6. Setrvačný kmitový člen 2. řádu

Transkript

1 6. Setrvčný kmitový člen. řádu Nejprve uvedeme dynmické vlstnosti kmitvého členu neboli setrvčného členu. řádu. Předstviteli těchto členů jsou obvody nebo technická zřízení, která obshují dvě energetické kpcity. Jsou-li energetické kpcity odlišného typu (npř. dvojice kpcit-indukčnost nebo poddjnost-hmotnost), mohou tyto členy při mlém tlumení kmitt tlumenými kmity, jsou-li vybuzeny energetickým skokem nebo impulzem. Vyjádření vlstností kmitvého členu je složitější, neboť je třeb uvžovt jeho různě velká tlumení. Člen druhého řádu kmitá, jsou-li kořeny chrkteristické rovnice komplexní čísl. ) Diferenciální rovnice. řádu: d x dx dt dt její obrz v trnsformci je: ( t) ( t) 0x( t) x( t) p x (p) + } px (p) + 0 x (p) = x l (p) b) Operátorový přenos: 0 G( p ) p p 0 p 0 0 Položme T T p kde T je čsová konstnt, ξ (ksí) je poměrné tlumení, je zesílení. Operátorový přenos kmitvého členu má po úprvě tvr G( p ) T p Tp Poměrné tlumení může nbývt těchto hodnot: ξ > - přetlumen - nekmitá; ξ = - člen je n mezi periodicity - nekmitá; 0< ξ < - člen tlumeně kmitá s frekvencí 0 ξ =0 - člen netlumeně kmitá n frekvenci ω 0. Jde o teoretický stv, neboť tlumení je ve skutečnosti vždy větší než nul. Strn /8

2 c) Frekvenční chrkteristik v komplexní rovině Její průběh závisí n hodnotě zesílení, čsové konstnty T n velikosti poměrného tlumení ξ. N obr. 6. jsou nkresleny chrkteristiky pro ndkritické, kritické podkritické tlumení. Protože kmitvý člen je vyjádřen diferenciální rovnicí. řádu, frekvenční chrkteristik probíhá dvěm kvdrnty komplexní roviny. Obr. 6. Frekvenční chrkteristiky kmitového členu (v komplexní rovině) d) Frekvenční chrkteristiky v logritmických souřdnicích Průběh opět závisí n velikosti tlumení. Rezonnce je n mplitudové chrkteristice vyjádřen při podkritickém tlumení, kdy dochází k překmitu mplitudy n rezonční frekvenci. Při ndkritickém tlumení, kdy k překmitu nedochází, je možné mplitudovou chrkteristiku proximovt lomenou přímkou. Frekvence lomu získáme jko kořeny jmenovtele operátorového přenosu: p p T T Operátorový přenos pk můžeme zpst ve tvru: G( p ) ( T p )( T p ) Frekvenční přenos je pk dán výrzem: G( j ) j T )( j T ) ( Jde vlstně o sériové zpojení dvou setrvčných členů l. řádu s čsovými konstntmi T T. Frekvenční chrkteristiky pro ndkritické, kritické podkritické tlumení jsou uvedeny n obr. 6.. Nd rezonční frekvencí mplitudová chrkteristik klesá o 40 db/dek, fáze se blíží -80. Strn /8

3 G (db) -80 Obr. 6. Logritmické frekvenční chrkteristiky kmitového členu e) Přechodová chrkteristik Přechodové chrkteristiky pro různá tlumení jsou n obr Z průběhů je vidět, že ke vzniku tlumených kmitů dochází pouze při podkritickém tlumení ξ<. Nejrychlejší ustálení kmitvého členu nstne, je-li člen n mezi periodicity ξ=. Při přetlumení kmitvého členu ξ> dochází k ustálení z delší dobu. Snžíme se proto kmitvé členy tlumit tk, by byly n mezi periodicity. Tohoto způsobu se npř. využívá při volbě tlumení ručkových měřicích přístrojů. Obr. 6.3 Přechodové chrkteristiky kmitového členu Strn 3/8

4 Obr. 6.4 Článek RLC jko kmitový člen Příkldem elektrického kmitvého členu. řádu je článek RLC n obr N obr. 6.5 je příkld mechnického kmitvého členu, který je vytvořen pružinou s poddjností c, závžím s hmotností m třením s tlumícím odporem r. Obr. 6.5 Mechnický kmitový člen 7. Setrvčné (kmitové) členy vyšších řádů jsou tkové obvody nebo zřízení, které obshují více než dvě energetické kpcity. Tké u nich může docházet překmitům z podobných podmínek jko u členů. řádu. Vyjádření jejich vlstností je v porovnání s kmitvým členem. řádu ještě složitější. Změříme se pouze n některé důležitější údje. ) Diferenciální rovnice Její řád souhlsí s řádem členu. b) Operátorový přenos Je odvozen z diferenciální rovnice členu běžným způsobem. Rovněž frekvenční přenos, který je mtemtickým vyjádřením průběhu frekvenční chrkteristiky, získáme známým způsobem. c) Frekvenční chrkteristik v komplexní rovině Všeobecně pltí, že frekvenční chrkteristik v komplexní rovině probíhá tolik kvdrnty, kolikátého řáduje kmitvý člen, to jest kolikátého řáduje diferenciální rovnice, která vlstnosti kmitvého členu popisuje. N obr. 7. jsou příkldy průběhů chrkteristik třetího, čtvrtého pátého řádu. Obr. 7. Frekvenční chrkteristiky kmitvých členů vyšších řádů (v komplexní rovině) Strn 4/8

