální rovnice 3 Systémy diferenciálních rovnic
Kapitola 4: Extrémy funkcí dvou proměnných 1/5
Kapitola 4: Extrémy funkcí dvou proměnných 1/5 Lokální extrémy Definice: Necht f : M R 2 R a (x 0, y 0 ) M. Říkáme, že fce f má v bodě (x 0, y 0 ) lokální maximum (resp. lokální minimum) jestliže existuje
1. DIFERENCIÁLNÍ POČET FUNKCE DVOU PROMĚNNÝCH
1. DIFERENCIÁLNÍ POČET FUNKCE DVOU PROMĚNNÝCH V minulém semestru jsme studovali vlastnosti unkcí jedné nezávislé proměnné. K popisu mnoha reálných situací obvkle s jednou proměnnou nevstačíme. FUNKCE DVOU
Komplexní analýza. Holomorfní funkce. Martin Bohata. Katedra matematiky FEL ČVUT v Praze
Komplexní analýza Holomorfní funkce Martin Bohata Katedra matematiky FEL ČVUT v Praze bohata@math.feld.cvut.cz Martin Bohata Komplexní analýza Holomorfní funkce 1 / 8 Derivace Definice Necht f je komplexní