Vybrané kapitoly z matematiky Geometrie na 2. stupni ZŠ

Transkript

1 ZŠ a MŠ Ostrava Zábřeh, Kosmonautů 15, příspěvková organizace Mgr. Jan Pavelka Vybrané kapitoly z matematiky Geometrie na 2. stupni ZŠ Poznámka autora Následující studijní materiál slouží jako pomůcka při výuce vybraných kapitol učiva matematiky na základních školách. Jelikož se domnívám, že na geometrii je kladen minimální důraz, věnuji se především některým obtížnějším kapitolám z planimetrie.

2 OBSAH STUDIJNÍHO MATERIÁLU 1. SOUMĚRNOST SHODNOST SHODNOST TROJÚHELNÍKŮ VĚTY O SHODNOSTI TROJÚHELNÍKŮ (SSS, SUS, USU) OSOVÁ SOUMĚRNOST OSOVĚ SOUMĚRNÉ ÚTVARY STŘEDOVÁ SOUMĚRNOST STŘEDOVĚ SOUMĚRNÉ ÚTVARY TROJÚHELNÍK VLASTNOSTI TROJÚHELNÍKŮ DRUHY TROJÚHELNÍKŮ VÝŠKY TROJÚHELNÍKU TĚŽNICE TROJÚHELNÍKU STŘEDNÍ PŘÍČKY TROJÚHELNÍKU KRUŽNICE VEPSANÁ TROJÚHELNÍKU KRUŽNICE OPSANÁ TROJÚHELNÍKU OBVOD TROJÚHELNÍKU OBSAH TROJÚHELNÍKU ÚHEL A JEHO VLASTNOSTI DRUHY ÚHLŮ DVOJICE ÚHLŮ OSA ÚHLU OPERACE S ÚHLY MĚŘÍCÍ PŘÍSTROJE POČÍTÁME S ÚHLY A PŘEVODY JEDNOTEK SČÍTÁNÍ A ODČÍTÁNÍ ÚHLŮ PŘEHLED ROVINNÝCH OBRAZCŮ PŘEHLED TĚLES A JEJICH PLÁŠTĚ METODICKÁ PŘÍRUČKA - HODINOVÉ DOTACE POUŽITÁ LITERATURA PŘÍKLADY NA PROCVIČENÍ - PRACOVNÍ LISTY

3 1. SOUMĚRNOST 2 SHODNOST Shodnými útvary v rovině rozumíme takové dva rovinné obrazce, které se po posunutí na sebe navzájem kryjí. Několik rovinných útvarů je shodných, jestliže jsou každé dva z nich shodné. Na papíře stačí jeden útvar vystřihnout a položit na druhý. Jestliže se přesně kryjí, jsou shodné. Ne vždy však můžeme útvar vystřihnout, pomůžeme si tedy takzvanou "Průsvitkovou metodou". Ta spočívá v tom, že jeden z útvarů obkreslíme na průsvitku a vzniklý obrys přesuneme na druhý útvar. Jestliže se obrysy obou útvarů přesně překrývají, můžeme říct, že jsou útvary shodné. Nezapomeňte, že shodné útvary mohou být umístěny v různých polohách. Mohou být různě otočeny nebo převráceny. I vy tedy průsvitkou otáčejte a převracejte ji! ZNAK SHODNOSTI.. Dvě úsečky jsou shodné, mají-li stejnou délku! AB CD 2

4 Dva úhly jsou shodné, mají-li stejnou velikost! AVB ECD 3 SHODNOST TROJÚHELNÍKŮ Trojúhelníky ABC a KLM jsou shodné: ABC KLM Zápis zároveň ukazuje, že při přemístění průsvitkou přejde bod A do bodu K (první bod zápisu do prvního bodu) bod B do bodu L (druhý bod do druhého bodu) bod C do bodu M (třetí bod do třetího bodu) A B C K L M Pak pro strany těchto trojúhelníků platí: a = k, b = l, c = m Je skoro jasné, že při tomto přemístění se tedy nemění ani délky úseček ani velikosti úhlů, proto pro naše dva shodné trojúhelníky platí: pro úhly pak 3

5 4 VĚTY O SHODNOSTI TROJÚHELNÍKŮ Věta SSS Shodují-li se dva trojúhelníky ve všech třech stranách, pak jsou shodné. Věta SUS Shodují-li se dva trojúhelníky ve dvou stranách a v úhlu jimi sevřeném, pak jsou shodné., Věta USU Shodují-li se dva trojúhelníky v jedné straně a v obou úhlech k ní přilehlých, pak jsou shodné., TĚCHTO VLASTNOSTÍ BUDEME VYUŽÍVAT PŘI KONSTRUKCI TROJÚHELNÍKŮ. VŽDY JE DŮLEŽITÉ VYUŽÍT SPRÁVNOU VĚTU (SSS, SUS, USU)!!! 4

