6.1 Vektorový prostor

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "6.1 Vektorový prostor"

Transkript

1 6 Vektorový prostor, vektory Lineární závislost vektorů 6.1 Vektorový prostor Nechť je dán soubor nějakých prvků, v němž je dána jistá struktura vztahů mezi jednotlivými prvky nebo v němž jsou předepsána pravidla, jak s prvky operovat a manipulovat. Takový soubor tvoří často základ k dalšímu matematickému zkoumání a nazývá se pak prostor. Tento termín má svůj původ v geometrickém modelu, ve kterém prvky jsou tvořeny body. Budeme nyní definovat vektorový prostor. Definice 1. Množina prvků V se nazývá vektorový (lineární) prostor, jestliže 1) každým dvěma prvkům u V a v V je přiřazen prvek u + v V, který se nazývá součet prvků u a v (V je uzavřená vzhledem ke sčítání), 2) každému prvku u V a číslu λ R je přiřazen prvek λu V, který se nazývá násobek (vnější součin) prvku u a čísla λ (V je uzavřená vzhledem kvnějšímusoučinu), 3) tyto operace mají následující vlastnosti 1 u + v = v + u pro každé u, v V (komutativní zákon); 2 (u + v)+w = u +(v + w) prokaždéu, v, w V (asociativní zákon); 3 existuje právě jeden prvek o V takový, že u + o = u pro každé u V. Prvek o se nazývá nulový prvek; 4 pro každý prvek u V existuje ve V prvek označený u takový, že u +( u) =o; 5 1 u = u pro každé u V; 6 α(βu) =(αβ)u pro každý prvek u V a α, β R; 7 (α + β)u = αu + βu pro každý prvek u V a α, β R; 8 α(u + v) =αu + αv pro každé dva prvky u, v V a α R, kde = je relace ekvivalence (rovnost, býti stejný jako ). Prvky vektorového prostoru V se nazývají vektory. Poznámka 1. V této definici se neříká, jak se definují operace sčítání vektorů a násobení vektoru reálným číslem. Je třeba, aby byly splněny uvedené vlastnosti těchto operací. 3

2 Ukázka 1. Příklady vektorových prostorů: 1. Nejjednodušším důležitým příkladem vektorového prostoru je množina všech uspořádaných n-tic reálných čísel x =(x 1,...,x n ). Sčítání a násobení reálným číslem je v tomto prostoru definováno takto: Je-li x =(x 1,...,x n ), y =(y 1,...,y n ), α R, pakx + y = z, kdez =(x 1 + y 1,...,x n + y n )a αx =(αx 1,...,αx n ). Položme o =(0,...,0) a x =( x 1,..., x n ), pak snadno ověříme, že je splněno všech osm axiomů vektorového prostoru. Rovnost = pak chápeme jako totožnost, tj. (x 1,...,x n )=(y 1,...,y n ), právě když x 1 = y 1,...,x n = y n. Tento prostor budeme značit R n. Speciálně pro n = 3 uspořádané trojice reálných čísel (x, y, z) tvoří vektorový prostor R 3. Součet dvou vektorů a 1 =(x 1,y 1,z 1 )aa 2 =(x 2,y 2,z 2 )se definuje a 1 + a 2 =(x 1 + x 2,y 1 + y 2,z 1 + z 2 ) a násobek reálným číslem se definuje λa 1 =(λx 1,λy 1,λz 1 ). 2. Orientovanou úsečkou je úsečka, jejíž jeden krajní bod je definován jako počáteční a druhý jako koncový. Dvě úsečky definujeme souhlasně orientované, jestliže jsou rovnoběžné (tj. mají stejný směr), mají stejnou délku a jejich koncové body leží ve stejné polorovině, jejíž hraniční přímkou je spojnice jejich počátečních bodů. Množina orientovaných úseček v rovině tvoří vektorový prostor. Vektor v rovině je množina souhlasně orientovaných úseček. Znázorňuje se vhodně umístěnou orientovanou úsečkou. Obr. 1: Několik souhlasně orientovaných úseček v rovině. Dva vektory u a v se rovnají, mohou-li být reprezentovány stejnou orientovanou úsečkou. Součtem dvou vektorů u a v je vektor w reprezentovaný orientovanou úsečkou získanou takto: Libovolně vybereme orientovanou úsečku reprezentující vektor u a orientovanou úsečku reprezentující vektor v zvolíme tak, aby její počáteční bod splýval s koncovým bodem úsečky reprezentující u. Orientovaná úsečka spojující počáteční bod úsečky reprezentující u akoncovýbod úsečky reprezentující v reprezentuje součet vektorů w = u + v. 4

3 w = u + v v u Obr. 2: Sčítání vektorů. Součinem vektoru u a čísla λ je vektor λu reprezentovaný orientovanou úsečkou téhož směru jako úsečka reprezentující u, jejíž délka je λ násobkem délky této úsečky a jejíž orientace je pro λ>0 shodná a pro λ<0opačná. Λ2,5u λ 2 u, λ 2 < 0 u λ 1 u, λ 1 > 0 Obr. 3: Násobení vektoru číslem. 3. Množina všech polynomů stupně nejvýše n tvoří vektorový prostor. Součet dvou polynomů je polynom stupně nejvýše n P (x) =a n x n + a n 1 x n a 1 x + a 0, Q(x) =b n x n + b n 1 x n b 1 x + b 0 P (x)+q(x) =(a n + b n )x n +(a n 1 + b n 1 )x n 1 + +(a 1 + b 1 )x +(a 0 + b 0 ) a násobek reálným číslem λp (x) =λa n x n + λa n 1 x n λa 1 x + λa 0 je opět polynom stupně nejvýše n. Množina všech polynomů stupně n netvoří vektorový prostor, protože součtem dvou polynomů stupně n může být i polynom nižšího stupně, např. součtem polynomů třetího stupně P (x) = x 3 + x a Q(x) = x 3 + x je polynom prvního stupně P (x)+ Q(x) = 2x. 5

4 6.2 Lineární závislost a nezávislost vektorů Definice 2. Nechť V je vektorový prostor a n N. Nechťu 1, u 2,...,u n V a λ 1,λ 2,...,λ n R. Vektor n λ i u i = λ 1 u 1 + λ 2 u λ n u n (6.1) i=1 se nazývá lineární kombinace vektorů u 1,...,u n skoeficientyλ 1,...,λ n.jsouli všechna čísla λ 1,...,λ n rovna nule, pak se lineární kombinace (6.1) nazývá triviální, je-li aspoň jedno z čísel λ 1,...,λ n různé od nuly, nazývá se lineární kombinace (6.1) netriviální. Definice 3. Vektory u 1, u 2,...,u n V se nazývají lineárně závislé, jestliže existuje jejich netriviální lineární kombinace, která je rovna nulovému vektoru, tj. existují λ 1...,λ n,kde n i=1 λ i 0 (tj. aspoň jeden koeficient λ i, i =1,...,n, je různý od nuly), tak že n λ i u i = o. i=1 Vektory, které nejsou lineárně závislé, se nazývají lineárně nezávislé, tj. rovnost n λ i u i = o i=1 je splněna pouze pro λ 1 = λ 2 =... = λ n = 0, existuje tedy pouze triviální lineární kombinace rovna nulovému vektoru. Věta 1. Vektory u 1, u 2,...,u n V (n >1) jsou lineárně závislé, právě když aspoň jeden z nich je lineární kombinací ostatních. Speciálně: Dva vektory jsou lineárně závislé, je-li jeden násobkem druhého. Ukázka 2. Rozhodněte, zda následující vektory z R 2 jsou lineárně závislé nebo nezávislé: 1. u =(1, 2), v =(2, 4). Na první pohled je vidět, že 2u = v, vektory u a v jsou lineárně závislé. 2. u =(1, 0), v =(1, 1). Zjistíme, pro jaké λ 1,λ 2 je lineární kombinace λ 1 u + λ 2 v rovna nulovému vektoru, tedy λ 1 (1, 0) + λ 2 (1, 1) = (λ 1, 0) + (λ 2,λ 2 )=(λ 1 + λ 2,λ 2 )=(0, 0). Porovnáním jednotlivých složek dostaneme soustavu rovnic λ 1 + λ 2 =0, λ 2 =0, 6

