Aritmetické vektory. Martina Šimůnková. Katedra aplikované matematiky. 16. března 2008
|
|
|
- Lukáš Šmíd
- před 9 lety
- Počet zobrazení:
Transkript
1 Aritmetické vektory Martina Šimůnková Katedra aplikované matematiky 16. března 2008 Martina Šimůnková (KAP) Aritmetické vektory 16. března / 34
2 Úvod 1Úvod Definice aritmetických vektorů a operací s nimi Lineární kombinace a maticový součin Co může představovat aritmetický vektor? Vlastnosti operací s aritmetickými vektory 2 Baze vektorového prostoru 3 Lineární(ne)závislost aritmetických vektorů 4 Dimenze vektorového prostoru, ověření baze 5 Souřadnice vektoru vzhledem k bazi, kanonická baze 6 Podprostory 7 Matice přechodu Martina Šimůnková (KAP) Aritmetické vektory 16. března / 34
3 Úvod Definice aritmetických vektorů a operací s nimi Uspořádanou d-tici čísel ( x1 x 2. x d ) vektorem. Operace s aritmetickými vektory Sčítání Násobení číslem Lineární kombinace budeme nazývat aritmetickým Natétostraněsebudeještěpracovat.Přibudedefiniceoperací-zatímnajdeteprvnídvěvprezentaciomaticíchatřetí v prezentaci o geometrických vektorech. Martina Šimůnková (KAP) Aritmetické vektory 16. března / 34
4 Úvod Definice aritmetických vektorů a operací s nimi Uspořádanou d-tici čísel ( x1 x 2. x d ) vektorem. Operace s aritmetickými vektory Sčítání Násobení číslem Lineární kombinace budeme nazývat aritmetickým Natétostraněsebudeještěpracovat.Přibudedefiniceoperací-zatímnajdeteprvnídvěvprezentaciomaticíchatřetí v prezentaci o geometrických vektorech. Martina Šimůnková (KAP) Aritmetické vektory 16. března / 34
5 Úvod Definice aritmetických vektorů a operací s nimi Uspořádanou d-tici čísel ( x1 x 2. x d ) vektorem. Operace s aritmetickými vektory Sčítání Násobení číslem Lineární kombinace budeme nazývat aritmetickým Natétostraněsebudeještěpracovat.Přibudedefiniceoperací-zatímnajdeteprvnídvěvprezentaciomaticíchatřetí v prezentaci o geometrických vektorech. Martina Šimůnková (KAP) Aritmetické vektory 16. března / 34
6 Úvod Definice aritmetických vektorů a operací s nimi Uspořádanou d-tici čísel ( x1 x 2. x d ) vektorem. Operace s aritmetickými vektory Sčítání Násobení číslem Lineární kombinace budeme nazývat aritmetickým Natétostraněsebudeještěpracovat.Přibudedefiniceoperací-zatímnajdeteprvnídvěvprezentaciomaticíchatřetí v prezentaci o geometrických vektorech. Martina Šimůnková (KAP) Aritmetické vektory 16. března / 34
7 Úvod Lineární kombinace a maticový součin Lineární kombinaci aritmetických vektorů můžeme vyjádřit pomocí maticového součinu. Například = , obecně α 1 α 1 1+ α α n n= ( 1 2 ) α 2... n.. α n Martina Šimůnková (KAP) Aritmetické vektory 16. března / 34
8 Úvod Lineární kombinace a maticový součin Lineární kombinaci aritmetických vektorů můžeme vyjádřit pomocí maticového součinu. Například = , obecně α 1 α 1 1+ α α n n= ( 1 2 ) α 2... n.. α n Martina Šimůnková (KAP) Aritmetické vektory 16. března / 34
9 Úvod Co může představovat aritmetický vektor? Souřadnice geometrického vektoru. Data určená ke zpracování. Diskrétní aproximaci funkce nahrazením derivací diferencemi můžeme diferenciální rovnici převést na soustavu lineárních algebraických rovnic. Koeficienty mnohočlenu určitého stupně- místo s mnohočlenem ax 2 +bx+cmůžemepracovatsaritmetickýmvektorem(a b c) T. Na této straně se bude ještě pracovat. Především přibudou obrázky. Martina Šimůnková (KAP) Aritmetické vektory 16. března / 34
10 Úvod Co může představovat aritmetický vektor? Souřadnice geometrického vektoru. Data určená ke zpracování. Diskrétní aproximaci funkce nahrazením derivací diferencemi můžeme diferenciální rovnici převést na soustavu lineárních algebraických rovnic. Koeficienty mnohočlenu určitého stupně- místo s mnohočlenem ax 2 +bx+cmůžemepracovatsaritmetickýmvektorem(a b c) T. Na této straně se bude ještě pracovat. Především přibudou obrázky. Martina Šimůnková (KAP) Aritmetické vektory 16. března / 34
11 Úvod Co může představovat aritmetický vektor? Souřadnice geometrického vektoru. Data určená ke zpracování. Diskrétní aproximaci funkce nahrazením derivací diferencemi můžeme diferenciální rovnici převést na soustavu lineárních algebraických rovnic. Koeficienty mnohočlenu určitého stupně- místo s mnohočlenem ax 2 +bx+cmůžemepracovatsaritmetickýmvektorem(a b c) T. Na této straně se bude ještě pracovat. Především přibudou obrázky. Martina Šimůnková (KAP) Aritmetické vektory 16. března / 34
12 Úvod Co může představovat aritmetický vektor? Souřadnice geometrického vektoru. Data určená ke zpracování. Diskrétní aproximaci funkce nahrazením derivací diferencemi můžeme diferenciální rovnici převést na soustavu lineárních algebraických rovnic. Koeficienty mnohočlenu určitého stupně- místo s mnohočlenem ax 2 +bx+cmůžemepracovatsaritmetickýmvektorem(a b c) T. Na této straně se bude ještě pracovat. Především přibudou obrázky. Martina Šimůnková (KAP) Aritmetické vektory 16. března / 34
13 Úvod Vlastnosti operací s aritmetickými vektory Vlastnosti jsou obdobné jako pro geometrické vektory. Na této straně se bude pracovat- časem sem vlastnosti překopíruji. Martina Šimůnková (KAP) Aritmetické vektory 16. března / 34
14 Baze vektorového prostoru 1Úvod 2 Baze vektorového prostoru Geometrické vektory a baze Cojebaze Příklady 3 Lineární(ne)závislost aritmetických vektorů 4 Dimenze vektorového prostoru, ověření baze 5 Souřadnice vektoru vzhledem k bazi, kanonická baze 6 Podprostory 7 Matice přechodu Martina Šimůnková (KAP) Aritmetické vektory 16. března / 34
15 Baze vektorového prostoru Geometrické vektory a baze Připomeneme, jak jsme definovali bazi a souřadnice vektoru vzhledem kbaziprogeometrickévektoryvroviněa3dprostoru. Bazi geometrických vektorů v rovině tvoří libovolná dvojice nenulových vektorů u, v různých směrů. Souřadnicemi vektoru a vzhledem k této bazi jsou koeficienty v lineární kombinaci a=1.75 u 0.25 v azapisujemejedosloupcůjakoaritmetickývektor =( 0.25) Situace v trojrozměrném prostoru je obdobná- baze je tvořena třemi nenulovými vektory, které neleží v jedné společné rovině. Důležitou vlastností je: pro danou bazi a daný vektor jsou souřadnice jednoznačně určené. Martina Šimůnková (KAP) Aritmetické vektory 16. března / 34
16 Baze vektorového prostoru Geometrické vektory a baze Připomeneme, jak jsme definovali bazi a souřadnice vektoru vzhledem kbaziprogeometrickévektoryvroviněa3dprostoru. Bazi geometrických vektorů v rovině tvoří libovolná dvojice nenulových vektorů u, v různých směrů. Souřadnicemi vektoru a vzhledem k této bazi jsou koeficienty v lineární kombinaci a=1.75 u 0.25 v azapisujemejedosloupcůjakoaritmetickývektor =( 0.25) Situace v trojrozměrném prostoru je obdobná- baze je tvořena třemi nenulovými vektory, které neleží v jedné společné rovině. Důležitou vlastností je: pro danou bazi a daný vektor jsou souřadnice jednoznačně určené. Martina Šimůnková (KAP) Aritmetické vektory 16. března / 34
17 Baze vektorového prostoru Geometrické vektory a baze Připomeneme, jak jsme definovali bazi a souřadnice vektoru vzhledem kbaziprogeometrickévektoryvroviněa3dprostoru. Bazi geometrických vektorů v rovině tvoří libovolná dvojice nenulových vektorů u, v různých směrů. Souřadnicemi vektoru a vzhledem k této bazi jsou koeficienty v lineární kombinaci a=1.75 u 0.25 v azapisujemejedosloupcůjakoaritmetickývektor =( 0.25) Situace v trojrozměrném prostoru je obdobná- baze je tvořena třemi nenulovými vektory, které neleží v jedné společné rovině. Důležitou vlastností je: pro danou bazi a daný vektor jsou souřadnice jednoznačně určené. Martina Šimůnková (KAP) Aritmetické vektory 16. března / 34
18 Baze vektorového prostoru Geometrické vektory a baze Připomeneme, jak jsme definovali bazi a souřadnice vektoru vzhledem kbaziprogeometrickévektoryvroviněa3dprostoru. Bazi geometrických vektorů v rovině tvoří libovolná dvojice nenulových vektorů u, v různých směrů. Souřadnicemi vektoru a vzhledem k této bazi jsou koeficienty v lineární kombinaci a=1.75 u 0.25 v azapisujemejedosloupcůjakoaritmetickývektor =( 0.25) Situace v trojrozměrném prostoru je obdobná- baze je tvořena třemi nenulovými vektory, které neleží v jedné společné rovině. Důležitou vlastností je: pro danou bazi a daný vektor jsou souřadnice jednoznačně určené. Martina Šimůnková (KAP) Aritmetické vektory 16. března / 34
19 Baze vektorového prostoru Geometrické vektory a baze Připomeneme, jak jsme definovali bazi a souřadnice vektoru vzhledem kbaziprogeometrickévektoryvroviněa3dprostoru. Bazi geometrických vektorů v rovině tvoří libovolná dvojice nenulových vektorů u, v různých směrů. Souřadnicemi vektoru a vzhledem k této bazi jsou koeficienty v lineární kombinaci a=1.75 u 0.25 v azapisujemejedosloupcůjakoaritmetickývektor =( 0.25) Situace v trojrozměrném prostoru je obdobná- baze je tvořena třemi nenulovými vektory, které neleží v jedné společné rovině. Důležitou vlastností je: pro danou bazi a daný vektor jsou souřadnice jednoznačně určené. Martina Šimůnková (KAP) Aritmetické vektory 16. března / 34
20 Baze vektorového prostoru Geometrické vektory a baze Připomeneme, jak jsme definovali bazi a souřadnice vektoru vzhledem kbaziprogeometrickévektoryvroviněa3dprostoru. Bazi geometrických vektorů v rovině tvoří libovolná dvojice nenulových vektorů u, v různých směrů. Souřadnicemi vektoru a vzhledem k této bazi jsou koeficienty v lineární kombinaci a=1.75 u 0.25 v azapisujemejedosloupcůjakoaritmetickývektor =( 0.25) Situace v trojrozměrném prostoru je obdobná- baze je tvořena třemi nenulovými vektory, které neleží v jedné společné rovině. Důležitou vlastností je: pro danou bazi a daný vektor jsou souřadnice jednoznačně určené. Martina Šimůnková (KAP) Aritmetické vektory 16. března / 34