5 d) Frekvenční chrkteristiky v logritmických souřdnicích Odvození výrzu pro mplitudu fázi setrvčného členu vyššího řádu z frekvenčního přenosu je složitější, chrkteristiky jednotlivých členů se sčítjí. Spokojíme se s pozntkem, že mplitudová chrkteristik tkového členu má tolik lomů, kolikátého je člen řádu. Z Bodeho prvidl vyplývá, že se fáze nd kždou frekvencí lomu mění o -90. N obr. 7. je frekvenční chrkteristik kmitvého členu třetího řádu, u kterého se fáze blíží -70. Obr. 7. Logritmické frekvenční chrkteristiky setrvčného členu 3. řádu e) Přechodová chrkteristik Obr. 7.3 Zjištění doby průthu Tu doby náběhu Tn i přechodově chrkteristiky Pro znázornění vlstností setrvčných členů vyšších řádů se nejčstěji používá jejich přechodová chrkteristik. Pomocí chrkteristiky určujeme tzv. dobu průthu Tu určující zpoždění odezvy dobu náběhu Tn, která má podobný význm jko čsová konstnt T setrvčného členu. řádu. Jejich součet oznčujeme jko dobu přechodu Tp = Tu + Tn. V inflexním bodě, tj. v bodě, ve kterém má chrkteristik největší strmost, vedeme tečnu. Její průsečík s čsovou osou určuje dobu průthu. Průsečík tečny s úrovní, n které se člen ustálí (tečn v nekonečnu), určuje dob náběhu. onstrukce je ukázán n obr. 7.3 N obr. 7.4 jsou pro porovnání příkldy normovných přechodových chrkteristik setrvčného členu. řádu, kmitvého členu druhého vyšších řádů. V regulčních obvodech jsou setrvčné členy (hlvně vyšších řádů) nežádoucí, neboť ztěžují regulci. Nejčstěji se s nimi setkáváme v tepelné technice, npř. u velkých pecí s nerovnoměrně rozmístěnými topnými tělesy. Strn 5/8

6 Obr. 7.4 Přechodové chrkteristiky setrvčných členů prvního, druhého vyšších řádů 8. Členy s doprvním zpožděním U těchto členů se výstupní veličin zčne měnit v závislosti n vstupní veličině teprve po uplynutí tzv. doprvního zpoždění. Tento jev se vyskytuje hlvně při regulcích průtoků kplin nebo při doprvování sypkých hmot. Doprvní zpoždění velmi znesndňuje regulci, podobně jko kmitvé členy vyšších řádů. Z příkld členů s doprvním zpožděním může sloužit pásový doprvník n obr. 8.. Doprvní zpoždění se může upltnit u kteréhokoliv dynmického členu. Obr. 8. Pásový doprvník délky l s rychlostí v způsobuje doprvní zpoždění T= l/v ) Diferenciální rovnice Obshuje-li kterýkoli dynmický člen doprvní zpoždění T, je účinek stejný, jko by se o hodnotu T zpožďovl vstupní čsová funkce x (t). N prvou strnu diferenciální rovnice proto zpíšeme výrz x (t-t). Npříkld setrvčný člen s doprvním zpožděním je popsán diferenciální rovnicí ve tvru: dx ( t) 0x( t) x( tt ) dt V Lplceově trnsformci obrz čsové funkce posunuté doprv (zpožděné) o konstntní čs t získáme, násobíme-li obrz vstupní funkce výrzem e -pt. Obrz uvedené diferenciální rovnice v Lplceově trnsformci je pk: l p x (p) + 0 x (p) = x l (p) e -pt Strn 6/8

7 b) Operátorový přenos setrvčného členu s doprvním zpožděním G Tp pt ( p) e frekvenční přenos je: G ( j ) e jt pt Obr. 8. Frekvenční chrkteristiko (v komplexní rovině) setrvčného členu s doprvním zpožděním c) Frekvenční chrkteristik v komplexní rovině Tto chrkteristik obr. 8. je spirál, neboť vlivem zpoždění se fázový úhel φ zvyšuje o hodnotu ωt, dnou doprvním zpožděním. d) Frekvenční chrkteristiky v logritmických souřdnicích Logritmické chrkteristiky setrvčného členu s doprvním zpožděním jsou n obr Amplitudová chrkteristik v logritmických souřdnicích se vlivem doprvního zpoždění nezmění. původní fázi φ všk musíme n kždé frekvenci přičíst úhel ωt, dný doprvním zpožděním. -90 Obr. 8.3 Logritmické frekvenční chrkteristiky setrvčného členu s doprvním zpožděním Strn 7/8

8 Obr. 8.4 Přechodová chrkteristik setrvčného členu s doprvním zpožděním Obr. 8.5 Přechodová chrkteristik proporcionálního členu s doprvním zpožděním e) Přechodová chrkteristik Její průběh vystihuje vliv doprvního zpoždění nejlépe. N obr. 8.4 je přechodová chrkteristik setrvčného členu s čsovou konstntou T, zesílením doprvním zpožděním. N obr. 8.5 je chrkteristik proporcionálního členu s doprvním zpožděním, která odpovídá pásovému doprvníku n obr. 8.. Jk bylo v úvodu poznmenáno, je doprvní zpoždění v regulčních obvodech zcel nežádoucí, snžíme se proto zmenšit je n minimum!! Strn 8/8