Hledání hyperbol

Transkript

1 759 Hledání hyperol Předpokldy: 756, 757, 758 Pedgogická poznámk: Některé příkldy jsou zdlouhvější, pokud mám dosttek čsu proírám tuto následující hodinu ěhem tří vyučovcích hodin Př : Npiš rovnici hyperoly, která má ohnisk v odech E [ 5;3], [ 7;3] poloosu o délce 5 Střed hyperoly je středem úsečky EF S [ ;3] Úsečk EF je rovnoěžná s osou x hlvní poloosou je = 5 Excentricit je vzdálenost ohnisk od středu e = SE = 6 Určíme vedlejší poloosu: Rovnice hyperoly: ( x ) ( y 3 ) e = + = e = 6 5 = = 5 Př : Njdi rovnici rovnoosé hyperoly s ohnisky E [ ; 3], [ ;] Střed hyperoly je středem úsečky EF S [ ; ] Úsečk EF je rovnoěžná s osou y hlvní poloosou je Excentricit je vzdálenost ohnisk od středu e = SE = Hyperol je rovnoosá pltí Určíme poloosy: = e = +, dosdíme = : Rovnice hyperoly: ( y + ) ( x ) = F F hlvní e e = = = = Pedgogická poznámk: Největším prolémem je význm termínu rovnoosá hyperol Chci, y jej studenti nšli ve svých poznámkách Př 3: Osy hyperoly jsou shodné s osmi soustvy souřdnic, excentricit se rovná 5 M 3; Urči její rovnici hyperol prochází odem [ ] Nevíme, která ze souřdných os je hlvní osou hledné hyperoly dvě možnosti Hlvní osou hyperoly je os x hyperol má rovnici = Dvě neznámé, máme jediný od n doszování potřeujeme dlší rovnici, použijeme informci o excentricitě: e = 5 + = 5 = 5 Dosdíme do rovnice: = 5

2 ( ) 3 Dosdíme od M [ 3; ] : = / = 5 ( ) ( ) = = 0 provedeme sustituci x 50x + 5 = 0 ( ) ( ) ( ) = x ± c 50 ± ± 0 x, = = = Dvě řešení: x = = 5 = 5 = 5 = 5 5 = 0 nesmysl = 5 není řešení 50 0 x = = 5 = 5 = 5 = 5 5 = 0 = 5 je řešení Hledná hyperol má v přípdě, že její hlvní os je totožná s osou x rovnici = 5 0 Teď druhá možnost: Hlvní osou hyperoly je os y hyperol má rovnici = Opět dosdíme z: = 5 do rovnice: = 5 Dosdíme od [ 3; ] 3 M : ( ) = / ( 5 ) 5 ( ) ( ) = = 5 5 = 0 pltí: 5 = 5 5 = = 0 ( )( ) Dvě řešení: = 5 = 5 = 5 5 = 0 = 5 je řešení = 5 nesmysl, druhá mocnin nemůže ýt záporná Hledná hyperol má v přípdě, že její hlvní os je totožná s osou y rovnici = 0 5 Pedgogická poznámk: Jen málokterý student přijde i po upozornění n to, že hledná hyperol může mít svislou hlvní osu je tedy tře doszovt i do rovnice = Nemá cenu nechávt studenty n tomto místě příliš dlouho stát

3 Př : Npiš rovnici hyperoly, jejíž hlvní os je shodná s osou x vedlejší s osou y která prochází ody M ; 6 N 3; Hyperol má rovnici: = máme dvě neznámé, le můžeme doszovt dvody řešíme soustvu dvou rovnic Dosdíme od M ; 6 ( ) : 6 = / ( Dosdíme od N 3; : 3 ) = / 6 = 3 = provedeme sustituci: = x, = y y 6x = xy 3y x = xy Od první rovnice odečteme druhou: y x = 0 y = x Dosdíme do první rovnice: x 6x = x x x = x x x = 0 x x = 0 ( ) x = = 0 nesmysl, poloos nemůže ýt nulová x = = rozumný výsledek y = x = = = Hledná hyperol má rovnici = Pedgogická poznámk: Ještě výhodnější sustitucí je x =, y = Př 5: Npiš rovnici hyperoly, jestliže její symptoty mjí rovnice y = ± x ohnisko je v odě F [ 5; ] Potřeujeme určit střed hyperoly Střed hyperoly je průsečíkem symptot hledáme společný od přímek y = x y = x srovnávcí metod x = x x = 0 x = 0 y = x = 0 = Asymptoty se protínjí v odě S [ 0; ], který je středem hyperoly Známe excentricitu: e = SF = 5 Velikosti poloos udávjí směrnice symptot k = = = Dosdíme do vzthu mezi poloosmi excentricitou: ( ) e = 5 = + = + = 5 = 5 = 5 = = 5 3

4 Rovnice hledné hyperoly: ( y ) x + = 5 0 Př 6: Njdi rovnici hyperoly, která prochází odem M [ 3; ] jejíž symptoty mjí rovnice: : 3x y = 0, : 3x + y 5 = 0 Podoný příkld jko předchozí Střed hyperoly určíme jko průsečík symptot: : 3x y = 0 3x = y + : 3x + y 5 = 0 3x = 5 y Srovnáme oě rovnice: y + = 5 y y = y = Dopočítáme x: 3x y = 3x = 0 x = S ; Hyperol má střed v odě [ ] Ze směrnic symptot určíme poměr poloos: k = 3 = = 3 Zývá určit, zd má hledná hyperol hlvní osu vodorovnou neo svislou Nkreslíme si orázek: y S - - x M - - Z orázku je vidět, že od M leží nprvo od symptot hledná hyperol má hlvní osu vodorovnou rovnice ( x ) ( y ) ( 3) = Dosdíme od M [ 3; ] dopočítáme hlvní poloosu: ( 3 ) ( ) ( 3) 9 / 9 9 = 36 9 = 9 = 3 = 3 = 3 = 3 3 Hledná hyperol má rovnici ( x ) ( y ) = 3 7 =

5 Př 7: Petáková: strn 6/cvičení 3 strn 6/cvičení 8 strn 6/cvičení 5 strn 6/cvičení 53 Shrnutí: 5