6 Jak na to? Co je třeba při rozhodování o shodnosti trojúhelníků zapotřebí? Snad vám pomůže následující postup: 1. Řádně prozkoumat zadání. 2. Rozmyslet si, co je zadáno, co není zadáno, co všechno je potřeba k vyřešení. 3. Na základě zadaných a známých hodnot (nejlépe v jednom trojúhelníku) se rozhodnout pro jednu z výše uvedených vět a zjistit, zda platí potřebné tři rovnosti; pokud ano, pak jsou trojúhelníky shodné. Jak bude vypadat správné řešení víte, tudíž si vyzkoušíme všechny tři věty v praxi. Příklad Sestroj trojúhelník ABC, který má délky stran a = 35 mm, b = 28 mm, c = 46 mm. Dle předcházejícího postupu nejdříve musíme rozmyslet, zda je vše podstatné zadáno, abychom mohli tento trojúhelník sestrojit, zda platí trojúhelníková nerovnost (popřípadě zda součet vnitřních úhlů nepřesáhl 180 ) K sestrojení tohoto trojúhelníku využijeme větu SSS, jelikož známe všechny tři strany trojúhelníku. 1) ROZBOR, kde si vše načrtneme a popíšeme, jak to zřejmě bude vypadat v konstrukci. 2) POSTUP KONSTRUKCE, je přesný postup zapsaný pomocí matematických značek (celosvětově uznávané). 3) KONSTRUKCE, přesně provedena (s využitím měřidel, úhloměru, tužky) 1) ROZBOR b = 28 mm a = 35 mm A c = 46 mm 5

7 Platí tedy tři nerovnosti : a + b > c a + c > b b + c > a Pro náš ABC : > > > 35 Trojúhelník ABC všechny tyto nerovnosti splňuje, lze jej tedy sestrojit! 2) POPIS KONSTUKCE 1. AB; AB = c = 46 mm 2. k; k ( A; b = 28 mm) 3. l; l ( B; a = 35 mm) 4. C; C k l náleží (leží na) 5. ABC průnik, průsečík 3) KONSTRUKCE - pozor popis bodů, kružnice (bez rozměrů ) Pro názornost Vám rozklíčuji každý bod postupu 1). 2) 3) 6

8 4) 5) Výsledek konstrukce! Příklad Sestroj ABC, který má délky stran b = 28 mm, c = 46 mm a úhel α = 49. K sestrojení tohoto trojúhelníku využijeme větu SUS, jelikož známe dvě strany a úhel jimi sevřený. 7

9 1) ROZBOR ZŠ a MŠ Ostrava Zábřeh, Kosmonautů 15, příspěvková organizace α < 180 (součet vnitřních úhlů v trojúhelníku je 180 ) lze tedy ABC sestrojit! 2) POPIS KONSTUKCE 1. AB; AB = c = 46 mm 2. BAX; BAX = k; k ( A; b = 28 mm) 4. C; C k AX náleží (leží na) 5. ABC průnik, průsečík AX polopřímka AX 3) KONSTRUKCE - pozor popis bodů, kružnice (bez rozměrů ) Pro názornost Vám rozklíčuji každý bod postupu 1) 2) 8

10 3) 4) 5) Výsledná konstrukce! Příklad Sestroj ABC, který má délku strany c = 46 mm a úhly α = 49 a β = 37. K sestrojení tohoto trojúhelníku využijeme větu USU, jelikož známe stranu a oba úhly jsou k ní přilehlé. 1) ROZBOR α + β < 180 (součet vnitřních úhlů v trojúhelníku je 180 ) lze tedy ABC sestrojit! 9

11 2) POPIS KONSTUKCE) 1) AB; AB = c = 46 mm 2) BAX; BAX = 50 3) ABY; ABY = 37 4) C; C BY AX náleží (leží na) 5) ABC průnik, průsečík AX polopřímka AX 3) KONSTRUKCE - pozor popis bodů (bez rozměrů ) Pro názornost Vám rozklíčuji každý bod postupu 1) 2) 3) 10

12 4) a 5) Výsledná konstrukce! PRO ZOPAKOVÁNÍ Každé dva trojúhelníky jsou shodné, shodují-li se: a) ve všech třech stranách - věta sss b) ve dvou stranách a úhlu jimi sevřeném - věta sus c) ve straně a dvou úhlech k ní přilehlých - věta usu Zápis: ABC A B C čteme trojúhelník ABC je shodný s trojúhelníkem A B C. a) SSS b) SUS c) USU 5 OSOVÁ SOUMĚRNOST 11

13 Osová souměrnost je zobrazení v rovině, které překlápí vzory přes osu. Jednoduše si jej lze představit, jako obtisk po přeložení listu papíru. Osovou souměrností vznikne tedy obraz, který je shodný se vzorem a převrácený ve směru kolmém na osu. Původní obrazec nazýváme VZOR, ten který vznikne zobrazením nazýváme OBRAZ, ten označujeme většinou jako vzor s čárkou (A A ). Přímku, přes kterou se vzor překlápí nazýváme Osa souměrnosti. Všechny body, které leží na ose souměrnosti, zůstávají namístě a tedy i průsečíky vzorů s osou souměrnosti se kryjí se svými obrazy. Takové body, jejichž vzory se kryjí se svými obrazy nazýváme samodružné body (P = P ). Konstrukce obrazu v osové souměrnosti Zadání : Sestrojte obraz úsečky AB v osové souměrnosti s osou o. Postup konstrukce: Sestrojíme obrazy bodů A,B a spojíme v úsečku A'B'. Obrazy nalezneme tak, že spustíme vždy ze vzoru kolmici na osu souměrnosti. Tím získáme bod P - patu kolmice o kterém víme, že leží ve středu úsečky vzor obraz. Nyní si ukážeme přesný postup, krok po kroku! 1. Sestrojíme kolmici k ose z bodu A. 12

