Aplikovaná lomová mechanika

Transkript

1 ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE Fkult jderná fyzikálně inženýrská Aplikovná lomová mechnik Doc. Ing. Jiří Kunz, CSc. 005 Vydvtelství ČVUT

2 Lektor: Ing. Lubomír Gjdoš, CSc. Jiří Kunz, 000 ISBN (. vyd) ISBN (. přeprc.) ISBN X (3. přeprc.) ISBN (4. přeprc.)

3 OBSAH OBSAH PŘEDMLUVA KE ČTVRTÉMU, PŘEPRACOVANÉMU VYDÁNÍ SEZNAM NEJDŮLEŽITĚJŠÍCH SYMBOLŮ l. HISTORICKÉ POZADÍ VZNIKU LOMOVÉ MECHANIKY. LITERATURA K. KAPITOLE 7. LOMOVÝ PROCES. 8. HOUŽEVNATOST MATERIÁLU KŘEHKÝ LOM 9.3 HOUŽEVNATÝ LOM FAKTORY OVLIVŇUJÍCÍ CHARAKTER LOMOVÉHO PROCESU... LITERATURA K. KAPITOLE 3 3. POLE NAPĚTÍ A DEFORMACÍ V OKOLÍ VRUBU A TRHLINY SHRNUTÍ ZÁKLADNÍCH VZTAHŮ TEORETICKÉ PRUŽNOSTI VLIV VRUBU NA NAPJATOST V TĚLESE NAPJATOST V TĚLESE S TRHLINOU Definice zákldní pojmy Thový mód I Rovinný smykový mód II Antirovinný smykový mód III LITERATURA KE 3. KAPITOLE DEFINICE MEZNÍHO STAVU A VÝBĚR PARAMETRU CHARAKTERIZUJÍCÍHO LOMOVÝ PROCES LITERATURA KE 4. KAPITOLE FAKTOR INTENZITY NAPĚTÍ ÚVOD Definice Nekonečně velké těleso Princip superpozice 64 Příkld Těleso konečných rozměrů TĚLESO OBDÉLNÍKOVÉHO PRŮŘEZU S CENTRÁLNÍ TRHLINOU Vliv konečné šířky W Vliv konečné délky L Vliv průměru inicičního kruhového otvoru d Vliv symetrie šíření trhliny (excentricity e) TĚLESO OBDÉLNÍKOVÉHO PRŮŘEZU S JEDNOSTRANNOU OKRAJOVOU TRHLINOU Ztížení jednoosým them z podmínky konstntního npětí Ztížení jednoosým them z podmínky konstntního posuvu Ztížení čistým, resp. tříbodovým ohybem. 77 Příkld TĚLESO S POVRCHOVOU TRHLINOU ZATÍŽENÉ TAHEM NEBO OHYBEM LOMOVÁ HOUŽEVNATOST Úvod Vliv mteriálu těles Vliv rozměrů těles Vliv teploty

4 OBSAH Vliv prostředí Vliv rychlosti ztěžování Stnovení přípustných technologických, konstrukčních či provozních prmetrů Měření lomové houževntosti ve stvu rovinné deformce... 9 Příkld LITERATURA K 5. KAPITOLE PLASTICKÁ ZÓNA NA ČELE TRHLINY VELIKOST A TVAR PLASTICKÉ ZÓNY V PODMÍNKÁCH ROVINNÉ NAPJATOSTI A ROVINNÉ DEFORMACE Anlytický výpočet velikosti plstické zóny Experimentální možnosti stnoveni velikosti tvru plstické zóny MOŽNOSTI POUŽITÍ KRITERIÍ LINEÁRNÍ LOMOVÉ MECHANIKY V PŘÍPADĚ VÝSKYTU PLASTICKÉ DEFORMACE... 0 LITERATURA K 6. KAPITOLE 3 7. HNACÍ SÍLA TRHLINY (RYCHLOST UVOLŇOVÁNÍ DEFORMAČNÍ ENERGIE) CELKOVÁ ENERGETICKÁ BILANCE, DEFINICE G GRIFFITHOVO KRITERIUM STABILITY TRHLINY ZOBECNĚNÍ GRIFFITHOVA KRITERIA Konečné rozměry těles, módy porušování II III Elstoplstický mteriál R-křivky ZÁVĚREČNÉ POZNÁMKY LITERATURA K 7. KAPITOLE 4 8. FAKTOR HUSTOTY DEFORMAČNÍ ENERGIE ÚVOD DEFINICE A ZÁKLADNÍ HYPOTÉZY JEDNODUCHÉ PŘÍKLADY APLIKACÍ Thový mód I Rovinný smykový mód II Antirovinný smykový mód III Smíšený mód I + II, dvouosé nmáhání Smíšený mód I + II, jednoosé nmáhání ZÁVĚREČNÉ POZNÁMKY LITERATURA K 8. KAPITOLE OTEVŘENÍ TRHLINY (COD, CTOD) DEFINICE COD A CTOD POUŽITÍ CTOD V PŘÍPADĚ PLASTICKÉ DEFORMACE MALÉHO ROZSAHU (V OBORU PLATNOSTI LLM) Vzth mezi CTOD, K G Měření CTOD v lbortorních podmínkách Kriterium stbility trhliny; prktické způsoby určování CTOD POUŽITÍ CTOD V PŘÍPADĚ PLASTICKÉ DEFORMACE VELKÉHO ROZSAHU Mteriály s nízkou lomovou houževntostí, oblst krátkých trhlin Mteriály s vysokou lomovou houževntostí Určování CTOD Určování CTOD c (CTOD in ) FAKTORY OVLIVŇUJÍCÍ CTOD c (CTOD in )

5 OBSAH 9.5 MOŽNOSTI POUŽITÍ CTOD c (CTOD in ) V PRAXI LITERATURA K 9. KAPITOLE J INTEGRÁL ÚVOD DEFINICE, VLASTNOSTI A STANOVENÍ J-INTEGRÁLU Příkld Příkld STANOVENÍ HODNOTY J Ic (J in ) Stnovení J Ic pro lineárně elstický mteriál Universální metod stnovení J Ic Metod stnovení J Ic při totálním zplstizování zbylého nosného průřezu FAKTORY OVLIVŇUJÍCÍ J Ic (J in ) MOŽNOSTI POUŽITÍ J Ic (J in ) V PRAXI. 93 LITERATURA K 0. KAPITOLE VYUŽITÍ LOMOVÉ MECHANIKY PŘI STUDIU ŠÍŘENÍ ÚNAVOVÝCH TRHLIN. 99. SHRNUTÍ ZÁKLADNÍCH POZNATKŮ O ÚNAVĚ MATERIÁLŮ 99.. Chrkter ztěžování Proces únvového porušování mteriálu 0. ŠÍŘENÍ ÚNAVOVÝCH TRHLIN Fktory ovlivňující rychlost šíření únvové trhliny Otevírání uzvírání únvové trhliny Experimentální sledování šíření únvové trhliny Stnovení rychlosti šíření únvové trhliny Oblst prhových hodnot K p Problemtik krátkých trhlin.. 34 Prktický příkld Oblst pltnosti Prisov vzthu (II) Oblst rychlého růstu únvové trhliny závěrečného dolomu (III) LITERATURA K. KAPITOLE.. 59 ANGLICKO-ČESKÝ SLOVNÍK NEJDŮLEŽITĚJŠÍCH ODBORNÝCH POJMŮ

6 PŘEDMLUVA _ PŘEDMLUVA KE ČTVRTÉMU, PŘEPRACOVANÉMU VYDÁNÍ MOTTO neb Myslím si totiž, v tom je t potíž, že troch beletrie nikoho nezbije! (prfráze n text Jiřího Suchého): Bez hrnic se lidská díl zdokonlují stávjí správnějšími; nvěky se stále více přibližují podobjí smotnému rozumu lidskému. Avšk od počátku jejich zdjí se býti dvě řdy: jedn, v níž postupuje konstruktivní tvořivost člověk všechny velké relizce jeho podle zákon příčinnosti správnosti; druhá řd poruch, která jest nezákonná bezpříčinná, zplozená zmtkem, proto je člověku věčně neovládnutelná, neboť je to řd nevědomí nepořádku. Oběm těmito řdmi prochází neustále život, prodloužení jedné řdy znmená prodloužení druhé, vždy nová dokonlost zvádí poruchy nově možné; jsou-li lidská díl divy, budou vždy podléhti zázrkům zkázy. Ale ni tento poměr není jkýmsi zákonem zániku; kdyby byl zákonem, dovedl by jej člověk ovládnouti, le neovládne ho. (Krel Josef Čpkovi: Lumír, 9) Antipov otrvovl oprvárenskou službu stížnostmi n mteriál, který mu přidělili n obnovu svršku kolejnic. Ocel měl nedosttečnou kujnost. Koleje nevydržely zkoušku v ohybu lomu podle Antipov mínění měly n mrze poprskt. (Boris Psternk: Doktor Živgo, 955, přeložil Jn Zábrn) Ten, kdo rozláme věc, by zjistil, co je zč, opustil cestu moudrosti. (John Ronld Reuel Tolkien: Společenstvo prstenů, 954, přeložil Stnislv Pošustová) Seděli jsme spolu zíráme n křídlo vidíme, že z toho křídl plápolá si tři čtvrtě metru dlouhá niť. Mrská sebou, pochopitelně, vždyť kus před ní je vrtule, když se letí, tk je to fofr. A Voskovec, hledě n tu nit, řekl klsickou větu, kterou si dodnes opkuji, kdykoliv letím: Strchuji se, by únv mteriálu nezvinil pád letounu (JnWerich vzpomíná vlstně potlch, 983) Pro čtenáře, kteří s problemtikou mechniky lomu přicházejí do styku poprvé, několik slov úvodem: U celé řdy konstrukčních prvků či celků, mezi které ptří i tk exponovná zřízení jko tlková nádob jderného rektoru či křídlo doprvního letounu, se z technologicko-ekonomických příčin není možno zcel vyvrovt výskytu trhlin či jiných ostrých defektů. S jejich objektivní existencí je proto třeb počítt při výběru optimálního mteriálu, dimenzování konstrukcí, posuzování bezpečnosti jejich provozu, odhdu jejich životnosti, plánování hrmonogrmu prohlídek oprv pod. Klsická konstrukční filosofie je schopn vzít existenci trhlin v úvhu pouze z hledisk oslbení nosného průřezu. Trhlin je všk též velmi účinným koncentrátorem npětí; v okolí - 6 -

7 PŘEDMLUVA _ jejího čel dochází k výrzným kvntittivním i kvlittivním změnám pole npětí deformcí. Použití konvenční konstrukční filosofie není v tomto přípdě dekvátní, může vést k podhodnocení nebezpečí vzniku poruchy tedy ke zvýšení rizik hvárie s velmi závžnými následky. Pro objektivní posouzení vlivu přítomnosti trhliny je třeb zcel změnit přístup vzít v úvhu pozntky multidisciplinárního oboru, kterým je lomová mechniky. Únosnost konstrukčních prvků s trhlinmi, stnovená n zákldě koncepce lomové mechniky, bývá obvykle podsttně nižší než hodnoty predikovné konvenčním postupem. Při použití lomové mechniky neposuzujeme pouze mezní stv mteriálu, le mezní stv soustvy mteriál těleso (dného tvru rozměrů) z dných explotčních podmínek (způsob úroveň mechnického nmáhání, teplot, prostředí pod.). V porovnání s klsickou konstrukční filosofií dochází mnohdy k výrzným změnám, které v některých přípdech vyúsťují k překvpivým mnohdy i protikldným závěrům - npř. odolnost vůči ztrátě stbility trhliny roste s klesjící mezí kluzu mteriálu, s rostoucí teplotou, s klesjící tloušťkou těles pod. V průběhu 5 let, která uplynul od prvního vydání, se jednotlivé výtisky těchto skript dostly do rukou celé řdy pregrduálních studentů i doktorndů jk n ČVUT v Prze, tk i n některých dlších českých slovenských technických univerzitách. Ve snze zlepšit ktuálnost úplnost předkládných informcí bylo toto 4. vydání doplněno rozšířeno. Doufám, že dný text bude i ndále plnit své hlvní poslání, kterým je seznámit studenty, vědecko-výzkumné prcovníky, konstruktéry, technology pod. s teoretickými zákldy, s možnostmi využití pozntků lomové mechniky v prxi, le i s omezeními, se kterými je nutno počítt. Pozornost věnovná jednotlivým témtům (tj. obsh i rozsh jednotlivých kpitol, podkpitol odstvců), je dán subjektivním přístupem, vycházejícím z dosvdních zkušeností utor, získných v rámci dosvdní spolupráce s průmyslovými podniky, vědecko-výzkumnými ústvy univerzitmi. Největší pozornost je věnován únvovému procesu, neboť je primární příčinou převážné většiny lomů v prxi. V textu je uveden řd odkzů n publikce, v nichž lze nlézt podrobnější informce hlubší nlýzu problémů, které jsou v předkládných skriptech mnohdy jen nznčeny. Jiří Kunz Prh, červenec

8 SEZNAM NEJDŮLEŽITĚJŠÍCH SYMBOLŮ SEZNAM NEJDŮLEŽITĚJŠÍCH SYMBOLŮ délk (hloubk) trhliny, hloubk vrubu [m] p šířk zóny protžení [m] A práce vnějších sil [J] b délk ústí povrchové trhliny [m] B tloušťk těles [m] C poddjnost těles, [m/n] obecně konstnt COD otevření trhliny [m] CTOD otevření čel trhliny [m] C bezrozměrný grdient npětí [] d průměr kruhového otvoru, [m] velikost zrn mteriálu [m] D poměr mkroskopické rychlosti šíření únvové trhliny rozteče stricí e excentricit [m] E modul pružnosti v thu [MP] E p součinitel deformčního zpevnění ( plstický modul) [MP m ] f frekvence ztěžování [Hz] f(...) tvrová funkce [] F síl [N] F cl uzvírcí síl [N] F op otevírcí síl [N] F(x,y) Airyho funkce npětí G hncí síl trhliny, [N/m = J/m ] modul pružnosti ve smyku [MP] i imginární jednotk [] Im(...) oznčení imginární části komplexního výrzu J Riceův (Čerepnovův) J-integrál [J/m = N/m] k poměr npětí u dvouosého nmáhání [] K fktor intenzity npětí [MP.m l/ ] K c lomová houževntost [MP.m l/ ] K cf únvová lomová houževntost [MP.m l/ ] K Ic lomová houževntost ve stvu rovinné deformce [MP.m l/ ] - 8 -

9 SEZNAM NEJDŮLEŽITĚJŠÍCH SYMBOLŮ K IEAC K ISCC "prhová" hodnot, nd kterou dochází k šíření trhliny vlivem gresivního prostředí [MP.m l/ ] "prhová" hodnot, nd kterou dochází k šíření trhliny v důsledku korozního prskání [MP.m l/ ] K rozkmit fktoru intenzity npětí [MP.m l/ ] K ef efektivní hodnot rozkmitu fktoru intenzity npěti [MP.m l/ ] K p prhová hodnot rozkmitu fktoru intenzity npětí [MP.m l/ ] K po prhová hodnot rozkmitu fktoru intenzity npětí při R = 0 [MP.m l/ ] K pz zákldní prhová hodnot rozkmitu fktoru intenzity npětí [MP.m l/ ] L délk těles, vzdálenost podpor [m] m exponent deformčního zpevnění [] M ohybový moment [N.m] n obecně exponent [] N počet ztěžovcích cyklů [] P prmetr symetrie cyklu [] r polární souřdnice, [m] rotční součinitel [] r p rozměr plstické zóny [m] R odpor proti šíření trhliny, [N/m = J/m ] prmetr symetrie cyklu [] R m mez pevnosti mteriálu v thu [MP] R p 0, smluvní mez kluzu mteriálu [MP] Re(...) oznčení reálné části komplexního výrzu s kvntittivní prmetr chrkterizující strukturu mteriálu, [m] rozteč stricí [m] S velikost lomové plochy, [m ] fktor hustoty deformční energie [N/m = J/m ] S c kritická hodnot fktoru hustoty deformční energie [N/m = J/m ] t čs [s] T teplot, [C] obecně podmínky explotce U deformční energie [J] U(R) poměr chrkterizující otevření trhliny [] u, v, w složky vektoru posuvu [m] v rychlost šíření únvové trhliny d/dn [m/cyklus] V objem [m 3 ] - 9 -

10 SEZNAM NEJDŮLEŽITĚJŠÍCH SYMBOLŮ W šířk těles [m] X Z() obecné ozn. prmetru, pomocí kterého se posuzuje stbilit trhliny komplexní npěťová funkce, g, n součinitel koncentrce npětí [] úhel definující orientci trhliny vůči ose nmáhání [rd] specifická energie [J/m = N/m] ij složky tenzoru deformce [] fktor stísnění [] komplexní číslo ( = x + iy) komplexně sdružené číslo ( x iy ) Poissonovo číslo mteriálu [] poloměr zkřivení dn vrubu [m] ij složky tenzoru npětí [MP] c mez únvy hldkého těles [MP] cl uzvírcí npětí [MP] op otevírcí npětí [MP] ij smykové složky tenzoru npětí [MP] polární souřdnice [rd] o predikovný směr šíření trhliny [rd] komplexní npěťová funkce komplexní npěťová funkce - 0 -

11 . HISTORICKÉ POZADÍ VZNIKU LOMOVÉ MECHANIKY l. HISTORICKÉ POZADÍ VZNIKU LOMOVÉ MECHANIKY Vývoj lidské civilizce je úzce spjt s vývojem výrobou nejrůznějších předmětů (zejmén nástrojů), které lidem usndňují jejich práci význmně rozšiřují jejich možnosti. Proces technického rozvoje s sebou přináší stále nové složitější úkoly. V době kmenné bylo hlvním problémem pouze využití (tj. tvrování) přírodních mteriálů (kmene, dřev, kosti pod.). Již v této době všk prčlověk intuitivně využívl zákonitostí mechniky lomu npř. při štípání pzourků [],[] n zákldě empirických zkušeností optimlizovl svůj technologický postup tk, by k lomu došlo v poždovném místě s co nejmenším vynložením energie. V době bronzové železné nvíc přibyl problém výroby zprcování. Nznčená změn chrkterizuje význmný kvlittivní posun, související s hledáním optimálního mteriálu pro dný účel. Výrob kovových mteriálů je podmíněn použitím ohně. Oheň je plmenný meč, jehož ostří proniká z viditelnou strukturu do nitr kmene uvádí J. Bronowski [3]. Měď zčli používt lidé n Předním východě již téměř před deseti tisíci lety. Zpočátku zprcovávli pouze kov, který byl obsžen v hroudách, ncházejících se volně n povrchu země. Asi před sedmi tisíci lety se měď zčl získávt tvením rudy (mlchitu). Tím se lidské možnosti podsttně rozšířily. Čistá měď všk měl jen mlou pevnost tvrdost n měděných nástrojích nebylo možno vytvořit ostří poždovné kvlity. Potřebných vlstností bylo dosženo přidáním rzénu, cínu, olov či dlších prvků, čímž vznikl nová slitin - bronz. Přestože smotný cín má ještě nižší tvrdost než měď, slitin těchto dvou kovů má tvrdost podsttně vyšší npř. bronz obshující 0% Sn může mít ž osmkrát větší tvrdost než čistá měď. S výrobou bronzu se zčlo téměř před šesti tisíci lety n Předním východě, v severním Thjsku v Číně [4]. Mezi strými čínskými obětními bronzovými nádobmi jsou exempláře, které mjí hmotnost ž 000 kg výšku ž 0,5 m. Protože v Číně ž dosud nebyl objeven žádná vysoká nebo tvící pec z doby bronzové, musel být surovin pro tkto veliké nádoby zároveň tven legován v mnoh hliněných tvících kelímcích n otevřeném ohni. To předpokládá nvíc vysoký stupeň orgnizce práce součinnost velkého počtu prcovních sil (podle odhdů i více než 00) [5]. Četnost výskytu želez v přírodě je podsttně větší, než četnost výskytu mědi. Pro tvení železných rud je všk třeb vyvinout teplotu o cc 500C vyšší, než v přípdě rud měděných. Železo zčli lidé používt nejdříve v jeho přirozené formě, které se n zemský povrch dostávlo prostřednictvím meteoritů. Sumerové proto železu říkli kov z nebes [3]. Jeden z nejstrších železných nástrojů byl nlezen zpdlý mezi kmennými kvádry pyrmidy, - -

12 . HISTORICKÉ POZADÍ VZNIKU LOMOVÉ MECHANIKY postvené si před 4500 lety v Egyptě. První ocel, tj. slitin želez s uhlíkem, byl ptrně vyroben si před třemi tisíci lety v Indii. Odlévání želez bylo vynlezeno v Číně nejstrší licí formy (n motyky sekery) jsou dochovány z období 5. ž 3. stolení př.n.l. (v Evropě se odlévání objevuje ž ve 4. století n. l.) [5]. Asi od. ž 4. století n. l. se pro tvení železné rudy zčlo v Číně používt uhlí, což ještě ve 3. století vyvollo velký obdiv Mrk Pol: Po celé zemi ktjské se nchází jkýsi druh černých kmenů, které se dobývjí v horách n způsob žil; tyto kmeny žhnou hoří jko dřevěné uhlí udržují teplo dleko lépe než dříví. Tyto kmeny nedávjí plmen, leč něco málo n počátku, když jsou tkto rozdmýchávány, vydávjí veliké teplo [5]. Kromě tvení se též postupně vyvíjel technologie kování. Až do nedávné doby všk byl ocel vzácná rozsh jejího použití byl velmi omezený. Nedosttek želez byl trvlým problémem Říše římské. Tento mteriál byl cennou kořistí římských rmád při výprvách v oblsti Středozemního moře. V 7. století všk islámské země Středozemní moře pro křesťnské lodě uzvřely. Pozornost Římnů se proto obrátil n země severně od Alp, kde se železo vyskytovlo ve větším množství. Pilířem krolinských rmád byl kvlerie obrněných jezdců pilířem impéri železo píše historik P. Johnson [6]. Když se krolinská rmád objevil před hrdbmi Pávie, hlvního měst lombrdského království, obléhného krále Desideri hluboce zsáhl kovový třpyt nepřátel. Zvoll: O ferrum! Heu ferrum! Trvlo celou řdu století, než byl problemtik výroby dnes běžných kovových slitin technologie jejich zprcování uspokojivě vyřešen jk z hledisk technického, tk i ekonomického. Kovové výrobky byly znčně drhé tudíž pro širší použití nedostupné. Lze npř. odhdnout, že ve 3. století byl výzbroj výstroj rytíře jeho koně přibližně stejně nákldná jko tnk ve. světové válce [7]. Obr.. První prní lokomotiv Rocket, kterou nvrhl konstruktér G. Stephenson (89). - -

13 . HISTORICKÉ POZADÍ VZNIKU LOMOVÉ MECHANIKY Ke skutečně msovému upltnění ocelí dlších slitin kovů došlo ž v 9. století. Důvodem byl vzájemně provázný, řetězový proces objevů změn, ke kterým v tomto období došlo [8]. V roce 88 Jmes Beumont Neilson podl ptent, týkjící se ohřevu vzduchu vháněného do vysokých pecí n cc 300 C. Použití tohoto postupu v prxi jednk snížilo spotřebu uhlí potřebného pro tvení želez si n jednu třetinu, jednk umožňovlo efektivně využít i méně kvlitní druhy železných rud. V roce 89 George Stephenson zkonstruovl uvedl do provozu první prní lokomotivu (viz obr..). Nákldní vlky zčly rychle levně přeprvovt stále větší větší množství uhlí železné rudy, což npř. ve Skotsku v období umožnilo zvýšit produkci surového želez více než šestnáctkrát. V letech tk došlo k poklesu ceny oceli přibližně k řád. Rostoucí dostupnost výrzně rozšířil možnosti využití kovových mteriálů v běžné prxi. Ztímco n počátku 9. století bylo použití kovových slitin stále ještě spíše jen spordické npř. kolejnice byly dosud dřevěné, koncem téhož století byly průmyslově vyspělé státy protkány již poměrně hustou železniční sítí, v Příži byl v roce 889 z 5 tisíc ocelových dílů,5 miliónu nýtů postven tehdy nejvyšší stvb n světě - Eiffelov věž (obr..) pod. Obr.. Stvb Eiffelovky věže v Příži (zhájení 887, dokončení 889)

14 . HISTORICKÉ POZADÍ VZNIKU LOMOVÉ MECHANIKY Výrzný technický pokrok všk byl provázen rostoucím počtem hvárií konstrukcí (npř. ocelových mostů, částí podvozků železničních vozů, kolejnic, rozměrných zásobníků plynu, kotlů pod.). Řd těchto hvárií měl trgické následky. Npř. v letech umírlo ve Velké Británii si 00 lidí ročně při železničních neštěstích [7]. Některé z těchto hvárií byly způsobeny šptným konstrukčním návrhem. Posléze se všk zjistilo, že primární příčinou porušení by mohly být defekty v použitém mteriálu. Postupné zkvlitňování technologie prohlubování pozntků o vlstnostech konstrukčních mteriálů o možnostech jejich využití přispělo ke snížení počtu hvárií n přípustnou mez. Druhá fáze znčného nárůstu počtu ktstrof nstl v době širšího upltnění velkých celosvřovných konstrukcí ve 40. ž 60. letech 0. století. Npř. v průběhu. světové války bylo z pomoci této technologie postveno si 500 lodí, které byly součástí spojenecké flotily Liberty. Z této flotily se celkem 45 lodí (tj. si 6 %) rozlomilo n dvě části u téměř 700 dlších došlo k velmi vážným poruchám způsobeným lomy. Některé z těchto hvárií nstly při reltivně velmi mlém nmáhání. Npř. v roce 943 došlo k rozlomení tnkové lodi S. S. Schenectdy n dvě části při kotvení v přístvu (viz obr..3). Při nlýze npjtosti bylo odhdnuto, že v kritickém místě horní části pluby mohlo být vyvoláno npětí si 70 MP, což odpovídá pouze si 50% přípustného prcovního ztížení, n které byl loď konstruován. K porušení došlo při reltivně nízké teplotě - teplot vzduchu byl -3C, teplot vody v pří-stvu 4,5C [9], [0]. Obr..3 Tnková loď S.S. Schenectdy rozlomená n dvě části při kotvení v přístvu (943)

15 . HISTORICKÉ POZADÍ VZNIKU LOMOVÉ MECHANIKY K velmi vážným hváriím došlo i u jiných velkých svřovných konstrukcí - npř. u mostů, plynovodů, provodních trub, tlkových nádob pod. Tyto zpočátku zdánlivě nevysvětlitelné nehody se po rozsáhlých výzkumech posléze podřilo vysvětlit. Primární příčinou byly opět defekty v konstrukčních mteriálech či ostré konstrukční vruby, n kterých docházelo k lokální koncentrci npětí ke vzniku trojosé npjtosti. Lomy měly křehký chrkter byly provázeny jen velmi mlou plstickou deformcí. Ke vzniku křehkého lomu přispěly nízké teploty. Nd určitou (tzv. přechodovou) teplotou měly lomy tvárný chrkter. Bylo zjištěno, že k nežádoucímu zvýšení přechodové teploty, vedoucímu ke křehkému lomu, může dojít v důsledku lokálního ohřevu mteriálu při svřování konstrukce. V součsné době lze křehkému lomu svřovných ocelových konstrukcí s úspěchem zbránit - používné mteriály mjí nízké přechodové teploty proces svřování lze optimlizovt tk, by se při něm přechodová teplot příliš nezvyšovl. Konstrukce se nvrhují tk, by se omezil výskyt míst s velkou koncentrcí npětí kritická míst se podrobují defektoskopické kontrole. počet obětí počet nehod počet obětí počet nehod Obr..4 Sttistik počtu nehod obětí leteckých neštěstí v letech []. Po. světové válce došlo k rychlému rozvoji letecké doprvy, který všk byl provázen výrzným nárůstem počtu nehod i počtu obětí leteckých neštěstí (viz grf n obr..4). Hlvní konstrukční části letdel se v rostoucí míře vyráběly ze slitin n bázi Al či Ti, vyznčujících se jk vysokou pevností, tk i nízkou hmotností. Součsně s vývojem nových konstrukčních mteriálů se vyvíjely i metody, umožňující spolehlivější určení npjtosti. Využitím nově získných pozntků bylo možno snížit koeficient bezpečnosti (který je v podsttě - 5 -

16 . HISTORICKÉ POZADÍ VZNIKU LOMOVÉ MECHANIKY "koeficientem neznlosti"), což umožnilo dlší snížení hmotnosti konstrukcí letdel. Tkto nvrhovné části z vysokopevných mteriálů všk měly jen mlou zásobu bezpečnosti. Náhodné zvýšení provozního npětí (npř. v důsledku výrzných poryvů větru pod.) spolu s přípdným vlivem gresivního prostředí pk mohou vést ke vzniku trhlin - zejmén v místech výskytu již existujících defektů či jiných koncentrátorů npětí. Mteriály s vysokou sttickou pevností mjí obvykle poměrně nízkou lomovou houževntost, tj. mjí nízký odpor proti vzniku šíření nestbilních trhlin. Zbytková pevnost těles konstrukcí s trhlinou je tedy v tomto přípdě nízká. Existence i reltivně mlé trhliny může způsobit, že se konstrukce z vysokopevného mteriálu může porušit při npětí podsttně nižším, než je mximální přípustné provozní npětí, pro které byl tto konstrukce podle klsické koncepce nvrhován. Lomy při nízkých npětích, iniciovné n mlých trhlinách, jsou v mnoh ohledech podobné výše zmíněným křehkým lomům ve svřovných konstrukcích z ocelí o nižší pevnosti. Dochází při nich k velmi mlé plstické deformci lom je z inženýrského hledisk křehký, i když z hledisk frktogrfického je mikromechnismus seprce stejný jko u lomu tvárného. Snh po objsnění zákonitostí vzniku lomu při reltivně nízkých npětích v mteriálech o vysoké pevnosti, používných zejmén v leteckém průmyslu, vedl k vytvoření nové vědní disciplíny - mechniky lomu, která je interdisciplinárním oborem mezi nukou o mteriálu mechnikou. Lomová mechnik je schopn poskytnout metodologii, potřebnou pro kompenzci nedekvátnosti konvenčních konstrukčních návrhů, které jsou zloženy n thové pevnosti, mezi kluzu, pevnosti ve vzpěru podobných klsických sttických vlstnostech mteriálu. Tto konvenční kritéri jsou dekvátní pro mnoho inženýrských konstrukcí, le jsou neúspěšná v přípdě, že připustíme možnost výskytu defektů. Existence těchto defektů (strukturní vdy mteriálu, stopy po oprcování či po jiných technologických procesech, trhliny pod.) je všk objektivním jevem, který je třeb při konstrukčním návrhu v řdě přípdů vzít v úvhu. Hlvním úkolem lomové mechniky je stnovení příčin vzniku trhlin, popis jejich šíření stnovení podmínek jejich zstvení. Vhodnou plikcí pozntků lomové mechniky již ve stdiu návrhu vývoje lze význmně snížit riziko poruchy tedy zvýšit bezpečnost spolehlivost provozu konstrukce. Pozntky lomové mechniky v součsné době přispívjí nejen k řešení přípdů, ve kterých je třeb vzniku šíření trhlin zbránit, le i v přípdech opčných. Příkldem může být dobývání drcení hornin, nrušování ledových vrstev n vodních hldinách (viz npř. []), štěpení monokrystlů, třískové obrábění mteriálů, drcení šrotu pod. V těchto přípdech je lom užitečným jevem nší snhou je optimlizovt podmínky jeho vzniku tk, - 6 -

17 . HISTORICKÉ POZADÍ VZNIKU LOMOVÉ MECHANIKY by k porušení soudržnosti celistvosti mteriálu docházelo při minimální spotřebě energie. Jiným příkldem mohou být mechnické pojistky, zjišťující bezpečnost provozu některých technických zřízení. U těchto pojistek je třeb s vysokou spolehlivostí zjistit porušení funkčního elementu po dosžení kritické, předem zvolené hodnoty vnějšího ztížení. Je zřejmé, že poznání zákonitostí lomových procesů možnost jejich upltnění v prxi úzce souvisí nejen s otázkmi technickými, le i ekonomickými, sociálními, ekologickými pod. Pro ilustrci je možno npř. uvést, že poruchy v důsledku lomů způsobují ročně škodu ve výši odpovídjící přibližně 4 % celkového hrubého národního produktu (k obdobně vysokým ztrátám dochází též v důsledku koroze mteriálů) [3], [4]. Přitom lze odhdnout, že si třetině těchto ztrát by bylo možno zbránit plikcí pozntků lomové mechniky, které jsou již v součsné době k dispozici. L I T E R A T U R A K. K A P I T O L E [] HOWELL,F.C.: Erly Mn. New York, Time-Life Books 973. [] [3] BRONOWSKI,J.: Vzestup člověk. Prh, Odeon 985, 446 s. [4] HUMMEL,R.E.: Understnding Mterils Science: History, Properties, Applictions. New York, Springer-Verlg 998, 407 p. [5] BÖTTGER,W.: Kultur ve stré Číně. Prh, Pnorm 984, 3 s. [6] JOHNSON,P.: Nepřátelé společnosti. Řevnice, Rozmluvy 999, 4 s. [7] BROEK,D.: Elementry Engineering Frcture Mechnics. 4th Ed. Dordrecht, Mrtinus Nijhoff Publishers 987, 56 p. [8] BURKE,J.: Efekt Tivoli. Brno, Books 998, 376 s. [9] VASILČENKO,G.S. - KOŠELEV,P.F.: Prktičeskoje primenenije mechniky rzrušenij dlj ocenki pročnosti konstrukcij. Moskv, Izdvtělstvo Nuk 974, 48 s. [0] SMITH,R.A.: Ftigue Crck Growth. Oxford, Pergmon Press 986, 46 p. [] [] KUSUMOTO,S. - UCHIDA,T. - KIMURA,N. - OCHI,T.: Effect of Test Conditions on the Frcture Toughness of Fresh-Wter Ice. In: Frcture Mechnics. Eds. H.Okmur, nd K.Ogur. London nd New York, Elsevier Appl. Sci. 99, pp [3] TAIT,R.B. - GARRETT,G.G.: Frcture nd Frcture Mechnics. Cse Studies. (Proc. nd Nt. Conf. on Frcture.) st Ed. Oxford, Pergmon Press 985, 343 p. [4] Anon.: Frcture Costs US Industry $ Million Every Yer. Int. J. Ftigue, 5, 983, No.3, p

18 . LOMOVÝ PROCES. LOMOVÝ PROCES Šířením trhliny dochází v původně celistvém mteriálu k vytváření nových volných povrchů, tj. lomových ploch. Lom je procesem čsově i prostorově nehomogenním, skládá se ze dvou zákldních etp - z etpy inicice, probíhjící ve větším či menším počtu loklizovných oblstí, z etpy šíření propojování jednotlivých dílčích diskontinuit.. HOUŽEVNATOST MATERIÁLU Z inženýrského hledisk je význmnou vlstností konstrukčních mteriálů jejich houževntost, kterou lze obecně definovt jko schopnost bsorbce energie. K bsorbci energie dochází v ztíženém tělese jk v etpě předcházející porušování, tk v průběhu vlstního lomového procesu. Z hledisk lomové mechniky houževntost mteriálu úzce souvisí zejmén se schopností plstické deformce, která je dán pohyblivostí dislokcí. Klesá-li tto pohyblivost (npř. nhromděním dislokcí n určité překážce, snížením teploty pod.), klesá schopnost plstické deformce tedy i schopnost bsorbce energie - houževntost mteriálu se snižuje. Houževntost konstrukční slitiny je mimo jiné ovlivněn rovněž typem krystlové mříže zákldního kovu (npř. ustenitické oceli s kubickou plošně centrovnou mřížkou jsou houževntější, než feritické oceli s kubickou prostorově centrovnou mřížkou) přítomností intersticiálních či substitučních tomů v této mřížce (příkldem může být změn houževntosti v průběhu deformčního či disperzního vytvrzování). Houževntost mteriálu ovlivňuje do znčné míry lomový proces tedy i chrkter lomové plochy porušeného těles. Je-li houževntost mteriálu mlá, jde o lom křehký, provázený reltivně mlou plstickou deformcí, ztímco u mteriálů s velkou houževntostí jde o lom houževntý, chrkterizovný plstickou deformcí většího rozshu. Členění lomů n lomy křehké houževnté je zloženo n hledisku energetické náročnosti. Postčuje-li k lomu reltivně mlé množství energie, jde o lom křehký. Druhým extrémním přípdem je lom houževntý, vyždující reltivně velké množství energie. Poznmenejme, že při uvedeném členění lomů obecně nezávisí n mikromechnismu porušování. Chrkter mikromechnismu porušování se bere v úvhu při klsifikci lomů z hledisk frktogrfického. Kždému mikromechnismu porušování odpovídá určitý soubor mikrofrktogrfických znků (tj. mikroskopických znků lomové plochy). Podle jejich chrkteru pk lomy dělíme jednk n štěpné tvárné, jednk n trnskrystlické - 8 -

19 . LOMOVÝ PROCES interkrystlické. Přesto, že obvykle křehké lomy mjí štěpný chrkter houževnté lomy mjí tvárný chrkter, nelze obecně lomově-mechnické frktogrfické pojmy změňovt.. KŘEHKÝ LOM Z frktogrfického hledisk je typickým předstvitelem křehkého lomu štěpný trnskrystlický lom (obr..), který je chrkterizován především porušováním mezitomových vzeb podél určitých význčných krystlogrfických rovin - u želez npř. podél rovin (00). Obr.. - Schém trnskrystlického lomu. Obr.. - Trnskrystlický štěpný lom těles z oceli 600. Obr..3 - Interkrystlický lom těles ze slitiny FE-8Al-4Cr. Důsledkem tohoto lomového procesu je téměř rovinný reltivně hldký lom jednotlivých zrn v polykrystlickém mteriálu (viz npř. obr.., n kterém je uveden snímek lomové plochy - 9 -

20 . LOMOVÝ PROCES těles z oceli 600, pořízený n řádkovcím elektronovém mikroskopu []). Poněvdž sousední zrn mjí odlišnou krystlogrfickou orientci, liší se i orientce štěpných fset v jednotlivých zrnech. Při přechodu trhliny z jednoho zrn do druhého dochází n jejich hrnici k reinicici, která se n lomové ploše projeví tzv. říčkováním (viz npř. []). Ploché fsety, odpovídjící jednotlivým štěpně porušeným zrnům, dodávjí lomu z mkroskopického hledisk jsný, lesklý vzhled. Jiným příkldem křehkého lomu je štěpný interkrystlický lom (interkrystlická dekoheze), při kterém trhlin sleduje hrnice zrn. Příkld lomu tohoto typu je uveden n obr..3 [3]..3 HOUŽEVNATÝ LOM Houževntý (z frktogrfického hledisk tvárný) lom vzniká působením mechnismů nuklece, růstu kolescence (tj. propojování) mikroporuch, vznikjících n částicích sekundárních fází (tj. n inkluzích precipitátech) obsžených v zákldní mtrici (obr..4). b c d Obr..4 - Schém houževntého tvárného lomu vznik, vývoj kolescence mikroporuch. Deformční chrkteristiky těchto částic jsou odlišné od deformčních chrkteristik okolní mtrice - tyto částice npř. mívjí obvykle mnohem nižší houževntost než mtrice. Dojde-li v okolí částic k výrznému toku mteriálu mtrice, částice ztrácejí koherenci s mtricí nebo prskjí (obr..4b). Důsledkem je vytváření mikroporuch mteriálu, které postupně rostou (obr..4c). Tvárné můstky mtrice mezi jednotlivými poruchmi se zužují (zškrcují), ž dochází k jejich 00% kontrkci, jednotlivé poruchy se propojují dochází k závěrečnému, mkroskopicky pozorovtelnému lomu těles (obr..4d). Působení uvedených mechnismů dodává tvárným lomům chrkteristický vzhled z mkroskopického hledisk jsou mtné, při mikroskopickém pozorování zjišťujeme, že lomová ploch je tvořen tzv. tvárnými důlky (viz - 0 -

21 . LOMOVÝ PROCES obr..5.6), které vznikly kolescencí mikroporuch, iniciovných n jednotlivých částicích sekundárních fází. Tyto částice lze při mikrofrktogrfické nlýze v některých přípdech uvnitř důlků nlézt. Obdobně jko u lomu štěpného rozeznáváme tvárný lom trnskrystlický (viz npř. obr..5, n kterém je uveden snímek lomové plochy těles ze slitiny FeCrlBTilNiB [4]) interkrystlický (obr..6 - slitin FeCrS [4]). N rozdíl od štěpení všk tvárný lom nemůže nstt bez význmné plstické deformce. Mechnismus výsledné seprce je přímým důsledkem pohybu dislokcí skluzových posuvů, nezbytných pro růst kolescenci mikroporuch. K tomu, by nstl tvárná seprce mteriálu, je tedy třeb určité plstické deformce. Tto plstická deformce všk může být omezen pouze n mlý objem mteriálu, těsně přilehlý k čelu šířící se trhliny. Z mkroskopického hledisk dochází v těchto přípdech k reltivně mlé plstické deformci, vyždující dodání pouze mlé energie. Obr..5 - Trnskrystlický tvárný lom těles ze slitiny FeCr8TiNi8. Obr..6 - Interkrystlický tvárný lom těles ze slitiny FeCr5. Lomová ploch je pk reltivně rovná přibližně kolmá ke směru mximálního thového npětí. Lomy uvedeného typu (vyskytující se npř. u konstrukčních slitin s vysokou pevností nízkou houževntostí) lze z prktického inženýrského hledisk povžovt z křehké, přestože mikromechnismus porušování má tvárný chrkter. Proto je třeb důsledně odlišovt členění lomů z hledisk lomové mechniky (lomy křehké, lomy houževnté) od členění z hledisk frktogrfického (lomy štěpné, lomy tvárné). - -

22 . LOMOVÝ PROCES.4 FAKTORY OVLIVŇUJÍCÍ CHARAKTER LOMOVÉHO PROCESU Prvděpodobnost vzniku křehkého lomu roste s klesjící teplotou viz obr..7 (podle [5]), n kterém je schémticky znázorněn grf teplotní závislosti vrubové houževntosti. Je zřejmé, že křehký lom je energeticky méně náročný než lom houževntý. Přechodová (trnzitní) teplot, při které dochází k výrznému poklesu vrubové houževntosti, je velmi důležitou chrkteristikou vrubové citlivosti konstrukčních mteriálů. Obr..7 Schemtické znázornění vlivu teploty rychlosti ztěžování n vrubovou houževntost typ lomu. Tvr (strmost) poloh křivky teplotní závislosti vrubové houževntosti obecně závisí n řdě různých fktorů, npř. n rychlosti ztěžování (resp. rychlosti deformce viz obr..7), gresivitě prostředí (vod, kyseliny, soli td.), rdičním ozáření podmínkách, z kterých k němu došlo pod. U ocelí hrje význmnou roli chemické složení se snižujícím se obshem uhlíku vrubová houževntost roste přechodová teplot se snižuje [6]. Podobně pozitivní vliv má npř. nopk rostoucí obsh mngnu niklu [7]. 00 OCEL N0 00 vrubová houževntost KCV [J/cm ] f k [%] KCV [J/cm ] podíl křehkého lomu f k [%] teplot T [ C] Obr..8 - Závislost vrubové houževntosti podílu křehkého lomu n teplotě pro ocel N0. - -

23 . LOMOVÝ PROCES Konkrétní příkld závislosti vrubové houževntosti KCV n teplotě pro Cr-Mo ocel N0 je uveden n obr..8 [8],[9]. V témže obrázku je vynesen teplotní závislost frktogrficky stnoveného podílu křehkého lomu f k n procesu porušování. Je zřejmé, že pokles vrubové houževntosti souvisí s růstem podílu energeticky méně náročného křehkého lomu. U kovů, které mjí schopnost se porušovt jk štěpným, tk tvárným mechnismem, je přechod mezi těmito mechnismy závislý i n stvu npjtosti, neboť štěpný lom je řízen mximální thovou složkou npětí, ztímco tvárný lom obvykle závisí n mximální smykové složce. Blíží-li se stv npjtosti podmínkám hydrosttické npjtosti, kdy x = y = z smykové npětí je nulové, roste prvděpodobnost, že z dných podmínek (tj. mteriálových vlstností, teploty, prostředí, rychlosti deformce pod.) dojde ke štěpení. Roste-li nopk vliv smyku, tj. plstické deformce podél rovin tomů, které mjí vůči smyku nízký odpor které se nzývjí skluzové roviny, nstává v rostoucí míře lom tvárný mkroskopický vzhled lomu se mění - lom přechází z roviny kolmé n směr hlvního thového npěti do roviny šikmé, svírjící se směrem thového npětí úhel přibližně 45. Vývoj konstrukčních mteriálů z hledisk odolnosti vůči křehkému lomu lze ilustrovt n příkldu ocelových plechů, používných při výrobě lodí součsné oceli mjí v porovnání s ocelí použitou při stvbě Titnicu podsttně nižší přechodovou teplotu i vyšší vrubovou houževntost (npř. při teplotě 0 C ve směru příčném ke směru válcování si 0x, ve směru podélném dokonce 30x) [0]. L I T E R A T U R A K. K A P I T O L E [] NEDBAL,I. - KUNZ,J. - SIEGL,J.: Frktogrfická nlýz únvových lomů náhodně ztěžovných tyčí z oceli 600. (Výzkumná zpráv V-KMAT-06/8.) Prh, ČVUT- FJFI-KMAT 98, 35 s. [] WHITESON,B.V. - PHILLIPS,A. - KERLINS,V.: Electron Frctogrphic Techniques. In: Techniques of Metls Reserch. Ed. R.F.Bunshh, Vol. II, New York, Interscience Publishers 968, pp [3] KARLÍK,M. - SIEGL,J. - KRATOCHVÍL,P. - HAUŠILD,P.: Mechnicl Properties nd Frcture of n Intermetllic Alloy Fe-8Al-4Cr-0.Ce (t.%). Act Polytechnic Journl of Advnced Engineering, 40, 000, No.4, pp [4] KUNZ,J. - NEDBAL,I.: Výsledky orientční frktogrfické nlýzy lomových ploch litých vzorků ze slitin typu Fe-Cr-Ti. (Výzkumná zpráv V-KMAT-65/79.) Prh, ČVUT-FJFI-KMAT 979, 7 s. [5] BROEK,D.: Elementry Engineering Frcture Mechnics. 4th Ed. Dordrecht, Mrtinus Nijhoff Publishers 987, 56 p

24 . LOMOVÝ PROCES [6] IRVINE,W.H. QUIRK, A. BEVITT.E.: Fst Frcture of Pressure Vessels: n Apprisl of Theoreticl nd Experimentl Aspects nd Appliction to Opertionl Sfety. J. British Nucler Energy Society, 3, 964, No., pp [7] CUKR,B. et l.: Oceli pro jdernou energetiku. I. Zhrniční zkušenosti. (Pordenská příručk/7). Prh, TEVÚH 976, 83 s. [8] ČMAKAL,J. - KUDRMAN,J.: Degrdce vlstností.oceli VT dílců výroby čpvku během dlouhodobého provozu. [Zpráv č. 988.] UJP PRAHA,.s. 00, 43 s. [9] KUNZ,J. SIEGL,J. ČMAKAL,J. KUDRMAN,J.: Vliv dlouhodobého provozu n mechnické vlstnosti oceli N0. In: Sborník 0. konference Přínos metlogrfie pro řešení výrobních problémů (Lázně Libverd). Plzeň, ŠKODA VÝZKUM 005, s. -5. [0] LEIGHLY,H.P.Jr. BRAMFITT,B.L. LAWRENCE,S.J.: RMS Titnic: A Metllurgicl Problem. Prcticl Filure Anlysis,, 00, No., pp.0-3,

25 3. POLE NAPĚTÍ A DEFORMACÍ V OKOLÍ VRUBU A TRHLINY 3. POLE NAPĚTÍ A DEFORMACÍ V OKOLÍ VRUBU A TRHLINY 3. SHRNUTÍ ZÁKLADNÍCH VZTAHŮ TEORETICKÉ PRUŽNOSTI Dříve než přejdeme k popisu pole npětí deformcí v okolí vrubu nebo trhliny, uveďme stručné shrnutí nejdůležitějších zákldních vzthů z teorie pružnosti (viz npř. [] ž [3]). Zvolme prvoúhlou souřdnou soustvu x, y, z. Posuvy ve směru os x, y, z oznčme u, v, w. Obecně pltí u u( x, y, z) v v ( x, y, z) (3.) w w( x, y, z). Složky tenzoru deformce oznčme ij (i, j = x, y, z), resp. pro jednoduchost i ii. Vzthy mezi složkmi vektoru posuvu složkmi tenzoru deformce jsou dány Cuchyho vzthy u u v x xy x y x v v w y yz (3.) y z y w w u z xz. z x z Složky tenzoru deformce musí splňovt rovnice komptibility x y xy yz y x xy x x y z yz yz z y yz y x z x zx yz x z zx z x zx y xy z x yz xy zx y y z (3.3) xz xy zx z y z. xy Složky tenzoru npětí oznčme ij (i, j = x, y, z), přičemž normálová npětí (thová či tlková, i = j) oznčme pro jednoduchost i ii - viz obr.3.. Pro smyková npětí ij ij (i j) pltí poučk o sdruženosti npětí ij (i, j = x, y, z). (3.4) ji Složky tenzoru npětí musí splňovt diferenciální rovnice rovnováhy, které mjí v přípdě znedbání objemových sil tvr x xy xz xy y yz 0, 0, x y z x y z x xz y yz z z 0. (3.5)

26 3. POLE NAPĚTÍ A DEFORMACÍ V OKOLÍ VRUBU A TRHLINY y yy zy yx zz yx yz xx zx xz 0 x z Obr.3. - Složky tenzoru npětí. Vzth mezi složkmi tenzoru npětí složkmi tenzoru deformce je dán zobecněným Hookovým zákonem x G x x y z G xy xy y G y x y z yz yz z G z x y z resp. v inverzním tvru zx zx G. (3.6) G, x x y z E y y z x E z z x y E xy xy G yz yz (3.7) G zx zx. G - 6 -

27 3. POLE NAPĚTÍ A DEFORMACÍ V OKOLÍ VRUBU A TRHLINY Zobecněný Hookův zákon lze vyjádřit též v mticovém tvru xy zx yz zz yy xx xy zx yz zz yy xx v E , (3.8) resp. xy zx yz zz yy xx xy zx yz zz yy xx v E , (3.9) kde E = modul pružnosti v thu [MP], G = modul pružnosti ve smyku [MP], = Poissonovo číslo []. Mezi elstickými konstntmi E, G pltí vzth G E. (3.0) Orientční hodnoty elstických konstnt E, G pro některé mteriály jsou shrnuty v Tb. 3. (podle [4], [5], [7]). Rozeznáváme dv zákldní typy rovinných úloh rovinnou deformci rovinnou npjtost, pro které pltí následující vzthy: ) rovinná deformce (ozn. RD) ), ( y x u u z 0 y x z ), ( y x v v xz 0 yz 0 (3.) w 0, resp. konst. yz 0 xz 0, b) rovinná npjtost (ozn. RN) xz 0 z x y yz 0 yz 0 (3.) z 0 xz 0.