21 Baze vektorového prostoru Geometrické vektory a baze Připomeneme, jak jsme definovali bazi a souřadnice vektoru vzhledem kbaziprogeometrickévektoryvroviněa3dprostoru. Bazi geometrických vektorů v rovině tvoří libovolná dvojice nenulových vektorů u, v různých směrů. Souřadnicemi vektoru a vzhledem k této bazi jsou koeficienty v lineární kombinaci a=1.75 u 0.25 v azapisujemejedosloupcůjakoaritmetickývektor =( 0.25) Situace v trojrozměrném prostoru je obdobná- baze je tvořena třemi nenulovými vektory, které neleží v jedné společné rovině. Důležitou vlastností je: pro danou bazi a daný vektor jsou souřadnice jednoznačně určené. Martina Šimůnková (KAP) Aritmetické vektory 16. března / 34
22 Baze vektorového prostoru Co je baze Chceme, analogicky jako pro geometrické vektory, definovat souřadnice aritmetického vektoruùvzhledem k bazi A={ 1,..., n}jakokoeficienty α 1,...,α n vlineárníkombinaci Ù= α α n n. Přirozeným požadavkem je, aby tyto koeficienty existovaly a aby byly vektoremùjednoznačně určeny. Tonásvedekdefinici:Množinuvektorů A={ 1, 2,..., n} nazvemebazívektorovéhoprostoru R d,pokud 1 KaždývektorÙ R d jemožnévyjádřitjakolineárníkombinaci vektorů množiny A. 2 TotovyjádřeníjevektoremÙ R d abazí Ajednoznačněurčené. Na následujících slajdech tyto podmínky vysvětlíme na příkladech. Martina Šimůnková (KAP) Aritmetické vektory 16. března / 34
23 Baze vektorového prostoru Co je baze Chceme, analogicky jako pro geometrické vektory, definovat souřadnice aritmetického vektoruùvzhledem k bazi A={ 1,..., n}jakokoeficienty α 1,...,α n vlineárníkombinaci Ù= α α n n. Přirozeným požadavkem je, aby tyto koeficienty existovaly a aby byly vektoremùjednoznačně určeny. Tonásvedekdefinici:Množinuvektorů A={ 1, 2,..., n} nazvemebazívektorovéhoprostoru R d,pokud 1 KaždývektorÙ R d jemožnévyjádřitjakolineárníkombinaci vektorů množiny A. 2 TotovyjádřeníjevektoremÙ R d abazí Ajednoznačněurčené. Na následujících slajdech tyto podmínky vysvětlíme na příkladech. Martina Šimůnková (KAP) Aritmetické vektory 16. března / 34
24 Baze vektorového prostoru Co je baze Chceme, analogicky jako pro geometrické vektory, definovat souřadnice aritmetického vektoruùvzhledem k bazi A={ 1,..., n}jakokoeficienty α 1,...,α n vlineárníkombinaci Ù= α α n n. Přirozeným požadavkem je, aby tyto koeficienty existovaly a aby byly vektoremùjednoznačně určeny. Tonásvedekdefinici:Množinuvektorů A={ 1, 2,..., n} nazvemebazívektorovéhoprostoru R d,pokud 1 KaždývektorÙ R d jemožnévyjádřitjakolineárníkombinaci vektorů množiny A. 2 TotovyjádřeníjevektoremÙ R d abazí Ajednoznačněurčené. Na následujících slajdech tyto podmínky vysvětlíme na příkladech. Martina Šimůnková (KAP) Aritmetické vektory 16. března / 34
25 Baze vektorového prostoru Co je baze Chceme, analogicky jako pro geometrické vektory, definovat souřadnice aritmetického vektoruùvzhledem k bazi A={ 1,..., n}jakokoeficienty α 1,...,α n vlineárníkombinaci Ù= α α n n. Přirozeným požadavkem je, aby tyto koeficienty existovaly a aby byly vektoremùjednoznačně určeny. Tonásvedekdefinici:Množinuvektorů A={ 1, 2,..., n} nazvemebazívektorovéhoprostoru R d,pokud 1 KaždývektorÙ R d jemožnévyjádřitjakolineárníkombinaci vektorů množiny A. 2 TotovyjádřeníjevektoremÙ R d abazí Ajednoznačněurčené. Na následujících slajdech tyto podmínky vysvětlíme na příkladech. Martina Šimůnková (KAP) Aritmetické vektory 16. března / 34
26 Baze vektorového prostoru Co je baze Chceme, analogicky jako pro geometrické vektory, definovat souřadnice aritmetického vektoruùvzhledem k bazi A={ 1,..., n}jakokoeficienty α 1,...,α n vlineárníkombinaci Ù= α α n n. Přirozeným požadavkem je, aby tyto koeficienty existovaly a aby byly vektoremùjednoznačně určeny. Tonásvedekdefinici:Množinuvektorů A={ 1, 2,..., n} nazvemebazívektorovéhoprostoru R d,pokud 1 KaždývektorÙ R d jemožnévyjádřitjakolineárníkombinaci vektorů množiny A. 2 TotovyjádřeníjevektoremÙ R d abazí Ajednoznačněurčené. Na následujících slajdech tyto podmínky vysvětlíme na příkladech. Martina Šimůnková (KAP) Aritmetické vektory 16. března / 34
27 Baze vektorového prostoru Co je baze Chceme, analogicky jako pro geometrické vektory, definovat souřadnice aritmetického vektoruùvzhledem k bazi A={ 1,..., n}jakokoeficienty α 1,...,α n vlineárníkombinaci Ù= α α n n. Přirozeným požadavkem je, aby tyto koeficienty existovaly a aby byly vektoremùjednoznačně určeny. Tonásvedekdefinici:Množinuvektorů A={ 1, 2,..., n} nazvemebazívektorovéhoprostoru R d,pokud 1 KaždývektorÙ R d jemožnévyjádřitjakolineárníkombinaci vektorů množiny A. 2 TotovyjádřeníjevektoremÙ R d abazí Ajednoznačněurčené. Na následujících slajdech tyto podmínky vysvětlíme na příkladech. Martina Šimůnková (KAP) Aritmetické vektory 16. března / 34
28 Baze vektorového prostoru Příklady 1 Kolikazpůsobyjemožnévyjádřitvektor =(0, 3, 13) T jako lineárníkombinacivektorů =(2, 1, 3) T,=( 3, 0,2) T, =(1, 2, 8) T?Je-litomožné,napištedvěpřípadnějedno toto vyjádření. 2 Zaměňtev1.příkladuvektor zavektor =(1, 2, 5). 3 Zaměňtev1.příkladuvektor zavektor =(0, 3, 7). Ve všech příkladech hledáme koeficienty x, y, z v lineární kombinaci =x + y+ z. V 1. příkladu upravíme tuto lineární kombinaci na soustavu 2x 3y+ z = 0 x 2z = 3 3x+2y+8z = 13. Martina Šimůnková (KAP) Aritmetické vektory 16. března / 34
29 Baze vektorového prostoru Příklady 1 Kolikazpůsobyjemožnévyjádřitvektor =(0, 3, 13) T jako lineárníkombinacivektorů =(2, 1, 3) T,=( 3, 0,2) T, =(1, 2, 8) T?Je-litomožné,napištedvěpřípadnějedno toto vyjádření. 2 Zaměňtev1.příkladuvektor zavektor =(1, 2, 5). 3 Zaměňtev1.příkladuvektor zavektor =(0, 3, 7). Ve všech příkladech hledáme koeficienty x, y, z v lineární kombinaci =x + y+ z. V 1. příkladu upravíme tuto lineární kombinaci na soustavu 2x 3y+ z = 0 x 2z = 3 3x+2y+8z = 13. Martina Šimůnková (KAP) Aritmetické vektory 16. března / 34
30 Baze vektorového prostoru Příklady 1 Kolikazpůsobyjemožnévyjádřitvektor =(0, 3, 13) T jako lineárníkombinacivektorů =(2, 1, 3) T,=( 3, 0,2) T, =(1, 2, 8) T?Je-litomožné,napištedvěpřípadnějedno toto vyjádření. 2 Zaměňtev1.příkladuvektor zavektor =(1, 2, 5). 3 Zaměňtev1.příkladuvektor zavektor =(0, 3, 7). Ve všech příkladech hledáme koeficienty x, y, z v lineární kombinaci =x + y+ z. V 1. příkladu upravíme tuto lineární kombinaci na soustavu 2x 3y+ z = 0 x 2z = 3 3x+2y+8z = 13. Martina Šimůnková (KAP) Aritmetické vektory 16. března / 34
31 Baze vektorového prostoru Příklady 1 Kolikazpůsobyjemožnévyjádřitvektor =(0, 3, 13) T jakolineárníkombinacivektorů =(2, 1, 3) T, =( 3, 0, 2) T, =(1, 2, 8) T?Je-litomožné,napište dvě případně jedno toto vyjádření. 2 Zaměňtev1.příkladuvektor zavektor =(1, 2, 5). 3 Zaměňtev1.příkladuvektor zavektor =(0, 3, 7). Ve všech příkladech hledáme koeficienty x, y, z v lineární kombinaci =x + y+ z. V 1. příkladu upravíme tuto lineární kombinaci na soustavu 2x 3y+ z = 0 x 2z = 3 3x+2y+8z = 13. Martina Šimůnková (KAP) Aritmetické vektory 16. března / 34
32 Baze vektorového prostoru Příklady 1 Kolikazpůsobyjemožnévyjádřitvektor =(0, 3, 13) T jako lineárníkombinacivektorů =(2, 1, 3) T,=( 3, 0,2) T, =(1, 2, 8) T?Je-litomožné,napištedvěpřípadnějedno toto vyjádření. 2 Zaměňtev1.příkladuvektor zavektor =(1, 2, 5). 3 Zaměňtev1.příkladuvektor zavektor =(0, 3, 7). Ve všech příkladech hledáme koeficienty x, y, z v lineární kombinaci =x + y+ z. V 1. příkladu upravíme tuto lineární kombinaci na soustavu 2x 3y+ z = 0 x 2z = 3 3x+2y+8z = 13. Martina Šimůnková (KAP) Aritmetické vektory 16. března / 34
33 Baze vektorového prostoru Příklady 1 Kolikazpůsobyjemožnévyjádřitvektor =(0, 3, 13) T jako lineárníkombinacivektorů =(2, 1, 3) T,=( 3, 0,2) T, =(1, 2, 8) T?Je-litomožné,napištedvěpřípadnějedno toto vyjádření. 2 Zaměňtev1.příkladuvektor zavektor =(1, 2, 5). 3 Zaměňtev1.příkladuvektor zavektor =(0, 3, 7). Ve všech příkladech hledáme koeficienty x, y, z v lineární kombinaci =x + y+ z. V 1. příkladu upravíme tuto lineární kombinaci na soustavu 2x 3y+ z = 0 x 2z = 3 3x+2y+8z = 13. Martina Šimůnková (KAP) Aritmetické vektory 16. března / 34
34 Baze vektorového prostoru Příklady 1 Kolikazpůsobyjemožnévyjádřitvektor =(0, 3, 13) T jako lineárníkombinacivektorů =(2, 1, 3) T,=( 3, 0,2) T, =(1, 2, 8) T?Je-litomožné,napištedvěpřípadnějedno toto vyjádření. 2 Zaměňtev1.příkladuvektor zavektor =(1, 2, 5). 3 Zaměňtev1.příkladuvektor zavektor =(0, 3, 7). Ve všech příkladech hledáme koeficienty x, y, z v lineární kombinaci =x + y+ z. V 1. příkladu upravíme tuto lineární kombinaci na soustavu 2x 3y+ z = 0 x 2z = 3 3x+2y+8z = 13. Martina Šimůnková (KAP) Aritmetické vektory 16. března / 34
35 Baze vektorového prostoru Příklady Soustavamánekonečněmnohořešení-vektor jetedymožné vyjádřitnekonečněmnohazpůsobyjakolineárníkombinacivektorů,,.volbounapříklad x=0, x=1dostanemedvělineární kombinace: = , = ++. V 2. příkladu má soustava 2x 3y+ z = 0 x 2z = 3 3x+2y+5z = 13. právě jedno řešení a příslušná, jediná, lineární kombinace je =3 +2. Martina Šimůnková (KAP) Aritmetické vektory 16. března / 34
36 Baze vektorového prostoru Příklady Soustavamánekonečněmnohořešení-vektor jetedymožné vyjádřitnekonečněmnohazpůsobyjakolineárníkombinacivektorů,,.volbounapříklad x=0, x=1dostanemedvělineární kombinace: = , = ++. V 2. příkladu má soustava 2x 3y+ z = 0 x 2z = 3 3x+2y+5z = 13. právě jedno řešení a příslušná, jediná, lineární kombinace je =3 +2. Martina Šimůnková (KAP) Aritmetické vektory 16. března / 34
37 Baze vektorového prostoru Příklady Ve 3. příkladu soustava 2x 3y+ z = 0 x 2z = 3 3x+2y+8z = 7. nemářešeníavektor tedynenímožnévyjádřitjakolineární kombinacivektorů,,. Souvislosti s podmmínkami 1, 2 v definici baze: 1 V1.příkladunenísplněna2.podmínka. 2 V2.příkladujsouprovektor splněnyoběpodmínky,ale nevíme, jestli jsou splněny i pro ostatní vektory. 3 Ve3.příkladunenísplněna1.podmínka. Martina Šimůnková (KAP) Aritmetické vektory 16. března / 34