14 2. Sestrojíme bod A tak, aby bod P byl středem úsečky AA. 3. Získali jsme obraz bodu A 4. Stejným způsobem sestrojíme obraz bodu B. 5. Získali jsem obraz úsečky AB v osové souměrnosti s osou o. 6 OSOVĚ SOUMĚRNÉ ÚTVARY 13

15 Osově souměrný útvar se dá rozdělit přímkou na dvě shodné části, pro které platí: Když překlopíme jednu část podle této přímky, kryje se přesně s druhou částí. U geometrických útvarů rozhodneme o jejich souměrnosti snadno. Setkali jsme se již s úhlem a jeho osou souměrnosti (osou úhlu) a víme i že každá úsečka má svou osu souměrnosti a to osu úsečky. Osově souměrné útvary však neexistují pouze v geometrii, ale setkáváme se s nimi denně. Příkladem může být tento motýl, některé dopravní značky a další předměty. Útvary mohou mít i více než jednu osu souměrnosti!! 7 STŘEDOVÁ SOUMĚRNOST Středová souměrnost je, stejně jako souměrnost osová, zobrazení v rovině, které převádí vzory na obrazy. Rozdíl oproti osové souměrnosti je v tom, že překlopení vzoru probíhá přes jediný bod, který nazýváme střed souměrnosti. Konstrukce obrazu ve středové souměrnosti 14

16 Zadání: Sestrojte obraz ABC ve středové souměrnosti se středem S. Postup konstrukce: Postupně vyneseme polopřímky AS, BS, CS a sestrojíme body A', B', C' tak, aby bod S byl vždy středem úsečky vzor-obraz. Obrazy bodů A,B,C spojíme v trojúhelník, čímž dostaneme obraz ABC ve středové souměrnosti se středem v bodě S. Celý postup si nyní detailně rozklíčujeme. 1. Sestrojíme útvar, spojíme vrchol A s bodem S (středem souměrnosti) polopřímkou AS 2. Sestrojíme bod A tak, aby bod S byl středem úsečky AA. 3. Postup opakujeme 15

17 i u bodu B. Vytvoříme jeho obraz B. 4. Postup opakujeme i u bodu C. Vytvoříme jeho obraz C. 5. Vytvořené obrazy spojíme. 8 STŘEDOVĚ SOUMĚRNÉ ÚTVARY Středově souměrný útvar je vždy souměrný podle vlastního středu S. To znamená, že ke každému bodu nalezneme jeho obraz ve středové souměrnosti se středem S, který rovněž náleží tomuto útvaru (střed S je samodružný bod). 16

18 2. TROJÚHELNÍK Trojúhelník je mnohoúhelník s právě třemi vrcholy. Tato trojice bodů nesmí ležet na jedné přímce. Základní pojmy Úsečky, které spojují vrcholy, se nazývají strany trojúhelníka. Úhly, které svírají strany, se nazývají vnitřní úhly trojúhelníka. Úhly vedlejší k vnitřním úhlům, se nazývají vnější úhly trojúhelníka. Každý trojúhelník má 3 strany, 3 vrcholy, 3 vnitřní úhly, 6 vnějších úhlů (u každého vrcholu dva). Znázornění a zápis Trojúhelník se znázorňuje pomocí jeho vrcholů a stran. Vrcholy se označují velkým tiskacím písmenem, strany se označují malým písmenem příslušným protějšímu vrcholu, úhly se označují malým řeckým písmenem. Trojúhelník se zapisuje symbolem následovaným výčtem všech vrcholů. 17

19 9 VLASTNOSTI TROJÚHELNÍKŮ Trojúhelníková nerovnost Libovolný trojúhelník musí vždy splňovat trojúhelníkovou nerovnost. Součet dvou libovolných stran je vždy delší než strana třetí, neboli a + b > c a + c > b b + c > a, kde a, b, c jsou strany trojúhelníka. Součet všech vnitřních úhlů je v každém trojúhelníku 180!!! Dále platí: Součet vnitřního a příslušného vnějšího úhlu je

20 10 DRUHY TROJÚHELNÍKŮ Podle stran obecný trojúhelník (též různostranný) - žádné dvě strany nejsou shodné rovnoramenný trojúhelník - dvě strany jsou navzájem shodné, ale nejsou shodné s třetí stranou rovnostranný trojúhelník - všechny strany jsou shodné Podle úhlů ostroúhlý trojúhelník - všechny vnitřní úhly jsou ostré pravoúhlý trojúhelník - jeden vnitřní úhel je pravý, zbývající dva jsou ostré tupoúhlý trojúhelník - jeden vnitřní úhel je tupý, zbývající dva jsou ostré 19