28 3. POLE NAPĚTÍ A DEFORMACÍ V OKOLÍ VRUBU A TRHLINY Tb.3. Elstické konstnty některých mteriálů. MATERIÁL (při T 0 C) E [GP] G [GP] [] Čisté kovy Hliník Hořčík Chróm Kdmium Měď Nikl Niob Stříbro Tntl Titn Vnd Wolfrm Zlto Železo Konstrukční slitiny Hliníkové slitiny Mosz Ocel Feritická tvárná litin Šedá litin Titnové slitiny Dlší mteriály Mrmor Žul Křemen tvený Krbid wolfrmu Sklo Sklo křemité Alklické hlinito-křemičité porcelány Křemičitny hořečnté Vysoce hlinitá korundová kermik Tepn VLIV VRUBU NA NAPJATOST V TĚLESE Lomový proces je úzce spojen s lokálním výskytem vysokých koncentrcí npětí deformcí. Při studiu zákonitostí vzniku šíření trhlin se do jisté míry vycházelo z pozntků, získných při nlýze npjtosti v okolí vrubů. Pod obecný pojem vrub zhrnujeme jk vruby konstrukční, dné lokálními tvrovými změnmi těles (otvory pro nýty či šrouby, zápichy, drážky pod. - viz npř. obr. 3.), tk i defekty technologického původu, způsobené npř. heterogenitou použitého mteriálu (dutiny, inkluze), třískovým obráběním td. defekty, - 8 -

29 3. POLE NAPĚTÍ A DEFORMACÍ V OKOLÍ VRUBU A TRHLINY ke kterým došlo z provozu v důsledku opotřebení (rýhy, vrypy), vlivem gresivního prostředí (korozní důlky) pod. K poznání zákonitostí změn npjtosti v okolí vrubu přispěl svými prcemi ve 30. letech zejmén Neuber [6]. Zjistil, že účinkem vrubů dochází v jejich okolí k lokální změně silového toku, která se projeví kvlittivními i kvntittivními změnmi pole npětí pole deformcí. Obr.3. Příkldy konstrukčních vrubů, n kterých dochází ke koncentrci npětí. V okolí vrubu dochází ke vzniku trojosé npjtosti ( to i v přípdě, že nominální mkroskopické nmáhání těles je pouze jednoosé) ke koncentrci npětí. Velikost koncentrce npětí chrkterizuje tzv. součinitel koncentrce npětí (tvrový součinitel), obecně oznčovný (někdy též K t ). Obr Hlvní geometrické prmetry vrubu. V prxi se můžeme setkt se dvěm typy těchto koeficientů, které se liší definicí: Součinitel koncentrce npětí g je definován vzthem mx g, (3.3) - 9 -

30 3. POLE NAPĚTÍ A DEFORMACÍ V OKOLÍ VRUBU A TRHLINY kde mx je mximální npětí n okrji (tj. v kořeni) vrubu je střední npětí v tělese vztžené k brutto průřezu, tj. k průřezu neoslbenému vrubem. Součinitel koncentrce npětí n je definován vzthem n mx, (3.4) n kde mx má tentýž význm jko ve vzthu (3.0) n oznčuje nominální npětí, tj. střední npětí v tělese vztžené k netto průřezu, tj. ke skutečnému průřezu v místě vrubu. Hodnoty obou součinitelů koncentrce npětí g n se od sebe mohou výrzně lišit. Při přejímání výsledků z litertury je proto třeb vždy znát, o který součinitel jde. Vzájemný přepočet g n je obvykle sndný (obecně pltí g > n ). V přípdech, kdy jsou rozměry vrubů ve srovnání s rozměry těles znedbtelné, všk pltí g = n. Velikost součinitele koncentrce npětí ovlivňují tyto fktory: ) tvr rozměry vrubu (zejmén poloměr zkřivení dn hloubk - viz obr.3.3), b) tvr rozměry těles, c) způsob ztížení (tj. npř. th, ohyb, smyk pod.). Příkld, ilustrující vliv rozměrů vrubu n součinitel koncentrce npětí, je uveden n obr Jde o jednostrnný vrub tvru U v polonekonečném tělese (tj. hloubk vrubu je podsttně menší, než šířk těles W). V tomto přípdě pltí,7357 0,4358. th (3.5) součinitel koncentrce npětí U-vrub v polonekonečné desce ztížené them W >> 3 poměr / Obr.3.4 Součinitel koncentrce npětí pro polonekonečné těleso s U-vrubem

31 -0, 0 3. POLE NAPĚTÍ A DEFORMACÍ V OKOLÍ VRUBU A TRHLINY V práci [8] je npř. dokumentován povrchový korozní důlek, který má přibližně tvr U- vrubu s hloubkou 0,5 mm poloměrem zoblení kořene 0,05 mm. Ze vzthu (3.5) pro tento konkrétní přípd vyplývá součinitel koncentrce npětí 7,46. Z podmínky rovnováhy sil vyplývá, že dochází-li v bezprostřední blízkosti kořene vrubu ke koncentrci npětí, musí ve větší vzdálenosti od vrubu docházet nopk k odlehčení, tj. sledovná složk tenzoru npětí musí poklesnout pod střední hodnotu či n (viz obr.3.5). mx =. těleso s vrubem ztížené nominálním npětím y x ) d y grdient dx kořen vrubu x 0 x Obr Koncentrce npětí n vrubu. Pltí zákon poklesu, který lze zformulovt tk, že čím větší je špičk npětí mx v kořeni vrubu, tím rychleji dochází k poklesu npětí s rostoucí vzdáleností od vrubu, tj. tím menší má tto špičk prostorový rozsh. Pokles npětí s rostoucí vzdáleností od kořene vrubu lze chrkterizovt bezrozměrným grdientem npětí C, definovným vzthem d C. (3.6) dx x 0 mx Je zřejmé, že součinitel koncentrce npětí bezrozměrný grdient npětí C spolu souvisejí - obecně lze v souldu se zákonem poklesu konsttovt, že s rostoucím klesá C. Npř. pro přípd eliptického centrálního vrubu v nekonečné desce pltí vzth C [7], ze kterého vyplývá odhd C

32 3. POLE NAPĚTÍ A DEFORMACÍ V OKOLÍ VRUBU A TRHLINY y b z W >> x Obr Těleso s centrálním vrubem eliptického tvru ztížené them. Při výpočtu součinitele koncentrce npětí Neuber vycházel ze zákldních vzthů teoretické pružnosti. Příkldem výsledného nlytického řešení může být vzth pro výpočet součinitele koncentrce npětí v široké desce s centrálním vrubem eliptického tvru, ztížené tho- vým npětím (viz obr.3.6), kdy pltí b, th (3.7) kde je poloměr křivosti elipsy s hlvní poloosou vedlejší poloosou b v jejím vrcholu n ose x (viz obr.3.6). Závislost (3.7) je grficky znázorněn n obr.3.7 porovnán s průběhy závislostí pro tutéž geometrii těles s vrubem pro přípd ohybového smykového ztížení, kdy pltí [6] ohyb (3.8) 3. smyk (3.9) - 3 -

33 3. POLE NAPĚTÍ A DEFORMACÍ V OKOLÍ VRUBU A TRHLINY = mx / nom smyk th 6 5 ohyb / Obr Závislost součinitele koncentrce npětí n geometrických prmetrech vrubu v tělese ztíženém them, ohybem nebo smykem. Speciálním přípdem eliptického vrubu je kruhový otvor průměru d b (viz obr.3.8). V přípdě reltivně mlého otvoru ( d W ) pltí podle vzthů (3.7) ž (3.9) 3 (th), (ohyb), resp. 6 (smyk). Je-li průměr kruhového otvoru d srovntelný s šířkou těles W, je součinitel koncentrce npětí závislý n poměru d/w - npř. pro ztížení v thu pltí Heywoodův vzth [6]: 3 d n, th (3.0) W resp. d g, (3.) d W W který je grficky znázorněný n obr.3.8. Tento grf mimo jiné názorně ilustruje rozdíl mezi součiniteli koncentrce npětí g n - viz definiční vzthy (3.3) (3.4)

34 součinitel součinitel 3. POLE NAPĚTÍ A DEFORMACÍ V OKOLÍ VRUBU A TRHLINY TAH F koncentrce npětí g d W 3 n F d /W 0 0 0, 0, 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 Obr Závislost součinitele koncentrce npětí n velikosti kruhového otvoru v tělese ztíženém them koncentrce npětí g e /W = 0,8 e /W = 0,6 TAH e /W = 0,4 e /W = 0, e /W = 0 F d 5 4 e 3 W 0 d/w 0 0, 0, 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 Obr Závislost součinitele koncentrce npětí n velikosti excentricitě polohy kruhového otvoru v tělese ztíženém them. F

35 3. POLE NAPĚTÍ A DEFORMACÍ V OKOLÍ VRUBU A TRHLINY V přípdě, že je kruhový otvor umístěn excentricky (viz obr.3.9), závisí součinitel koncentrce npětí nejen n poměru d/w, le i n poměru e/w: e d e W.65 W W.99 e e e W W W d e 3.04 W g (3.) e W e W W Z grfu n obr.3.9 je zřejmé, že s rostoucí excentricitou součinitel koncentrce npětí g roste. Součinitel koncentrce npětí se dále zvyšuje v přípdě přenosu smykové síly z dříku nýtu či šroubu, procházejícího kruhovým otvorem, do těles [9] - viz obr.3.0. F d velikost součinitel koncentrce npětí otvoru otvor s dříkem otvor bez dříku d /W (obr.3.0) (obr.3.8) 0, 6,55 3,4 0,3 5,5 3,36 0,4 4,96 3,74 W F Obr.3.0 Vliv přenosu síly přes dřík v otvoru n součinitel koncentrce npětí. Novější nlytická, numerická i experimentální řešení npjtosti v okolí vrubů nznčil, že součinitel koncentrce npětí je o něco větší, než odpovídá původnímu Neuberovu řešení. Podrobnější diskusi této problemtiky lze spolu s dlšími postupy výpočtu nlézt npř. v prcích [], [], [3] (pro oboustrnný boční vrub), resp. v [0] (pro jednostrnný vrub). Detilní rozbor problemtiky pole npětí posuvů v okolí eliptických vrubů je uveden npř. v souhrnné práci [4]. Vzthy umožňující výpočet součinitele koncentrce npětí pro celou řdu dlších geometrických konfigurcí těles s vruby lze nlézt npř. v [6], [5] [6]. Dosud jsme se při popisování stvu npjtosti v okolí vrubu zbývli pouze mximem thového npětí y,mx v bodě (x = 0, y = 0) - viz npř. obr.3.5. V přípdě rovinných úloh lze poměrně sndno nlyticky popst průběh thových složek tenzoru npětí x y v rovině y = 0 v závislosti n souřdnici x. Npř. v přípdě široké desky s centrálním kruhovým vrubem (obr.3.), ztížené thovým npětím, pltí z předpokldu W d [7]

36 3. POLE NAPĚTÍ A DEFORMACÍ V OKOLÍ VRUBU A TRHLINY x x,0 3 x d 4 x d 4 x x y x,0 3, (3.3) d d kde F. WB 3,5 d W >> d,5 y (x, 0)/ d 0, x (x, 0)/ x /d [] Obr.3. - Závislost npětí x y (pro y = 0) n vzdálenosti od kruhového otvoru v tělese ztíženém them. y Průběh závislostí x x,0 x,0 je grficky znázorněn n obr.3.. Je zřejmé, že v souldu s dříve uvedenými pozntky nbývá funkce y x,0 svého mxim v bodě (0,0), tj. n okrji otvoru, doshuje hodnoty 3, tj. 3. Funkce x,0 doshuje svého mxim v bodě x y,mx d, kde nbývá hodnoty x,mx 3. 8 x

37 3. POLE NAPĚTÍ A DEFORMACÍ V OKOLÍ VRUBU A TRHLINY Obr.3. - Průběh npětí y v okolí kruhového otvoru v tělese ztíženém them. Čísl u isochromt udávjí poměr y /, kde je nominální npětí. Hodnot 3 předstvuje mximum funkce x, y nejen n přímce y = 0, le y,mx i v celé rovině x, y. N obr.3. jsou znázorněny isochromty (tj. čáry konstntního npětí), spojující body se stejnou úrovní npětí x y pltí Funkce x y y,. d d x, nbývá v rovině x, y největší bsolutní hodnoty v bodě ;, kde x,mx. Glink Newport [8] odvodili obecné univerzální proximtivní vzthy, umožňující přibližně vyšetřit průběh závislostí x x,0 y y x,0 pro libovolné typy vrubů: ) těles s nižším součinitelem koncentrce npětí ( 4,5), ztížená them x x x x x x,0 0,78 0,6 0,093 0, x x x x y x,0,33,59 0,907 0,037 (3.4) b) těles s vyšším součinitelem koncentrce npětí ( 4,5), ztížená them

38 3. POLE NAPĚTÍ A DEFORMACÍ V OKOLÍ VRUBU A TRHLINY x x x x x x,0 0,78 0,68 0,04 0,003 3 x x x x y x,0 0,35,33,8 0,337. (3.5) Uvedené vzthy jsou grficky znázorněny n obr.3.3 pro tři různé úrovně součinitele koncentrce npětí. Průběhy funkcí (3.4) (3.5) jsou kvlittivně podobné jko průběhy funkcí (3.3), uvedené n obr.3.. 6,0 5,5 y (x,0) 5,0 4,5 ORIENTAČNÍ PRŮBĚHY NAPĚTÍ PŘED DNEM VRUBU LIBOVOLNÉHO TYPU 4,0 3,5 3,0,5 = 6,0,5 = 3 = 4,5,0 x (x,0) = 6 0,5 = 3 = 4,5 x / 0,0 0,0 0,5,0,5,0 Obr Průběh složek tenzoru npětí x x,0 y x,0 před vrubem libovolného typu viz vzthy (3.4) (3.5). Vzthy (3.4) (3.5) pltí pro souřdnici x splňující podmínku 0 x 3. U vzthů pro výpočet x x,0 musí být nvíc splněn i podmínk (W - )

39 3. POLE NAPĚTÍ A DEFORMACÍ V OKOLÍ VRUBU A TRHLINY Výsledky prcí Neuber jeho následovníků byly význmným přínosem pro konstruktérskou prxi, neboť poskytly objektivní podkldy pro kvntittivní posouzení stupně nebezpečnosti konstrukčních vrubů či technologických defektů. Při plikci těchto pozntků v prxi je všk třeb vzít v úvhu jistá omezení, plynoucí ze zákldních předpokldů, n nichž byl teorie vrubů odvozen: 3,0,5 yy /R p 0,,0,5 elstický stv elstoplstický stv d W >> d,0 0,5 x/d = reltivní vzdálenost od okrje kruhového otvoru 0,0 0,0 0, 0,4 0,6 0,8,0 Obr.3.4 Porovnání průběhu závislosti yy = yy (x) pro elstický elstoplstický mteriál ve stvu RN (výsledky numerické simulce). 3,0,5,0,5 yy.e /R p 0, elstický stv elstoplstický stv d W >> d,0 0,5 x/d = reltivní vzdálenost od okrje kruhového otvoru 0,0 0,0 0, 0,4 0,6 0,8,0 Obr.3.5 Porovnání průběhu závislosti yy = yy (x) pro elstický elstoplstický mteriál ve stvu RN (výsledky numerické simulce)

40 3. POLE NAPĚTÍ A DEFORMACÍ V OKOLÍ VRUBU A TRHLINY Zákldním předpokldem byl elstický stv npjtosti, tj. předpokld, že ni lokální npětí nepřekročí mez pružnosti dného konstrukčního mteriálu. V přípdě ostrých vrubů (tj. vrubů s velmi mlým poloměrem zoblení ) je zřejmé, že součinitel koncentrce npětí stnovený n zákldě Neuberovy teorie by byl tk vysoký, že by odpovídjící hodnoty mximálního npětí nebyly fyzikálně reálné. U běžných konstrukčních mteriálů dojde v nejbližším okolí dn vrubu k plstické deformci redistribuci (tj. přerozdělení) npětí. Skutečný, tj elstoplstický, stv se projeví zvětšením deformce snížením npětí v okolí vrubu ve srovnání se stvem čistě elstickým viz obr , n kterých jsou grficky znázorněny výsledky numerického řešení pomocí metody konečných prvků pro ideálně elstoplstický mteriál ve stvu rovinné npjtosti [9]. Je zřejmé, že v okolí kořene vrubu dochází obecně nejen ke koncentrci npětí, le i ke koncentrci deformce. V čistě elstickém stvu z Hookov zákon vyplývá, že součinitel koncentrce deformce je roven součiniteli koncentrce npětí, tj. = = t, kde t oznčuje výše uvedenou teoretickou hodnotu součinitele koncentrce. V přípdě totálního zplstizování zbylého nosného průřezu všk ke koncentrci npětí (nrozdíl od koncentrce deformce) nedochází, tj. =. Vzth mezi je dán Neuberovým postulátem [9] (3.6) t Npř. v přípdě těles s kruhovým otvorem o průměru d ( d W ) ztíženého them v souldu se vzthem (3.7) pltí t = 3. Ze vzthu (3.6) pro čistě elstický stv vyplývá rovnost = = t = 3, ztímco pro přípd totálního zplstizování zbylého nosného průřezu = = t = 9. Dlším omezujícím předpokldem byly úvhy, ze kterých se vycházelo při odvozování zákldních vzthů teoretické pružnosti. V zvedení pojmu nekonečně mlého elementu těles je zhrnut priorní předpokld, že hmotu lze tkto dělit, niž by se měnily její vlstnosti. To mimo jiné znmená, že není brán v úvhu struktur mteriálu. V prxi je tento předpokld přijtelný jen v těch přípdech, kdy je poloměr křivosti vrubu dosttečně velký ve srovnání s velikostí kvntittivního prmetru (obecně ozn. s), chrkterizujícího strukturu mteriálu (tj. npř. rozměr zrn). Pro přípdy, kdy tto podmínk splněn není, doporučovl Neuber počítt součinitel koncentrce npětí v závislosti n velikosti strukturního prmetru s místo n poloměru křivosti vrubu, tj. s. (3.7)

41 L 3. POLE NAPĚTÍ A DEFORMACÍ V OKOLÍ VRUBU A TRHLINY V blízkosti kořene vrubu dochází ke vzniku plstické deformce, která lokální špičky npětí odbourává (lze říci, že mteriál se tk brání proti výrzným špičkám npětí). S touto skutečností se Neuber vyrovnl tk, že předpokládl, že ž do vzdálenosti s od kořene vrubu je npětí konsttní. Vzhledem k tomu, že trhliny lze povžovt z vruby s velmi mlým poloměrem zoblení, je třeb vzít výše uvedené pozntky v úvhu i v dlších kpitolách, zbývjících se vznikem šířením trhlin v tělesech, vyrobených z reálných konstrukčních mteriálů. 3.3 NAPJATOST V TĚLESE S TRHLINOU 3.3. Definice zákldní pojmy Pro popis npjtosti těles s trhlinou použijeme prvoúhlý souřdnicový systém x, y, z, jehož zvedení je zřejmé z obr.3.6. Os x je orientován ve směru šíření trhliny, tj. kolmo n její čelo, které zde pro jednoduchost budeme povžovt z přímkové. Celkový rozměr těles obdélníkového průřezu ve směru osy x se nzývá šířk těles (ozn. W). Os y je orientován kolmo n rovinu lomu, celkový rozměr těles ve směru osy y se nzývá délk těles (ozn. L). Os z je rovnoběžná s čelem trhliny celkový rozměr těles ve směru této osy se nzývá tloušťk těles (ozn. B). y 0 x z W B Obr Zvedení souřdné soustvy oznčení hlvních rozměrů těles s trhlinou

42 3. POLE NAPĚTÍ A DEFORMACÍ V OKOLÍ VRUBU A TRHLINY Pro řešení elstické npjtosti v okolí čel trhliny v tělese se používá zákon superpozice. Výsledné řešení obecného přípdu je dáno superpozicí dílčích řešení, odpovídjících třem zákldním módům (způsobům, typům) nmáhání, resp. porušování. Tyto tři módy (ozn. I, II, III) se liší orientcí vnějšího ztížení, působícího n těleso, vzhledem k rovině lomu k čelu šířící se trhliny tedy i směrem vzájemného pohybu obou lící lomu (obr.3.7). Obr Módy porušování těles (I thový mód, II rovinný smykový mód, III ntirovinný smykový mód). Thový mód I (v ngl. litertuře nzývný opening mode nebo tensile mode ) je chrkterizován vnější silou působící kolmo n rovinu lomu, tj. ve směru osy y - viz obr.3.7. Růst trhliny je v tomto přípdě řízen thovou složkou tenzoru npětí y (viz obr.3.). Rovinný smykový mód II (v ngl. litertuře sliding mode, edge sliding nebo inplne sher ) je chrkterizován vnějšími silmi působícími ve směru šíření trhliny, tj. ve směru x - viz obr.3.7b. Růst trhliny je řízen smykovou složkou tenzoru npětí xy (viz obr.3.). Antirovinný smykový mód III (v ngl. litertuře nzývný tering mode, ntiplne sher nebo out-of-plne sher ) je chrkterizován orientcí vnějších sil ve směru rovnoběžném s čelem trhliny, tj. ve směru osy z - viz obr.3.7c. Růst trhliny je řízen smykovou složkou tenzoru npětí yz (viz obr.3.). Z hledisk běžné technické prxe je nejdůležitější thový mód I. Obecné řešení pole npětí deformcí posuvů je v přípdě složitější geometrie těles s trhlinou znčně obtížné. V přípdě rovinných úloh (viz kp. 3.), n které je možno celou řdu problémů vyskytujících se v běžné technické prxi zredukovt, je řešení podsttně jednodušší: - 4 -

43 3. POLE NAPĚTÍ A DEFORMACÍ V OKOLÍ VRUBU A TRHLINY Diferenciální rovnice rovnováhy (3.5) jsou splněny, vyjádříme-li složky tenzoru npětí pomocí Airyho funkce npětí F(x,y), tj. x F y F y x xy xy F (3.8) Mjí-li být nvíc splněny rovnice komptibility (3.3), vyjdřující spojitost mteriálu deformovného těles, musí být funkce F(x,y) bihrmonická, tj. musí splňovt rovnici 4 F 4 x 4 4 F F 4 0. (3.9) x y y Libovolnou bihrmonickou funkci F(x,y) lze podle Muschelišviliho [0] vyjádřit pomocí dvou holomorfních funkcí komplexní proměnné x, y Re x iy ve tvru F, (3.30) kde Re oznčuje reálnou část výrzu je komplexně sdružené číslo k x iy, tj. x iy. Funkce Fx, y F musí splňovt Cuchyho-Riemnnovy podmínky, tj. Re F x Im F y F Re Im F Re F F Im. x y Pro složky tenzoru npětí v rovinných úlohách pltí podle (3.8) vzthy (3.3) y x (3.3) i xy, které se obvykle uvádějí ve formě tzv. Kolosovových vzthů Re 4 x y y x i xy, (3.33) resp. y i xy. Neznámé hodnoty složek tenzoru npětí určíme odseprováním reálných imginárních částí uvedených rovnic. Příkldem komplexních npěťových funkcí polynomické funkce mohou být tzv. Gourstovy

44 3. POLE NAPĚTÍ A DEFORMACÍ V OKOLÍ VRUBU A TRHLINY i Ai i0 i i Bi, (3.34) 0 kde exponenty i jsou reálné koeficienty A i, resp. B i (i = 0,,,...) komplexní konstnty. Poznmenejme, že vyjádření složek tenzoru npětí pomocí komplexních npěťových funkcí se používá zvláště při numerických metodách řešení npjtosti v tělesech (npř. při určování fktoru intenzity npětí pomocí metody konečných prvků []) Thový mód I Při řešení celé řdy rovinných úloh lze v přípdě módu I složky tenzoru npětí stnovit pomocí postupu, který nvrhl Westergrd []. Zvolíme holomorfní funkci komplexní proměnné Z Z i Z Re Im splňující Cuchyho-Riemnnovy podmínky (3.3) stnovíme Airyho funkci npětí pomocí vzthu x y Re Z d y Im Z F, d. (3.35) 4 F Pro tuto funkci pltí Re Z ( ) y ImZ ( ), 4 x 4 F 3Re Z ( ) y ImZ ( ), 4 y 4 F x y Re Z ( ) y ImZ ( ), F F F tj x x y y Funkce F(x,y) je tedy bihrmonická splňuje podmínky komptibility (3.3). Westergrdovo řešení (3.35) je speciálním přípdem obecného Muschelišviliho řešení (3.30), odpovídjící komplexním npěťovým funkcím (, pro které pltí Z Z. (3.36) Airyho funkci npětí ve Westergrdově tvru (3.35) odpovídjí podle vzthů (3.3) (3.36) z použití C.R. podmínek (3.3) složky tenzoru npětí y x xy Re Z y Im Z Pro osttní složky tenzoru npětí pltí vzthy Re Z y Im Z (3.37) y Re Z. Re Z RD z x y z 0 RN (3.38)

45 3. POLE NAPĚTÍ A DEFORMACÍ V OKOLÍ VRUBU A TRHLINY xz 0 yz 0. Dosdíme-li do rovnic zobecněného Hookov zákon (3.7) z složky tenzoru npětí podle (3.37), dostáváme složky tenzoru deformce y x x E E E y E Re Z y ImZ x y z E Re Z y ImZ x y z E Re Z y ImZ y x z E Re Z y ImZ y x xy z E RD RN RD (3.39) RN 0 RD z z Re Z RN E xy y Re Z G E Po integrci (3.39) s využitím Cuchyho vzthů (3.) úprvě dostáváme rovnice pro výpočet složek vektoru posuvu u xdx Re Z d y ImZ E v ydy Im Z d y Re Z E RD w zdz 0 u xdx Re Z d y ImZ E v ydy Im Z d y Re Z E RN w zdz z Re Z. E. (3.40) Vyjádření Airyho funkce npětí podle uvedeného Westergrdov postupu není zcel korektní [3], [4]. V obecném přípdě je třeb výsledné složky tenzoru npětí (3.37) doplnit o konstntní členy, které jsou nulové pouze z určitých speciálních podmínek ztěžování. Konkrétní tvr komplexní funkce splňovly poždovné okrjové podmínky. Z se určí tk, by odpovídjící složky tenzoru npětí

46 3. POLE NAPĚTÍ A DEFORMACÍ V OKOLÍ VRUBU A TRHLINY Aplikujme Westergrdův způsob řešení n nekonečně velké těleso s trhlinou délky, ztížené dvouosým them - viz obr.3.8. Počátek prvoúhlého souřdného systému x, y zvolme v první fázi řešení v poloviční délce trhliny. Komplexní funkci přípdě zvolit tk, by funkce x y y, splňovl následující podmínky: Z je třeb v tomto ) V dosttečné vzdálenosti od trhliny je vliv trhliny n npjtost těles znedbtelný, tj. lim x y x, y. b) V důsledku vrubového účinku trhliny bude v těsné blízkosti jejich čel docházet ke koncentrci npětí, tj. c) Ze symetrie vůči ose y vyplývá y x, y pro x, resp. x, y 0. y x, y x, y. d) Líce trhliny jsou volným povrchem nepřenášejícím thová npětí, tj. y x, y 0 pro x y = 0. y y x Obr Nekonečně velké těleso s centrální trhlinou ztížené dvouosým them (Westergrdov úloh). Podmínky d ) ž c) bude splňovt npř. jednoduchá funkce y x, y x x. x

47 3. POLE NAPĚTÍ A DEFORMACÍ V OKOLÍ VRUBU A TRHLINY Ze vzthu (3.37) vyplývá, že pro y = 0 bude Re Z y. Má-li být splněn podmínk d d), musí pro x být funkce Z čistě imginární. N zákldě uvedených úvh lze nvrhnout komplexní funkci Z, (3.4) kterou použijeme pro řešení dné úlohy. Složky tenzoru npětí x, y xy stnovíme pomocí rovnic (3.37). Je zřejmé, že okrjové podmínky jsou splněny, neboť x = y = xy = 0 pro, y = xy = 0 pro x y = 0. y y xy r x x Obr Složky tenzoru npětí v okolí čel trhliny, zvedení polárních souřdnic. Posuneme-li počátek souřdného systému do bodu (, 0), tj. do kořene trhliny (viz obr.3.9), je třeb vzth (3.4) přepst do tvru Z. (3.4) V blízkém okolí čel trhliny, chrkterizovném nerovností, lze tento vzth zjednodušit do tvru Z. (3.43) Vyjádříme-li komplexní proměnnou v exponenciálním tvru (obr.3.9), tj

48 3. POLE NAPĚTÍ A DEFORMACÍ V OKOLÍ VRUBU A TRHLINY pk Z Zr, Z rovnice (3.45) vyplývjí dílčí vzthy Im Z Re Z r. e i, resp. x r cos, y r sin, (3.44) cos, Z r 3 sin, Re Z r r y Im Z y Re Z r sin Im Z r sin Re Z i e. (3.45) r r r r r r r 3 sin cos sin, e 3 sin cos cos, potřebné pro výpočet složek tenzoru npětí podle rovnic (3.37), (3.38), tj. y r, r x r, r xy 3 sin sin cos, 3 sin sin cos, r 3i 3 cos, 3 r, sin cos cos, (3.46) z r, cos RD, r, 0 r z RN, xz 0, yz 0. Uvedená řešení složek tenzoru npětí odpovídjí předpokládnému dvouosému thovému ztěžování (viz obr.3.8). Je-li totéž těleso ztíženo pouze jednoosým thovým npětím ve směru osy y, je třeb při výpočtu složky x podle vzthu (3.46) odečíst konstntní člen. Z rovnice (3.43) po integrci úprvě vyplývjí pomocné vzthy Z i d ( ) (r) e,

49 3. POLE NAPĚTÍ A DEFORMACÍ V OKOLÍ VRUBU A TRHLINY cos ) ( Re r d Z, sin ) ( Im r d Z. Po doszení z Z do (3.40) dostáváme vzthy pro výpočet složek vektoru posuvů, tj. cos sin r G u, sin cos r G v, RD w 0, (3.47) cos sin r G u, sin cos r G v, RN. cos z r E w Vzthy (3.46) (3.47), popisující pole npětí posuvů v okolí čel trhliny, byly odvozeny pouze pro nejbližší okolí čel trhliny. Omezující podmínku jsme v komplexní rovině zformulovli pomocí nerovnosti, tj. r. Z tohoto předpokldu jsme použili funkci Z ve zjednodušeném tvru (3.43). Při obecném řešení je třeb použít funkce Z v exktním tvru (3.4), resp. po rozvoji této funkce v řdu je třeb vzít v úvhu i členy vyšších řádů. Při obecném řešení budou mít složky tenzoru npětí tvr...., n nij n n ij ij ij ij ij f r C f r C f r C f r C f r C r (3.48) Vzthy pro složky tenzoru npětí (3.46), odvozené pro blízké okolí kořene trhliny, lze ve zjednodušené formě zpst ve tvru,, ij ij ij f r f r r (3.49)

50 pouze. člen rozvoje y (r, =0 ). ž 5. člen rozvoje y (r, =0 ) 3. POLE NAPĚTÍ A DEFORMACÍ V OKOLÍ VRUBU A TRHLINY který odpovídá prvnímu členu rozvoje (3.48) pro C. Míru nepřesnosti stnovení složek tenzoru npětí v důsledku znedbání vyšších členů rozvoje lze ilustrovt následujícím příkldem: Aproximujeme-li složku tenzoru npětí y před čelem trhliny (tj. pro = 0, resp. y = 0) prvním členem rozvoje (3.48), tj. znedbáme-li členy obshující r n pro n, pltí ve shodě s rovnicemi (3.46) (3.49) y r, 0. r Přesnější hodnotu y r,0 lze stnovit dosáhnout použitím proximtivního vzthu [3] r,0 5 y r r r 3 r r r který odpovídá prvním pěti členům rozvoje (3.48), tj. znedbáním členů obshujících pro n 6. Tto proximce se již od exktního řešení odlišuje velmi málo [5]. 3, r n,0 0,9 0,8 0,7 r / 0,6 0,00 0,0 0, Obr Vliv reltivní vzdálenosti od čel trhliny n přesnost určení y (r, = 0) při použití vzthu (3.45), tj. při proximci prvním členem rozvoje (3.48). N obr.3.0 je vynesen závislost poměru r 0 5 r 0 čel trhliny, tj. n poměru r. Je zřejmé, že pro 0, y ,, n reltivní vzdálenosti od y r by použití proximce y r, 0 vedlo ke znčné nepřesnosti. Tento kvntittivní odhd, specifikující pojem blízké okolí čel trhliny, je v souldu s pozntky získnými numericky [6]: do vzdálenosti r = 0, od čel

51 3. POLE NAPĚTÍ A DEFORMACÍ V OKOLÍ VRUBU A TRHLINY trhliny je chyb stnovení složek tenzoru npětí způsobená znedbáním vyšších členů rozvoje (pro n ) řádově 0%. V přípdě těles konečných rozměrů všk tto chyb může být větší Rovinný smykový mód II Příkld nmáhání těles s trhlinou, které odpovídá módu II, je uvedeno n obr.3.. Jde o nekonečně velké těleso s centrální trhlinou, ztížené smykovým npětím xy působícím ve směru osy x. Při řešení pole npjtosti v okolí trhliny postupujeme zcel obdobně jko v přípdě módu I. Komplexní npěťovou funkci podmínky, tj. v dném přípdě Z opět volíme tk, by splňovl příslušné okrjové Odpovídjící Airyho funkci npětí určíme pomocí vzthu [3] Z. (3.50) F x y y Re Z d,. (3.5) y x Obr.3. - Nekonečně velké těleso s centrální trhlinou nmáhné smykovým npětím (mód II). Doszením (3.5) do (3.8) použitím Cuchyho-Riemnnových podmínek (3.3) dostáváme složky tenzoru npětí x y Im Z y Re y Z Re Z - 5 -

52 3. POLE NAPĚTÍ A DEFORMACÍ V OKOLÍ VRUBU A TRHLINY xy Re Z y ImZ (3.5) ImZ RD z z 0 x y RN. Obdobně jko v přípdě thového módu I po doszení do rovnic zobecněného Hookov zákon (3.7) z složky tenzoru npětí podle (3.5) dostáváme složky tenzoru deformce y x x y E E ImZ y Re Z x y z E ImZ y Re Z x y z E y Re Z ImZ y x z RD (3.53) E E y Re Z ImZ RD RN y x z RN E E xy xy G E 0 RD z z ImZ RN E Re Z y Re Z Po integrci (3.53) s využitím Cuchyho vzthů (3.) úprvě dostáváme rovnice pro výpočet složek vektoru posuvu u xdx Im Z d y Re Z E v ydy Re Z d y ImZ E RD w zdz 0 u xdx Im Z d y Re Z E v ydy Re Z d y ImZ E RN w zdz z ImZ. E. (3.54) Posuneme-li počátek souřdného systému do bodu (, 0) omezíme-li se n blízké okolí čel trhliny (tj. předpokládáme-li zjednodušit do tvru r ), lze funkci Z dnou vzthem (3.50) - 5 -

53 3. POLE NAPĚTÍ A DEFORMACÍ V OKOLÍ VRUBU A TRHLINY Z, (3.55) tj. sin cos., i r e r r Z i, kterému podle vzthů (3.5) odpovídjí složky tenzoru npětí sin 3 cos cos, r r x, y r r, sin cos cos, 3 cos 3 sin sin, r r xy, (3.56) sin, r r z, RD, 0, r z, RN, xz 0, yz 0. podle vzthů (3.54) složky vektoru posuvu sin cos r G u, cos sin r G v, RD w 0, (3.57) sin cos r G u, cos sin r G v, RN. sin z r E w

54 3. POLE NAPĚTÍ A DEFORMACÍ V OKOLÍ VRUBU A TRHLINY Antirovinný smykový mód III Působí-li n nekonečně velké těleso s centrální trhlinou smykové npětí yz, působící ve směru osy z, jde o ntirovinný smykový mód III - viz obr.3.. Při tomto typu ztěžování obecně pltí pro složky vektoru posuvu u 0 v 0 (3.58) w w( x, y) w( r, ). y x Obr.3. - Nekonečně velké těleso s centrální trhlinou nmáhné smykovým npětím (mód III). Z Cuchyho vzthů (3.) vyplývjí složky tenzoru deformce 0 0 x xy y z 0 0 z Hookov zákon (3.6) složky tenzoru npětí yz zx w (3.59) y w. x x 0 0 xy y 0 z 0 w yz G (3.60) y w zx G. x

55 3. POLE NAPĚTÍ A DEFORMACÍ V OKOLÍ VRUBU A TRHLINY Dosdíme-li pomocí (3.60) do diferenciálních rovnic rovnováhy (3.5), dostáváme po úprvě 0. y w x w (3.6) Řešení hrmonické rovnice (3.6) zvolíme ve tvru [3] Z G w y x w Im,. (3.6) Tkto definovná funkce w(x,y) je hrmonická, neboť pltí 0, Re, Re, Im, Im y x y x Z y x y x Z G y y x Z x y x Z G y w x w. Komplexní npěťová funkce Z musí odpovídt příslušným okrjovým podmínkám, tj. v dném přípdě musí pltit Z. (3.63) Dvě nenulové složky tenzoru npětí (3.60) jsou po využití zobecněného Hookov zákon (3.6), Chuchyho vzthů (3.) Cuchyho-Riemnnových podmínek (3.3) dány vzthy Z x Z x w G G xz xz Im Im (3.64) Z y Z y w G G yz yz Re Im. Posuneme-li počátek souřdného systému do bodu (, 0) omezíme-li se n blízké okolí čel trhliny (tj. r ), lze funkci Z dnou vzthem (3.63) zjednodušit do tvru. Z, (3.65) tj. sin cos, i r e r r Z i. Doszením (3.65) do (3.64) dostneme pro nenulové složky tenzoru npětí rovnice xz r r, sin, (3.66) yz r r, cos.

56 3. POLE NAPĚTÍ A DEFORMACÍ V OKOLÍ VRUBU A TRHLINY Po integrci vzthu (3.65) podle dostáváme resp. Dosdíme-li do vzthu (3.6) z Z Z d, i r r e r cos i sin Z pomocí (3.67), dostáváme,. (3.67) wr, r sin G. (3.68) L I T E R A T U R A K E 3. K A P I T O L E [] DVOŘÁK,J.: Zákldy teoretické pružnosti. (Skript ČVUT-FTJF.) Prh, SNTL 965, 30 s. [] OLIVA,Vl.: Aplikovná mechnik kontinu I. Elstomechnik. (Skript ČVUT-FJFI.) Prh, ES ČVUT 98, 75 s. [3] FENNER,R.T.: Engineering Elsticity. Appliction of Numericl nd Anlyticl Techniques. Chichester, Ellis Horwood Limited 986, 434 p. [4] HERTZBERG,R.W.: Deformtion nd Frcture Mechnics of Engineering Mterils. nd Ed. New York, John Wiley nd Sons 983, 700 p. [5] FÜRBACHER,I. - MACEK,K. - STEIDL,J. kol.: Lexikon technických mteriálů. Prh, Verlg Dshöfer 998. [6] NEUBER,H.: Kerbspnnungslehre. l.auflge. Berlin-Heidelberg, Springer-Verlg Auflge. Berlin-Heidelberg, Springer-Verlg völlig neuberbeitete und erweiterte Auflge. Berlin, Akdemie-Verlg 985. Anglický překld: Theory of Notch Stresses. London, J.W.Edwrds 946. Ruský překld: Koncentrcij nprjženij. Moskv, Gostěchizdt 947. [7] SCHIJVE,J.: Stress Grdients round Notches. Ftigue Engng Mter. Struct., 3, 980, No.4, pp [8] HERTEL,H.: Ermüdungsfestigkeit der Konstruktionen. Berlin-Heidelberg-New York, Springer-Verlg 969, 660 s. [9] MAREK,P.: Vybrné stti z ocelových konstrukcí. (Aplikce mechniky lomu.) III. díl. (Skript ČVUT-FS.) Prh, Vydvtelství ČVUT 973, 04 s. [0] NODA,N. - NISITANI,H.: Stress Concentrtion of Strip with Single Edge Notch. Engng Frcture Mech., 8, 987, No., pp [] NISITANI,H. - NODA,N.: Stress Concentrtion of Strip with Double Edge Notches under Tension or In-Plne Bending. Engng Frcture Mech., 3; 986, No.6, pp [] SHIN,C.S. - SMITH,R.A.: Ftigue Crck Growth from Shrp Notches. Int. J. Ftigue, 7, 985, No., pp

57 3. POLE NAPĚTÍ A DEFORMACÍ V OKOLÍ VRUBU A TRHLINY [3] SCHIJVE,J.: A Brief Note on the Estimtion of Stress Concentrtion Fctors of Shrp Notches. (Technicl Note.) Int. J. Ftigue, 8, 986, No., pp [4] MAUGIS,D.: Stresses nd Displcements round Crcks nd Ellipticl Cvities: Exct Solutions. Engng Frcture Mech., 43, 99, No., pp [5] BĚŤÁK,V.: Digrmy tvrových činitelů k výpočtu koncentrce npětí strojních částí konstrukcí. Technické příručky sv.. Prh - Běchovice, SVÚSS 975. [6] PETERSON,R.E.. Stress Concentrtion Fctors. New York, John Wiley nd Sons 974. Ruský překld: Koefficienty koncentrcii nprjženij. Moskv, Izdvtělstvo Mir 977, 304 s. [7] TIMOSHENKO,S. - GOODIER,J.N.: Theory of Elsticity. nd Ed. New York, McGrw-Hill 95. [8] GLINKA,G. - NEWPORT,A.: Universl Fetures of Elstic Notch - Tip Stress Fields. Int. J. Ftigue, 9, 987, No.3, pp [9] BROEK,D.: The Prcticl Use of Frcture Mechnics. Dordrecht, Kluwer Acdemic Publishers 988, 600 p. [0] MUSCHELIŠVILI,N.I.: Někotoryje osnovnyje zdči mtěmtičeskoj teorii uprugosti. Moskv, Izdvtělstvo Nuk 966. Anglický překld: Some Bsic Problems of Mthemticl Theory of Elsticity. Groningen, P. Nordhoff nd Co [] OWEN,D.R.J. - FAWKES,A.J.: Engineering Frcture Mechnics. Numericl Methods nd Applictions. Swnse, Pineridge Press Ltd. 983, 305 p. [] WESTERGAARD,H.M.: Bering Pressures nd Crcks. Trns. ASME, J. Appl. Mech., 6, 939, No., pp. A49-A53. [3] SIH,G.C.: On the Westergrd Method of Crck Anlysis. Int. J. Frcture Mech.,, 966, pp [4] EFTIS,J. - LIEBOWITZ,H.: On the Modified Westergrd Equtions for Certin Plne Crck Problems. Int. J. Frcture Mech., 8, 97, pp [5] KNOTT,J.F.: Fundmentls of Frcture Mechnics. London, Butterworth 973, 67 p. [6] SMITH,R.A.: On the Short Crck Limittions of Frcture Mechnics. Int. J. Frcture, 3, 977, No.5, pp [7] BLAKE,A.: Prcticl Stress Anlysis in Engineering Design. New York nd Bsel, Mrcel Dekker, Inc. 990, 690 p. [8] SCHIJVE,J.: Ftigue of Structures nd Mterils. Dordrecht, Kluwer Acdemic Publishers 00, 53 p. [9] MATERNA,A.: Nepublikovné výsledky

58 4. DEFINICE MEZNÍHO STAVU A VÝBĚR PARAMETRU CHARAKTERIZUJÍCÍHO LOMOVÝ PROCES 4. DEFINICE MEZNÍHO STAVU A VÝBĚR PARAMETRU CHARAKTERIZUJÍCÍHO LOMOVÝ PROCES Mezní stv systému (tj. npř. těles či konstrukce) lze definovt jko tkový stv, který může být z hledisk funkce pro předepsnou povhu délku provozu nepřípustný []. Tkto vymezený pojem mezního stvu je znčně obecný zhrnuje v sobě celou řdu jevů. Příkldem může být poruch, definovná jko jev spočívjící v ukončení provozuschopného stvu objektu []. Speciálním přípdem poruchy je lom, vzniklý šířením trhliny, tj. porušením soudržností mteriálu v kritickém místě těles či konstrukce. Úkolem lomové mechniky je popst podmínky stbility šíření trhlin. Poznání zákonitostí chování trhlin poskytuje podkldy pro zjištění bezpečného spolehlivého provozu těles konstrukcí s trhlinmi, s jejichž existencí je třeb v technické prxi objektivně počítt. Pro posouzení stbility pro popis kinetiky trhliny v ztíženém tělese se v lomové mechnice používá různých mechnických prmetrů. Tyto prmetry (obecně ozn. X) jsou funkcí [3]: ) způsobu velikosti vnějšího ztížení včetně zbytkových pnutí pod., módu porušování, chrkteru okrjových podmínek (ozn. ), b) polohy, tvru rozměrů počtu jednotlivých trhlin (ozn. ), c) tvru rozměrů těles (ozn. L), d) mechnických vlstností mteriálu, zejmén modulu pružnosti Poissonov čísl (ozn. M), tj. X X,, L, M. (4.) Jedním ze zákldních poždvků, kldených n prmetr X, je jeho geometrická invrintnost, jejíž splnění umožňuje stnovit kritickou hodnotu tohoto prmetru (obecně ozn. X c ) n jednoduchých lbortorních zkušebních tělesech používt tuto hodnotu pro těles rozmnitých tvrů rozměrů. Je-li poždvek geometrické invrintnosti splněn, lze kritickou hodnotu X c pokládt z mteriálovou konstntu, chrkterizující odpor dné slitiny proti šíření trhliny. Tto hodnot závisí jednk n struktuře mteriálu jeho nehomogenitách (soubor těchto veličin ozn. m), jednk n podmínkách explotce (tj. npř. n teplotě, gresivnosti prostředí, rychlosti deformce pod., ozn. T), tj. X c X cm,t. (4.) Hodnot X c se stnovuje experimentálně. Postup určování hodnoty X c je možno obecně popst následujícím způsobem [3]: Ze zkoušeného mteriálu, chrkterizovného souborem vlstností ozn. M m, zhotovíme zkušební těleso (obvykle normlizovné), jehož geometrie je dán prmetry L n n. Toto těleso podrobíme z podmínek T vnějšímu ztížení n. Toto

59 4. DEFINICE MEZNÍHO STAVU A VÝBĚR PARAMETRU CHARAKTERIZUJÍCÍHO LOMOVÝ PROCES ztížení, jehož způsob je obvykle tké normlizován, postupně nrůstá, ž dosáhne kritické hodnoty nc, při které se zčne šířit trhlin. Kritická hodnot X c se pomocí vzthu (4.) vypoč- te jko X c X,, L, M. (4.3) c nc Kritériem dosžení mezního stvu, tj. z hledisk lomové mechniky dosžení stvu, kdy se zčne šířit trhlin, je porovnání prmetru X, chrkterizujícího okmžitý stv těles s trhlinou, s odpovídjící kritickou hodnotou X c. tj. n n X X c. (4.4) Chrkter kritické hodnoty X c závisí n mechnismu porušování, který proces šíření trhliny řídí. Nejčstěji používným lomově mechnickým prmetrem X je v prxi fktor intenzity npětí K (viz 5.kp.). Konkrétními příkldy kritické hodnoty tohoto prmetru, kvntifikujícími dosžení určitého mezního stvu, mohou být následující chrkteristiky: ) V přípdě křehkého lomu je kritickou hodnotou lomová houževntost K c (viz odst. 5.4). Dosáhne-li fktor intenzity npětí K v tělese s trhlinou hodnoty K c, trhlin ztrácí stbilitu dojde k náhlému porušení zbylého nosného průřezu. b) V přípdě únvového procesu je řídícím lomově mechnickým prmetrem rozkmit fktoru intenzity npětí K =K mx - K min, kritickou hodnotou je prhová hodnot tohoto rozkmitu K p (viz odst..). Dosáhne-li K hodnoty K p, dochází ke stbilnímu, únvovému šíření trhliny. c) V přípdě korozního prskání dochází ke kombinovnému vlivu mechnického nmáhání chemických procesů. K upltnění vlivu gresivního prostředí n stbilní šíření trhliny dochází, dosáhne-li fktor intenzity npětí K mezní hodnoty K SCC (resp. K EAC ), závisející jk n vlstnostech sledovného mteriálu, tk i prostředí, ve kterém k porušování dochází. Pomocí kritéri stbility, obecně vyjádřeného podmínkou X < X c, lze npř. řešit otázky spojené s návrhem konstrukce, provozovné s existující, le stbilní (tj. stojící nebo pomlu se šířící) trhlinou. V prxi to npř. znmená určit mximální přípustnou délku trhliny mx dimenzovt dnou součást pro dné ztížení dný typ mteriálu. S technologickým poždvkem, by součást obshovl pouze trhliny délek < mx úzce souvisí poždvek n zbezpečení defektoskopické kontroly, při které by se součásti s trhlinmi délky mx vyřzovly. Rozlišovcí schopnosti defektoskopických zřízení zpětně ovlivňují volbu mx tedy i konstrukční návrh či výběr mteriálu - možnost detekce reltivně mlých trhlin je zvláště v přípdě rozměrnějších geometricky členitějších konstrukcí omezen

60 4. DEFINICE MEZNÍHO STAVU A VÝBĚR PARAMETRU CHARAKTERIZUJÍCÍHO LOMOVÝ PROCES V následujících kpitolách se věnujeme podrobněji několik konkrétním prmetrům X, kterých se v lomové mechnice pro chrkterizování stvu npjtosti v tělese posouzení stbility trhliny nejčstěji používá (fktor intenzity npětí K, otevření trhliny COD, hncí síl trhliny G, J-integrál). Výběr nejvhodnějšího prmetru pro řešení konkrétního problému ovlivňuje několik různorodých fktorů, mezi které ptří zejmén: ) rozsh plstické deformce v tělese, b) mteriál, ze kterého je těleso vyrobeno, c) chrkter ztěžování, d) tvr rozměry porušovného těles, e) zkušenosti experimentální možnosti prcoviště pod. L I T E R A T U R A K E 4. K A P I T O L E [] ONDRÁČEK,E. - FARLÍK,A.: Mezní stvy v pevnostních výpočtech. Prh, SNTL 973, 33 s. [] ČSN Ol 00. Názvosloví spolehlivosti v technice [3] KROUPA,F.: Lomová mechnik. Čs. čs. fyz., A 8, 978, č., s

61 5. FAKTOR INTENZITY NAPĚTÍ 5. FAKTOR INTENZITY NAPĚTÍ 5. ÚVOD Fktor intenzity npětí je jednou z nejdůležitějších v součsné době i nejpoužívnějších mechnických veličin popisujících stv npjtosti v tělese s trhlinou. Jde o prmetr, který zhrnuje jk velikost způsob vnějšího ztížení, tk i zákldní kvlittivní kvntittivní chrkteristiky geometrie těles trhliny. 5.. Definice Rozevírání trhliny v tělese je řízeno velikostí rozhodující složky tenzoru npětí před čelem trhliny (tj. pro = 0, resp. y = 0). Těmito složkmi jsou y (pro mód I), xy (pro mód II) yz (pro mód III). Pomocí uvedených složek tenzoru npětí jsou pro tři zákldní způsoby porušování definovány fktory intenzity npětí vzthy K K K I II III lim r0 / r r,0 / r r,0 y lim (5.) r0 xy / r r,0 lim. r0 Z uvedených definic je zřejmý rozměr těchto prmetrů, tj. (MP.m l/ ). Poznmenejme, že v nší i zhrniční litertuře se někdy dosud používjí i jednotky jiné, npř. (kp.mm -3/ ) (ksi.in l/ ), pro které pltí trnsformční vzthy kp.mm -3/ = 0,3 MP.m l/, ksi.in l/ =, MP.m l/. yz 5.. Nekonečně velké těleso Dosdíme-li do vzthů (5.) z y, xy yz pomocí vzthů (3.46), (3.56), (3.66) položíme-li = 0, dostáváme fktory intenzity npětí pro nekonečné těleso / K I / K II (5.) / K III. Poznmenejme, že někteří utoři (npř. Sih) používjí definice fktoru intenzity npětí, která neobshuje člen /. Při přejímání plikci pozntků z litertury je proto třeb vždy vyjít z definice používné dným utorem

62 5. FAKTOR INTENZITY NAPĚTÍ Součiny typu, resp., se vyskytují ve všech výsledných pro výpočet složek tenzoru npětí či složek vektoru posuvu - viz 3. kp. Je zřejmé, že známe-li velikost fktoru intenzity npětí, lze složky tenzoru npětí i složky vektoru posuvu v okolí čel trhliny sndno vyjádřit: ) Thový mód I, stv rovinné deformce, cos 3 sin sin, r K r I x, cos 3 sin sin, r K r I y cos, r K r I z, 3 cos cos sin, r K r I xy, (5.3) cos sin r G K u I, sin cos r G K v I, w 0, b) Thový mód I, stv rovinné npjtosti, cos 3 sin sin, r K r I x, cos 3 sin sin, r K r I y 0, r z, 3 cos cos sin, r K r I xy, (5.4) cos sin, r G K r u I, sin cos, r G K r v I,. cos, z r K E w r I

63 5. FAKTOR INTENZITY NAPĚTÍ c) Rovinný smykový mód II, stv rovinné deformce, sin 3 cos cos, r K r II x, 3 cos cos sin, r K r II y, sin, r K r II z cos 3 sin sin, r K r II xy, (5.5) sin cos, r G K r u II, cos sin, r G K r v II, 0, r w, d) Rovinný smykový mód II, stv rovinné npjtosti, sin 3 cos cos, r K r II x, 3 cos cos sin, r K r II y,, 0 r z cos 3 sin sin, r K r II xy, (5.6) sin cos, r G K r u II, cos sin, r G K r v II, sin, z r K E w r II, e) Antirovinný smykový mód III sin, r K r III xz, cos, r K r III yz, (5.7) sin, r G K r w III.

