CVIČNÝ TEST 7. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Václav Zemek. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 17 IV. Záznamový list 19

Transkript

1 CVIČNÝ TEST 7 Mgr. Václav Zemek OBSAH I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 6 III. Klíč 17 IV. Záznamový list 19

2 I. CVIČNÝ TEST 1 Určete přirozené číslo n tak, aby platilo: = n. 1 bod 2 Doplňte do zápisu 83 0*2 místo hvězdičky takovou číslici, aby vzniklé číslo bylo dělitelné zároveň 3 i 4. Zapište výsledné číslo. 3 Obdélník KLMN má rozměry KL = 8 cm, KN = 6 cm. Vypočítejte vzdálenost bodu N od úhlopříčky KM. 4 Pro celkovou mechanickou energii tělesa v tíhovém poli platí vzorec E = mgh + mv2 2. Vyjádřete neznámou rychlost v. VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 5 V komolém kuželu má horní podstava poloměr 2 cm. Dolní podstava má obsah čtyřikrát větší než horní podstava. Výška komolého kužele je 4 cm Určete poloměr dolní podstavy. 5.2 Vypočítejte povrch kužele. Výsledek v cm 2 zaokrouhlete na jednotky. max. 4 body 6 Řešte rovnici 3 4x x2 = 81 s neznámou x R. VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 7 Jana při deskové hře Člověče, nezlob se potřebuje hodit hrací kostkou ve dvou hodech za sebou součet 7, Hana potřebuje také ve dvou hodech součet Určete, kolika způsoby může Jana dosáhnout potřebný součet. 7.2 Určete rozdíl pravděpodobností úspěchu Jany a Hany. max. 4 body 2 Maturita z matematiky ZD

3 VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 8 Mirka a Jirka trénují na oválu pro in-line brusle, který má délku 800 m. Mirka má rychlost 5 m/s, Jirka 7 m/s. Na ovál vyrazili současně stejným směrem ze stejného místa. 8 Za jak dlouho předjede Jirka Mirku poprvé o celé kolo? Výsledek zapište v sekundách. 9 Drátěný model krychle se skládá z hran, z jedné stěnové úhlopříčky a jedné tělesové úhlopříčky. Délka podstavné hrany je 10 cm. Kolik takových drátěných modelů lze zhotovit z 10 metrů drátu? A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 E) 7 10 Přímka p v rovině je určena obecnou rovnicí 2x 5y 7 = 0. Směrový vektor přímky vyberte z možností A E. A) u = (2; 5) B) u = (2; 7) C) u = (5; 2) D) u = (5; 2) E) u = ( 3; 7) 2 body 11 Funkce jsou dány rovnicemi: f: y = 3 x 2, g: y = x 2 3. Rozhodněte o každém z následujících tvrzení ( ), zda je pravdivé (ANO), či nikoli (NE): ANO NE 11.1 Grafy funkcí se protínají na ose x Definiční obory obou funkcí se rovnají Obory hodnot obou funkcí se rovnají Vzdálenost vrcholů parabol, které jsou grafy funkcí, je menší než 7. Maturita z matematiky ZD 3

4 12 Řešte rovnici 4 6 = 1. x 2 x body Z možností A E vyberte číslo, které je rovno součtu všech kořenů dané rovnice. A) 0 B) 2 C) 2 D) 24 E) 24 VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOHÁM 13, 14 Z přístavu vypluly současně v 12:00 dvě lodi. Loď Anna plula směrem na sever rychlostí 30 km/h, loď Marie na jihovýchod rychlostí 40 km/h. Po 30 minutách plavby požádala Anna o pomoc v nouzovém stavu. Marie ihned změnila kurs a plula rychlostí 50 km/h směrem k Anně, která bez pohybu očekávala pomoc. 13 Jaká byla největší vzdálenost obou lodí? A) 20,6 km B) 23,4 km C) 28,6 km D) 30,8 km E) 32,4 km 2 body 14 V kolik hodin doplula Marie k Anně? A) v 12:55 B) v 13:09 C) v 13:23 D) v 13:35 E) v 13:49 2 body 4 Maturita z matematiky ZD

