Trigonometrie - Sinová a kosinová věta

Transkript

1 Trigonometrie - Sinová kosinová vět jejih užití v Tehniké mehnie Dn Říhová, Pvl Kotásková Mendelu rno Perspektiv krjinného mngementu - inove krjinářskýh disipĺın reg.č. Z.1.7/../15.8 Osh 1 Goniometriké funke Sinová vět Kosinová vět 4 Užití v Tehniké mehnie Leonrd Euler zkldtel moderní trigonometrie

2 Goniometriké funke 1 Definie goniometrikýh funkí pomoí jednotkové kružnie (poloměr r = 1) se středem v počátku O soustv souřdni [os, sin ] od [, ] má souřdnie = os, = sin 1 os sin tg = sin os pro os tj. π + kπ, otg = os sin pro sin tj. kπ je orientovný úhel, jehož vrhol je ve středu kružnie počáteční rmeno splývá s kldnou částí os, je průsečík jednotkové kružnie s konovým rmenem orientovného úhlu Definie funkí sinus kosinus Definie funkí sinus kosinus pomoí prvoúhlého trojúhelník s prvým úhlem při vrholu Sinus úhlu je podíl délk odvěsn protilehlé tomuto úhlu délk přepon sin = přepon protilehlá odvěsn Kosinus úhlu je podíl délk odvěsn přilehlé tomuto úhlu délk přepon os = přilehlá odvěsn přepon

3 Definie funkí tngens kotngens Definie funkí tngens kotngens pomoí prvoúhlého trojúhelník s prvým úhlem při vrholu Tngens úhlu je podíl délk odvěsn protilehlé tomuto úhlu délk odvěsn přilehlé tg = přilehlá odvěsn otg = protilehlá odvěsn Kotngens úhlu je podíl délk odvěsn přilehlé tomuto úhlu délk odvěsn protilehlé Funke sinus Znázornění funke sinus v jednotlivýh kvdrnteh II. I. sin sin III. IV. sin sin funke sinus je záporná pro úhl z intervlu (π, π), ted (18, 6 )

4 Funke kosinus Znázornění funke kosinus v jednotlivýh kvdrnteh II. I. os os III. IV. os os funke kosinus je záporná pro úhl z intervlu ( π, π ), ted (9, 7 ) Znménk goniometrikýh funkí Znménk goniometrikýh funkí v jednotlivýh kvdrnteh Funke I. II. III. IV. ( ) (, π π, π) ( ) ( π, π π, π) sin + + os + + tg + + otg + +

5 Poznámk Úhl se zprvidl udávjí v míře oloukové (1 rd) neo v míře stupňové (1 ), 1 rd. = Pro převod úhlu do oloukové mír pltí = π 18, kde je velikost úhlu v oloukové míře velikost úhlu ve stupníh. Pro převod do mír stupňové použijeme vzthu = 18 π. Hodnot goniometrikýh funkí Znázornění hodnot funkí sinus kosinus n jednotkové kružnii = os = sin

6 Hodnot goniometrikýh funkí ve vrnýh úhleh Stupně Rdián π 6 π 4 π π π π 4 5π 6 π sin os tg 1-1 otg Sinová vět Sinová vět Pro kždý trojúhelník, jehož vnitřní úhl mjí velikosti,, strn délk,,, pltí sin = sin = sin Poměr délek strn hodnot sinů jim protilehlýh úhlů je v trojúhelníku konstntní.

7 Poznámk Sinovou větu můžeme tké vjádřit ve tvru = sin sin, = sin sin = sin sin Poměr délek dvou strn trojúhelníku se rovná poměru sinů protilehlýh úhlů. Sinová vět se používá v těhto přípdeh 1 Známe dv úhl trojúhelníku délku jedné strn, heme zjistit velikosti zývjííh strn Příkld (1) V trojúhelníku určete velikosti zývjííh strn úhlu, jestliže =, = 1, = 6. Řešení: + + = 18 = 18 = 18 1 = 4 sin = = sin sin sin = 6 sin. =,7 sin 1 sin = = sin sin sin = 6 sin 4. = 4,44 sin 1