64 5. FAKTOR INTENZITY NAPĚTÍ 5..3 Princip superpozice Z definice K-fktoru z principu superpozice, pltného pro elstické pole npětí, lze odvodit: ) Působí-li n těleso n různých vnějších ztížení, pk jsou- li pro jednotlivá ztížení známy Westergrdovy funkce npětí Z j (), resp. obecněji Muschelišviliho npěťové potenciály j j, j =,,..., n), pk lze tyto jednotlivé funkce sečíst z výsledné součtové npěťové funkce Z n Z j j n j j, resp. n j j, (5.8) určit složky tenzoru npětí, složky tenzoru deformce, resp. složky vektoru posuvu. b) Jestliže kždému z n působících vnějších ztížení (tj. sil, momentů pod.) odpovídá určitá hodnot fktoru intenzity npětí K ij, kde i = I, II, III; j =,,.., n, pk výsledný fktor intenzity npětí je dán součtem jednotlivých příspěvků v dném způsobu (módu) ztěžování, tj. n K i K ij j (i = I, II, III). (5.9) Obdobným způsobem lze princip superpozice upltnit i při výpočtu složek tenzoru npětí, tenzoru deformcí vektoru posuvu. Příkld 5. - Použití principu superpozice při výpočtu fktoru intenzity npětí Jednoduchým příkldem plikce principu superpozice může být řešení pole npjtosti v nekonečně velkém tělese s centrální trhlinou, u kterého je v horní polovině přenos thové síly F relizován přes dřík nýtu, ztímco ve spodní polovině jde o stndrdní ztížení rovnoměrným konstntním npětím = F/WB, kde W je celková šířk těles B je jeho tloušťk (viz obr.5. zcel vlevo). Úkolem je stnovit fktor intenzity npětí K I pro tento symetrický přípd kombinovného nmáhání. Pootočíme-li dnou konfigurci o 80 (viz druhý obrázek zlev), dostáváme tentýž fktor intenzity npětí, tj. pltí K I = K I. Superpozici obou uvedených přípdů (prostřední obrázek) tedy odpovídá fktor intenzity npětí K I3 = K I + K I = K I. Tuto úlohu lze dále nhrdit sumou dvou jednodušších symetrických přípdů, tj. těles ztíženého osovou silou F (druhý obrázek zprv) těles ztíženého podél horního i dolního okrje konstntním npětím = F/WB (zcel vprvo). Pltí tedy K I3 = K I4 + K I5. Porovnáme-li prvé strny uvedených rovnic, dostáváme

65 5. FAKTOR INTENZITY NAPĚTÍ K I K I 4 Uvedeným dvěm symetrickým přípdům odpovídjí Westergrdovy komplexní npěťové funkce Z j (), j = 4 (ztížení silou F), j = 5 (ztížení npětím ) ve tvru [] K I 5. resp. viz vzth (3.4) kde x i y. Z 4 F B /, Z 5 /, F F F + = = + W F F F K I K I = K I K I3 = K I K I4 K I5 Obr.5. Nekonečně velké těleso s centrální trhlinou ztížené silou F npětím = F/WB. Posuneme-li počátek souřdného systému n čelo trhliny, dostáváme z předpokldu komplexní npěťové funkce ve tvru Z 4 F B Z 5 / B r / r F / / / cos isin cos isin Složky tenzoru npětí yj, j = 4, 5, které jsou v přípdě thového módu I rozhodující, stnovíme pomocí vzthu (3.37), který se pro y = 0 ( = 0) zredukuje do tvru tj. r,0 yj x, Re Z 0, j = 4, 5, F y4, B / r,0. y5 j / r / r

66 5. FAKTOR INTENZITY NAPĚTÍ Dosdíme-li pomocí uvedených rovnic do definičního vzthu (5.), dostáváme K I 5 K lim r0 F, B / F y5 r,0 WB / / r r, I 4 lim y4 0 r0 / r / Pro výchozí přípd (viz obr.5. zcel vlevo) tedy pro výpočet fktoru intenzity npětí dostáváme výsledný vzth ve tvru K I K I 4 K I 5 F B / F / F. WB B W / Závislost fktoru intenzity npětí v normlizovném tvru n reltivní délce trhliny je grficky znázorněn n obr F 0 W 5 0 /W [] 0 0,0 0,0 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09 0, Obr. 5. Závislost fktoru intenzity npětí n reltivní délce trhliny 5..4 Těleso konečných rozměrů U reálného těles s konečnými rozměry bude pole npětí v okolí čel trhliny ovlivněno volnými okrji těles. V těchto přípdech bude fktor intenzity npětí záviset i n geometrických prmetrech, chrkterizujících tvr rozměry těles (zejmén n šířce W n délce L - viz obr.3.8), což lze obecně vyjádřit vzthy K K I II / f, W, L,... I / f, W, L,... (5.0) II K III / f, W, L,.... III

67 5. FAKTOR INTENZITY NAPĚTÍ Funkce f j (,W,L,...), j = I, II, III, respektující konečné rozměry těles, jsou tzv. tvrové funkce. Je zřejmé, že rovnice (5.), pltné pouze pro nekonečná těles, jsou speciálním přípdem vzthů (5.4) pro f j (,W,L,...) =, j = I, II, III. Určování tvrových funkcí pro konkrétní geometrickou konfigurci těles s trhlinou (tj. tzv. K-klibrce) se v prxi provádí několik různými metodmi. Tyto metody lze orientčně rozdělit do čtyř zákldních skupin: ) metody nlytické (metod komplexních npěťových potenciálů, metod konformního zobrzení pod. - viz npř. [], [3]), b) metody seminlytické (metod kolokce okrjových podmínek pod. - viz npř. [], [3]), c) metody numerické (zejmén metod konečných prvků - viz npř. [4] ž [9]), d) metody experimentální, využívjící různých měřících technik, npř. fotoelsticimetrie [0] ž [5], odporová tenzometrie [6] (n zákldě této metody byly vyvinuty snímče, umožňující měření fktoru intenzity npětí i přímo n konstrukčních částech v provozních podmínkách [7] ž [9]), interferometrie [0], moiré [], měření poddjnosti [], [3], měření rychlosti šíření únvové trhliny [0], [4], [5] pod. Vzhledem k tomu, že nší hlvní snhou je nznčit možnosti pozntků lomové mechniky při řešení problemtiky výzkumné či provozní prxe, nebudeme se metodmi určování fktoru intenzity npětí zbývt podrobněji. V součsné: době jsou již k dispozici obsáhlé příručky ([3], [6] ž [8]), které shrnují výsledky řešení pro celou řdu geometrických konfigurcí těles s trhlinou pro různé typy ztěžování i pro různé okrjové podmínky. V těchto příručkách bývjí výsledky řešení jednotlivých přípdů uvedeny buď nlyticky, grficky nebo tbelárně. Uveďme řešení několik typů úloh, které se ve výzkumné prxi vyskytují nejčstěji (odst )

68 L L L 5. FAKTOR INTENZITY NAPĚTÍ 5. TĚLESO OBDÉLNÍKOVÉHO PRŮŘEZU S CENTRÁLNÍ TRHLINOU 5.. Vliv konečné šířky W V přípdě nekonečně širokého těles ztíženého rovnoměrným them (mód I) pltí podle / vzthu (5.). K I intenzity npětí vyjádřit ve tvru (5.4). tj. K I V přípdě těles konečné šířky W (viz obr.5.3 vlevo) lze fktor / / f / W F BW f / W, (5.) I kde f I (/W) je tvrová funkce. Pro tuto nejčstěji diskutovnou konfigurci těles s trhlinou se v litertuře vyskytuje celá řd nlytických řešení tvrových funkcí f I (/W). Jednotlivá řešení se liší jednk oborem hodnot /W, ve kterém jsou použitelné, jednk přesností (tto poznámk pltí obecně i pro dlší typy úloh). V průniku jednotlivých oborů pltností se výsledky, stnovené podle různých nlytických vzthů, obvykle liší jen velmi málo. MÓD I MÓD II MÓD III I W W W Obr.5.3 Těleso konečných rozměrů s centrální trhlinou nmáhné thovým módem I, rovinným smykovým módem II ntirovinným smykovým módem III. V prxi bývá nejčstěji používán vzth f I W cos W, (5.) doporučený normou ASTM [9], který pro / W 0, 7 umožňuje stnovit fktor intenzity npětí s přesností 0,3%, resp. pro / W 0, 8 s přesností %

69 5. FAKTOR INTENZITY NAPĚTÍ Pro dnou geometrickou konfigurci se používá též tvrové funkce [6] f I / W 0,8 0,88,55, (5.3) W W W pomocí které lze v přípdě splnění podmínky / W 0, 7 vypočítt hodnotu fktoru intenzity npětí s přesností 0,5%. Průběh tvrové funkce (5.3) je grficky znázorněn n obr.5.4.,5 CENTRÁLNÍ TRHLINA,4 3,3 MÓD I II (5.3) f (/W ),, MÓD III (5.6) /W [] 0,0 0, 0, 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 Obr Průběh tvrových funkcí pro výpočet fktoru intenzity npětí v tělese konečné šířky (módy I, II III- viz obr.5.3) Z hledisk rozshu použitelných hodnot /W i z hledisk přesnosti se všk zdá být nejvý- hodnější vzth [6] f I W 0,05 W 4 0,06 W pltný v celém oboru hodnot /W (tj. 0 /W ) s přesností 0,%. cos W, (5.4) Je- li těleso s centrální trhlinou ztíženo smykovým npětím, je tvrová funkce v přípdě módu II (viz obr.5.3 uprostřed) totožná s tvrovou funkcí módu I [6], tj. pltí kde K II / f / W, II f / W f / W. (5.5) II V přípdě módu III (obr.5.3 vprvo) lze fktor intenzity npětí exktně stnovit pomocí vzthu I kde K III f III / f / W, III W W / / W tg. (5.6)

70 5. FAKTOR INTENZITY NAPĚTÍ Grf závislosti (5.6) je uveden n obr.5.4. V dlší části této kpitoly se budeme zbývt pouze thovým ztížením, tj. módem I, který je v prxi nejběžnější. W W W W W Obr Nekonečně široké těleso s nekonečnou řdou kolineárních trhlin délky s roztečí W, konečné těleso šířky W s centrální trhlinou délky. Vliv konečných rozměrů těles ( tedy i okrjových podmínek) n pole npětí deformcí v okolí čel trhliny, chrkterizovné fktorem intenzity npětí, lze ilustrovt příkldem uvedeným n obr f I (/W ) těleso konečné šířky W nekonečně široké těleso /W [] 0,0 0, 0,4 0,6 0,8,0 Obr Porovnání průběhu tvrových funkcí (5.7) (5.) pro nekonečné konečné těleso z obr

71 5. FAKTOR INTENZITY NAPĚTÍ Nekonečně široké těleso s řdou kolineárních trhlin délky s roztečí W je ztíženo thovým npětím. Odpovídjící tvrová funkce je dán vzthem [8] tg / W f I W / W. (5.7) Jestliže z dného nekonečného těles vyčleníme jednu periodicky se opkující část, tj. těleso šířky W s centrální trhlinou délky ztížené stejným thovým npětím je tvrová funkce dán vzthem (5.). Porovnání tvrových funkcí (5.7) (5.) je grficky znázorněno n obr.5.6. Je zřejmé, že důsledkem volného povrchu n bočních stěnách konečného těles je zvýšení fktoru intenzity npětí. 5.. Vliv konečné délky L Při výpočtu fktoru intenzity npětí se obvykle předpokládá, že vliv délky těles (n obr.5.3 ozn. L) je znedbtelný. Tento předpokld je splněn, je-li poměr L/W dosttečně velký - orientčně se uvádí nerovnost L/W >,5 [30]. V přípdě L/W <,5 hrje význmnou roli chrkter okrjových podmínek:. v přípdě konstntního npětí podél horního dolního okrje těles tvrová funkce f I (/W, L/W) s klesjící délkou těles (tj. s klesjícím poměrem L/W) nbývá větších funkčních hodnot, v přípdě konstntního posuvu v podél těchto okrjů (tj. v přípdě pevně uchycených okrjů těles) je tomu nopk, tj. čím menší je poměr L/W, tím menší je i funkční hodnot f I (/W, L/W) [30] Vliv průměru inicičního kruhového otvoru d Jk v inženýrské prxi (npř. u nýtových či šroubových spojů), tk při lbortorních zkouškách modelových těles dochází k inicici trhlin n kruhovém otvoru. Je-li průměr otvoru mlý (tj. d/w << ), je řešení uvedeného přípdu totožné s řešením předchozím, tj. jko u těles bez otvoru. V přípdě větších otvorů všk jejich vliv n npjtost v okolí čel trhliny znedbt nelze. Vliv poměru d/w n průběh tvrové funkce f I W, d / W / je grficky znázorněn n obr.5.7. Anlytický tvr této tvrové funkce je uveden v původním příspěvku [75], resp. v příručce [8]. Z uvedeného grfu lze pro dné hodnoty /W d/w odpovídjící funkční hodnotu tvrové funkce odečíst. Obecně pltí, že f I W, d / W / je rostoucí funkcí poměru d/w. Pro porovnání je n tomto obrázku čárkovně vyznčen i grf funkce (5.), která odpovídá tělesu s centrální trhlinou bez kruhového otvoru (tj. d/w ~

72 5. FAKTOR INTENZITY NAPĚTÍ Podrobnější rozbor problemtiky výpočtu fktoru intenzity npětí pro trhliny šířící se z kruhových otvorů lze nlézt npř. v publikcích [3] [76] f I (/W;d/W) d/w d/w = 0, 0, 0,3 0,4 0,5 /W [] d W Obr.5.7 Vliv průměru centrálního kruhového otvoru v tělese n fktor intenzity npětí. Čárkovně je vyznčen grf tvrové funkce (5.), která odpovídá tělesu bez otvoru, resp. tělesu s otvorem velmi mlého průměru, tj. d/w ~ Vliv symetrie šíření trhliny (excentricity e) Ve všech dosvdních úvhách jsme předpokládli symetrii trhliny vůči podélné ose těles. V některých přípdech je všk třeb řešit i úlohu symetrickou, při které střed trhliny neleží n ose těles - viz obr.5.8. e A W B W Obr.5.8 Asymetrická trhlin

73 f IA (/W;e/W ) 5. FAKTOR INTENZITY NAPĚTÍ Excentricit je kvntifikován souřdnicí e, která udává vzdálenost osy trhliny od osy těles (v přípdě symetrie tedy pltí e = 0). V okolí obou čel trhliny (ozn. A B) jsou v tomto přípdě různá pole npětí tedy i různé hodnoty fktoru intenzity npětí. Tvrové funkce lze obecně vyjádřit pomocí polynomů [77] 9 n n f ( / W ) C / W ( / W ) C / W IA n n IB 9 f, (5.7) přičemž koeficienty C n jsou funkcemi excentricity e. Konkrétní funkční hodnoty lze odečíst z grfů či tbulek uvedených v původním příspěvku [77], výzkumné zprávě [78] nebo v příručkách [3],[7],[8]. Tvrová funkce nbývá větších funkčních hodnot n čele trhliny, které je dál od středu těles (n obr.5.8 ozn. A). N tomto čele trhliny je tedy i větší fktor intenzity npětí.tvrovou funkci lze v tomto přípdě proximovt empirickým vzthem [8] f IA W ; e W grficky znázorněným n obr ,0 n e W sin W e W e W W W cos e W e W n n, (5.8),8,6 e/w = 0,9 0,7 0,5 0,3 0,,4,,0,8,6,4, /W [],0 0,0 0, 0, 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9,0 Obr.5.9 Vliv symetrie trhliny n fktor intenzity npětí n čele bližším okrji těles (n obr.5.9 ozn. A) viz vzth (5.8)

74 L L 5. FAKTOR INTENZITY NAPĚTÍ 5.3 TĚLESO OBDÉLNÍKOVÉHO PRŮŘEZU S JEDNOSTRANNOU OKRAJOVOU TRHLINOU 5.3. Ztížení jednoosým them z podmínky konstntního npětí Pro nekonečně velké těleso ( << W) pltí /. K I, (5.8) Tento vzth byl odvozen od předchozího přípdu nekonečně velkého těles s centrální trhlinou fiktivním odříznutím jedné poloroviny (obr.5.0). V přípdě; centrální trhliny působil v rovině myšleného řezu npětí, která trhlinu částečně uzvírl. Odříznutím jedné poloroviny vznikl nový volný povrch, n kterém tto npětí vymizel. Důsledkem je větší posuv n okrji trhliny tedy i větší fktor intenzity npětí - n zákldě nlýzy npjtosti si o % (viz vzth (5.8)); než v tělese s centrální trhlinou. W Obr.5.0 Přechod od centrální trhliny k okrjové trhlině. Obr.5. Okrjová trhlin v konečném tělese. V přípdě těles konečných rozměrů (konečné šířky W - viz obr.5.) lze fktor intenzity npětí vyjádřit obecně pomocí vzthu / f W KI I /, (5.9) F kde f I / W je tvrová funkce, která v sobě zhrnuje i součinitel, z řešení BW pro nekonečné těleso (5.8). Pro vyjádření této tvrové funkce existuje v litertuře několik vzthů, z nichž se nejčstěji používá vzth [6] f I, 0,3 0,55,7 30,39, (5.0) W W W W W

75 L L L L 5. FAKTOR INTENZITY NAPĚTÍ pltný pro /W 0,6 L/W l,0 s přesností 0,5%. Vzth f I W W tg W 0,75,0 0,37 sin W W cos W 3 (5.) pltí v celém rozshu délek trhliny (tj. pro 0 /W ) s přesností lepší než 0,5% [6]. Výsledky experimentů, uvedené v práci [3], všk zpochybňují geometrickou invrintnost vzthu (5.) v důsledku rotce konců těles je ohybový moment tedy i fktor intenzity npětí K menší, než odpovídá uvedenému vzthu. Tento vliv roste s rostoucí délkou trhliny důsledkem může být ž 0% chyb vypočtené hodnoty fktoru intenzity npětí. Nznčenou nepřesnost je možno redukovt pomocí empirické korekce. F =. B.W F =. B.W W W F =. B.W Obr.5. Ztížení těles při okrjové podmínce konstntního npětí. F =. B.W Obr.5.3 Ztížení těles při okrjové podmínce konstntního posuvu. U reltivně krátkých těles (L/W ) je třeb vzít v úvhu i vliv konečné délky těles L - viz npř. [7]

76 5. FAKTOR INTENZITY NAPĚTÍ Závislosti uvedené v tomto odstvci odpovídjí okrjovým podmínkám konstntního npětí podél horního dolního okrje těles, tj. pltí z předpokldu d y 0. dx y L Aby tyto podmínky mohly být splněny, je třeb přenos ztěžovcí síly n těleso relizovt tk, by se horní dolní okrje těles mohly v průběhu šíření trhliny vůči sobě ntáčet - viz npř. obr.5.. Těleso je v tomto přípdě nmáháno nejen them, le i přídvným ohybem (vliv tohoto ohybu je již ve vztzích (5.0) (5.) zhrnut). 5,0 4,5 4,0 3,5 3,0 f(/w),5,0 konstntní npětí (d /dx ) y = ±L = 0 konstntní posuv (dv/dx ) y = ±L = 0,5 /W [],0 0,0 0, 0, 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9,0 Obr.5.4 Vliv okrjových podmínek n průběh tvrové funkce u těles s okrjovou trhlinou: konstntní npětí vzth (5.0), konstntní posuv - vzth (5.) Ztížení jednoosým them z podmínky konstntního posuvu Zcel jiný stv npjtosti než v předchozím přípdě (odst. 5.3.) nstne, jsou-li konce těles pevně upnuty tím je zbráněno vzniku přídvného ohybu, který přispívl k otevírání trhliny (srv. obr ). Horní dolní okrje těles jsou v tomto přípdě trvle rovnoběžné, což odpovídá okrjovým podmínkám konstntního posuvu, tj. dv dx y L

77 5. FAKTOR INTENZITY NAPĚTÍ Pro tento přípd se nejčstěji používá tvrová funkce, vyjádřená proximtivním vzthem f I , (5.) W W W který odvodil Hrris [33]. Chyb určení fktoru intenzity npětí pomocí vzthu (5.) může být ž 8% [7]. Výrzný vliv okrjových podmínek n stv npjtosti v tělese s trhlinou ( tedy i n velikost fktoru intenzity npětí) je dobře ptrný z obr.5.4, n kterém jsou porovnány průběhy závislostí tvrových funkcí f I (/W), vyjádřených pomocí vzthů (5.0) (5.). Je zřejmé, že vliv okrjových podmínek je kcentován zvláště u reltivně dlouhých trhlin, kdy z jink identických okolností může být fktor intenzity npětí při konstntním npětí ž několiknásobně větší než při konstntním posuvu. Později provedená numerická [34], [35] i nlytická [36], [37] řešení dného typu úlohy prokázl význmný vliv délky těles (chrkterizovné poměrem L/W - viz obr.5.3) n stv npjtosti v tělese tedy i n velikost fktoru intenzity npětí. Tto skutečnost se promítl do chrkteru tvrové funkce, která při těchto okrjových podmínkách závisí jk n poměru /W, tk i n poměru L/W [37]. Z uvedených pozntků je zřejmé, že Hrrisův proximtivní vzth (5.) nelze povžovt z zcel universálně použitelný. Vliv délky těles n fktor intenzity npětí ve dvou diskutovných přípdech je kvntittivně i kvlittivně odlišný. Ztímco při okrjové podmínce = konst je vliv poměru L/W reltivně mlý (pro L/W > dokonce znedbtelný) v oboru L/W s rostoucí délkou těles fktor intenzity npětí mírně klesá, při okrjové podmínce v = konst je vliv poměru L/W význmný i při vysokých hodnotách poměru L/W, přičemž s rostoucí délkou těles fktor intenzity npětí nopk roste [7] Ztížení čistým, resp. tříbodovým ohybem Podmínkám tzv. čistého ohybu (obr.5.5) se v prxi nejvíce blíží čtyřbodový ohyb. Nejčstěji se všk pro jednoduchost používá ohyb tříbodový (obr.5.6). V obou uvedených přípdech lze fktor intenzity npětí vyjádřit pomocí obecného vzthu kde mximální ohybové npětí v kritickém místě 6M o,mx, W B K I o, mx f I, (5.3) W

78 W W 5. FAKTOR INTENZITY NAPĚTÍ M je ohybový moment, pro který v přípdě tříbodového ohybu pltí v místě trhliny vzth M F L. M F/ F/ M F/ F/ Obr.5.5 Těleso s okrjovou trhlinou nmáhné čistým, resp. čtyřbodovým ohybem. F F/ L L F/ Obr.5.6 Těleso s okrjovou trhlinou nmáhné tříbodovým ohybem. Funkční hodnoty tvrové funkce závisejí nejen n šířce těles (tj. n poměru /W), le u trojbodového ohybu i n vzdálenosti podpor L (resp. n poměru L/W), která předstvuje "funkční délku" těles. Obecně lze tvrovou funkci vyjádřit ve tvru polynomu j 4 f I Aj, (5.4) W j0 W přičemž konstnty A j (j = 0,,, 3, 4) jsou u trojbodového ohybu funkcemi poměru L/W. Konkrétní hodnoty těchto koeficientů pro L/W =, L/W = 4 pro čistý ohyb jsou uvedeny v tb.5. [6]. Tbulk 5. - Koeficienty polynomu tvrové funkce (5.4). O H Y B A 0 A A A 3 A 4 tříbodový, L/W =,090 -,735 8,0-4,8 4,57 tříbodový, L/W = 4,07 -,0 7,7-3,55 4,5 čistý, resp. čtyřbodový, -,400 7,33-3,08 4,

79 5. FAKTOR INTENZITY NAPĚTÍ Konstnty pro čistý ohyb pltí i pro ohyb čtyřbodový. Přesnost stnovení fktoru intenzity npětí pomocí tvrové funkce (5.4) pro /W 0,6 je 0,%. Grfické porovnání tvrových funkcí pro tři přípdy uvedené v tb.5. je provedeno n obr.5.7.,0,8,6 f I (/W ) [],4,,0 4P 3PB (L/W= ) 3PB (L/W=4 ) /W [] 0,8 0,0 0, 0, 0,3 0,4 0,5 0,6 Obr.5.7 Průběh tvrové funkce (5.4) pro čistý, resp.čtyřbodový (ozn. 4PB) tříbodový ohyb (ozn. 3PB). V přípdě těles nmáhného tříbodovým ohybem umožňuje výše uvedený postup výpočet funkčních hodnot tvrové funkce pouze pro dvě diskrétní hodnoty vzdálenosti podpor L/W = L/W = 4. Byl všk rovněž odvozen dvouprmetrická tvrová funkce [38], která nlyticky postihuje jk vliv konečné šířky těles, tk i vliv vzdálenosti podpor (viz obr.5.8): kde L L f I, Y Y,, (5.5) W W W W W Y,057 3,83,4 43,4 4,94 W W W W W 3 4,

80 5. FAKTOR INTENZITY NAPĚTÍ Y W, L W 0,4607 0,0968 0,08 W L W L W 0,05 0,00 W L W L. W Uvedené vzthy jsou pltné v oboru W 6,0 0,004 L W L 0 W 3 s chybou menší než %. (5.6) 5,5 3PB 5,0 4,5 4,0 3,5 f I (/W, L/W ) [] 3,0 L/W = ,5,0,5 /W [],0 0, 0, 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 Obr Průběh tvrové funkce (5.5) pro tříbodový ohyb těles různé délky. Příkld 5. - Anlytický výpočet fktoru intenzity npětí. Těleso obdélníkového průřezu šířky W = 0 mm tloušťky B = 0 mm je nmáháno silou F = 00 kn. Přenos síly je relizován pomocí válcových čepů, volně uložených v otvorech těles (viz obr.5.9). Vzdálenost os těchto otvorů od okrje těles je b = 00 mm. Úkolem je určit fktor intenzity npětí, je-li v tělese jednostrnná boční trhlin délky = 6 mm

81 5. FAKTOR INTENZITY NAPĚTÍ F b W F Obr.5.9 Excentrické ztížení těles. Předpokládejme, že délk těles je dosttečně velká, tkže její vliv n npjtost v okolí trhliny lze znedbt. Předpokládejme rovněž elstický stv npjtosti, resp. pouze mlý rozsh plstické deformce v okolí čel trhliny. Ze způsobu ztížení je zřejmé, že těleso je nmáháno excentrickým them, přičemž okrjové podmínky odpovídjí přípdu konstntního npětí F BW Dnou úlohu převedeme n známý přípd tk, že sílu F posuneme do podélné osy těles vnější nmáhání doplníme silovou dvojicí, jejíž moment M je dán součinem síly F vzdálenosti osy otvorů od podélné osy těles - viz obr.5.0, tj. W. M F b Sledovné těleso je tedy nmáháno jednk thovou silou F, působící v podélné ose těles z podmínky konstntního npětí, jednk ohybovým momentem M. Výsledné řešení bude n zákldě principu superpozice dáno součtem obou dílčích řešení, odpovídjících nmáhání F M, tj. KI KI KI. Pro ztížení thovou silou F pltí F K I f I, BW W kde tvrová funkce f I je dán vzthem (5.0), pro ztížení ohybovým momentem M pltí W 6Fb 6M K I I I W B W W B W f f,

82 5. FAKTOR INTENZITY NAPĚTÍ kde tvrová funkce W f I je dán vzthem (5.4), do kterého dosdíme koeficienty A j, j = 0,,, 3, 4 z tb.5. pro čistý ohyb. Po doszení konkrétních hodnot z, b, B, W F dostáváme K I =,95 MP.m l/, K I = 4,46 MP.m l/ K I = 37,4 MP.m l/. F (F) F M = F.(b-W/) b-w/ (F) = + (F) F (F) F M = F.(b-W/) Obr.5.0 Schém principu superpozice použitého při řešení úlohy z obr TĚLESO S POVRCHOVOU TRHLINOU ZATÍŽENÉ TAHEM NEBO OHYBEM Kritickým místem konstrukčních částí bývá v prxi velmi čsto jejich povrch. N povrchových vrubech technologického původu dochází ke koncentrci npětí v přípdě čsově proměnného ztěžování k inicici únvových trhlin (podrobněji viz. kp.). Povrchovou trhlinu lze pro zjednodušení modelovt polovinou elipsy s poloosmi (délk ústí trhliny n povrchu je tedy ) b (tj. mximální hloubk trhliny pod povrchem) viz obr.5.. Z hledisk lomové mechniky jde v tomto přípdě o úlohu dvourozměrnou, neboť fktor intenzity npětí závisí n velikosti obou chrkteristických rozměrů trhliny i b, resp. n elipticitě trhliny b/ n reltivní hloubce trhliny b/b (viz obr.5.). N rozdíl od předchozích jednodušších přípdů, uvedených v odst , není obecně fktor intenzity npětí podél čel trhliny konstntní. V dlších úvhách se změříme n dv nejvýznmnější body čel semieliptické trhliny, kterými jsou nejhlubší místo (n obr. 5. ozn. A) kořen ústí trhliny n povrchu (ozn. B)

83 b B 5. FAKTOR INTENZITY NAPĚTÍ B A W B Obr.5. Povrchová semieliptická trhlin. V přípdě thového ztížení je fktor intenzity npětí v místě A dán vzthem [8] / b f b b B KIAt IAt ;, (5.7) kde b 0.54 b B ; b f IAt b b B.464b (5.8) b b B 0.65 b v místě B vzthem kde f IBt K / b f b b B IBt IBt ;, (5.9) b 0. 5 b b B f b ; b B. 0.35b B ;. (5.30) IAt Ve vztzích (5.7) (5.9) oznčuje nominální thové npětí, tj. = F/BW, kde F je zátěžná síl. V přípdě ztížení ohybem je fktor intenzity npětí v nejhlubším místě trhliny A dán vzthem [8] kde f K / b f b b B IAb b IAb ;, (5.3) b ; b B f IAt b ; b B b b B b 0.47b IAb.5 b B, v místě B n povrchu těles kde f IBb K / b f b b B IBb b IBb ; (5.3) (5.33) b b B f b ; b B b b B ;. (5.34) IBt V rovnicích (5.3) (5.33) b oznčuje mximální ohybové npětí, tj. b = 3M/WB, kde M je ohybový moment. Uvedené vzthy jsou pltné pro b/, b/b 0,8, /W 0, L/W. Průběh tvrových funkcí (5.8), (5.30), (5.3) (5.34) je pro dvě elipticity trhliny b/ = 0, b/ = 0,5 grficky znázorněn n obr.5. (pro th) n obr.5.3 (pro ohyb)

84 5. FAKTOR INTENZITY NAPĚTÍ 3,0, TAH OHYB,5,0 f A (b/b;b/ ) f B (b/b;b/ ) bod A: b/ = 0,,0 0,8 bod A: b/ = 0,5 bod B: b/ = 0,5,5 bod A: b/ = 0, 0,6 bod B: b/ = 0,,0 bod A: b/ = 0,5 0,4 bod B: b/ = 0,5 0,5 bod B: b/ = 0, 0, f A (b/b;b/ ) f B (b/b;b/ ) b/b 0,0 0,0 0, 0, 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 b/b 0,0 0,0 0, 0, 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 Obr.5. Grf tvrových funkcí pro těleso Obr Grf tvrových funkcí pro těleso s povrchovou trhlinou (th). s povrchovou trhlinou (ohyb). Z uvedených grfů je zřejmý výrzný vliv způsobu nmáhání n chrkter tvrové funkce: V přípdě thového nmáhání tvrová funkce s rostoucí reltivní hloubkou trhliny b/b v bodech A i B roste funkční hodnoty jsou reltivně velké. V přípdě nmáhání ohybem tvrová funkce s rostoucí reltivní hloubkou trhliny b/b roste pouze v bodě B, ztímco v bodě A klesá funkční hodnoty jsou reltivně nízké.,0 0,9 TAH, OHYB : TRHLINA SE RYCHLEJI ŠÍŘÍ NA POVRCHU 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 elipticit trhliny b/ TAH : TRHLINA SE RYCHLEJI ŠÍŘÍ DO HLOUBKY OHYB : TRHLINA SE RYCHLEJI ŠÍŘÍ NA POVRCHU 0, 0, 0,0 TAH, OHYB : TRHLINA SE RYCHLEJI ŠÍŘÍ DO HLOUBKY hloubk trhliny b / tloušťk těles B 0,0 0, 0, 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9,0 Obr.5.4 Grf znázorňující závislost míst, ve kterém je největší fktor intenzity npětí, n reltivní hloubce trhliny, elipticitě trhliny způsobu nmáhání

85 5. FAKTOR INTENZITY NAPĚTÍ Z hledisk šíření trhliny je důležité, n kterém místě čel trhliny je fktor intenzity npětí největší. Výsledek závisí n elipticitě trhliny b/, reltivní hloubce trhliny b/b n způsobu ztěžování. Řešení této úlohy je znázorněno n obr.5.4 závisí n poloze bodu o souřdnicích (b/b; b/), které chrkterizují rozměry povrchové trhliny, v uvedeném grfu. Mezní křivky vynesené n obr.5.4 odpovídjí tkovým rozměrům povrchové trhliny, při kterých je fktor intenzity npětí v místě A i B pro dný typ ztěžování stejný. 5.5 LOMOVÁ HOUŽEVNATOST 5.5. Úvod Fktor intenzity npětí chrkterizuje stv npjtosti v tělese s trhlinou. Mjí-li těles různých geometrických tvrů, s různě dlouhými trhlinmi, ztížená různým vnějším nmáháním tentýž fktor intenzity npětí, mjí v okolí kořene trhliny i stejný stv npjtosti. Překročí-li fktor intenzity npětí určitou kritickou hodnotu (obecně ozn. K c ), dochází k nestbilnímu šíření trhliny, tj. k nevrtnému procesu, při kterém dojde k rychlému porušení zbylého nosného průřezu těles bez potřeby dlšího zvyšování ztížení či jiného vnějšího dodávání. energie. Hodnotu K c lze vyjádřit pomocí obecného vzthu (4.3), tj. c K c c c f,..., (5.35) W kde c c jsou velikosti vnějšího nominálního npětí, resp. délky trhliny, v okmžiku porušení. Podmínky ztráty stbility trhliny pro jednotlivé módy porušování lze vyjádřit pomo- cí nerovnosti K j K jc (j = I, II, III). (5.36) Etpě nestbilního šíření u tvárných mteriálů obvykle předchází etp stbilního šíření trhliny, během které může s rostoucí délkou trhliny růst nejen fktor intenzity npětí K j, le i lomová houževntost K jc. Podmínku (5.36) je proto třeb doplnit nerovností (viz npř. [39]) K j K jc (j = I, II, III). (5.37) Hodnot K c se nzývá lomová houževntost. Její velikost závisí zejmén n: ) mteriálu těles, b) rozměrech těles, c) teplotě, d) rychlosti deformce, e) gresivitě prostředí

86 5. FAKTOR INTENZITY NAPĚTÍ 5.5. Vliv mteriálu těles Lomová houževntost obecně závisí jk n chemickém složení mtrice, tk i n obshu legujících prvků či nečistot. Npříkld u oceli ČSN 053, ze které se vyrábějí železniční soukolí, bylo prokázáno, že lomová houževntost roste s rostoucím obshem Mn, Ni Mo s klesjícím obshem C V [40]. Obr.5.5 Způsoby odběru zkušebních těles z válcovného polotovru. Lomová houževntost všk závisí nejen n chemickém složení, le i n struktuře mteriálu. Je-li struktur mteriálu polotovru (npř. válcovného) heterogenní, může mít z následek znčnou vribilitu hodnot lomové houževntosti (viz npř. [4], [4], [43]), neboť závisí n místu způsobu odběru zkušebních těles z polotovru - viz obr.5.5. N uvedeném obrázku jsou zkušební těles oznčen symbolem X-Y, kde X = os zkušebního těles (směr ztížení), Y = směr šíření trhliny v tomto tělese; kde X, Y = L ( longitudinl, směr válcování), T ( trnsverse, směr odpovídjící šířce válcovného polotovru), ST ( short trnsverse, směr odpovídjící tloušťce válcovného polotovru). Příkldem může být hliníková slitin 7075-T65 [4], pro kterou byly nměřeny tyto hodnoty lomové houževntosti: K IC = 9,7 MP.m / pro orientci L-T, K IC = 4,5 MP.m / pro orientci T-L K IC = 6,3 MP.m / pro orientci S-T. U těles s orientcí S-T je tedy lomová houževntost o více než 40% menší, než u těles s orientcí L-T. Orientční informci o velikosti hodnot K Ic (tj. lomové houževntosti ve stvu rovinné deformce) u běžných konstrukčních mteriálů podává grf n obr.5.6 (podle [44])

87 5. FAKTOR INTENZITY NAPĚTÍ Z uvedeného obrázku je ptrný obecný trend - čím nižší je mez kluzu mteriálu (v určité třídě, npř. Al-slitin, Ti-slitin, ocelí), tím vyšší je jeho lomová houževntost. Obr.5.6 Orientční hodnoty lomové houževntosti meze kluzu kovových konstrukčních mteriálů Vliv rozměrů těles Závislost lomové houževntosti n rozměrech těles s trhlinou je v rozporu s poždvkem geometrické invrintnosti, obecně kldeném n mechnické prmetry chrkterizující stbilitu defektu (viz 4. kp.). Obr.5.7 Závislost lomové houževntosti K c podílu plochého lomu x/b n tloušťce těles B

88 5. FAKTOR INTENZITY NAPĚTÍ Experimentálně bylo prokázáno, že se hodnot lomové houževntosti může měnit zvláště v závislosti n tloušťce těles. Výsledky, získné n různých mteriálech z různých podmínek, všk nejsou jednoznčné [45]. Nejčstější průběh závislosti lomové houževntosti K c n tloušťce těles B je uveden n obr u těles s mlou tloušťkou bývá lomová houževntost obvykle podsttně vyšší, než u těles s větší tloušťkou (viz npř. [46], [47], [48]). Při větších tloušťkách těles se již lomová houževntost mění jen velmi málo hodnoty K c se symptoticky blíží jisté minimální hodnotě (n obr.5.7 ozn. K Ic ), která předstvuje lomovou houževntost ve stvu rovinné deformce (ngl. plin strin frcture toughness ). Tto hodnot je pro dný mód ztěžování mteriálovou chrkteristikou, nezávislou n rozměrech těles. Pro nlytický popis závislosti K c = K c (B) uvedeného typu jsou v litertuře k dispozici různé empirické vzthy (viz npř. [45], [79] ž [8]). Příkldem může být vzth Irwin [79] 4.4 K Ic K c K Ic, (5.38) B 0. R p grficky znázorněný n obr.5.8 pro dv konkrétní typy konstrukčních slitin. 3 R K p Ic 0. m / VLIV TLOUŠŤKY TĚLESA NA LOMOVOU HOUŽEVNATOST AlCu4Mg K Ic = 34 MP.m /, R p 0, = 39 MP Ti6Al6V,5Sn K Ic = 34 MP.m /, R p 0, = 00 MP K c /K Ic [] 0 tloušťk těles B [mm] Obr Závislost lomové houževntosti K c n tloušťce těles B ve tvru empirického vzthu (5.38) pro dvě konstrukční slitiny: K IC oznčuje lomovou houževntost ve stvu RD, která je mteriálovou, n tloušťce těles nezávislou, konstntou. Průběh závislosti K c = K c (B), uvedený n obr.5.7, bývá fyzikálně zdůvodňován dvěm skutečnostmi:

89 5. FAKTOR INTENZITY NAPĚTÍ ) N rozdíl od těles s větší tloušťkou je u tenkých těles znčně omezen vliv trojososti npětí, což usndňuje plstickou deformci, která trhlinu otupuje. S tím souvisí i změn stvu npjtosti - u těles mlé tloušťky převžuje stv rovinné npjtosti, ve kterém je velikost plstické zóny n čele trhliny si 3x větší, než z jink stejných podmínek ve stvu rovinné deformce, který převládá u těles s větší tloušťkou (viz 6. kp.). Změn stvu npjtosti je provázen změnou mkromorfologie lomové plochy porušeného těles. S klesjící tloušťkou těles roste podíl šikmého lomu klesá podíl lomu plochého, kvntifikovného poměrem x/b - viz obr Podmínkám RN odpovídá šikmý lom, ztímco podmínkám RD lom plochý. b) U těles s různou tloušťkou (resp. obecně různých rozměrů) se upltňuje sttistická teorie nejslbšího článku, tj. s rostoucím objemem mteriálu roste prvděpodobnost výskytu výrznějšího defektu technologického původu, který usndňuje inicici lomu. Obr.5.9 Typický mkroskopický vzhled lomu ve stvu RD RN Je zřejmé, že jev d ) se upltňuje v přípdě houževntých lomů, ztímco jev d b) se upltňuje zejmén u lomů křehkých. Průběh závislosti K c = K c (B), uvedený n obr.5.7, všk nepltí zcel obecně nelze jej povžovt z universální. Při některých experimentálních prcích byl prokázán zcel opčný chrkter této závislosti, tj. pokles lomové houževntosti s klesjící tloušťkou těles (viz npř. [45], [49]), v jiných přípdech nebyl prokázán žádná závislost K c n B (viz npř. [45], [50]). Lomová houževntost může do určité míry záviset i n dlších geometrických chrkteristikách těles, npř. n reltivní délce trhliny /W (viz npř. [48], [5], [5], [53]). Konkrétním příkldem mohou být experimentální výsledky uvedené v práci [5], ze kterých vyplývá, že při /W < 0, je lomová houževntost si o 5% větší než při /W > 0,

90 5. FAKTOR INTENZITY NAPĚTÍ Závislost lomové houževntosti n rozměrech těles hrje význmnou roli zejmén v přípdech, kdy jsme při konstrukčním návrhu nuceni plikovt experimentální dt, získná n tělesech jiných rozměrů či dokonce jiné geometrie. Nznčený problém je podrobněji nlyzován npř. v [54] ž [56]. Z hledisk spolehlivosti výsledků by bylo optimální úplné vyloučení možnosti vlivu rozměrů těles, tj. provádění zkoušek lomové houževntosti přímo n finálních výrobcích. Tento přístup všk je v celé řdě přípdů z prktického, resp. ekonomického, hledisk nereálný Vliv teploty Konkrétní průběh závislosti lomové houževntosti n teplotě závisí zejmén n chemickém složení slitiny [57]. U většiny ocelí, titnových slitin dlších konstrukčních mteriálů s rostoucí teplotou lomová houževntost ( tedy i odolnost vůči křehkému porušení) roste, ztímco mez kluzu obvykle klesá. Důsledkem je, že v přípdě těles bez trhliny s rostoucí teplotou odolnost vůči sttickému porušení klesá, ztímco u těles s trhlinou je tomu nopk. Je zřejmé. že uvedený kvlittivní rozdíl se musí výrzně promítnout do konstrukční filosofie. K nznčenému monotónnímu růstu lomové houževntosti s rostoucí teplotou všk dochází pouze v oblsti nízkých středních teplot, tj. pro T T u, kde T u (ngl. upper shelf temperture ) oznčuje teplotu, při které lomová houževntost doshuje svého mxim. Při dlším zvyšování teploty pk lomová houževntost zčíná nopk klest, neboť se zčíná výrznější měrou upltňovt rostoucí hustot vkncí, což usndňuje kolescenci mikroporuch. Tvorb tvárných důlků, které jsou mikrofrktogrfickým znkem tvárného lomu, se tk stává energeticky méně náročnou. V oblsti T T u lze závislost lomové houževntosti K Ic n teplotě T nlyticky popst pomocí vzthu [58] u K K Ae, (5.39) Ic u kde A [MP.m / ] T B [C, K] jsou mteriálové konstnty K u je mximální hodnot lomové houževntosti, odpovídjící teplotě T u (npř. pro rektorovou ocel A533B byly nměřeny hodnoty T u 80C K u 355 MP.m / [58]). Závěrem tohoto odstvce poznmenejme, že u jiných konstrukčních mteriálů může mít průběh závislosti K Ic (T) zcel odlišný chrkter než u ocelí. Npř. u celé řdy hliníkových či niklových slitin se s klesjící teplotou lomová houževntost buď prkticky nemění nebo dokonce roste (viz npř. souhrnný článek [57]) T B T T

91 5. FAKTOR INTENZITY NAPĚTÍ Vliv prostředí Odolnost vůči ztrátě stbility trhliny závisí i n chemickém složení vlstnostech prostředí, ve kterém je těleso s trhlinou vystveno mechnickému ztížení. Ke snížení lomové houževntosti může v některých přípdech přispět gresivní prostředí, jehož účinkem dochází ke korozi, vodíkovému zkřehnutí pod., neutronové záření, vyvolávjící rdiční zkřehnutí konstrukčních mteriálů (viz npř. [4]) pod Vliv rychlosti ztěžování Lomová houževntost obecně závisí n rychlosti ztěžování d/dt, resp. rychlosti deformce d/dt. Se zvětšující se rychlostí ztěžování se zvětšuje i rychlost růstu fktoru intenzity npětí K, tj. dk/dt (kde t oznčuje čs). Při klsických lbortorních zkouškách lomové houževntosti ztěžujeme těles obvykle kvzistticky, čemuž odpovídá přibližně dk I /dt = MP.m l/.s -l. V prxi jsou všk rychlosti ztěžování čsto o několik řádů vyšší - npř. u podvozků letdel dk I /dt = 0 4 MP.m l/.s -l, u vojenských zřízení při explozi či nárzu projektilu dk I /dt = 0 0 MP.m l/.s -l pod. [59]. Pro prktické použití se proto rozlišuje: ) lomová houževntost při kvzisttickém ztěžování K Ic (pro dk I /dt 0 0 MP.m l/.s -l ), b) lomová houževntost při rychlém ztěžování K Ic () (pro dk I /dt (0 ž 0 4 ) MP.m l/.s -l, c) lomová houževntost při dynmickém ztěžování K Id (pro dk I /dt 0 5 MP.m l/.s -l ). Citlivost n rychlost ztěžování může být u jednotlivých konstrukčních mteriálů výrzně odlišná. Ztímco u některých slitin lomová houževntost n rychlosti ztěžování prkticky nezávisí, u jiných lomová houževntost s rostoucí rychlostí ztěžování výrzně klesá. Dosud jsme předpokládli "stojící" trhlinu (tj. trhlinu délky = konst) s čsem nrůstjící ztížení, tj. d/dt 0. Teoretické či experimentální výsledky, získné z uvedených předpokldů, nelze obecně plikovt při řešení příkldu opčného, tj. přípdu trhliny, pohybující se při konstntním ztížení, tj. d/dt 0 = konst. [60]. Úlohmi, ve kterých se bere v úvhu pohyb trhliny, se zbývá speciální prtie lomové mechniky, která se nzývá dynmik lomu - viz npř. [6], [8]

92 5. FAKTOR INTENZITY NAPĚTÍ Stnoveni přípustných technologických, konstrukčních či provozních prmetrů Je zřejmé, že se změny lomové houževntosti v důsledku výše uvedených vlivů promítnou do úrovně přípustných npěti, velikosti přípustných defektů pod. Orientční předstvu o tom poskytuje obr.5.30, ve kterém je grficky znázorněn závislost nejvýše přípustného vnějšího npětí n délce trhliny (resp. obecněji n velikosti defektu) pro dvě různé úrovně K Ic. Uvžujeme-li pro jednoduchost nekonečné těleso, pltí K Ic K Ic, resp. (5.40) Uvedené závislosti je třeb vzít v úvhu jk při dimenzování konstrukcí n poždovné ztížení, tk i při formulování kvlittivních i kvntittivních poždvků n defektoskopickou kontrolu mteriálu c zvolená délk trhliny zvolené npětí [MP] K IC = 60 MP.m / c c [mm ] K IC = 30 MP.m / Obr.5.30 Vzth mezi mximálně přípustným npětím délkou trhliny ilustrční příkld pro dvě různé hodnoty lomové houževntosti K Ic. c Měření lomové houževntosti ve stvu rovinné deformce Postup při experimentálním zjišťování lomové houževntosti v podmínkách rovinné deformce je u nás (ČSN [6]), obdobně jko v jiných zemích (viz npř. ASTM [63], [64], [65], [66], [67] pod.), normlizován. Zkoušky lomové houževntosti se v souldu s normou [6] provádějí n tělesech dvou zákldních typů, ozn. A B - viz obr

93 5. FAKTOR INTENZITY NAPĚTÍ Obr.5.3 Zkušební těleso typu A (3PB) nmáhné tříbodovým ohybem. Obr.5.3 Zkušební těleso typu B (CT) nmáhné excentrickým them. Ve speciálních přípdech se v prxi používjí i zkušební těles jiné geometrie. Zkušební těleso typu A (v litertuře obvykle oznčovné 3PB) je při zkoušce nmáháno trojbodovým ohybem (viz obr.5.3); zkušební těleso typu B (v litertuře obvykle oznčovné CT) je nmáháno excentrickým them (obr.5.3). Ob typy zkušebních těles jsou optřeny jednostrnným vrubem, který může být buď přímý (obr.5.33) nebo lomený (obr.5.34). Lomený vrub (ngl. chevron notch ) je výhodný zvláště u těles větších tlouštěk (B 5 mm), neboť jeho použití eliminuje možnost inicice trhliny n rohu těles, ke které u přímého vrubu čsto dochází

94 5. FAKTOR INTENZITY NAPĚTÍ Obr.5.33 Přímý vrub v tělese. Obr.5.34 Lomený vrub v tělese. Rozměry stndrdních zkušebních těles musí vyhovovt jistým poždvkům, jejichž splnění je nezbytné pro zchování podmínek rovinné deformce n čele trhliny. Zákldní podmínky lze vyjádřit ve tvru nerovností,5 K Ic B, 0, Rp,5 K Ic, (5.4) 0, Rp,5 K Ic W. 0, Rp Podmínky (5.4) vyplývjí z empiricky stnoveného poždvku, by odpovídjící velikost plstické zóny r p * před čelem trhliny ve stvu rovinné deformce, která je dle vzthu (6.6) rovn K Ic r p, byl lespoň 50x menší, než příslušný geometrický prmetr B,, 6 0, Rp resp. (W - ). V tb.5. jsou uvedeny některé konkrétní údje, týkjící se poždvku n minimální tloušťku zkušebního těles B min podle vzthu (5.4). Z uvedených údjů je zřejmé, že u mteriálů s velmi nízkou mezí kluzu vysokou lomovou houževntostí lze předepsnou podmínku v prxi splnit jen velmi obtížně. U mteriálů těchto vlstností se obvykle lomová houževntost zjišťuje jiným způsobem - viz npř. kp Osttní rozměry stndrdních zkušebních těles obou typů jsou odvozeny od tloušťky B - npř. šířk těles W = B pod. [6]. Ve speciálních přípdech, ve kterých by stndrdně stnovené rozměry zkušebních těles byly z prktického hledisk nevhodné, se vzájemný poměr jednotlivých rozměrů volí jiný (npř. u těles typu A: 0,5W B W, u těles typu B: 0,5W B 0,5W pod.)

95 5. FAKTOR INTENZITY NAPĚTÍ Tbulk 5. Minimální tloušťk zkušebních těles pro měření K Ic. S L I T I N A R p 0, [MP] K Ic [MP.m l/ ] B min [mm] mrtenzitická ocel 96 56, ustenitická ocel uhlíktá ocel Ti6Al4V AlZn6MgCu ,3 AlCu4Mg Kompozity WC-Co ,7 PMMA 30,8 Vruby ve zkušebních tělesech jsou iniciátory únvových trhlin, které se před vlstní zkouškou lomové houževntosti vytvoří cyklickým ztěžováním. Při zkoušce lomové houževntosti by se tyto skutečné trhliny, předstvující velmi ostrý defekt, neměly nhrzovt trhlinmi umělými (tj. vruby), neboť nměřená hodnot K Ic výrzně závisí n poloměru zoblení kořene defektu [85],[86]. Příkldem mohou být výsledky zkoušek těles z hliníkové slitiny 778 [83], při kterých bylo prokázáno, že zvýšení poloměru zoblení kořene umělé trhliny z hodnoty = 0, mm n = mm vedlo k více než dvojnásobnému zvýšení formálně stnovené hodnoty K Ic. Je zřejmé, že nekritická plikce tkto stnovené hodnoty v prxi by mohl mít velmi negtivní následky. Cyklické ztěžování, kterým je vytvářen únvová trhlin, musí splňovt podmínku, by mximum fktoru intenzity npětí K mx (odpovídjící mximální síle v cyklu F mx ) nepřesáhlo hodnotu 0,75.K Ic (ve stdiu inicice šíření v lomeném vrubu), resp. hodnotu 0,6.K Ic (ve stdiu šíření únvové trhliny mimo tento vrub). Doporučená hodnot prmetru symetrie cyklu R = F min /F mx je 0, ž 0,5. Podrobnější nlýz vlivu K mx R n nměřené hodnoty lomové houževntosti je proveden v [68]. Celková délk ncyklovné únvové trhliny má podle [6] splňovt podmínku 0,45 /W 0,55. Uvedený poždvek souvisí s podmínkmi (5.4). Obr.5.35 Sponový snímč n měření COD. Obr Odporový můstek

96 5. FAKTOR INTENZITY NAPĚTÍ Při vlstní zkoušce lomové houževntosti je snímán závislost zátěžné síly F n rozevření trhliny v (tj. COD - viz 9. kp.). Signál odpovídjící síle F je veden n zpisovč přímo z měřícího elementu ztěžovcího zřízení nebo z tenzometru n ztěžovcím příprvku. Příkld nejčstěji používného snímče rozevření trhliny je uveden n obr Jde o sponový snímč, n jehož plnžetách jsou umístěny čtyři tenzometry, zpojené do můstku (obr.5.36). Obr.5.37 Závislost zátěžné síly F n rozevření trhliny v způsob stnovení kritické hodnoty F Q při měření lomové houževntosti. V prxi se vyskytuje závislost zátěžné síly F n rozevření trhliny v třech zákldních typů (obr.5.37) [6]. Nelineární zčátek záznmu, odpovídjící uszování snímče, se znedbá. Průsečíkem lineární části záznmu s osou rozevření trhliny v se vede přímk, svírjící s osou v úhel, jehož tngent je o 5% menší, než tngent lineární části záznmu F = F(v). Průsečík záznmu závislosti F = F(v) s tkto definovnou přímkou je oznčen F 5. Velikost síly F Q, ze které se počítá lomová houževntost, se určuje u jednotlivých typů závislosti F = F(v) tkto: ) typ I F Q = F 5, b) typ II F Q = síl, při které dochází n grfu závislosti F = F(v) k prodlevě, c) typ III F Q = síl při porušení těles, tj. mximum síly n záznmu F = F(v). Pro výpočet lomové houževntosti je dále nezbytné stnovit délku trhliny, odpovídjící rozhrní mezi únvovou sttickou částí lomu. Čelo trhliny obvykle nemívá tvr přímky, le rovinné či prostorové křivky. V blízkosti bočních povrchů bývá trhlin nejkrtší uprostřed těles nejdelší - viz npř. obr N uvedeném snímku jsou zchyceny lomové plochy zkušebních těles typu B (tj. CT), porušených při zkoušce lomové houževntosti. Tto zkušební těles z hliníkové slitiny AlCu4Mg měl tloušťku B = 50, 35, 5, 8,, 8 5 mm. U všech zkušebních těles je v dolní části ptrný lomený vrub (viz též obr.5.34), který byl iniciátorem únvového lomu, ncházejícího se ve střední části snímku. Nhoře se nchází

97 5. FAKTOR INTENZITY NAPĚTÍ tvárný dolom, který vznikl při vlstní zkoušce lomové houževntosti. N obrázku jsou ptrná rozhrní mezi únvovou sttickou částí lomu. Tvr těchto rozhrní (tj. čelo trhliny) lze proximovt npř. částí elipsy, částí prboly nebo kruhovým obloukem, jehož poloměr r přibližně odpovídá tloušťce těles B [69], [70], tj. r B (viz obr.5.39). Obr.5.38 Lomové plochy CT těles ze slitiny AlCu4Mg porušených při zkoušce lomové houževntosti Slitin AlCu4Mg, těles typu CT r = B r [mm] 0 0 B [mm] Obr.5.39 Korelce mezi poloměrem zoblení čel trhliny r tloušťkou těles B. Plnou črou je znázorněn regresní křivk, čárkovně přímk r = B

98 5. FAKTOR INTENZITY NAPĚTÍ Z uvedených pozntků je zřejmé, že způsob měření délky trhliny je třeb smluvně definovt. Podle ČSN [6] se délk trhliny, kterou použijeme pro výpočet lomové houževntosti, stnoví pomocí vzthu 3, (5.4) 3 kde hodnoty l,, 3 odpovídjí mkrofrktogrficky stnovené délce trhliny v /4, / 3/4 tloušťky těles B - viz obr (otázce optimlizce počtu měření je věnován npř. práce [7]). Žádné dvě z nměřených hodnot l, 3 se přitom nesmějí lišit o více než,5% W, tj. i - j 0,05W pro i, j =,, 3, žádné dvě libovolné délky trhliny, odpovídjící dnému čelu, se nesmějí lišit o více než 5% W (tto podmínk bývá kritická zvláště při porovnávání délky trhliny n povrchu uprostřed těles). Obr.5.40 Frktogrfické stnovení délky trhliny. Úhel mezi rovinou únvové trhliny rovinou vrubu má být menší než 5 (obr.5.4) dále nesmí dojít k větvení trhliny [6]. Obr.5.4 Povolený odklon roviny únvového lomu od původní roviny vrubu

99 5. FAKTOR INTENZITY NAPĚTÍ Provizorní hodnot lomové houževntosti (ozn. K Q ) se vypočte ) v přípdě zkušebního těles A (tříbodový ohyb, 3PB) v souldu s normou ČSN [6] pomocí tvrové funkce (5.4) pro L = W (viz obr ), tj , 75,33 43,59 9, 5,79 W W W W W BW L F K Q Q (5.43) nebo (podle norem ASTM [63] [67]) pomocí vzthu 3 3,7 3,93,5,99 3 W W W W W W W BW L F K Q Q, (5.44) b) v přípdě zkušebního těles typu B (excentrický th, CT) dle ČSN [6] pomocí vzthu , ,7 85,5 9,6 W W W W W BW F K Q Q (5.45) nebo (podle norem ASTM [63] [67]) pomocí vzthu , 4,7 3,3 4,64 0,886 W W W W W W BW F K Q Q. (5.46) Jsou-li pro tkto stnovenou hodnotu K Q splněny předpokldy (5.4), tj. 0,,5. p Q R K B, 0,,5. p Q R K, 0,,5. p Q R K W, pk lomová houževntost ve stvu rovinné deformce K Ic = K Q. Není-li tomu tk, je třeb při dlších experimentech zvětšit příslušné rozměry zkušebních těles. Uvedená klsická metod experimentálního určování lomové houževntosti ve stvu rovinné deformce K Ic je čsově i finnčně poměrně náročná. Objevují se proto snhy o vývoj nových, jednodušších experimentálních postupů, které by tuto nevýhodu eliminovly. Tyto lterntivní postupy vycházejí npř. z křivek závislosti npětí - deformce [7], závislosti npětí - čs při jednoosé thové zkoušce [73], závislosti mezi lomovou vrubovou houževntostí pod. Jinou možností je použití speciálních nástrojů [74],[84], umožňujících porušení vrubovných zkušebních těles reltivně mlých rozměrů, podrobněji specifikovných v normě [64], pouhou lidskou silou, tj. bez použití složitého ztěžovcího strojního zřízení.