38 Baze vektorového prostoru Příklady Ve 3. příkladu soustava 2x 3y+ z = 0 x 2z = 3 3x+2y+8z = 7. nemářešeníavektor tedynenímožnévyjádřitjakolineární kombinacivektorů,,. Souvislosti s podmmínkami 1, 2 v definici baze: 1 V1.příkladunenísplněna2.podmínka. 2 V2.příkladujsouprovektor splněnyoběpodmínky,ale nevíme, jestli jsou splněny i pro ostatní vektory. 3 Ve3.příkladunenísplněna1.podmínka. Martina Šimůnková (KAP) Aritmetické vektory 16. března / 34
39 Baze vektorového prostoru Příklady Ve 3. příkladu soustava 2x 3y+ z = 0 x 2z = 3 3x+2y+8z = 7. nemářešeníavektor tedynenímožnévyjádřitjakolineární kombinacivektorů,,. Souvislosti s podmmínkami 1, 2 v definici baze: 1 V1.příkladunenísplněna2.podmínka. 2 V2.příkladujsouprovektor splněnyoběpodmínky,ale nevíme, jestli jsou splněny i pro ostatní vektory. 3 Ve3.příkladunenísplněna1.podmínka. Martina Šimůnková (KAP) Aritmetické vektory 16. března / 34
40 Baze vektorového prostoru Příklady Ve 3. příkladu soustava 2x 3y+ z = 0 x 2z = 3 3x+2y+8z = 7. nemářešeníavektor tedynenímožnévyjádřitjakolineární kombinacivektorů,,. Souvislosti s podmmínkami 1, 2 v definici baze: 1 V1.příkladunenísplněna2.podmínka. 2 V2.příkladujsouprovektor splněnyoběpodmínky,ale nevíme, jestli jsou splněny i pro ostatní vektory. 3 Ve3.příkladunenísplněna1.podmínka. Martina Šimůnková (KAP) Aritmetické vektory 16. března / 34
41 Baze vektorového prostoru Příklady Ve 3. příkladu soustava 2x 3y+ z = 0 x 2z = 3 3x+2y+8z = 7. nemářešeníavektor tedynenímožnévyjádřitjakolineární kombinacivektorů,,. Souvislosti s podmmínkami 1, 2 v definici baze: 1 V1.příkladunenísplněna2.podmínka. 2 V2.příkladujsouprovektor splněnyoběpodmínky,ale nevíme, jestli jsou splněny i pro ostatní vektory. 3 Ve3.příkladunenísplněna1.podmínka. Martina Šimůnková (KAP) Aritmetické vektory 16. března / 34
42 Baze vektorového prostoru Příklady Ukážeme si na 1. příkladu jeden důsledek nesplnění 2. podmínky definicebaze.provektor jsmenašlidvělineárníkombinace: = , = ++. γ Jejich odečtením dostaneme = ( ++ ) apoúpravě Ó= Přičteme-litentovztahk Ù= α +β+ dostaneme Ù=(α 1) +(β 1)+(γ+ 1). 2 2 Podmínka2jetedybuďsplněnaprokaždývektorneboprožádný. A zároveň je 2. podmínka ekvivalenní s neexistencí lineární kombinace typuó= (vícevnásledujícíkapitole). Martina Šimůnková (KAP) Aritmetické vektory 16. března / 34
43 Baze vektorového prostoru Příklady Ukážeme si na 1. příkladu jeden důsledek nesplnění 2. podmínky definicebaze.provektor jsmenašlidvělineárníkombinace: = , = ++. γ Jejich odečtením dostaneme = ( ++ ) apoúpravě Ó= Přičteme-litentovztahk Ù= α +β+ dostaneme Ù=(α 1) +(β 1)+(γ+ 1). 2 2 Podmínka2jetedybuďsplněnaprokaždývektorneboprožádný. A zároveň je 2. podmínka ekvivalenní s neexistencí lineární kombinace typuó= (vícevnásledujícíkapitole). Martina Šimůnková (KAP) Aritmetické vektory 16. března / 34
44 Baze vektorového prostoru Příklady Ukážeme si na 1. příkladu jeden důsledek nesplnění 2. podmínky definicebaze.provektor jsmenašlidvělineárníkombinace: = , = ++. γ Jejich odečtením dostaneme = ( ++ ) apoúpravě Ó= Přičteme-litentovztahk Ù= α +β+ dostaneme Ù=(α 1) +(β 1)+(γ+ 1). 2 2 Podmínka2jetedybuďsplněnaprokaždývektorneboprožádný. A zároveň je 2. podmínka ekvivalenní s neexistencí lineární kombinace typuó= (vícevnásledujícíkapitole). Martina Šimůnková (KAP) Aritmetické vektory 16. března / 34
45 Baze vektorového prostoru Příklady Ukážeme si na 1. příkladu jeden důsledek nesplnění 2. podmínky definicebaze.provektor jsmenašlidvělineárníkombinace: = , = ++. γ Jejich odečtením dostaneme = ( ++ ) apoúpravě Ó= Přičteme-litentovztahk Ù= α +β+ dostaneme Ù=(α 1) +(β 1)+(γ+ 1). 2 2 Podmínka2jetedybuďsplněnaprokaždývektorneboprožádný. A zároveň je 2. podmínka ekvivalenní s neexistencí lineární kombinace typuó= (vícevnásledujícíkapitole). Martina Šimůnková (KAP) Aritmetické vektory 16. března / 34
46 Baze vektorového prostoru Příklady Ukážeme si na 1. příkladu jeden důsledek nesplnění 2. podmínky definicebaze.provektor jsmenašlidvělineárníkombinace: = , = ++. γ Jejich odečtením dostaneme = ( ++ ) apoúpravě Ó= Přičteme-litentovztahk Ù= α +β+ dostaneme Ù=(α 1) +(β 1)+(γ+ 1). 2 2 Podmínka2jetedybuďsplněnaprokaždývektorneboprožádný. A zároveň je 2. podmínka ekvivalenní s neexistencí lineární kombinace typuó= (vícevnásledujícíkapitole). Martina Šimůnková (KAP) Aritmetické vektory 16. března / 34
47 Baze vektorového prostoru Příklady Ukážeme si na 1. příkladu jeden důsledek nesplnění 2. podmínky definicebaze.provektor jsmenašlidvělineárníkombinace: = , = ++. γ Jejich odečtením dostaneme = ( ++ ) apoúpravě Ó= Přičteme-litentovztahk Ù= α +β+ dostaneme Ù=(α 1) +(β 1)+(γ+ 1). 2 2 Podmínka2jetedybuďsplněnaprokaždývektorneboprožádný. A zároveň je 2. podmínka ekvivalenní s neexistencí lineární kombinace typuó= (vícevnásledujícíkapitole). Martina Šimůnková (KAP) Aritmetické vektory 16. března / 34
48 Baze vektorového prostoru Příklady Ukážeme si na 1. příkladu jeden důsledek nesplnění 2. podmínky definicebaze.provektor jsmenašlidvělineárníkombinace: = , = ++. γ Jejich odečtením dostaneme = ( ++ ) apoúpravě Ó= Přičteme-litentovztahk Ù= α +β+ dostaneme Ù=(α 1) +(β 1)+(γ+ 1). 2 2 Podmínka2jetedybuďsplněnaprokaždývektorneboprožádný. A zároveň je 2. podmínka ekvivalenní s neexistencí lineární kombinace typuó= (vícevnásledujícíkapitole). Martina Šimůnková (KAP) Aritmetické vektory 16. března / 34
49 Baze vektorového prostoru Příklady Ukážeme si na 1. příkladu jeden důsledek nesplnění 2. podmínky definicebaze.provektor jsmenašlidvělineárníkombinace: = , = ++. γ Jejich odečtením dostaneme = ( ++ ) apoúpravě Ó= Přičteme-litentovztahk Ù= α +β+ dostaneme Ù=(α 1) +(β 1)+(γ+ 1). 2 2 Podmínka2jetedybuďsplněnaprokaždývektorneboprožádný. A zároveň je 2. podmínka ekvivalenní s neexistencí lineární kombinace typuó= (vícevnásledujícíkapitole). Martina Šimůnková (KAP) Aritmetické vektory 16. března / 34
50 Lineární(ne)závislost aritmetických vektorů 1Úvod 2 Baze vektorového prostoru 3 Lineární(ne)závislost aritmetických vektorů Definice pojmů Mezilineárnězávislýmivektoryjeněkterý navíc Geometrický význam lineární(ne)závislosti 4 Dimenze vektorového prostoru, ověření baze 5 Souřadnice vektoru vzhledem k bazi, kanonická baze 6 Podprostory 7 Matice přechodu Martina Šimůnková (KAP) Aritmetické vektory 16. března / 34
51 Lineární(ne)závislost aritmetických vektorů Definice pojmů Lineání kombinaci α 1Ù1+ α 2Ù2+ +α nùn, vekteréjsouvšechnykoeficienty α 1, α 2,...,α n nulové,nazýváme triviání lineární kombinací asi proto, že z vlastností operací s aritmetickými vektory triviáně plyne, že je rovna nulovému vektoru. Lineárníkombinaci,vekteréjealespoňjedenzkoeficient nenulový, nazýváme netriviání lineání kombinací. Vektory 1, 2,..., nnazývámelineárnězávislými,pokudexistujejejich netriviání lineární kombinace, které je rovna nulovému vektoru. Pokud taková netriviální lineární kombinace neexistuje, nazýváme vektory 1, 2,..., nlineárněnezávislými. Martina Šimůnková (KAP) Aritmetické vektory 16. března / 34
52 Lineární(ne)závislost aritmetických vektorů Definice pojmů Lineání kombinaci α 1Ù1+ α 2Ù2+ +α nùn, vekteréjsouvšechnykoeficienty α 1, α 2,...,α n nulové,nazýváme triviání lineární kombinací asi proto, že z vlastností operací s aritmetickými vektory triviáně plyne, že je rovna nulovému vektoru. Lineárníkombinaci,vekteréjealespoňjedenzkoeficient nenulový, nazýváme netriviání lineání kombinací. Vektory 1, 2,..., nnazývámelineárnězávislými,pokudexistujejejich netriviání lineární kombinace, které je rovna nulovému vektoru. Pokud taková netriviální lineární kombinace neexistuje, nazýváme vektory 1, 2,..., nlineárněnezávislými. Martina Šimůnková (KAP) Aritmetické vektory 16. března / 34
53 Lineární(ne)závislost aritmetických vektorů Definice pojmů Lineání kombinaci α 1Ù1+ α 2Ù2+ +α nùn, vekteréjsouvšechnykoeficienty α 1, α 2,...,α n nulové,nazýváme triviání lineární kombinací asi proto, že z vlastností operací s aritmetickými vektory triviáně plyne, že je rovna nulovému vektoru. Lineárníkombinaci,vekteréjealespoňjedenzkoeficient nenulový, nazýváme netriviání lineání kombinací. Vektory 1, 2,..., nnazývámelineárnězávislými,pokudexistujejejich netriviání lineární kombinace, které je rovna nulovému vektoru. Pokud taková netriviální lineární kombinace neexistuje, nazýváme vektory 1, 2,..., nlineárněnezávislými. Martina Šimůnková (KAP) Aritmetické vektory 16. března / 34
54 Lineární(ne)závislost aritmetických vektorů Definice pojmů Lineání kombinaci α 1Ù1+ α 2Ù2+ +α nùn, vekteréjsouvšechnykoeficienty α 1, α 2,...,α n nulové,nazýváme triviání lineární kombinací asi proto, že z vlastností operací s aritmetickými vektory triviáně plyne, že je rovna nulovému vektoru. Lineárníkombinaci,vekteréjealespoňjedenzkoeficient nenulový, nazýváme netriviání lineání kombinací. Vektory 1, 2,..., nnazývámelineárnězávislými,pokudexistujejejich netriviání lineární kombinace, které je rovna nulovému vektoru. Pokud taková netriviální lineární kombinace neexistuje, nazýváme vektory 1, 2,..., nlineárněnezávislými. Martina Šimůnková (KAP) Aritmetické vektory 16. března / 34
55 Lineární(ne)závislost aritmetických vektorů Definice pojmů Lineání kombinaci α 1Ù1+ α 2Ù2+ +α nùn, vekteréjsouvšechnykoeficienty α 1, α 2,...,α n nulové,nazýváme triviání lineární kombinací asi proto, že z vlastností operací s aritmetickými vektory triviáně plyne, že je rovna nulovému vektoru. Lineárníkombinaci,vekteréjealespoňjedenzkoeficient nenulový, nazýváme netriviání lineání kombinací. Vektory 1, 2,..., nnazývámelineárnězávislými,pokudexistujejejich netriviání lineární kombinace, které je rovna nulovému vektoru. Pokud taková netriviální lineární kombinace neexistuje, nazýváme vektory 1, 2,..., nlineárněnezávislými. Martina Šimůnková (KAP) Aritmetické vektory 16. března / 34