5 max. 4 body 15 První čtyři členy každé z následujících posloupností jsou utvořeny podle jistého pravidla. Předpokládejte, že tímto pravidlem je určen každý člen počínaje pátým. Podle něho z možností A F vyberte vzorec pro n-tý člen ; 32; 32; 32; ; 16; 8; 4; ; 16; 0; 16; ; 16; 8; 4; A) a n = 32 ( 1 2 ) n 1, n ϵ N B) a n = 32 16(n 1), n ϵ N C) a n = 32 16n, n ϵ N D) a n = 32 ( 1) n, n ϵ N E) a n = 32 ( 1 2 ) n 1, n ϵ N F) a n = 32 ( 1) n 1, n ϵ N KONEC TESTU Maturita z matematiky ZD 5

6 II. AUTORSKÉ ŘEŠENÍ 1 Určete přirozené číslo n tak, aby platilo: = n. Čísla nejdříve částečně odmocníme a sečteme: = = 6 3. Získaný výraz převedeme na požadovaný tvar: 6 3 = = 108. Hledané přirozené číslo n = 108. Řešení: n = bod 2 Doplňte do zápisu 83 0*2 místo hvězdičky takovou číslici, aby vzniklé číslo bylo dělitelné zároveň 3 i 4. Zapište výsledné číslo. Součet známých cifer hledaného čísla je = 13. Číslo dělitelné 3 má ciferný součet dělitelný 3. Místo hvězdičky připadají v úvahu číslice 2, 5, 8. Číslo dělitelné 4 má poslední dvojčíslí dělitelné 4. Z možností 22, 52, 82 je čtyřmi dělitelné pouze dvojčíslí 52. Místo hvězdičky je třeba doplnit číslici 5. Řešení: Obdélník KLMN má rozměry KL = 8 cm, KN = 6 cm. Vypočítejte vzdálenost bodu N od úhlopříčky KM. Nejprve vypočítáme úhlopříčku KM podle Pythagorovy věty. KM = KL 2 + LM 2 = = 10 cm. Obsah obdélníka je S = 8 6 = 48 cm 2. Obsah trojúhelníku KMN je poloviční, tedy 24 cm 2. 6 Maturita z matematiky ZD

7 KM NP Ze vzorce pro obsah trojúhelníku KMN dostaneme rovnici, 2 ze které vypočítáme neznámou výšku tohoto trojúhelníku. KM NP 2 = 24 KM NP = NP = 48 NP = 4,8 cm Vzdálenost bodu N od úhlopříčky KM je 4,8 cm. Řešení: 4,8 cm 4 Pro celkovou mechanickou energii tělesa v tíhovém poli platí vzorec E = mgh + mv2 2. Vyjádřete neznámou rychlost v. Rovnici budeme upravovat ekvivalentními úpravami. Nejdříve se zbavíme zlomků vynásobením obou stran rovnice číslem 2. E = mgh + mv2 2 / 2 2E = 2mgh + mv 2 / 2mgh 2E 2mgh = mv 2 / : m 2E 2mgh = v 2 m 2E 2mgh v = m Za správné lze považovat i řešení ekvivalentní: 2(E mgh) v = m v = E mgh m 2 Řešení: v = 2E 2mgh m Maturita z matematiky ZD 7

8 VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 5 V komolém kuželu má horní podstava poloměr 2 cm. Dolní podstava má obsah čtyřikrát větší než horní podstava. Výška komolého kužele je 4 cm Určete poloměr dolní podstavy. max. 4 body Obsah horní podstavy je S 2 = π 2 2 = 4π cm 2, obsah dolní podstavy je čtyřnásobný S 1 = 16π cm 2. Pro poloměr dolní podstavy platí: π r 1 2 = 16π. Z toho vypočítáme r 1 = 4 cm. Jednoduše můžeme poloměr určit úvahou: Obsah kruhu závisí na druhé mocnině poloměru. Má-li se obsah zvětšit čtyřikrát, musí se poloměr zvětšit dvakrát. Poloměr dolní podstavy je 4 cm. Řešení: 4 cm 5.2 Vypočítejte povrch kužele. Výsledek v cm 2 zaokrouhlete na jednotky. Povrch kuželu vypočítáme podle vzorce S = S 1 + S 2 + S pl = S 1 + S 2 + π(r 1 + r 2 )s. Před dosazením do vzorce musíme vypočítat neznámou stranu kuželu s. Podle obrázku osového řezu kuželem platí: s 2 = v 2 + x 2, x = r 1 r 2. Po dosazení číselných hodnot: x = 4 2 = 2 cm, s 2 = = 20, s = 20 cm. Povrch S = 16π + 4π + π(4 + 2) 20 = 20π + 6π 20 = π( ) = π( ) S 147 cm 2. Řešení: 147 cm 2 8 Maturita z matematiky ZD

