Lineární funkcí se nazývá každá funkce, která je daná rovnicí y = ax + b, kde a, b jsou reálná čísla.

Transkript

1 Lineární funkce Lineární funkcí se nazývá každá funkce, která je daná rovnicí y = ax + b, kde a, b jsou reálná čísla. Číslo b je hodnota funkce f v bodě 0. Definičním oborem lineární funkce je množina reálných čísel. Grafem lineární funkce je přímka různoběžná s osou y. Pokud a=0 je rovnicí y = b a tuto funkci nazýváme konstantní funkce. Vlastnosti lineární funkce y = ax + b a = 0 a > 0 a < 0 y y y x x x H = {b} H = R H = R Není prostá ani rostoucí Je prostá a rostoucí Je prostá a klesající ani klesající Další vlastnosti funkcí Funkce f se nazývá zdola omezená, právě když existuje číslo d takové, že pro všechna x D f je f(x) d. Pokud platí f(a) = d, má f v bodě a minimum. Funkce f se nazývá shora omezená, právě když existuje číslo h takové, že pro všechna x D f je f(x) h. Pokud platí f(b) = h, má f v bodě b maximum. Funkce se nazývá omezená, pokud je omezení zdola i shora.

2

3

4 11. Narýsujte grafy lineárních funkcí zadaných předpisem: a) f: y = 2 b) f: y = 1 c) f: y = x d) f: y = x e) f: y = x 2 f) f: y = x + 1 g) f: y = 2x h) f: y = 1 2 x + 3 i) f: y = x Narýsujte grafy lineárních funkcí do téže soustavy souřadnic. Z nabízených možností vytvořte pravdivé tvrzení, nehodící se škrtněte. a) f 1 : y = x + 1 b) f 1 : y = 0,5x 2 f 2 : y = x + 1 f 2 : y = 2x 2 f 3 : y = 2x + 1 f 3 : y = 3x 2

5 13. Narýsujte grafy lineárních funkcí do téže soustavy souřadnic. Z nabízených možností vytvořte pravdivé tvrzení, nehodící se škrtněte. a) f 1 : y = x b) f 1 : y = 2x f 2 : y = x 3 f 2 : y = 2x + 2 f 3 : y = x + 4 f 3 : y = 2x Určete koeficienty a tak, aby graf funkce f: y = ax 2 procházel daným bodem A a) A[ 7; 12] b) A[0; 3]

6 15. Přiřaďte k sobě funkce, jejichž grafy jsou rovnoběžné přímky. A) f 1 : y = 0,5x + 1 1) f 5 : y = x 6 B) f 2 : y = x + 1 2) f 6 : y = 3x + 1 C) f 3 : y = x + 4 3) f 7 : y = 1 2 x 4 D) f 4 : y = 3x 3 4) f 8 : y = x Přiřaďte k sobě funkce, jejichž grafy jsou rovnoběžné přímky. A) f 1 : y = 0,5x + 1 1) f 5 : y = x 6 B) f 2 : y = x 4 2) f 6 : y = 3x + 1 C) f 3 : y = x 3 3) f 7 : y = 1 2 x 4 D) f 4 : y = 2x 6 4) f 8 : y = 3x 3

7 17. Pomocí dvou bodů, jimiž graf funkce prochází, stanovte předpisy lineárních funkcí zadaných grafy: a) b) c) d)

8 e) f) 19. Určete, zda body A[1; 3] a B[ 2; 3], kterými prochází graf lineární funkce f. a) Narýsujte graf funkce f. b) Stanovte předpis lineární funkce f. c) Početně ověřte, zda body P[0,5; 2] a Q[ 0,5; 2] leží na grafu funkce f. d) Početně určete souřadnice průsečíků grafu funkce f se souřadnicovými osami x a y.

9 21. Narýsujte grafy lineárních funkcí s omezenými definičními obory. Určete vlastnosti funkcí. a) f: y = 3; x ( 3; 4) b) f: y = 4x ; x 0; 1 c) f: y = 4; x ( ; 2) d) f: y = x + 3; x (- ;3

10 e) f: y = 2x + 1 ; x 2; 2 f) f: y = 0,5x 3 ; x 2; ) Užití funkcí k řešení rovnic, nerovnic a jejich soustav PS Zakroužkujte počet řešení jedné lineární rovnice o jedné neznámé. a) žádné b) jedno c) dvě d) nekonečně mnoho 6. Vyřešte graficky lineární rovnice o jedné neznámé a správnost ověřte výpočtem. a) 2x 1 = 0 b) x = x + 2 c) x = 0,5 (x 3) d) 3 (x 2) 2 (x 3) = x

11 7. V kartézské soustavě souřadnic jsou znázorněny grafy dvou lineárních funkcí. Zapište jejich rovnice a ověřte, že souřadnice průsečíku odpovídají řešení soustavy těchto rovnic. 8. Vyřešte graficky a početně soustavy dvou lineárních rovnic o dvou neznámých a) 3x y = 1 x y = 5 b) 2x y 8 = 12y 8 4 x 2y + 4 = 0 c) x+10 2 = x y x 2y = 2

12 9. Do připravených soustav dokreslete druhý graf lineární funkce tak, aby zakreslená situace představovala grafické řešení soustavy dvou lineárních rovnic o dvou neznámých s požadovaným počtem řešení. Zapište rovnice a řešení těchto soustav. 10. Přiřaďte ke každému grafickému řešení odpovídající nerovnici. 1) x y + 2 > 0 2) x y 2 3) 4x y < 2 4) 2 y 5) 1 4 x 5 4 y 6) y 2 3 x 1 3 7) y > 1 5 x 8 5 8) y > 1 3 x 4 3

13 11. Řešte graficky lineární nerovnice o dvou neznámých.

14 Funkce s absolutní hodnotou PS Jsou dány předpisy funkcí. Přiřaďte každému předpisu správný nul. bod abs. hodnoty: a) f: y = x + 1 b) f: y = x 3 c) f: y = 5 + 2x d) f: y2 5 x 2. Jsou dány grafy lineárních funkcí s absolutní hodnotou. Přiřaďte ke každému grafu předpis funkce: f: y = x f: y = x f: y = x + 1 f: y = x + 1 f: y = x 1 f: y = x 1

15 3. Jsou dány grafy lineárních funkcí s absolutní hodnotou. Přiřaďte grafu předpis funkce, nulový bod absolutní hodnoty a vlastnosti funkcí. 4. f: y = 2x 1 f: y = x + 1 f: y = x 1 f: y = x 2 f: y = 2x 1 f: y = 2x + 1

16 4. Sestrojte grafy funkcí s absolutní hodnotou. a) f: y = x + 3 b) f: y = x 2 c) f: y = 2x d) f: y = 2x + 1 e) f: y = 2 x f) f: y = x

17 Příklady k domácí přípravě 1. Je dána lineární funkce y = 2x 3 a) doplňte tabulku b) zapište průsečíky s osami c) vypište vlastnosti funkce x -2 3 y Je dána lineární funkce y = x + 2 a) sestrojte graf funkce b) zapište průsečíky s osami c) vypište vlastnosti funkce 3. Řešte graficky soustavu rovnic, zapište řešení a proveďte zkoušku 3x + y = 1 2x y = 4