56 Lineární(ne)závislost aritmetických vektorů Definice pojmů Lineání kombinaci α 1Ù1+ α 2Ù2+ +α nùn, vekteréjsouvšechnykoeficienty α 1, α 2,...,α n nulové,nazýváme triviání lineární kombinací asi proto, že z vlastností operací s aritmetickými vektory triviáně plyne, že je rovna nulovému vektoru. Lineárníkombinaci,vekteréjealespoňjedenzkoeficient nenulový, nazýváme netriviání lineání kombinací. Vektory 1, 2,..., nnazývámelineárnězávislými,pokudexistujejejich netriviání lineární kombinace, které je rovna nulovému vektoru. Pokud taková netriviální lineární kombinace neexistuje, nazýváme vektory 1, 2,..., nlineárněnezávislými. Martina Šimůnková (KAP) Aritmetické vektory 16. března / 34
57 Lineární(ne)závislostaritmetickýchvektorů Mezilineárnězávislýmivektoryjeněkterý navíc Ukážeme jeden důsledek lineární závislosti skupiny 5Ù5=Ó vektorů(pro zjednodušení to ukážeme pro skupinu pěti vektorů). Je-li například α 4 0,můžemez α 1Ù1+ α 2Ù2+ α 3Ù3+ α 4Ù4+ α vyjádřitù4 Ù4= 1 α 4 (α 1Ù1+ α 2Ù2+ α 3Ù3+ α 5Ù5). Platí: Jsou-li vektory lineárně závislé můžeme některý z nich vyjádřit jako lineární kombinaci ostatních(ve skutečnosti každý u něhož je koeficient v netriviální lineární kombinaci rovné nulovému vektoru nenulový). (Tozhrubaznamená,že veskupiněvektorůjeněkterýnavíc.) Platí i opak: pokud je možné vyjádřit některý aritmetický vektor z množiny vektorů jako lineární kombinaci ostatních, je tato množina vektorů lineárně závislá. Martina Šimůnková (KAP) Aritmetické vektory 16. března / 34
58 Lineární(ne)závislostaritmetickýchvektorů Mezilineárnězávislýmivektoryjeněkterý navíc Ukážeme jeden důsledek lineární závislosti skupiny 5Ù5=Ó vektorů(pro zjednodušení to ukážeme pro skupinu pěti vektorů). Je-li například α 4 0,můžemez α 1Ù1+ α 2Ù2+ α 3Ù3+ α 4Ù4+ α vyjádřitù4 Ù4= 1 α 4 (α 1Ù1+ α 2Ù2+ α 3Ù3+ α 5Ù5). Platí: Jsou-li vektory lineárně závislé můžeme některý z nich vyjádřit jako lineární kombinaci ostatních(ve skutečnosti každý u něhož je koeficient v netriviální lineární kombinaci rovné nulovému vektoru nenulový). (Tozhrubaznamená,že veskupiněvektorůjeněkterýnavíc.) Platí i opak: pokud je možné vyjádřit některý aritmetický vektor z množiny vektorů jako lineární kombinaci ostatních, je tato množina vektorů lineárně závislá. Martina Šimůnková (KAP) Aritmetické vektory 16. března / 34
59 Lineární(ne)závislostaritmetickýchvektorů Mezilineárnězávislýmivektoryjeněkterý navíc Ukážeme jeden důsledek lineární závislosti skupiny 5Ù5=Ó vektorů(pro zjednodušení to ukážeme pro skupinu pěti vektorů). Je-li například α 4 0,můžemez α 1Ù1+ α 2Ù2+ α 3Ù3+ α 4Ù4+ α vyjádřitù4 Ù4= 1 α 4 (α 1Ù1+ α 2Ù2+ α 3Ù3+ α 5Ù5). Platí: Jsou-li vektory lineárně závislé můžeme některý z nich vyjádřit jako lineární kombinaci ostatních(ve skutečnosti každý u něhož je koeficient v netriviální lineární kombinaci rovné nulovému vektoru nenulový). (Tozhrubaznamená,že veskupiněvektorůjeněkterýnavíc.) Platí i opak: pokud je možné vyjádřit některý aritmetický vektor z množiny vektorů jako lineární kombinaci ostatních, je tato množina vektorů lineárně závislá. Martina Šimůnková (KAP) Aritmetické vektory 16. března / 34
60 Lineární(ne)závislostaritmetickýchvektorů Mezilineárnězávislýmivektoryjeněkterý navíc Ukážeme jeden důsledek lineární závislosti skupiny 5Ù5=Ó vektorů(pro zjednodušení to ukážeme pro skupinu pěti vektorů). Je-li například α 4 0,můžemez α 1Ù1+ α 2Ù2+ α 3Ù3+ α 4Ù4+ α vyjádřitù4 Ù4= 1 α 4 (α 1Ù1+ α 2Ù2+ α 3Ù3+ α 5Ù5). Platí: Jsou-li vektory lineárně závislé můžeme některý z nich vyjádřit jako lineární kombinaci ostatních(ve skutečnosti každý u něhož je koeficient v netriviální lineární kombinaci rovné nulovému vektoru nenulový). (Tozhrubaznamená,že veskupiněvektorůjeněkterýnavíc.) Platí i opak: pokud je možné vyjádřit některý aritmetický vektor z množiny vektorů jako lineární kombinaci ostatních, je tato množina vektorů lineárně závislá. Martina Šimůnková (KAP) Aritmetické vektory 16. března / 34
61 Lineární(ne)závislostaritmetickýchvektorů Mezilineárnězávislýmivektoryjeněkterý navíc Ukážeme jeden důsledek lineární závislosti skupiny 5Ù5=Ó vektorů(pro zjednodušení to ukážeme pro skupinu pěti vektorů). Je-li například α 4 0,můžemez α 1Ù1+ α 2Ù2+ α 3Ù3+ α 4Ù4+ α vyjádřitù4 Ù4= 1 α 4 (α 1Ù1+ α 2Ù2+ α 3Ù3+ α 5Ù5). Platí: Jsou-li vektory lineárně závislé můžeme některý z nich vyjádřit jako lineární kombinaci ostatních(ve skutečnosti každý u něhož je koeficient v netriviální lineární kombinaci rovné nulovému vektoru nenulový). (Tozhrubaznamená,že veskupiněvektorůjeněkterýnavíc.) Platí i opak: pokud je možné vyjádřit některý aritmetický vektor z množiny vektorů jako lineární kombinaci ostatních, je tato množina vektorů lineárně závislá. Martina Šimůnková (KAP) Aritmetické vektory 16. března / 34
62 Lineární(ne)závislost aritmetických vektorů Geometrický význam lineární(ne)závislosti AritmetickévektoryzR 2,případně R 3,simůžemepředstavitjako souřadnice geometrických vektorů v rovině, případně v 3D prostoru. Abychom zjistili geometrický význam lineární závislosti a nezávislosti, je teba si uvědomit: Lineární kombinací(tj. násobkem) nulového vektoru je pouze nulový vektor. Lineárními kombinacemi(tj. násobkem) nenulového vektoru jsou všechny vektory stejného směru a nulový vektor. Lineárnímikombinacemidvounenulovýchvektorů a, brůzných směrůjsouvšechnyvektory,kteréležívroviněurčenévekt. a, b. Martina Šimůnková (KAP) Aritmetické vektory 16. března / 34
63 Lineární(ne)závislost aritmetických vektorů Geometrický význam lineární(ne)závislosti AritmetickévektoryzR 2,případně R 3,simůžemepředstavitjako souřadnice geometrických vektorů v rovině, případně v 3D prostoru. Abychom zjistili geometrický význam lineární závislosti a nezávislosti, je teba si uvědomit: Lineární kombinací(tj. násobkem) nulového vektoru je pouze nulový vektor. Lineárními kombinacemi(tj. násobkem) nenulového vektoru jsou všechny vektory stejného směru a nulový vektor. Lineárnímikombinacemidvounenulovýchvektorů a, brůzných směrůjsouvšechnyvektory,kteréležívroviněurčenévekt. a, b. Martina Šimůnková (KAP) Aritmetické vektory 16. března / 34
64 Lineární(ne)závislost aritmetických vektorů Geometrický význam lineární(ne)závislosti AritmetickévektoryzR 2,případně R 3,simůžemepředstavitjako souřadnice geometrických vektorů v rovině, případně v 3D prostoru. Abychom zjistili geometrický význam lineární závislosti a nezávislosti, je teba si uvědomit: Lineární kombinací(tj. násobkem) nulového vektoru je pouze nulový vektor. Lineárními kombinacemi(tj. násobkem) nenulového vektoru jsou všechny vektory stejného směru a nulový vektor. Lineárnímikombinacemidvounenulovýchvektorů a, brůzných směrůjsouvšechnyvektory,kteréležívroviněurčenévekt. a, b. Martina Šimůnková (KAP) Aritmetické vektory 16. března / 34
65 Lineární(ne)závislost aritmetických vektorů Geometrický význam lineární(ne)závislosti AritmetickévektoryzR 2,případně R 3,simůžemepředstavitjako souřadnice geometrických vektorů v rovině, případně v 3D prostoru. Abychom zjistili geometrický význam lineární závislosti a nezávislosti, je teba si uvědomit: Lineární kombinací(tj. násobkem) nulového vektoru je pouze nulový vektor. Lineárními kombinacemi(tj. násobkem) nenulového vektoru jsou všechny vektory stejného směru a nulový vektor. Lineárnímikombinacemidvounenulovýchvektorů a, brůzných směrůjsouvšechnyvektory,kteréležívroviněurčenévekt. a, b. Martina Šimůnková (KAP) Aritmetické vektory 16. března / 34
66 Lineární(ne)závislost aritmetických vektorů Geometrický význam lineární(ne)závislosti AritmetickévektoryzR 2,případně R 3,simůžemepředstavitjako souřadnice geometrických vektorů v rovině, případně v 3D prostoru. Abychom zjistili geometrický význam lineární závislosti a nezávislosti, je teba si uvědomit: Lineární kombinací(tj. násobkem) nulového vektoru je pouze nulový vektor. Lineárními kombinacemi(tj. násobkem) nenulového vektoru jsou všechny vektory stejného směru a nulový vektor. Lineárnímikombinacemidvounenulovýchvektorů a, brůzných směrůjsouvšechnyvektory,kteréležívroviněurčenévekt. a, b. Martina Šimůnková (KAP) Aritmetické vektory 16. března / 34
67 Lineární(ne)závislost aritmetických vektorů Geometrický význam lineární(ne)závislosti AritmetickévektoryzR 2,případně R 3,simůžemepředstavitjako souřadnice geometrických vektorů v rovině, případně v 3D prostoru. Abychom zjistili geometrický význam lineární závislosti a nezávislosti, je teba si uvědomit: Lineární kombinací(tj. násobkem) nulového vektoru je pouze nulový vektor. Lineárními kombinacemi(tj. násobkem) nenulového vektoru jsou všechny vektory stejného směru a nulový vektor. Lineárnímikombinacemidvounenulovýchvektorů a, brůzných směrůjsouvšechnyvektory,kteréležívroviněurčenévekt. a, b. Z uvedeného(a z předchozího slajdu) plyne Obsahuje-li skupina vektorů nulový vektor, je lineární závislá. Obsahuje-li dva vektory stejného směru, je lineárně závislá. Obsahuje-li tři vektory ležící v jedné rovině, je lineárně závislá. Martina Šimůnková (KAP) Aritmetické vektory 16. března / 34
68 Lineární(ne)závislost aritmetických vektorů Geometrický význam lineární(ne)závislosti AritmetickévektoryzR 2,případně R 3,simůžemepředstavitjako souřadnice geometrických vektorů v rovině, případně v 3D prostoru. Abychom zjistili geometrický význam lineární závislosti a nezávislosti, je teba si uvědomit: Lineární kombinací(tj. násobkem) nulového vektoru je pouze nulový vektor. Lineárními kombinacemi(tj. násobkem) nenulového vektoru jsou všechny vektory stejného směru a nulový vektor. Lineárnímikombinacemidvounenulovýchvektorů a, brůzných směrůjsouvšechnyvektory,kteréležívroviněurčenévekt. a, b. Z uvedeného(a z předchozího slajdu) plyne Obsahuje-li skupina vektorů nulový vektor, je lineární závislá. Obsahuje-li dva vektory stejného směru, je lineárně závislá. Obsahuje-li tři vektory ležící v jedné rovině, je lineárně závislá. Martina Šimůnková (KAP) Aritmetické vektory 16. března / 34