21 11 VÝŠKY TROJÚHELNÍKU Výška je kolmice spuštěná z vrcholu na protější stranu. Průsečík výšky s příslušnou stranou se nazývá pata výšky. Každý trojúhelník má tři výšky. Výšky se označují malým písmenem v s dolním indexem příslušné strany (v c ). V následujících krocích můžete podrobně sledovat jednotlivé kroky při sestrojování výšek v trojúhelníku ABC. 1. Sestrojíme trojúhelník ABC, podle věty SSS. 20

22 2. Přiložíme trojúhelník ryskou ke straně c. Poté sestrojíme kolmici tak, že spojíme vrchol C s touto stranou. Postup opakujeme u strany a i b. 12 TĚŽNICE TROJÚHELNÍKU Těžnice je spojnice vrcholu a středu protější strany. Každý trojúhelník má tři těžnice. Těžnice se protínají v jednom bodě, který se nazývá TĚŽIŠTĚ. Těžiště rozděluje každou těžnici na dva díly v poměru 2:1, přitom vzdálenost těžiště od vrcholu je dvojnásobek vzdálenosti od středu protější strany. Těžnice se označují malým písmenem t s dolním indexem příslušné strany. 2 díly : 1 dílu (každý díl = 3 1 tb ) 21

23 V následujících krocích můžete podrobně sledovat jednotlivé kroky při sestrojování těžnic v trojúhelníku ABC. 1. Sestroj trojúhelník ABC 2. Sestroj středy všech stran 3. Spoj vždy střed strany s protějším vrcholem 4. Výsledné těžnice označ (t a, t b, t c ) 22

24 13 STŘEDNÍ PŘÍČKY TROJÚHELNÍKU Střední příčka je spojnice středů dvou stran. Každý trojúhelník má tři střední příčky. Střední příčka je rovnoběžná s příslušnou stranou a má velikost poloviny příslušné strany. Střední příčky dohromady rozdělují trojúhelník na čtyři shodné trojúhelníky. Střední příčky se označují malým písmenem s s dolním indexem příslušné strany. 14 KRUŽNICE VEPSANÁ TROJÚHELNÍKU Kružnice vepsaná trojúhelníku je taková kružnice, která se dotýká všech stran trojúhelníka. Každému trojúhelníku lze vepsat kružnici. Střed kružnice vepsané leží v průsečíku os vnitřních úhlů, poloměr se rovná kolmé vzdálenosti středu od libovolné strany. 23

25 Střed kružnice vepsané je průsečíkem všech 3 os úhlů trojúhelníku. 1. Máme trojúhelník ABC. 2. Sestrojíme osu o 1 úhlu α. 3. Sestrojíme osu o 2 úhlu β. 4. Průsečík os o 1 a o 2 je střed S kružnice vepsané k. Tuto kružnici sestrojíme, její poloměr je dán vzdáleností středu S a libovolné strany (určíme jej po sestrojení kolmice ze středu S na libovolnou stranu). 24

26 15 KRUŽNICE OPSANÁ TROJÚHELNÍKU Kružnice opsaná trojúhelníku je taková kružnice, která prochází všemi vrcholy trojúhelníka. Každému trojúhelníku lze opsat kružnici. Střed kružnice opsané leží v průsečíku os stran. Poloměr se rovná vzdálenosti středu od libovolného vrcholu. Střed kružnice opsané je průsečíkem všech 3 os stran trojúhelníku. 1. Máme trojúhelník ABC. 2. Sestrojíme osu o 1 úsečky AB. 25

27 3. Sestrojíme osu o 2 ús. AC 4. Průsečík os o 1 a o 2 je střed S kružnice opsané k. Tuto kružnici sestrojíme, její poloměr je dán vzdáleností středu S a libovolného vrcholu. 16 OBVOD TROJÚHELNÍKU Obvod trojúhelníka o se vypočte jako součet všech jeho stran: O = a + b + c a, b, c jsou strany trojúhelníka C B A 26

28 17 OBSAH TROJÚHELNÍKU Obsah trojúhelníka S se vypočte jako polovina součinu libovolné strany a k ní příslušné výšky: S = C V C 2 kde v c je výška příslušná straně c, NEBO S = B V B 2 S = A V A 2 3. ÚHEL A JEHO VLASTNOSTI Co je to úhel? Úhel je část roviny omezená dvěma polopřímkami se společným počátkem. Polopřímky, které vymezují úhel v rovině, se nazývají ramena úhlu, společný počáteční bod polopřímek se nazývá vrchol úhlu. Znázornění a zápis Úhel se znázorňuje pomocí jeho ramen, mezi kterými se vyznačí oblouček kolem vrcholu úhlu. Zápis úhlu se provádí pomocí řeckého písmene nebo pomocí symbolu úhlu a tří bodů v pořadí: pomocný bod na prvním rameně - vrchol - pomocný bod na druhém rameně. konvexní úhel AVB s označením AVB 27