8 Známe dvě strn trojúhelníku úhel proti některé z nih, heme zjistit zývjíí úhl (úloh má jediné řešení, je-li dán úhel proti větší strně) Příkld () V trojúhelníku určete velikosti všeh úhlů zývjíí strn, jestliže = 1,5, = 18, = 85. Řešení: = sin sin sin = sin = sin 85 1,5 18 =,69 = rsin,69 = = 18 = 18 = = 5 41 = sin = sin sin sin = 1,5 sin = 14 sin 4 49 Kosinová vět Kosinová vět Pro kždý trojúhelník se strnmi o délkáh,, vnitřními úhl,, proti těmto strnám, pltí = + os = + os = + os Čtvere délk strn trojúhelníku je roven součtu čtverů délek zývjííh strn zmenšenému o dvojnásoek součinu délek těhto strn kosinu úhlu jimi sevřeného.

9 Poznámk Pthgorov vět = + je speiálním přípdem kosinové vět pltné pro prvoúhlý trojúhelník. odvěsn odvěsn přepon V trojúhelníku s prvým úhlem = 9 dostáváme os = os 9 = kosinová vět = + os se redukuje n Pthgorovu = + Kosinová vět se používá v těhto přípdeh 1 Známe délk dvou strn trojúhelníku úhel, který svírjí, heme zjistit délku zývjíí strn ( odtud i velikosti zývjííh úhlů) Příkld (1) V trojúhelníku určete délku strn, jestliže = 4, = 1, =. Řešení: = + os = os. = 9,485 = 9,485 =.,8

10 Známe délk všeh tří strn trojúhelníku, heme zjistit vnitřní úhl Příkld () V trojúhelníku určete velikosti vnitřníh úhlů, jestliže = 6, = 11, = 7. Řešení: = + os os = + = = ros,871 =. 9 1 = + os os = + = = ros (,486) =. 115 (Velikost úhlu je výhodnější počítt pomoí sinové vět.). =,871. =, = 18 = 18 = = 5 7 Užití v Tehniké mehnie při skládání rozkldu sil Skládání dvou sil půsoííh v jednom odě Grfiké řešení: pomoí rovnoěžníku sil F F 1 F 1 Početní řešení: 1 Z použití kosinové vět se určí velikost výslednie F F F F 1 F 1 F = F 1 + F F 1 F os F 1 1 F Použijeme-li os = os(18 ), součtový vzore pro funki kosinus os( δ) = os os δ + sin sin δ vzth os 18 = 1, sin 18 =, dostneme os = os(18 ) = os 18 os + sin 18 sin = = ( 1) os + sin = os. Pltí ted os = os.

11 Nhrzením os = os se potom výslednie F vpočte ze vzore F = F 1 + F + F 1F os Odklon výslednie F od os (úhel 1 ) se určí z vznčenýh trojúhelníků pomoí sinové vět F F = sin 1 sin F F F 1 F 1 1 F odtud sin 1 = F ( ) F sin F 1 = rsin F sin F 1 Rozkld síl n vodorovnou svislou složku Síl půsoíí v odě O je odkloněná od vodorovné os o úhel i. odem O se proloží prvoúhlá souřdniová soustv (os ) určoví úsek síl se promítne do os. Tím se stnoví vodorovná složk svislá složk. i V prvoúhlém trojúhelníku pltí i os i =, sin i =. Početně se pk velikost jednotlivýh složek určí ze vzthů = os i, = sin i

12 Oriente výslednie znménk složek sil v jednotlivýh kvdrnteh II. Fi I. + + i i + III. IV. i i + Litertur 1 Kompn, F., rtoš, Z., Finová,.: Tehniká mehnik. rtislv: Prírod, 199. ISN Polák, J.: Přehled středoškolské mtemtik. Prh: Prometheus, 8. ISN Rektors, K.: Přehled užité mtemtik I. Prh: Prometheus, 9. ISN Delventhl, K. M., Kissner,., Kulik, M.: Kompendium mtemtik. Prh: Universum, 8. ISN Motčková, M.: Vužití internetu ve výue goniometrie n střední škole [online]. MFF UK Prh, Diplomová práe, 6. Dostupné z Strnk_s_plet/inde.html [it. 1--7]. 6 Wikipedie [online]. Dostupné z [it. 1--7].

13 Prezente l zprován v rámi projektu: Perspektiv krjinného mngementu - inove krjinářskýh disipĺın reg.č. Z.1.7/../15.8