5 to znamená, že λ 1 = λ 2 =0,avektoryu a v jsou lineárně nezávislé. (Můžeme také zkoumat, zda je u násobkem v, tj.zdaexistujeλ tak, aby u = λv, (1, 0) = λ(1, 1). Je zřejmé, že takové λ neexistuje, a vektory u a v jsou tedy lineárně nezávislé.) 3. u =(1, 2, 0), v =(1, 1, 1), w =(1, 1, 2). Zjistíme, pro jaké λ 1,λ 2,λ 3 je lineární kombinace λ 1 u+λ 2 v+λ 3 w rovna o,tj. λ 1 (1, 2, 0)+λ 2 (1, 1, 1)+λ 3 (1, 1, 2) = (λ 1 +λ 2 +λ 3, 2λ 1 +λ 2 +λ 3, λ 2 +2λ 3 )= =(0, 0, 0). Porovnáním jednotlivých složek dostaneme soustavu rovnic λ 1 + λ 2 + λ 3 =0, 2λ 1 + λ 2 + λ 3 =0, λ 2 +2λ 3 =0, jejímž řešením je λ 1 = λ 2 = λ 3 = 0, vektory u, v a w jsou lineárně nezávislé. 4. u =(1, 2, 0), v =(1, 1, 1), w =(0, 1, 1). Zjistíme, pro jaké λ 1,λ 2,λ 3 je lineární kombinace λ 1 u + λ 2 v + λ 3 w rovna o, tj. λ 1 (1, 2, 0)+λ 2 (1, 1, 1)+λ 3 (0, 1, 1) = (λ 1 +λ 2, 2λ 1 +λ 2 +λ 3, λ 2 +λ 3 )= =(0, 0, 0). Porovnáním jednotlivých složek dostaneme soustavu rovnic λ 1 + λ 2 =0, 2λ 1 + λ 2 + λ 3 =0, λ 2 + λ 3 =0, odkud po úpravě dostaneme λ 1 = λ 2 a λ 3 = λ 2. Řešením soustavy jsou tedy všechny uspořádané trojice [ p, p, p], p R, tj. soustava má i netriviální řešení. Vektory u, v a w jsou lineárně závislé. 6.3 Dimenze prostoru Definice 4. Vektorový prostor V se nazývá n-rozměrný neboli dimenze n, n N, existuje-li v něm n lineárně nezávislých vektorů a každých n +1vektorů je lineárně závislých, značíme dim V = n. Označení 1. Vektorový prostor V dimenze n budeme značit V n. Definice 5. Každá množina n lineárně nezávislých vektorů prostoru V n se nazývá báze prostoru V n. Věta 2. Každý vektor u V n lze jednoznačně vyjádřit jako lineární kombinaci vektorů báze V n. Koeficienty této lineární kombinace se nazývají souřadnice vektoru v této bázi. 7

6 Ukázka R 2 : množina všech uspořádaných dvojic reálných čísel je prostor dimenze 2. Báze R 2 jsou např. a) soustava vektorů e 1 =(1, 0), e 2 =(0, 1). b) soustava vektorů e 1 =(1, 1), e 2 =(3, 2). Vektor u, který má souřadnice (3, 5) v bázi e 1, e 2,tzn. u =3e 1 +5e 2 =(3, 5) má v bázi e 1, e 2 souřadnice (9, 2), protože u =9e 1 +( 2)e 2 =(3, 5). 2. R n : množina všech uspořádaných n-tic reálných čísel je prostor dimenze n, má např. bázi e 1,...,e n,kdevektore i má všechny souřadnice kromě i-té souřadnice rovny nule a i-tá souřadnice je rovna jedné. Např.: (0, 5, 4, 3) = 0 (1, 0, 0, 0) + 5 (0, 1, 0, 0) + 4 (0, 0, 1, 0) 3 (0, 0, 0, 1) 3. P n (x): prostor všech polynomů stupně nejvýše n je prostor dimenze n +1, má např. bázi e 1 =1,e 2 = x, e 3 = x 2,... e n = x n 1, e n+1 = x n.každý polynom stupně nejvýše n lze vyjádřit jako lineární kombinaci této báze se souřadnicemi a 0,a 1,...,a n,tedyp (x) =a n x n + a n 1 x n a 1 x + a Podprostory vektorového prostoru Definice 6. Řekneme, že W je podprostor vektorového prostoru V, je-liw V a množina W tvoří vektorový prostor vzhledem k operacím sčítání vektorů a násobení vektorů čísly, které byly definovány v prostoru V. Ukázka Nulový vektor o V tvoří tzv. nulový podprostor prostoru V. Nulovýpodprostor a celý prostor V se nazývají nevlastní podprostory prostoru V. 2. Nechť V 3 je trojrozměrný prostor množina orientovaných úseček v trojrozměrném euklidovském prostoru. Je-li S libovolná rovina ve V 3 procházející počátkem souřadného systému, pak množina V 2 všech orientovaných úseček, ležících v rovině S, je podprostor vektorového prostoru V Množina všech polynomů stupně nejvýše 2 tvoří podprostor prostoru všech polynomů stupně nejvýše n, n 2. Poznámka 2. Protože libovolný podprostor W prostoru V je sám o sobě vektorový prostor, mají smysl pojmy báze W a dimenze W. Protože ve W nemůže existovat více lineárně nezávislých vektorů než ve V, platí, že dim W dim V; báze W má tedy nejvýše tolik vektorů jako báze V. 8

7 6.5 Vektorové prostory se skalárním součinem Definice 7. Říkáme, že ve vektorovém prostoru V je definován skalární součin, jestliže každé dvojici vektorů u, v V je přiřazeno reálné číslo (u, v) takové, že platí 1 (u, v) =(v, u) prokaždéu, v V; 2 (αu, v) =α(u, v) prokaždéu, v V a α R; 3 (u + v, w) =(u, w)+(v, w) prokaždéu, v, w V; 4 (u, u) 0prokaždéu V; (u, u) =0 u = o. Vektorový prostor V, ve kterém je definován skalární součin, se nazývá vektorový prostor se skalárním součinem. Poznámka 3. Nechť R 3 je množina uspořádaných trojic reálných čísel, pak skalární součin dvou vektorů u =(x 1,y 1,z 1 )av =(x 2,y 2,z 2 ) můžeme definovat: (u, v) =u v = x 1 x 2 + y 1 y 2 + z 1 z 2 Skalární součin lze ve výše uvedených případech definovat i jiným způsobem, v každém případě ale musí být podmínky 1 4 z definice 7 splněny. Lze např. definovat (u, v) =x 1 x 2 +2y 1 y 2 +3z 1 z 2 (ověřte platnost podmínek 1 4 ). Úmluva 1. Dále bude V, resp.v n, znamenat vektorový prostor se skalárním součinem. V R n (tj. množiné uspořádaných n-tic reálných čísel) budeme skalární součin dvou vektorů u =(u 1,u 2,...,u n )av =(v 1,v 2,...,v n ) definovat: (u, v) =u 1 v 1 + u 2 v u n v n 6.6 Norma vektoru a úhel dvou vektorů Definice 8. Nechť u V. Číslo (u, u) senazývánorma (délka) vektoru u a značí se u. Definice 9. Úhel (odchylka) dvou nenulových vektorů u V a v V je úhel ϕ, pro který platí (u, v) cos ϕ =, u v 0 ϕ<π. (6.2) Věta 3. Pro každé u V a v V platí Cauchyova Buňakovského nerovnost (u, v) u v (6.3) 9