29 nekonvexní úhel AVB s označením AVB. 18 DRUHY ÚHLŮ Nulový úhel je úhel, jehož ramena leží na sobě. Mezi rameny není nic = 0. Ostrý úhel je úhel menší než pravý úhel. Pravý úhel je polovina přímého úhlu. Všimněte si na obrázku, že pravý úhel se označuje tečkou v obloučku = 90. Tupý úhel je větší než pravý úhel. Přímý úhel je úhel, jehož ramena jsou opačné polopřímky = 180. Plný úhel je úhel, jehož ramena leží na sobě, za úhel se považuje celá rovina kolem nich = 360. Konvexní úhel je úhel přímý nebo menší než přímý 180 Konkávní úhel je větší než přímý úhel

30 19 DVOJICE ÚHLŮ Vrcholové úhly jsou dva úhly, jejichž ramena jsou opačné polopřímky. Vrcholové úhly jsou shodné. Vedlejší úhly jsou dva úhly, jejichž jedno rameno je společné a druhá ramena jsou opačné polopřímky. Součet vedlejších úhlů je přímý úhel. Souhlasné úhly jsou dva úhly, jejichž 29

31 první ramena leží na jedné přímce a druhá ramena jsou rovnoběžná, přitom směr příslušných ramen je stejný (souhlasný). Souhlasné úhly jsou shodné. Střídavé úhly jsou dva úhly, jejichž první ramena leží na jedné přímce a druhá ramena jsou rovnoběžná, přitom směr příslušných ramen je opačný (střídavý). Střídavé úhly jsou shodné. 20 OSA ÚHLU Všechny úhly jsou osově souměrné, osa úhlu prochází vrcholem a rozděluje úhel na dvě shodné části (poloviny úhlu). αα Podrobný postup při 30

32 sestrojování OSY ÚHLU! 1. Je dán úhel AVB. 2. Z bodu V sestrojíme oblouk kružnice, která protne obě ramena úhlu - dostaneme body X a Y. 3. Z bodů X a Y sestrojíme dva stejné oblouky kružnice (se stejným poloměrem), které se protnou uvnitř úhlu AVB vznikne bod Z. 4. Sestrojíme polopřímku VZ úhel ZVB je polovinou úhlu AVB. 31

33 21 OPERACE S ÚHLY SČÍTÁNÍ ÚHLŮ Dva úhly se sečtou tak, že se jedním ramenem přiloží zvenku k sobě a výsledný úhel vznikne mezi druhými dvěma rameny. Početně stačí sečíst velikosti úhlů. PRAKTICKY ŘEČENO: 1) Grafické sečtení úhlů a + b provedeme tak, že nejprve k jednomu rameni úhlu a přeneseme úhel b mimo úhel a. To znamená, že se oba úhly nepřekrývají, pokud jejich součet nepřesáhl 360 o. Jejich součet je tedy úhel, který vymezila jejich nesouhlasná ramena. Při odečítání úhlů a - b postupujeme obdobně, pouze úhel b přeneseme dovnitř úhlu a. Výsledný úhel opět vytyčují nespolečná ramena obou úhlů. ODČÍTÁNÍ ÚHLŮ Dva úhly se odečtou tak, že se jedním ramenem přiloží dovnitř sebe a výsledný úhel vznikne mezi druhými dvěma rameny. Početně stačí odečíst velikosti úhlů. 32

34 NÁSOBENÍ ÚHLŮ PŘIROZENÝM ČÍSLEM Násobení úhlu přirozeným číslem se převádí na opakované sčítání téhož úhlu tolikrát, kolik je dané přirozené číslo. Početně se vynásobí velikost úhlu daným přirozeným číslem. DĚLENÍ ÚHLŮ DVĚMA Úhel se dělí dvěma sestrojením osy úhlu. Početně se vydělí velikost úhlu dvěma 22 MĚŘÍCÍ PŘÍSTROJE Měřené úhlů je v praxi velmi důležité. Využívá je astronomie, geodézie a mnoho dalších oborů. Proto se také vyvinula řada měřících přístrojů. Úhloměr je i základem mnoha druhů dálkoměrů. úhloměr - nejjednodušší měřidlo - jedná se o polokruhovou desku se stupnicí po obvodu. Složitější přístroje mají pohyblivé rameno. 23 POČÍTÁME S ÚHLY A PŘEVODY JEDNOTEK Při počítání s úhlovými jednotkami bývá obvyklým problémem převod jednotek v dané soustavě (šedesátkové). Všechny minuty i vteřiny větší než 59 musíme převádět. 33

