Výpočet obsahu rovinného obrazce

Transkript

1 Výpočet oshu rovinného orzce Pro výpočet oshu čtverce, odélník, trojúhelník, kružnice, dlších útvrů, se kterými se můžeme setkt v elementární geometrii, máme k dispozici vzorce Kdchom chtěli vpočítt osh ploch ohrničené npříkld osou grfem funkce f n intervlu,, můžeme použít pro výpočet tzv určitý integrál Pokud udeme počítt osh S ploch, která je zvýrzněná n orázku, ted shor ohrničené funkcí intervlu ude f, která je n, spojitá kldná, S f d = = = f() Poznámk: Číslo nzýváme dolní integrční mez, číslo je horní integrční mez Potom čteme " Integrál od do " Definici si zde uvádět neudeme Výpočet se provede pomocí tzv Newton-Leinizov formule Je-li f spojitá n intervlu d pk f F F F, funkce F je k ní n tomto intervlu primitivní, Ted vpočteme integrcí primitivní funkci, potom do ní dosdíme meze hodnot odečteme Příkld: Vpočtěte d Řešení: Funkce je n intervlu, spojitá Vpočítáme ted funkci primitivní potom do této funkce dosdíme meze Hodnotou určitého integrálu je rozdíl hodnot primitivní funkce v horní mezi hodnot v dolní mezi 4 5 d Příkld: Vpočtěte osh ploch ohrničené křivkou Řešení: Plochu si nčrtneme Grfem 4 je prol s osou rovnoěžnou s osou, vrchol výš než ohnisko, která protíná osu v odech 4 4 osou

2 Funkce 4 je n intervlu, 4 spojitá nezáporná, ted 4 S d 4 Protože jde o osh ploch, uvádí se ovkle S j, kde j je příslušná jednotk Je-li funkce f, která ohrničuje plochu, n dném intervlu záporná, je osh S f d Kd funkce n intervlu, měnil znménko, museli chom integrál rozložit n intervl, kde je funkce pouze kldná pouze záporná Příkld: Vpočtěte osh ploch ohrničené křivkou 4 osou Řešení: Plochu si nčrtneme Grfem 4 je prol s osou rovnoěžnou s osou, ohnisko výš než vrchol, která protíná osu v odech 4 Funkce 4 je n intervlu 4, záporná, proto udeme počítt s solutní hodnotou S d j 4 Osh ploch ohrničené dvěm křivkmi Je-li ploch ohrničen grf funkcí f g n intervlu, pltí f g pro všechn, (to znmená, že f ohrničuje plochu shor g zdol), pk S f g d

3 V tomto přípdě nezáleží n tom, zd ploch zshuje i pod osu Pokud meze nejsou zdán eplicitně (přímk kolmé k ose ohrničující plochu zlev zprv), vpočítjí se jko -ové souřdnice průsečíků oou křivek = = = f() = f() = g() = g() Příkld: Vpočtěte osh ploch ohrničené křivkou Řešení: Plochu si nčrtneme přímkou Meze integrálu jsou -ové souřdnice průsečíků křivek Hledáme ted od, ve kterých Rovnici vřešíme, 8 Je vidět, že tento výsledek odpovídá náčrtku Můžeme dosdit do vzorce dopočítt S d Příkld: Vpočtěte osh ploch ohrničené křivkmi, Řešení: Plochu nčrtneme Grfem první funkce je hperol Druhou křivkou je přímk, která je dná oecnou rovnicí, tkže pro dlší výpočt vjádříme eplicitně Třetí črou je přímk kolmá k ose procházející odem Budeme ted počítt osh křivočrého trojúhelník

4 Horní mez integrálu je zřejmá, dolní mez vpočteme jko souřdnici průsečíku přímk hperol Vřešíme rovnici /, Pomocí vzorce neo rozkldem Máme dv průsečík, protože přímk protíná hperolu i ve kvdrntu, le ploch leží v prvním, ted hledný od je v S d ln 9 ln ln 6 ln Řešené příkld: Vpočtěte osh ploch ohrničené grfem funkce sin osou pro, Řešení: Ploch je ohrničená nezápornou funkcí osou S sin d cos cos cos 4 Vpočtěte osh ploch ohrničené grfem funkce přímkmi, Řešení: Funkce je n intervlu, kldná, ted osh ploch je:

5 S d 4 8, Vpočtěte osh ploch ohrničené grf funkcí Řešení: Přímk protíná kuickou prolu v odech,,,, Protože jsou oě funkce liché, je ploch jimi ohrničená ležící ve III kvdrntu stejná, jko ploch ležící v I kvdrntu Tuto smetrii vužijeme Potom 4 d S Vpočtěte osh ploch ohrničené křivkmi Řešení: Nčrtneme:,, V příkldu řešeném v tetu dříve už jsme měli zdnou tuto hperolu přímk Nní je le v zdání nvíc os Z orázku je zřejmé, že nemůžeme počítt integrál n intervlu,, protože pro, je ploch shor ohrničená přímkou, ztímco pro, je ohrničen oloukem hperol Musíme ted počítt osh kždé části zvlášť S d d ln Do primitivních funkcí dosdíme meze (nejdříve horní mez, potom dolní) ln ln ln

6 5 Vpočtěte osh ploch ohrničené křivkmi 4 Řešení: Plochu nčrtneme První prol protíná osu v odech je "otočená nhoru" (ohnisko výš než vrchol) Druhá prol protíná osu v odech 4 je "otočená dolů" (vrchol výš než ohnisko) Vpočítáme meze integrálu jko -ové souřdnice průsečíků zdných prol Hledáme od, pro které pltí 4 6, Ohrničená ploch ted vzhledem k ose shá od do, shor je ohrničená prolou 4 zdol Ted S 4 d 6 d 6 zintegrujeme dosdíme meze Příkld n procvičení: Nčrtněte plochu ohrničenou dnými křivkmi určete -ové souřdnice jejich průsečíků ), c), 6 ), d) 4 5, Vpočtěte osh ploch ohrničené křivkmi ),, d), ), 4 e) sin, cos,, c),, f),, 8, 4 Výsledk: ), ),, c),, d), 4 ; ) 5 c) ln, d), e), f) 6, ), ln