8 Minkowského (trojúhelníková) nerovnost u + v u + v (6.4) Ukázka 5. Nechť u =(1, 2) a v =(2, 1) jsou vektory z R 2,pak u = (u, u) = =5, v = 5, (u, v) = =4, cos ϕ = 4 5. Cauchyova Buňakovského nerovnost (u, v) = 4 5 = u v. Minkowského nerovnost u + v = (3, 3) = = u + v. Definice 10. Vektory u V a v V se nazývají ortogonální (kolmé), platí-li (u, v) =0. Věta 4. Nechť vektory u V, v V jsou ortogonální, pak platí u + v 2 = u 2 + v 2. (6.5) Poznámka 4. Vztahy (6.3) (6.5) plynou z vlastností skalárního součinu a ortogonality vektorů, (6.5) je vlastně Pythagorova věta. Definice 11. Vzdálenost dvou vektorů u V a v V je číslo d(u, v) = u v. Poznámka 5. Z nerovnosti (6.4) plyne trojúhelníková nerovnost pro vzdálenost tří vektorů u, v, w V d(u, w) d(u, v)+d(v, w). (6.6) Definice 12. Podmnožina M V se nazývá ortogonální, je-li(u, v) =0pro každé u, v M, u v, tj. každé dva vektory z množiny M jsou ortogonální. Je-li navíc u = 1 pro každý vektor u M, nazývásem ortonormální. Věta 5. Nechť M je ortogonální podmnožina v prostoru V taková, která neobsahuje nulový vektor. Pak M je množina lineárně nezávislých vektorů z V. Důsledek V každém prostoru V n (konečné dimenze) existuje ortogonální, a tedy i ortonormální, báze. 2. Vektory e 1, e 2,...,e n tvoří ortonormální bázi V n, jestliže platí (e i, e k )= { 1, pro i = k, 0, pro i k. (6.7) 10

9 Příklad 1. Najděte v R 2 nějakou ortogonální a ortonormální bázi. Řešení: Bázi R 2 tvoří dva lineárně nezávislé vektory. Zvolme např. u =(1, 1) a najděme k němu ortogonální vektor v =(v 1,v 2 ). Aby byly vektory u a v ortogonální, musí platit pro jejich skalární součin (u, v) =0,atedyv 1 + v 2 =0.Této rovnici vyhovuje nekonečně mnoho dvojic čísel (v 1,v 2 ), zvolíme-li např. v 1 =1, je v 2 = 1 av =(1, 1). Ortogonální bázi v R 2 tvoří vektory u =(1, 1), v =(1, 1). Ortonormální bázi pak tvoří takové násobky vektorů u a v, které mají normu rovnu 1, a to jsou zřejmě vektory u u, v v,tedy ( ) 1 2, 1 2, ( 1 2, 1 ). 2 Poznámka 6. Báze prostoru R n z příkladu 3 2., str. 8, je ortonormální. 6.7 Ortogonalita vektoru k podprostoru Definice 13. Nechť V m je podprostor prostoru V n,tedym n. Říkáme, že vektor u V n je ortogonální (kolmý) k prostoru V m, je-li ortogonální ke každému vektoru x V m,značímeu V m. Je-li vektor u ortogonální k vektorům e 1, e 2,...,e m, je ortogonální i ke každému vektoru, který je jejich lineární kombinací. Skutečně z rovnic (u, e i )=0, i =1,...,m, plyne, že pro libovolná λ 1,...,λ m R je (u,λ 1 e λ m e m )=λ 1 (u, e 1 )+ + λ m (u, e m )=0. Proto k tomu, aby byl vektor kolmý k prostoru stačí, aby byl vektor kolmý k vektorům nějaké jeho báze. 11

MATICE. a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A = = [a ij]

MATICE. a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A = = [a ij] MATICE Matice typu m/n nad tělesem T je soubor m n prvků z tělesa T uspořádaných do m řádků a n sloupců: a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A = = [a ij] a m1 a m2 a mn Prvek a i,j je prvek matice A na místě

Více

Vektorový prostor. Př.1. R 2 ; R 3 ; R n Dvě operace v R n : u + v = (u 1 + v 1,...u n + v n ), V (E 3 )...množina vektorů v E 3,

Vektorový prostor. Př.1. R 2 ; R 3 ; R n Dvě operace v R n : u + v = (u 1 + v 1,...u n + v n ), V (E 3 )...množina vektorů v E 3, Vektorový prostor Příklady: Př.1. R 2 ; R 3 ; R n...aritmetický n-rozměrný prostor Dvě operace v R n : součet vektorů u = (u 1,...u n ) a v = (v 1,...v n ) je vektor u + v = (u 1 + v 1,...u n + v n ),

Více

Základní pojmy teorie množin Vektorové prostory

Základní pojmy teorie množin Vektorové prostory Základní pojmy teorie množin Přednáška MATEMATIKA č. 1 Katedra ekonometrie FEM UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz 7. 10. 2010 Základní pojmy teorie množin Základní pojmy

Více

Eukleidovský prostor a KSS Eukleidovský prostor je bodový prostor, ve kterém je definována vzdálenost dvou bodů (metrika)

Eukleidovský prostor a KSS Eukleidovský prostor je bodový prostor, ve kterém je definována vzdálenost dvou bodů (metrika) Eukleidovský prostor a KSS Eukleidovský prostor je bodový prostor, ve kterém je definována vzdálenost dvou bodů (metrika) Kartézská soustava souřadnic je dána počátkem O a uspořádanou trojicí bodů E x,

Více

PROSTORY SE SKALÁRNÍM SOUČINEM. Definice Nechť L je lineární vektorový prostor nad R. Zobrazení L L R splňující vlastnosti

PROSTORY SE SKALÁRNÍM SOUČINEM. Definice Nechť L je lineární vektorový prostor nad R. Zobrazení L L R splňující vlastnosti PROSTORY SE SKALÁRNÍM SOUČINEM Definice Nechť L je lineární vektorový prostor nad R. Zobrazení L L R splňující vlastnosti 1. (x, x) 0 x L, (x, x) = 0 x = 0, 2. (x, y) = (y, x) x, y L, 3. (λx, y) = λ(x,

Více

Vektory a matice. Obsah. Aplikovaná matematika I. Carl Friedrich Gauss. Základní pojmy a operace

Vektory a matice. Obsah. Aplikovaná matematika I. Carl Friedrich Gauss. Základní pojmy a operace Vektory a matice Aplikovaná matematika I Dana Říhová Mendelu Brno Obsah 1 Vektory Základní pojmy a operace Lineární závislost a nezávislost vektorů 2 Matice Základní pojmy, druhy matic Operace s maticemi

Více

Matematika I 12a Euklidovská geometrie

Matematika I 12a Euklidovská geometrie Matematika I 12a Euklidovská geometrie Jan Slovák Masarykova univerzita Fakulta informatiky 3. 12. 2012 Obsah přednášky 1 Euklidovské prostory 2 Odchylky podprostorů 3 Standardní úlohy 4 Objemy Plán přednášky

Více

6. ANALYTICKÁ GEOMETRIE

6. ANALYTICKÁ GEOMETRIE Vektorová algebra 6. ANALYTICKÁ GEOMETRIE Pravoúhlé souřadnice bodu v prostoru Poloha bodu v prostoru je vzhledem ke třem osám k sobě kolmým určena třemi souřadnicemi, které tvoří uspořádanou trojici reálných

Více

Skalární součin dovoluje zavedení metriky v afinním bodovém prostoru, tj. umožňuje nám určovat vzdálenosti, odchylky, obsahy a objemy.