35 ZE STUPŇŮ NA MINUTY Při převodu velikosti úhlu na minuty musíme vědět, že 1 o = 60'. Vynásobíme tedy stupně šedesáti a zbylé minuty k nim přičteme. Př.: Převeďte 21 o 15' na minuty. 21 o 15' = 21 o ' = 1 260' + 15' = 1 275' Z MINUT NA STUPNĚ Při převodu velikosti úhlu z minut na stupně a minuty postupujeme přesně naopak než v předchozím příkladě. Dělíme celočíselně, tudíž může po vydělení zůstat i zbytek!! Př.: Zapište úhel o velikosti 2421' ve stupních. 2421' : 60 = 40 a zbytek 21' VYJÁDŘENÍ ÚHLU DESETINNÝM ČÍSLEM Stačí si připomenout, že 1 o = 60'. To znamená že počet minut musíme tímto číslem vydělit. Př.:Vyjádřete velikost úhlu 12 o 15' 18" desetinným číslem ve stupních. 12 o 15' = 12 o + 15 o : 60 = 12 o + 0,25 o = 12,25 o Z DESETINNÉHO ČÍSLA NA STUPNĚ Opačný postup je poněkud složitější, avšak budeme jej jistě potřebovat. Leckdy bývají naměřené velikosti úhlů v desetinném tvaru. Zkusme tedy převést např. 42,4 o na stupně, minuty: 1. Oddělíme celé stupně 42,4 o = 42 o + 0,4 o 2. Desetinnou část vynásobíme 60ti (počtem minut) 0,4 o.60 = 24' 3. Zapíšeme výsledek. 42,4 o = 42 o 24' 34

36 24 SČÍTÁNÍ A ODEČÍTÁNÍ ÚHLŮ SČÍTÁNÍ ÚHLŮ Jsou-li velikosti úhlů udány ve stupňové míře a v případě že minuty nepřekročí šedesátku, nemusíme si dělat žádné starosti. Sečteme zvlášť stupně a minuty: 12 o 30' + 60 o 20' = (12 o +60 o ) + (30'+20') = 72 o 50' Problém nastane, pokud při součtu minut dostaneme více než 60'! Pak nesmíme zapomenout opět převést do základního tvaru!! Př: Sečtěte : 10 o 50' + 40 o 29' Sčítat začneme odzadu, tzn. od minut po stupně, aby se nám lépe převádělo: 50' + 29' = 79' = 60' + 19' = 1 o 19' 20' můžeme opět zapsat do výsledku a nesmíme zapomenout 1 o přičíst ke stupňům: 10 o + 40 o + 1 o = 51 o 10 o 50' + 40 o 29' = 51 o 19' ODEČÍTÁNÍ ÚHLŮ Odečítání velikostí úhlů musíme věnovat zvýšenou pozornost. Jestliže jsou všechny části menšence větší než příslušné části menšitele, jednoduše je od sebe můžeme odečíst: Př.: 50 o 40' - 20 o 12' = (50 o -20 o ) + (40' - 12') = 30 o 28' Pokud však menšenci přísluší menší počet minut, než menšiteli, pak si můžeme jednoduše potřebný počet stupňů menšence převést na minuty tak, aby výsledně byl celkový počet minut menšence větší, než menšitele. Př.: ' ' = ( ') ' = ( ' + 12') ' = ' ' = ' 35

37 4. PŘEHLED ROVINNÝCH OBRAZCŮ TROJÚHELNÍK S = a v a 2 O = a + b + c ČTVEREC S = a a = a 2 O = 4 a OBDÉLNÍK S = a b O = 2 (a + b) = 2 a + 2 b ROVNOBĚŽNÍKY (KOSODÉLNÍK) S = a v a O = 2 (a + b) = 2 a + 2 b (KOSOČTVEREC) S = a v a O = 4 a a v a a 36

38 KRUH ZŠ a MŠ Ostrava Zábřeh, Kosmonautů 15, příspěvková organizace S = π r 2 O = 2 π r LICHOBĚŽNÍK S = ( a + c) va 2 O = a + b + c + d PRAVIDELNÝ ŠESTIÚHELNÍK S = a va 6 = 3 a v 2 a O = 6 a a VYSVĚTLIVKY O obvod S obsah (obrazce), povrch (tělesa) V objem a, b, c, d označení stran v, v a výška, výška na stranu a π Ludolfovo číslo (3,14159) Spl obsah pláště r poloměr Sp obsah podstavy a 37

39 5. PŘEHLED TĚLES A JEJICH PLÁŠTĚ KRYCHLE S = 6 a a = 6 a 2 V = a a a = a 3 KVÁDR S = 2 (a b + b c + a c) V = a b c HRANOL - DLE PODSTAVY NAPŘ. TROJBOKÝ, ŠESTIBOKÝ S = 2 Sp + Spl V = Sp v 38

40 VÁLEC S = 2 π r π r v V = π r 2 v PRAVIDELNÝ JEHLAN - ČTYŘBOKÝ S = a 2 + Spl V = 2 a v 3 39

41 PRAVIDELNÝ JEHLAN - TROJBOKÝ S = a 2 + Spl V = 2 a v 3 ROTAČNÍ KUŽEL S = π r (r + s) V = 2 π r v 3 KOULE S = 4 π r 2 V = 3 4 π r 3 40