69 Lineární(ne)závislost aritmetických vektorů Geometrický význam lineární(ne)závislosti AritmetickévektoryzR 2,případně R 3,simůžemepředstavitjako souřadnice geometrických vektorů v rovině, případně v 3D prostoru. Abychom zjistili geometrický význam lineární závislosti a nezávislosti, je teba si uvědomit: Lineární kombinací(tj. násobkem) nulového vektoru je pouze nulový vektor. Lineárními kombinacemi(tj. násobkem) nenulového vektoru jsou všechny vektory stejného směru a nulový vektor. Lineárnímikombinacemidvounenulovýchvektorů a, brůzných směrůjsouvšechnyvektory,kteréležívroviněurčenévekt. a, b. Z uvedeného(a z předchozího slajdu) plyne Obsahuje-li skupina vektorů nulový vektor, je lineární závislá. Obsahuje-li dva vektory stejného směru, je lineárně závislá. Obsahuje-li tři vektory ležící v jedné rovině, je lineárně závislá. Martina Šimůnková (KAP) Aritmetické vektory 16. března / 34
70 Lineární(ne)závislost aritmetických vektorů Geometrický význam lineární(ne)závislosti AritmetickévektoryzR 2,případně R 3,simůžemepředstavitjako souřadnice geometrických vektorů v rovině, případně v 3D prostoru. Abychom zjistili geometrický význam lineární závislosti a nezávislosti, je teba si uvědomit: Lineární kombinací(tj. násobkem) nulového vektoru je pouze nulový vektor. Lineárními kombinacemi(tj. násobkem) nenulového vektoru jsou všechny vektory stejného směru a nulový vektor. Lineárnímikombinacemidvounenulovýchvektorů a, brůzných směrůjsouvšechnyvektory,kteréležívroviněurčenévekt. a, b. Z uvedeného(a z předchozího slajdu) plyne Obsahuje-li skupina vektorů nulový vektor, je lineární závislá. Obsahuje-li dva vektory stejného směru, je lineárně závislá. Obsahuje-li tři vektory ležící v jedné rovině, je lineárně závislá. Martina Šimůnková (KAP) Aritmetické vektory 16. března / 34
71 Lineární(ne)závislost aritmetických vektorů Geometrický význam lineární(ne)závislosti AritmetickévektoryzR 2,případně R 3,simůžemepředstavitjako souřadnice geometrických vektorů v rovině, případně v 3D prostoru. Abychom zjistili geometrický význam lineární závislosti a nezávislosti, je teba si uvědomit: Lineární kombinací(tj. násobkem) nulového vektoru je pouze nulový vektor. Lineárními kombinacemi(tj. násobkem) nenulového vektoru jsou všechny vektory stejného směru a nulový vektor. Lineárnímikombinacemidvounenulovýchvektorů a, brůzných směrůjsouvšechnyvektory,kteréležívroviněurčenévekt. a, b. Příklady skupin vektorů, které jsou lineárně nezávslé: jeden nenulový vektor, dva nenulové vektory různých směrů, tři nenulové vektory neležící ve společné rovině. Martina Šimůnková (KAP) Aritmetické vektory 16. března / 34
72 Lineární(ne)závislost aritmetických vektorů Geometrický význam lineární(ne)závislosti AritmetickévektoryzR 2,případně R 3,simůžemepředstavitjako souřadnice geometrických vektorů v rovině, případně v 3D prostoru. Abychom zjistili geometrický význam lineární závislosti a nezávislosti, je teba si uvědomit: Lineární kombinací(tj. násobkem) nulového vektoru je pouze nulový vektor. Lineárními kombinacemi(tj. násobkem) nenulového vektoru jsou všechny vektory stejného směru a nulový vektor. Lineárnímikombinacemidvounenulovýchvektorů a, brůzných směrůjsouvšechnyvektory,kteréležívroviněurčenévekt. a, b. Příklady skupin vektorů, které jsou lineárně nezávslé: jeden nenulový vektor, dva nenulové vektory různých směrů, tři nenulové vektory neležící ve společné rovině. Martina Šimůnková (KAP) Aritmetické vektory 16. března / 34
73 Lineární(ne)závislost aritmetických vektorů Geometrický význam lineární(ne)závislosti AritmetickévektoryzR 2,případně R 3,simůžemepředstavitjako souřadnice geometrických vektorů v rovině, případně v 3D prostoru. Abychom zjistili geometrický význam lineární závislosti a nezávislosti, je teba si uvědomit: Lineární kombinací(tj. násobkem) nulového vektoru je pouze nulový vektor. Lineárními kombinacemi(tj. násobkem) nenulového vektoru jsou všechny vektory stejného směru a nulový vektor. Lineárnímikombinacemidvounenulovýchvektorů a, brůzných směrůjsouvšechnyvektory,kteréležívroviněurčenévekt. a, b. Příklady skupin vektorů, které jsou lineárně nezávslé: jeden nenulový vektor, dva nenulové vektory různých směrů, tři nenulové vektory neležící ve společné rovině. Martina Šimůnková (KAP) Aritmetické vektory 16. března / 34
74 Dimenze vektorového prostoru, ověření baze 1Úvod 2 Baze vektorového prostoru 3 Lineární(ne)závislost aritmetických vektorů 4 Dimenze vektorového prostoru, ověření baze 5 Souřadnice vektoru vzhledem k bazi, kanonická baze 6 Podprostory 7 Matice přechodu Martina Šimůnková (KAP) Aritmetické vektory 16. března / 34
75 Dimenze vektorového prostoru, ověření baze Platí:každábazevektorovéhoprostoru R d máprávě dprvků. Říkáme,že djedimenzevektorovéhoprostoru R d. Dáleplatí:kověření,žemnožinaodvektorechzR d jebazí vektrovéhoprostoru R d,stačíověřitbuďjednuzpodmínek1,2 z definice baze nebo podmínku lineární nezávislosti. Přitom stačí, když je podmínka 2 splněna pro jeden vektor. Nazákladěvýšeuvedenéhoudělámezávěr,ževektory,, z příkladů ve 3. kapitole (Baze vektorového prostoru) tvoří bazi vektorového prostoru R 3. Martina Šimůnková (KAP) Aritmetické vektory 16. března / 34
76 Dimenze vektorového prostoru, ověření baze Platí:každábazevektorovéhoprostoru R d máprávě dprvků. Říkáme,že djedimenzevektorovéhoprostoru R d. Dáleplatí:kověření,žemnožinaodvektorechzR d jebazí vektrovéhoprostoru R d,stačíověřitbuďjednuzpodmínek1,2 z definice baze nebo podmínku lineární nezávislosti. Přitom stačí, když je podmínka 2 splněna pro jeden vektor. Nazákladěvýšeuvedenéhoudělámezávěr,ževektory,, z příkladů ve 3. kapitole (Baze vektorového prostoru) tvoří bazi vektorového prostoru R 3. Martina Šimůnková (KAP) Aritmetické vektory 16. března / 34
77 Dimenze vektorového prostoru, ověření baze Platí:každábazevektorovéhoprostoru R d máprávě dprvků. Říkáme,že djedimenzevektorovéhoprostoru R d. Dáleplatí:kověření,žemnožinaodvektorechzR d jebazí vektrovéhoprostoru R d,stačíověřitbuďjednuzpodmínek1,2 z definice baze nebo podmínku lineární nezávislosti. Přitom stačí, když je podmínka 2 splněna pro jeden vektor. Nazákladěvýšeuvedenéhoudělámezávěr,ževektory,, z příkladů ve 3. kapitole (Baze vektorového prostoru) tvoří bazi vektorového prostoru R 3. Martina Šimůnková (KAP) Aritmetické vektory 16. března / 34
78 Souřadnice vektoru vzhledem k bazi, kanonická baze 1Úvod 2 Baze vektorového prostoru 3 Lineární(ne)závislost aritmetických vektorů 4 Dimenze vektorového prostoru, ověření baze 5 Souřadnice vektoru vzhledem k bazi, kanonická baze 6 Podprostory 7 Matice přechodu Martina Šimůnková (KAP) Aritmetické vektory 16. března / 34
79 Souřadnice vektoru vzhledem k bazi, kanonická baze Koeficienty α 1, α 2,..., α n,prokteréplatí Ù= α 1 1+ α α n n, budeme nazývat souřadnicemi vektoruùvzhledem k bazi A={ 1, 2,..., n}.souřadnicebudemepsátdosloupceabudeme používatznačení AÙ=(α 1, α 2,..., α n ) T.Množinuvektorů ) ) ) ) 1= ( , 2= ( , 3= ( ,..., d= (vektor imávi-témřádkujedničkuavostatníchnuly)budeme nazývatkanonickoubazíaznačit K={ 1, 2,..., d}.uvědomte si,ževektorù=(x 1, x 2,..., x d ) T jejejichlineárníkombinací Ù= x 1 1+ x x d d, (dosaďtedolineárníkombinacevektory iavypočtěteji,)ažesložky x 1, x 2,..., x d vektoru Ùjsou zároveň jeho souřadnicemi vzhledem ke kanonické bazi. Martina Šimůnková (KAP) Aritmetické vektory 16. března / 34 (
80 Souřadnice vektoru vzhledem k bazi, kanonická baze Koeficienty α 1, α 2,..., α n,prokteréplatí Ù= α 1 1+ α α n n, budeme nazývat souřadnicemi vektoruùvzhledem k bazi A={ 1, 2,..., n}.souřadnicebudemepsátdosloupceabudeme používatznačení AÙ=(α 1, α 2,..., α n ) T.Množinuvektorů ) ) ) ) 1= ( , 2= ( , 3= ( ,..., d= (vektor imávi-témřádkujedničkuavostatníchnuly)budeme nazývatkanonickoubazíaznačit K={ 1, 2,..., d}.uvědomte si,ževektorù=(x 1, x 2,..., x d ) T jejejichlineárníkombinací Ù= x 1 1+ x x d d, (dosaďtedolineárníkombinacevektory iavypočtěteji,)ažesložky x 1, x 2,..., x d vektoru Ùjsou zároveň jeho souřadnicemi vzhledem ke kanonické bazi. Martina Šimůnková (KAP) Aritmetické vektory 16. března / 34 (
81 Souřadnice vektoru vzhledem k bazi, kanonická baze Koeficienty α 1, α 2,..., α n,prokteréplatí Ù= α 1 1+ α α n n, budeme nazývat souřadnicemi vektoruùvzhledem k bazi A={ 1, 2,..., n}.souřadnicebudemepsátdosloupceabudeme používatznačení AÙ=(α 1, α 2,..., α n ) T.Množinuvektorů ) ) ) ) 1= ( , 2= ( , 3= ( ,..., d= (vektor imávi-témřádkujedničkuavostatníchnuly)budeme nazývatkanonickoubazíaznačit K={ 1, 2,..., d}.uvědomte si,ževektorù=(x 1, x 2,..., x d ) T jejejichlineárníkombinací Ù= x 1 1+ x x d d, (dosaďtedolineárníkombinacevektory iavypočtěteji,)ažesložky x 1, x 2,..., x d vektoru Ùjsou zároveň jeho souřadnicemi vzhledem ke kanonické bazi. Martina Šimůnková (KAP) Aritmetické vektory 16. března / 34 (
82 Souřadnice vektoru vzhledem k bazi, kanonická baze Koeficienty α 1, α 2,..., α n,prokteréplatí Ù= α 1 1+ α α n n, budeme nazývat souřadnicemi vektoruùvzhledem k bazi A={ 1, 2,..., n}.souřadnicebudemepsátdosloupceabudeme používatznačení AÙ=(α 1, α 2,..., α n ) T.Množinuvektorů ) ) ) ) 1= ( , 2= ( , 3= ( ,..., d= (vektor imávi-témřádkujedničkuavostatníchnuly)budeme nazývatkanonickoubazíaznačit K={ 1, 2,..., d}.uvědomte si,ževektorù=(x 1, x 2,..., x d ) T jejejichlineárníkombinací Ù= x 1 1+ x x d d, (dosaďtedolineárníkombinacevektory iavypočtěteji,)ažesložky x 1, x 2,..., x d vektoru Ùjsou zároveň jeho souřadnicemi vzhledem ke kanonické bazi. Martina Šimůnková (KAP) Aritmetické vektory 16. března / 34 (
83 Souřadnice vektoru vzhledem k bazi, kanonická baze Koeficienty α 1, α 2,..., α n,prokteréplatí Ù= α 1 1+ α α n n, budeme nazývat souřadnicemi vektoruùvzhledem k bazi A={ 1, 2,..., n}.souřadnicebudemepsátdosloupceabudeme používatznačení AÙ=(α 1, α 2,..., α n ) T.Množinuvektorů ) ) ) ) 1= ( , 2= ( , 3= ( ,..., d= (vektor imávi-témřádkujedničkuavostatníchnuly)budeme nazývatkanonickoubazíaznačit K={ 1, 2,..., d}.uvědomte si,ževektorù=(x 1, x 2,..., x d ) T jejejichlineárníkombinací Ù= x 1 1+ x x d d, (dosaďtedolineárníkombinacevektory iavypočtěteji,)ažesložky x 1, x 2,..., x d vektoru Ùjsou zároveň jeho souřadnicemi vzhledem ke kanonické bazi. Martina Šimůnková (KAP) Aritmetické vektory 16. března / 34 (