Skalární součin dovoluje zavedení metriky v afinním bodovém prostoru, tj. umožňuje nám určovat vzdálenosti, odchylky, obsahy a objemy. 6 Skalární součin Skalární součin dovoluje zavedení metriky v afinním bodovém prostoru, tj. umožňuje nám určovat vzdálenosti, odchylky, obsahy a objemy. Příklad: Určete odchylku přímek p, q : p : x =1+3t,

Více

1 Báze a dimenze vektorového prostoru 1

1 Báze a dimenze vektorového prostoru 1 1 Báze a dimenze vektorového prostoru 1 Báze a dimenze vektorového prostoru 1 2 Aritmetické vektorové prostory 7 3 Eukleidovské vektorové prostory 9 Levá vnější operace Definice 5.1 Necht A B. Levou vnější

Více

Lineární algebra : Lineární prostor

Lineární algebra : Lineární prostor Lineární algebra : Lineární prostor (3. přednáška) František Štampach, Karel Klouda LS 2013/2014 vytvořeno: 17. dubna 2014, 14:43 1 2 3.1 Aximotické zavedení lineárního prostoru Číselné těleso Celou lineární

Více

DEFINICE Z LINEÁRNÍ ALGEBRY

DEFINICE Z LINEÁRNÍ ALGEBRY DEFINICE Z LINEÁRNÍ ALGEBRY Skripta Matematické metody pro statistiku a operační výzkum (Nešetřilová, H., Šařecová, P., 2009). 1. definice Vektorovým prostorem rozumíme neprázdnou množinu prvků V, na které

Více

(ne)závislost. α 1 x 1 + α 2 x 2 + + α n x n. x + ( 1) x Vektoru y = ( 1) y říkáme opačný vektor k vektoru y. x x = 1. x = x = 0.

(ne)závislost. α 1 x 1 + α 2 x 2 + + α n x n. x + ( 1) x Vektoru y = ( 1) y říkáme opačný vektor k vektoru y. x x = 1. x = x = 0. Lineární (ne)závislost [1] Odečítání vektorů, asociativita BI-LIN, zavislost, 3, P. Olšák [2] Místo, abychom psali zdlouhavě: x + ( 1) y, píšeme stručněji x y. Vektoru y = ( 1) y říkáme opačný vektor k

Více

2. kapitola: Euklidovské prostory

2. kapitola: Euklidovské prostory 2. kapitola: Euklidovské prostory 2.1 Definice. Euklidovským n-rozměrným prostorem rozumíme neprázdnou množinu E n spolu s vektorovým prostorem V n a přiřazením, které každému bodu a z E n a každému vektoru

Více

Necht L je lineární prostor nad R. Operaci : L L R nazýváme

Necht L je lineární prostor nad R. Operaci : L L R nazýváme Skalární součin axiomatická definice odvození velikosti vektorů a úhlu mezi vektory geometrická interpretace ortogonalita vlastnosti ortonormálních bázi [1] Definice skalárního součinu Necht L je lineární

Více

Matematika B101MA1, B101MA2

Matematika B101MA1, B101MA2 Matematika B101MA1, B101MA2 Zařazení předmětu: povinný předmět 1.ročníku bc studia 2 semestry Rozsah předmětu: prezenční studium 2 + 2 kombinované studium 16 + 0 / semestr Zakončení předmětu: ZS zápočet

Více

Dá se ukázat, že vzdálenost dvou bodů má tyto vlastnosti: 2.2 Vektor, souřadnice vektoru a algebraické operace s vektory

Dá se ukázat, že vzdálenost dvou bodů má tyto vlastnosti: 2.2 Vektor, souřadnice vektoru a algebraické operace s vektory Vektorový počet.1 Eklidovský prostor E 3 Eklidovský prostor E 3 je prostor spořádaných trojic (tj. bodů), v němž je definována vzdálenost dvo jeho bodů A, B (značíme ji AB ). Vzdálenost bodů A = [a 1,

Více

ANALYTICKÁ GEOMETRIE V ROVINĚ

ANALYTICKÁ GEOMETRIE V ROVINĚ ANALYTICKÁ GEOMETRIE V ROVINĚ Analytická geometrie vyšetřuje geometrické objekty (body, přímky, kuželosečky apod.) analytickými metodami. Podle prostoru, ve kterém pracujeme, můžeme analytickou geometrii

Více

Vektorové podprostory, lineární nezávislost, báze, dimenze a souřadnice

Vektorové podprostory, lineární nezávislost, báze, dimenze a souřadnice Vektorové podprostory, lineární nezávislost, báze, dimenze a souřadnice Vektorové podprostory K množina reálných nebo komplexních čísel, U vektorový prostor nad K. Lineární kombinace vektorů u 1, u 2,...,u

Více

Úvod do lineární algebry

Úvod do lineární algebry Úvod do lineární algebry 1 Aritmetické vektory Definice 11 Mějme n N a utvořme kartézský součin R n R R R Každou uspořádanou n tici x 1 x 2 x, x n budeme nazývat n rozměrným aritmetickým vektorem Prvky

Více

a počtem sloupců druhé matice. Spočítejme součin A.B. Označme matici A.B = M, pro její prvky platí:

a počtem sloupců druhé matice. Spočítejme součin A.B. Označme matici A.B = M, pro její prvky platí: Řešené příklady z lineární algebry - část 1 Typové příklady s řešením Příklady jsou určeny především k zopakování látky před zkouškou, jsou proto řešeny se znalostmi učiva celého semestru. Tento fakt se

Více

6. Vektorový počet Studijní text. 6. Vektorový počet

6. Vektorový počet Studijní text. 6. Vektorový počet 6. Vektorový počet Budeme se pohybovat v prostoru R n, což je kartézská mocnina množiny reálných čísel R; R n = R R. Obvykle nám bude stačit omezení na případy n = 1, 2, 3; nicméně teorie je platná obecně.

Více

EUKLIDOVSKÉ PROSTORY

EUKLIDOVSKÉ PROSTORY EUKLIDOVSKÉ PROSTORY Necht L je lineární vektorový prostor nad tělesem reálných čísel R. Zobrazení (.,.) : L L R splňující vlastnosti 1. (x, x) 0 x L, (x, x) = 0 x = 0, 2. (x, y) = (y, x) x, y L, 3. (λx,

Více

Lineární algebra : Lineární (ne)závislost

Lineární algebra : Lineární (ne)závislost Lineární algebra : Lineární (ne)závislost (4. přednáška) František Štampach, Karel Klouda frantisek.stampach@fit.cvut.cz, karel.klouda@fit.cvut.cz Katedra aplikované matematiky Fakulta informačních technologií

Více

[1] Vzhledem ke zvolené bázi určujeme souřadnice vektorů...

[1] Vzhledem ke zvolené bázi určujeme souřadnice vektorů... [1] Báze Každý lineární (pod)prostor má svou bázi Vzhledem ke zvolené bázi určujeme souřadnice vektorů... a) base, 4, b) P. Olšák, FEL ČVUT, c) P. Olšák 2010, d) BI-LIN, e) L, f) 2009/2010, g)l. Viz p.