100 5. FAKTOR INTENZITY NAPĚTÍ Příkld 5.3 Vyhodnocení výsledků měření lomové houževntosti. Při zkoušce lomové houževntosti konstrukční slitiny AlCu4Mg tělese typu CT (viz obr.5.3) šířky W = 50 mm tloušťky B =,5 mm byl nměřen kritická velikost síly F Q = 9,05 kn. Při následné frktogrfické nlýze lomové plochy porušeného těles byl zjištěn průměrná délk trhliny = 5 mm. Smluvní mez kluzu dného mteriálu je R p 0, = 390 MP. Po doszení do z F Q,, W B do vzthu (5.46) dostáváme provizorní hodnotu lomové houževntosti K Q = 3,8 MP.m /. Z empirických podmínek zchování stvu rovinné deformce (5.4) vyplývá poždvek, by tloušťk těles B byl větší než minimální hodnot Z nerovnosti B min KQ 3,8,5,5 0,0608 m 6,08 mm. Rp 0, 390 B =,5 mm < B min = 6,08 mm je tedy zřejmé, že stnovenou hodnotu K Q = 3,8 MP.m / nelze povžovt z lomovou houževntost ve stvu rovinné deformce K Ic. Z obecného chrkteru závislosti lomové houževntosti n tloušťce těles (viz npř. obr ) vyplývá jednostrnný odhd K Ic K Q 3,7 MP. m Z výsledků experimentu jejich nlýzy je zřejmé, tloušťk těles B =,5 mm je příliš mlá nesplňuje podmínku (5.4) stvu RD, tj. pltí nerovnost.5 K Ic B, 0, R p ze které vyplývá B 0,05 / K Ic Rp 0, 390 7,58 MP. m.,5,5 N zákldě výsledků experimentu výše uvedených odhdů tedy lze konsttovt, že lomová houževntost dného mteriálu ve stvu rovinné deformce K Ic.bude ležet v intervlu / (7,58 K Ic 3,7) MP. m. /. L I T E R A T U R A K 5. K A P I T O L E [] KNOTT,J.F.: Fundmentls of Frcture Mechnics. London, Butterworth 973, 67 p. [] ZEMÁNKOVÁ,J.: Technická mechnik I. Úvod do lomové mechniky. (Skript ČVUT-FJFI.) Prh, ES ČVUT 98, 3 s. [3] SIH,G.C.. Hndbook of Stress Intensity Fctors. Bethlehem, PA., Lehigh University 973. [4] OWEN,D.R.J. - FAWKES,A.J.: Engineering Frcture Mechnics. Numericl Methods nd Applictions. Swnse, Pineridge Press Ltd. 983, 305 p

101 5. FAKTOR INTENZITY NAPĚTÍ [5] CHAN,S.K. - TUBA,I.S. - WILSON,W.K.: On the Finite Element Method in Liner Frcture Mechnics. Engng Frcture Mech.,, 970, No. pp.-7. [6] TRACEY,D.M.: Finite Elements for Determintion of Crck Tip Elstic Stress Intensity Fctors. Engng Frcture Mech., 3, 97, No.3, pp [7] CARPENTER,W.C.: Extrpoltion Techniques for Determining Stress Intensity Fctors. Engng Frcture Mech., 8, 983, No., pp [8] WALSH,P.F.: Liner Frcture Mechnics Solutions for Zero nd Right Angle Notches. CSIRO Aust. Div. Bldg Res. Tech. Pp. (Second Series), 974, No., pp.l-6. [9] KNÉSL,Z.: Stnovení hodnot fktoru intenzity npětí při kombinovném nmáhání pomocí hncí síly trhliny. Strojírenství, 38, 988, č.3, s [0] SUBRAMANIAN,A. - CHANDRA,R. - MURTHY,M.V.V. - RAO,A.K.: Photoelstic Determintion of Stress Intensity Fctors in Ptched Crcked Pltes. Engng Frcture Mech., 8, 983, No., pp [] OLADIMEJI,M.K.: Photoelstic Anlysis of Prcticl Mode I Frcture Test Specimens. Engng Frcture Mech., 9, 984, No.4, pp [] MURTHY,N.S. - RAO,P.R.: Photoelstic Prmetric Studies of Mode I Stress Intensity Fctors. Engng Frcture Mech.,, 985, No.3, pp [3] WANG,W.CH. - CHEN,T.L.: Hlf-Fringe Photoelstic Determintion of Opening Mode Stress Intensity Fctor for Edge Crcked Strips. Engng Frcture Mech., 3, 989, No., pp.-. [4] KAZEMI,A.D.A. - MURTHY,N.S.: Stress Intensity Fctor Determintion of Rdilly Crcked Circulr Rings Subjected to Tension Using Photoelstic Technique. Engng Frcture Mech., 3, 989, No.3, pp [5] JAYARAMA RAO,G. - NARAYANAN,R.: Photoelstic Anlysis of Mode I Stress Intensity Fctor by Two-Prmeter Method. Engng Frcture Mech., 33, 989, No.5, pp [6] SHUKLA,A. - AGARWAL,B.D. - BHUSHAH,B.: Determintion of Stress Intensity Fctor in Orthotropic Composite Mterils Using Strin Gges. Engng Frcture Mech., 3, 989, No.3, pp [7] MIYAKE,S. - NAWA,Y. - KONDO,Y. - ENDO,T.: Appliction of the K-Gge to Aircrft Structurl Testing. In: Aeronuticl Ftigue in the Electronic Er (Proc. 5 th ICAF, Jeruslem). Ed. A.Berkovits. Crdley Heth, EMAS 989, pp [8] KONDO,Y.: Stress Intensity Fctor Mesurement under Service Conditions Using the K-guge. In: Frcture Mechnics. Current Jpnese Mterils Reserch Vol.8. Eds. H.Okmur, nd K.Ogur. London nd New York, Elsevier Appl. Sci. 99, pp [9] KUANG,J.H. - CHEN,L.S.: A Single Strin Gge Method for K I Mesurement. Technicl Note. Engng Frcture Mech., 5, 995, No.5, pp [0] SOMMER,E.: Experimentl Methods for the Determintion of Stress Intensity Fctors under Vrious Loding Conditions. In: Prospects of Frcture Mechnics. Ed. Sih, Elst nd Broek. Leyden, Noordhoff Intern. Publ. 974, pp

102 5. FAKTOR INTENZITY NAPĚTÍ [] HUNG,P.-CH. - VOLOSHIN,A.S.: Experimentl Determintion of Stress Intensity Fctors for Plne Strin nd Plne Stress. In: Recent Advnced in Experimentl Mechnics. Eds. S.Gomes et l. Rotterdm, Blkem 994, pp [] HADRBOLETZ,A. - CHEN,D.L. - WEISS,B. - STICKLER,R.: Experimentl K- clibrtion of Ellipticl Surfce Crcks Under Bending. Engng Frcture Mech., 44, 993, No.3, pp [3] HADRBOLETZ,A. - CHEN,D.L. - WEISS,B. - STICKLER,R.: Experimentl K- clibrtion for Surfce Flws Under Bending for Different Mterils nd Stress Rtios. Engng Frcture Mech., 49, 994, No.3, pp [4] SCHIJVE,J.: Comprison between Empiricl nd Clculted Stress Intensity Fctors of Hole Edge Crcks. Engng Frcture Mech.,, 985, No., pp [5] RŮŽEK,R.: Tvrová funkce pro výpočet součinitele intenzity npětí v tělese s jednostrnnou okrjovou trhlinou uchyceném v pevných čelistech zkušebního stroje AMSLER (Výzkumná zpráv). Prh, VZLÚ 99, 5 s. [6] TADA,H. - PARIS,P. - IRWIN,G.: The Stress Anlysis of Crck Hndbook. Hellertown, PA., Del Reserch Co [7] ROOKE,D.P. - CARTWRIGHT,D.J. Compendium of Stress Intensity Fctors. London, Her Mjesty s Sttionery Office 976. [8] MURAKAMI,Y.: Stress Intensity Fctors Hndbook. Oxford, Pergmon Press 987, 456 p. [9] ASTM Stndrd E Stndrd Test Method for Mesurement of Ftigue Crck Growth Rtes. 99. In: Annul Book of ASTM Stndrds, pp [30] ISIDA,M.: Effect of Width nd Length on Stress Intensity Fctors of Internlly Crcked Pltes under Vrious Boundry Conditions. Int. J. Frcture Mech., 7, 97, No.3, pp [3] KARLSSON,A. - BÖKLUND,J.: Summry of SIF Design Grphs for Crcks Emnting from Circulr Holes. Int. Journ. of Frcture, 4, 978, No.6, pp [3] WAN,K.C. - CHEN,G.S. - GAO,M. - WEI,R.P.: On the Conventionl K Clibrtion Equtions for Single-Edge-Crcked Tension Specimens. Technicl Note. Engng Frcture Mech., 54, 996, No., pp [33] HARRIS,D.O.: Stress Intensity Fctors for Hollow Circumferentilly Notched Round Brs. J. Bs. Engng, Trns. ASME, Series D, B9, 967, No., pp [34] PERL,M. - ORE,E.: Effect of Geometry nd Poisson Rtio on Stress-Intensity Fctors in SEN Specimen under Fixed-Grip Conditions. Engng Frcture Mech., 3, 986, No.5, pp [35] SHMUELY,M. - PERL,M.: The SMFD Code for Proper Simultion of Crck Propgtion. Crck Arrest Methodology nd Applictions, ASTM STP 7. ASTM 980, pp [36] TORVIK,P.J.: On the Determintion of Stresses, Displcements, nd Stress-Intensity Fctors in Edge-Crcked Sheets with Mixed Boundry Conditions. Trns. ASME, J. Appl. Mech., 46, 979, Sept., pp [37] MARCHAND,N. - PARKS,D.M. - PELLOUX,R.M.: K I -Solutions for Single Edge Notch Specimens under Fixed End Displcements. Int. J. Frcture, 3, 986, pp

103 5. FAKTOR INTENZITY NAPĚTÍ [38] NALLATHAMBI,P. - KARIHALOO,B.L.: Stress Intensity Fctor nd Energy Relese Rte for Three-Point Bend Specimens. Engng Frcture Mech., 5, 986, No.3, pp [39] WOOD,H.A. - ENGLE,R.M.Jr.. USAF Dmge Tolernt Design Hndbook. Guidelines for the Anlysis nd Design of Dmge Tolernt Aircrft. (Technicl Report AFFDL- TR ) Air Force Flight Dynmic Lbortory (AFFDL/FBE), Wright Ptterson AFB, Ohio 45433, 979. [40] KUNZ,J. - SIEGL,J. - NEDBAL,I.: Sledování vlivu mteriálových geometrických fktorů n hodnotu lomové houževntosti oceli jkosti R7T. (Výzkumná zpráv V- KMAT-379/93.) Prh, ČVUT-FJFI-KMAT 993, 30 s. [4] HERTZBERG,R.W.: Deformtion nd Frcture Mechnics of Engineering Mterils. nd Ed. New York, John Wiley nd Sons 983, 700 p. [4] BROWN,K.R.: Fctors Influencing the Frcture Toughness of High Strength Aluminium Alloys. In: Strength of Metls nd Alloys. (Proc. ICSMA 6, Melbourne.) Ed. R.C.Gifkins, Vol.3, Oxford, Pergmon Press 98, pp [43] KAUFMAN,J.G. - NELSON,F.G. - WYGONIK,R.H.: Lrge Scle Frcture Toughness Tests of Thick Plte nd 583 Welded Pnels t Room Temperture, -60 nd -30F. Ftigue nd Frcture Toughness Cryogenic Behvior. ASTM STP 556. ASTM 974, pp [44] FUCHS,H.O. - STEPHENS,R.I.: Metl Ftigue in Engineering. st Ed. New York, John Wiley nd Sons 980, 38 p. [45] WALLIN,K.: The Size Effect in K Ic Results. Engng Frcture Mech.,, 985, No., pp.l [46] BURIAN,P.: Vliv stvu npjtosti n odolnost hliníkové slitiny ČSN proti porušení "křehkým" lomem. Zprvodj VZLÚ, 98, č.6 (50), s [47] LAI,M.O. - FERGUSON,W.G.: Effect of Specimen Thickness on Frcture Toughness. Engng Frcture Mech., 3, 986, No.4, pp [48] NEVALAINEN,M. - WALLIN,K.: The Effect of Crck Depth nd Absolute Thickness on Frcture Toughness of 3PB Specimens. In: Structurl Integrity: Experiments-Models- Applictions. (Proc. ECF 0, Berlin). Eds. K.-H.Schwlbe nd C.Berger, Vol.II, Crdley Heth, EMAS 994, pp [49] GURUMOORTHY,B. - KIRCHNER,H.O.K. - PRINZ,F.B. - SINCLAIR,G.B.: Thickness Effects My Not Do Wht You Think They Do. Engng Frcture Mech., 9, 988, No.6, pp [50] SULLIVAN,A.M. - STOOP,J. - FREED,C.N.: The Influence of Sheet Thickness upon the Frcture Resistnce of Structurl Aluminum Alloys. Wshington, Nvl Reserch Lbortory 97, p. [5] LI,Q. - HU,S. - PAN,X.: Effects of Crck Depth nd Shpe on Frcture Toughness in Spring Steel. Engng Frcture Mech., 36, 990, No.l, pp.-7. [5] ZHANG,D.Z. - XIAO,Y.J. - JU,Q.H.: On the Effect of the Rtio /W on the Vlue of K Ic in High Strength Steel. Technicl Note. Engng Frcture Mech., 36, 990, No.5, pp

104 5. FAKTOR INTENZITY NAPĚTÍ [53] LI,Q. - HU,S. - ZHONG,B. - WEI,J.: A Further Study About the Crck Depth nd Shpe On Frcture Toughness. Engng Frcture Mech., 39, 99, No., pp.9-7. [54] SINCLAIR,G.B. - CHAMBERS,A.E.: Strength Size Effects nd Frcture Mechnics. Wht Does the Physicl Evidence Sy? Engng Frcture Mech., 6, 987, No., pp [55] MUNZ,D.: Letter to the Editor. Comment on Strength Size Effects nd Frcture Mechnics. Wht Does the Physicl Evidence Sy? Engng Frcture Mech., 3, 988, No.3, pp [56] PETROSKI,H.J.: Size Effects in Frcture Mechnics. Implictions for Fst Rector Subssembly Anlysis nd Sfety. Theoret. Appl. Frct. Mech.,, 984, No., pp [57] CAMPBELL,J.E.: Frcture Toughness of High Strength Alloys t Low Temperture A Review. Ftigue nd Frcture Toughness Cryogenic Behvior. ASTM STP 556. ASTM 974, pp.3-5. [58] LI YU-DE: Technicl Note. An Explntion of the Reltionship of Frcture Toughness to Temperture in the Rnge from Upper Shelf to First Phse Trnsformtion. Engng Frcture Mech., 43, 99, No., pp [59] HOLZMANN,M.: Součsný stv nové pozntky při sttickém dynmickém ztěžování těles s trhlinmi. In: Pokroky v plikci lomové mechniky II. Brno, Čs. věd. spol. pro nuku o kovech ČSAV 989, s [60] BROEK,D.: Elementry Engineering Frcture Mechnics. 4th Ed. Dordrecht, Mrtinus Nijhoff Publishers 987, 56 p. [6] NĚMEC,J. - ZEMÁNKOVÁ,J. - MACHOVÁ,A. - BREPTA,R.: Dynmik lomu. Studie ČSAV č.9/86. Prh, Acdemi 986, 0 s. [6] ČSN Návrh. Zkoušení kovů. Zkoušk lomové houževntosti K Ic při rovinné deformci [63] ASTM Stndrd E Stndrd Test Method for Plne-Strin Frcture Toughness of Metllic Mterils. 99. In: Annul Book of ASTM Stndrds, pp [64] ASTM Stndrd E Stndrd Test Method for Plne-Strin (Chevron Notch) Frcture Toughness of Metllic Mterils. 99. In: Annul Book of ASTM Stndrds, pp [65] ASTM Stndrd B Stndrd Prctice for Plne-Strin Frcture Toughness Testing of Aluminum Alloys. 99. In: Annul Book of ASTM Stndrds, pp [66] ASTM Stndrd B Stndrd Prctice for Frcture Toughness of Aluminum Alloys. 99. In: Annul Book of ASTM Stndrds, pp [67] ASTM Stndrd E Stndrd Test Method for Mesurement of Frcture Toughness In: Annul Book of ASTM Stndrds, pp [68] STEFFEN,A.A. - PACKMAN,P.F. - DAWES,M.G.: The Effect of Precrcking Vribles R nd K fmx on Frcture Toughness. In: Advnces in Frcture Reserch Proc. ICF 7, Houston.) Eds. K.Slm et l., Vol., Oxford, Pergmon Press 989, pp [69] KUNZ,J.: Frktogrfické studium šíření únvových trhlin. (Kndidátská disertční práce.) Prh, ČVUT - fkult jderná fyzikálně inženýrská 983, 8 s

105 5. FAKTOR INTENZITY NAPĚTÍ [70] FORSYTH,P.J.E.: A Unified Description of Micro nd Mcroscopic Ftigue Crck Behviour. Int.J.Ftigue, 5, 983, No., pp.3-4. [7] BHATTACHARYA,S. - KUMAR,A.N.: A Study on the Offset Mesurement Numbers for Averge Crck Size Estimtion in Ellipticl Crck Front. Engng Frcture Mech., 49, 994, No., pp [7] FARAHMAND,B. - BOCKRATH,G.E.: A Theoreticl Approch for Evluting the Plne Strin Frcture Toughness of Ductile Metls. Engng Frcture Mech., 53, 996, No.6, pp [73] HUNG-KUK OH: Determintion of Frcture Toughness by Unixil Tensile Test. Engng Frcture Mech., 55, 996, No.5, pp [74] Anon.: New Test Cuts Cost of Mesuring K Ic. Advnced mterils & Processes, 4, 99, No.3, p.9. [75] FÜHRING,H.: Approximtion Functions for K-fctors of Crcks in Notches. Int. Journ. of Frcture, 9, 973, pp [76] PASTRAMA,S.D. - de CASTRO,P.M.S.T.: Stress Intensity Fctors for Crcks Strting t Rivet Holes. [Report ADMIRE-TR--3/35.F-.0/IDMEC.] University Politehnic of Buchrest IDMEC Porto 00, 49 p. [77] ISIDA,M.: Stress-Intensity Fctors for the Tension of n Eccentriclly Crcked Strip. Trns. ASME, Ser. E, J. Appl. Mech., 33, 966, pp [78] PASTRAMA,S.D. - de CASTRO,P.M.S.T.: Stress Intensity Fctor Computtion Using the Compounding Method. [Report ADMIRE-TR--3/35.F-.0/IDMEC.] University Politehnic of Buchrest IDMEC Porto 00, 3 p. [79] IRWIN,G.R.: Frcture Mode Trnsition for Crck Trversing Plte. J. Bsic Engng ASME, 8, 960, pp [80] SCHWALBE,K.-H.: Influence of Stress Stte on Sttic Crck Growth in AlZnMgCu0,5. Engng Frcture Mech., 9, 977, pp [8] BURIAN,P.: Vliv stvu npjtosti n odolnost hliníkové slitiny ČSN 4403 proti porušení křehkým lomem. Zprvodj VZLÚ, 6(50), 98, s [8] HAO,S. - LIU,W.K. - KLEIN,P.A. - ROSAKIS,A.J.: Modeling nd Simultion of Intersonic Crck Growth. Int. J. Solids Struct., 4, 004, pp [83] POOK,L.P.: Liner Elstic Frcture Mechnics for Engineers: Theory nd Applictions. Southmpton, Boston, WIT Press 000, 54 p. [84] WANG,J.A. - LIU,K.C. - McCABE,D.E. - DAVID,S.A.: Using Torsionl Br Testing to Determine Frcture Toughness. Ftigue Frct. Engng Mt. Struct., 3, 000, No., pp [85] AKOURRI,O. - LOUAH,M. - KIFANI, A. - GILGERT,G. - PLUVINAGE,G.: The Effect of Notch Rdius on Frcture Toughness J IC. Engng Frcture Mech., 65, 000, No.4, pp [86] ELAYACHI,I. - PLUVINAGE,G. - BENSALAH,M.O. - LEBIENVENU,M. - DLOUHÝ,I.: To Joint Effect of Temperture nd Notch Root Rdius on Frcture Toughness. Engineering Mechnics,, 005, No., pp

106 6. PLASTICKÁ ZÓNA NA ČELE TRHLINY 6. PLASTICKÁ ZÓNA NA ČELE TRHLINY 6. VELIKOST A TVAR PLASTICKÉ ZÓNY V PODMÍNKÁCH ROVINNÉ NAPJATOSTI A ROVINNÉ DEFORMACE Řešení pole npětí v okolí čel trhliny, kterému byl věnován 4. kpitol, bylo odvozeno z předpokldu čistě elstického chování mteriálu. Z výsledných nlytických vzthů pro výpočet složek tenzoru npětí (viz npř. obecný vzth (3.48)) je zřejmé, že v blízkém okolí čel trhliny dochází k výrzné koncentrci npětí, která by v důsledku závislosti ij r -/ v limitním přípdě r 0 vedl k tzv. npěťové singulritě ij. Tento závěr všk není z fyzikálního hledisk přijtelný. Ve skutečnosti kovové mteriály vykzují mez kluzu, která omezuje pltnost předpokldu elsticity. V místě koncentrce npětí dochází k překročení meze kluzu, jehož důsledkem je vznik lokální plstické deformce v okolí čel trhliny. V této oblsti, tj. v tzv. plstické zóně n čele trhliny, jsou složky npětí menší (problém singulrity tk odpdá) složky deformce větší, než by odpovídlo čistě elstickému řešení - obdobně jko v přípdě konstrukčních vrubů - viz obr Je zřejmé, že stv npjtosti v tělese bude do znčné míry ovlivněn velikostí plstické zóny n čele trhliny. Rozměry tvr plstické zóny se určují buď početně (nlyticky i numericky) nebo experimentálně. 6.. Anlytický výpočet velikosti plstické zóny Anlytický výpočet, umožňující odhd velikosti plstické zóny, lze provést n zákldě následujících úvh: Předpokládejme thový mód I stv rovinné npjtosti. N obr.6. je znázorněn průběh npěti před čelem trhliny (tj. pro = 0, resp. y = 0), stnovený n zákldě předpokldu čistě elstického chování mteriálu. Vzdálenost od čel trhliny, ve které npětí y dosáhne meze kluzu R p 0,, je oznčen tedy hodnotu * r p, pro * r r p pltí y = R p 0,. V prvém přiblížení lze * r p povžovt z rozměr plstické zóny. Dosdíme-li do vzthu (3.46) z = 0, * r r p y = R p 0,, dostáváme po úprvě r p 0, 0, K I R p Rp Skutečný rozměr plstické zóny všk musí být větší než stv RN. (6.) * r p, neboť je třeb vzít v úvhu přenos ztížení, odpovídjící n obr.6. vyšrfovné oblsti. Irwin [], [], [3] uvedl, že

107 6. PLASTICKÁ ZÓNA NA ČELE TRHLINY přítomnost plstické zóny n čele trhliny způsobuje, že se těleso chová tk, jko by v něm byl trhlin delší, než odpovídá rozměru (větší posunutí konců, menší tuhost těles pod.). Tuto efektivní délku trhliny (ozn. ef ) lze vyjádřit jko součet "fyzikální" délky korekce, jejíž velikost je třeb určit. N obr.6. je znázorněn průběh npětí y před čelem trhliny o efektivní délce ef. Situce je obdobná jko n obr.6. - velikost npětí y je opět omezeno mezí kluzu R p 0,. Korekce musí být tk velká, by bylo přeneseno ztížení odpovídjící vyšrfovné ploše ozn. A, tj. by pltilo A = B. Obr. 6. Průběh npětí y před Obr. 6. Průběh npětí y před čelem čelem trhliny délky. trhliny efektivní délky ef. Vzdálenost lze vyjádřit nlogicky jko * r p, tj. pomocí vzthu (3.46) pro = 0, y = R p 0, ef = + : * Ze vzthů (6.) (6.) vyplývá, že pro << pltí r p.. (6.) 0, R p Velikost ploch A B n obr.6. lze vyjádřit pomocí vzthů A 0, 0, ydr Rp dr R 0,, p Rp (6.3) 0 0 r B R p 0, (6.3b) Z podmínky A = B vyplývá 0, R p

108 6. PLASTICKÁ ZÓNA NA ČELE TRHLINY * Z předpokldu << (tj. r p ) dostáváme vzth který lze uprvit do tvru z něhož vyplývá tedy * * r r Rp 0, p p, p p p, Rp 0, * * * r r 4r r p r p * (6.4) r *. (6.5) Rozměr plstické zóny r p je tedy dvkrát větší než odpovídá první proximci Hodnot Efektivní délku trhliny ef lze vyjádřit jko p * r p. r *. (6.6) * r p se nzývá Irwinov korekce n velikost plstické zóny.,5 ef p,4 NEKONEČNÉ TĚLESO,3, K( ef )/K() CENTRÁLNÍ TRHLINA (C =,00) JEDNOSTRANNÁ TRHLINA (C =,), /Rp0,,0 0 0, 0, 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 Obr.6.3 Grf závislosti korigovné nekorigovné hodnoty fktoru intenzity npětí n reltivní velikosti thového npětí (6.7). Efektivní délce trhliny ef odpovídá korigovná hodnot fktoru intenzity npětí K( ef ), kterou v přípdě nekonečného těles (tj. z předpokldu << W) dostneme řešením rovnice K * C r ef / / K ef p C, 0. R p tj. K C K ef C Rp 0,,

109 6. PLASTICKÁ ZÓNA NA ČELE TRHLINY K ef resp. po úprvě C, (6.7) K 0, Rp kde C = pro těles s centrálním C =, pro těles s jednostrnnou trhlinou. Grf závislosti (6.7) je uveden n obr.6.3. Je zřejmé, že význm korekce roste s rostoucí velikostí npětí. Jiný způsob výpočtu korigovné hodnoty fktoru intenzity npětí K( ef ), plikovtelný i v přípdě těles konečných rozměrů (tj. s uvážením tvrové funkce f(/w)), je iterční postup. První iterce K () je dán vzthem K * C r K( ) obecně dlší i-tá iterce K i () (i =,3, ) pk,00 K * f r K W, (6.8) p p / * f r K * C r K ) i p i( p i / W. 0,95 NEKONEČNÉ TĚLESO 0,90 K ( )/K ( ef ) 0,85 CENTRÁLNÍ TRHLINA (C =,00) JEDNOSTRANNÁ TRHLINA (C =,) 0,80 /Rp0, 0,75 0 0, 0, 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 Obr.6.4 Grf závislosti poměru (6.0), tj. první iterce přímo stnovené korigovné hodnoty fktoru intenzity npětí n reltivní velikosti thového npětí pro nekonečné těleso. Jko postčující se obvykle doporučuje použití první iterce (6.8). Míru nepřesnosti použití tohoto postupu lze posoudit porovnáním výsledku první iterce s výše uvedeným přímým řešením (6.7) pro nekonečné těleso. Ze vzthu (6.8) pro nekonečné těleso vyplývá K * C C r p K C, 0. R p

110 6. PLASTICKÁ ZÓNA NA ČELE TRHLINY tj. po úprvě 0. R p C K K. (6.9) Vydělením rovnic (6.9) (6.7) dostáváme poměr , 0. p p p ef R C R C R C K K, (6.0) grficky znázorněný n obr.6.4. Z grfu je zřejmé, že v oblsti nízkých npětí je přesnost první iterce korekce fktoru intenzity npětí n velikost plstické zóny plně postčující. Kromě výše uvedeného Irwinov odhdu velikosti plstické zóny, který je nejjednodušší v prxi se používá nejčstěji, se v litertuře objevily i postupy jiné ([4] ž [6]). Npř. Dugdle uvádí pro odhd velikosti plstické zóny před čelem trhliny ve stvu rovinné npjtosti lterntivní vzth 0, 8 p I p R K r stv RN. (6.) V dosvdních úvhách jsme se omezili n vyjádření velikosti plstické zóny pouze ve směru osy x (tj. pro = 0) předpokládli jsme, že tto zón má tvr válce. Přesnější odhd tvru velikosti plstické zóny lze získt vyjádřením podmínek plsticity i pro 0 pomocí hypotézy von Misesovy (ozn. HMH) nebo hypotézy Trescovy. Obr. 6.5 Mohrov kružnice npětí, vyjádření hlvních npětí. ) Hypotéz HMH Podsttou hypotézy HMH je výpočet redukovného npětí, které porovnáváme s určitou kritickou hodnotou, kterou je v nšem přípdě mez kluzu mteriálu R p 0,. Tuto hypotézu lze vyjádřit ve tvru

111 6. PLASTICKÁ ZÓNA NA ČELE TRHLINY 3 3 red R p tj. R 0,, 3 3 p 0,, (6.) kde j (j =,, 3) jsou hlvní npětí, jejichž velikost lze vyjádřit z Mohrových kružnic (viz obr.6.5): x y 4 x y xy x y x y xy 4 (6.3) 3 z. 0,7 0,6 HMH 0,5 0,4 0,3 0, 0, RD n = 0,3 RD n = 0, RD n = 0, RN 0-0,3-0, -0, 0 0, 0, 0,3 0,4 0,5 0,6-0, -0, -0,3-0,4-0,5-0,6-0,7 Obr. 6.6 Plstická zón n čele trhliny podle hypotézy HMH (thový mód I, stv RN, RD). - -

112 6. PLASTICKÁ ZÓNA NA ČELE TRHLINY Dosdíme-li do vzthů (6.3) z x, y, xy pomocí vzthů (3.46), dostáváme po úprvě doszení K I cos sin. r K I K I cos sin. r (6.4) K 3 n n I cos r stv RD 3 0 stv RN. Dosdíme-li vzthy (6.4) do rovnice hypotézy HMH (6.), dostáváme po úprvě vzthy, definující hrnice plstické zóny v polárních souřdnicích (r = r p ): K I 3 r p sin n cos 4 stv RD, (6.5) Rp 0, K I 3 r p sin cos stv RN. (6.5b) 4 Rp 0, Tvry plstické zóny ve stvu RN RD pro různé hodnoty Poissonov čísl n uvedených vzthů jsou uvedeny n obr.6.6. b) Trescov hypotéz podle Podle Trescovy hypotézy k plsticitě dochází, dosáhne-li mximální smykové npětí hodnoty meze kluzu ve smyku, která je přibližně rovn polovině meze kluzu v thu, tj. mx Rp 0,. (6.6) Obr. 6.7 Mohrov kružnice npětí, mximální smykové npětí (stv RN). Obr. 6.8 Mohrov kružnice npětí, mximální smykové npětí (stv RD). - -

113 6. PLASTICKÁ ZÓNA NA ČELE TRHLINY Z Mohrových kružnic vyplývá, že ve stvu RN (obr.6.7) ve stvu RD (obr.6.8) pltí mx stv RN, 3 n mx v přípdě 3, tj. n stv RD, (6.7) resp. mx n v přípdě 3, tj. stv RD. n 0,8 0,7 TRESCA 0,6 0,5 RD 3 > 0,4 0,3 0, 0, RD n = 0,3 RD n = 0, RD n = 0, RN 0-0,3-0, -0, 0 0, 0, 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7-0, -0, -0,3-0,4-0,5-0,6-0,7-0,8 Obr. 6.9 Plstická zón n čele trhliny podle Trescovy hypotézy (thový mód I, stv RN, RD). Dosdíme-li do vzthů (6.7) z mx pomocí Trescovy podmínky plsticity (6.6) z l,, 3 pomocí (6.4), dostáváme po úprvě pro stv RN: K I r p cos sin 0,, (6.8) Rp - 3 -

114 6. PLASTICKÁ ZÓNA NA ČELE TRHLINY pro stv RD: n v přípdě 3, tj. n resp. n v přípdě 3, tj. n K I r p cos n sin, 0, Rp K r p (6.8b) 0, Rp I sin. Tvr plstické zóny odpovídjící uvedeným vzthům (pro n = /3) je ptrný z obr.6.9. Porovnáme-li obr.6.9 s obr. 6.6, je zřejmé, že tvry rozměry plstické zóny stnovené podle obou uvžovných hypotéz jsou poněkud odlišné. V podmínkách RN je všk velikost plstické zóny před čelem trhliny (tj. pro y = 0, resp. = 0) podle obou hypotéz stejná: r p 0; RN K I R p 0, r * p (6.9) rovná Irwinovu odhdu velikosti plstické zóny * r p - viz vzth (6.). Konkrétní předstvu o velikosti plstické zóny před čelem trhliny v podmínkách RN u nejběžnějších konstrukčních mteriálů si lze udělt z grfu n obr.6.0. Z grfů u vedených n obr je zřejmé, že z jink stejných podmínek je ve stvu RN plstická zón podsttně větší, než ve stvu RD. Poměr velikosti plstických zón ve stvu RD RN závisí n úhlu n Poissonově čísle mteriálu n. Pro = 0 je tento poměr rovný ( - n) nezávisí n přijté hypotéze. Veškeré dosvdní úvhy, týkjící se porovnání velikosti plstické zóny ve stvu RN RD, byly zloženy n plikci hypotézy HMH, resp. Trescovy hypotézy. Použité postupy v sobě implicitně zhrnovly předpokld, že efektivní hodnot meze kluzu mteriálu v podmínkách RD (tj. v podmínkách víceosé npjtosti) je si 3x větší, než klsická jednoosá mez kluzu R p 0,, tj. že v plstické zóně před čelem trhliny může npětí dosáhnout hodnoty ž 3R p 0, (obr.6.). Experimentálně všk bylo prokázáno [7], že efektivní hodnot meze kluzu v podmínkách RD je ve skutečnosti nižší pohybuje se přibližně v rozmezí (,5 ž )R p 0,. Získné experimentální údje jsou v souldu s hodnotou 3/4,68, kterou nvrhl Irwin []. Provedeme-li příslušnou korekci meze kluzu ve vzthu (6.) pro výpočet velikosti plstické zóny ve stvu RN, dostáváme r * p K I,68 R p 0, K I 6 0, Rp stv RD. (6.0) - 4 -

115 6. PLASTICKÁ ZÓNA NA ČELE TRHLINY Ve stvu RD je tedy ve skutečnosti plstická zón si 3x menší než ve stvu RN, ztímco dříve uvedený předpokld trojnásobného zvýšení meze kluzu by pro n = /3 vedl k hodnotě 9x menší. Obr. 6.0 Grf závislosti velikosti plstické zóny před čelem trhliny n fktoru intenzity npětí K n mezi kluzu mteriálu R p 0, (ve stvu RN)

116 6. PLASTICKÁ ZÓNA NA ČELE TRHLINY Obr. 6. Průběh npětí y před čelem trhliny ve stvu RN RD. V přípdě reálného trojrozměrného těles jsou podmínky RN splněny n jeho vnějším povrchu, neboť npětí kolmá n tento povrch jsou nulová, tj. z = 3 = 0. S rostoucí vzdáleností od povrchu směrem dovnitř těles velikost této složky npětí postupně nrůstá. Obr. 6. Prostorové znázornění plstické zóny n čele trhliny. Má-li těleso dosttečnou tloušťku, jsou ve střední oblsti splněny podmínky RD složk z nbývá hodnoty n.( x + y ). S rostoucí vzdáleností od povrchu součsně klesá velikost plstické zóny - n povrchu těles je největší (odpovídjící stvu RN), uvnitř těles nejmenší (v přípdě těles dosttečné tloušťky odpovídá stvu RD) - viz obr

117 6. PLASTICKÁ ZÓNA NA ČELE TRHLINY Je zřejmé, že stv npjtosti velikost plstické zóny jsou n sebe úzce vázány. Důležitým fktorem, ovlivňujícím stv npjtosti, je poměr velikosti plstické zóny r p k tloušťce těles B. V přípdě r p /B > nstává rovinná npjtost. Má-li v podsttné části tloušťky těles dojít ke stvu rovinné deformce, musí být poměr r p /B dosttečně mlý, tj. podsttně menší než. Podmínku stvu RD, vyjádřenou nerovností (5.4), lze přepst do tvru K R 0, p B * r, tj. p ( RN ) 0, 0637.,5 B Číselná hodnot n prvé strně uvedené nerovnosti je zložen n empirických zkušenostech má smluvní chrkter (npř. v práci [9] je n prvé strně této nerovnosti uveden méně konzervtivní hodnot 0,). Obr. 6.3 Velikost plstické zóny - lineární interpolce v oblsti přechodu mezi stvem RD RN. * V přípdě 0,0637 ( RN ) / B r p jde o přechodový stv npjtosti mezi RD RN. Velikost plstické zóny před čelem trhliny, ozn. r p (RN+RD), lze v tomto přípdě orientčně odhdnout n zákldě lineární interpolce mezi oběm mezními přípdy [9] (viz obr. 6.3), tj. ( ) K I r p RN RD, kde k 0, Rp r k 0,356 * p ( RN ) 0,44 B. (6.) Kvlittivní odlišnost stvu npjtosti v tělese v podmínkách RN RD lze názorně ilustrovt pomocí Mohrových kružnic (viz obr ). Hlvní npětí jsou rovn složkám tenzoru npětí y x před čelem trhliny, tj. = y ( = 0), = x ( = 0), jsou ve stvu RN stejná jko ve stvu RD. Třetí hlvní npětí je dáno vzthem 3 = z

118 6. PLASTICKÁ ZÓNA NA ČELE TRHLINY Obr. 6.4 Roviny mximálního smykového npětí před čelem trhliny (RN). Obr. 6.5 Roviny mximálního smykového npětí před čelem trhliny (RD). Z Mohrových kružnic vyplývá, že k mximálnímu smykovému npěti mx dochází ve stvu RN v rovinách, procházejících osou x svírjících úhel 45 s osmi y z (obr ), ztímco ve stvu RD (při plstické deformci vede poždvek konstntního objemu k rovnosti n = 0,5) v rovinách procházejících osou z svírjících úhel 45 s osmi y x (obr ). Je tedy zřejmé, že mximální smykové npětí mx je ve stvu RD nejen podsttně menší než ve stvu RN, le dochází k němu nvíc i v odlišných rovinách. Obr. 6.6 Tvárná deformce kloubového typu. Mximální smyková složk mx řídí skluzové procesy, které jsou projevem plstické deformce mteriálu (viz. kp.). Ve stvu RN bude tedy k mximálnímu skluzu docházet v rovinách, procházejících osou x svírjících úhel 45 s rovinou x, z (obr. 6.4). V přípdě tvárného porušování se v těchže rovinách bude šířit i trhlin. Mkroskopický vzhled lomu těles porušeného v podmínkách RN je ptrný n obr Ve stvu RD dochází k mximálnímu skluzu v rovinách, procházejících osou z svírjících úhel 45 s rovinou x, z - 8 -

119 6. PLASTICKÁ ZÓNA NA ČELE TRHLINY (pro n = 0,5). V oblsti před čelem trhliny dochází z mkroskopického hledisk k deformci tzv. kloubového typu (obr. 6.6). Důsledkem je šíření trhliny v rovině x, z, tj. v rovině kolmé n směr vnějšího ztížení. Mkroskopický vzhled lomové plochy, vzniklé šířením trhliny převážně v podmínkách RD, je ptrný n obr. 5.9c. Všechny dosvdní úvhy o plstické zóně se týkly thového módu I. Obdobné nlýzy lze provést i v přípdě smykových módů II III. Tvry plstických zón, odvozené n zákldě hypotézy HMH, jsou grficky znázorněny n obr [8]. Obr. 6.7 Plstická zón n čele trhliny (mód II, stv RN RD). Obr. 6.8 Plstická zón n čele trhliny (mód III). 6.. Experimentální možnosti stnoveni velikosti tvru plstické zóny Cenné informce o velikosti tvru plstické zóny před čelem trhliny přípdně i dlší chrkteristiky, kvntifikující velikost plstické deformce v této oblsti, může poskytnout experimentální výzkum. V prxi se pro tyto účely používá celá řd metod, zložených n různých fyzikálních principech [0]. Mezi nejpoužívnější ptří: ) metod leptání, b) rentgenogrfické metody, c) tenzometrické metody [7], [8], d) rekrystlizční metody [9], [0], e) metody elektronové mikroskopie [4], f) metody moiré [5], g) metody interferenční mikroskopie [6], hologrfická interferometrie, h) fotoelsticimetrie [], [], i) stereometrie [3], j) infrčervená termogrfie, - 9 -

120 6. PLASTICKÁ ZÓNA NA ČELE TRHLINY k) metod měření mikrotvrdosti [0] ž [3] (viz npř. obr. 6.9), l) mikrostrukturní metod, Obr.6.9 Plstická zón n čele trhliny stnovená pomocí měření mikrotvrdosti HVM. m) metody mřížek, sítí, deformovných kružnic [4] pod. 6. MOŽNOSTI POUŽITÍ KRITERIÍ LINEÁRNÍ LOMOVÉ MECHANIKY V PŘÍPADĚ VÝSKYTU PLASTICKÉ DEFORMACE Kriteri lineární lomové mechniky jsou plikovtelná pouze v přípdech, je-li velikost plstické zóny mlá ve srovnání s délkou trhliny s šířkou zbylého nosného průřezu (W - ). Tyto podmínky jsou splněny tehdy, dochází-li k lomu při npětí podsttně nižším než je mez kluzu mteriálu to zvláště v podmínkách RD. V uvedených přípdech lze ztrátu stbility trhliny chrkterizovt hodnotou lomové houževntosti. Ve stvu RN je rozměr plstické zóny n čele trhliny podsttně větší než ve stvu RD. Dochází-li všk i z těchto podmínek k lomu při npětí nižším než je mez kluzu mteriálu, lze kriterií stbility trhliny zložených n principech lineární lomové mechniky, rovněž použít. Je-li rozměr plstické zóny před čelem trhliny ve srovnání s délkou trhliny velký (tj. při vysokých npětích při lomu nebo při velkém odporu mteriálu vůči šíření trhliny), nelze - 0 -

121 0 6. PLASTICKÁ ZÓNA NA ČELE TRHLINY zákony lineární lomové mechniky použít. V prxi k těmto situcím dochází ve dvou přípdech: ) u mteriálů s nízkou lomovou houževntostí v oblsti velmi krátkých trhlin, b) u mteriálů s vysokou lomovou houževntostí. A B A - nízká lomová houževntost B - vysoká lomová houževntost R p 0, c,mx c OBLAST PLATNOSTI LLM 0 min /W /W Obr.6.0 Použitelnost kriterií lineární lomové mechniky pro určení kritických hodnot npětí či délky trhliny. V přípdě mteriálů s nízkou lomovou houževntostí by pro délky trhlin blížící se nule K Ic mělo npětí při lomu, tj. c, růst nde všechny meze, což je nereálné. Lom ve skutečnosti v tomto přípdě nstne při npětí nižším než npětí c stnovené výše uvedeným postupem, zloženým n principech lineární lomové mechniky - viz obr.6.0. Dosáhne-li npětí ve zbylém nosném průřezu n meze kluzu R p 0,, tj. pltí-li F W R 0,, (6.) n B W W p dojde v celém tomto průřezu k plstické deformci. V přípdě velmi krátkých trhlin, u kterých je splněn podmínk W, pltí n. V prvním přiblížení lze tedy říci, že kriterium lineární lomové mechniky vyjádřené pomocí hodnoty K Ic lze pro posouzení stbility trhliny použít, pokud pltí c < R p 0,. V prxi se vychází z tzv. Feddersenov kriteri, které je zloženo n předpokldu, že pozntky lineární lomové mechniky lze plikovt pouze pro npětí c < c,mx, kde c,mx odpovídá bodu n grfu závislosti, ve kterém křivk c c - -

122 6. PLASTICKÁ ZÓNA NA ČELE TRHLINY c (6.3) přechází spojitě v lineární funkci, která pro = 0 nbývá hodnoty c = R p 0, (viz obr.6.0), tj. K Ic Rp 0. c,mx c Rp 0.. (6.4) Jednou z podmínek spojitosti v mezním bodě o souřdnicích = min c = c,mx je rovnost grdientů, tj. derivcí d c / d těchto funkcí: min d c d min d d K Ic min K Ic min c min c,mx min (6.5) d c d min Rp 0. min c,mx. (6.6) Z rovnosti levých strn rovnic (6.5) (6.6) vyplývá 0., mx p c,mx c R, tj. c, mx Rp 0.. (6.7) 3 Feddersenovo kriteriim tedy omezuje použitelnost pozntků lineární lomové mechniky n přípdy c R p 0., resp. 3 9 K Ic 4 0. R p (viz obr. 6.0). V přípdě mteriálů s vysokou lomovou houževntostí vyjdeme z podmínky zplstizování celého zbytkového nosného průřezu (6.), kterou lze přepst do tvru n R p 0,, (6.8) W což je rovnice přímky, procházející body (0, R p 0,) (, 0) - viz obr.6.0. Je zřejmé, že npětí c, predikovné n zákldě kriteri lineární lomové mechniky, je i v tomto přípdě vždy vyšší, než npětí potřebné k zplstizování celého zbylého nosného průřezu c = R p 0,, tj. pltí 0, W. c R p V obou diskutovných přípdech dojde k zplstizování celého nosného průřezu v kritickém místě. Šíření trhliny nstne, dosáhne-li plstická deformce n čele trhliny určité kritické hodnoty. Měřítkem velikosti plstické deformce n čele trhliny je npř. otevření čel trhliny CTOD (viz 9. kp.). Dosáhne-li CTOD určité kritické hodnoty. dojde ke ztrátě stbility trhliny (tj. tzv. Wellsovo kriterium stbility trhliny). - -

123 6. PLASTICKÁ ZÓNA NA ČELE TRHLINY L I T E R A T U R A K 6. K A P I T O L E [] IRWIN,G.R.: Frcture. In: Encyklopedi of Physics, Vol.VI, Berlin-Heidelberg, Springer 958, pp [] IRWIN,G.R.: Plstic Zone Ner Crck nd Frcture Toughness. In: Sgmore Res. Ord. Mterils (Proc. 7th Conf.) 960, pp.iv-63. [3] IRWIN,G.R.: Liner Frcture Mechnics, Frcture Trnsition, nd Frcture Control. Engng Frcture Mech.,, 968, No., pp [4] DUGDALE,D.S.: Yielding of Steel Sheets Contining Slits. J. Mech. Phys. Solid., 8, 960, pp [5] LU,T.J. - CHOW,C.L.: A Modified Dugdle Model for Crck Tip Plsticity nd Its Relted Problems. Engng Frcture Mech., 37, 990, No.3, pp [6] BARRENBLATT,G.I.: The Mthemticl Theory of Equilibrium of Crcks in Brittle Frcture. Advnces in Appl. Mech., 7, 96, pp [7] HAHN,G.T. - ROSENFIELD,A.R.: Experimentl Determintion of Plstic Constrint hed of Shrp Crck under Plne-Strin Conditions. ASM Trns., 59, 966, pp [8] BROEK,D.: Elementry Engineering Frcture Mechnics. 4th Ed. Dordrecht, Mrtinus Nijhoff Publishers 987, 56 p. [9] NATHAN,A. - BENOUALID,D. - BROT,A.: The Effect of Thickness on Crck Growth Rte. In: New Mterils nd Ftigue Resistnt Aircrft Design (4 th ICAF Symposium, Ottw). Ed. D.L.Simpson. Crdley Heth, EMAS 987, pp [0] KRÖBL,L. - NEDBAL,I.: Experimentální studium chrkteristik plstické zóny n čele únvové trhliny. (Výzkumná zpráv V-KMAT-43/84.) Prh, ČVUT-FJFI-KMAT 9B4, 5 s. [] NEDBAL,I. - KUNZ,J. - SIEGL,J.: Vliv čistoty slitin typu AlCuMg n kinetiku únvového porušování. [Výzkumná zpráv V-KMAT-3/8.] Prh, ČVUT-FJFI- KMAT 98, 75 s. [] NEDBAL,I. - KUNZ,J. - SIEGL,J.: Some Remrks on Ftigue Frcture Mrking. In: Ftigue 99 (Beijing). Vol. 4/4. Eds. X.R.Wu, nd Z.G.Wng. Beijing - Crdley Heth, HEP - EMAS 999, pp [3] SAXENA,A. - ANTOLOVICH,S.D.. Low Cycle Ftigue, Ftigue Crck Propgtion nd Substructures in Series of Polycrystlline Cu-Al Alloys. Met. Trns., 6A, 975, No.9, pp [4] IKEDA,S. - IZUMI,Y. - FINE,M.E.: Plstic Work during Ftigue Crck Propgtion in High Strength Low Alloy Steel nd in 7050 Al-Alloy. Engng Frcture Mech., 9, 977, No., pp [5] FINE,M.E.: Ftigue Resistnce of Metls. Met. Trns., A, 980, No.3, pp [6] NUNOMURA,S. - HIGO,Y. - SETO,K.: Direct Mesurement of Plstic Zones in Side Grooved Frcture Toughness Specimens. In: Frcture 977 (Proc. ICF 4, Wterloo). Ed. D.M.R.Tplin, Vol.3, pp [7] CSIZMAZIA,A. - CZOBOLY,E.: Determintion of Plstic Zones in Compct Specimens of Aluminium. Theor. Appl. Frcture Mech., 8, 987, No.; pp

124 6. PLASTICKÁ ZÓNA NA ČELE TRHLINY [8] GUANGXIA,L. - XIPING,L. - CHANGCHUN,L. - SHUYUN,C.: A Micro nd Mcro Anlysis of Strin t Crck Tip. Engng Frcture Mech., 3, 989, No.4, pp [9] NICOLETTO,G.: Ftigue Crck Tip Strins in 7075-T6 Aluminum Alloy. Ftigue Frct. Engng Mt. Struct., 0, 987, No., pp [0] CHANANI,G.R.: Effect of Thickness on Retrdtion Behvior of 7075 nd 04 Aluminum Alloys. In: Flw Growth nd Frcture, ASTM STP 63. Ed. J.M.Brsom. Phildelphi, ASTM 977, pp [] YUNLIN,L.: A New Method for Mesuring the Shpe nd Size of the Plstic Zones round Slit Ends - Direct Showing Method. Engng Frcture Mech., 6, 987, No.3, pp [] MISHRA,S.C. - PARIDA,B.K.: Determintion of the Size of Crck-Tip Plstic Zone in Thin Sheet under Unxil Loding. Engng Frcture Mech.,, 985, No.3, pp [3] DAVIDSON,D.L.: The Distribution of Strin within Crck Tip Plstic Zones. Engng Frcture Mech., 5, 986, No., pp.3-3. [4] VAVŘÍK,D.: Optická identifikce povrchového tvru velikosti plstické zóny n čele trhliny. (Doktorská disertční práce.) Prh, ČVUT - fkult jderná fyzikálně inženýrská 999, 77 s

125 7. HNACÍ SÍLA TRHLINY (RYCHLOST UVOLŇOVÁNÍ DEFORMAČNÍ ENERGIE) 7. HNACÍ SÍLA TRHLINY (RYCHLOST UVOLŇOVÁNÍ DEFORMAČNÍ ENERGIE) 7. CELKOVÁ ENERGETICKÁ BILANCE, DEFINICE G Celkovou energetickou bilnci těles s trhlinou, ztíženého vnějšími silmi, lze vyjádřit pomocí obecného vzthu kde W v = celková volná energie těles [J/m], A = práce vnějších sil působících n těleso [J/m], U = deformční elstická energie těles [J/m], W A U W v, (7.) W = disipční (resp. potenciální) energie trhliny [J/m], kterou lze vyjádřit ve tvru kde = specifická energie trhliny [J/m ], S W, B (7.) S = velikost lomové plochy, vytvořené šířící se trhlinou [m ], B = tloušťk těles [m]. Specifická energie trhliny se obecně skládá z několik složek []: kde o = specifická potenciální povrchová energie trhliny, o pl t k, (7.3) pl = specifická potenciální energie oblstí v nejbližším okolí trhliny (zhrnuje zejmén vliv plstické deformce), t = specifické teplo uvolněné v oblsti čel trhliny, k = specifická kinetická energie oblstí v nejbližším okolí trhliny (promění se v teplo), resp. kinetická energie jednotlivých částí těles v konečné fázi lomu. Dosáhne-li celková volná energie těles s trhlinou svého mxim, dochází k ztrátě stbility trhliny. Podmínku nestbility trhliny lze tedy vyjádřit ve tvru diferenciální rovnice kterou lze přepst do tvru Prvá strn rovnice (7.4b), tj. dw d v A U W 0, (7.4) d d d d A U dw d, (7.4b) R dw d, (7.5) chrkterizuje lomovou houževntost mteriálu předstvuje odpor těles vůči šíření trhliny, tj. energii, kterou je třeb dodt k vytvoření lomové plochy jednotkové velikosti. Potřebná - 5 -