Vektorový prostor. Př.1. R 2 ; R 3 ; R n Dvě operace v R n : u + v = (u 1 + v 1,...u n + v n ), V (E 3 )...množina vektorů v E 3,
Vektorový prostor Příklady: Př.1. R 2 ; R 3 ; R n...aritmetický n-rozměrný prostor Dvě operace v R n : součet vektorů u = (u 1,...u n ) a v = (v 1,...v n ) je vektor u + v = (u 1 + v 1,...u n + v n ),
Základní pojmy teorie množin Vektorové prostory
Základní pojmy teorie množin Přednáška MATEMATIKA č. 1 Katedra ekonometrie FEM UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz 7. 10. 2010 Základní pojmy teorie množin Základní pojmy
Vektorové podprostory, lineární nezávislost, báze, dimenze a souřadnice
Vektorové podprostory, lineární nezávislost, báze, dimenze a souřadnice Vektorové podprostory K množina reálných nebo komplexních čísel, U vektorový prostor nad K. Lineární kombinace vektorů u 1, u 2,...,u
Matematika (CŽV Kadaň) aneb Úvod do lineární algebry Matice a soustavy rovnic
Přednáška třetí (a pravděpodobně i čtvrtá) aneb Úvod do lineární algebry Matice a soustavy rovnic Lineární rovnice o 2 neznámých Lineární rovnice o 2 neznámých Lineární rovnice o dvou neznámých x, y je
Definice. Vektorový prostor V nad tělesem T je množina s operacemi + : V V V, tj. u, v V : u + v V : T V V, tj. ( u V )( a T ) : a u V které splňují
Definice. Vektorový prostor V nad tělesem T je množina s operacemi + : V V V, tj. u, v V : u + v V : T V V, tj. ( u V )( a T ) : a u V které splňují 1. u + v = v + u, u, v V 2. (u + v) + w = u + (v + w),
0.1 Úvod do lineární algebry
Matematika KMI/PMATE 1 01 Úvod do lineární algebry 011 Lineární rovnice o 2 neznámých Definice 011 Lineární rovnice o dvou neznámých x, y je rovnice, která může být vyjádřena ve tvaru ax + by = c, kde
a počtem sloupců druhé matice. Spočítejme součin A.B. Označme matici A.B = M, pro její prvky platí:
Řešené příklady z lineární algebry - část 1 Typové příklady s řešením Příklady jsou určeny především k zopakování látky před zkouškou, jsou proto řešeny se znalostmi učiva celého semestru. Tento fakt se
0.1 Úvod do lineární algebry
Matematika KMI/PMATE 1 01 Úvod do lineární algebry 011 Vektory Definice 011 Vektorem aritmetického prostorur n budeme rozumět uspořádanou n-tici reálných čísel x 1, x 2,, x n Definice 012 Definice sčítání
3 Lineární kombinace vektorů. Lineární závislost a nezávislost
3 Lineární kombinace vektorů. Lineární závislost a nezávislost vektorů. Obrázek 5: Vektor w je lineární kombinací vektorů u a v. Vektory u, v a w jsou lineárně závislé. Obrázek 6: Vektor q je lineární
1 Linearní prostory nad komplexními čísly
1 Linearní prostory nad komplexními čísly V této přednášce budeme hledat kořeny polynomů, které se dále budou moci vyskytovat jako složky vektorů nebo matic Vzhledem k tomu, že kořeny polynomu (i reálného)
MATICE. a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A = = [a ij]
![MATICE. a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A = = [a ij]](/thumbs/58/41721403.jpg "MATICE. a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A = = [a ij]")
MATICE Matice typu m/n nad tělesem T je soubor m n prvků z tělesa T uspořádaných do m řádků a n sloupců: a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A = = [a ij] a m1 a m2 a mn Prvek a i,j je prvek matice A na místě
Vektory a matice. Obsah. Aplikovaná matematika I. Carl Friedrich Gauss. Základní pojmy a operace
Vektory a matice Aplikovaná matematika I Dana Říhová Mendelu Brno Obsah 1 Vektory Základní pojmy a operace Lineární závislost a nezávislost vektorů 2 Matice Základní pojmy, druhy matic Operace s maticemi
Lineární algebra Operace s vektory a maticemi
Lineární algebra Operace s vektory a maticemi Robert Mařík 26. září 2008 Obsah Operace s řádkovými vektory..................... 3 Operace se sloupcovými vektory................... 12 Matice..................................
Uspořádanou n-tici reálných čísel nazveme aritmetický vektor (vektor), ā = (a 1, a 2,..., a n ). Čísla a 1, a 2,..., a n se nazývají složky vektoru
1 1. Lineární algebra 1.1. Lineární závislost a nezávislost vektorů. Hodnost matice Aritmetické vektory Uspořádanou n-tici reálných čísel nazveme aritmetický vektor (vektor), ā = (a 1, a 2,..., a n ).
6.1 Vektorový prostor
6 Vektorový prostor, vektory Lineární závislost vektorů 6.1 Vektorový prostor Nechť je dán soubor nějakých prvků, v němž je dána jistá struktura vztahů mezi jednotlivými prvky nebo v němž jsou předepsána
Vektorový prostor. d) Ke každému prvku u V n existuje tzv. opačný prvek u, pro který platí, že u + u = o (vektor u nazýváme opačný vektor k vektoru u)
Hodnost matice Vektorový prostor Vektorový prostor V n je množina všech n-složkových vektorů spolu s operacemi sčítání vektorů a reálný násobek vektoru, přičemž platí: a) V n je uzavřenou množinou vůči
Kapitola 11: Vektory a matice:
Kapitola 11: Vektory a matice: Prostor R n R n = {(x 1,, x n ) x i R, i = 1,, n}, n N x = (x 1,, x n ) R n se nazývá vektor x i je i-tá souřadnice vektoru x rovnost vektorů: x = y i = 1,, n : x i = y i
VEKTORY. Obrázek 1: Jediný vektor. Souřadnice vektoru jsou jeho průměty do souřadných os x a y u dvojrozměrného vektoru, AB = B A
VEKTORY Vektorem se rozumí množina všech orientovaných úseček, které mají stejnou velikost, směr a orientaci, což vidíme na obr. 1. Jedna konkrétní orientovaná úsečka se nazývá umístění vektoru na obr.
V předchozí kapitole jsme podstatným způsobem rozšířili naši představu o tom, co je to číslo. Nadále jsou pro nás důležité především vlastnosti
Kapitola 5 Vektorové prostory V předchozí kapitole jsme podstatným způsobem rozšířili naši představu o tom, co je to číslo. Nadále jsou pro nás důležité především vlastnosti operací sčítání a násobení
x 2 = a 2 + tv 2 tedy (a 1, a 2 ) T + [(v 1, v 2 )] T A + V Příklad. U = R n neprázdná množina řešení soustavy Ax = b.
![x 2 = a 2 + tv 2 tedy (a 1, a 2 ) T + [(v 1, v 2 )] T A + V Příklad. U = R n neprázdná množina řešení soustavy Ax = b.](/thumbs/83/87395437.jpg "x 2 = a 2 + tv 2 tedy (a 1, a 2 ) T + [(v 1, v 2 )] T A + V Příklad. U = R n neprázdná množina řešení soustavy Ax = b.")
1. Afinní podprostory 1.1. Motivace. Uvažujme R 3. Jeho všechny vektorové podprostory jsou počátek, přímky a roviny procházející počátkem a celé R 3. Chceme-li v R 3 dělat geometrii potřebujeme i jiné
VEKTOROVÝ PROSTOR. Vektorový prostor V n je množina všech n-složkových vektorů spolu s operacemi sčítání, odčítání vektorů a reálný násobek vektoru.
VEKTOROVÝ PROSTOR Vektorový prostor V n je množina všech n-složkových vektorů spolu s operacemi sčítání, odčítání vektorů a reálný násobek vektoru. Soubor n-složkových vektorů je libovolná skupina vektorů,
Úvod do lineární algebry
Úvod do lineární algebry 1 Aritmetické vektory Definice 11 Mějme n N a utvořme kartézský součin R n R R R Každou uspořádanou n tici x 1 x 2 x, x n budeme nazývat n rozměrným aritmetickým vektorem Prvky
Matematika B101MA1, B101MA2
Matematika B101MA1, B101MA2 Zařazení předmětu: povinný předmět 1.ročníku bc studia 2 semestry Rozsah předmětu: prezenční studium 2 + 2 kombinované studium 16 + 0 / semestr Zakončení předmětu: ZS zápočet
INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ. Modernizace studijního programu Matematika na PřF Univerzity Palackého v Olomouci CZ.1.07/2.2.00/28.
INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ Modernizace studijního programu Matematika na PřF Univerzity Palackého v Olomouci CZ.1.07/2.2.00/28.0141 Báze vektorových prostorů, transformace souřadnic Michal Botur Přednáška
Kapitola 11: Vektory a matice 1/19
Kapitola 11: Vektory a matice 1/19 2/19 Prostor R n R n = {(x 1,..., x n ) x i R, i = 1,..., n}, n N x = (x 1,..., x n ) R n se nazývá vektor x i je i-tá souřadnice vektoru x rovnost vektorů: x = y i =
6. ANALYTICKÁ GEOMETRIE
Vektorová algebra 6. ANALYTICKÁ GEOMETRIE Pravoúhlé souřadnice bodu v prostoru Poloha bodu v prostoru je vzhledem ke třem osám k sobě kolmým určena třemi souřadnicemi, které tvoří uspořádanou trojici reálných
1 Báze a dimenze vektorového prostoru 1
1 Báze a dimenze vektorového prostoru 1 Báze a dimenze vektorového prostoru 1 2 Aritmetické vektorové prostory 7 3 Eukleidovské vektorové prostory 9 Levá vnější operace Definice 5.1 Necht A B. Levou vnější
Katedra aplikované matematiky FEI VŠB Technická univerzita Ostrava luk76/la1
Lineární algebra 5. přednáška: Báze a řešitelnost soustav Dalibor Lukáš Katedra aplikované matematiky FEI VŠB Technická univerzita Ostrava email: dalibor.lukas@vsb.cz http://homel.vsb.cz/ luk76/la1 Text
DEFINICE Z LINEÁRNÍ ALGEBRY
DEFINICE Z LINEÁRNÍ ALGEBRY Skripta Matematické metody pro statistiku a operační výzkum (Nešetřilová, H., Šařecová, P., 2009). 1. definice Vektorovým prostorem rozumíme neprázdnou množinu prvků V, na které
10. Vektorové podprostory
Matematický ústav Slezské univerzity v Opavě Učební texty k přednášce ALGEBRA II, letní semestr 2000/2001 Michal Marvan Definice. Bud V vektorový prostor nad polem P. Podmnožina U V se nazývá podprostor,
Matematika. Kamila Hasilová. Matematika 1/34
Matematika Kamila Hasilová Matematika 1/34 Obsah 1 Úvod 2 GEM 3 Lineární algebra 4 Vektory Matematika 2/34 Úvod Zkouška písemná, termíny budou včas vypsány na Intranetu UO obsah: teoretická a praktická
6. Lineární nezávislost a báze p. 1/18
6. Lineární nezávislost a báze 6. Lineární nezávislost a báze p. 1/18 6. Lineární nezávislost a báze p. 2/18 Lineární nezávislost a báze 1. Závislé a nezávislé vektory 2. Lineární kombinace a závislost
příkladů do cvičení. V textu se objeví i pár detailů, které jsem nestihl (na které jsem zapomněl) a(b u) = (ab) u, u + ( u) = 0 = ( u) + u.