42 6. METODICKÁ PŘÍRUČKA Téma: SHODNOST Ročník: 6. Pomůcky: Mezipředmětové vazby: PRŮSVITKA, PRAVÍTKO, ÚHLOMĚR, VV, FY Téma: SHODNOST TROJÚHELNÍKŮ, VĚTY SSS, SUS, USU Ročník: 7. Pomůcky: PRŮSVITKA, PRAVÍTKO, ÚHLOMĚR, KRUŽÍTKO Mezipředmětové vazby: ICT - GRAFIKA, FY, PČ Téma: OSOVÁ SOUMĚRNOST, OSOVĚ SOUMĚRNÉ ÚTVARY Ročník: 6. Pomůcky: PRŮSVITKA, PRAVÍTKO, ÚHLOMĚR, KRUŽÍTKO Mezipředmětové vazby: VV, PP, PČ - DÍLNY Téma: STŘEDOVÁ SOUMĚRNOST, STŘED. SOUM. ÚTVARY Ročník: 7. Pomůcky: PRŮSVITKA, PRAVÍTKO, ÚHLOMĚR, KRUŽÍTKO Mezipředmětové vazby: VV, PP, PČ - DÍLNY, FY Téma: STŘEDOVÁ SOUMĚRNOST, STŘED. SOUM. ÚTVARY Ročník: 7. Pomůcky: PRŮSVITKA, PRAVÍTKO, ÚHLOMĚR, KRUŽÍTKO Mezipředmětové vazby: VV, PP, PČ - DÍLNY Téma: VLASTNOSTI TROJÚHELNÍKŮ, VLASTNOSTI TROJÚHELNÍKŮ, DRUHY TROJÚHELNÍKŮ, VÝŠKY, TĚŽNICE, STŘEDNÍ PŘÍČKY TROJÚHELNÍKU, KRUŽNICE VEPSANÁ A OPSANÁ TROJÚHELNÍKU Ročník: 6. Pomůcky: PRŮSVITKA, PRAVÍTKO, ÚHLOMĚR, KRUŽÍTKO Mezipředmětové vazby: PČ, FY, ICT Téma: OBVOD A OBSAH TROJÚHELNÍKU Ročník: Pomůcky: PRAVÍTKO, KALKULAČKA Mezipředmětové vazby: PČ, FY 41

43 Téma: ÚHEL A JEHO VLASTNOSTI - CELÁ KAPITOLA Ročník: 6. Pomůcky: Mezipředmětové vazby: PRAVÍTKO, KRUŽÍTKO, ÚHLOMĚR, KALKULAČKA PČ, FY Téma: ROVINNÉ OBRAZCE - N - ÚHELNÍKY, KRUH, KRUŽNICE Ročník: Pomůcky: PRAVÍTKO, KRUŽÍTKO, ÚHLOMĚR, KALKULAČKA Mezipředmětové vazby: PČ, VV Téma: TĚLESA A JEJICH PLÁŠTĚ - KRYCHLE, KVÁDR, JEHLANY.. Ročník: Pomůcky: PRAVÍTKO, KRUŽÍTKO, ÚHLOMĚR, KALKULAČKA, KOSTKY, KRABIČKY OD ZÁPALEK Mezipředmětové vazby: PČ, FY, ICT, DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE, 7. POUŽITÁ LITERATURA [1] Odvárko Oldřich, Kadleček Jiří: Matematika pro 6. ročník základní školy [3] Prometeus 1997; ISBN [2] Odvárko Oldřich, Kadleček Jiří: Matematika pro 7. ročník základní školy [3] Prometeus 1999; ISBN [3] Běloun František a kolektiv: Sbírka úloh z matematiky pro ZŠ SPN 1992, 6.vydání; ISBN [4] Mikulčák Jiří a kol.: Matematické, fyzikální a chemické tabulky pro SŠ SPN 1988; ISBN [5] [6] [7] [8] 42

44 8. PŘÍKLADY NA PROCVIČENÍ (A) Dopočítej velikosti všech chybějících úhlů v obrázku : (B) Sestroj trojúhelník ABC : a = 7,4 cm (náčrt, konstrukce, rozbor) b = 9 cm c = 14 cm V tomto trojúhelníku ABC sestroj těžnice. (C) Sestroj trojúhelník KLM : k = 8 cm l = 12 cm m = 9 cm Sestroj kružnici opsanou tomuto trojúhelníku KLM. (D) Sestroj trojúhelník ABC : a = 6 cm b= 12 cm c = 7 cm Sestroj kružnici vepsanou tomuto trojúhelníku. 43

45 (E) Sestroj výšky v následujícím trojúhelníku: B C A (F) Rozhodni který z následujících trojúhelníků je: Rovnoramenný Rovnostranný Pravoúhlý Ostroúhlý Tupoúhlý

46 (G) Vypočítej obsah trojúhelníku z následujícího obrázku: (H) Narýsuj trojúhelník s délkami stran: a= 4,5 cm b = 6 cm c = 5,7 cm Potom změř jeho výšku a vypočítej obvod a obsah trojúhelníku. (I) Sestroj kružnici opsanou trojúhelníku MNP P M F N (J) Sestroj výšky v následujícím trojúhelníku: D 45 E

47 (K) Rozhodni zda platí: Bod F patří úhlu: α, DVC, AUC, BUC Bod E patří úhlu: α, β, DVC, AVC, DVB, Vrchol úhlu ADC je bod: A, C, B (L) Sestroj osu konvexního úhlu KLM: K L L M K M C (M) Změř velikosti úhlů v trojúhelníku ABC A B 46