Více

VEKTORY. Obrázek 1: Jediný vektor. Souřadnice vektoru jsou jeho průměty do souřadných os x a y u dvojrozměrného vektoru, AB = B A

VEKTORY. Obrázek 1: Jediný vektor. Souřadnice vektoru jsou jeho průměty do souřadných os x a y u dvojrozměrného vektoru, AB = B A VEKTORY Vektorem se rozumí množina všech orientovaných úseček, které mají stejnou velikost, směr a orientaci, což vidíme na obr. 1. Jedna konkrétní orientovaná úsečka se nazývá umístění vektoru na obr.

Více

Vybrané kapitoly z matematiky

Vybrané kapitoly z matematiky Vybrané kapitoly z matematiky VŠB-TU Ostrava 2017-2018 Vybrané kapitoly z matematiky 2017-2018 1 / 19 Základní informace předmět: 714-0513, 5 kreditů přednáší: Radek Kučera kontakt: radek.kucera@vsb.cz,

Více

Definice. Vektorový prostor V nad tělesem T je množina s operacemi + : V V V, tj. u, v V : u + v V : T V V, tj. ( u V )( a T ) : a u V které splňují

Definice. Vektorový prostor V nad tělesem T je množina s operacemi + : V V V, tj. u, v V : u + v V : T V V, tj. ( u V )( a T ) : a u V které splňují Definice. Vektorový prostor V nad tělesem T je množina s operacemi + : V V V, tj. u, v V : u + v V : T V V, tj. ( u V )( a T ) : a u V které splňují 1. u + v = v + u, u, v V 2. (u + v) + w = u + (v + w),

Více

Poznámka. V některých literaturách se pro označení vektoru také používá symbolu u.

Poznámka. V některých literaturách se pro označení vektoru také používá symbolu u. Vektory, operace s vektory Ž3 Orientovaná úsečka Mějme dvojici bodů, (na přímce, v rovině nebo prostoru), které spojíme a vznikne tak úsečka. Pokud budeme rozlišovat, zda je spojíme od k nebo od k, říkáme,

Více

Lineární algebra : Skalární součin a ortogonalita

Lineární algebra : Skalární součin a ortogonalita Lineární algebra : Skalární součin a ortogonalita (15. přednáška) František Štampach, Karel Klouda LS 2013/2014 vytvořeno: 30. dubna 2014, 09:00 1 2 15.1 Prehilhertovy prostory Definice 1. Buď V LP nad

Více

3 Lineární kombinace vektorů. Lineární závislost a nezávislost

3 Lineární kombinace vektorů. Lineární závislost a nezávislost 3 Lineární kombinace vektorů. Lineární závislost a nezávislost vektorů. Obrázek 5: Vektor w je lineární kombinací vektorů u a v. Vektory u, v a w jsou lineárně závislé. Obrázek 6: Vektor q je lineární

Více

Lineární algebra : Skalární součin a ortogonalita

Lineární algebra : Skalární součin a ortogonalita Lineární algebra : Skalární součin a ortogonalita (15. přednáška) František Štampach, Karel Klouda frantisek.stampach@fit.cvut.cz, karel.klouda@fit.cvut.cz Katedra aplikované matematiky Fakulta informačních

Více

Matematika (CŽV Kadaň) aneb Úvod do lineární algebry Matice a soustavy rovnic

Matematika (CŽV Kadaň) aneb Úvod do lineární algebry Matice a soustavy rovnic Přednáška třetí (a pravděpodobně i čtvrtá) aneb Úvod do lineární algebry Matice a soustavy rovnic Lineární rovnice o 2 neznámých Lineární rovnice o 2 neznámých Lineární rovnice o dvou neznámých x, y je

Více

0.1 Úvod do lineární algebry

0.1 Úvod do lineární algebry Matematika KMI/PMATE 1 01 Úvod do lineární algebry 011 Vektory Definice 011 Vektorem aritmetického prostorur n budeme rozumět uspořádanou n-tici reálných čísel x 1, x 2,, x n Definice 012 Definice sčítání

Více

Základy matematiky pro FEK

Základy matematiky pro FEK Základy matematiky pro FEK 2. přednáška Blanka Šedivá KMA zimní semestr 2016/2017 Blanka Šedivá (KMA) Základy matematiky pro FEK zimní semestr 2016/2017 1 / 20 Co nás dneska čeká... Závislé a nezávislé

Více

0.1 Úvod do lineární algebry

0.1 Úvod do lineární algebry Matematika KMI/PMATE 1 01 Úvod do lineární algebry 011 Lineární rovnice o 2 neznámých Definice 011 Lineární rovnice o dvou neznámých x, y je rovnice, která může být vyjádřena ve tvaru ax + by = c, kde

Více

příkladů do cvičení. V textu se objeví i pár detailů, které jsem nestihl (na které jsem zapomněl) a(b u) = (ab) u, u + ( u) = 0 = ( u) + u.

příkladů do cvičení. V textu se objeví i pár detailů, které jsem nestihl (na které jsem zapomněl) a(b u) = (ab) u, u + ( u) = 0 = ( u) + u. Několik řešených příkladů do Matematiky Vektory V tomto textu je spočteno několik ukázkových příkladů které vám snad pomohou při řešení příkladů do cvičení. V textu se objeví i pár detailů které jsem nestihl

Více

Lineární algebra : Metrická geometrie

Lineární algebra : Metrická geometrie Lineární algebra : Metrická geometrie (16. přednáška) František Štampach, Karel Klouda LS 2013/2014 vytvořeno: 6. května 2014, 10:42 1 2 Úvod Zatím jsme se lineární geometrii věnovali v kapitole o lineárních

Více

1 Linearní prostory nad komplexními čísly

1 Linearní prostory nad komplexními čísly 1 Linearní prostory nad komplexními čísly V této přednášce budeme hledat kořeny polynomů, které se dále budou moci vyskytovat jako složky vektorů nebo matic Vzhledem k tomu, že kořeny polynomu (i reálného)

Více

Teorie informace a kódování (KMI/TIK) Reed-Mullerovy kódy

Teorie informace a kódování (KMI/TIK) Reed-Mullerovy kódy Teorie informace a kódování (KMI/TIK) Reed-Mullerovy kódy Lukáš Havrlant Univerzita Palackého 10. ledna 2014 Primární zdroj Jiří Adámek: Foundations of Coding. Strany 137 160. Na webu ke stažení, heslo:

Více

Lineární prostory. - vektorové veličiny(síla, rychlost, zrychlení,...), skládání, násobení reálným číslem

Lineární prostory. - vektorové veličiny(síla, rychlost, zrychlení,...), skládání, násobení reálným číslem Lineární prostory - vektorové veličiny(síla, rychlost, zrychlení,...), skládání, násobení reálným číslem - volné vektory a operace s nimi(sčítání, násobení reálným číslem) -ve 2 nebove 3 vázanévektorysespolečnýmpočátkem

Více

Uspořádanou n-tici reálných čísel nazveme aritmetický vektor (vektor), ā = (a 1, a 2,..., a n ). Čísla a 1, a 2,..., a n se nazývají složky vektoru

Uspořádanou n-tici reálných čísel nazveme aritmetický vektor (vektor), ā = (a 1, a 2,..., a n ). Čísla a 1, a 2,..., a n se nazývají složky vektoru 1 1. Lineární algebra 1.1. Lineární závislost a nezávislost vektorů. Hodnost matice Aritmetické vektory Uspořádanou n-tici reálných čísel nazveme aritmetický vektor (vektor), ā = (a 1, a 2,..., a n ).

