Konstrukce na základě výpočtu I

Transkript

1 ..11 Konstrukce n zákldě výpočtu I Předpokldy: Pedgogická poznámk: Původně yl látk rozepsnou do dvou hodin, v první ylo kromě dělení úseček zřzen i čtvrtá geometrická úměrná. Právě její prorání se nestíhlo, proto yl látk přerovnán následujícím způsoem. V přípdě čsového stresu je možné třetí hodinu vynecht neo ji přesunout n smostudium. Pedgogická poznámk: Je důležité si uvědomit, že následující sled příkldů neslouží k tomu, y si žáci upevnili mechnický postup n dělení úseček. Jediné, co y si měli pmtovt, že ve všech příkldech využijí podonost trojúhelníků úsečku, n kterou si oznčí potřený počet dílů. Vše osttní y měli vymýšlet v konkrétní situci smi. Sled je uprvený tk, y tupému opkování moc nepřál, nvíc si n tuli ukzujeme i dlší možnosti. pokud řešíme prolémy v lvici snžím se žák směrovt vždy n trochu jiné řešení. Pokud nejsou schopni následující příkld smi vyřešit, ereme to jko náznk toho, že postup ještě neovládli správně. Rychlost postupu v této hodině hodně závisí n tom, jk rychle se studenti oprostí od mechnického opkování zčnou tvůrčím způsoem používt podonost trojúhelníků. Doporučuji postup neuspěcht v přípdě potřey ošidit využití Pythgorovy věty, kde jsou příkldy dleko mechničtější. Orázky u následujících příkldů jsou schválně kresleny "kždý jink" (kreslím je tk i při hodině n tuli), y žáci viděli, že jejich tvr není důležitý. Př. 1: Úsečku rozděl odem n dvě části tk, y pltilo: : = :. Njdi co nejvíce různých způsoů, jk n řešení využít podonost trojúhelníků. od dělí úsečku n dvě části o třech (úsečk ) dvou (úsečk ) dílech celá úsečk má pět dílů. Trojúhelníky jsou si podoné v poměru: = úsečky si musí ýt podoné ve stejném poměru = nlezli jsme poždovný od. Pomocnou úsečku můžeme kreslit i z druhé strny. Trojúhelníky jsou si podoné v poměru: = úsečky si musí ýt podoné ve stejném poměru = nlezli jsme poždovný od. 1

2 Příkld můžeme vyřešit i přímo pouze poměrem : = :, tím, že nkreslíme dv trojúhelníky nvzájem podoné s tímto poměrem. Trojúhelníky jsou si podoné v poměru: = úsečky si musí ýt podoné ve stejném poměru = nlezli jsme poždovný od. Že všechny postupy vedou ke stejnému výsledku, se sndno přesvědčíme tím, že všechny orázky položíme n see. Při dělení úsečky postupujeme ve dvou krocích: Uvědomíme si, kolik dílů mjí jednotlivé vzdálenosti, které n úsečce mjí vzniknout. Njdeme vhodnou podonost trojúhelníků, kterými můžeme tkovou situci relizovt. Pmtovt si dlší podronosti postupu není rozumné, protože tím omezujeme své možnosti regovt n různé situce. Pedgogická poznámk: Po všech (u těch, kteří příkld nevyřeší smi, n tom trvám) chci, y nkreslili i druhou možnost řešení, s úsečkou vycházející z druhého krjního odu. Př. : Úsečku rozděl odem n dvě části tk, y pltilo: ) : = 1: ) : = : ) : = 1: N úsečce vzniknou tři vzdálenosti (závorce počet dílů): (), (1), (1). N řešení můžeme použít liovolný z postupů uvedených v předchozím příkldě.

3 Trojúhelníky 1 jsou si podoné v 1 1 poměru: = úsečky si musí 1 1 ýt podoné ve stejném poměru = nlezli jsme poždovný od. ) : = : N úsečce vzniknou tři vzdálenosti (závorce počet dílů): (), (1), (). N řešení můžeme použít liovolný z postupů uvedených v předchozím příkldě. Trojúhelníky jsou si podoné v poměru: s úsečky si musí ýt podoné ve stejném poměru = nlezli jsme poždovný od. Př. : Jsou dány ody,. N přímce nrýsuj všechny ody tk, y pltilo: ) : = : 4, ) : = :. Hledej co nejúspornější způso nrýsování. ) : = : 4 Velmi podoné předchozím příkldům, le máme ody hledt n celé přímce od může ležet i mimo úsečku, zřejmě před odem. Konstrukce: 4 1 ) : = : Vzdálenost je větší než vzdálenost opět njdeme dv ody, o udou ležet mimo úsečku.

4 1 Pedgogická poznámk: Žákům, kteří v odě ) nkreslí pouze jeden od (vždy to ývá ten n úsečce ) podoně jko v předchozích příkldech v první fázi připomínám, y si přečetli pořádně zdání (změn z úsečky n přímku má určitě svůj význm). I když jim existenci druhého odu mimo úsečku někdo pordí, měli y se ho pokusit njít smi. U oou příkldů se snžím motivovt žáky k tomu, y kreslili úsporně (nerýsovli zytečně dvě sdy trojúhelníků). Př. 4: Jsou dány úsečky o délkách,, >. Nrýsuj: ) úsečku o délce c = +, ) úsečku o délce Při rýsování zvol délky úseček: = 4cm, = cm.. d =. Prolém: O výrzy ni náhodou nepřipomínjí rovnost dvou poměrů. Řešení: O výrzy připomínjí Pythgoru větu při rýsování využijeme vzthy mezi strnmi prvoúhlého trojúhelník. ) úsečk o délce c = + Vzth uvedený v zdání udává délku přepony v prvoúhlém trojúhelníku úsečku o délce c sestrojíme jko přeponu v prvoúhlém trojúhelníku o strnách,. c Numerická kontrol: c = + = + = 4 ) úsečk o délce d = Vzth uvedený v zdání udává délku odvěsny v prvoúhlém trojúhelníku s přeponou odvěsnou sestrojíme tento trojúhelník pomocí Thletovy kružnice. d 4

5 Numerická kontrol: d = = = 4 7, 6 Pedgogická poznámk: Většin žáků smosttně nepřijde n to, že musí použít Pythgorovu větu, le t ystřejší menšin y měl dostt šnci. Pedgogická poznámk: Řešení následujícího příkldu je uvedeno v příští hodině. V této hodině se k němu dostávjí jen nejrychlejší žáci. Př. : Jsou dány úsečky o délkách,, c. Sestroj úsečku o délce x =. Njdi oecný c postup, jk sestrojit ez měřítk poždovnou úsečku pro liovolné konkrétní délky úseček,, c. Zkonstruuj úsečku x pro konkrétní délky = 6cm, = cm, c = 4cm. Změř její délku zkontroluj ji pomocí numerického výpočtu. Př. 6: Petáková: strn 78/cvičení 9 Shrnutí: K dělení úseček používáme podonost trojúhelníků.