Několik řešených příkladů do Matematiky Vektory V tomto textu je spočteno několik ukázkových příkladů které vám snad pomohou při řešení příkladů do cvičení. V textu se objeví i pár detailů které jsem nestihl
Vlastní čísla a vlastní vektory
Vlastní čísla a vlastní vektory 1 Motivace Uvažujme lineární prostor všech vázaných vektorů v rovině, které procházejí počátkem, a lineární zobrazení tohoto prostoru do sebe(lineární transformaci, endomorfismus)
1 Vektorové prostory.
1 Vektorové prostory DefiniceMnožinu V, jejíž prvky budeme označovat a, b, c, z, budeme nazývat vektorovým prostorem právě tehdy, když budou splněny následující podmínky: 1 Je dáno zobrazení V V V, které
Matematika B101MA1, B101MA2
Matematika B101MA1, B101MA2 Zařazení předmětu: povinný předmět 1.ročníku bc studia 2 semestry Rozsah předmětu: prezenční studium 2 + 2 kombinované studium 16 + 0 / semestr Zakončení předmětu: ZS zápočet
Báze a dimenze vektorových prostorů
Báze a dimenze vektorových prostorů Buď (V, +, ) vektorový prostor nad tělesem (T, +, ). Nechť u 1, u 2,..., u n je konečná posloupnost vektorů z V. Existují-li prvky s 1, s 2,..., s n T, z nichž alespoň
Základy matematiky pro FEK
Základy matematiky pro FEK 2. přednáška Blanka Šedivá KMA zimní semestr 2016/2017 Blanka Šedivá (KMA) Základy matematiky pro FEK zimní semestr 2016/2017 1 / 20 Co nás dneska čeká... Závislé a nezávislé
VĚTY Z LINEÁRNÍ ALGEBRY
VĚTY Z LINEÁRNÍ ALGEBRY Skripta Matematické metody pro statistiku a operační výzkum (Nešetřilová, H., Šařecová, P., 2009). 1. věta Nechť M = {x 1, x 2,..., x k } je množina vektorů z vektorového prostoru
Matematika I, část I. Rovnici (1) nazýváme vektorovou rovnicí roviny ABC. Rovina ABC prochází bodem A a říkáme, že má zaměření u, v. X=A+r.u+s.
3.4. Výklad Předpokládejme, že v prostoru E 3 jsou dány body A, B, C neležící na jedné přímce. Těmito body prochází jediná rovina, kterou označíme ABC. Určíme vektory u = B - A, v = C - A, které jsou zřejmě
Definice 13.1 Kvadratická forma v n proměnných s koeficienty z tělesa T je výraz tvaru. Kvadratická forma v n proměnných je tak polynom n proměnných s
Kapitola 13 Kvadratické formy Definice 13.1 Kvadratická forma v n proměnných s koeficienty z tělesa T je výraz tvaru f(x 1,..., x n ) = a ij x i x j, kde koeficienty a ij T. j=i Kvadratická forma v n proměnných
EUKLIDOVSKÉ PROSTORY
EUKLIDOVSKÉ PROSTORY Necht L je lineární vektorový prostor nad tělesem reálných čísel R. Zobrazení (.,.) : L L R splňující vlastnosti 1. (x, x) 0 x L, (x, x) = 0 x = 0, 2. (x, y) = (y, x) x, y L, 3. (λx,
1 Řešení soustav lineárních rovnic
1 Řešení soustav lineárních rovnic 1.1 Lineární rovnice Lineární rovnicí o n neznámých x 1,x 2,..., x n s reálnými koeficienty rozumíme rovnici ve tvaru a 1 x 1 + a 2 x 2 +... + a n x n = b, (1) kde koeficienty
Soustavy lineárních diferenciálních rovnic I. řádu s konstantními koeficienty
Soustavy lineárních diferenciálních rovnic I řádu s konstantními koeficienty Definice a) Soustava tvaru x = ax + a y + az + f() t y = ax + a y + az + f () t z = a x + a y + a z + f () t se nazývá soustava
[1] Motivace. p = {t u ; t R}, A(p) = {A(t u ); t R} = {t A( u ); t R}
![[1] Motivace. p = {t u ; t R}, A(p) = {A(t u ); t R} = {t A( u ); t R}](/thumbs/26/7692117.jpg "[1] Motivace. p = {t u ; t R}, A(p) = {A(t u ); t R} = {t A( u ); t R}")
Vlastní číslo, vektor motivace: směr přímky, kterou lin. transformace nezmění invariantní podprostory charakteristický polynom báze, vzhledem ke které je matice transformace nejjednodušší podobnost s diagonální
VI. Maticový počet. VI.1. Základní operace s maticemi. Definice. Tabulku
VI Maticový počet VI1 Základní operace s maticemi Definice Tabulku a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n, a m1 a m2 a mn kde a ij R, i = 1,, m, j = 1,, n, nazýváme maticí typu m n Zkráceně zapisujeme (a ij i=1m
Matice. Předpokládejme, že A = (a ij ) je matice typu m n: diagonálou jsou rovny nule.
Matice Definice. Maticí typu m n nazýváme obdélníkové pole, tvořené z m n reálných čísel (tzv. prvků matice), zapsaných v m řádcích a n sloupcích. Značíme např. A = (a ij ), kde i = 1,..., m, j = 1,...,
Soustavy lineárních rovnic
Přednáška MATEMATIKA č 4 Katedra ekonometrie FEM UO Brno kancelář 69a, tel 973 442029 email:jirineubauer@unobcz 27 10 2010 Soustava lineárních rovnic Definice Soustava rovnic a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a
Řešení. Hledaná dimenze je (podle definice) rovna hodnosti matice. a 1 2. 1 + a 2 2 1
Příklad 1. Určete všechna řešení následující soustavy rovnic nad Z 2 : 0 0 0 1 1 1 0 1 0 1 1 1 1 1 0 1 0 1 0 1 1 Gaussovou eliminací převedeme zadanou soustavu na ekvivalentní soustavu v odstupňovaném
1 Připomenutí vybraných pojmů
1 Připomenutí vybraných pojmů 1.1 Grupa Definice 1 ((Komutativní) grupa). Grupou (M, ) rozumíme množinu M spolu s operací na M, která má tyto vlastnosti: i) x, y M; x y M, Operace je neomezeně definovaná
9 Kolmost vektorových podprostorů
9 Kolmost vektorových podprostorů Od kolmosti dvou vektorů nyní přejdeme ke kolmosti dvou vektorových podprostorů. Budeme se zabývat otázkou, kdy jsou dva vektorové podprostory na sebe kolmé a jak to poznáme.
Teorie informace a kódování (KMI/TIK) Reed-Mullerovy kódy
Teorie informace a kódování (KMI/TIK) Reed-Mullerovy kódy Lukáš Havrlant Univerzita Palackého 10. ledna 2014 Primární zdroj Jiří Adámek: Foundations of Coding. Strany 137 160. Na webu ke stažení, heslo:
1 Projekce a projektory
Cvičení 3 - zadání a řešení úloh Základy numerické matematiky - NMNM20 Verze z 5. října 208 Projekce a projektory Opakování ortogonální projekce Definice (Ortogonální projekce). Uvažujme V vektorový prostor
Maticí typu (m, n), kde m, n jsou přirozená čísla, se rozumí soubor mn veličin a jk zapsaných do m řádků a n sloupců tvaru:
3 Maticový počet 3.1 Zavedení pojmu matice Maticí typu (m, n, kde m, n jsou přirozená čísla, se rozumí soubor mn veličin a jk zapsaných do m řádků a n sloupců tvaru: a 11 a 12... a 1k... a 1n a 21 a 22...
6. Vektorový počet Studijní text. 6. Vektorový počet
6. Vektorový počet Budeme se pohybovat v prostoru R n, což je kartézská mocnina množiny reálných čísel R; R n = R R. Obvykle nám bude stačit omezení na případy n = 1, 2, 3; nicméně teorie je platná obecně.
Matematika pro ekonomy
Matematika pro ekonomy Karel Hrach Matematika pro ekonomy VYSOKÁ ŠKOLA EKONOMIE A MANAGEMENTU Praha 2007 Matematika pro ekonomy Karel hrach Copyright Vysoká škola ekonomie a managementu 2007. Vydání první.
IB112 Základy matematiky
IB112 Základy matematiky Řešení soustavy lineárních rovnic, matice, vektory Jan Strejček IB112 Základy matematiky: Řešení soustavy lineárních rovnic, matice, vektory 2/53 Obsah Soustava lineárních rovnic
2. Určete jádro KerL zobrazení L, tj. nalezněte alespoň jednu jeho bázi a určete jeho dimenzi.
Řešené příklady z lineární algebry - část 3 Typové příklady s řešením Příklad 3.1: Zobrazení L: P 3 R 23 je zobrazení z prostoru P 3 všech polynomů do stupně 3 (včetně nulového polynomu) do prostoru R
Vlastní číslo, vektor
[1] Vlastní číslo, vektor motivace: směr přímky, kterou lin. transformace nezmění invariantní podprostory charakteristický polynom báze, vzhledem ke které je matice transformace nejjednodušší podobnost
MENDELOVA UNIVERZITA V BRNĚ LDF MT MATEMATIKA VEKTORY, MATICE
MENDELOVA UNIVERZITA V BRNĚ LDF MT MATEMATIKA VEKTORY, MATICE Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipliny společného
MENDELOVA UNIVERZITA V BRNĚ LDF MT MATEMATIKA VEKTORY, MATICE
MENDELOVA UNIVERZITA V BRNĚ LDF MT MATEMATIKA VEKTORY, MATICE Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipliny společného
Lineární algebra : Lineární (ne)závislost
Lineární algebra : Lineární (ne)závislost (4. přednáška) František Štampach, Karel Klouda frantisek.stampach@fit.cvut.cz, karel.klouda@fit.cvut.cz Katedra aplikované matematiky Fakulta informačních technologií
(ne)závislost. α 1 x 1 + α 2 x 2 + + α n x n. x + ( 1) x Vektoru y = ( 1) y říkáme opačný vektor k vektoru y. x x = 1. x = x = 0.
Lineární (ne)závislost [1] Odečítání vektorů, asociativita BI-LIN, zavislost, 3, P. Olšák [2] Místo, abychom psali zdlouhavě: x + ( 1) y, píšeme stručněji x y. Vektoru y = ( 1) y říkáme opačný vektor k
1 Lineární prostory a podprostory
Lineární prostory a podprostory Přečtěte si: Učebnice AKLA, kapitola první, podkapitoly. až.4 včetně. Cvičení. Které z následujících množin jsou lineárními prostory s přirozenými definicemi operací?. C
ANALYTICKÁ GEOMETRIE V ROVINĚ
ANALYTICKÁ GEOMETRIE V ROVINĚ Analytická geometrie vyšetřuje geometrické objekty (body, přímky, kuželosečky apod.) analytickými metodami. Podle prostoru, ve kterém pracujeme, můžeme analytickou geometrii
Lineární algebra : Metrická geometrie
Lineární algebra : Metrická geometrie (16. přednáška) František Štampach, Karel Klouda LS 2013/2014 vytvořeno: 6. května 2014, 10:42 1 2 Úvod Zatím jsme se lineární geometrii věnovali v kapitole o lineárních
Lineární algebra : Úvod a opakování
Lineární algebra : Úvod a opakování (1. přednáška) František Štampach, Karel Klouda LS 013/014 vytvořeno: 19. února 014, 13:15 1 0.1 Lineární prostory R a R 3 V této přednášce si na jednoduchém příkladu
[1] Vzhledem ke zvolené bázi určujeme souřadnice vektorů...