Více

7. Lineární vektorové prostory

7. Lineární vektorové prostory 7. Lineární vektorové prostory Tomáš Salač MÚ UK, MFF UK LS 2017/18 Tomáš Salač ( MÚ UK, MFF UK ) 7. Lineární vektorové prostory LS 2017/18 1 / 62 7.1 Definice a příklady Definice 7.1 Množina G s binární

Více

Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Skalární součin. študenti MFF 15. augusta 2008

Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Skalární součin. študenti MFF 15. augusta 2008 Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Skalární součin študenti MFF 15. augusta 2008 1 10 Skalární součin Požadavky Vlastnosti v reálném i komplexním případě Norma Cauchy-Schwarzova nerovnost

Více

METRICKÉ A NORMOVANÉ PROSTORY

METRICKÉ A NORMOVANÉ PROSTORY PŘEDNÁŠKA 1 METRICKÉ A NORMOVANÉ PROSTORY 1.1 Prostor R n a jeho podmnožiny Připomeňme, že prostorem R n rozumíme množinu uspořádaných n tic reálných čísel, tj. R n = R } R {{ R }. n krát Prvky R n budeme

Více

ALGEBRA. Téma 5: Vektorové prostory

ALGEBRA. Téma 5: Vektorové prostory SLEZSKÁ UNIVERZITA V OPAVĚ Matematický ústav v Opavě Na Rybníčku 1, 746 01 Opava, tel. (553) 684 611 DENNÍ STUDIUM Téma 5: Vektorové prostory Základní pojmy Vektorový prostor nad polem P, reálný (komplexní)

Více

1 Lineární prostory a podprostory

1 Lineární prostory a podprostory Lineární prostory a podprostory Přečtěte si: Učebnice AKLA, kapitola první, podkapitoly. až.4 včetně. Cvičení. Které z následujících množin jsou lineárními prostory s přirozenými definicemi operací?. C

Více

VI. Maticový počet. VI.1. Základní operace s maticemi. Definice. Tabulku

VI. Maticový počet. VI.1. Základní operace s maticemi. Definice. Tabulku VI Maticový počet VI1 Základní operace s maticemi Definice Tabulku a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n, a m1 a m2 a mn kde a ij R, i = 1,, m, j = 1,, n, nazýváme maticí typu m n Zkráceně zapisujeme (a ij i=1m

Více

6 Skalární součin. u v = (u 1 v 1 ) 2 +(u 2 v 2 ) 2 +(u 3 v 3 ) 2

6 Skalární součin. u v = (u 1 v 1 ) 2 +(u 2 v 2 ) 2 +(u 3 v 3 ) 2 6 Skalární součin Skalární součin 1 je operace, která dvěma vektorům (je to tedy binární operace) přiřazuje skalár (v našem případě jde o reálné číslo, obecně se jedná o prvek nějakého tělesa T ). Dovoluje

Více

Matematika 2 pro PEF PaE

Matematika 2 pro PEF PaE Vektorové prostory 1 / 17 Matematika 2 pro PEF PaE 8. Vektorové prostory Přemysl Jedlička Katedra matematiky, TF ČZU Vektorové prostory Vektorové prostory a podprostory 2 / 17 vektorového prostoru Množina

Více

Vlastní čísla a vlastní vektory

Vlastní čísla a vlastní vektory Vlastní čísla a vlastní vektory 1 Motivace Uvažujme lineární prostor všech vázaných vektorů v rovině, které procházejí počátkem, a lineární zobrazení tohoto prostoru do sebe(lineární transformaci, endomorfismus)

Více

Pavel Horák, Josef Janyška LINEÁRNÍ ALGEBRA UČEBNÍ TEXT

Pavel Horák, Josef Janyška LINEÁRNÍ ALGEBRA UČEBNÍ TEXT Pavel Horák, Josef Janyška LINEÁRNÍ ALGEBRA UČEBNÍ TEXT 2 0 1 8 Obsah 1 Vektorové prostory 1 1 Vektorový prostor, podprostory........................ 1 2 Generování podprostor u............................

Více

V: Pro nulový prvek o lineárního prostoru L platí vlastnosti:

V: Pro nulový prvek o lineárního prostoru L platí vlastnosti: Zpracoval: hypspave@fel.cvut.cz. Základní vlastnosti abstraktních lineárních prostorů. Lineární závislost, nezávislost, báze, souřadnice vzhledem k bázi, matice lineárního zobrazení vzhledem k bázím.skalární

Více

AB = 3 CB B A = 3 (B C) C = 1 (4B A) C = 4; k ]

AB = 3 CB B A = 3 (B C) C = 1 (4B A) C = 4; k ] 1. část 1. (u 1, u 2, u, u 4 ) je kladná báze orientovaného vektorového prostoru V 4. Rozhodněte, zda vektory (u, 2u 1 + u 4, u 4 u, u 2 ) tvoří kladnou, resp. zápornou bázi V 4. 0 2 0 0 0 0 0 1 0 2 0

Více

15 Maticový a vektorový počet II

15 Maticový a vektorový počet II M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika III kap. 15: Maticový a vektorový počet II 1 15 Maticový a vektorový počet II 15.1 Úvod Opakování z 1. ročníku (z kapitoly 8) Označení. Množinu všech reálných resp.

Více

1 Připomenutí vybraných pojmů

1 Připomenutí vybraných pojmů 1 Připomenutí vybraných pojmů 1.1 Grupa Definice 1 ((Komutativní) grupa). Grupou (M, ) rozumíme množinu M spolu s operací na M, která má tyto vlastnosti: i) x, y M; x y M, Operace je neomezeně definovaná

Více

Báze a dimenze vektorových prostorů

Báze a dimenze vektorových prostorů Báze a dimenze vektorových prostorů Buď (V, +, ) vektorový prostor nad tělesem (T, +, ). Nechť u 1, u 2,..., u n je konečná posloupnost vektorů z V. Existují-li prvky s 1, s 2,..., s n T, z nichž alespoň

Více

Základy matematiky pro FEK

Základy matematiky pro FEK Základy matematiky pro FEK 1. přednáška 22.9.2016 Blanka Šedivá KMA zimní semestr 2016/2017 Blanka Šedivá (KMA) Základy matematiky pro FEK zimní semestr 2016/2017 1 / 19 Organizační pokyny přednášející:

Více

Lineární algebra Operace s vektory a maticemi

Lineární algebra Operace s vektory a maticemi Lineární algebra Operace s vektory a maticemi Robert Mařík 26. září 2008 Obsah Operace s řádkovými vektory..................... 3 Operace se sloupcovými vektory................... 12 Matice..................................

Více

6 Samodružné body a směry afinity

6 Samodružné body a směry afinity 6 Samodružné body a směry afinity Samodružnými body a směry zobrazení rozumíme body a směry, které se v zobrazují samy na sebe. Například otočení R(S má jediný samodružný bod, střed S, anemá žádný samodružný

Více

Analytická geometrie lineárních útvarů

Analytická geometrie lineárních útvarů ) Na přímce: a) Souřadnice bodu na přímce: Analtická geometrie lineárních útvarů Bod P nazýváme počátek - jeho souřadnice je P [0] Nalevo od počátku leží čísla záporná, napravo čísla kladná. Každý bod

Více

Lineární algebra : Báze a dimenze

Lineární algebra : Báze a dimenze Lineární algebra : Báze a dimenze (5. přednáška) František Štampach, Karel Klouda LS 2013/2014 vytvořeno: 9. dubna 2014, 13:33 1 2 5.1 Báze lineárního prostoru Definice 1. O množině vektorů M z LP V řekneme,

Více

maticeteorie 1. Matice A je typu 2 4, matice B je typu 4 3. Jakých rozměrů musí být matice X, aby se dala provést

maticeteorie 1. Matice A je typu 2 4, matice B je typu 4 3. Jakých rozměrů musí být matice X, aby se dala provést Úlohy k zamyšlení 1. Zdůvodněte, proč třetí řádek Hornerova schématu pro vyhodnocení polynomu p v bodě c obsahuje koeficienty polynomu r, pro který platí p(x) = (x c) r(x) + p(c). 2. Dokažte, že pokud

Více

Matice. Předpokládejme, že A = (a ij ) je matice typu m n: diagonálou jsou rovny nule.