126 7. HNACÍ SÍLA TRHLINY (RYCHLOST UVOLŇOVÁNÍ DEFORMAČNÍ ENERGIE) energie je dodáván prcí vnějších sil A nebo částí elstické deformční energie U, uvolňovné při šíření trhliny. Veličin G d d A U, (7.6) tj. levá strn rovnice (7.4b), se nzývá rychlost uvolňování deformční energie nebo hncí síl trhliny. Jednotkou G R je J/m = N/m. Obecnou podmínku ztráty stbility trhliny, vyjádřenou vzthem (7.4b), lze pomocí veličin G R přepst do jednoduchého tvru G = R [J/m = N/m]. (7.7) Obr.7. Těleso s trhlinou oznčení zákldních veličin. Je li těleso s trhlinou délky ztíženo vnější silou F (viz obr.7.), dochází v bodech působení síly k posuvu v, který lze z předpokldu čistě elstických deformcí vyjádřit ve tvru v C F, (7.8) kde C [m/n] je poddjnost těles (tj. reciproká hodnot tuhosti). Npř. poddjnost těles ob- délníkového průřezu bez trhliny lze vyjádřit ve tvru L C, W B E kde L je délk, W šířk, B tloušťk těles E je modul pružnosti mteriálu v thu. S rostoucí délkou trhliny poddjnost těles C roste, neboť pltí úměr C. W - 6 -

127 7. HNACÍ SÍLA TRHLINY (RYCHLOST UVOLŇOVÁNÍ DEFORMAČNÍ ENERGIE) Zvětší-li se délk trhliny o, vzroste poddjnost těles o C zvětší se i posuv o v. V přípdě okrjové úlohy. druhu, kdy předpokládáme F = konst, lze přírůstek práce vnějších sil odpovídjící přírůstku posuvu vyjádřit ve tvru Ze vzthů (7.9) (7.8) vyplývá A ( F v). (7.9) B da dv dc F F. (7.0) d B d B d Elstickou energii těles s trhlinou ztíženého silou F lze vyjádřit pomocí vzthu Derivcí vzthu (7.) podle délky trhliny dostáváme U F v F. B B C (7.) du dc F. (7.) d B d Doszením (7.0) (7.) do (7.6) dostáváme hncí sílu trhliny G pro F = konst: dc G F. (7.3) B d V přípdě okrjové úlohy. druhu předpokládáme konstntní posuv, tj. v = konst. Z tohoto předpokldu vnější síly práci nekonjí, z čehož vyplývá da d 0. (7.4) Elstická energie těles je dán vzthem (7.), který lze pomocí (7.8) uprvit do tvru U v. (7.5) B C Zderivujeme-li uvedenou rovnici podle délky trhliny, dostáváme po úprvě pomocí vzthu (7.8) du d v dc dc F. (7.6) B C d B d Doszením (7.4) (7.6) do (7.6) dostáváme hncí sílu trhliny G pro v = konst: dc G F. (7.7) B d Ze vzthů (7.3) (7.7) je zřejmé, že hncí síl trhliny je pro obě diskutovné okrjové úlohy shodná. Ze vzthů (7.) (7.6) nvíc vyplývá, že pro ob typy okrjových podmínek lze hncí sílu trhliny G vyjádřit jko derivci elstické energie podle délky trhliny (liší se pouze znménkem), tj

128 7. HNACÍ SÍLA TRHLINY (RYCHLOST UVOLŇOVÁNÍ DEFORMAČNÍ ENERGIE) du d F konst du d v konst G / /. (7.8) Grfické znázornění změny elstické deformční energie těles v důsledku růstu trhliny je provedeno n obr.7.. Z předpokldu čistě elstických deformcí má závislost vnější síly F n posuvu v lineární chrkter. Prmetrem této závislosti je délk trhliny, implicitně chrkterizující poddjnost těles s trhlinou C. + Obr.7. Grfické znázornění změny elstické deformční energie těles v důsledku prodloužení trhliny o. Předpokládejme, že dosáhne -li ztížení hodnoty F, zvětší se trhlin z původní délky n délku (+). Důsledkem je zvýšení poddjnosti (tj. snížení tuhosti) těles, které se projeví snížením směrnice přímky, chrkterizující závislost F = F(v) - viz obr.7.. Jsou-li konce těles pevně uchyceny, zůstávjí posunutí okrjů těles konstntní v v ztížení klesá z hodnoty F n F F. Vnější síly v tomto přípdě práci nekonjí. Při zvětšení délky trhliny o dojde k poklesu elstické energie z hodnoty odpovídjící ploše trojúhelník OAB n hodnotu odpovídjící ploše trojúhelník OBC, tj. dojde k uvolnění elstické energie, jejíž velikost je úměrná ploše trojúhelníku OAC. Zůstává-li při prodloužení trhliny o konstntní ztěžovcí síl F F, vzroste posuv n hodnotu (v l + v). Práce vnějších sil je rovn součinu F v, což odpovídá ploše obdélník ABED. Elstická energie těles vzroste z původní hodnoty, odpovídjící ploše - 8 -

129 7. HNACÍ SÍLA TRHLINY (RYCHLOST UVOLŇOVÁNÍ DEFORMAČNÍ ENERGIE) trojúhelník OAB, n hodnotu odpovídjící trojúhelník ODE. Přírůstek elstické deformční energie těles, jehož velikost odpovídá ploše trojúhelník OAD, je hrzen z práce vnějších sil Obsh trojúhelník OAD je roven polovině obshu obdélník ABED, tj. z práce vnějších sil zbývá druhá polovin - část, jejíž velikost odpovídá ploše trojúhelník OAD. Znedbáme-li obsh trojúhelník ACD (jeho ploch je úměrná součinu v.f, tj. jde o nekonečně mlou veličinu. řádu), jsou plochy trojúhelníků OAC OAD stejné. Uvedený závěr lze interpretovt tk, že velikost energie, která řídí růst trhliny (tj. uvolněná elstická deformční energie nebo část práce vnějších sil), je v přípdě obou okrjových úloh stejná. Uvedený závěr je v souldu se vzthem (7.8). 7. GRIFFITHOVO KRITERIUM STABILITY TRHLINY První teoretickou prcí (viz historické studie [],[3]), věnovnou pevnosti těles s trhlinou, byl nejspíše článek K. Wieghrdt [4] z roku 907. Tento průkopnický příspěvek, publikovný v nepříliš sledovném německém čsopise (nglický překld viz [5]), všk bohužel zůstl dlouhá lét bez povšimnutí. Širší upltnění nlezly ž výsledky práce A.A. Griffithe, který v roce 90 nvrhl kriterium, umožňující posouzení stbility trhliny v tělese n zákldě celkové energetické bilnce [6]. Výsledky prcí tohoto utor předstvují část zákldů, n kterých byl přibližně po 40 letech vybudován lomová mechnik jkožto smosttná nová vědní disciplín. Griffith své kriterium odvodil pro nekonečně velké těleso s centrální trhlinou eliptického tvru délky (obr.7.3). Toto těleso bylo ztíženo thovým npětím (tj. mód I). Dlšími předpokldy byly konstntní posuvy konců těles (tj. okrjová podmínk v = konst) dokonle křehký mteriál typu skl (z čehož mimo jiné vyplývá pl = 0). Griffith rovněž nebrl v úvhu kinetickou ni tepelnou energii trhliny, tj. předpokládl k = 0, t = 0. Z uvedených před-pokldů vyplývá, že v Griffithově pojetí byl disipční energie trhliny W tvořen pouze povrchovou energií, tj. o S W, (7.9) B kde S B, tj. W o. (7.0) Z Griffithových předpokldů da/ d 0 ze vzthů (7.8) (7.5) vyplývá hncí síl trhliny du (7.) d (index oznčuje příslušný mód porušování) odpor proti šíření trhliny G I

130 7. HNACÍ SÍLA TRHLINY (RYCHLOST UVOLŇOVÁNÍ DEFORMAČNÍ ENERGIE) R o. (7.) Obr.7.3 Griffithov úloh nekonečné těleso s centrální trhlinou ztížené them. Podmínk ztráty stbility trhliny, vyjádřená obecným vzthem (7.7), se z dných předpo- kldů zjednoduší do tvru du o. (7.3) d Velikost specifické povrchové energie trhliny o, chrkterizující odpor proti šíření trhliny, Griffith stnovil extrpolcí teplotní závislosti povrchového pnutí roztveného skl n teplotu pokojovou. rozdílu Velikost elstické deformční energie těles s trhlinou U je možno vyjádřit pomocí U U o U, (7.4) kde U o je elstická deformční energie těles bez trhliny z stejných okrjových podmínek U oznčuje úbytek elstické energie těles v důsledku existence trhliny délky, tj. uvolněnou deformční energii. Závislost U = U() Griffith stnovil n zákldě řešení pole npětí posuvů v okolí centrální trhliny v nekonečném tělese (původním utorem byl Inglis [7]). Ke shodnému řešení dojdeme i n zákldě výsledků, získných v pozdějších letech pomocí Westergrdovy komplexní npěťové funkce (viz 3. kp.). Předpokládejme, že se trhlin délky v důsledku působení vnějších sil prodloužil o bez uvolnění npětí y, což vede k opětovnému

131 7. HNACÍ SÍLA TRHLINY (RYCHLOST UVOLŇOVÁNÍ DEFORMAČNÍ ENERGIE) uzvření trhliny (obr.7.4). Okrjová podmínk nulovosti npětí kolmého k povrchu trhliny všk vyžduje, by npětí y bylo uvolněno. Při uvolňování tohoto npětí se bsorbuje energie U U ( ), neboť v důsledku silových účinků dochází k posuvu obou lící trhliny ve směru osy y. Tuto energii lze vyjádřit ve tvru y dr r v r U 0,,,0 (7.5) kde podle vzthu (3.46) r r y 0, (7.6) podle vzthu (3.47) 4, r E r v pro stv RD, (7.7) 4, r E r v pro stv RN. (7.8) Obr.7.4 Uvolnění npětí y (r, 0) po prodloužení trhliny o. Po doszení (7.6) (7.7) do (7.5) integrci (z použití substituce r =.cos ) dostáváme, sin cos sin 4 sin cos cos cos E d E d E d E dr r r E U tj. E U pro stv RD. (7.9)

132 7. HNACÍ SÍLA TRHLINY (RYCHLOST UVOLŇOVÁNÍ DEFORMAČNÍ ENERGIE) Obdobně po doszení (7.6) (7.8) do (7.5), integrci úprvě dostáváme U pro stv RN. (7.30) E Je zřejmé, že ve stvu RD i RN elstická deformční energie těles U roste s druhou mocninou délky trhliny. Ze vzthů (7.) (7.4) vyplývá tj. po doszení G du d d d U U du U lim d 0 I o, (7.3) E pro stv RD, (7.3) E pro stv RN. (7.33) G I G I Po doszení (7.0) (7.4) do (7.) dostáváme pro A = 0 (vyplývá z předpokldu v = konst) celkovou volnou energii těles W v U o U. o Obr.7.5 Grf závislosti celkové volné energie těles n délce trhliny. Závislost W v n délce trhliny je grficky znázorněn n obr.7.5. Kritickou délku trhliny c lze pro zdné vnější npětí určit z podmínky (7.3), ze které po doszení z G I pomocí (7.3), resp. (7.33), po úprvě vyplývá E o c pro stv RD (7.34) oe c pro stv RN. (7.35) - 3 -

133 7. HNACÍ SÍLA TRHLINY (RYCHLOST UVOLŇOVÁNÍ DEFORMAČNÍ ENERGIE) Z podmínky (7.3) lze též pro dnou délku trhliny nopk určit kritické npětí c : E o c pro stv RD, (7.36) o E c pro stv RN. (7.37). Z předchozích úvh je zřejmé, že Griffithovu podmínku stbility trhliny lze vyjádřit v některé z následujících forem: G R, c, c. (7.38) Přes omezení, vyplývjící z celá řdy předpokldů, bylo Griffithovo energetické kriterium dlouhá lét reltivně s úspěchem využíváno v konstruktérské prxi - to i pro jiné mteriály než dokonle křehké. 7.3 ZOBECNĚNÍ GRIFFITHOVA KRITERIA S rostoucím prohlubováním pozntků o zákonitostech lomového procesu, probíhjícího v reálných konstrukčních mteriálech, se Griffithovo kriterium postupně zobecňovlo odstrňovly se některé předpokldy, omezující jeho plikovtelnost Konečné rozměry těles, módy porušování II III Jedním ze zákldních nedosttků původního Griffithov kriteri bylo, že neumožňovlo vzít v úvhu reálné tvry rozměry těles s trhlinmi. Uvedený nedosttek byl odstrněn vyjádřením hncí síly trhliny G pomocí fktoru intenzity npětí K. V přípdě nekonečného těles s centrální trhlinou, ztíženého rovnoměrným thovým npětím, je fktor intenzity npěti dán vzthem (5.), tj. / K I. Dosdíme-li tento vzth do rovnic (7.3) (7.33), dostáváme jednoznčnou vzbu mezi hncí silou trhliny G I fktorem intenzity npětí K I : GI K I pro stv RD (7.39) E GI K I pro stv RN. (7.40) E Obdobné vzthy pltí i pro rovinný smykový mód II i ntirovinný smykový mód III (viz npř. [8]). Anlogicky jko v přípdě thového módu I (viz vzth (7.5)) vyjádříme změnu elstické deformční energie těles U pro mód II ve tvru

134 7. HNACÍ SÍLA TRHLINY (RYCHLOST UVOLŇOVÁNÍ DEFORMAČNÍ ENERGIE) U xy r,0 u r, dr pro mód II (7.4) 0 kde podle (3.56) (3.57) xy r, 0 r (7.4) r u r, 4 E pro stv RD, (7.43) 4 r u r, E pro stv RN. (7.44) Obdobně v přípdě módu III U kde podle (3.66) (3.68) yz r,0 w r, dr pro mód III, (7.45) Po doszení, integrci úprvě dostáváme U U U 0 E yz r, 0 (7.46) r w r, r. (7.47) E pro mód II, stv RD (7.48) E pro mód II, stv RN (7.49) E pro mód III. (7.50) Anlogicky jko v přípdě módu I (viz vzth (7.3)) vyjádříme hncí sílu trhliny jko G j du U lim d 0 pro j = II, III. (7.5) Dosdíme-li do (7.5) z U pomocí (7.48), (7.49), (7.50) provedeme-li substituci pomocí vzthu (5.), tj. K / j pro j = II, III, dostáváme GII K II E pro stv RD (7.5) GII K II E pro stv RN (7.53) GIII K III. E (7.54)

135 7. HNACÍ SÍLA TRHLINY (RYCHLOST UVOLŇOVÁNÍ DEFORMAČNÍ ENERGIE) Trnsformčních vzthů (7.39), (7.40), (7.5), (7.53) (7.54) lze použít i v přípdě těles konečných rozměrů, pro která je fktor intenzity npětí vyjádřen pomocí tvrových funkcí f j (, W, L,...), j = I, II, III - viz obecné vzthy (5.0). Nznčený postup umožňuje i v přípdě hncí síly trhliny G vzít v úvhu skutečnou geometrickou konfigurci těles s trhlinou (včetně jeho rozměrů) i reálné ztěžovcí podmínky. Kriterium stbility trhliny lze přepst do obecného tvru G j G jc, j = I, II, III, (7.55) kde G jc jsou kritické hodnoty hncí sily trhliny, stnovené npř. doszením kritických hodnot fktoru intenzity npětí (tj. lomových houževntostí K jc, j = I, II, III) do uvedených trnsformčních vzthů. V přípdě kombinovného nmáhání (tj. kombince módů I, II, III se v prxi někdy používá kriteri stbility trhliny ve tvru G I + G II + G III R, (7.56) které bez hlubšího teoretického zdůvodnění vychází ze součtu hncích sil trhliny (tj. energií, které jsou sklárními veličinmi), odpovídjících jednotlivým módům porušování. Uvedené zobecnění kriteri stbility všk neodpovídá zcel relitě, neboť vychází z priorního předpokldu, že se směr šíření trhliny po ztrátě stbility nezmění. Tento předpokld všk v přípdě módů II III obecně splněn není. Úlohy s kombinovným nmáháním (smíšeným módem porušování) je vhodné řešit pomocí tzv. fktoru hustoty deformční energie S, jehož použití umožňuje predikci směru šíření trhliny (viz 8. kp.) Elstoplstický mteriál Dlším význmným předpokldem, který jsme dosud brli v úvhu, bylo čistě elstické chování mteriálu, tj. předpokld dokonle křehkého mteriálu. Postupem čsu bylo Griffithovo kriterium částečně rozšířeno zobecněno i pro mteriály s elstoplstickým chováním. Vznik plstické deformce v okolí trhliny ovlivní jk velikost hncí síly trhliny G, tk i odpor mteriálu proti šíření trhliny, obecně ozn. R: Předpokládáme-li plstickou deformci mlého rozshu, lze odpovídjící hodnotu G určit pomocí trnsformčních vzthů (7.39), (7.40), (7.5), (7.53) (7.54), do kterých dosdíme fktor intenzity npětí K, korigovný n velikost plstické zóny pomocí vzthu (6.7). Je-li proces šíření trhliny doprovázen plstickou deformcí mteriálu v okolí čel trhliny, mění se i chrkteristik R, která kvntifikuje celkové množství energie, potřebné pro vznik

136 7. HNACÍ SÍLA TRHLINY (RYCHLOST UVOLŇOVÁNÍ DEFORMAČNÍ ENERGIE) lomové plochy jednotkové velikosti. V původní verzi Griffithov kriteri stbility trhliny byl hodnot R tvořen pouze specifickou povrchovou energií o - viz vzth (7.). U tvárných mteriálů je všk třeb vzít v úvhu i osttní složky specifické energie trhliny, vyjádřené ve vzthu (7.3). N vznik plstické deformce n čele trhliny je třeb dodt reltivně znčné množství energie. Npř. u kovů je tto energie podsttně vyšší, než energie povrchová [], [9], tj. pltí pl o. Je tedy zřejmé, že plstická deformce výrzně zvyšuje odpor proti nestbilnímu šíření trhliny R. Původní Griffithovu podmínku ztráty stbility trhliny, kterou lze vyjádřit vzthem G( ) (7.57) pltnou pro čistě elstické mteriály, lze pro elstoplstické mteriály (z předpokldu mlého rozshu plstické deformce) přepst do tvru * r p o o G( ). (7.58) pl R-křivky Kritické hodnoty hncí síly trhliny R lze určovt experimentálně - npř. v přípdě thového módu I měřením npětí c, které vede k lomu, tj. obdobně jko při určování lomové houževntosti K c - viz odst.5.4. Nměřená kritická hodnot npětí c se použitím vzthu (7.3), resp. (7.33), přepočte n kritickou hodnotu G c R. Tto chrkteristik význmně závisí n teplotě i n osttních fktorech. ovlivňujících lomovou houževntost (viz odst. 5.4). Velikost R se npř. u ocelí pohybuje v rozshu 0 ž 0 6 J/m []. Obr.7.6 Závislost hncí síly G odporu proti šíření R (ve stvu RD) n délce trhliny

137 7. HNACÍ SÍLA TRHLINY (RYCHLOST UVOLŇOVÁNÍ DEFORMAČNÍ ENERGIE) Ve stvu rovinné deformce lze v prvém přiblížení odpor proti šíření trhliny R, chrkterizující lomovou houževntost, povžovt z mteriálovou konstntu. V přípdě nekonečného těles (tj. z předpokldu W ) je dle vzthu (7.3) hncí síl trhliny G přímo úměrná délce trhliny, přičemž prmetrem této závislosti je v přípdě okrjové úlohy. druhu ztěžovcí síl F, resp. npětí - viz obr.7.6. Z uvedeného grfu je zřejmé, jk při dném odporu proti šíření trhliny R závisí kritická délk trhliny c n úrovni npětí. N obr.7.7 je uveden univerzálnější verze tohoto grfu n vodorovné ose je vlevo od počátku souřdného systému (ozn. O) vynesen výchozí délk trhliny, vprvo přírůstek délky trhliny. Výchozí délce trhliny j odpovídá dle (7.7) (7.3) kritické npětí j, kde E R j. (7.59) j Tomuto npětí odpovídá n obr.7.7 přímk, procházející body ( j, 0) (0, R). Je-li splněn nerovnost < j, je trhlin stbilní. Obr.7.7 Univerzálnější verze grfu z obr.7.6 (pro stv RD). V odstvci 7. bylo uvedeno, že v přípdě okrjových úloh. i. druhu je z jink stejných podmínek hncí síl trhliny G stejná viz vzth (7.8). Uvedená rovnost všk pltí pouze z předpokldu, že se výchozí délk trhliny nemění, tj. pro = 0. S rostoucí délkou trhliny ( > 0) dochází ke zvyšování poddjnosti těles C. Mjí-li v tomto přípdě zůstt zchovány podmínky okrjové úlohy. druhu (tj. v = konst), musí s rostoucí délkou trhliny npětí odpovídjícím způsobem klest viz npř. vzth (7.7). Důsledkem je, že v oblsti > 0 roste hncí síl G s rostoucí délkou trhliny v přípdě okrjové podmínky v = konst pomleji, než v přípdě okrjové podmínky = konst (resp. F = konst) [0] viz obr

138 7. HNACÍ SÍLA TRHLINY (RYCHLOST UVOLŇOVÁNÍ DEFORMAČNÍ ENERGIE) Obr.7.8 Vliv okrjových podmínek n průběh závislosti G(), stv RD. Ve stvu rovinné npjtosti není odpor proti šíření trhliny R konstntní, le je obecně funkcí délky trhliny, tj. R R. V tomto přípdě okmžiku, ve kterém dochází ke ztrátě stbility trhliny, předchází etp stbilního šíření, tj. etp, ve které je dlší nárůst trhliny podmíněn zvýšením npětí, resp. síly F. Ke stbilnímu šíření dojde, dosáhne-li hncí síl trhliny G určité prhové hodnoty ozn. G i. Tto etp končí, dosáhne-li hncí síl G kritické hodnoty G c, při které trhlin ztrácí stbilitu tedy pro její následný růst již není dlší zvyšování npětí, resp. síly nutné. V závislosti n velikosti hncí síly G se tedy trhlin chová následovně: ) G Gi trhlin se nešíří, b) Gi G Gc...trhlin se šíří stbilně (podkritické stádium šíření), c) G Gc trhlin se šíří nestbilně. Obr.7.9 Závislost délky trhliny npětí ve stvu RN, jednotlivé etpy šíření trhliny

139 7. HNACÍ SÍLA TRHLINY (RYCHLOST UVOLŇOVÁNÍ DEFORMAČNÍ ENERGIE) N obr.7.9 jsou jednotlivá stdi vývoje trhliny znázorněn grficky ve formě závislosti délky trhliny n npětí. Výchozí délk trhliny je oznčen i. Je-li splněn nerovnost i, trhlin se nešíří, tj. i konst. Dosáhne-li npětí úrovně i (odpovídjící hncí síle G i ), trhlin se infinitesimálně prodlouží. Pro dlší růst je všk zpotřebí dlší zvyšování npětí. Dosáhne-li npětí kritické hodnoty c, resp. délk trhliny kritické hodnoty c, odpovídjící hncí síle G c, trhlin ztrtí stbilitu poruší zbylý nosný průřez těles. Kritická hodnot npětí c tedy předstvuje z prktického hledisk velmi důležitou zbytkovou pevnost těles s trhlinou výchozí délky i. V průběhu etpy stbilního šíření (tj. v oblsti G G G ) pltí R = G, přičemž podle i c vzthu (7.33) G E. Protože v tomto stdiu roste nejen délk trhliny, le i npětí, roste hncí síl G tedy i kritická hodnot R progresivněji tto závislost je n obr. 7.0 znázorněn konkávní křivkou, ležící nd extrpolovnou částí lineární závislosti G G(), odpovídjící npětí i pro = 0. Obr.7.0 Porovnání R-křivek kritických délek trhlin ve stvu RN RD V souldu s dříve uvedenými vzthy (4.4), resp. (5.36) (5.37), ke ztrátě stbility trhliny dojde, jsou-li splněny podmínky G R (7.60) G R. (7.6) Tyto podmínky jsou splněny, dosáhne-li přírůstek délky trhliny ve stdiu stbilního růstu kritické hodnoty c, resp. dosáhne-li trhlin celkové kritické délky c = I + c viz obr

140 7. HNACÍ SÍLA TRHLINY (RYCHLOST UVOLŇOVÁNÍ DEFORMAČNÍ ENERGIE) Obr.7. R-křivk pro tvárné mteriály ve stvu RN, vzth mezi výchozí délkou trhliny j, kritickým npětím c kritickou celkovou délkou trhliny c. V přípdě tvárných mteriálů je ve stvu rovinné npjtosti odpor proti šíření trhliny R dán především prcí potřebnou pro vytvoření plstické zóny n čele trhliny, neboť práce potřebná pro inicici, růst kolescenci mikroporuch je podsttně menší. Z uvedených předpokldů tedy R-křivk prochází počátkem souřdnic viz obr.7.. Z uvedeného grfu je zřejmá závislost kritického npětí cj (tj. zbytkové pevnosti těles s trhlinou, jejíž velikost je úměrná grdientu tečny, procházející bodem ( j, 0)) celkové kritické délky trhliny v okmžiku ztráty stbility cj n výchozí délce trhliny j n průběhu závislosti R(). Obr.7. Vliv konečných rozměrů těles (zejmén šířky W délky L) n průběh závislosti G() n velikost kritické celkové délky trhliny c

141 7. HNACÍ SÍLA TRHLINY (RYCHLOST UVOLŇOVÁNÍ DEFORMAČNÍ ENERGIE) V dosvdních úvhách, týkjících se R-křivek, jsme předpokládli nekonečné těleso (tj. << W) nebrli jsme tudíž v úvhu vliv konečných rozměrů těles, způsobu ztěžování okrjových podmínek. Z těchto předpokldů byl závislosti G j = G j () lineární. Vliv uvedených fktorů lze do výpočtu zhrnout prostřednictvím tvrové funkce f j (/W, L/W, ), j = I, II, III, neboť v souldu s trnsformčními vzthy (7.39), (7.40), (7.5), (7.53), (7.54) G j K f ( / W, L / W,...), pro j = I, II, III. (7.6) j j Důsledkem je změn chrkteru závislosti G j = G j () [] obecně tedy i změn kritické délky trhliny c kritického npětí c viz npř. obr.7.. Obr.7.3 Vliv tloušťky těles B n průběh R-křivky, porovnání kritické délky trhliny c ve stvu RD RN. V předchozí 6.kpitole jsme uvedli smluvní podmínky, jejichž splnění je nutné k zjištění stvu rovinné npjtosti či rovinné deformce. Tyto podmínky vycházejí ze vzthu mezi odhdem velikosti plstické zóny před čelem trhliny r p ve stvu RN tloušťkou těles B. * Je-li splněn podmínk ( RN ) / B 0, 0637, jde o typický stv rovinné deformce r p * R = konst, je-li splněn podmínk ( RN ) / B, jde o typický stv rovinné npjtosti R r p doshuje největších hodnot viz obr.7.3. Z uvedeného grfu je mimo jiné zřejmé, že celková kritická délk trhliny c v okmžiku ztráty stbility může být při stejném npětí ve stvu RN podsttně větší, než ve stvu RD. Jde-li o kombinovnou rovinnou úlohu RN + RD, tj. * v přípdě 0,0637 ( RN ) / B, leží odpovídjící R-křivk mezi oběm uvedenými r p krjními polohmi viz obr.7.3. Prmetrem, ovlivňujícím tvr polohu R-křivky, je z jink identických podmínek tloušťk těles B

142 7. HNACÍ SÍLA TRHLINY (RYCHLOST UVOLŇOVÁNÍ DEFORMAČNÍ ENERGIE) 7.4 ZÁVĚREČNÉ POZNÁMKY Z předchozích úvh vyplývá, že obě dosud uvedená kriteri lineární lomové mechniky, posuzující stbilitu trhliny pomocí fktoru intenzity npětí K (5. kpitol) hncí síly trhliny G (7. kpitol) stejně jko kriterium, zložené n fktoru hustoty deformční energie S (8. kpitol), jsou ekvivlentní, neboť vycházejí ze shodných předpokldů. Nevýhodou všech zmíněných kriterií je omezení výpočtů polí npětí deformcí pouze n blízké okolí čel trhliny jejich nepoužitelnost v přípdě plstické deformce většího rozshu. Uvedený nedosttek byl odstrněn odvozením jiných kriterií, npř. kriteri, které posuzuje stbilitu trhliny pomocí otevření čel trhliny CTOD (9. kpitol), J-integrálu (0. kpitol) pod. L I T E R A T U R A K 7. K A P I T O L E [] KROUPA,F.: Lomová mechnik. Čs. čs. fyz., A 8, 978, č., s.0-3. [] ROSSMANITH,H.P.: Frcture Mechnics nd Mterils Testing: Forgotten Pioneers of the Erly 0 th Century. Ftigue Frct. Engng Mter. Struct.,, 999, No.9, pp [3] ROSSMANITH,H.P.: An Introduction to K. Wieghrdt s Historicl Pper On Spliting nd Crcking of Elstic bodies. Ftigue Frct. Engng Mter. Struct., 8, 995, No., pp [4] WIEGHARDT,K.: Über ds Splten und Zerreissen elstischer Körper. Z. Mthemtik Physik, 55, 907, pp [5] ROSSMANITH,H.P.: English Trnsltion of [4]. Ftigue Frct. Engng Mter. Struct., 8, 995, No., pp [6] GRIFFITH,A.A.: The Phenomenon of Rupture nd Flow in Solids. Phil. Trns. Royl Soc., A, 9, pp [7] INGLIS,C.E.: Stresses in Plte Due to the Presence of Crcks nd Shrp Corners. Trns. Inst. Nvl Archit., 55, 93, No., pp.9-4. [8] SIH,G.C. - LIEBOWITZ,H.: Mthemticl Theories of Brittle Frcture. In: Frcture. Ed. H.Liebowitz. Vol.II, New York nd London, Acdemic Press 968, pp [9] BROEK,D.: Elementry Engineering Frcture Mechnics. 4th Ed. Dordrecht, Mrtinus Nijhoff Publishers 987, 56 p. [0] EWALDS,H.L. - WANHILL,R.J.H.: Frcture Mechnics. London, Edwrd Arnold 989, 304 p. [] BROEK,D.: The Prcticl Use of Frcture Mechnics. Kluwer Acdemic Publishers 988, 600 p

143 8. FAKTOR HUSTOTY DEFORMAČNÍ ENERGIE 8. FAKTOR HUSTOTY DEFORMAČNÍ ENERGIE 8. ÚVOD Konstrukční součásti bývjí v prxi velmi čsto vystveny kombinovnému, víceosému nmáhání. Trhliny v těchto součástech bývjí vůči směru vnějšího nmáhání orientovány tk, že jde o smíšený mód porušování. Dosud uvedená kriteri stbility trhliny byl zložen n implicitním předpokldu, že priori známe směr šíření trhliny. Předpokládli jsme, že k šíření trhliny dojde ve směru osy x, dném předchozí orientcí trhliny (viz npř. obr.3.8). V přípdě, že nejde o čistý thový mód I, všk tento předpokld nemusí být splněn. Aplikce předchozích kritérií lomové mechniky by v těchto přípdech mohl vést ke znčným chybám (npř. při určování kritických hodnot ztížení pod.). Obecně lze konsttovt, že směr šíření trhliny závisí n rozložení energie v tělese n vlstnostech mteriálu před čelem trhliny (npř. n výskytu strukturních nehomogenit pod.). Pro exktní popis chování trhliny v ztíženém tělese pro řešení otázek její stbility je nezbytná objektivní predikce směru šíření trhliny. Nznčenou problemtikou se ve svých prcích zbývá zejmén Sih (viz npř. [] ž [3]). Vychází přitom z koncepce hustoty deformční energie: Z předpokldu lineárně elstického mteriálu lze objemovou hustotu deformční energie du/dv (v nglicky psných publikcích někdy též oznčovnou jko SED = Strin Energy Density ) vyjádřit pomocí obecného vzthu [4], [5] (viz odst.0.) du dv ij ijd ij i, j 0 i, j ij ij [J/m 3 ; MP]. (8.) Dosdíme-li do vzthu (8.) z složky tenzoru deformce ij pomocí zobecněného Hookov zákon (3.7), dostáváme du dv x x E xy xy G y yz z E yz zx zx, G G tj. po úprvě doszení z modul pružnosti ve smyku G pomocí (3.0) du dv y y. x y z x y y z z x xy yz zx (8.) E E E Předpokládejme obecný, smíšený mód porušování (tj. I + II + III). Podle principu super- pozice pltí z x ij iji ijii ijiii. (8.3) z E z x y

144 8. FAKTOR HUSTOTY DEFORMAČNÍ ENERGIE V blízkém okolí čel trhliny jsou složky tenzoru npětí ij (i = x, y, z; j = x, y, z) pro jednotli- livé módy porušování dány rovnicemi (5.3) ž (5.7). Tyto vzthy lze obecně vyjádřit ve tvru fijk ijk fijk Kk (i = x, y, z; j = x, y, z; k = I, II, III), (8.4) r r který vyjdřuje závislost ijk n fktoru intenzity npětí K k (k = I, II, III) n polárních souřdnicích r. Dosdíme-li pomocí (5.3) ž (5.7) do vzthu (8.3), dostáváme 3 3 x KI cos sin sin KII sin cos cos r 3 3 y K I cos sin sin K II sin cos cos r z K I cos KII sin r pro RD, z 0 pro RN, (8.5) xy yz zx 3 3 K I sin cos cos K II cos sin sin r K III cos r K III sin. r Dosdíme-li do rovnice (8.) z složky tenzoru npětí i ij pomocí vzthů (8.5), dostáváme po úprvě hustotu deformční energie du/dv vyjádřenou v kvdrtické formě du KI KI KII KII 33KIII [J/m 3, MP], (8.6) dv r přičemž koeficienty ij (i, j=,, 3) [MP - ]) jsou definovány rovnicemi 3 4 cos cos pro stv RD 6 G 3 cos cos 6 G pro stv RN sin cos 8 G pro stv RD sin cos 8 G pro stv RN (8.7) 4 cos cos 3cos 6 G pro stv RD 4 cos cos 3cos 6 G pro stv RN G

145 8. FAKTOR HUSTOTY DEFORMAČNÍ ENERGIE 8. DEFINICE A ZÁKLADNÍ HYPOTÉZY Fktor hustoty deformční energie S je definován vzthem du S r [N/m = J/m ]. (8.8) dv (Ve strší nglosské litertuře byl používán rozměr lb/in 75, N/m.) Dosdíme-li do uvedeného vzthu z du/dv pomocí (8.6), dostáváme trnsformční vzth mezi fktorem hustoty deformční energie S fktory intenzity npětí K k (k = I, II, III): S K K K K K, (8.9) I I II II 33 III kde koeficienty ij = ij (, G, ) (i, j =,, 3) jsou dány vzthy (8.7). Ztímco fktor intenzity npětí, hncí síl trhliny jiné dříve diskutovné prmetry lomové mechniky kvntifikují pouze "mplitudu" pole npětí v okolí čel trhliny, fktor hustoty deformční energie S je nvíc i směrově citlivý. Rozdíl mezi fktory K S je tedy možno přirovnt k rozdílu mezi sklárem vektorem. Sihov teorie nestbilního šíření trhliny je zložen n dvou zákldních hypotézách: ) Hypotéz : K šíření trhliny dojde ve směru, ve kterém je fktor hustoty deformční energie S minimální (tj. hustot potenciální energie mximální). Úhel o, udávjící směr šíře- ní, je tedy určen podmínkmi tj. ve stvu RD sin S 0, (8.0) cos K cos cos K K sin 3cos K 0 resp. ve stvu RN sin cos K tj. ve stvu RD I I cos cos KI K I II II sin 3cos K II II 0 S 0, (8.0b) cos cos K sin 4cos K K cos 3cos K 0 resp. ve stvu RN I cos cos K sin 4cos K K cos 3cos K 0. I ) Hypotéz : K šíření trhliny dojde, jestliže fktor hustoty deformční energie S dosáhne ve směru definovném úhlem o kritické hodnoty S c, tj. o Sc I I II II S. (8.) Hodnot S c chrkterizuje (obdobně jko lomová houževntost K c ) odpor mteriálu proti šíření trhliny. Vzth (8.) je tedy kriteriem ztráty stbility trhliny. II II,

146 8. FAKTOR HUSTOTY DEFORMAČNÍ ENERGIE 8.3 JEDNODUCHÉ PŘÍKLADY APLIKACÍ 8.3. Thový mód I Nekonečné těleso s centrální trhlinou délky je nmáháno thovým npětím, působícím ve směru osy y. Odpovídjící fktory intenzity npětí K k (k = I, II, III) jsou dány vzthy (5.), podle kterých K I K II 0 (8.) K III 0. Dosdíme-li pomocí (8.) (8.7) do vzthu (8.9), dostáváme pro stv rovinné deformce S KI 3 4 cos cos. (8.3) 6G Podle podmínky (8.0) dojde k šíření trhliny ve směru, ve kterém pltí S Rovnice (8.4) má dvě řešení: 0 sin 8G rccos cos 0. (8.4). Podmínku minim (8.0b), tj. S 8G cos cos 0, (8.5) splňuje pouze první řešení, neboť S 0 4G pro všechn 0 < < 0,5, S G ztímco 0 pro všechn 0 < < 0,5. Trhlin se tedy bude šířit ve směru 0 = = 0. V tomto směru nbývá fktor hustoty deformční energie své minimální hodnoty S min S 4G 0. Ke ztrátě stbility trhliny dojde, dosáhne-li npětí kritické hodnoty c, resp. dosáhne-li S ve směru o = 0 kritické hodnoty S c, jejíž velikost vyplývá ze vzthu (8.3), položíme-li K I = K Ic, tj

147 8. FAKTOR HUSTOTY DEFORMAČNÍ ENERGIE S c c K Ic pro stv RD. (8.6) 4G 4 G Některé konkrétní hodnoty S c pro běžné konstrukční slitiny jsou uvedeny v tb.8.. Tbulk 8. Příkldy kritických hodnot S c některých slitin při pokojové teplotě. Slitin E [MP] G [MP] [] K Ic [MP.m l/ ] S c [J/m ] Mrtenzitická ocel , Austenitická ocel , Uhlíktá ocel , Ti-6A-4V , Ti-8Mo-8V-Fe-3A , AlCu4Mg / AlZn6MgCu / Rovinný smykový mód II Nekonečné těleso s centrální trhlinou délky je nmáháno smykovým npětím, působícím v rovině x, y (viz obr.3.). Podle vzthů (5.) pro tento přípd pltí K I 0 K II (8.7) K III 0. Dosdíme-li pomocí (8.7) (8.7) do vzthu (8.9), dostáváme pro stv rovinné deformce S KII 4 cos cos 3cos. (8.8) 6G Z první podmínky minim (8.0) vyplývá rovnice S sin 8G cos 0 která má řešení 0 rccos. Druhá derivce S podle, tj. 3 S 8G, (8.9) 3cos cos, (8.0) je pro 0 záporná (tj. podmínk minim splněn není), neboť pltí S 4G 0 pro všechn 0 < < 0,5. Je tedy zřejmé, že v tomto přípdě dojde ke změně směru šíření trhliny. Pro S rccos pltí 0pro všechn 0 < < 0,5. 3 6G

148 8. FAKTOR HUSTOTY DEFORMAČNÍ ENERGIE Obr.8. - Obecné oznčení směru šíření po ztrátě stbility trhliny v přípdě módu II. Z fyzikálního hledisk (při znménkové konvenci podle obr.8.) pltí pouze řešení záporné (v přípdě kldného řešení by nopk docházelo k uzvírání trhliny). K šíření trhliny tedy dojde ve směru definovném úhlem rccos. Z uvedeného výsledku je zřejmé, 3 že úhel šíření trhliny o závisí n Poissonově čísle mteriálu (viz obr.8.). Npř. pro oceli ( = 0,5) pltí o = - 80,4, pro hliníkové slitiny ( = /3) pltí o = - 83,60 pod. -70 ROVINNÝ SMYKOVÝ MÓD II směr šíření trhliny oceli rccos 3 Al-slitiny Poissonovo číslo -90 0,00 0,05 0,0 0,5 0,0 0,5 0,30 0,35 0,40 0,45 0,50 Obr.8. - Závislost směru šíření trhliny o n Poissonově čísle (mód II). Ve směru definovném úhlem o bude fktor hustoty deformční energie S minimální, tj. Smin S rccos. 3 Ke ztrátě stbility trhliny dojde, G dosáhne-li npětí kritické hodnoty c, která odpovídá kritické hodnotě S c S c c K IIc pro stv RD. (8.) G G Protože předpokládáme, že S c je čistě mteriálová konstnt, musí být prvá strn rovnice (8.) rovn prvé strně rovnice (8.6), odvozené pro thový mód I, tj

149 poměr lomových houževntostí 8. FAKTOR HUSTOTY DEFORMAČNÍ ENERGIE K IIc K Ic, G 4 G resp. (8.) c c. G 4G Z rovnic (8.) vyplývá, že poměr lomových houževntostí ve stvu RD (resp. poměr kritických npětí) v módu II I, je funkcí Poissonov čísl mteriálu : K K IIc Ic c c 3. (8.3) Z uvedené závislosti (grficky znázorněné n obr.8.3) vyplývá, že pro mteriály s nižší hodnotou Poissonov čísl (0 < 0,68) pltí K IIc /K Ic (npř. v přípdě ocelí s = 0,5 pltí K IIc /K Ic =,0), ztímco pro mteriály s vyšší hodnotou Poissonov čísl (0,68 < 0,5) pltí K IIc /K Ic (npř. pro hliníkové slitiny s = /3 pltí K IIc /K Ic = 0,905).,3,, K IIc /K I,0 0,9 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 0, 0, K IIIc /K Poissonovo číslo [] 0,0 0,00 0,05 0,0 0,5 0,0 0,5 0,30 0,35 0,40 0,45 0,50 Obr Závislost poměru lomových houževntostí K IIc /K Ic K IIIc /K Ic n Poissonově čísle mteriálu - viz vzthy (8.3) (8.8) Antirovinný smykový mód III Nekonečné těleso s centrální trhlinou délky je nmáháno smykovým npětím, působícím v rovině y,z (viz obr.3.4). Podle (5.) v tomto přípdě pltí K I 0 K II 0 (8.4) K III

150 8. FAKTOR HUSTOTY DEFORMAČNÍ ENERGIE Dosdíme-li pomocí (8.4) (8.7) do (8.9), dostáváme fktor hustoty deformční energie S 33KIII, (8.5) 4G který v tomto přípdě není funkcí polárního úhlu. Ke ztrátě stbility trhliny dojde, dosáhneli smykové npětí kritické hodnoty c, odpovídjící kritické hodnotě S c, tj. Sc c K IIIc. (8.6) 4G 4 G Předpokládáme, že S c je mteriálová konstnt. Porovnáme-li prvé strny rovnic (8.6) (8.6), dostáváme KIIIc K Ic 4 G 4 G resp. (8.7) c c. 4G 4G Ze vzthů (8.7) vyplývá, že poměr lomových houževntostí ve stvu RD (resp. poměr kritických npětí) v módu III I je klesjící funkcí Poissonov čísl mteriálu (viz obr.8.3): K K IIIc Ic c c. (8.8) Z uvedeného vzthu vyplývá, že pro všechny hodnoty Poissonov čísl (0 < < 0,5) pltí K IIIc /K Ic < - npř. pro oceli s = 0,5 pltí K IIIc /K Ic = c / c = 0,707, pro hliníkové slitiny s = /3 pltí K IIIc /K Ic = c / c = 0,577 pod Smíšený mód I + II, dvouosé nmáhání Nekonečné těleso s trhlinou délky je nmáháno dvouosým ztížením, kterému odpovídjí npětí l = k. l, kde k je libovolné reálné číslo. Os trhliny (ozn. x) svírá se směrem působení npětí l úhel - viz obr.8.4. Obr Těleso s trhlinou ztížené dvouosým nmáháním ve smíšeném módu I + II

151 8. FAKTOR HUSTOTY DEFORMAČNÍ ENERGIE Při řešení této úlohy můžeme použít buď princip superpozice, nebo přímou metodu, vycházející z Mohrovy kružnice pro dvouosé ztížení: ) Využití principu superpozice. Schém, podle kterého byl dná úloh rozložen n dvě jednodušší, je uvedeno n obr.8.4. Výsledné hodnoty fktoru intenzity npětí K i (i = I, II, III) jsou dány lgebrickým součtem dílčích řešení K ij (i = I, II, III; j =, ), která odpovídjí smosttně působícím jednoosým npětím l. Obr Schém principu superpozice použitého pro řešení úlohy z obr.8.4. ) Vliv npětí l Z Mohrovy kružnice (viz obr.8.6) vyplývá, že hlvnímu npětí l odpovídá: thové npětí, působící ve směru osy y I cos cos sin, (8.9) smykové npětí, působící ve směru osy x II sin sin sin cos. (8.30) Obr Mohrov kružnice pro jednoosé Obr Mohrov kružnice pro jednoosé ztížení npětím. ztížení npětím. Fktory intenzity npětí, odpovídjící npětí l, jsou dány vzthy - 5 -

152 8. FAKTOR HUSTOTY DEFORMAČNÍ ENERGIE KI I sin, K sin cos, (8.3) II II K III 0. ) Vliv npětí = k. l. Obdobně jko v první části úlohy z Mohrovy kružnice vyplývá (viz obr.8.7), že npětí odpovídá: thové npětí, působící ve směru osy y cos cos I k smykové npětí, působící ve směru osy x cos cos, (8.3) sin sin sin cos (8.33) II k Odpovídjící fktory intenzity npětí jsou dány vzthy K.. k....cos, K I I. k....sin.. cos, (8.34). II II K III 0. Superpozicí dílčích výsledků (8.9) ž (8.34) dostáváme výsledné řešení I I I sin k cos (8.35) resp. II K I sin cos II II k, (8.36) KI KI sin k cos K II sin cos KII KII k (8.37) K K K III III III 0. Obr Mohrov kružnice pro dvouosé nmáhání, použitá pro přímé řešení úlohy z obr

153 8. FAKTOR HUSTOTY DEFORMAČNÍ ENERGIE ) Přímá metod. Zdnou úlohu je možno řešit i bez použití principu superpozice pomocí Mohrovy kružnice pro dvouosé nmáhání (obr.8.8): cos cos I k k cos sin k, II k sin sin sin cos k. Uvedené vzthy jsou totožné s řešením, získným pomocí metody superpozice (8.35) (8.36). Obr Závislost fktoru intenzity npětí K I n orientci trhliny n poměru k = /. Obr Závislost fktoru intenzity npětí K II n orientci trhliny n poměru k = /

154 8. FAKTOR HUSTOTY DEFORMAČNÍ ENERGIE Ze vzthů (8.37), grficky znázorněných n obr , je zřejmá závislost hodnot K I K II n úhlu (tj. n orientci trhliny vůči vnějšímu ztěžování) n poměru k = l /. V přípdě, kdy v obou n sebe kolmých směrech působí stejné thové npětí l = (tj. k = ), hodnoty fktoru intenzity npětí K I i K II n úhlu nezávisejí pltí K I K II K 0 - jde tedy o čistý thový mód I. III V přípdě, že obě vnější npětí mjí stejnou velikost le opčný smysl (tj. jde-li o kombinci thu tlku z podmínky = -, resp. k = - ), hodnoty K I K II n úhlu závisejí obecně jde o smíšený mód porušováni I + II. Ze vzthů (8.37) vyplývá, že pro kždé k < 0 existuje úhel, při kterém je těleso s trhlinou nmáháno pouze čistým rovinným smykem, tj. pltí K II 0 K I = K III = 0. Příslušná velikost úhlu je dán vzthem rctg k. Z uvedeného vzthu vyplývá, že npř. pro k = - je touto hodnotou = 45, přičemž K II Smíšený mód I + II, jednoosé nmáhání V dlších úvhách, změřených n predikci směru šíření trhliny v přípdě smíšeného módu I + II (viz obr.8.4), budeme pro jednoduchost předpokládt pouze jednoosé ztížení, tj. l = 0, = 0 (resp. k = 0). Dosdíme-li do (8.9) z K I K II pomocí (8.3), dostáváme fktor hustoty deformční energie S sin sin sin cos cos. (8.38) K šíření trhliny dojde ve směru definovném podmínkmi (8.0) - dosdíme-li z S pomocí S (8.38), dostáváme sin sin sin cos 0. Dosdíme-li dále do této podmínky z koeficienty ij pomocí (8.7), dostáváme po derivci úprvě z předpokldu 0: ) ve stvu rovinné deformce (8.39) sin cos sin cos cos sin sin 3cos sin sin sin cos 0, cos b) ve stvu rovinné npjtosti (8.40) sin cos sin sin cos cos sin sin 3cos cos sin sin cos 0.