![[1] Vzhledem ke zvolené bázi určujeme souřadnice vektorů...](/thumbs/13/23926.jpg "[1] Vzhledem ke zvolené bázi určujeme souřadnice vektorů...")
[1] Báze Každý lineární (pod)prostor má svou bázi Vzhledem ke zvolené bázi určujeme souřadnice vektorů... a) base, 4, b) P. Olšák, FEL ČVUT, c) P. Olšák 2010, d) BI-LIN, e) L, f) 2009/2010, g)l. Viz p.
Eukleidovský prostor a KSS Eukleidovský prostor je bodový prostor, ve kterém je definována vzdálenost dvou bodů (metrika)
Eukleidovský prostor a KSS Eukleidovský prostor je bodový prostor, ve kterém je definována vzdálenost dvou bodů (metrika) Kartézská soustava souřadnic je dána počátkem O a uspořádanou trojicí bodů E x,
V: Pro nulový prvek o lineárního prostoru L platí vlastnosti:
Zpracoval: hypspave@fel.cvut.cz. Základní vlastnosti abstraktních lineárních prostorů. Lineární závislost, nezávislost, báze, souřadnice vzhledem k bázi, matice lineárního zobrazení vzhledem k bázím.skalární
Afinita je stručný název pro afinní transformaci prostoru, tj.vzájemně jednoznačné afinní zobrazení bodového prostoru A n na sebe.
4 Afinita Afinita je stručný název pro afinní transformaci prostoru, tj.vzájemně jednoznačné afinní zobrazení bodového prostoru A n na sebe. Poznámka. Vzájemně jednoznačným zobrazením rozumíme zobrazení,
transformace je posunutí plus lineární transformace má svou matici vzhledem k homogenním souřadnicím [1]
![transformace je posunutí plus lineární transformace má svou matici vzhledem k homogenním souřadnicím [1]](/thumbs/88/115112143.jpg "transformace je posunutí plus lineární transformace má svou matici vzhledem k homogenním souřadnicím [1]")
[1] Afinní transformace je posunutí plus lineární transformace má svou matici vzhledem k homogenním souřadnicím využití například v počítačové grafice Evropský sociální fond Praha & EU. Investujeme do
označme j = (0, 1) a nazvěme tuto dvojici imaginární jednotkou. Potom libovolnou (x, y) = (x, 0) + (0, y) = (x, 0) + (0, 1)(y, 0) = x + jy,
Komplexní čísla Množinu všech uspořádaných dvojic (x, y) reálných čísel x, y nazýváme množinou komplexních čísel C, jestliže pro každé dvě takové dvojice (x, y ), (x 2, y 2 ) je definována rovnost, sčítání
Matematika pro studenty ekonomie. Doc. RNDr. Jiří Moučka, Ph.D. RNDr. Petr Rádl
Doc. RNDr. Jiří Moučka, Ph.D. RNDr. Petr Rádl Matematika pro studenty ekonomie Vydala Grada Publishing, a.s. U Průhonu 22, 70 00 Praha 7 tel.: +420 234 264 40, fax: +420 234 264 400 www.grada.cz jako svou
Poznámka. V některých literaturách se pro označení vektoru také používá symbolu u.
Vektory, operace s vektory Ž3 Orientovaná úsečka Mějme dvojici bodů, (na přímce, v rovině nebo prostoru), které spojíme a vznikne tak úsečka. Pokud budeme rozlišovat, zda je spojíme od k nebo od k, říkáme,
Pavel Horák, Josef Janyška LINEÁRNÍ ALGEBRA UČEBNÍ TEXT
Pavel Horák, Josef Janyška LINEÁRNÍ ALGEBRA UČEBNÍ TEXT 2 0 1 8 Obsah 1 Vektorové prostory 1 1 Vektorový prostor, podprostory........................ 1 2 Generování podprostor u............................
Lineární prostory. - vektorové veličiny(síla, rychlost, zrychlení,...), skládání, násobení reálným číslem
Lineární prostory - vektorové veličiny(síla, rychlost, zrychlení,...), skládání, násobení reálným číslem - volné vektory a operace s nimi(sčítání, násobení reálným číslem) -ve 2 nebove 3 vázanévektorysespolečnýmpočátkem
Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Vlastní čísla a vlastní hodnoty. študenti MFF 15. augusta 2008
Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Vlastní čísla a vlastní hodnoty študenti MFF 15. augusta 2008 1 14 Vlastní čísla a vlastní hodnoty Požadavky Vlastní čísla a vlastní hodnoty lineárního
8.3). S ohledem na jednoduchost a názornost je výhodné seznámit se s touto Základní pojmy a vztahy. Definice
9. Lineární diferenciální rovnice 2. řádu Cíle Diferenciální rovnice, v nichž hledaná funkce vystupuje ve druhé či vyšší derivaci, nazýváme diferenciálními rovnicemi druhého a vyššího řádu. Analogicky
α 1 α 2 + α 3 = 0 2α 1 + α 2 + α 3 = 0
Vzhledem k tomu, že jsem to psala ve velkém spěchu, mohou se vyskytnout nějaké chybičky. Pokud nějaké najdu, opravím je hned po prázdninách. Zadání A. 1. Vektory u, v, w jsou lineárně nezávislé. Rozhodněte,
Matematika 2 pro PEF PaE
Vektorové prostory 1 / 17 Matematika 2 pro PEF PaE 8. Vektorové prostory Přemysl Jedlička Katedra matematiky, TF ČZU Vektorové prostory Vektorové prostory a podprostory 2 / 17 vektorového prostoru Množina
6 Lineární geometrie. 6.1 Lineární variety
6 Lineární geometrie Motivace. Pojem lineární varieta, který budeme v této kapitole studovat z nejrůznějších úhlů pohledu, není žádnou umělou konstrukcí. Příkladem lineární variety je totiž množina řešení
Analytická metoda aneb Využití vektorů v geometrii
KM/GVS Geometrické vidění světa (Design) nalytická metoda aneb Využití vektorů v geometrii Použité značky a symboly R, C, Z obor reálných, komleních, celých čísel geometrický vektor R n aritmetický vektor
7. Důležité pojmy ve vektorových prostorech
7. Důležité pojmy ve vektorových prostorech Definice: Nechť Vje vektorový prostor a množina vektorů {v 1, v 2,, v n } je podmnožinou V. Pak součet skalárních násobků těchto vektorů, tj. a 1 v 1 + a 2 v
fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na disciplíny společného základu http://akademie.ldf.mendelu.cz/cz (reg. č. CZ.1.07/2.2.00/28.
Základy lineárního programování Vyšší matematika, Inženýrská matematika LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem
6 Samodružné body a směry afinity
6 Samodružné body a směry afinity Samodružnými body a směry zobrazení rozumíme body a směry, které se v zobrazují samy na sebe. Například otočení R(S má jediný samodružný bod, střed S, anemá žádný samodružný
Symetrické a kvadratické formy
Symetrické a kvadratické formy Aplikace: klasifikace kvadrik(r 2 ) a kvadratických ploch(r 3 ), optimalizace(mpi) BI-LIN (Symetrické a kvadratické formy) 1 / 20 V celé přednášce uvažujeme číselné těleso
A[a 1 ; a 2 ; a 3 ] souřadnice bodu A v kartézské soustavě souřadnic O xyz
![A[a 1 ; a 2 ; a 3 ] souřadnice bodu A v kartézské soustavě souřadnic O xyz](/thumbs/47/23721460.jpg "A[a 1 ; a 2 ; a 3 ] souřadnice bodu A v kartézské soustavě souřadnic O xyz")
1/15 ANALYTICKÁ GEOMETRIE Základní pojmy: Soustava souřadnic v rovině a prostoru Vzdálenost bodů, střed úsečky Vektory, operace s vektory, velikost vektoru, skalární součin Rovnice přímky Geometrie v rovině
Těleso racionálních funkcí
Těleso racionálních funkcí Poznámka. V minulém semestru jsme libovolnému oboru integrity sestrojili podílové těleso. Pro libovolné těleso R je okruh polynomů R[x] oborem integrity, máme tedy podílové těleso
PROSTORY SE SKALÁRNÍM SOUČINEM. Definice Nechť L je lineární vektorový prostor nad R. Zobrazení L L R splňující vlastnosti
PROSTORY SE SKALÁRNÍM SOUČINEM Definice Nechť L je lineární vektorový prostor nad R. Zobrazení L L R splňující vlastnosti 1. (x, x) 0 x L, (x, x) = 0 x = 0, 2. (x, y) = (y, x) x, y L, 3. (λx, y) = λ(x,
vyjádřete ve tvaru lineární kombinace čtverců (lineární kombinace druhých mocnin). Rozhodněte o definitnosti kvadratické formy κ(x).
Řešené příklady z lineární algebry - část 6 Typové příklady s řešením Příklad 6.: Kvadratickou formu κ(x) = x x 6x 6x x + 8x x 8x x vyjádřete ve tvaru lineární kombinace čtverců (lineární kombinace druhých
Program SMP pro kombinované studium
Zadání příkladů k procvičení na seminář Program SMP pro kombinované studium Nejdůležitější typy příkladů - minimum znalostí před zkouškovou písemkou 1) Matice 1. Pro matice 1 0 2 1 0 3 B = 7 3 4 4 2 0
LDF MENDELU. Simona Fišnarová (MENDELU) Základy lineárního programování VMAT, IMT 1 / 25
Základy lineárního programování Vyšší matematika, Inženýrská matematika LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem
ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ V ROVINĚ
ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ V ROVINĚ Parametrické vyjádření přímky v rovině Máme přímku p v rovině určenou body A, B. Sestrojíme vektor u = B A. Pro bod B tím pádem platí: B = A + u. Je zřejmé,
Požadavky ke zkoušce
Požadavky ke zkoušce Zkouška z předmětu MATEMATIKA 2 má dvě části Písemná část: Písemná část se ještě dále rozděluje na praktickou část písemku a teoretickou část test. Písemka trvá 90 minut a je v ní
PŘÍMKA A JEJÍ VYJÁDŘENÍ V ANALYTICKÉ GEOMETRII
PŘÍMKA A JEJÍ VYJÁDŘENÍ V ANALYTICKÉ GEOMETRII V úvodu analytické geometrie jsme vysvětlili, že její hlavní snahou je popsat geometrické útvary (body, vektory, přímky, kružnice,...) pomocí čísel nebo proměnných.
Necht tedy máme přirozená čísla n, k pod pojmem systém lineárních rovnic rozumíme rovnice ve tvaru
2. Systémy lineárních rovnic V této kapitole se budeme zabývat soustavami lineárních rovnic s koeficienty z pole reálných případně komplexních čísel. Uvádíme podmínku pro existenci řešení systému lineárních
Afinní transformace Stručnější verze
[1] Afinní transformace Stručnější verze je posunutí plus lineární transformace má svou matici vzhledem k homogenním souřadnicím body a vektory: afinní prostor využití například v počítačové grafice a)
7. Lineární vektorové prostory
7. Lineární vektorové prostory Tomáš Salač MÚ UK, MFF UK LS 2017/18 Tomáš Salač ( MÚ UK, MFF UK ) 7. Lineární vektorové prostory LS 2017/18 1 / 62 7.1 Definice a příklady Definice 7.1 Množina G s binární
maticeteorie 1. Matice A je typu 2 4, matice B je typu 4 3. Jakých rozměrů musí být matice X, aby se dala provést
Úlohy k zamyšlení 1. Zdůvodněte, proč třetí řádek Hornerova schématu pro vyhodnocení polynomu p v bodě c obsahuje koeficienty polynomu r, pro který platí p(x) = (x c) r(x) + p(c). 2. Dokažte, že pokud