Matice. Předpokládejme, že A = (a ij ) je matice typu m n: diagonálou jsou rovny nule. Matice Definice. Maticí typu m n nazýváme obdélníkové pole, tvořené z m n reálných čísel (tzv. prvků matice), zapsaných v m řádcích a n sloupcích. Značíme např. A = (a ij ), kde i = 1,..., m, j = 1,...,

Více

Lineární zobrazení. 1. A(x y) = A(x) A(y) (vlastnost aditivity) 2. A(α x) = α A(x) (vlastnost homogenity)

Lineární zobrazení. 1. A(x y) = A(x) A(y) (vlastnost aditivity) 2. A(α x) = α A(x) (vlastnost homogenity) 4 Lineární zobrazení Definice: Nechť V a W jsou vektorové prostory Zobrazení A : V W (zobrazení z V do W nazýváme lineárním zobrazením, pokud pro všechna x V, y V a α R platí 1 A(x y = A(x A(y (vlastnost

Více

8 Matice a determinanty

8 Matice a determinanty M Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika II kap 8: Matice a determinanty 1 8 Matice a determinanty 81 Matice - definice a základní vlastnosti Definice Reálnou resp komplexní maticí A typu m n nazveme obdélníkovou

Více

A[a 1 ; a 2 ; a 3 ] souřadnice bodu A v kartézské soustavě souřadnic O xyz

A[a 1 ; a 2 ; a 3 ] souřadnice bodu A v kartézské soustavě souřadnic O xyz 1/15 ANALYTICKÁ GEOMETRIE Základní pojmy: Soustava souřadnic v rovině a prostoru Vzdálenost bodů, střed úsečky Vektory, operace s vektory, velikost vektoru, skalární součin Rovnice přímky Geometrie v rovině

Více

Lineární algebra - I. část (vektory, matice a jejich využití)

Lineární algebra - I. část (vektory, matice a jejich využití) Lineární algebra - I. část (vektory, matice a jejich využití) Michal Fusek Ústav matematiky FEKT VUT, fusekmi@feec.vutbr.cz 2. přednáška z ESMAT Michal Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) 1 / 40 Obsah 1 Vektory

Více

1 Topologie roviny a prostoru

1 Topologie roviny a prostoru 1 Topologie roviny a prostoru 1.1 Základní pojmy množin Intervaly a okolí Intervaly v rovině nebo prostoru jsou obdélníky nebo hranoly se stranami rovnoběžnými s osami souřadnic. Podmnožiny intervalů se

Více

Vlastní číslo, vektor

Vlastní číslo, vektor [1] Vlastní číslo, vektor motivace: směr přímky, kterou lin. transformace nezmění invariantní podprostory charakteristický polynom báze, vzhledem ke které je matice transformace nejjednodušší podobnost

Více

1 Vektorové prostory.

1 Vektorové prostory. 1 Vektorové prostory DefiniceMnožinu V, jejíž prvky budeme označovat a, b, c, z, budeme nazývat vektorovým prostorem právě tehdy, když budou splněny následující podmínky: 1 Je dáno zobrazení V V V, které

Více

11. Skalární součin a ortogonalita p. 1/16

11. Skalární součin a ortogonalita p. 1/16 11. Skalární součin a ortogonalita 11. Skalární součin a ortogonalita p. 1/16 11. Skalární součin a ortogonalita p. 2/16 Skalární součin a ortogonalita 1. Definice skalárního součinu 2. Norma vektoru 3.

Více

V předchozí kapitole jsme podstatným způsobem rozšířili naši představu o tom, co je to číslo. Nadále jsou pro nás důležité především vlastnosti

V předchozí kapitole jsme podstatným způsobem rozšířili naši představu o tom, co je to číslo. Nadále jsou pro nás důležité především vlastnosti Kapitola 5 Vektorové prostory V předchozí kapitole jsme podstatným způsobem rozšířili naši představu o tom, co je to číslo. Nadále jsou pro nás důležité především vlastnosti operací sčítání a násobení

Více

7. Důležité pojmy ve vektorových prostorech

7. Důležité pojmy ve vektorových prostorech 7. Důležité pojmy ve vektorových prostorech Definice: Nechť Vje vektorový prostor a množina vektorů {v 1, v 2,, v n } je podmnožinou V. Pak součet skalárních násobků těchto vektorů, tj. a 1 v 1 + a 2 v

Více

9 Kolmost vektorových podprostorů

9 Kolmost vektorových podprostorů 9 Kolmost vektorových podprostorů Od kolmosti dvou vektorů nyní přejdeme ke kolmosti dvou vektorových podprostorů. Budeme se zabývat otázkou, kdy jsou dva vektorové podprostory na sebe kolmé a jak to poznáme.

Více

VEKTORY A ANALYTICKÁ GEOMETRIE PAVLÍNA RAČKOVÁ JAROMÍR KUBEN

VEKTORY A ANALYTICKÁ GEOMETRIE PAVLÍNA RAČKOVÁ JAROMÍR KUBEN VEKTORY A ANALYTICKÁ GEOMETRIE PAVLÍNA RAČKOVÁ JAROMÍR KUBEN Brno 2014 Verze 30. listopadu 2014 1 Volné a vázané vektory v rovině a prostoru 1.1 Kartézská soustava souřadnic, souřadnice bodu, vzdálenost

Více

Analytická metoda aneb Využití vektorů v geometrii

Analytická metoda aneb Využití vektorů v geometrii KM/GVS Geometrické vidění světa (Design) nalytická metoda aneb Využití vektorů v geometrii Použité značky a symboly R, C, Z obor reálných, komleních, celých čísel geometrický vektor R n aritmetický vektor

Více

7 Analytické vyjádření shodnosti

7 Analytické vyjádření shodnosti 7 Analytické vyjádření shodnosti 7.1 Analytická vyjádření shodných zobrazení v E 2 Osová souměrnost Osová souměrnost O(o) podle osy o s obecnou rovnicí o : ax + by + c =0: x = x 2a (ax + by + c) a 2 +

Více

Základy maticového počtu Matice, determinant, definitnost

Základy maticového počtu Matice, determinant, definitnost Základy maticového počtu Matice, determinant, definitnost Petr Liška Masarykova univerzita 18.9.2014 Matice a vektory Matice Matice typu m n je pravoúhlé (nebo obdélníkové) schéma, které má m řádků a n

Více

M - Příprava na 1. čtvrtletku pro třídu 4ODK

M - Příprava na 1. čtvrtletku pro třídu 4ODK M - Příprava na 1. čtvrtletku pro třídu 4ODK Autor: Mgr. Jaromír Juřek Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu povoleno pouze s odkazem na www.jarjurek.cz. VARIACE 1 Tento dokument byl

Více

Matematika 1 MA1. 1 Analytická geometrie v prostoru - základní pojmy. 4 Vzdálenosti. 12. přednáška ( ) Matematika 1 1 / 32

Matematika 1 MA1. 1 Analytická geometrie v prostoru - základní pojmy. 4 Vzdálenosti. 12. přednáška ( ) Matematika 1 1 / 32 Matematika 1 12. přednáška MA1 1 Analytická geometrie v prostoru - základní pojmy 2 Skalární, vektorový a smíšený součin, projekce vektoru 3 Přímky a roviny 4 Vzdálenosti 5 Příčky mimoběžek 6 Zkouška;

Více

Četba: Texty o lineární algebře (odkazy na webových stránkách přednášejícího).