155 8. FAKTOR HUSTOTY DEFORMAČNÍ ENERGIE Obr.8. - Směr šíření trhliny o v závislosti n orientci n Poissonově čísle pro jednoosé thové ztížení ve stvu RD. Obr.8. - Směr šíření trhliny o v závislosti n orientci n Poissonově čísle pro jednoosé tlkové ztížení ve stvu RD

156 8. FAKTOR HUSTOTY DEFORMAČNÍ ENERGIE Obr Závislost fktoru hustoty deformční energie S o ve směru šíření o n úhlu n Poissonově čísle pro jednoosý th ve stvu RD. Obr Závislost fktoru hustoty deformční energie S o ve směru šíření o n úhlu n Poissonově čísle pro jednoosý tlk ve stvu RD

157 8. FAKTOR HUSTOTY DEFORMAČNÍ ENERGIE Obr Závislost kritického npětí c n úhlu n Poissonově čísle pro jednoosý th ve stvu RD. Obr Závislost kritického npětí c n úhlu n Poissonově čísle pro jednoosý tlk ve stvu RD

158 8. FAKTOR HUSTOTY DEFORMAČNÍ ENERGIE Rovnice (0.39) (0.40) mjí v intervlu (-80, +80) z čistě mtemtického hledisk více řešení o. Tto řešení jsou funkcí úhlu Poissonov čísl. Jednoosému thu (tj. > 0) fyzikálně odpovídjí záporná řešení o (- 80, 0). N obr.8. je grficky znázorněn závislost o (, ), tj. řešení rovnice (8.39), pro stv rovinné deformce. Uvedené teoretické výsledky jsou v souldu s experimenty []. Jednoosému tlku (tj. < 0) fyzikálně odpovídjí kldná řešení o (0, 80) - viz obr.8., n kterém jsou vyneseny závislosti o (, ) pro stv rovinné deformce. Názornou ukázkou směrové citlivosti fktoru hustoty deformční. energie je závislost 6 S poměru G o, předstvujícího normlizovnou hodnotu S o, n úhlu n Poissonově čísle - viz obr S o odpovídá úhlu o, který definuje směr, ve kterém je fktor hustoty deformční energie S minimální (viz obr.8. 8.). Z grfů n obr.8.3 je zřejmé, že v přípdě jednoosého thu má uvedená závislost monotónní chrkter - s rostoucím úhlem fktor hustoty deformční energie S o roste doshuje mxim při = 90, tj. v přípdě čistě thového módu I. Ke ztrátě stbility trhliny dojde, dosáhne-li S o kritické hodnoty S c, tj. S o = S c. Je zřejmé, že odpovídjící kritická hodnot vnějšího thového npětí c závisí n úhlu (při = 90 je c minimální) n Poissonově čísle ( c je tím nižší, čím menší je Poissonovo číslo, tj. čím křehčí je mteriál) - viz obr.8.5. V přípdě jednoosého tlku pro kždé existuje určitý úhel o, při kterém S o nbývá svého mxim (viz obr.8.4). Při ztrátě stbility trhliny tedy úhlu o odpovídá minimální kritická hodnot vnějšího tlkového npět c - viz obr ZÁVĚREČNÉ POZNÁMKY Vzthy (3.46), (3.56) (3.66), vyjdřující složky tenzoru npětí v tělese s trhlinou pro thový mód I, rovinný smykový mód II ntirovinný smykový mód III, byly odvozeny pomocí komplexních npěťových funkcí, u kterých byly znedbány členy vyšších řádů. Je zřejmé, že toto zjednodušení v přípdě smíšeného módu porušování může negtivně ovlivnit přesnost výsledných složek tenzoru npětí (8.5) tedy i přesnost výpočtu hustoty deformční energie (8.6). Vlivy členů vyšších řádů n hustotu deformční energie s tím související důsledky pro predikci směru šíření trhliny jsou podrobněji nlyzovány npř. v prcích [6] ž [8]. Hlvním přínosem kritéri lomové mechniky, vyjádřeného pomocí fktoru hustoty deformční energie S, je vytvoření objektivních podkldů umožňujících posouzení:

159 8. FAKTOR HUSTOTY DEFORMAČNÍ ENERGIE ) stbility trhliny v přípdech smíšených módů, b) predikci směru šíření trhliny. Použitelnost výše uvedených postupů je všk omezen pouze n oblst lineární lomové mechniky, neboť se při jejich odvozování vycházelo z předpokldu čistě elstického chování mteriálu (splnění tohoto předpokldu npř. podmiňuje možnost použití principu superpozice). Potenciální možnosti využiti hustoty deformční energie v přípdě větších plstických deformcí jsou nznčeny v práci [9]. L I T E R A T U R A K 8. K A P I T O L E [] SIH,G.C.: Introductory Chpter: A Specil Theory of Crck Propgtion. In: Mechnics of Frcture. Methods of Anlysis nd Solutions of Crck Problems. Ed. G.C.Sih, Leyden, Noordhoff Interntionl Publishing 973, pp.xxi-xlv. [] SIH,G.C.: Some Bsic Problems in Frcture Mechnics nd New Concepts. Engng Frcture Mech., 5, 973, No., pp [3] SIH,G.C.: Hndbook of Stress Intensity Fctors. Bethlehem, PA., Lehigh University 973. [4] DVOŘÁK,J.: Zákldy teoretické pružnosti. (Skript ČVUT-FTJF.) Prh, SNTL 965, 30 s. [5] OLIVA,Vl.: Aplikovná mechnik kontinu I. Elstomechnik. (Skript ČVUT-FJFI.) Prh, ES ČVUT 98, 75 s. [6] EFTIS,J. - SUBRAMONIAN,N.: The Inclined Crck Under Bixil Lod. Engng Frcture Mech., 0, 978, No., pp [7] MAITI,S.K. - SMITH,R.A.: Criteri for Brittle Frcture in Bixil Tension. Engng Frcture Mech., 9, 984, No.5, pp [8] SMITH,R.N.L.: Second-Order Terms nd Strin Energy Density for the Angled Crck Problem. Engng Frcture Mech., 6, 987, No.3, pp [9] SIH,G.C. - MADENCI,E.: Frcture Initition Under Gross Yielding. Strin Energy Density Criterion. Engng Frcture Mech., 8, 983, No.3, pp

160 v(x,0) COD(x) 9. OTEVŘENÍ TRHLINY (COD, CTOD) 9. OTEVŘENÍ TRHLINY (COD, CTOD) 9. DEFINICE COD A CTOD Otevření trhliny (ozn. COD = Crck Opening Displcement) je obecně definováno rozdílem rozhodujících složek vektoru posuvu n obou lících trhliny. V přípdě thového módu I je COD ve vzdálenosti x od středu centrální trhliny v tělese (obr.9.) dáno vzthem x vx,0 COD. (9.) s s s y s s s x 0 x s s s s s s Obr.9. Zvedení souřdného systému definice COD(x), čistě elstický stv npjtosti. Dosdíme-li do obecných vzthů pro výpočet složek posuvu (3.40) Westergrdovu funkci npětí Z() ve tvru (3.4) položíme-li y = 0, dostáváme v E E s v x, 0 x E E x, 0 Im Z d s Im x s Im i x, tj. resp. stv RD (9.) v x, 0 s x stv RN. (9.3) E Po doszení vzthů (9.) (9.3) do (9.) dostáváme COD 4s E x x stv RD (9.4)

161 9. OTEVŘENÍ TRHLINY (COD, CTOD) COD 4 s stv RN. (9.5) E x x Uvedené vzthy pltí pro čistě elstický stv npjtosti. Je zřejmé, že z tohoto předpokldu je otevření čel trhliny CTOD (Crck Tip Opening Displcement), definovné vzthem nulové. CTOD COD x, (9.6) Předpokládejme, že před čelem trhliny dochází k plstické deformci. Provedeme-li pomocí obecného vzthu (6.6) korekci délky trhliny n velikost plstická zóny, lze vzthy (9.4) (9.5) přepst do tvru * kde rp přípdě (tj. pro x = ) ef x 4s * x r COD p E x 4 * x r stv RD (9.7) COD s p stv RN, (9.8) E je efektivní délk trhliny (viz 6. kp.). Otevření čel trhliny je v tomto * * 4s CTOD r p r p E stv RD (9.9) 4 * * CTOD s r p r p E stv RN. (9.0) Z předpokldu mlé plstické deformce ( r p * << ) lze vzthy (9.9) (9.0) uprvit do tvru * 4s CTOD r p stv RD (9.) E * 4s CTOD r p stv RN. (9.) E Dosdíme-li do rovnice (9.) z s pomocí vzthu (6.), který vyjdřuje Irwinovu korekci n velikost plstické zóny r p *, tj. dostáváme * 0, s r p R p, 8Rp0, * CTOD rp stv RN. (9.3) E Z uvedeného vzthu je zřejmá přímá úměr mezi CTOD r p *. CTOD je tedy měřítkem velikosti plstické zóny před čelem trhliny

162 COD(r) 9. OTEVŘENÍ TRHLINY (COD, CTOD) 9. POUŽITÍ CTOD V PŘÍPADĚ PLASTICKÉ DEFORMACE MALÉHO ROZSAHU (V OBORU PLATNOSTI LLM) 9.. Vzth mezi CTOD, K G Posuneme-li počátek souřdného systému n čelo "efektivní" trhliny (viz obr.9.), tj. * provedeme-li substituci x r r, lze vzth (9.8) z předpokldu r << přepst do tvru COD Dosdíme-li do tohoto vzthu z r p 4 * r r r s p stv RN, (9.4) E r * * p, kde r p je dáno vzthem (6.), dostáváme z předpokldu r p * << vzth mezi otevřením čel trhliny CTOD fktorem intenzity npětí K I : s * 4 K I CTOD COD r rp stv RN. (9.5) ER 0, s s y s p y s s * r p r 0 0 * r p x s s s s s s Obr.9. Zvedení souřdného systému definice COD(r), mlá plstická deformce n čele trhliny. Anlytické stnovení velikosti plstické zóny r p * není dosud zcel jednoznčnou záležitostí. Jednotlivé výsledky, získné n zákldě různých předpokldů, se od sebe kvntittivně odlišují. Důsledkem je i odlišná korekce délky trhliny n velikost plstické zóny. 4 Číselný fktor, vystupující ve vzthu (9.5), odpovídá Irwinovu výpočtu velikosti plstické zóny - viz vzth (6.). Podle jiných utorů nbývá zmíněný číselný fktor jiných hodnot - npř. podle Dugdleov modelu [] je tento fktor roven []. Obecně lze vzth mezi CTOD - 6 -

163 9. OTEVŘENÍ TRHLINY (COD, CTOD) K I vyjádřit ve tvru K I CTOD stv RD, (9.6) ER 0, p K I CTOD stv RN, (9.7) ER 0, p kde oznčuje bezrozměrnou konstntu (tzv. fktor stísnění). Při teoretickém výpočtu r p * podle Irwin pltí / 4, podle Dugdl pod. Konstntu lze stnovit i experimentálně - přímým měřením závislosti CTOD (viz odst ) n fktoru intenzity npětí K I. Její velikost závisí n řdě fktorů, mezi které ptří zejmén (viz [] ž [5]): místo, ve kterém je hodnot CTOD měřen (závisí n definici polohy čel trhliny), způsob měření CTOD, typ zkušebního těles, způsob ztěžování, mez kluzu mteriálu pod.. Výsledky teoretických experimentálních prcí věnovných této problemtice nznčují, že hodnot se obvykle pohybuje v intervlu / 4 [3]. Dosdíme-li do rovnic (9.6) (9.7) pomocí trnsformčních vzthů (7.39) (7.40), dostáváme vzth mezi CTOD hncí silou trhliny G: G CTOD. (9.8) R p 0, 9.. Měření CTOD v lbortorních podmínkách Měření CTOD lze v lbortorních podmínkách provádět následujícími způsoby: ) Přímým optickým měřením n fotogrfiích ústí kořene trhliny n povrchu ztíženého těles. b) Nepřímým optickým měřením n replikách, sejmutých v uvedeném místě ztíženého těles. c) Měřením n metlogrfických řezech, pořízených v různých místech čel trhliny; přičemž vzájemnou polohu obou lící trhliny je třeb zfixovt v poloze při ztížení pomocí plstické hmoty, která vyplní prostor mezi nimi. d) Prvděpodobně nejspolehlivější měření CTOD se provádí tk, že se prostor mezi lícemi trhliny vyplní tvrdnoucí silikonovou gumou. Tkto pořízený "odlitek" trhliny lze po

164 9. OTEVŘENÍ TRHLINY (COD, CTOD) pokovení (obvykle zltem ve vkuové npřovčce) pozorovt proměřovt pomocí řádkovcího elektronového mikroskopu Kriterium stbility trhliny; prktické způsoby určování CTOD Aplikovtelnost kriteri stbility trhliny, vyjádřeného pomocí CTOD, tj. CTOD CTOD c, (9.9) je podmíněn možností měření CTOD stnovení kritické hodnoty CTOD c. Metody, uvedené v odst. 9.., jsou vhodné pro lbortorní použití v rámci zákldního výzkumu, le možnosti jejich upltnění v běžné technické prxi jsou znčně omezené. U reálných těles je proto třeb použít jiných postupů: ) Využití trnsformčních vzthů mezi CTOD K. Trnsformční vzthy (9.6) (9.7) umožňují stnovit CTOD nepřímo - n zákldě znlosti fktoru intenzity npětí K I konstnty (její velikost je možno zjistit výše uvedeným postupem v rámci nástupního experimentu v lbortorních podmínkách). Vzthů (9.6) (9.7) lze užít i pro stnovení kritické hodnoty otevření čel trhliny CTOD c, při které dojde ke ztrátě stbility trhliny, tj. CTOD CTOD c c K Ic, stv RD, (9.0) ER 0, p Kc, stv RN, (9.) ER 0, p kde K Ic, resp. K c, předstvuje lomovou houževntost mteriálu ve stvu RD, resp. RN, z dných experimentálních podmínek. b) Výpočet CTOD z nměřené hodnoty COD. Ze vzthu (9.7), resp. (9.8) vyplývá resp. * * COD( x) E rp rp x 4s * * COD( x) E rp rp x 4s stv RD stv RN. Dosdíme-li pomocí uvedených vzthů z * * p rp r do (9.9), resp. (9.0), dostáváme CTOD CTOD COD 6s x x E s x x 6 COD E stv RD (9.). stv RN. (9.3)

165 9. OTEVŘENÍ TRHLINY (COD, CTOD) Hodnotu COD(x), vystupující v uvedených vztzích, změříme ve vhodném místě pomocí sponového snímče. U těles s centrální trhlinou se měří obvykle uprostřed trhliny (tj. x = 0 viz obr.9.), u těles s okrjovou trhlinou se měření obvykle provádí n jejím ústí (viz npř. obr.5.34). Výhodou uvedeného postupu je, že při jeho plikci není třeb přijímt žádný předpokld o korekci délky trhliny n velikost plstické zóny že tudíž odpdá i problém stnovení koeficientu. Nznčeným postupem lze experimentálně určovt i kritické hodnoty CTOD c, vystupující n prvé strně lomového kriteri (9.9). Hodnoty K c, odpovídjící podle vzthu (9.0) experimentálně stnoveným hodnotám CTOD, jsou ve velmi dobré shodě s hodnotmi K c, stnovenými jinými nezávislými metodmi. 9.3 POUŽITÍ CTOD V PŘÍPADĚ PLASTICKÉ DEFORMACE VELKÉHO ROZSAHU Nrozdíl od kriterií lineární lomové mechniky lze lomové kriterium vyjádřené pomocí CTOD použít i v přípdě npětí, jejichž velikost odpovídá mezi kluzu mteriálu. Lze určit kritickou hodnotu CTOD c, kterou lze (i když s určitými výhrdmi) povžovt z mteriálovou chrkteristiku. Z této skutečnosti vyplývjí znčně rozšířené plikční možnosti Mteriály s nízkou lomovou houževntostí, oblst krátkých trhlin V přípdě mteriálů s nízkou lomovou houževntostí by v oblsti krátkých trhlin (n obr.9.3 ozn. ) podle kriteri lineární lomové mechniky mělo k porušení dojít při npětí s cl, které je všk vyšší než npětí, při kterém dojde ke zplstizování zbylého nosného průřezu, tj. s c R p 0,. Při větší délce trhliny (n obr.9.3 ozn. ) dochází k lomu při npětí W s c R p 0,. V obou přípdech by všk podle výše uvedeného předpokldu měl W být stejná kritická hodnot CTOD c (podrobnější diskuse tohoto předpokldu viz odst. 9.4). Vzthy (9.6) (9.7), vyjdřující vzbu mezi otevřením čel trhliny fktorem intenzity npětí, byly původně odvozeny z předpokldu mlé plstické zóny n čele trhliny jsou tedy pltné pro délku trhliny, le nepltí pro délku trhliny l (obr.9.3). Vzhledem k tomu, že kritická hodnot CTOD c by v obou přípdech měl být stejná, je možno CTOD c určit n tělese s mlou délkou trhliny, což je z prktického hledisk výhodné. Doszením tkto určené hodnoty CTOD c do vzthu (9.6) nebo (9.7) lze nepřímo určit lomovou houževntost

166 0 9. OTEVŘENÍ TRHLINY (COD, CTOD) mteriálu K Ic n zákldě experimentálních výsledků získných n mlých zkušebních tělesech s mlou délkou trhliny. Geometrické poždvky (5.4), kldené n zkušební těles při přímém měření K Ic, nemusí být v tomto přípdě splněny. R m ZTRÁTA STABILITY TRHLINY PODLE KRITERIA LINEÁRNÍ LOMOVÉ MECHANIKY R p 0, s c s c PODMÍINKA ZPLASTIZOVÁNÍ ZBYLÉHO NOSNÉHO PRŮŘEZU s c /W 0 /W 0, /W 0,4 0,6 0,8 Obr.9.3 Závislost kritického npětí s c n reltivní délce trhliny /W při použití kritéri lineární lomové mechniky Mteriály s vysokou lomovou houževntostí U vysoce houževntých mteriálů nelze hodnotu K Ic přímým měřením stnovit (viz obr.6.0), neboť ke ztrátě stbility trhliny dochází po totálním zplstizování celého nosného průřezu. Houževntost tohoto mteriálu všk lze chrkterizovt hodnotou CTOD c, která umožňuje porovnání jednotlivých mteriálů z hledisk jejich odolnosti vůči šíření trhliny. Tto skutečnost rozšiřuje možnosti plikce lomové mechniky i pro mteriály s vysokou lomovou houževntostí. Kvntifikce kritických veličin (npř. c, s c ), důležitých z hledisk konstruktér i provozovtele, je všk v tomto přípdě problemtická, neboť vzthy typu (9.4) či (9.7) v přípdě plstické deformce velkého rozshu nepltí

167 r.(w-) r.(w-) 9. OTEVŘENÍ TRHLINY (COD, CTOD) Určování CTOD V přípdě totálního zplstizování nosného průřezu v kritickém místě těles se problém stnovení CTOD komplikuje, neboť jednoznčný, obecně pltný vzth mezi COD CTOD typu (9.) (9.) není v tomto přípdě k dispozici. ) Výpočet CTOD z nměřené hodnoty COD s využitím rotčního součinitele. Měření COD se obvykle provádí n zkušebních tělesech, ztěžovných tříbodovým ohybem (ozn. 3PB). Po zplstizování celého nosného průřezu se před čelem trhliny vytvoří plstický kloub, jehož střed otáčení leží ve vzdálenosti r W od čel trhliny (obr.9.4), kde r je tzv. rotční součinitel, jehož velikost se určuje experimentálně (viz npř. [6], [7]). F plstický kloub CTOD Obr.9.4 Určení polohy středu plstického kloubu pomocí rotčního součinitele r. střed plstického kloubu čelo trhliny CTOD okrj těles (místo měření) COD Obr.9.5 Vzth mezi COD měřeným n okrji těles CTOD

168 rotční součinitel r [] rotční součinitel r [] 9. OTEVŘENÍ TRHLINY (COD, CTOD) Podrobnější rozbor problemtiky rotčního součinitele je proveden npř. v [8] ž []. Vzth mezi COD měřeným n okrji těles CTOD v tomto přípdě vyplývá z podobnosti trojúhelníků - viz obr.9.5: resp. po úprvě COD CTOD W W r W r, r COD CTOD r W. (9.4) Použití vzthu (9.4) je podmíněno znlostí rotčního součinitele r. Obecně je třeb předpokládt, že r není konstntní. Experimentálně bylo prokázáno, že velikost rotčního součinitele v průběhu ztěžování roste s rostoucím rozshem plstické deformce. V litertuře jsou uvedeny různé empirické vzthy, vyjdřující růst rotčního součinitele npř. v závislosti n: CTOD, pro CTOD v mm [3] (pro různé slitiny Fe, Al, Ti - viz obr.9.6) CTOD, 58 3 r 0,047 3,697CTOD 4,43 CTOD (9.5) 0,50 0,50 0,45 0,45 0,40 vzth (9.5) 0,40 0,35 0,35 0,30 0,30 vzth (9.6) vzth (9.7) 0,5 0,5 0,0 0,0 0,5 0,5 0,0 0,0 0,05 CTOD [mm] 0,00 0,00 0,05 0,0 0,5 0,0 0,5 0,30 0,05 /W [] 0,00 0,0 0, 0, 0,3 0,4 0,5 0,6 Obr.9.6 Příkld závislosti rotčního součinitele r n CTOD. Obr.9.7 Příkld závislosti rotčního součinitele r n poměru /W

169 9. OTEVŘENÍ TRHLINY (COD, CTOD) reltivní délce trhliny /W [4], [5] (viz obr.9.7) r 0,09,3 0,9, (9.6) W W npětí ve zbylém nosném průřezu s n, resp. n nominálním npětí s [6] (viz obr.9.7) s n s r. (9.7) 3 W R 0, 3 W R 0, p p Experimentální výsledky nznčují, že velikost rotčního součinitele r závisí rovněž n mezi kluzu mteriálu R p 0, [], [6], n tloušťce těles B [7] pod.. b) Výpočet CTOD z dvojice hodnot COD nměřených dvojitým sponovým snímčem. Problému stnovení rotčního součinitele r se lze vyhnout, dovoluje-li experimentální uspořádání použití dvojitého sponového snímče, umožňujícího prlelní měření COD ve dvou různých místech [5], [8] - viz obr Z podobnosti trojúhelníků v tomto přípdě vyplývá COD r odkud po úprvě dostáváme COD CTOD, W x r W x r W CTOD COD x COD x. (9.8) x x Obr.9.8 Měření COD ve dvou místech těles Obr.9.9 Vzth mezi COD, COD (dvojitý sponový snímč). CTOD (viz obr.9.8)

170 9. OTEVŘENÍ TRHLINY (COD, CTOD) Uvedený postup umožňuje vyjádřit rotční součinitel r v závislosti n experimentálně stnovených hodnotách COD COD : x COD x COD COD W CTOD x x COD COD W COD r. (9.9) Metodu použití dvou snímčů lze modifikovt tk, že jeden ze snímčů detekuje otevření trhliny COD n jejím ústí druhý měří posuv v bodě, ve kterém n těleso působí ztěžovcí síl [9] Určování CTOD c (CTOD in ) Vzthů (9.4), resp. (9.8), lze použít i pro měření kritické hodnoty CTOD c. Tto hodnot by měl odpovídt okmžiku lomu. Problémem je všk definice tohoto okmžiku. Závěrečnému oddělení obou částí těles předchází etp reltivně pomlého, stbilního šíření trhliny, jehož detekce je obtížná. V prxi proto hodnot CTOD c obvykle odpovídá mximálnímu ztížení těles. Má-li se všk nznčeného postupu použít npř. pro nepřímé stnovení lomové houževntosti K Ic [0], je třeb měření CTOD provést z výše uvedené podmínky, tj. n počátku stbilního šíření trhliny předcházejícího dolomu. Pro detekci počátku stbilního šíření trhliny se v prxi používá nejčstěji elektrické potenciálové metody. Odpovídjící kritická hodnot CTOD se oznčuje CTOD in. V lbortorních podmínkách lze pro měření CTOD in použít některou z metod, uvedených v odst. 9.. (viz npř. []). Prktické postupy měření kritické hodnoty CTOD in jsou (obdobně jko v přípdě měření lomové houževntosti K Ic ) normlizovány viz npř. normy ASTM [], [3]. Výsledná hodnot je v přípdě měření COD n okrji těles využití rotčního součinitele dán pro stv RD vzthem CTOD in p Kin E R 0, kde o původní délk trhliny, in r COD in o W in in o délk trhliny v okmžiku ztráty stbility, K in fktor intenzity npětí odpovídjící délce trhliny in, COD in plstická část otevření trhliny, měřeného n okrji těles, r rotční součinitel, E modul pružnosti v thu, Poissonovo číslo, Rp0, smluvní mez kluzu v thu, W šířk těles , (9.30)

171 9. OTEVŘENÍ TRHLINY (COD, CTOD) Je zřejmé, že první člen prvé strny vzthu (9.30) odpovídá elstické složce (viz vzth (9.0) pro = ) druhý člen plstické složce (viz vzth (9.4)). Dlší podmínkou plikovtelnosti metody měření CTOD pro nepřímé určení K Ic je zjištění stvu rovinné deformce n čele trhliny, související s poždvkem n rozměrovou nezávislost ( tedy reprodukovtelnost) nměřené hodnoty lomové houževntosti. Obdobně jko v přípdě přímého měření K Ic (viz odst ) je proto třeb, by rozhodující rozměry zkušebního těles (tj. tloušťk B, délk trhliny šířk zbylého nosného průřezu (W-)), byly větší než minimální, empiricky stnovená hodnot, která je určitým k-násobkem CTOD in, tj. W CTODin B ; ;.. (9.3) Uvedený vzth lze pomocí trnsformčního vzthu (9.6) převést do tvru B; ; resp. po úprvě B; ; K Ic W., (9.3) E R 0, W p Rp 0,. K Ic. (9.3b) E 0, Rp Názory n velikost konstnty se s rostoucím objemem zvyšující se kvlitou experimentálních dt postupně mění upřesňují. Dříve se doporučovl používl hodnot = 5 (viz npř. [5]). Experimenty, z jejichž výsledků byl uvedený poždvek odvozen, byly provedeny n oceli s nízkou lomovou houževntostí. Po doszení mteriálových konstnt (E = MP, R p 0, = 900 MP, = /3) lze podmínku (9.3b) přepst do tvru ; ; 0, K Ic B W. 0, Rp Je zřejmé, že z dných předpokldů by při nepřímém určování K Ic pomocí měření CTOD c bylo možno použít zkušební těles podsttně (cc 5x) menších rozměrů, než při zkouškách klsických, kdy je třeb dodržet podmínku (5.4), tj. ; ;,5 K Ic B W. 0, Rp Závěry některých experimentálních prcí (viz npř. []) byly ještě optimističtější nznčovly, že by konstnt mohl být ještě nižší. Později všk porovnání experimentálních dt, získných v různých lbortořích n různých mteriálech, vedlo k podsttně konzervtivnějšímu odhdu = 300 (viz npř. [4])

172 9. OTEVŘENÍ TRHLINY (COD, CTOD) 9.4 FAKTORY OVLIVŇUJÍCÍ CTOD c (CTOD in ) Kritická hodnot CTOD c, resp. CTOD in, závisí obdobně jko lomová houževntost K Ic n celé řdě fktorů, mezi které ptří zejmén (viz npř. [7]): ) Teplot. S klesjící teplotou T klesá schopnost plstické deformce tedy i odolnost mteriálu vůči nestbilnímu šíření trhliny. Závislost CTOD c (T), resp. CTOD in (T) má tedy (obdobně jko jiné chrkteristiky lomové houževntosti) v oblsti nižších středních teplot rostoucí chrkter. b) Rychlost deformce. Závislost CTOD c, resp. CTOD in n rychlosti deformce d/dt má (zejmén v oblsti nižších hodnot d/dt) klesjící chrkter. c) Délk trhliny. S klesjící reltivní délkou trhliny, tj. s klesjícím poměrem /W, kritická hodnot CTOD c, resp. CTOD in roste (viz npř. [4],[5]). V práci [5] bylo při experimentech n tělesech ze slitinové oceli prokázáno, že kritická hodnot CTOD in s klesjící délkou trhliny roste - zejmén v oblsti /W 0, (v dném přípdě byl pro trhlinu délky /W = 0, nměřen hodnot CTOD in přibližně 3x větší, než pro trhlinu délky /W = 0,4). Uvedená závislost je objsňován tk, že s rostoucí délkou trhliny roste hydrosttické npětí, které odpor proti šíření trhliny snižuje [6]. d) Tloušťk těles. S klesjící tloušťkou těles může kritická hodnot CTOD c, resp. CTOD in růst. Mír této závislosti je dán zejmén typem mteriálu chrkteristikmi prostředí, ve kterém k porušování dochází. Vliv tloušťky těles je podrobněji nlyzován npř. v prcích [7] ž [9]. e) Geometrie těles způsob ztěžování. N obr.9.0 jsou uvedeny výsledky měření CTOD in pro tentýž mteriál při šesti různých geometrických konfigurcích těles s trhlinou Obr.9.0 Příkld závislosti CTOD in n geometrii těles n způsobu ztěžování [30]

173 9. OTEVŘENÍ TRHLINY (COD, CTOD) (podle [30]). Uvedený příkld ilustruje, že vliv geometrie těles způsobu jeho ztěžování může být velmi výrzný - minimální mximální nměřené hodnoty CTOD in se liší v dném přípdě o řád. Závislost kritických hodnot CTOD c, resp. CTOD in, chrkterizujících lomovou houževntost mteriálu, n délce trhliny, tloušťce geometrii těles dokzuje, že jeden ze zákldních teoretických poždvků kldených n lomově mechnické prmetry, tj. geometrická invrintnost, není obecně splněn. K této skutečnosti je třeb přihlédnout zejmén při přenosu výsledků, získných n jednoduchých lbortorních tělesech, n reálné konstrukční části. 9.5 MOŽNOSTI POUŽITÍ CTOD c (CTOD in ) V PRAXI Je zřejmé, že plikovtelnost hodnot CTOD c (resp. CTOD in ), nměřených n jednoduchých zkušebních tělesech, v reálné konstrukční prxi je do znčné míry omezen, neboť tyto hodnoty jednk nejsou obecně geometricky invrintní, jednk neumožňují jednoznčný, přímý výpočet npětí při lomu s c či kritické délky trhliny c. Z trnsformční rovnice (9.) sice po doszení z K c s vyplývá vzth c c c CTODc ER s c p 0, CTOD c E s c R 0, 0, p Rp stv RN, (9.33) umožňující pro dnou úroveň npětí s c výpočet kritické délky trhliny c. Použití uvedeného vzthu je všk omezeno podmínkou (s c /R p 0,) 0,5 [6]. Komplikce upltnění nznčených postupů v prxi způsobuje rovněž nejednoznčnost definice CTOD. Přes nznčené problémy se ukzuje, že kriterium stbility trhliny, vyjádřené pomocí CTOD, je zvláště v přípdech velkých plstických deformcí (včetně úplného zplstizování zbylého nosného průřezu), kdy je použitelnost jiných kriterií omezen či dokonce vyloučen, velmi výhodné. Měření kritických hodnot CTOD c CTOD in poskytuje cenné objektivní podkldy pro vývoj výběr mteriálů pro konstrukce, u kterých je rozhodujícím kriteriem odpor proti nestbilnímu šíření trhliny

174 9. OTEVŘENÍ TRHLINY (COD, CTOD) L I T E R A T U R A K 9. K A P I T O L E [] DUGDALE,D.S.: Yielding of Steel Sheets Contining Slits. J. Mech. Phys. Solid., 8, 960, pp [] PRATAP,C.R. - PANDEY,R.K.: A New Approch to Determintion of CTOD nd Axis of Rottion in Smll Scle Yielding Sitution. Engng Frcture Mech., 9, 984, No.6, pp [3] PRATAP,C.R. - PANDEY,R.K.: Studies of Constrint Fctors in K-CTOD nd K-R Reltionships: Effect of Specimen, Loding Geometry nd Mteril. Engng Frcture Mech., 34, 989, No., pp [4] ZEMÁNKOVÁ,J.: Technická mechnik I. Úvod do lomové mechniky. (Skript ČVUT-FJFI.) Prh, ES ČVUT 98, 3 s. [5] BROEK,D.: Elementry Engineering Frcture Mechnics. 4th Ed. Dordrecht, Mrtinus Nijhoff Publishers 987, 56 p. [6] RICHTER,M.A. - WAGNER,J.W.: Experimentl Evlution of Hinge Phenomenon in Notched Three Point Bend Brs Using Lser Speckle Metrology. Engng Frcture Mech., 30, 988, No.6, pp [7] PANDEY,R.K. - PRATAP,C.R. - CHINADURAI,R.: Significnce of Rottionl Fctor r in CTOD Determintion nd the Effect of Mteril nd Loding Geometry on r. Engng Frcture Mech., 3, 988, No., pp [8] KOLEDNIK,O.: On the Clcultion of COD from the Clip-Guge Displcement in CT nd Bend Specimens. Engng Frcture Mech., 9, 988, No., pp.l [9] KOLEDNIK,O.: An Improved Procedure for Clculting COD in Bend nd CT Specimens. Engng Frcture Mech., 33, 989, No.5, pp [0] BHATTACHARYA,S. - KUMAR,A.N.: Rottionl Fctor Using Bending Moment Approch Under Elsto-Plstic Sitution - I. Notch 3PB Geometry. Engng Frcture Mech., 50, 995, No.4, pp [] BHATTACHARYA,S. - KUMAR,A.N.: Rottionl Fctor Using Bending Moment Approch Under Elsto-Plstic Sitution - II. Notch 3PB Geometry. Engng Frcture Mech., 50, 995, No.4, pp [] LI,Z. - ZHANG,L. - DONG,G. - LIU,X. - ZHONG,B. - WEI,J.: Effect of Severl Vribles on J-COD Reltionship nd Plstic Rottionl Fctor r p. Engng Frcture Mech., 53, 996, No.3, pp [3] ROBINSON,J.N. - TETELMAN,A.S.: Mesurement of K Ic on Smll Specimens Using Criticl Crck Tip Opening Displcement. Frcture Toughness nd Slow-Stble Crcking, ASTM STP 559, Prt I, Phildelphi, ASTM 974, pp [4] ZHANG,D.Z. - WANG,H.: On the Effect of the Rtio /W on the Vlues i nd J i in Structurl Steel. Engng Frcture Mech., 6, 987, No., pp [5] ZHANG,D.Z. - ZHU,S.F.: Use of Double Clip Guge Method to Mesure the Plstic Rottionl Fctor r. Engng Frcture Mech., 3, 988, No.6, pp [6] KÁLNA,K.: Odolnosť zvárných konštrukcií proti krehkému porušeniu. In: Mezní stvy spolehlivost mechnických systémů. Prh, ČKD Prh Škod Plzeň 98, s

175 9. OTEVŘENÍ TRHLINY (COD, CTOD) [7] VASILČENKO,G.S. - KOŠELEV,P.F.: Prktičeskoje primenenije mechniky rzrušenij dlj ocenki pročnosti konstrukcij. Moskv, Izdvtělstvo Nuk 974, 48 s. [8] VEERMAN,C.C. - MULLER,T.: The Loction of the Apprent Rottion Axis in Notched Bend Testing. Engng Frcture Mech., 4, 97, No., pp.5-3. [9] SHANG-XIAN,W.: Plstic Rottionl Fctor nd J-COD Reltionship of Three Point Bend Specimen. Engng Frcture Mech., 8, 983, No., pp [0] LAI,M.O.: Use of COD in K Ic Determintion. Engng Frcture Mech., 4, 986, No., pp [] LUO,L.G. - QUARRINGTON,A.I. - EMBURY,J.D.: Effect of Specimen Geometry on Ductile Initition CTOD in Using Direct Method. Engng Frcture Mech., 3, 988, No., pp [] ASTM Stndrd E Stndrd Test Method for Crck-Tip Opening Displcement (CTOD) Frcture Toughness Mesurement. 99. In: Annul Book of ASTM Stndrds, pp [3] ASTM Stndrd E Stndrd Test Method for Mesurement of Frcture Toughness. 00. ASTM Interntionl, 46 p. [4] SCHWALBE,K.-H.: Frcture Mechnics testing Stndrds. Communiction from Subcommitee.4. ESIS Newsletter, 99, Nr.6, p.5. [5] LI,Q. - ZHOU,L. - LI,S.: Technicl Note. The Effect of /W Rtio on Crck Initition Vlues of COD nd J-integrl. Engng Frcture Mech., 3, 986, No.5, pp [6] MATSOUKAS,G. - COTTERELL,B. - MAI,Y.W.: Effect of Geometry on the Crck Opening Displcement of Low Crbon Steel. Engng Frcture Mech., 3, 986, No.4, pp [7] MACHIDA,K. - KIKUCHI,M. - MIYAMOTO,H.: The Thickness Effects of the CT nd CCT Specimens. Resent Reserch on Mechnicl Behvior of Solids. (Bulletin of Frcture Mechnics Lbortory, Science University of Tokyo.), 3, 984, pp [8] KOERS,R.W.J. - BRAAM,H. - BAKKER,A.: Investigtion into the Effect of Thickness on Three- nd Four-Point Single Edge Notch Bend Specimens Using Two- nd Three- Dimensionl Elstic-Plstic Stress Anlysis. In: Advnces in Frcture Reserch (Proc. ICF 7, Houston). Eds. K.Slm et l., Vol., Oxford, Pergmon Press 989, pp [9] KOLEDNIK,O. - KUTLEŠA,P.: On the Influence of Specimen Geometry on the Criticl Crck-Tip-Opening Displcement. Engng Frcture Mech., 33, 989, No., pp.5-3. [30] LIU,H.W.: On the Fundmentl Bsis of Frcture Mechnics. Engng Frcture Mech., 7, 983, No.5, pp

176 0. J INTEGRÁL 0. J - INTEGRÁL 0. ÚVOD Objektivním fyzikálním východiskem pro posouzení stbility trhliny je celková energetická bilnce porušovného těles při dném vnějším nmáhání. Zákldním kriteriem stbility trhliny, vycházejícím z energetických úvh, je Griffithovo kriterium (7. kp.), které bylo původně odvozeno pro dokonle křehké mteriály, tj. pro lineárně elstický stv npjtosti v okolí čel trhliny. Toto kriterium bylo postupně zobecněno i pro reálné konstrukční mteriály, u nichž dochází v okolí čel trhliny k lokální plstické deformci, tj. ke vzniku plstické zóny mlého rozshu. Prmetrem chrkterizujícím stbilitu trhliny byl v těchto přípdech hncí síl G, jejíž výpočet vycházel z elstického řešení stvu npjtosti v okolí trhliny. Dojde-li všk v deformovném tělese ke vzniku plstické deformce většího rozshu, nelze kriteri stbility trhliny vyjádřeného pomocí hncí síly G použít, neboť tto plstická deformce výrzně ovlivní pole npětí deformcí v okolí čel trhliny. Nznčený problém se do jisté míry podřilo odstrnit zvedením nového lomového prmetru, kterým je J-integrál (nzývný též Riceův nebo Čerepnovův integrál). J-integrál je zobecněním hncí síly trhliny G umožňuje použití i v přípdech plstické deformce většího rozshu. 0. DEFINICE, VLASTNOSTI A STANOVENÍ J-INTEGRÁLU Eshelby [] při výpočtu složek sil působících n defekty nehomogenity, ncházející se uvnitř určité plochy, odvodil n zákldě principu virtuálních prcí, že: ) Hodnot křivkového integrálu, definovného vzthem J du dv dy T x u T x y v T x z w ds x [ J m ] [ N m], (0.) nezávisí n integrční cestě v deformovném tělese, tj. nezávisí n konkrétním tvru křivky. b) V přípdě libovolné uzvřené křivky pltí J = 0. du dv Symboly vystupující ve vzthu (0.) mjí následující význm (viz obr.0.l): i, j 0 ij d objemová hustot deformční energie (tj. deformční energie n obje- ij ij movou jednotku mteriálu, funkce hustoty deformční energie, resp. měrná deformční energie) [MP = MJ/m 3 ]; Ti ijn j i-tá složk vektoru povrchové thové síly kolmé n křivku, kde j

177 0. J INTEGRÁL i, j = x, y, z, n j je j-tá složk jednotkového vektoru normály ke křivce (n z = 0, neboť křivk leží v rovině x, y) tj. v přípdě módu I II (w = 0, xz = yz = 0): T x xnx xyn y, Ty xynx yny, T z 0, v přípdě módu III (u = 0, v = 0, x = y = z = xy = 0): T x 0, T y 0, Tz xznx yzny ; u, v, w složky vektoru posuvu; ds elementární úsek křivky. Obr.0. - Uzvřená křivk Obr.0. - Uzvřená křivk Obr Dvě křivky kolem nehomoge- ABCD kolem kolem kořene nity v tělese. kořene trhliny. trhliny. Uvedené pozntky plikovl Rice [], [3] n problemtiku trhlin (obr.0.). Křivk procházející body A, B, C D je uzvřená pltí tedy pro ni J = 0. Líce trhliny (tj. úseky AD BC) předstvují volný povrch, n kterém musejí být splněny příslušné okrjové podmínky, tj. T i 0 (i = x, y, z) y = konst, tj. dy = 0, z čehož vyplývá B A du dv dy T x u T x y v T x z w ds x D C du dv dy T x u T x y v T x z w ds 0 x (0.) Oznčíme-li křivky BA = l CD = (orientce křivek je v obou přípdech proti směru otáčení hodinových ručiček - viz obr.0.3) odpovídjící hodnoty J-integrálu J i i du u v w dy Tx Ty Tz ds, pro i =,, dv x x x pk ze vzthu (0.) vyplývá J J. Uvedený závěr lze obecně interpretovt tk, že hodnot J-integrálu podél libovolné křivky obklopující kořen trhliny (tj. podél křivky zčínjící n jedné končící n druhé líci trhliny - viz obr.0.3) nezávisí n integrční cestě

178 0. J INTEGRÁL Původně byl vzth (0.) odvozen pro lineárně elstický mteriál umožňovl výpočet hncí síly trhliny G. Ukázlo se všk, že J-integrál má význm hncí síly trhliny i v přípdě výskytu plstické deformce n čele trhliny. Místům, ve kterých není klsická elstická teorie kontinu plikovtelná, se lze vyhnout - integrční křivku volíme tk, by procházel pouze elsticky deformovnými oblstmi vně plstické zóny. Konkrétní tvr integrční křivky optimlizujeme tk, by procházel místy, ve kterých je vyjádření pole npětí deformcí nejjednodušší [4]. J-integrál obecně udává celkovou sílu ve směru osy x působící n všechny defekty nehomogenity, ncházející se uvnitř křivky. V dném přípdě je tedy J-integrál roven hncí síle, působící n trhlinu plstickou zónu, pohybují-li se společně jko jediný "tuhý" objekt. Nezhrnuje všk působení smotné plstické zóny ztrácí svůj význm, jestliže se rozměr plstické zóny mění [5]. Potenciální energie těles s trhlinou je obecně dán rozdílem (A - U), kde A je práce vnějších sil působících n těleso U je elstická deformční energie těles s trhlinou (viz kp.7.). Rice [], [3] prokázl, že J-integrál vyjdřuje změnu potenciální energie těles v závislosti n délce trhliny, tj. J d d A U. (0.3) Prvá strn rovnice (0.3) je shodná s prvou strnou rovnice (7.6). V oboru pltnosti lineární lomové mechniky, tj. z předpokldu lineárně elstického mteriálu, pltí (s určitými výhrdmi, uvedenými v diskusi ke vzthu (7.50)) pro obecný smíšený mód nmáhání vzthy resp. J G GI GII GIII, (0.4) J E K K I II K III pro stv RD (0.5) J K I K II K III pro stv RN (0.6) E Trnsformční vzthy (0.5) (0.6) umožňují nepřímé stnovení J-integrálu n zákldě výpočtu hodnot fktoru intenzity npětí K j, j = I, II, III, pomocí obecných vzthů (5.4), tj. / vzthů typu K. f (, W, L,...). I Tvrové funkce f (, j W, L,...), j = I, II, III, jsou I v součsné době známy již pro celou řdu geometrických konfigurcí těles s trhlinou, různé typy ztížení různé okrjové podmínky ([6] ž [9]). Této znlosti lze v přípdě lineárně elstického chování mteriálu pro stnovení J-integrálu s výhodou využít

179 0. J INTEGRÁL Obr.0.4 Závislost F = F(v) pro nelineárně elstický mteriál grfické znázornění hodnoty J-integrálu. Rovnice (0.3) obecně pltí i pro nelineárně elstický mteriál (viz obr.0.4). Anlogicky jko v přípdě lineárně elstického mteriálu (viz vzth (7.8)) pltí po znedbání nekonečně mlé veličiny. řádu (n obr.0.4 trojúhelník o ploše dv df ) rovnost bsolutních hodnot J-integrálu pro ob zákldní typy okrjových podmínek, tj. pro konstntní sílu F, resp. konstntní posuv v: kde U J U U F konst vkonst F konst B B U F v 0 0 v F vkonst Fkonst vkonst (0.7) df, (0.8) dv. (0.9) V přípdě lineární závislosti F = F(v) pltí po integrci prvých strn rovnic (0.8) (0.9) vzthy U F konst v F B U vkonst které jsou v souldu s dříve uvedenými vzthy (7.) (7.6). F v, B V prxi se čsto n elstoplstický mteriál pohlíží jko n elstický mteriál s nelineární deformční chrkteristikou. Je všk třeb zdůrznit, že v přípdě lineárně i nelineárně elstického mteriálu jsou při snižování zvyšování ztížení křivky závislosti F = F(v)

180 0. J INTEGRÁL totožné, ztímco v elstoplstickém stvu, který je u reálných konstrukčních mteriálů běžný, tomu tk není. Z existence plstické deformce vyplývá, že velikost uvolněné potenciální energie neodpovídá zcel přesně velikosti vyšrfovné plochy n obr.0.4. Uvedená skutečnost je podsttou všech problémů omezení, spojených s použitím J-integrálu v přípdech větší plstické zóny n čele trhliny. Kriterium stbility trhliny lze pomocí J-integrálu vyjádřit v obecném tvru J i J (i = I, II, III). (0.0) ic Hlvní výhodou uvedeného kriteri je jeho plikovtelnost i v přípdě větších plstických deformcí. Toto kriterium je tedy mnohem universálnější, než kriterium vyjádřené pomocí hncí síly G. Je zřejmé, že v konkrétním přípdě je při plikci kriteri stbility trhliny ve tvru (0.0) třeb umět jednk vypočítt hodnotu J i, jednk stnovit kritickou hodnotu J ic, (i = I, II, III). V přípdě elstoplstického chování mteriálu se v prxi obvykle hodnoty J-integrálu určují numericky pomocí metody konečných prvků. Objevily se rovněž pokusy použit pro výpočet J-integrálu i v přípdě elstoplstického chování mteriálu nlytické proximtivní vzthy, obshující členy obdobné tvrovým funkcím používným v elstickém řešení při výpočtu fktoru intenzity npětí [], []. Npř. v přípdě thového módu I lze J-integrál vyjádřit ve tvru J E m p g I, W, L... (0.) kde m je exponent deformčního zpevnění, E p m je součinitel deformčního zpevnění (resp. tzv. "plstický" modul), vystupující v Rmbergově-Osgoodově vzthu mezi npětím plstickou deformcí p :, W, L... m o m p o, (0.) o E p g I je geometrický fktor, závislý n tvrové funkci pro výpočet fktoru intenzity npětí f W L I,,... n exponentu deformčního zpevnění m [], tj. I m m, W, L... f, W, L... g. (0.3) Poznmenejme, že vzthy (0.) (0.3) zhrnují elstický stv jko speciální přípd I E (pro m = E p = E), kdy J f W. L,... I, K I. E

181 0. J INTEGRÁL Smotný výpočet J-integrálu pomocí proximtivního vzthu (0.3) není příliš přesný, le umožňuje následovně s dosttečnou přesností určit kritickou hodnotu npětí c, což je z prktického hledisk rozhodující - viz odst Hodnoty J-integrálu lze určovt i experimentálně - npř. pomocí tenzometrické metody [3]. Kritické hodnoty J Ic, vystupující n prvé strně lomového kriteri (0.0) chrkterizující lomovou houževntost mteriálu, se určují experimentálně, obvykle podle normlizovných postupů. Této problemtice je věnován smosttný odstvec 0.3. Příkld 0. - Určení J-integrálu z definice (podle [3]) Těleso nekonečné šířky s jednostrnnou trhlinou je ztíženo jednoosým thovým npětím ve směru osy y (jde tedy o thový mód I) - viz obr.0.5. Konce těles jsou pevně upnuty, což odpovídá podmínce konstntního posuvu (v = konst). Pro výpočet J-integrálu zvolíme křivku ve tvru obdélník, procházejícího body A j (j =,,...,6) - viz obr.0.5. Obr.0.5 Nekonečné těleso s okrjovou trhlinou ztížené v módu I při okrjové podmínce konstntního posuvu podél horního dolního okrje těles. Obecný vzth (0.) lze schemticky přepst do sumárního tvru J 5 J j j, kde J j A j A j du dv dy T x u T x y v T x z w ds, j =,,...,5. x Z okrjových podmínek vyplývá, že podél upnutých okrjů (tj. n úsečkách A A 3 A 4 A 5 ) bude pltit y = konst (tj. dy = 0), u v w 0 tedy J = J 4 = 0. x x x - 8 -

182 0. J INTEGRÁL Pro x - (tj. n úsečkách A A A 5 A 6 ) pltí ij = 0 T i = 0 pro i, j = x, y, z, neboť v důsledku existence trhliny dochází k odlehčení těles, z čehož vyplývá du/dv = 0 tedy J = J 5 = 0. Z uvedených podmínek vyplývá J = J 3 (tj. integrujeme pouze podél úsečky A 3 A 4 ). Pro x + bude pltit u v w 0, neboť v dosttečné vzdálenosti od trhliny není x x x pole npětí ni posuvu trhlinou ovlivněno. Po doszení J A A 4 3 du dv dy L L dy L y y y y. Podle zobecněného Hookov zákon (3.6) y G y x y z. Dosdíme-li do uvedeného vzthu pomocí (3.), tj. u z x y pro stv RN, kde x 0 pro x, x dostáváme G E y G y y y y y. Po doszení do vzthu pro výpočet J-integrálu J EL y. Příkld 0. - Anlytický výpočet J-integrálu (podle [3]) Těleso s jednostrnnou trhlinou délky je n okrji ztíženo silou F = konst - viz obr.0.6. Uvžujme lineárně elstický přípd stv rovinné npjtosti. Horní (nebo obdobně dolní) polovinu těles lze povžovt z nosník délky, vetknutý v kořeni trhliny, tj. v místě x =. Z pozntků teorie elsticity (viz npř. [0]) pro ohyb nosníku vyplývá diferenciální rovnice ohybové čáry d dx v M x Fx, 3 I E BL E y kde BL I 3 y je kvdrtický moment obdélníkového průřezu. Po doszení z M x Fx do uvedeného vzthu integrci, tj

183 0. J INTEGRÁL d v 6Fx dx BL E z okrjových podmínek v místě vetknutí (x = ) ze kterých vyplývá Fx, BL E 3 C 3, v C 3 x C v / x x 0 6F BL E C 3 / 0 v, x 3 4F, BL E C 3 dostáváme po úprvě závislost posuvu v (tj. průhybu n okrji těles pro x = 0) n zátěžné síle F ve tvru v 3 8F BL E x C. 0 3 Obr.0.6 Těleso s trhlinou ztížené n okrji silou F. Ze vzthů (0.7) (0.8) vyplývá Dosdíme-li z dostáváme resp. podle (0.6) pro stv RN F v v J df F B. B K I 0 v 4F 3 BL E F G, B L E J 3 F JE 3. 3/ BL,

184 0. J INTEGRÁL 0.3 STANOVENÍ HODNOTY J Ic (J in ) Měření kritické hodnoty J Ic se (obdobně jko měření lomové houževntosti K Ic ) provádí obvykle n stndrdních zkušebních tělesech dvojího typu: ) těles nmáhná tříbodovým ohybem (3PB vzorky), b) těles nmáhná excentrickým them (CT vzorky). Pro stnovení hodnoty J Ic se v prxi používá několik metod. Volb metody závisí zejmén n rozshu plstické deformce v tělese n experimentálních možnostech prcoviště Stnovení J Ic pro lineárně elstický mteriál V přípdě lineárně elstického mteriálu lze hodnoty J Ic určit nepřímo - n zákldě znlosti K Ic nebo G Ic pomocí trnsformčních vzthů (0.4) (0.5), tj. resp. J J Ic G (0.4) Ic (pro stv RD). (0.5) E Ic K Ic Obr.0.7 Stnovení hodnoty J-integrálu Obr.0.8 Určení J Ic z grfu závislosti ze záznmu závislosti F = F(v). J = J(v) při různých délkách i Universální metod stnovení J Ic Vezmeme-li v úvhu výše uvedená omezení, týkjící se rozdílu mezi elstoplstickým nelineárně elstickým mteriálem, lze J-integrálu použít pro posouzení stbility trhliny i v přípdě větší plstické deformce. Obecná podstt měření J-integrálu je zřejmá z obr.0.7. Vychází se (obdobně jko při měření hncí síly trhliny G v přípdě lineárně

185 0. J INTEGRÁL elstického mteriálu) z výsledků měření závislosti ztížení F n posuvu v, přičemž prmetrem této závislosti je délk trhliny, resp. poddjnost těles - viz obr.0.7. Tto měření se provádějí buď n několik tělesech s různou délkou trhliny, nebo n jediném tělese, u kterého je délk trhliny postupně zvětšován. Plochu mezi křivkmi závislosti F = F(v), odpovídjícími dvěm různým, nepříliš odlišným délkám trhliny (+), lze určit npř. nlyticky nebo grficky. Tkto získné hodnoty J-integrálu vyneseme do grfu v závislosti n posuvu v délce trhliny (viz obr.0.8). Změříme-li kritickou hodnotu posuvu v c, pk odpovídjící hodnot J-integrálu, určená z grfu závislosti J = J(v, ), předstvuje kritickou hodnotu J Ic. Popsná metod stnovení J Ic je nejuniversálnější, neboť jí lze použít bez ohledu n rozsh plstické deformce n typ zkušebního těles. Z prktického hledisk všk použití této metody není příliš výhodné neboť je prcné čsově náročné Metod stnovení J Ic při totálním zplstizování zbylého nosného průřezu V přípdě zplstizování celého zbytkového nosného průřezu těles s trhlinou (obr.0.9) lze pro stnovení hodnoty J Ic použít jednodušších metod. Omezující podmínkou je všk předpokld, že k plstické deformci dochází pouze v kritické oblsti nosného průřezu, ztímco zbytek těles je nmáhán elsticky. V důsledku působení vnějšího ztížení F se konce porušovného těles pootočí o úhel, který lze rozdělit n část elstickou část plstickou: el pl. (0.6) Plstická část úhlu pl je funkcí ohybového momentu M, rozměru zbytkového nosného průřezu (W - ), tloušťky těles B mteriálových vlstností, chrkterizovných prmetry o m Rmbergov-Osgoodov vzthu (0.) modulu pružnosti E. Protože úhel pl je bezrozměrná veličin, musí uvedené prmetry ve funkčním vzthu pro výpočet pl vystupovt v bezrozměrné formě, což lze obecně vyjádřit ve tvru pl M f B W,,. o m E o (0.7) Z předpokldu úplného zplstizování zbytkového nosného průřezu těles pltí el << pl, resp. pl. Z těchto podmínek lze vzth (0.7) přepst do tvru M B o pl (0.8) E o W g,, m

186 0. J INTEGRÁL Obr.0.9 Těleso s trhlinou nmáhné tříbodovým ohybem, zbylý nosný průřez totálně zplstizován. Ohybový moment M je úměrný součinu F.L, kde F je ztížení L je délk těles, resp. vzdálenost podpor (viz obr.0.9). Z předpokldu, že lze obě části zkušebního vzorku povžovt z tuhá těles, která se prostřednictvím plstického kloubu vůči sobě ntáčejí, pltí v pl [rd] (0.9) L kde v je průhyb zkušebního těles (viz obr.0.9). Vzth (0.8) lze přepst do tvru F B L v o (0.0) L E o W h,, m. Obr.0.0 Stnovení hodnoty J-integrálu z plochy pod křivkou závislosti F = F(v)

187 0. J INTEGRÁL Rovnici (0.0) lze použít pro ob zákldní typy zkušebních těles, používných pro měření lomové houževntosti, tj. jk pro zkušební těleso nmáhné tříbodovým ohybem, pro které byl tto rovnice přímo odvozen, tk i pro zkušební těleso nmáhné excentrickým them. Po derivci vzthu (0.0) podle délky trhliny dostáváme F F W B L v L F W o W h,, m. o E (0.) Použijeme-li pro výpočet J-integrálu vzthů (0.7) (0.9), dostáváme po doszení pomocí (0.) U J vkonst B v 0 F vkonst dv B W v 0 Fdv. (0.) Integrál, vystupující n prvé strně vzthu (0.), je roven ploše A pod křivkou závislosti F = F(v) - viz obr.9.0, tj. Vzth (0.) lze po doszení pomocí (0.3) uprvit do tvru v Fdv A. (0.3) 0 A J (0.4) B W. Obr.0. Rozdělení J-integrálu n elstickou plstickou složku. Podstt lterntivní vrinty stnovení hodnoty J-integrálu je schemticky znázorněn n obr.0.. Ploch pod křivkou závislosti F = F(v) je v tomto přípdě rozdělen n část, odpovídjící elstické deformci (ozn. A el ) n část odpovídjící plstické deformci (ozn. A pl ). Výsledná hodnot J-integrálu je dán součtem elstické (J el ) plstické části (J pl ), tj. J J el J pl. (0.5)

188 0. J INTEGRÁL Elstickou část lze pro stv rovinné deformce určit pomocí trnsformčního vzthu (0.5); pro thový mód I ve stvu RD tedy pltí J. (0.6) E el K I Plstická část J-integrálu je dán vzthem Apl J pl B (0.7) W. Číselný fktor, vystupující n prvých strnách vzthů (0.4) (0.7), vyjdřuje poměr J-integrálu práce A, přepočtené n jednotku plochy zbylého neporušeného nosného průřezu. Oznčme obecně tento poměr symbolem, tj. J B W A J pl B W, resp.. (0.8) A Výzkumy nznčují, že poměr je obecně závisí n typu těles, reltivní délce trhliny /W, Poissonově čísle mteriálu stvu npjtosti (tj. RN či RD) [4]. Pro zkušební těles nmáhná tříbodovým ohybem (3PB) je doporučeno v prxi používt hodnotu, která je v souldu se vzthem (0.4), resp. (0.7) [5], [6]. Dlší informce o výpočtu J-integrálu podrobnější nlýzu problemtiky poměru u 3PB těles jsou uvedeny npř. v [4] [7]. V přípdě zkušebních těles nmáhných excentrickým them (CT) se doporučuje hodnotu stnovit pomocí empirického vzthu [6] 0,5. (0.9) W Stndrdní postup při měření kritické hodnoty J Ic (resp. J in, tj. hodnoty J-integrálu, odpovídjící počátku stbilního šíření trhliny) je normlizován viz npř. normy ASTM [8], [9], [0], ve kterých lze nlézt dlší podrobné informce. Obdobně jko v předchozím přípdě (viz odst. 0.3.) se měření J Ic (J in ) mohou provádět buď n několik tělesech, nebo n tělese jediném: ) Stnovení J Ic (J in ) n několik zkušebních tělesech Stnovení hodnoty J Ic lze provést pomocí souboru k zkušebních těles, ve kterých byl předem ncyklován únvová trhlin téže délky, splňující podmínku 0,5 /W 0,75. Kždé z těchto těles ztížíme n jinou úroveň síly F i (i =,,..., k; k 4) odtížíme (viz obr.0.). Potřebujeme určit délku přírůstku trhliny odpovídjící ztížení n hldinu F i (i =,,..., k). Tento přírůstek se před sttickým dotržením vyznčí zviditelní n lomové ploše prostřednictvím tzv. znčkování (obecnější pozntky o problemtice znčkování jsou uvedeny v [], []). U zkušebních těles z ocelí Ti-slitin se používá nejčstěji znčkování pl

189 0. J INTEGRÁL pomocí změny teploty, tj. žíháním. Ohřev n vhodnou teplotu po určitou dobu (npř. n 300C po dobu 0 minut [8]) způsobí oxidci lomové plochy, což vyvolá brevný kontrst umožňující stnovení i. Obr.0. Křivk F = F(v) pro k zkušebních těles se stejnou délkou trhliny, ztížených n různou úroveň síly F k. U jiných mteriálů se používá znčkování pomocí dodtečného cyklického ztěžování zkušebního těles. Prmetry ztěžovcích cyklů je třeb vhodně zvolit. Je-li mximální hodnot síly v cyklu menší než F i (F mx 0,9F i ), lze dosáhnout dosttečné odlišitelnosti morfologie únvového lomu od morfologie oblsti, odpovídjící přírůstku trhliny o i v důsledku ztížení n úroveň F i. Po sttickém dolomení zbytkového nosného průřezu se hodnot i určí frktogrficky jko průměrná hodnot z několik měření. Obr Frktogrfická metod měření přírůstku délky trhliny

190 0. J INTEGRÁL V práci [6] je nvržen postup, podle kterého se tto měření provádějí v 9 místech lomové plochy (viz obr.0.3) výsledná hodnot i se vypočte pomoci vzthu 8 i i9 i. 8 ij (0.30) j Hodnoty J-integrálu pro kždé zkušební těleso určíme pomocí vzthu (0.4), resp. (0.5) ž (0.7) z křivky závislosti F = F(v). Tkto stnovené hodnoty J i vyneseme v závislosti n i těmito experimentálními body proložíme regresní křivku ve tvru [6] J n c, c (0.3) kde c l, c n jsou regresní konstnty - viz obr.0.4. Zpočátku ostrá trhlin se předtím, než dojde k jejímu šíření, otupuje. Toto otupování vede k prodloužení trhliny o (viz obr.0.5). Předpokládáme, že přírůstek délky trhliny způsobený otupením čel je dán vzthem CTOD. (0.3) Obr.0.4 Stnovení J in ze závislosti J() pomocí čáry otupení. Obr.0.5 Schémtické znázornění vzthu mezi přírůstkem CTOD. Obdobně jko hncí síl trhliny G (viz 9. kp.) je i J-integrál přímo úměrný otevření kořene trhliny CTOD pltí pro něj vzth (viz [3] ž [6]) J CTOD R p 0,, (0.33) který je nlogií vzthu (9.8). Problemtik koeficientu (tj. tzv. fktoru stísnění) je podrobněji diskutován npř. v [7]. Poznmenejme, že exktně vzth (0.33) pltí pouze pro

191 0. J INTEGRÁL lineární nelineární elstické mteriály. Při jeho použití pro elstoplstické mteriály se tedy dopouštíme jisté, již dříve diskutovné nepřesnosti. Dosdíme-li do vzthu (0.33) z CTOD pomocí vzthu (0.3), dostáváme z předpokldu = J Rp0, (0.34) Grf uvedené závislosti se nzývá črou otupení (ngl. blunting line) vynáší se do těchže souřdnic, jko regresní křivk proložená experimentálními body ( i, J i ) - viz obr.0.4. Průsečík obou uvedených grfů odpovídá okmžiku, kdy dochází k počátku stbilního šíření trhliny. Hodnot J-integrálu, odpovídjící tomuto průsečíku, určuje kritickou hodnotu J Ic = J in. Kromě vzthu (0.34) se v litertuře objevují i jiné vzthy pro vyjádření závislosti J = J(), tj. čáry otupení, npř. [8],[9],[55]: J R 0, R, k kde k = ;,5 nebo, p m J 3,7 Rp0, (0.35) E J pod. 89 Je zřejmé, že čár otupení má smluvní chrkter. Zdá se, že volb nejvhodnějšího vzthu definujícího čáru otupení závisí do jisté míry n typu vlstnostech mteriálu. Ukzuje se, že v některých přípdech lze reprodukovtelnou hodnotu J Ic určit i bez čáry otupení, tj. přímo z experimentálně stnovených dt ( i, J i ) - extrpolcí regresní křivky proložené těmito body pro 0 [30] - viz obr.0.6. Obr.0.6 Odhd hodnoty J Ic pomocí ex- Obr.0.7 Stnovení J in ze závislosti J() trpolce závislosti J = J(). pomocí šířky zóny protžení p

192 0. J INTEGRÁL směr šíření trhliny ÚNAVOVÝ LOM ZÓNA PROTAŽENÍ DOLOM Obr.0.8 Zón protžení n lomové ploše CT-těles z oceli R7T (snímek SEM, zvětšení cc 500x, p 60 m). Jinou možností, jk se problémům spojeným s čárou otupení vyhnout, je změření šířky zóny protžení (ngl. stretch zone) n lomové ploše [6], [3] ž [34]. V grfu závislosti J = J() odpovídá frktogrficky stnovené šířce zóny protžení p hodnot J in - viz obr.0.7. Příkld zóny protžení je uveden n obr.0.8 [35]. Kromě nejsností, vyplývjících ze smluvního chrkteru čáry otupení, má uvedená metod i některé dlší nevýhody, npř. experimenty je třeb provádět n větším počtu těles (minimálně n 4 ž 5 tělesech). Měření není příliš přesné, což může význmně ovlivnit prmetry regresní závislosti (0.3) tedy i přesnost určení J Ic, resp. J in. Obr.0.9 Stnovení J in ze závislosti J() n jediném zkušebním tělese

193 0. J INTEGRÁL b) Stnovení J Ic n jediném zkušebním tělese Při měření J Ic n jediném zkušebním tělese odpdá problém s definicí čáry otupení. Postup měření je obdobný jko v předchozím přípdě (podrobněji viz npř. [6], [30], [36] ž [40]). Aplikce této metody je všk podmíněn možností spolehlivého měření délky trhliny v průběhu ztěžování. Obvykle se používá elektropotenciálové metody (viz npř. [30], [4]), komplinční metody (tj. metody měření poddjnosti), metody kustické emise (viz npř. [4]) pod. V průběhu ztěžování je detekován počátek stbilního růstu trhliny. Kritická hodnot J in je dán bodem odklonu grfu závislosti J = J() od přímky - viz obr.0.9 (podle [30]). 0.4 FAKTORY OVLIVŇUJÍCÍ J Ic (J in ) Kritickou hodnotu J-integrálu J Ic (J in ) ovlivňují zejmén následující fktory: mteriál, jeho mikrostruktur pod. [43], teplot [43] ž [45)], rychlost deformce, resp. ztěžování [44], [46], geometrie rozměry těles [47] ž [50], délk trhliny [50] ž [5], rdiční záření [45], gresivit prostředí pod. Vliv těchto fktorů n J Ic, resp. J in, je kvlittivně obdobný jko n kritické hodnoty osttních prmetrů lomové mechniky - viz npř. odst ž MOŽNOSTI POUŽITÍ J Ic (J in ) V PRAXI Přes určité, již dříve diskutovné problémy spojené s plikci J-integrálu jsou kritické hodnoty J Ic po trnsformci pomocí vzthu (0.5) ve velmi dobré shodě s hodnotmi lomové houževntosti ve stvu rovinné deformce K Ic, stnovenými jinými, nezávislými metodmi - viz npř. obr.0.0 (podle [3]). Měření J Ic lze tedy použit jko lterntivní metody stnovení K Ic v těch přípdech, kdy npř. tloušťk zkušebních těles B nevyhovuje podmínkám (5.), jejichž splnění je při přímém měření K Ic třeb dodržet (viz 5. kp.)