48 (N) Rozhodni co platí: A) úhly α a γ jsou vrcholové B) úhly β a δ jsou vedlejší C) úhly γ a δ jsou vrcholové D) úhly β a α jsou vedlejší α β δ γ (O) Graficky sečti úhel β a KLM: K β L M (P) Sestroj rozdíl úhlů KLM a β: K L M (Q) Sestroj rozdíl úhlů KLM a β: β K 47

49 β (R) Sestroj osy následujících úhlů: α =90 β = 60 (S) Narýsuj si libovolný ostrý úhel α. Graficky sestroj: A) 2 α B) α 2 Jaké druhy úhlů Ti vyšly?? Pojmenuj je (T) Bez měření zapiš velikosti úhlů α, β a γ. 39 γ β β α (U) Známe úhly α = a β =

50 Vypočítej α + β α β 2 α + ½ β Výsledky převeď do základního tvaru ( > 60 ) (V) V osové souměrnosti s osou o sestroj obraz o (W) Ve středové souměrnosti se středem v bodě D sestroj následující obraz D (X) Sestrojte β menší než 90. Sestroj osu β. (Y) Jaký je objem kvádru, který má výšku 18 dm, délku 6 dm a úhlopříčku dolní podstavy 10 dm? (Z) Kolik středů souměrnosti má osa úsečky? OBTÍŽNĚJŠÍ ÚLOHY NA PROCVIČENÍ 49

51 (AA) Obrazec na obrázku je vytvořen ze dvou shodných malých půlkruhů a jednoho velkého půlkruhu. Obvod obrazce je 219,8cm. Vypočítej poloměr r. Výsledek zaokrouhli na celé centimetry (BB) Kolik sloupků je potřeba na oplocení čtvercové zahrádky o výměře 1 aru, je-li mezi sloupky plotu vzdálenosti 2 m? (CC) Vypočítej obsah obruče, která je na obrázku vyznačena černou barvou. Vnější průměr je 560 mm a vnitřní průměr 480 mm. (DD) (EE) Který z následujících útvarů má největší součet os souměrnosti se středy souměrnosti? čtverec pravidelný šestiúhelník rovnostranný trojúhelník kruh Z kruhové desky o poloměru 16 cm má být vyříznuta část tvaru čtverce (viz. obrázek). Jakou bude mít čtverec plochu? (FF) Bedna ve tvaru kvádru s rozměry 120 cm, 96 cm, 144 cm je přesně zaplněna krabičkami tvaru krychle o hraně 24 cm. Kolik nejvíce krabiček se vejde do bedny? 50

52 (GG) Vypočítej kolik zaplatíme za barvu na bazén, když víš, že jeho rozměry jsou 22 m x 12 m a hloubka je 1,5 m. Na 5 m 2 vystačí jedna plechovka barvy za 136 Kč. (HH) Vypočítej povrch válce, jehož poloměr je 5 cm a jeho objem je 345 cm 3. (II) Terasa má tvar rovnoramenného lichoběžníku má délku 10,4 m, délka ramene je 5,7 m a velikost vnitřního úhlu mezi ramenem a základnou je 65. a) Urči přibližně, kolik čtverečných metrů dlaždic bude potřeba na vydláždění terasy. b) Podél obou ramen a kratší základny lichoběžníkové terasy bude zábradlí. Urči jeho délku. (JJ) (KK) Obsah rovnoběžníku EFGH je 56 cm 2. Vypočítej jeho výšky, když víš, že délky jeho sousedních stran jsou e = 7 cm, f = 14 cm. Jehlan s obdélníkovou podstavou o rozměrech 6 dm a 8 dm má boční hranu dělky 13 dm. Vypočítejte povrch a objem tohoto jehlanu a načrtněte jeho síť. 51

53 (LL) (MM) Vypočítejte povrch a objem rotačního kužele, jehož obvod podstavy je 125,6 cm a strana má délku 25 cm. Vypočítej obsah pravidelné čtyřcípé hvězdy, když víš, že její obvod je 120 cm a vzdálenost bodů IACI = 5 cm je (vhodně rozděl na trojúhelníky a ) C A (NN) Kolik litrů vody může maximálně za jednu sekundu odvádět koryto, jehož průřezem je půlkruh o poloměru 0,5 m, je-li rychlost toku vody 80 cm / s? (OO) (PP) (QQ) Vypočitej objem hranolu s kosočtvercovou podstavou, jehož jedna uhlopříčka podstavy má délku 20 cm a hrana podstavy má délku 26 cm. Délka hrany podstavy je k výšce hranolu v poměru 2 : 3. Pan Dvořák postaví u svého nového domu místo obyčejněho plotu zeď z cihel. Zeď bude dlouhá 47 m, vysoká 2,5 m a 29 cm široká. Cihla má rozměry 29 cm, 14 cm a 6,5 cm. Pan Dvořák objednal 5000 cihel. Vypočítej, zda mu budou stačit na celou zeď. Sníh napadl 3 dm 5 cm vysoko. Jak velký zaujímá prostor na dvoře 18 m širokém a 26 m dlouhém? Kolik sněhu je potřeba odházet na cestičku 1,5 m širokou ve směru délky? 52