Četba: Texty o lineární algebře (odkazy na webových stránkách přednášejícího). Předmět: MA 4 Dnešní látka Lineární (vektorový) prostor Normovaný lineární prostor Normy matic a vektorů Symetrické matice, pozitivně definitní matice Gaussova eliminační metoda, podmíněnost matic Četba:

Více

19 Eukleidovský bodový prostor

19 Eukleidovský bodový prostor 19 Eukleidovský bodový prostor Eukleidovským bodovým prostorem rozumíme afinní bodový prostor, na jehož zaměření je definován skalární součin. Víme, že pomocí skalárního součinu jsou definovány pojmy norma

Více

Matematický ústav Slezské univerzity v Opavě Učební texty k přednášce ALGEBRA II, letní semestr 2000/2001 Michal Marvan. 14.

Matematický ústav Slezské univerzity v Opavě Učební texty k přednášce ALGEBRA II, letní semestr 2000/2001 Michal Marvan. 14. Matematický ústav Slezské univerzity v Opavě Učební texty k přednášce ALGEBRA II, letní semestr 2000/2001 Michal Marvan 14. Vlastní vektory Bud V vektorový prostor nad polem P. Lineární zobrazení f : V

Více

MENDELOVA UNIVERZITA V BRNĚ LDF MT MATEMATIKA VEKTORY, MATICE

MENDELOVA UNIVERZITA V BRNĚ LDF MT MATEMATIKA VEKTORY, MATICE MENDELOVA UNIVERZITA V BRNĚ LDF MT MATEMATIKA VEKTORY, MATICE Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipliny společného

Více

MENDELOVA UNIVERZITA V BRNĚ LDF MT MATEMATIKA VEKTORY, MATICE

MENDELOVA UNIVERZITA V BRNĚ LDF MT MATEMATIKA VEKTORY, MATICE MENDELOVA UNIVERZITA V BRNĚ LDF MT MATEMATIKA VEKTORY, MATICE Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipliny společného

Více

6 Lineární geometrie. 6.1 Lineární variety

6 Lineární geometrie. 6.1 Lineární variety 6 Lineární geometrie Motivace. Pojem lineární varieta, který budeme v této kapitole studovat z nejrůznějších úhlů pohledu, není žádnou umělou konstrukcí. Příkladem lineární variety je totiž množina řešení

Více

INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ. Modernizace studijního programu Matematika na PřF Univerzity Palackého v Olomouci CZ.1.07/2.2.00/28.

INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ. Modernizace studijního programu Matematika na PřF Univerzity Palackého v Olomouci CZ.1.07/2.2.00/28. INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ Modernizace studijního programu Matematika na PřF Univerzity Palackého v Olomouci CZ.1.07/2.2.00/28.0141 Báze vektorových prostorů, transformace souřadnic Michal Botur Přednáška

Více

Lingebraické kapitolky - Analytická geometrie

Lingebraické kapitolky - Analytická geometrie Lingebraické kapitolky - Analytická geometrie Jaroslav Horáček KAM MFF UK 2013 Co je to vektor? Šipička na tabuli? Ehm? Množina orientovaných úseček majících stejný směr. Prvek vektorového prostoru. V

Více

Aritmetické vektory. Martina Šimůnková. Katedra aplikované matematiky. 16. března 2008

Aritmetické vektory. Martina Šimůnková. Katedra aplikované matematiky. 16. března 2008 Aritmetické vektory Martina Šimůnková Katedra aplikované matematiky 16. března 2008 Martina Šimůnková (KAP) Aritmetické vektory 16. března 2008 1/ 34 Úvod 1Úvod Definice aritmetických vektorů a operací

Více

Těleso racionálních funkcí

Těleso racionálních funkcí Těleso racionálních funkcí Poznámka. V minulém semestru jsme libovolnému oboru integrity sestrojili podílové těleso. Pro libovolné těleso R je okruh polynomů R[x] oborem integrity, máme tedy podílové těleso

Více

Matice. Modifikace matic eliminační metodou. α A = α a 2,1, α a 2,2,..., α a 2,n α a m,1, α a m,2,..., α a m,n

Matice. Modifikace matic eliminační metodou. α A = α a 2,1, α a 2,2,..., α a 2,n α a m,1, α a m,2,..., α a m,n [1] Základní pojmy [2] Matice mezi sebou sčítáme a násobíme konstantou (lineární prostor) měníme je na jiné matice eliminační metodou násobíme je mezi sebou... Matice je tabulka čísel s konečným počtem

Více

Kapitola 11: Vektory a matice 1/19

Kapitola 11: Vektory a matice 1/19 Kapitola 11: Vektory a matice 1/19 2/19 Prostor R n R n = {(x 1,..., x n ) x i R, i = 1,..., n}, n N x = (x 1,..., x n ) R n se nazývá vektor x i je i-tá souřadnice vektoru x rovnost vektorů: x = y i =

Více

1 Projekce a projektory

1 Projekce a projektory Cvičení 3 - zadání a řešení úloh Základy numerické matematiky - NMNM20 Verze z 5. října 208 Projekce a projektory Opakování ortogonální projekce Definice (Ortogonální projekce). Uvažujme V vektorový prostor

Více

1 Soustavy lineárních rovnic

1 Soustavy lineárních rovnic 1 Soustavy lineárních rovnic 1.1 Základní pojmy Budeme uvažovat soustavu m lineárních rovnic o n neznámých s koeficienty z tělesa T (potom hovoříme o soustavě m lineárních rovnic o n neznámých nad tělesem

Více

Texty k přednáškám z MMAN3: 4. Funkce a zobrazení v euklidovských prostorech

Texty k přednáškám z MMAN3: 4. Funkce a zobrazení v euklidovských prostorech Texty k přednáškám z MMAN3: 4. Funkce a zobrazení v euklidovských prostorech 1. července 2008 1 Funkce v R n Definice 1 Necht n N a D R n. Reálnou funkcí v R n (reálnou funkcí n proměnných) rozumíme zobrazení

Více

transformace je posunutí plus lineární transformace má svou matici vzhledem k homogenním souřadnicím [1]

transformace je posunutí plus lineární transformace má svou matici vzhledem k homogenním souřadnicím [1] [1] Afinní transformace je posunutí plus lineární transformace má svou matici vzhledem k homogenním souřadnicím využití například v počítačové grafice Evropský sociální fond Praha & EU. Investujeme do

Více

VĚTY Z LINEÁRNÍ ALGEBRY

VĚTY Z LINEÁRNÍ ALGEBRY VĚTY Z LINEÁRNÍ ALGEBRY Skripta Matematické metody pro statistiku a operační výzkum (Nešetřilová, H., Šařecová, P., 2009). 1. věta Nechť M = {x 1, x 2,..., x k } je množina vektorů z vektorového prostoru

Více

Matice. Je dána matice A R m,n, pak máme zobrazení A : R n R m.

Matice. Je dána matice A R m,n, pak máme zobrazení A : R n R m. Matice lineárních zobrazení [1] Připomenutí Zobrazení A : L 1 L 2 je lineární, když A( x + y ) = A( x ) + A( y ), A(α x ) = α A( x ). Což je ekvivalentní s principem superpozice: A(α 1 x 1 + + α n x n

Více

Primitivní funkce a Riemann uv integrál Lineární algebra Taylor uv polynom Extrémy funkcí více prom ˇenných Matematika III Matematika III Program

Primitivní funkce a Riemann uv integrál Lineární algebra Taylor uv polynom Extrémy funkcí více prom ˇenných Matematika III Matematika III Program Program Primitivní funkce a Riemannův integrál Program Primitivní funkce a Riemannův integrál Lineární algebra Program Primitivní funkce a Riemannův integrál Lineární algebra Taylorův polynom Program Primitivní

Více