194 0. J INTEGRÁL Obr.0.0 Porovnání hodnot K Ic nměřených přímo s hodnotmi přepočtenými z J Ic. I při měření J Ic je všk třeb dodržet podmínky stvu rovinné deformce, které lze vyjádřit pomocí empiricky stnovených nerovností B;, J Ic W, (0.36) R 0, kde = 5 (podle dnes již nepltné normy [8]), resp. = 00 (podle novějších konzervtivnějších odhdů [53]). Splnění uvedených podmínek je nezbytné pro zjištění geometrické nezávislosti nměřených hodnot J Ic. Pro ilustrci porovnejme poždvky kldené n rozměry zkušebního těles při měření K Ic J Ic ve stvu RD pro durl (Rp0, = 390 MP, E = MP, K Ic = 35 MP.m /, = /3): z nerovnosti (5.) vyplývá B;, W 0 mm p, z nerovnosti (0.36) trnsformčního vzthu (0.5) vyplývá B;, W mm(pro = 5), resp. B;, W 8 mm = 00). (pro = Hlvním cílem měření J Ic všk není jen nepřímé stnovení lomové houževntosti K Ic. Hodnoty J Ic se používjí zejmén jko význmné mteriálové prmetry, chrkterizující odolnost vůči šíření trhliny u vysoce houževntých mteriálů, u kterých nelze použít pozntků lineární lomové mechniky (viz odst.6., obr.6.7). Z prktického hledisk je u těchto mteriálů výhodnější používt prmetru J Ic než prmetru CTOD c. Otevření čel trhliny CTOD není jednoznčně definovnou veličinou možnosti použití CTOD c pro stnovení kritické délky trhliny zbytkové pevnosti těles s trhlinou jsou znčně omezené (viz 9. kp.)

195 0. J INTEGRÁL Poznmenejme všk, že ni při použití J-integrálu není stnovení c či c zcel jednoduché ni jednoznčné. V litertuře se npř. vyskytuje několik různých vzthů pro výpočet c, jejichž použití vede k výrzně odlišným výsledkům [54]. Tyto vzthy tedy nemjí obecnou pltnost jejich plikovtelnost je třeb vždy v dném konkrétním přípdě ověřit. Obecně lze kritické hodnoty c či c vypočítt pomocí vzthu (0.): Dosdíme-li z J kritickou hodnotu J Ic, dostáváme po úprvě c m J g Ic I E p, (0.37), W, L... m J Ic E p,,... c. (0.38) g I W L Je zřejmé, že uvedené vzthy můžeme použít pouze z předpokldu, že známe: ) exponent m součinitel E p deformčního zpevnění mteriálu - viz vzth (0.), b) geometrický fktor, W, L... g I, tj. "tvrovou funkci" pro dnou geometrii těles s trhlinou, dný typ ztížení příslušné okrjové podmínky - viz vzth (0.3). Nznčený postup všk dosud nebyl v dosttečné míře experimentálně ověřen. L I T E R A T U R A K 0. K A P I T O L E [] ESHELBY,J.D.: Stress Anlysis of Crcks. ISI Publiction,, 968, pp [] RICE,J.R.: A Pth Independent Integrl nd the Approximte Anlysis of Strin Concentrtions by Notches nd Crcks. J. Appl. Mech., 35, 968, pp [3] RICE,J.R.: Mthemticl Anlysis in the Mechnics of Frcture. In: Frcture. Ed. H.Liebowitz, Vol.II, New York nd London, Acdemic Press 968, pp.9-3. [4] NĚMEC,J. - ZEMÁNKOVÁ,J. - BRUMOVSKÝ,M.: Křehké porušování plstických hmot z hledisk lineární lomové mechniky. (Příručk pro techniky ve výzkumu v průmyslu.) Prh, ČVUT-FJFI-KMAT Prh ZJE Škod Plzeň 975, 4 s. [5] KROUPA,F.: Lomová mechnik. Čs. čs. fyz., A 8, 978, č., s.0-3. [6] SIH,G.C.: Hndbook of Stress Intensity Fctors. Bethlehem, Lehigh University 973. [7] TADA,H. - PARIS,P. - IRWIN,G.: The Stress Anlysis of Crck Hndbook. Hellertown, PA., Del Reserch Co [8] ROOKE,D.P. - CARTWRIGHT,D.J.: Compendium of Stress Intensity Fctors. London, Her Mjesty s Sttionery Office 976. [9] MURAKAMI,Y.: Stress Intensity Fctors Hndbook. Oxford, Pergmon Press 987, 456 p. [0] OLIVA,Vl.: Aplikovná mechnik kontinu I. Elstomechnik. (Skript ČVUT-FJFI.) Prh, ES ČVUT 98, 75 s

196 0. J INTEGRÁL [] LIEBOWITZ,H. - EFTIS,J.: On Nonliner Effects in Frcture Mechnics. Engng Frcture Mech., 3, 97, No.3, pp [] BROEK,D.: J Astry nd Bck to Normlcy. In: Frcture Control of Engineering Structures. (Proc. ECF 6, Amsterdm). Eds. H.C.vn Elst nd A.Bkker, Vol.II, Crdley Heth, EMAS 986, pp [3] FREDIANI,A.: Experimentl Mesurement of the J-integrl. Engng Frcture Mech., 9, 984, No.6, pp [4] KIM,B.H. - LOE,C.R.: On the Rtio () of the J-integrl to the Totl Work Done per Unit Uncrcked Are. Engng Frcture Mech., 3, 989, No.6, pp [5] SRAWLEY,J.E.: On the Reltion of J I to Work Done per Unit Uncrcked Are: Totl or Component Due to Crck. Int. J. Frcture,, 976, pp [6] SCHWALBE,K.H. - NEALE,B.K. - INGHAM,T.: Drft EGF Recommendtions for Determining the Frcture Resistnce of Ductile Mterils. EGF Procedure EGF P-87D. Ftigue Frct. Engng Mter. Struct.,, 988, No.6, pp [7] ZHANG,D.Z. - LIN,J.: A Generl Formul for Three-Point Bend Specimen J-Integrl Clcultion. Engng Frcture Mech., 36, 990, No.5, pp [8] ASTM Stndrd E Stndrd Test Method for J Ic, A Mesure of Frcture Toughness. 99. In: Annul Book of ASTM Stndrds, pp [9] ASTM Stndrd E Stndrd Test Method for Determining J-R Curves. 99. In: Annul Book of ASTM Stndrds, pp [0] ASTM Stndrd E Stndrd Test Method for Mesurement of Frcture Toughness. 00. ASTM Interntionl, 46 p. [] NEDBAL,I. - KUNZ,J. - SIEGL,J.: Znčkování lomových ploch při únvových zkouškách těles konstrukcí. In: Sborník VIII. Celoštátn frktogrfická konferenci. Ttrnské Mtlire, ÚEM SAV Košice 985, s.07-. [] NEDBAL,I. - KUNZ,J. - SIEGL,J.: Využití kvntittivní frktogrfie při výzkumu únvového porušování konstrukcí. Strojírenství, 38, 988, č., s [3] BROEK,D.: Elementry Engineering Frcture Mechnics. 4th Ed. Dordrecht, Mrtinus Nijhoff Publishers 987, 56 p. [4] SCHINDLER,H.J.: On the Reltionship between J-integrl nd Crck Opening Displcement. Engng Frcture Mech., 0, 984, No., pp [5] PEREZ IPIŇA,J.E. - TOLOY,H.L:. Effect of Severl Physicl nd Mechnicl Vribles on the Reltion between COD nd J. Engng Frcture Mech., 4, 986, No., pp.-9. [6] EWALDS,H.L. - WANHILL,R.J.H.: Frcture Mechnics. London, Edwrd Arnold 989, 304 p. [7] LI,Z. - ZHANG,L. - DONG,G. - LIU,X. - ZHONG,B. - WEI,J.: Effect of Severl Vribles on J-COD Reltionship nd Plstic Rottionl Fctor r p. Engng Frcture Mech., 53, 996, No.3, pp [8] LAI,Z.-H. - MA,CH.-X.: Technicl Note. Comprison of Severl Methods of J Ic Determintion. Engng Frcture Mech.,, 985, No.6, pp

197 0. J INTEGRÁL [9] CHEN,B.Y. - SHI,Y.W.: A Comprison of Vrious Dynmic Elstoplstic Frcture Toughness Evluting Procedure by Instrumented Impct Test. Engng Frcture Mech., 36, 990, No., pp.7-6. [30] KROMPHOLZ,K. - ULLRICH,G.: Determintion of J-integrl R Curves for the Pressure Vessel Mteril A533 B Using the Potentil-Drop Technique nd the Multispecimen Method. Engng Frcture Mech., 3, 986, No.5, pp [3] HOPKINS,P. - JOLLEY,G.: Technicl Note. Limittions of the Crck Tip Blunting Line Used in the J Ic Test Procedure. Engng Frcture Mech., 8, 983, No., pp [3] YIN,S.-W. - GERBRANDS,R.A. - HARTEVELT,M.: An Investigtion of the Blunting Line. Engng Frcture Mech., 8, 983, No.5, pp [33] DOING,P. - SMITH,R.F. - FLEWITT,P.E.J.: The Use of Stretch Zone Width Mesurements in the Determintion of Frcture Toughness of Low Strength Steels. Engng Frcture Mech., 9, 984, No.4, pp [34] HEERENS,J. - CORNEC,A. - SCHWALBE,K.-H.: Results of Round Robin on Stretch Zone Width Determintion. Ftigue Frct. Engng Mter. Struct.,, 988, No., pp.9-9. [35] KUNZ,J. - SIEGL,J. - NEDBAL,I.: Sledování vlivu mteriálových geometrických fktorů n hodnotu lomové houževntosti oceli jkosti R7T. (Výzkumná zpráv V- KMAT-379/93.) Prh, ČVUT-FJFI-KMAT 993, 30 s. [36] LEREIM,J. - EMBURY,J.D.: A Simple Method for the Determintion of J-integrl Vlues. Engng Frcture Mech.,, 979, No., pp [37] LEREIM,J. - LOHNE,P.W.: A Single Specimen J Ic Test Method. Int. J. Frcture, 6, 980, pp. R3-R8. [38] LAI,Z.H. - CHEN,L.J. - CHANG,C.M. - MA,C.S. - CHAO,C.S.: A New Method of Determining J Ic of Steel by Mens of Single Specimen. Engng Frcture Mech., 7, 983, No.5, pp [39] KIM,B.H. - JOE,C.R.: Single Specimen Test Method for Determining Frcture Energy (J c ) of Highly Deformble Mterils. Engng Frcture Mech., 3, 989, No., pp [40] NING,X.G. - LAI,Z.H.: Reliztion of Single Specimen Anlyticl Method of J Ic Determintion by Using Compct Tension Loding. Engng Frcture Mech., 34, 989, No.5/6, pp [4] GIBSON,G.P.: The Use of Alternting Current Potentil Drop for Determining J-Crck Resistnce Curves. Engng Frcture Mech., 6, 987, No., pp.3-. [4] BLANCHETTE,Y. - DICKSON,J.I. - BASSIM,M.N.: The Use of Acoustic Emission to Evlute Criticl Vlues of K nd J in 7075-T765 Aluminum Alloy. Engng Frcture Mech., 0, 984, No., pp [43] BAYOUMI,M.R. - BASSIM,M.N.: Effect of Microstructure on Reltionship Between Frcture Toughness nd Ductility. Engng Frcture Mech., 4, 986, No., pp.-0. [44] NAKAJIMA,Y. - IINO,Y. - SUZUKI,M.: Frcture Toughness Behviour of Service- Exposed Type 3 Stinless Steel t Room nd Elevted Temperture Under Norml nd Low Strining Rtes. Engng Frcture Mech., 33, 989, No., pp

198 0. J INTEGRÁL [45] MILLS,W.J.: Frcture Toughness of Two Ni-Fe-Cr Alloys. Engng Frcture Mech., 6, 987, No., pp [46] BASSIM,M.N. - BAYOUMI,M.R. - SHUM,D.: Technicl Note. Study of the Vrition of Frcture Toughness with Loding Rte Using Compct Tension Specimens. Engng Frcture Mech., 6, 987, No.4, pp [47] MACHIDA,K. - KIKUCHI,M. - MIYAMOTO,H.: The Thickness Effects of the CT nd CCT Specimens. Resent Reserch on Mechnicl Behvior of Solids. (Bulletin of Frcture Mechnics Lbortory, Science University of Tokyo.), 3, 984, pp [48] GIBSON,G.P. - DRUCE,C.G.: Progress in Understnding Specimen Size nd Geometry Effects on Ductile Frcture. In: Advnces in Frcture Reserch (Proc. ICF 7, Houston). Eds. K.Slm et l., Vol., Oxford, Pergmon Press 989, pp [49] ROUSSELIER,G. - DEVESA,G. - BETNMONT,M.: Effect of Specimen Geometry on J-Resistnce Curves in Ner Smll-Scle Yielding Conditions. In: Advnces in Frcture Reserch (Proc. ICF 7, Houston). Eds. K.Slm et l., Vol., Oxford, Pergmon Press 989, pp [50] NEVALAINEN,M. - WALLIN,K.: The Effect of Crck Depth nd Absolute Thickness on Frcture Toughness of 3PB Specimens. In: Structurl Integrity: Experiments-Models- Applictions. (Proc. ECF 0, Berlin). Eds. K-H.Schwlbe nd C.Berger, Vol.II, Crdley Heth, EMAS 994, pp [5] ZHANG,D.Z. - WANG,H.: On the Effect of the Rtio /W on the Vlues i nd J i in Structurl Steel. Engng Frcture Mech., 6, 987, No., pp [5] KIM,B.H. - JOE,C.R.: The Effect of Remote Energy Absorption in Determining J c Vlue. Engng Frcture Mech., 3, 989, No., pp.5-3. [53] SCHWALBE,K.-H.: Frcture Mechnics testing Stndrds. Communiction from Subcommitee.4. ESIS Newsletter, 99, Nr.6, p.5. [54] KÁLNA,K.: Odolnosť zvárných konštrukcií proti krehkému porušeniu. In: Mezní stvy spolehlivost mechnických systémů. Prh, ČKD Prh Škod Plzeň 98, s [55] TOSAL,L. - RODRÍGUEZ,F. BELZUNCE,F.J. BETEGÓN, C.: A Crck Tip Blunting Anlysis in the Ductile-to-Brittle Trnsition of Structurl Steel. Ftigue Frct. Engng Mter. Struct., 3, 000, No.4, pp

199 . VYUŽITÍ LOMOVÉ MECHANIKY PŘI STUDIU ŠÍŘENÍ ÚNAVOVÝCH TRHLIN. VYUŽITÍ LOMOVÉ MECHANIKY PŘI STUDIU ŠÍŘENÍ ÚNAVOVÝCH TRHLIN. SHRNUTÍ ZÁKLADNÍCH POZNATKŮ O ÚNAVĚ MATERIÁLŮ.. Chrkter ztěžování Ztížení, kterým jsou konstrukce při svém provozu vystveny, lze podle závislosti n čse t obecně rozdělit do tří zákldních skupin: Obr.. Sttické ztížení. Obr.. Monotónní ztěžování. Obr..3 Proměnné ztěžování. ) Sttické ztížení (obr..) - velikost ztížení ( tedy i odpovídjící npětí) je prkticky konstntní, tj. d/dt = 0. Příkldem mohou být budovy (tj. konstrukce nmáhné pouze silou tíže), přehrdy pod. V lbortorních podmínkách se sttického ztížení používá npř. při creepových nebo korozních zkouškách pod. ) Monotónní ztěžování - závislost ztížení (npětí) n čse má monotónní chrkter; pltí npř. d/dt = konst 0 (viz obr..). Tohoto způsobu ztěžování se v lbortorních podmínkách používá npř. při klsických thových zkouškách nebo při zkouškách lomové houževntosti. 3) Proměnné ztěžování (obr..3) - ztížení jím vyvolné npětí se v čse mění, přičemž dochází ke střídání etp růstu s etpmi poklesu (tj. ke střídání znménk derivce d/dt). Proměnná ztěžování lze dále dělit n stcionární nestcionární (blíže viz npř. []). Nejjednodušším příkldem stcionárního proměnného ztěžování je cyklické ztěžování s konstntní mplitudou npětí (viz obr..4). Zákldními chrkteristikmi ztěžovcího cyklu jsou: ) mximální npětí v cyklu mx, b) minimální npětí v cyklu min, c) střední npětí v cyklu s mx min s, (.)

200 . VYUŽITÍ LOMOVÉ MECHANIKY PŘI STUDIU ŠÍŘENÍ ÚNAVOVÝCH TRHLIN (t) mx D T čs t min Obr..4 Zákldní prmetry cyklického ztěžování. d) rozkmit npětí D, resp. mplitud npětí D mx min, (.) D mx min, (.3) e) prmetr symetrie cyklu R či P [] (konkrétní příkldy viz obr..5) f) frekvence ztěžování f min R, (.4) P kde T = period ztěžování (viz obr..4), f mx mx, R (.5) (.6) T g) tvr cyklu (sinový, obdélníkový, trojúhelníkový - viz npř. obr..4 pod.). Anlogického názvosloví i oznčení budeme používt i v přípdě, že stv npjtosti v tělese s trhlinou je chrkterizován některým z prmetrů lomové mechniky (npř. DK = = K mx - K min je rozkmit fktoru intenzity npětí pod.)

201 0. VYUŽITÍ LOMOVÉ MECHANIKY PŘI STUDIU ŠÍŘENÍ ÚNAVOVÝCH TRHLIN R = /3 P = 3 0 R = 0 P = 0 R = - P = 0 R = - P = (t) míjivý th střídvý th-tlk míjivý tlk R = 3 P = čs t -40 Obr..5 Příkldy cyklického ztěžování s různým prmetrem symetrie cyklu. Typickými příkldy konstrukcí, vystvených čsově proměnnému ztěžování, mohou být doprvní prostředky, motory, čerpdl, obráběcí stroje pod. Npř. splovcí motor klikový mechnismus je z celkovou dobu provozu osobního utomobilu vystven řádově 0 8 cyklů, části hncího mechnismu n jízdním kole řádově 0 6 cyklů pod. Provozní ztěžování konstrukcí má v řdě přípdů velmi složitý chrkter. Pro ilustrci npř. uveďme, jkým druhům ztěžování je z provozu vystveno letdlo [3] (viz obr..6): ) Cykly typu "země - vzduch - země", vyvolné grvitčními silmi. ) Změny tlku vzduchu n vnějším povrchu letdl, vyvolné poryvy větru. Tyto poryvy mohou působit v různých směrech. Působí-li npř. směrem nhoru, přičítjí se k ztížení, vyvolnému grvitčními silmi. Působí-li poryvy nopk směrem dolů, pk se jimi vyvolná ztížení od grvitčních sil odečítjí. 3) Ztížení vyvolná řízením letdl, tj. mnévrováním. 4) Ztížení vyvolná vnitřním přetlkem vzduchu, působícím n kbinu letdl. 5) Vibrce ovládcích částí letdl (včetně kustických vibrcí vyvolných tryskáním rektivních plynů pod.). 6) Ztížení vyvolná přistáváním, pojezdem po letišti, them motorů, ztížením klpek pod

202 . VYUŽITÍ LOMOVÉ MECHANIKY PŘI STUDIU ŠÍŘENÍ ÚNAVOVÝCH TRHLIN PORYVY VĚTRU, MANÉVRY PILOTA ATD. TAH 0 ČAS ZEMĚ VZDUCH ZEMĚ TLAK POJEZD PŘED STARTEM POJEZD PO PŘISTÁNÍ, TANKOVÁNÍ Obr..6 - Čsový průběh nmáhání spodní strny křídl doprvního doprvního letounu v průběhu jednoho letu (podle [3])... Proces únvového porušování mteriálu Při řešení otázek souvisejících s životností spolehlivostí těles konstrukcí, vystvených z provozu proměnnému ztěžování, je třeb vzít v úvhu únvu mteriálu, která je primární příčinou převážné většiny lomů, ke kterým v běžné prxi dochází. Únv mteriálu je degrdčním procesem, který výrzně závisí n čsovém průběhu ztěžování má etpovitý chrkter. Z historického hledisk počátky výzkumu únvy mteriálů úzce souvisejí s rozvojem moderních doprvních prostředků: První etp výzkumu únvy souvisel zejmén s řešením problemtiky lomů os železničních vgónů [4], druhá nejvýznmnější etp pk s nlýzou příčin závžných provozních poruch konstrukčních částí letdel [3], [5]. Podsttou únvového procesu je opkovná plstická deformce. N čele trhliny se v průběhu cyklického ztěžování kumuluje nevrtné poškození, v jehož důsledku dochází ke vzniku šíření únvové trhliny. Je tedy zřejmé, že plstická deformce hrje v únvovém procesu zcel klíčovou roli. Dokonle křehký (tj. čistě elsticky se deformující) mteriál degrdčnímu procesu únvového typu nepodléhá. Mteriály tohoto typu se všk v běžné technické prxi používjí jen zřídk. Z hledisk odporu mteriálu proti šíření trhliny je zřejmý kvlittivní rozdíl mezi účinky monotónně rostoucího ztěžování (npř. při měření K Ic ) cyklického, resp. obecně čsově proměnného ztěžování: ztímco v prvním přípdě je tvárnost mteriálu (tj. jeho schopnost se plsticky deformovt) vlstností pozitivní, zvyšující odolnost proti lomu (tj. lomovou houževntost), v přípdě druhém je tomu nopk - čím snáze je mteriál plsticky deformovtelný, tím sndněji únvový proces probíhá. Nznčený - 0 -

203 . VYUŽITÍ LOMOVÉ MECHANIKY PŘI STUDIU ŠÍŘENÍ ÚNAVOVÝCH TRHLIN prdox G.G.Grrett [6] chrkterizuje jko příkld upltnění zákldního principu mteriálového inženýrství, kterým je "zákon schválnosti". Rozsh plstické deformce, vyvolné cyklickým ztěžováním, lze kvntifikovt velikostí plstické zóny před čelem únvové trhliny: V ztěžovcí části cyklu, chrkterizovné nerovnosti d/dt 0, se n čele trhliny vytvoří monotónní plstická zón (viz obr..7 - podle [7]), jejíž velikost je nepřímo úměrná druhé mocnině meze kluzu v thu. V souldu se vzthy (6.) (6.): r p K R p 0, ve stvu rovinné npjtosti, (.7) r p K 6 R p 0, ve stvu rovinné deformce. (.8) Obr..7 Monotónní reverzní plstická zón n čele trhliny. V odlehčovcí části cyklu (d/dt 0) vznikjí před čelem trhliny zbytková tlková pnutí, která jsou tím větší, čím větší je pokles npětí. V důsledku těchto tlkových pnutí dojde k vytvoření reverzní plstické zóny (viz obr..7), jejíž velikost je nepřímo úměrná druhé mocnině meze kluzu v tlku, která je v důsledku Buschingerov efektu si x větší než mez kluzu v thu, tj

204 . VYUŽITÍ LOMOVÉ MECHANIKY PŘI STUDIU ŠÍŘENÍ ÚNAVOVÝCH TRHLIN r r pc pc DK 0, R p DK 6 0, R p ve stvu rovinné npjtosti, (.9) ve stvu rovinné deformce. (.0) Únvový život cyklicky ztěžovné konstrukce se skládá z několik kvlittivně odlišných etp (viz obr..8). nuklece šíření mikrotrhliny šíření mkrotrhliny sttický dolom inicice stbilní růst nestbilní růst únvový život těles nebo konstrukce Obr..8 Jednotlivé etpy únvového život cyklicky ztěžovné konstrukce. K nukleci únvových trhlin dochází []: ) v únvových skluzových pásech, b) n hrnicích zrn, c) n rozhrní mezi inkluzemi mtricí. Etp inicice únvové trhliny je ovlivněn celou řdou fktorů, mezi které ptří zejmén: ) velikost chrkter ztěžování, b) technologické vruby - npř. stopy po oprcování (povrchová drsnost), strukturní nehomogenity (vměstky, dutiny) pod., c) konstrukční vruby - náhlé změny tvru součásti (npř. zápichy, otvory pro nýty či šrouby pod.), d) zbytková pnutí v povrchové vrstvě (tlková pnutí mjí vliv pozitivní, ztímco thová pnutí mjí vliv negtivní), e) struktur, chemické složení tedy i vlstnosti mteriálu n povrchu - povrch těles se může od jeho jádr lišit buď záměrně (v důsledku povrchového klení, cementování, nitridování, pokovení, otryskání, žárového či plzmtického nástřiku pod.) nebo smovolně (u ocelí npř. následkem oduhličení pod.), f) gresivit prostředí (jeho chemické složení, skupenství pod.), g) teplot td

205 . VYUŽITÍ LOMOVÉ MECHANIKY PŘI STUDIU ŠÍŘENÍ ÚNAVOVÝCH TRHLIN Obr..9 Inicice únvové trhliny n strukturní nehomogenitě. Obr..0 Inicice únvové trhliny n povrchové dutině. Z výsledků nlýz mnoh provozních poruch je v souldu s výše uvedeným výčtem fktorů zřejmé, že z hledisk etpy inicice únvových trhlin jsou rozhodující povrchové vlstnosti [8]. Několik příkldů povrchových inicičních center je uvedeno n snímcích z řádkovcího elektronového mikroskopu n obr..9 ž.. V prvním přípdě (obr..9) došlo k inicici únvové trhliny n povrchové strukturní nehomogenitě, v druhém přípdě (obr..0) n povrchové dutině [9]. N lomu vrtáku, uvedeném n obr.., je únvová část lomu dobře odlišitelná od oblsti sttického dolomu. I v tomto přípdě došlo k inicici únvové trhliny n povrchu - n dně žlábku šroubovice. V místě inicice (oznčeném šipkou) byly nlezeny povrchové mikrotrhliny technologického původu, vzniklé n stopách po frézování (viz detilní snímek n obr..) [0]. Pro úplnost je třeb uvést, že v některých přípdech dochází k inicici únvových trhlin i mimo povrch těles (tj. uvnitř) - npř. n výrzných strukturních nehomogenitách, v místech lokálních špiček npětí (kontktní únv) pod. V etpě inicice jsou rozhodující lokální vlstnosti mteriálu. Důsledkem je obvykle velký rozptyl experimentálních dt, chrkterizujících tuto etpu únvového procesu (npř. počet cyklů, potřebných pro vytvoření mikrotrhliny určité smluvní délky). Tento rozptyl se obvykle s rostoucím ztížením zmenšuje

206 . VYUŽITÍ LOMOVÉ MECHANIKY PŘI STUDIU ŠÍŘENÍ ÚNAVOVÝCH TRHLIN Obr.. Inicice únvové trhliny n povrchové stopě po frézování ve žlábku šroubovice vrtáku. Obr.. Povrchové mikrotrhliny technologického původu n dně žlábku šroubovice vrtáku. Rozhrní mezi etpou inicice etpou šíření souvisí se změnou mikrotrhliny v mkrotrhlinu (viz obr..8). Růst mkrotrhliny již není ovlivňován lokálními podmínkmi, které byly rozhodující ve fázi inicice, pro popis jejího chování je již možno použít pozntků lomové mechniky. Šíření mkrotrhliny má zpočátku krystlogrfický chrkter. V této fázi se výrzně upltňuje struktur mteriálu. Kromě thového módu I zpočátku působí i smykový mód II, neboť k šíření trhliny dochází ve směru svírjícím s osou hlvního npětí úhel přibližně 45. V dlší fázi rozvoje trhliny, ve které je již rovin únvového lomu kolmá ke směru hlvního npětí, dominuje thový mód I. V závěrečné fázi, ve které dochází k přechodu ze stvu rovinné deformce do stvu rovinné npjtosti, svírá rovin lomu se směrem hlvního npětí úhel přibližně 45 - jde o smíšený mód porušování (obecně I + II + III). Význm jednotlivých etp procesu únvového porušování se může v jednotlivých konkrétních přípdech význmně lišit: U některých součástí či konstrukcí je třeb z důvodů bezpečnosti spolehlivosti únvový proces pokud možno zcel vyloučit (npř. u některých částí leteckých či utomobilových motorů). V těchto přípdech se postupuje podle konstrukční filosofie typu "sfe-life" (tj. spolehlivý život). Rozhodující je zde etp inicice únvových trhlin. Výrobky s primárními defekty technologického původu, n nichž by při předpokládném provozním ztěžování mohlo v průběhu předpokládné doby provozu dojít k inicici únvových trhlin, se při defektoskopické kontrole vyloučí

207 . VYUŽITÍ LOMOVÉ MECHANIKY PŘI STUDIU ŠÍŘENÍ ÚNAVOVÝCH TRHLIN Odlišným přípdem jsou konstrukce, u kterých při součsných technologických ekonomických možnostech není možno výskyt výrznějších primárních defektů vyloučit. Konkrétním příkldem mohou být rozměrné tlkové nádoby či jiné svřovné konstrukce []. V obdobných přípdech je třeb počítt se zkrácením etpy inicice únvové trhliny n minimum. Z hledisk životnosti je pk rozhodující etp šíření trhliny. Konstrukční návrh je proto třeb optimlizovt tk, by únvová trhlin (šířící se z primárního defektu) nedosáhl kritické délky (tj. by nedošlo k poruše) dříve, než bude detekován při plánovné prohlídce nebo než dná konstrukce bude odstven z provozu. Nznčeného typu konstrukční filosofie, oznčovného jko "dmge tolernce", se používá též u letdel [] (zejmén u vojenských stíhcích [3]). Jinou konstrukční filosofií, ve které hrje etp šíření únvových trhlin rozhodující roli, je koncepce "fil-sfe", podle které se konstrukce nvrhuje tk, by byl bezpečná i při poruše. Význmnou součástí této konstrukční filosofie jsou průběžné provozní defektoskopické prohlídky. N zákldě výsledků těchto prohlídek pozntků lomové mechniky se určuje dlší povolená délk provozu, termín rozsh oprv, termín úplného odstvení konstrukce z provozu pod. Některé konstrukční části, nvrhovné podle této koncepce, mohou být zálohovné - v průběhu jejich únvového porušování je silový tok převeden n osttní, dosud neporušené elementy. Tto konstrukční filosofie se používá zejmén u civilních doprvních letdel. Drk doprvního letdl je typickým příkldem konstrukce, u které je třeb věnovt znčnou pozornost jk etpě inicice, tk i etpě šíření únvových trhlin (npř. v nosnících potzích křídel). Poslední etpou únvového porušování, uvedenou ve schémtu n obr..6, je dolom. Tto etp je tvořen posledním ztěžovcím cyklem. Dosáhne-li v tomto cyklu mximální hodnot fktoru intenzity npětí K mx hodnoty únvové (resp. cyklické) lomové houževntosti K cf, dojde ke ztrátě stbility trhliny k náhlému porušení zbylého nosného průřezu v kritickém místě. Z obecného vzthu DK = (-R).K mx vyplývá, že k tomuto meznímu stvu dochází, dosáhne-li rozkmit fktoru intenzity npětí DK kritické hodnoty DK c = (-R).K cf (viz obr..4). Únvovou lomovou houževntost K cf obecně nelze ztotožňovt s klsickou lomovou houževntostí K Ic, určovnou stndrdním normlizovným postupem, která chrkterizuje odpor mteriálu vůči ztrátě stbility trhliny při sttickém ztížení (viz kp. 5.4). Poměr K cf /K Ic může být větší i menší než jeho velikost závisí zejmén n následujících fktorech (viz npř. [4]):

208 K cf [MP.m / ]. VYUŽITÍ LOMOVÉ MECHANIKY PŘI STUDIU ŠÍŘENÍ ÚNAVOVÝCH TRHLIN chemické složení struktur mteriálu, ovlivňující jeho citlivost n rychlost ztěžování (resp. rychlost deformce) chrkter cyklické deformční křivky (cyklické změkčení či zpevnění mteriálu), prmetry cyklického ztěžování, počet plikovných ztěžovcích cyklů, teplot dlší chrkteristiky prostředí, ovlivňující schopnost plstické deformce mteriálu v okolí čel trhliny pod. Bylo prokázáno, že u cyklicky změkčujících mteriálů poměr K cf /K Ic klesá s rostoucí sttickou lomovou houževntostí K Ic [88],[89]. Nznčený trend lze proximovt empirickým vzthem K cf K Ic b K, (.) kde konstnt b nbývá v přípdě lomů ve stvu rovinné deformce hodnot přibližně (45).0-3 MP -.m -/ viz obr..3. Ic : b = MP - m -/ b = MP - m -/ K Ic [MP.m / ] Obr..3 Závislost únvové lomové houževntosti K cf n klsické sttické lomové houževntosti K Ic podle vzthu (.). Při studiu únvových procesů se pozntky lomové mechniky upltňují zejmén v etpě mkroskopického šířeni trhliny. Této etpě jsou věnovány následující odstvce této kpitoly

209 . VYUŽITÍ LOMOVÉ MECHANIKY PŘI STUDIU ŠÍŘENÍ ÚNAVOVÝCH TRHLIN. ŠÍŘENÍ ÚNAVOVÝCH TRHLIN.. Fktory ovlivňující rychlost šíření únvové trhliny Rychlost šíření únvové trhliny v = d/dn, která je význmnou veličinou, chrkterizující odezvu mteriálu n cyklické ztěžování, je ovlivněn celou řdou fktorů. Tyto fktory lze rozdělit do čtyř následujících skupin (podle [5]):. Chrkteristiky ztěžování (obecně ozn. Z) ) Rozkmit npětí D, resp. odpovídjící rozkmit fktoru intenzity npěti DK. b) Prmetr symetrie cyklu R. (Připomeňme, že explicitně vyjádřený vliv D, resp. DK, R v sobě implicitně zhrnuje i vliv mximálního npětí mx, resp. K mx, vliv středního npětí s, resp. K s pod.). c) Frekvence ztěžování f. d) Tvr ztěžovcího cyklu (npř. sinový, obdélníkový, pilový pod.). e) Interkce mezi ztěžovcími cykly při ztěžování s proměnnou mplitudou npětí. f) Stv npjtosti (rovinná deformce, rovinná npjtost). g) Zbytková pnutí.. Geometrické chrkteristiky (obecně ozn. A) ) Absolutní reltivní rozměry trhliny (npř., /W pod.). b) Geometrie trhliny (npř. tvr, orientce vůči hlvnímu npětí pod.). c) Geometrie těles s trhlinou. d) Koncentrce npětí n konstrukčních vrubech. 3. Mteriálové chrkteristiky (obecně ozn. M) ) Chemické složení slitiny. b) Rozložení legujících prvků nečistot. c) Mikrostruktur krystlová struktur. d) Tepelné zprcování (klení, žíhání pod.). e) Mechnické zprcování (válcování, lisování, obrábění pod.). f) Textur (přednostní orientce zrn jejich hrnic). g) Mechnické vlstnosti (modul pružnosti v thu ve smyku, pevnost, tžnost, mez kluzu, lomová houževntost pod.). 4. Chrkteristiky prostředí (obecně ozn. T). ) Teplot. b) Typ prostředí (skupenství plynné, kplné pod.)

210 . VYUŽITÍ LOMOVÉ MECHANIKY PŘI STUDIU ŠÍŘENÍ ÚNAVOVÝCH TRHLIN c) Prciální tlk poškozujících složek v plynném prostředí. d) Koncentrce poškozujících složek v tekutém (npř. vodním) prostředí. e) Elektrický potenciál. f) Kyselost (ph). g) Viskozit. h) Rdiční tok. i) Povrchové povlky, inhibitory td. Vzhledem ke znčnému množství fktorů, ovlivňujících šíření únvové trhliny, složitému chrkteru jejich vzájemných interkcí není prkticky možné nlézt univerzální vzth typu v v( Z, A, M, T), (.) který by umožňovl výpočet rychlosti šíření trhliny v v libovolném obecném přípdě. V odborné litertuře je v součsné době k dispozici několik desítek rovnic typu (.), které explicitně chrkterizují vliv většího či menšího počtu výše uvedených fktorů (viz npř. souhrnné práce [6] ž [9]). Čím jsou tyto vzthy složitější, tím by teoreticky mohly být i obecnější. S rostoucí složitostí těchto vzthů všk roste i počet prmetrů, které je třeb znát, což skutečné možnosti upltnění v prxi znčně omezuje. V dném mteriálu z dných provozních podmínek je rychlost šíření únvové trhliny řízen polem npětí v okolí jejího čel. Výsledná úroveň npětí je zde dán superpozicí: ) lokální odezvy mteriálu n vnější silové účinky, působící n těleso v dném čsovém okmžiku, ) zbytkových pnutí, vyvolných v tělese elsto-plstickou odezvou mteriálu n předchozí ztěžování (tuto vlstnost mteriálu můžeme nzvt krátkodobou pmětí ), 3) zbytkových pnutí technologického původu ( dlouhodobá pměť mteriálu). Pole npětí před čelem trhliny lze chrkterizovt některým z prmetrů, používných v lomové mechnice. V přípdě únvových trhlin se používá nejčstěji rozkmitu fktoru intenzity npětí DK. Rychlost šíření únvové trhliny v = d/dn je obecně funkcí DK, tj. v vdk. (.3) Objevení nznčené závislosti je jedním z nejvýznmnějších úspěchů výzkumu únvového procesu [0]. Aplikce lomové mechniky prostřednictvím vzthu (.3) umožňuje zobecnění výsledků lbortorních únvových zkoušek jejich přenos n reálné konstrukční části. Prmetry vzthu (.3) mohou být obecně funkcí všech osttních fktorů, ovlivňujících rychlost šíření únvové trhliny (srv. vzthy (.) (.3)), neboť ve veličině DK je zhrnut - 0 -

211 . VYUŽITÍ LOMOVÉ MECHANIKY PŘI STUDIU ŠÍŘENÍ ÚNAVOVÝCH TRHLIN pouze rozkmit npětí D geometrické chrkteristiky dného těles s trhlinou. Z výsledků znčného množství experimentálních prcí vyplývá, že grf funkce (.3), znázorněný v loglog souřdnicích, má obecně esovitý chrkter - viz obr..4. Tento grf lze rozdělit do tří kvlittivně odlišných oblstí (větví), kterými jsou: ) Oblst prhových hodnot rozkmitu fktoru intenzity npětí nízkých rychlostí šíření únvových trhlin (ozn. I). b) Oblst lineární závislosti log(v) n log(dk), tj. oblst pltnosti tzv. Prisov vzthu (ozn. II). c) Oblst vysokých rychlostí šíření únvových trhlin závěrečného dolomu, tj. oblst, ve které se K mx blíží hodnotě únvové lomové houževntosti mteriálu K cf, nebo-li DK se blíží hodnotě (-R).K cf (oblst ozn. III). I II III v = d/dn DK p DK (-R)K cf Obr..4 Obecná závislost rychlosti šíření únvové trhliny v n DK... Otevírání uzvírání únvové trhliny Reverzní plstická zón, vznikjící při poklesu npětí v odlehčovcí části cyklu (viz obr..7), vyvolává v oblsti čel únvové trhliny zbytková tlková pnutí, která přitlčují obě líce lomu k sobě tím trhlinu uzvírjí. K tomuto uzvření dochází, poklesne-li vnější thové npětí (resp. síl) pod určitou mezní hodnotu cl 0 (F cl 0). Obdobně v zátěžné části cyklu dojde k opětovnému otevření trhliny ž tehdy, dosáhne-li vnější thové npětí (síl) určité mezní hodnoty op 0 (F op 0). - -

212 . VYUŽITÍ LOMOVÉ MECHANIKY PŘI STUDIU ŠÍŘENÍ ÚNAVOVÝCH TRHLIN Nejobvyklejší experimentální metod určování hodnot F cl F op je zložen n měření závislosti otevření trhliny COD (viz 9. kp.) n zátěžné síle F. Typický příkld této závislosti, nměřený v průběhu jednoho ztěžovcího cyklu, je uveden n obr..5. Hodnotám F cl F op odpovídjí body zlomu n uvedeném grfu. Pro jednoduchost budeme dále předpokládt F cl = F op - obecně všk tto rovnost pltit nemusí. K šíření únvové trhliny dochází pouze v té části ztěžovcího cyklu, ve které je trhlin plně otevřen [], tj. v intervlu (F op, F mx ). Síle F op (resp. F min, F mx, DF) odpovídá fktor intenzity npětí K op (resp. K min, K mx, DK). Ve skutečnosti se tedy n šíření únvové trhliny nepodílí celý rozkmit fktoru intenzity npětí DK = K mx - K min, le jen jeho část - tzv. efektivní rozkmit fktoru intenzity npětí DK ef (viz obr..6), definovný vzthem D K K K (.4) ef mx op. Obr..5 Závislost otevření trhliny COD Obr..6 Efektivní rozkmit fktoru n síle F v průběhu cyklu. intenzity npětí DK ef. Reltivní část ztěžovcího cyklu, ve které je trhlin plně otevřen, lze chrkterizovt poměrem Kef U D DK. (.5) Ze vzthů (.4) (.5) tedy vyplývá Kop U, R Kmx (.6) tj. K [ ( R) U], K op mx kde R je prmetr symetrie cyklu. - -

213 . VYUŽITÍ LOMOVÉ MECHANIKY PŘI STUDIU ŠÍŘENÍ ÚNAVOVÝCH TRHLIN Tb.. Příkldy prmetrů vzthu (.7) vyjdřujícího závislost poměru U = DK ef /DK n prmetru symetrie cyklu R. LITERÁRNÍ ODKAZ Elber [] Kobyshi, Murkmi, Nkzw [] Schijve [3] Lm, Lin [4] Zhng et l. [5] Mousuv, Rdon [6] Kurihr et l. [7] Newmn [8] Wnhill [9] Ktcher, Kpln [30] Mddox et l. [3] Kumr Grg [3] SLITINA, EXPER. PODMÍNKY Al-slitin 04-T3 ocel 0B35 temp. 00 C ocel 0B35 temp. 600 C nízkouhlíková ocel Al-slitin 04-T3 Al-slitin 04-T3 Al-slitin 7475-T735 ocel BS C B=4mm, f=0,5hz ocel BS C B=mm, f=0,5hz ocel BS C B=mm, f=30hz ocel JIS SM50B stv RD, mx /Rp0, = /3 Al-slitin 9-T85 Ti-6Al-4V rekryst. žíhán konstrukční oceli Al-slitin 606-T6 Al-slitin 6063-T6 DEFINIČNÍ OBOR R b 0 b b b 3 c 0 c (-0,; 0,7) 0,5 0, (0,06; 0,4) 0,5 0, (0,06; 0,4) 0,5 0, ,5 0, (-; ) 0,55 0,35 0, 0 0-0,5 0,4 0,4 0 0 (0; ) 0,6 0,37 0,4 0 0 (0; ) -0, (0; ) -0, (0; ) -0, (-5; 0,5) 0 0 0,5 - (0,5; 0,8) (-; 0) 0,75-0, (0; ) 0,75-0,06 -,3 0,44 - (0,08; 0,3) 0,68 0, (0,08; 0,35) 0,73 0, ,75 0, (0; 0,3) 0,69 0,5 0, 0 0-0,55 0,6 0, 0 0 Poměr U, definovný vzthem (.5), může být funkcí všech fktorů, které ovlivňují šíření únvové trhliny (viz odst...). Z dných podmínek (tj. mteriál, těleso, prostředí td.) je dominntním fktorem, ovlivňujícím otevírání uzvírání trhliny ( tedy i poměr U), prmetr symetrie cyklu R. V litertuře lze nlézt řdu různých empirických vzthů, které závislost U = U(R) vyjdřují nlyticky (viz npř. souhrnné články [3], [33]). Většinu těchto - 3 -

214 . VYUŽITÍ LOMOVÉ MECHANIKY PŘI STUDIU ŠÍŘENÍ ÚNAVOVÝCH TRHLIN vzthů lze zobecnit do tvru rcionálního zlomku bo b R b R b3r U( R) c c R o 3. (.7) Některé konkrétní hodnoty konstnt b o ž b 3, c o c l, vystupující ve vzthu (.7), jsou spolu s příslušným definičním oborem R typem slitiny uvedeny v tb.., shrnující výsledky prcí [] ž [3]. Je zřejmé, že tyto konstnty závisejí zejmén n mteriálu, tj. n jeho chemickém složení struktuře. Průběhy některých z uvedených funkcí U(R) jsou znázorněny grficky n obr..7.,0 0,9 Newmn [8], Wnhill [9] Schijve [3] 0,8 0,7 U (R ) [] Zhng Elber [] 0,6 Mddox [3] Kurihr [7] 0,5 0,4 Lm, Lin [4] 0,3 0, 0, R [] 0,0 -,0-0,8-0,6-0,4-0, 0,0 0, 0,4 0,6 0,8,0 Obr..7 Závislost poměru U = DK ef /DK n prmetru symetrie cyklu R podle různých utorů (viz tb..). Kromě závislosti typu (.7) se v litertuře vyskytují i jiné nlytické tvry funkce U(R), npř. [34] R U( R) n, (.8) R kde n je exponent Prisov vzthu (.54), nebo [35] ž [38] U( R) R p, (.9) kde p (- p 0) je konstnt, jejíž závisí n mteriálu, prostředí, způsobu ztěžování pod. Pokud by poměr U byl funkcí pouze prmetru symetrie cyklu R, mělo by npř. pro dv typy ztěžovcích cyklů, znázorněných n obr..8 chrkterizovných shodným prmet

215 0. VYUŽITÍ LOMOVÉ MECHANIKY PŘI STUDIU ŠÍŘENÍ ÚNAVOVÝCH TRHLIN rem symetrie cyklu R l = R, pltit U = U. Experimentální výsledky řdy prcí všk nznčily, že tomu tk není že poměr U je obecně funkcí nejen R, le i K mx ( tedy i DK) viz npř. [39] ž [46]. Dvidson [43] uvádí pro Al-slitiny závislost U = U(R, K mx ) ve tvru DK p DK U RK DK mx p, (.0) kde DK p je prhová hodnot rozkmitu fktoru intenzity npětí (viz obr..4). Ze vzthů (.5), (.6) (.0) pk vyplývá DK DK DK, (.) ef resp. Kop Kmin D K p. (.) Otevřenou otázkou všk zůstává, do jké míry mjí uvedené vzthy obecnou pltnost. p K [MP.m / ] R = R R = K,min /K,mx = /3 K,min = 0 MP.m / K,mx = 30 MP.m / 5 0 R = K,min /K,mx = /3 K,min = 5 MP.m / K,mx = 5 MP.m / čs t Obr..8 Ilustrční znázornění dvou přípdů cyklického ztěžování se stejným prmetrem symetrie cyklu R, le s různou mximální hodnotou K mx (resp. s různým DK). Dlším význmným fktorem, ovlivňujícím hodnotu K op ( tedy i U DK ef ), je tzv. fktor stísnění (ngl. constrint fctor ), který je funkcí jednk poměru velikosti plstické zóny n čele trhliny r p tloušťky těles B, jednk Poissonově čísle mteriálu ν: - 5 -

