Pružnost a plasticita II

Transkript

1 Pružnost plsticit II. ročník klářského studi doc. In. Mrtin Krejs, Ph.D. Ktedr stvení mechnik

2 Řešení nosných stěn pomocí Airho funkce npětí inverzní metod

3 Stěnová rovnice ΔΔ(, ) Stěnová rovnice, nzývná tké ihrmonická, je: prciální diferenciální rovnicí. řádu, lineární, homoenní (prvá strn je nulová). Pro kždou rovnici stěn lze odvodit stv npětí stěn odpovídjící podmínkám rovnováh spojitosti (Air, 86) při respektování okrjových podmínek. Pltí z předpokldu nulových neo konstntních ojemových sil, pro homoenní izotropní mteriál. V rovnici nevstupuje žádná mteriálová konstnt, což je podkldem pro eperimentální nlzování stěn n modelech.

4 Řešení nosných stěn, stěnová rovnice, složk npětí Stěnová rovnice: Pomocí Lplceov operátoru: ΔΔ(, ) je Airho funkce npětí Stěnová rovnice, nzývná tké ihrmonická, je: prciální diferenciální rovnicí. řádu, lineární, homoenní (prvá strn je nulová). Geore Biddell Air (8-89) Pro složk npětí pltí: τ,

5 Inverzní metod řešení Podsttou inverzní metod řešení nosných stěn je: nlýz zdné ihrmonické (Airho) funkce npětí (zjištění, zd-li zdná funkce je skutečně ihrmonická, tj. že splňuje stěnovou rovnici), hledání odpovídjících okrjových podmínek (silových, deformčních přípdně smíšených), nlýz stvu npětí v dné stěně. Řešení inverzní metodou vchází z předem známého tvru Airho funkce npětí, ke které se hledá odpovídjící nosná stěn s příslušnými okrjovými podmínkmi z této skutečnosti vchází i název inverzní metod. 5

6 Nosné stěn, řešení inverzní metodou Zdání: Řešte stěnu podepřenou jko konzolu ztíženou odovou silou Airho funkci npětí zvolte ve tvru: z z cz musí vhovovt stěnové rovnici: z z což je splněno: z z 6

7 7. pro Nosné stěn, řešení inverzní metodou, okrjové podmínk Složk npětí pro funkci: z z cz 6z 6cz z z τ z (z cz ) cz z z Okrjové podmínk: h. pro z ± ch τ cz z cz h/ F. pro,l τ z dz F c h h/ -h/ l -h/ h/ h ch h (--cz ) dz [ z cz ] h c h c ch F h/ 6 z 6cz cl Fl h F h

8 8 F h τ z Nosné stěn, řešení inverzní metodou, funkce npětí Po vložení hodnot do Airho funkce: z z z Fl h F h z h c F h F h cz z z V z S I l h ( z) Tto vzth odvozen v PP - výpočet normálových smkových npětí (Grshofův vzorec) pro odélníkový průřez jednotkovou šířku konzol. h z ( l/ ) M ( ) F l F z z z z h h I z z F τ z ( z ) τ z ± h h z

9 Nosné stěn, řešení inverzní metodou Zdání: Řešte trojúhelníkovou stěnu n or. pomocí Airho funkce npětí (ověřte, zd splňuje zákldní stěnovou rovnici, podmínk rovnováh okrjové podmínk) Airho funkci npětí zvolte ve tvru: ( ) C C C C 6 kde C ž C jsou neznámé prmetr 9 Dlší vstupní údje: tloušťk stěn h m, ztížení [kn/m ], npětí [kn/m ], vlstní tíh tj. XY

10 Nosné stěn, řešení inverzní metodou Řešení:. ověření, zd Airho funkce npětí splňuje zákldní stěnovou rovnici ( ) 6 C C C C Airho funkce npětí: ), ( ΔΔ musí splňovt: l ihrmonická.

11 Nosné stěn, řešení inverzní metodou Řešení:. ověření podmínek rovnováh Airho funkce npětí: ( ) C C C C musí splňovt: τ kde τ 6 Δ ( ) τ

12 Nosné stěn, řešení inverzní metodou Řešení:. ověření podmínek rovnováh τ τ ( ) τ ( ) Δ

13 Nosné stěn, řešení inverzní metodou Řešení:. ověření okrjových podmínek Funkce složek npětí: Okrje:. svislý:. šikmý: ( ). vodorovný: τ,, možno ověřit sttické okrjové podmínk n šikmém okrji Npětí n všech třech okrjích lze nkonec ověřit podmínkmi rovnováh v rovině

14 Nosné stěn, řešení inverzní metodou Řešení:. ověření okrjových podmínek Funkce složek npětí: ( ) τ τ. Okrj svislý: Výsledná npětí: τ, Odpovídá dnému ztížení, okrj není tečně ztížen

15 5 Nosné stěn, řešení inverzní metodou Řešení:. ověření okrjových podmínek Funkce složek npětí: ( ) τ Lze ověřit sttické okrjové podmínk n šikmém okrji (viz dále) τ?. Okrj šikmý: Výsledná npětí: ( ) τ τ

16 6 Nosné stěn, řešení inverzní metodou. Okrj šikmý: τ Výsledná npětí: ( ) τ tn Ověření sttických okrjových podmínek n šikmém okrji sin cos τ τ cos cos τ sin sin ( tn tn tn ) cos sin ( sin cos ) [ tn( tn ) tn( tn ) ] cos sin cos sin cos Podmínk splněn, šikmý okrj není ztížen

17 Nosné stěn, řešení inverzní metodou Řešení:. ověření okrjových podmínek Funkce složek npětí: ( ) τ τ 7. Okrj vodorovný:, Výsledná npětí: ( ) ( ) τ odpovídjí npětím v kontktní ploše (spojité podepření) τ

18 8 Nosné stěn, řešení inverzní metodou Řešení:. kontrol pomocí podmínek rovnováh v rovině : F : F, : D M z ( ) ( ) τ