216 . VYUŽITÍ LOMOVÉ MECHANIKY PŘI STUDIU ŠÍŘENÍ ÚNAVOVÝCH TRHLIN r p rp c B B, (.3) r p rp c B B kde c c jsou konstnty. Guo et l. ve své práci [47] uvádějí hodnoty c = 0,6378 c = 0,540 - pro tyto velikosti konstnt tři hodnoty Poissonov čísl je průběh funkce (.3) grficky znázorněn n obr RD = 0.35,5 = /3 fktor stísnění = 0.3 = 0.5 = 0.,5 RN log(r p /B ) 0,0 0, 0 Obr..9 Závislost fktoru stísnění n poměru velikosti plstické zóny r p tloušťky těles B. Prmetrem je Poissonovo číslo. Poměr U lze vypočítt pomocí vzthu (.6), do kterého z K op K mx následujícího empirického vzthu, který odvodil Newmn (převzto z [47]): dosdíme pomocí Kop op 3 A0 A R A R A3 R pro R 0, Kmx mx resp. (.4) Kop op A0 A R pro R 0, K mx mx 0, mx kde A 0,85 0,34 0,05 cos, 0 R p - 6 -

217 U (R,, mx /R p 0. ) U (R,, mx /R p 0. ). VYUŽITÍ LOMOVÉ MECHANIKY PŘI STUDIU ŠÍŘENÍ ÚNAVOVÝCH TRHLIN Funkce B r p A 0, mx 0,45 0,07, A R p 3A0, A A 3 A0 A (.3) má klesjící chrkter, přičemž její mximum ( 3 ) odpovídá stvu rovinné deformce minimum ( min ) stvu rovinné npjtosti.. mx U Dosdíme-li do vzthu (.6) z K op Kmx pomocí (.4), dostáváme závislost U R,, mx / Rp 0., která je rostoucí funkcí prmetru symetrie cyklu R, fktoru stísnění i reltivní velikosti mximálního npětí vyjádřené poměrem mx /R p 0, viz grfy n obr..0. V tb.. n obr..7 je jko speciální příkld uveden závislost U(R) tohoto typu pro = 3, tj. stv RD, poměr mx /R p 0, = /3 (Newmn, Wnhill).,0,0 = 0.5 0,9 mx /R p 0. = ,9 fktor stísnění = ,8 0,8 0,7 0,7 0,6 0,6 0,5 0,5 mx /R p 0. = ,4 0,4 0. R [] 0,3 -,0-0,5 0,0 0,5,0 R [] 0,3 -,0-0,5 0,0 0,5,0 Obr..0 Příkldy závislosti poměru U = DK ef /DK n prmetru symetrie R, fktoru stísnění reltivní velikosti mximálního npětí mx /R p 0,. Z uvedených závislostí vyplývá, že npř. s klesjící tloušťkou těles B, rostoucí délkou trhliny nebo klesjící mezí kluzu mteriálu R p 0, ( tedy rostoucí velikostí plstické zóny n čele trhliny r p ) z jink stejných podmínek roste hodnot K op, klesá poměr U tedy klesá i hodnot DK ef

218 . VYUŽITÍ LOMOVÉ MECHANIKY PŘI STUDIU ŠÍŘENÍ ÚNAVOVÝCH TRHLIN V počáteční fázi šíření se čelo trhliny nchází v kvlittivně odlišné oblsti, ovlivněné spíše okrjovými počátečními podmínkmi (neztížený stv), než polem elsto-plstických deformcí, které se účinkem cyklování postupně mění. Oblst zbytkových pnutí, která vzniká v důsledku opkovné lokální plstické deformce v okolí čel trhliny, dosud není plně vyvinut. Důsledkem je reltivně nižší uzvírcí npětí op (resp. K op ) tedy větší hodnot DK ef, než z jink shodných podmínek při větší délce trhliny v již stbilizovném stvu. Orientční předstvu o míře vlivu tohoto fktoru si lze udělt n zákldě výsledků, získných metodou konečných prvků [84], [85]: v dném přípdě délce trhliny = o (počáteční délk trhliny) odpovídl hodnot DK ef přibližně dvkrát větší, než délce trhliny,0 o. V některých experimentálních prcích bylo prokázáno, že poměr U může být ovlivněn i dlšími, dosud neuvedenými fktory, npř. tvrem těles, gresivitou prostředí, teplotou pod. - viz npř. souhrnný článek [48]. Otevírání uzvírání trhliny obecně závisí n čsovém průběhu ztěžování. Veškeré dosvdní úvhy se týkly jednoduchého ztěžování s konstntní mplitudou npětí. V přípdě složitějších ztěžovcích spekter může být proces otevírání uzvírání trhliny výrzně ovlivněn nejen prmetry jednotlivých cyklů, le i jejich sousledností pod. N zákldě koncepce uzvírání otevírání trhliny lze původní obecnou závislost v v DK převést do tvru v v D. (.5) K ef Ze vzthu (.4) npř. vyplývá, že dvě různě dlouhé únvové trhliny ( ) se při různých ztěžovcích režimech (D D, R R,...) budou šířit stejnou rychlostí v = v, bude-li splněn podmínk DK ef, = DK ef,...3 Experimentální sledování šíření únvové trhliny Zákldní vstupní informcí, umožňující zkonstruování křivky závislosti v(dk), bývá v prxi nejčstěji soubor dvojic experimentálních dt typu ( i, N i ), kde i je délk únvové trhliny odpovídjící počtu cyklů N i (i =,,..., n). Počet cyklů N (nebo jiný údj čsového chrkteru) lze v lbortorních podmínkách odečíst přímo n počítdle ztěžovcího stroje. V okmžiku měření délky trhliny je obvykle třeb ztěžování přerušit, což může sledovný únvový proces nežádoucím způsobem ovlivnit (viz npř. [99]). Tento rtefkt je třeb vzít v úvhu při nlýze interpretci výsledků. Experimentální metody měření délky trhliny lze podle jejich fyzikální podstty rozdělit do následujících skupin: - 8 -

219 . VYUŽITÍ LOMOVÉ MECHANIKY PŘI STUDIU ŠÍŘENÍ ÚNAVOVÝCH TRHLIN ) Optické metody, ptřící dosud pro svou jednoduchost dostupnost k nejpoužívnějším, lze dále dělit n ) Přímé metody - pomocí lupy nebo optického mikroskopu měřítk (mikrometrického šroubu) zjišťujeme přímo délku ústí trhliny n povrchu porušovného těles (viz npř. obr..). V lbortorních podmínkách se sledovný povrch vzorku obvykle nejdříve vyleští. V mnohých přípdech bývá užitečné n vyleštěném povrchu předem vyznčit rysky, které umožňují sndnější odečítání délek trhliny. b) Nepřímé metody - měření délky trhliny se provádí n replikách, sejmutých z povrchu porušovného těles. Mezi nepřímé metody lze zhrnout rovněž metody fotogrfické (viz npř. [49], [50]), při kterých se v průběhu ztěžování pořizuje záznm šíření trhliny n povrchu těles. Tento záznm se pk vyhodnocuje dodtečně. Výhodou této metody je trvlá dokumentce jednotlivých neopkovtelných stvů porušování těles s možností čsově neomezeného, podrobného vyhodnocování, odděleného od vlstního únvového experimentu ve zkušebně. Obr.. Aprtur pro přímé měření délky únvové trhliny n povrchu těles pomocí optického mikroskopu (lbortoř Vítkovice,.s.). ) Komplinční metody jsou zloženy n vzbě mezi tuhostí (resp. její reciprokou hodnotou, tj. poddjností) těles s trhlinou délkou trhliny. Pomocí tenzometrů se měří deformce zbylého nosného průřezu, která je délce trhliny úměrná: - 9 -

220 . VYUŽITÍ LOMOVÉ MECHANIKY PŘI STUDIU ŠÍŘENÍ ÚNAVOVÝCH TRHLIN ) Měření deformce n zdní strně porušovného těles. Při této vrintě je tenzometr umístěn uprostřed zdní stěny těles, rovnoběžně se směrem ztěžování [5], [5]. V první fázi měření je třeb provést klibrci závislosti délky trhliny n měřené deformci. Tto závislost bývá v širokém rozshu lineární. Vysoké citlivosti této metody lze s výhodou využít zvláště pro detekci inicice první fáze šíření únvových trhlin. Výstupního signálu z tenzometru lze nvíc využít jko zpětnou vzbu pro řízení servohydrulických pulsátorů. Tímto způsobem lze npř. provádět únvové zkoušky při konstntní hodnotě DK pod. [53]. b) Měření deformce v blízkém okolí čel trhliny. Způsob měření je obdobný jko u předchozí vrinty. Tenzometry jsou všk umístěny n boční stěně těles. c) Měření COD. Tto metod je zložen n vzbě mezi otevřením trhliny, měřeným n jejím ústí sponovým snímčem, délkou trhliny (viz npř. [54] ž [57]). Před vlstním měřením je zpotřebí stnovit klibrční křivku této závislosti, jejíž průběh je ovlivněn zejmén tvrem rozměry těles, elstickými vlstnostmi mteriálu velikostí způsobem ztěžování těles s trhlinou. Vzth mezi COD délkou trhliny lze obecně vyjádřit ve tvru Z COD f, W, B,..., (.6) E kde Z předstvuje některý z prmetrů kvntifikujících ztížení dného těles s trh- linou (tj. npětí, sílu F, ohybový moment M pod.) E E ve stvu rovinné npjtosti, E E ve stvu rovinné deformce. Konkrétní nlytické tvry funkcí (.6) pro nejčstěji používná zkušební těles jsou uvedeny v příručkách [58] ž [6]. Npř. (podle [6]): těleso s centrální trhlinou, ztížení thovým npětím, COD měřeno uprostřed těles W COD 4 0,065 0,4 3,76 6,63 4,93, E W W W W W W těleso s jednostrnnou okrjovou trhlinou, ztížené ohybovým momentem M (čistý ohyb), COD měřeno n okrji ústí trhliny (vrubu) n boku těles M COD 4 EBW 3,458 0,304 0,94 W W W ,34 3,5 0,5 W W W 6-0 -

221 . VYUŽITÍ LOMOVÉ MECHANIKY PŘI STUDIU ŠÍŘENÍ ÚNAVOVÝCH TRHLIN stndrdní CT-těleso, nmáhné excentricky thovou silou F, COD měřeno n okrji ústí vrubu n boku těles F 0,5 COD. EB W W W,637,678 4,3 W 3 6,60 35,050 W W W 4 4,494 Při plikci této metody v prxi měříme v průběhu únvové zkoušky sponovým snímčem v dném místě těles hodnoty COD, které pk n zákldě inverze nlytické funkce výše uvedeného typu či experimentálně stnovené klibrční křivky pomocí vhodné numerické metody přepočteme n odpovídjící reltivní délku trhliny W 5 W. 3) Elektrické odporové (resp. potenciálové) metody jsou zloženy n vzbě mezi elektrickým odporem nosným průřezem, jehož velikost je závislá n délce trhliny v tělese. Odpor s rostoucí délkou trhliny nrůstá. Odpovídjícím způsobem se pk mění i potenciál, tj. npětí (viz npř. [6]): ) Metod využívjící stejnosměrného proudu. Závislost odporu n délce trhliny je v počáteční fázi, kdy k sobě líce trhliny přiléhjí, nelineární. Po oddálení lící trhliny se tto závislost linerizuje [63]. Trhlin při svém šíření nrušuje potenciálové pole těles odporová změn se při průchodu konstntního stejnosměrného proudu projeví jko změn potenciálu. Je-li těleso odizolováno od ztěžovcího zřízení, lze tyto změny potenciálu snímt, zesilovt registrovt. Této metody se v prxi používá i pro detekci okmžiku inicice únvové trhliny [64], [65]. Metod je plikovtelná nejen při ztěžování cyklickým them, le i krutem [66], [67]. Problémem této vrinty metody je všk zmíněné odizolování sledovného těles od ztěžovcího zřízení. b) Metod využívjící střídvého proudu. V tomto přípdě není třeb sledovné těleso od zkušebního zřízení odizolovt [68]. Tto vrint metody měření je nvíc i velmi citlivá [69]. U geometricky jednodušších těles nvíc umožňuje sledovt změny tvru orientce čel únvové trhliny v jednotlivých fázích jejího šíření [70], [7]. Přes řdu výhod mohou být výsledky, získné touto metodou (obdobně jko metodou předchozí), negtivně ovlivněny celou řdou rušivých fktorů. Důsledkem je obtížná interpretovtelnost tedy i snížená přesnost nměřených dt. c) Použití povrchových snímčů. Tyto snímče mohou být složeny z řdy elektricky vodivých elementů (drátků), které jsou při růstu únvové trhliny postupně porušovány. Tím dochází ke skokovým: změnám odporu snímče. Kždá elementární - -

222 . VYUŽITÍ LOMOVÉ MECHANIKY PŘI STUDIU ŠÍŘENÍ ÚNAVOVÝCH TRHLIN změn odporu, zregistrovná měřícím přístrojem, odpovídá přírůstku délky trhliny o vzdálenost dvou sousedních elementů snímče [49], [7]. Jiným typem povrchového snímče může být snímč foliový [73]. Tento snímč je přilepen n sledovné těleso porušuje se spolu s ním. Je zřejmé, že při použití povrchových snímčů lze (nrozdíl od předchozích dvou vrint elektrické potenciálové metody) detekovt pouze změnu délky ústí únvové trhliny n povrchu těles. 4) Ultrzvukové metody využívjí odrzu signálu n nehomogenitě, kterou je v dném přípdě šířící se únvová trhlin. Velikost ech je přímo úměrná velikosti lomové plochy tedy i délce trhliny [74]. Posouváme-li sondu změřenou n čelo trhliny v průběhu šíření trhliny tk, by održené echo mělo konstntní mplitudu, pk okmžitá poloh sondy udává délku trhliny [75]. Tto metod umožňuje vyšetření celého čel únvové trhliny. Při interpretci výsledků je všk třeb počítt s negtivním vlivem rušivých signálů. 5) Metody kustické emise umožňují sledovt šíření trhliny pomocí detekce npěťových vln, které rozvoj trhliny doprovázejí. Ke snímání emitovných vln se používá piezoelektrických snímčů. Výstupní signál je po zesílení zznmenání možno frekvenčně mplitudově nlyzovt. Detekovný signál se skládá ze dvou zákldních složek, kterými jsou kontinuální emise (odpovídjící pohybu dislokcí procesu plstické deformce mteriálu) diskontinuální emise (tvořená většími elstickými vlnmi, odpovídjícími mechnickým skokům trhliny) [76] ž [78]. Pro sledování kinetiky šíření únvových trhlin se v prxi používá obou těchto složek (detekce kontinuální emise bylo použito npř. v prcích [79] ž [83], detekce diskontinuální emise npř. v [76]). Aplikce metod kustické emise vyžduje poměrně nákldné přístrojové vybvení. Vzb mezi detekovným signálem délkou únvové trhliny je negtivně ovlivněn rušivými fktory (šum zkušebního stroje pod.). 6) Metody řádkovcí elektronové mikroskopie, řádkovcí kustické mikroskopie pod., umožňující průběžné sledování ústí únvové trhliny n povrchu těles. Výše uvedené členění vycházelo z fyzikální podstty dných experimentálních metod. Jiné členění je možno provést podle chrkteru (dimenze) oblsti, ze které se při měření čerpjí informce. Podle tohoto kriteri lze experimentální metody dělit n povrchové objemové. V přípdě povrchových metod se nesleduje pohyb celého čel únvové trhliny, le nnejvýš jen obou jeho krjních bodů. Jsou-li tkto získné délky trhliny povžovány z chrkteristické pro celý průřez těles, dochází čsto vzhledem k zkřivení čel trhliny k podhodnocení skutečného stvu (viz npř. obr.5.38, ). Nznčený problém je zvláště ktuální u těles větší tloušťky. Mezi povrchové metody lze z výše uvedeného přehledu - -

223 . VYUŽITÍ LOMOVÉ MECHANIKY PŘI STUDIU ŠÍŘENÍ ÚNAVOVÝCH TRHLIN zřdit optické metody (, b), elektrické odporové metody používjící povrchových snímčů (3c) metody elektronové či kustické mikroskopie (6). V přípdě použití objemových metod jsou informce získávány z většího objemu mteriálu, než u metod povrchových. Vzhledem k tomu, že skutečné čelo šířící se únvové trhliny uvnitř těles přímo sledovt nemůžeme, vycházejí všechny objemové metody z měření některé jiné (mechnické, elektrické td.) veličiny, která n délce trhliny závisí. Délk trhliny je tedy měřen nepřímo. Ve většině přípdů je výsledkem měření "střední" délk trhliny, representtivní pro celý průřez těles. Tto hodnot chrkterizuje rozsh únvového poškození těles mnohem lépe, než dt získná pomocí metod povrchových. Společnou nevýhodou objemových metod (tj. metod, b, c, 3, 3b, viz výše uvedený přehled) je poněkud obtížnější interpretovtelnost výsledků, dná negtivním působením celé řdy fktorů, ovlivňujících průběh měření...4 Stnovení rychlosti šíření únvové trhliny Primární soubor dvojic experimentálních dt ( i, N i ), i =,,..., n, je třeb převést n soubor dvojic typu (v i, i ), tj. n závislost rychlosti šíření únvové trhliny n její délce. Při výpočtu rychlosti šířeni únvové trhliny se v prxi používjí následující numerické metody [84]: ) Metod sečná. Tto metod je zložen n výpočtu směrnice úsečky spojující dv sousední body experimentálně stnovené závislosti = (N): střední délce trhliny (.7) je přiřzen rychlost v i i i N i i i i N i (i =,,..., n-) (i =,,..., n-). (.8) Sečná metod je pro svou jednoduchost v prxi nejpoužívnější. Výsledná závislost v(), získná touto metodou, všk může být ztížen znčným rozptylem dt - zvláště v přípdě výrznějšího lokálního zpomlování zrychlování trhliny. Křivk této závislosti pk není dosttečně vyhlzen. ) Metod British Stndrds Institution (BS 0086:99). Tto metod je určitou modifikcí předchozí sečné metody. Délce trhliny i (i =, 3,..., n-), je přiřzen rychlost šíření v i N i N i i i (i =, 3,..., n-). (.9) - 3 -

224 . VYUŽITÍ LOMOVÉ MECHANIKY PŘI STUDIU ŠÍŘENÍ ÚNAVOVÝCH TRHLIN Výsledná závislost v() není v tomto přípdě ztížen tk velkými fluktucemi jko v přípdě použití sečné metody v původní verzi. 3) Metod ASTM (ASTM Stndrd E 647) [85]. Při použití této metody proložíme vždy k sousedními experimentálními body ( i, N i ), kde k je liché přirozené číslo, regresní funkci ve tvru polynomu. stupně k k 3 k k 0i i in i,,..., n, n, (.30) N c c N c kde c oi, c i c i jsou konstnty. Derivce funkce (N) v bodě i udává odpovídjící rychlost šíření únvové trhliny v i, tj. v i k k 3 k k ( d / dn) i i,,..., n, n. (.3) V prxi se v součsné době používá několik vrint této metody, lišících se počtem k sousedních experimentálních bodů, které při výpočtu bereme v úvhu: Devítibodová (k = 9) sedmibodová (k = 7) vrint se používá tehdy, je-li k dispozici rozsáhlejší soubor dvojic experimentálních dt typu ( i, N i ), i =,,..., n. Výsledná křivk závislosti v() je reltivně hldká, což je vhodné zvláště v přípdech, kdy chceme získt obecnou mkroskopickou chrkteristiku únvových vlstností sledovného mteriálu. Pětibodová vrint (k = 5) má obdobné vlstnosti jko vrinty předchozí. Lze ji všk použít i v přípdě méně rozsáhlého souboru experimentálních dt ( i, N i ), i =,,..., n. Tto vrint umožňuje i detekci lokálního zrychlení či zpomlení růstu únvové trhliny. Tříbodová vrint (k = 3) může vést k tomu, že výsledná závislost v() bude ztížen znčným rozptylem - pro obecnou mkroskopickou chrkteristiku únvového chování mteriálu proto není příliš vhodná. Všechny výše uvedené metody stnovení závislosti rychlosti šíření n délce trhliny vycházely z experimentálních mkroskopických dt typu ( i, N i ). Kvlittivně odlišnou metodou určování rychlosti šíření únvové trhliny je metod frktogrfická (viz npř. [86], [87]). Tto metod je plikovtelná "ex post", tj. po zpřístupnění lomových ploch vytvořených šířením únvové trhliny v cyklicky ztěžovném tělese. Typickým mikromorfologickým znkem únvových lomů celé řdy konstrukčních mteriálů jsou strice (viz npř. obr.., n kterém je detilní snímek únvového lomu niklové slitiny EI 437B [88], pořízený n řádkovcím elektronovém mikroskopu). Při kvntittivní frktogrfické nlýze únvových lomů se stnoví závislost rozteče stricí s n délce trhliny. Primárním souborem experimentálních dt jsou tedy v tomto přípdě dvojice (s i, i ), i =,,..., n

225 . VYUŽITÍ LOMOVÉ MECHANIKY PŘI STUDIU ŠÍŘENÍ ÚNAVOVÝCH TRHLIN Obr.. Strice typický mikromorfologický znk únvových lomů. Rozteč stricí s i podává informce o lokální mikroskopické rychlosti šíření únvové trhliny v místě, definovném délkou trhliny i. Ztotožnit rozteč stricí s s mkroskopickou rychlostí šíření únvové trhliny v = d/dn obecně nelze. Vzth těchto veličin je dán rovnicí [89] v D s. (.3) Součinitel D je funkcí rozkmitu fktoru intenzity npětí DK. V oblsti nižších hodnot DK, ve které se upltňuje zejmén odlišnost lokálního mkroskopického směru šíření čsově i prostorově nehomogenní postup čel únvové trhliny, nbývá součinitel D hodnot menších než l. V oblsti vyšších hodnot DK se kromě mechnismu tvorby stricí upltňují i dlší ("rychlejší") mikromechnismy šíření trhliny (tj. npř. tvárný lom, interkrystlická dekoheze pod.), což vede k hodnotám D. Chrkter závislosti D = D(DK) lze v prxi zjistit npř. pomocí lbortorního experimentu n jednoduchých tělesech. Tuto závislost je z prktických důvodů užitečné přetrnsformovt n závislost D = D(s). V přípdě použití uvedené frktogrfické metody tedy délce trhliny i, při které byl n lomové ploše nměřen rozteč stricí s i, přiřzujeme mikroskopickou rychlost šíření v i D s (i =,,..., n). (.33) i i Frktogrfická nlýz únvových lomů může poskytnout informce nejen o závislosti délky trhliny n počtu cyklů (či n jiné čsově vázné chrkteristice ztěžování, tj. npř. n počtu progrmových ztěžovcích bloků, počtu provozních hodin, počtu ujetých kilometrů, počtu letů pod.), le i o součsně probíhjících změnách tvru orientce celého čel trhliny v porušovném tělese. Tto informce je důležitá zvláště v přípdě těles se složitější geometrií - 5 -

226 . VYUŽITÍ LOMOVÉ MECHANIKY PŘI STUDIU ŠÍŘENÍ ÚNAVOVÝCH TRHLIN nosného průřezu. Výsledky kvntittivní frktogrfické nlýzy v těchto přípdech mohou poskytnout podkldy, umožňující podrobný přesný dvourozměrný popis průběhu šíření únvové trhliny, tj. npř. stnovení závislosti porušeného nosného průřezu n počtu ztěžovcích cyklů pod. (viz npř. [90] ž [9])...5 Oblst prhových hodnot DK p V první etpě šíření únvové trhliny má křivk závislosti rychlosti šíření únvové trhliny n rozkmitu fktoru intenzity npětí v = v(dk) v logritmických souřdnicích konkávní chrkter (viz obr..). S klesjící hodnotou DK se tto křivk symptoticky blíží k tzv. prhové hodnotě DK p. Pro nlytický popis závislosti v(dk) v etpě I se používá nejčstěji vzthu Klesnil Lukáše [] m m v ADK DK, (.34) kde A m jsou mteriálové konstnty. Teoreticky by hodnot DK p měl odpovídt nulové rychlosti šíření únvové trhliny (v = 0). Z prktického hledisk je všk třeb zvolit určitou minimální, experimentálně detekovtelnou rychlost v 0 jí odpovídjící hodnotu DK povžovt z smluvní prhovou hodnotu DK p. Z fyzikálního hledisk by byl vhodná volb smluvní rychlosti šíření v 0-0 m/cyklus, neboť lokální mikroskopický přírůstek délky trhliny z jeden cyklus nemůže být menší, než mřížkový prmetr dného mteriálu, tj. řádově 0-0 m. Z prktického hledisk je všk rozhodující průměrná mkroskopická rychlost šíření, která bývá ještě o několik řádů nižší. Vliv volby minimální rychlosti šíření únvové trhliny n velikost smluvní prhové hodnoty DK p lze ilustrovt následujícími údji [93]: hodnot DK odpovídjící rychlosti v = 0-0 m/cyklus je si o (4 ž 38)% větší, než hodnot DK odpovídjící rychlosti v = 0-4 m/cyklus. Zvolíme-li všk rychlost v = 0 - m/cyklus, je již uvedená odchylk menší než 0%, což je z prktického hledisk přijtelný kompromis. Prhová hodnot DK p se zjišťuje experimentálně. Výsledek měření je ovlivněn celou řdou fktorů (DK p závisí npř. n předchozí historii ztěžování, tj. n úrovni npětí nebo deformce - viz npř. [94], n délce trhliny, n prmetru symetrie cyklu R pod.). Obecně se proto doporučuje, by se podmínky experimentu co nejvíce blížily podmínkám provozním. V lbortorní prxi se používá několik metod měření DK p, které se liší zejmén způsobem změny ztěžování v průběhu experimentu, npř. [95]: p - 6 -

227 . VYUŽITÍ LOMOVÉ MECHANIKY PŘI STUDIU ŠÍŘENÍ ÚNAVOVÝCH TRHLIN ) pokles DK, K mx i K min při zchování podmínky R = K min /K mx = konst (tto metod je doporučen normou ASTM E [85]), b) pokles DK růst K min při zchování podmínky K mx = konst, tj. R = K min /K mx v průběhu měření roste, c) použití trhlin předcyklovných v tlku (tj. R > ) s následným cyklickým ztěžováním v thu (0 < R < ), při kterém roste DK K mx K min = konst. Výsledná hodnot DK p do jisté míry závisí n použité experimentální metodě: Nejčstější metodou měření DK p je metod postupného snižování ztížení d ). Pokles ztížení (resp. pokles fktoru intenzity npětí) může být řízen buď spojitě nebo po diskrétních krocích. Rychlost tohoto poklesu lze chrkterizovt prmetrem [96],0 d DK C [ m ]. (.35) DK d 0,8 0,6 0,4 D K/ D K o [] 0, 0,0 ( - o ) [mm] Obr..3 Exponenciální pokles rozkmitu fktoru intenzity npětí DK při měření prhové hodnoty DK p. Je-li uvedený prmetr konstntní (obvykle C = - 0, mm - ), pk DK exponenciálně klesá s rostoucí délkou trhliny viz obr..3, kde o, resp. DK o, je výchozí délk trhliny, resp. výchozí hodnot rozkmitu fktoru intenzity npětí. Jk při poklesu ztížení, tk i při jeho následném opětovném růstu je měřen rychlost šíření únvové trhliny. Prhová hodnot DK p je dán rozkmitem fktoru intenzity npětí DK, při kterém rychlost šíření únvové trhliny poklesne pod určitou výše diskutovnou smluvní mez, tj. npř. pod 0 - m/cyklus. Odlišnou vrintou této metody je experiment, při kterém je řízeným prmetrem některá z veličin, chrkterizujících deformci těles s trhlinou, tj. npř. tenzometricky měřená - 7 -

228 . VYUŽITÍ LOMOVÉ MECHANIKY PŘI STUDIU ŠÍŘENÍ ÚNAVOVÝCH TRHLIN deformce n zdní stěně těles nebo otevření trhliny COD, měřené n jejím ústí pomocí sponového snímče. Z hledisk možnosti utomtizce řízení únvového experimentu je tto vrint měření DK p jednodušší výhodnější, než vrint původní. Při použití obou zmíněných vrint této klsické metody měření všk zůstává určitým problémem závislost měřené rychlosti šíření únvové trhliny ( tedy i výsledné prhové hodnoty DK p ) n předchozí historii ztěžování (o této problemtice podrobněji viz npř. [94]). Metod Klesnil Lukáše [97] bere vliv historie předchozího ztěžování v úvhu. Je zložen n předpokldu, že prhová hodnot rozkmitu npětí D, odpovídjící prhové hodnotě DK p při dné délce trhliny, je dán úrovní mkroskopických mikroskopických vnitřních pnutí v okolí čel trhliny. Tto tlková pnutí, předstvující odpor proti následné plstické deformci ( tedy i proti otevírání trhliny), určují podmínky, z kterých se trhlin nebude šířit. Úroveň těchto vnitřních pnutí je ovlivněn hodnotou DK, dosženou při cyklickém ztěžování před vlstním měření prhové hodnoty DK p, tj. před řízeným poklesem ztížení. V souldu s uvedenými předpokldy byl experimentálně prokázán závislost prhové hodnoty DK p n výchozí úrovni DK. Tto závislost má v logritmických souřdnicích lineární chrkter (viz schemtický grf n obr..4). Lze ji tedy nlyticky vyjádřit ve tvru p p q D K C DK, (.36) kde C p q jsou mteriálové konstnty, resp. po substituci D q q C p K pz K K p K D D D pz. (.37) K D pz Obr..4 Princip měření prhové hodnoty DK p podle metody Klesnil Lukáše

229 . VYUŽITÍ LOMOVÉ MECHANIKY PŘI STUDIU ŠÍŘENÍ ÚNAVOVÝCH TRHLIN Nejnižší možná hodnot DK p, tj. tzv. zákldní prhová hodnot DK pz, n DK nezávisí předstvuje vlstní odpor mteriálu proti šíření trhliny. Hodnot DK pz se určí extrpolcí z experimentálních dt - viz obr..4. Fyzikální zdůvodnění oprávněnosti této extrpolce všk dosud chybí. Druhá mteriálová konstnt, vystupující ve vzthu (.37), tj. exponent q, roste s rostoucí pevností mteriálu. Čím vyšší je tedy pevnost mteriálu, tím výrznější je závislost DK p n DK. Nopk u velmi tvárných mteriálů je prhová hodnot DK p n DK prkticky nezávislá pltí DK p = DK pz. Dlší možností, jk se vlivu předchozího ztěžování vyvrovt, je použití zkušebních těles, která byl po ncyklování únvové trhliny ještě před vlstním měřením prhové hodnoty vyžíhán. V důsledku tohoto žíhání dojde k odstrnění vnitřních pnutí. Soubor tkto připrvených těles se použije pro experiment, který je obdobný měření Wöhlerových S-N křivek - nezávisle proměnnou veličinou je všk v tomto přípdě místo mplitudy npětí rozkmit fktoru intenzity npětí. Veličin, která je nlogií meze únvy, pk udává prhovou hodnotu DK p. Obdobné zkoušky jsou všk náročné jk z hledisk potřebného počtu zkušebních těles (minimálně cc 0 kusů), tk i z hledisk čsu, neboť jednotlivé experimenty končí ž závěrečným dolomem. Dlším problémem je, že u některých mteriálů (npř. u většiny Al-slitin, u některých druhů ocelí pod.) je k plnému uvolnění zbytkových pnutí třeb dosáhnout tk vysokých teplot, že při nich dochází k trvlé změně mikrostruktury tedy i vlstností původního mteriálu. Prhová hodnot DK p ( tedy i šíření únvové trhliny v oblsti I - viz obr..4) je ovlivněn celou řdou fktorů [98], chrkterizujících explotční podmínky, z kterých k únvovému porušování dochází, vlstnosti mteriálu, tvr rozměry těles s trhlinou pod. Mezi nejvýznmnější fktory ptří: ) Prmetr symetrie cyklu R, chrkterizující v podsttě střední hodnotu npětí během ztěžovcího cyklu. Vliv prmetru symetrie cyklu R n šíření únvové trhliny v oblsti I n prhovou hodnotu DK p je grficky znázorněn n symbolickém obr..5 (viz npř. [93], [99]). S rostoucím R klesá prhová hodnot DK p roste rychlost šíření únvové trhliny v. V litertuře existuje několik empirických vzthů, které závislost DK p (R) vyjdřují nlyticky. Nejčstěji se používá vzthu Klesnil Lukáše [00], [0], [0] DK p R R DK po (.38) ve kterém DK po oznčuje prhovou hodnotu rozkmitu fktoru intenzity npětí při prmetru symetrie cyklu R = 0 je konstnt, závislá n mteriálu n prostředí (0 ). Npř. pro hliníkové slitiny [9] perlitické oceli [03] se uvádí hodnot, pro oceli s vysokou - 9 -

230 . VYUŽITÍ LOMOVÉ MECHANIKY PŘI STUDIU ŠÍŘENÍ ÚNAVOVÝCH TRHLIN pevností = 0,7 [0], pro mrtenzitické oceli = 0,53, pro ustenitické oceli mosz 60/40 = 0,5, pro feritické oceli 0 [03] pod. Čím více se blíží hodnotě, tím více prhová hodnot DK p závisí n prmetru symetrie cyklu R tím méně se mění odpovídjící hodnot K mx = DK p (-R) -. V těchto přípdech je tedy vhodnější prhové podmínky definovt pomocí "kritické" hodnoty K mx [04], [05]..00E-07.00E-08.00E-09 v = R > R.00E-0.00E- DK DK [MP.m / p (R ) < ] 0 Obr..5 - Symbolické znázornění vlivu prmetru symetrie cyklu R n prhovou hodnotu rozkmitu fktoru intenzity npětí DK p. Jinými příkldy závislosti DK p (R) mohou být vzthy [06], [07] R kde b [MP.m l/ ], resp. c = b.dk po - D K DK b R, (.39) p po R DK c R DK, (.40) p po [] jsou mteriálové konstnty (npř. u feritickoperlitických ocelí se hodnoty b pohybují v intervlu 3 ž 3 MP.m / hodnoty c v intervlu 0,4 ž l, u mrtenzitických ocelí b = ž 8 MP.m l/ c = 0,3 ž 0,9 [06] pod.). Prvé strny rovnic (.38), (.39) (.40) jsou totožné v přípdě =, b = DK po c =. Obdobný vzth R DK ( R) D K pro R R c, p R po D konst pro R R c (.4) K p nvíc umožňuje respektovt skutečnost, že překročí-li prmetr symetrie cyklu R jistou kritickou hodnotu R c, prhová hodnot DK p se již s dále rostoucím R prkticky nemění [08]. Z prktického hledisk se zdá být nejuniverzálnější vzth [09]

231 . VYUŽITÍ LOMOVÉ MECHANIKY PŘI STUDIU ŠÍŘENÍ ÚNAVOVÝCH TRHLIN,8 DK p R DK po., (.4) R R 4 R R neboť v něm nevystupuje žádná mteriálová konstnt. N obr..6 jsou porovnány grfy závislostí DK p (R), odpovídjící vzthům (.38) pro 0,5 0,53, (.40) pro c = 0,3 0,9 (.4). Z poměrně znčných rozdílů mezi jednotlivými funkcemi (prkticky shodné jsou pouze závislosti (.4) (.38) pro 0,53) je zřejmé, že při výběru vhodného vzthu DK p (R) pro řešení konkrétního přípdu v prxi je třeb postupovt velmi obezřetně. Bez experimentálního ověření lze odhdy DK p, zložené n výše uvedených fenomenologických vztzích, povžovt pouze z orientční.,0 0,9 0,8 0,7 0,6 (.40) pro c = 0,9 (.4) (.38) pro = 0,53 (.40) pro c = 0,3 (.38) pro = 0,5 0,5 0,4 D K p / D K po 0,3 0, 0, prmetr symetrie cyklu R [] 0,0 0,0 0, 0, 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9,0 Obr..6 Závislost poměru DK p /DK po n prmetru symetrie cyklu R (DK po = DK p (R=0)). b) Strukturní mechnické vlstnosti mteriálu, ovlivněné zejmén chemickým složením typem použitého tepelného zprcování. Nejvýznmnějším mikrostrukturním prmetrem je rozměr zrn d. Chrkter závislosti DK p (d) může být u různých mteriálů odlišný nejen kvntittivně, le i kvlittivně (viz npř. [08], [0] ž []). Npř. u ocelí s nízkou pevností (R p 0, 500 MP), titnových slitin pod. prhová hodnot DK p s rostoucí - 3 -

232 . VYUŽITÍ LOMOVÉ MECHANIKY PŘI STUDIU ŠÍŘENÍ ÚNAVOVÝCH TRHLIN velikostí zrn d roste, ztímco u ocelí s vysokou pevností nopk klesá (viz npř. []). Závislost K p d D lze nlyticky vyjádřit ve tvru [3], [4], [5] K p / d C C D, (.43) d kde C C jsou konstnty závislé nejen n mteriálu, le i n prmetru symetrie cyklu R (viz npř. [93]). Dvouprmetrickou závislost DK p (d,r) lze explicitně vyjádřit npř. pomocí funkce K p / d, R R C C d D, (.44) ve které C 3 C 4 jsou mteriálové konstnty. Zákldními mechnickými vlstnostmi mteriálu, ovlivňujícími prhovou hodnotu DK p, jsou mez pevnosti R m, resp. sttická mez kluzu R p 0, či cyklická mez kluzu kc. V dostupným teoretickým i empirických vztzích má nznčená závislost chrkter přímé úměry [86]. Příkldem může být tříprmetrická závislost (viz grf n obr..7): 3 4 nebo [87] d, R, R R 6 d R 0. 3 DK (.45) p m m d R, R 3.8 d R DK,. (.46) p m kc 0,045 0,040 0,035 0,030 0,05 0,00 DK p /R m [m / ] prmetr symetrie cyklu R = 0 R = 0,3 R = 0,5 R = 0,7 0,05 0,00 0,005 rozměr zrn d [mm] 0, Obr..7 Grf závislosti (.45) prhové hodnoty DK p n rozměru zrn d, prmetru symetrie cyklu R mezi pevnosti mteriálu R m. U nízkopevných ocelí Ti-slitin podle Hllov-Petchov vzthu sice s klesjícím rozměrem zrn roste mez kluzu R P 0, i mez únvy D c, le zároveň klesá odpor proti šíření únvové trhliny, chrkterizovný prhovou hodnotou DK p. U vysokopevných ocelí je z obou uvedených hledisek vhodnější jemnější struktur

233 . VYUŽITÍ LOMOVÉ MECHANIKY PŘI STUDIU ŠÍŘENÍ ÚNAVOVÝCH TRHLIN V litertuře lze nlézt nlytické vzthy, kvntifikující korelci mezi prhovou hodnotou DK p jinými mechnickými vlstnostmi mteriálu. Příkldem může být lineární závislost DK p n modulu pružnosti v thu E [6], [7], [08], Vickersově tvrdosti H v [8], mezi kluzu R p 0, [5] pod. c) Prostředí (chemické složení, skupenství, gresivit pod.). Příkld vlivu prostředí (spolu s vlivem mikrostruktury mteriálu, chrkterizovné zde implicitně typem tepelného zprcování) n prhovou hodnotu DK p hliníkové slitiny 7075 je uveden v tb... Je zřejmé, že s rostoucí gresivitou prostředí DK p klesá. Obdobná závislost byl experimentálně prokázán i u jiných typů slitin (viz npř. []). Tbulk. Závislost prhové hodnoty DK p n tepelném zprcování prostředí pro hliníkovou slitinu 7075 (podle [93]). Stv Tepelné R p 0, DK p [MP.m / ] při R = 0, zprcování [MP] vkuum vzduch dusík Nedostárnutý T ,00 4,0 3,50 Optimálně stárnutý T ,00 3,90 - Přestárnutý T ,70 3,0,00 Znčně přestárnutý ,00,0 - d) Teplot. S rostoucí teplotou dochází u běžných konstrukčních mteriálů obvykle k poklesu prhové hodnoty DK p růstu rychlosti šíření únvové trhliny v = d/dn v oblsti I (obr..4) viz npř. [9]. e) Geometrické chrkteristiky těles s trhlinou. Příkldem může být délk trhliny (krátké trhliny se při vysokých úrovních D chovjí jink, než dlouhé trhliny při nízkých úrovních D, přestože odpovídjící, formálně stnovená hodnot DK je v obou přípdech stejná - podrobněji viz následující odst...6), ploch trhliny A, tj. velikost lomové plochy (v práci [8] je uvedeno, že prhová hodnot DK p je úměrná A /6 ), drsnost lomové plochy (s rostoucí drsností prhová hodnot DK p roste [7]), tloušťk těles B (experimentální výsledky uvedené v práci [] nznčují, že menší tloušťce B odpovídá z jink stejných podmínek větší prhová hodnot DK p ) pod

234 . VYUŽITÍ LOMOVÉ MECHANIKY PŘI STUDIU ŠÍŘENÍ ÚNAVOVÝCH TRHLIN..6 Problemtik krátkých trhlin Jednou ze zákldních vlstností fktoru intenzity npětí by měl být geometrická invrintnost vůči délce trhliny. Tuto vlstnost lze velmi zjednodušeně (po znedbání vlivu konečných rozměrů těles) ilustrovt tk, že je-li těleso A s trhlinou délky ztěžováno npětím s rozkmitem D těleso B s trhlinou délky /4 ztěžováno npětím s rozkmitem D, je u obou těles stejný rozkmit fktoru intenzity npětí DK A D D DK B, 4 kvlittivně i kvntittivně stejné pole npětí v okolí čel trhliny lze tedy očekávt i stejnou rychlost šíření trhliny v = d/dn. Experimentální výzkumy všk prokázly, že uvedená vlstnost má pouze omezenou pltnost - objevil se problém tzv. krátkých trhlin. Protože fktor intenzity npětí neumožňuje dosttečně přesný popis pole deformcí, vznikjících v okolí čel krátké trhliny při vysokých úrovních npětí, není pomocí něj ni možné zcel jednoznčně popst šíření těchto trhlin. Tím je zpochybněn použitelnost pozntků lineární lomové mechniky v této oblsti. Z hledisk lomové mechniky je krátká trhlin pojem reltivní, závislý zejmén n úrovni npětí (resp. deformce) n mteriálu. Porovnáním chování klsické (tj. dlouhé) trhliny při nízkém rozkmitu npětí krátké trhliny při vysokém rozkmitu npětí bylo zjištěno, že při formálně tomtéž DK je rychlost šíření krátké trhliny podsttně větší, než rychlost šíření dlouhé trhliny. Nznčený rozdíl je tím větší, čím větší je v přípdě krátké trhliny rozkmit npětí - viz schemtický grf n obr..8 (podle [0]). Rychlost šíření krátké trhliny (tj. povrchové mikrotrhliny) výrzně závisí nejen n úrovni npětí (tj. n D R), le i n mikrostruktuře mteriálu. Čím vyšší je úroveň npětí v kritickém místě, tím větší je plstická deformce v povrchovém zrnu mteriálu tím větší rychlostí se trhlin v tomto zrnu šíří. Počáteční postupný pokles rychlosti v (viz obr..8.9) je způsoben interkcí čel únvové trhliny s první podpovrchovou hrnicí zrn. Rychlost šíření povrchové mikrotrhliny je minimální, je-li její délk (resp. hloubk) rovn rozměru zrn d, tj. = d [0], [] - viz obr..8. Při nižších úrovních npětí ( c = mez únvy) může n hrnicích zrn dojít i k zstvení trhliny (viz obr..8 vlevo). V tomto přípdě není lokální npětí v okolí hrnice zrn dost velké k tomu, by došlo k reinicici únvové trhliny v sousedním zrnu. Je-li nopk úroveň npětí reltivně vysoká ( c ), závisí n vlstnostech hrnice zrn, n orientci mikrotrhliny vůči této hrnici pod. Trhlin prochází hrnicí zrn

235 . VYUŽITÍ LOMOVÉ MECHANIKY PŘI STUDIU ŠÍŘENÍ ÚNAVOVÝCH TRHLIN plynule, prorůstá do dlších podpovrchových zrn zčíná se postupně chovt jko dlouhá trhlin (obr..8). Obr..8 Vliv rozkmitu npětí D n závislost v = v(, resp. DK). Obr..9 Vliv velikosti zrn d n závislost v = v(, resp. DK). Je zřejmé, že závislost rychlosti šíření krátkých trhlin n jejich délce (resp. n formálně stnoveném rozkmitu fktoru intenzity npětí DK) se skládá ze dvou kvlittivně odlišných větví (viz obr..8.9): ) V první (klesjící) větvi této závislosti je rozhodující plstická deformce povrchových zrn vliv trhliny jko vrubu je znedbtelný. Zákonitosti lineární lomové mechniky v této oblsti nepltí nelze ji proto použít. Rychlost šíření krátké únvo- vé trhliny d/dn lze v této oblsti vyjádřit ve tvru [] d dn C d, pro < d, (.47) kde d [m] je velikost zrn (resp. obecněji strukturní prmetr), [m] je délk trhliny, C [] je konstnt závislá n rozkmitu smykové deformce ( tedy i n rozkmitu smykového npětí n elstických konstntách mteriálu) [3] exponent [] je empirická konstnt, která může nbývt kldných i záporných hodnot blízkých 0 (viz npř. [4]: 0,7 0,08). Závislost rychlosti šíření krátké únvové trhliny d/dn n poměru délky této trhliny velikosti zrn /d je grficky znázorněn n obr

236 (d/dn )/(C.d ) []. VYUŽITÍ LOMOVÉ MECHANIKY PŘI STUDIU ŠÍŘENÍ ÚNAVOVÝCH TRHLIN 3,5 RYCHLOST ŠÍŘENÍ KRÁTKÝCH TRHLIN,5 = - 0,5-0,5-0,05 + 0,05 0,5 /d [] 0 0 0, 0,4 0,6 0,8 Obr..30 Závislost rychlosti šíření krátké únvové trhliny d/dn n poměru délky této trhliny velikosti zrn d/ (pro < d) - viz vzth (.47). ) V druhé, stoupjící ( > d) větvi zčíná vrubový účinek trhliny hrát význmnou roli. Obdobně jko u dlouhých trhlin je rozhodující plstická zón n čele trhliny. Šíření únvové trhliny přestává být ovlivněno lokálními podmínkmi n povrchu těles zčíná se řídit zákonitostmi lineární lomové mechniky [], které lze vyjádřit nlyticky npř. vzthem Klesnil Lukáše (.34). Prhová hodnot DK p je u krátkých trhlin menší, než u trhlin dlouhých. V přípdě, že by hodnot DK p byl konstntní (tj. stejná pro krátké i dlouhé trhliny), musel by odpovídjící prhová hodnot rozkmitu npětí D p i u krátkých trhlin vyhovovt vzthu DK D p (.48) p /,.... / f W Experimentálně všk bylo prokázáno, že u krátkých trhlin je D p nižší

237 . VYUŽITÍ LOMOVÉ MECHANIKY PŘI STUDIU ŠÍŘENÍ ÚNAVOVÝCH TRHLIN Hodnot D p v podsttě předstvuje mez únvy těles s trhlinou [5]. Závislost meze únvy n délce trhliny lze vyjádřit pomocí tzv. Kitgwov digrmu (viz obr..3 - podle [6]). V oblsti o mez únvy n délce trhliny nezávisí, tj. pltí D p = D c = konst. Obr..3 Kitgwův digrm závislosti prhové hodnoty D p n délce únvové trhliny. V oblsti > o mez únvy těles s rostoucí délkou trhliny klesá. Znedbáme-li vliv konečných rozměrů těles (což lze tehdy, jsou-li rozměry těles podsttně větší než délk trhliny ), blíží se grf závislosti meze únvy n délce trhliny v logritmických souřdnicích symptoticky k přímce se směrnicí - 0,5. Nznčená závislost vyplývá ze vzthu (.48), dosdíme-li z tvrovou funkci f(/w,...) =. V přípdě dlouhých trhlin pltí DK p = konst mez únvy D p tedy klesá s druhou odmocninou délky trhliny, tj. D p /. (.49) Kitgwův digrm, uvedený n obr..3, lze převést n závislost prhové hodnoty rozkmitu fktoru intenzity npětí chrkter závislosti K ṕ DK p n délce trhliny pomocí vzthu (.48). Obecný D je zřejmý z grfu, uvedeného n obr..3: s rostoucí délkou trhliny prhová hodnot rozkmitu fktoru intenzity npětí postupně nrůstá grf závislosti DK ṕ se symptoticky blíží k přímce, chrkterizující nezávislost DK p n délce trhliny u dlouhých trhlin. Anlyticky lze závislost prhové hodnoty rozkmitu fktoru intenzity npětí n délce trhliny, uvedenou n obr..3, vyjádřit ve tvru [5] / D Kp DK p. o A (.50) o Pro dlouhé trhliny, tj. pro (A o - o ), ze vzthu (.50) vyplývá D K p DK. p

238 . VYUŽITÍ LOMOVÉ MECHANIKY PŘI STUDIU ŠÍŘENÍ ÚNAVOVÝCH TRHLIN Obr..3 Kitgwův digrm závislosti prhové hodnoty D n délce únvové trhliny. K p Formální (mtemtický) význm hodnot o A o je zřejmý z obr Z fyzikálního hledisk lze o povžovt z strukturní prmetr. Závěry práce [5] npř. nznčují korelci o velikosti zrn d. Obr..33 Rozměry povrchové semieliptické trhliny. Hodnotu A o můžeme nlyticky stnovit ze vzthu / f / b, / B,... D K D, (.5) p p kde f(/b;/b;...) je tvrová funkce pro semieliptickou povrchovou mikrotrhlinu (viz obr..33), dosdíme-li z D p = D c (tj. mez únvy hldkého těles) z = A o, tj. odkud / A f A / b, A / B,..., D K D (.5) A o p c D c f o DK A / b, o p o o /,.... (.53) Ao B

239 . VYUŽITÍ LOMOVÉ MECHANIKY PŘI STUDIU ŠÍŘENÍ ÚNAVOVÝCH TRHLIN Znedbáme-li vliv geometrie těles s trhlinou, tj. položíme-li f(a o /b, A o /B,...) =, pk ze vzthu (.53) vyplývá npř. pro nízkouhlíkovou ocel (DK p = 6 MP.m l/, D c = 0 MP) hodnot A o = 0,6 mm, pro tepelně zprcovnou chromniklovou ocel (DK p = 6 MP.m l/, D c = 480 MP) hodnot A o = 0,05 mm pod. [7]. Experimentálně stnovené hodnoty A o leží obvykle v intervlu (d, 0 d), kde d je rozměr zrn mteriálu [8]. Je-li splněn nerovnost > 4A o, lze dnou trhlinu povžovt z dlouhou [90] k popisu jejího šíření lze použít zákonitostí lineární lomové mechniky, tj. npř. K-fktoru. Prktický příkld. Odhd kritických rozměrů eliptické povrchové trhliny v listové pružině nákldního utomobilu Při rozboru poruch nákldních utomobilů bylo prokázáno, že jednou z nejčstějších nejzávžnějších poruch je lom listových pružin [9]. Tyto pružiny jsou v provozu nmáhány cyklickým ohybovým npětím. Kritickým místem listové pružiny je střed spodní strny, kde je thové npětí mximální (D = 400 MP, R = 0,53). Obr..34 Schém únvové zkoušky - segmenty listových pružin byly nmáhány opkovným čtyřbodovým ohybem. Frktogrfická nlýz lomů těchto pružin porušených při únvových zkouškách simulujících provozní podmínky [30] (viz schém n obr..34) prokázl, že primární příčinou všech lomů byl únvová trhlin, iniciovná n spodní (tj. thové) strně pružinového listu [3], [3]. K inicici těchto trhlin došlo n povrchových mikrovrubech technologického původu. Povrchová únvová trhlin semieliptického tvru se během cyklického ztěžování postupně zvětšovl, ž dosáhl rozměrů, odpovídjících při dných prmetrech ztěžování lomové houževntosti mteriálu. Po ztrátě stbility trhliny došlo k sttickému, křehkému dolomení zbylého nosného průřezu - viz obr..35. Vzhledem k chrkteru provozu je zřejmé, že k zjištění poždovné životnosti listových pružin, tím i spolehlivosti celého nákldního utomobilu, je zpotřebí odstrnit primární příčinu lomů, tj. zbránit šíření únvových trhlin. Odpor mteriálu vůči vzniku šíření

240 . VYUŽITÍ LOMOVÉ MECHANIKY PŘI STUDIU ŠÍŘENÍ ÚNAVOVÝCH TRHLIN únvové trhliny je dán prhovou hodnotou rozkmitu fktoru intenzity npětí DK p. Pružinové listy se vyrábějí z oceli 4 60, vyznčující se vysokou sttickou pevností (R m = 600 MP) vysokou mezí kluzu (R p 0, = 450 MP). Z dostupných prmenů se podřilo zjistit prhovou hodnotu mplitudy fktoru intenzity npětí K p, nměřenou n vzorcích z oceli 4 60 při střídvém cyklickém ztěžování (tj. při prmetru symetrie cyklu R = -): K p (R = - ) = 3,38 MP.m l/ [33]. Odhd prhové hodnoty DK p pro předpokládnou provozní hodnotu R = 0,53 provedeme pomocí vzthu (.38). Z tohoto vzthu vyplývá, že poměr prhové hodnoty DK p, odpovídjící prmetru symetrie cyklu R, prhové hodnoty DK p, odpovídjící prmetru symetrie cyklu R, je dán vzthem DK DK p p R R. Z uvedeného vzthu po doszení z R = -, DK p = K p =.3,38 = 6,76 MP.m /, R = 0,53 = 0,53 [03] vyplývá odhd prhové hodnoty 0,53 D K p DK p R 0,53 6,76 3,4 MP. m 0,53 /. Obr..35 Snímek lomové plochy listové pružiny. Nhrdíme-li pro zjednodušení skutečný průřez pružinového listu (viz obr..35) obdélníkem o rozměrech (0 x 0) mm, lze rozkmit fktoru intenzity npětí DK, chrkterizující stv npjtosti v tělese s povrchovou semieliptickou trhlinou délky b hloubky (viz obr..33), vyjádřit pomocí obecného vzthu D K D / f / b, / B. Tvrová funkce f(/b; /B) je v přípdě ohybového nmáhání dán vzthem [6] f(/b; /B) =,359-0,399 /b - 0,344 (/b) + 0,63 (/b) /B [-, ,478 /b + 0,7846 (/b) - 0,639 (/b) 3 ] + + (/B) [4,37-3,95 /b + 6,55 (/b) - 6,4894 (/b) 3 ] + + (/B) 3 [-3,950 +,5334 /b - 4,637 (/b) + 5,8 (/b) 3 ]