9 6 Řešte rovnici 3 4x x2 = 81 s neznámou x R. Tuto exponenciální rovnici řešíme tak, že na pravé straně upravíme číslo 81 na mocninu se základem x x2 = x x2 = 3 4 Mají-li se rovnat mocniny se stejnými základy, musí se rovnat také jejich exponenty. Tak převedeme exponenciální rovnici na kvadratickou rovnici: 4x x 2 = 4 x 2 4x + 4 = 0 (x 2) 2 = 0 x = 2 Kvadratickou rovnici jsme vyřešili úpravou na druhou mocninu dvojčlenu. Rovnice má jediný (dvojnásobný) kořen číslo 2. Také bychom mohli rovnici řešit podle vzorce s diskriminantem. Řešení: x = 2 VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 7 Jana při deskové hře Člověče, nezlob se potřebuje hodit hrací kostkou ve dvou hodech za sebou součet 7, Hana potřebuje také ve dvou hodech součet Určete, kolika způsoby může Jana dosáhnout potřebný součet. max. 4 body Jana může součet 7 dosáhnout těmito způsoby: 1 + 6; 2 + 5; 3 + 4; 4 + 3; 5 + 2; Celkem je 6 možností. Řešení: 6 Maturita z matematiky ZD 9

10 7.2 Určete rozdíl pravděpodobností úspěchu Jany a Hany. Hana může součet 8 dosáhnout těmito způsoby: 2 + 6; 3 + 5; 4 + 4; 5 + 3; Celkem je 5 možností. 6 1 Pravděpodobnost úspěchu Jany je P(J) = = Pravděpodobnost úspěchu Hany je P(J) = Rozdíl pravděpodobností: P(J) P(H) = 1 Řešení: = VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 8 Mirka a Jirka trénují na oválu pro in-line brusle, který má délku 800 m. Mirka má rychlost 5 m/s, Jirka 7 m/s. Na ovál vyrazili současně stejným směrem ze stejného místa. 8 Za jak dlouho předjede Jirka Mirku poprvé o celé kolo? Výsledek zapište v sekundách. Neznámou dobu jízdy (v sekundách), za kterou Jirka předjede Mirku o jedno kolo, označíme t. Dráhu, kterou za t ujede Jirka, vyjádříme výrazem 7t. Dráhu, kterou za t ujede Mirka, vyjádříme výrazem 5t. Rozdíl mezi dráhami Jirky a Mirky je 800 m. Z toho vychází rovnice: 7t 5t = 800 Rovnici vyřešíme: 2t = 800 t = 400 s Jirka předjede Mirku o celé kolo po 400 s jízdy. Řešení: 400 s 9 Drátěný model krychle se skládá z hran, z jedné stěnové úhlopříčky a jedné tělesové úhlopříčky. Délka podstavné hrany je 10 cm. Kolik takových drátěných modelů lze zhotovit z 10 metrů drátu? A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 E) 7 10 Maturita z matematiky ZD

11 Délku stěnové úhlopříčky vypočítáme podle vzorce u s = a 2, délku tělesové úhlo příčky pomocí vzorce u t = a 3. Krychle má celkem 12 hran. Spotřeba drátu na výrobu jednoho modelu krychle je: d = 12a + a 2 + a 3 = = ( 2 + 3). d 151,5 cm Délka drátu, který máme k dispozici, je cm. Počet modelů vypočítáme dělením: : d = : [ ( 2 + 3)] 6,6. Z 10 m drátu lze zhotovit 6 modelů. Řešení: D 10 Přímka p v rovině je určena obecnou rovnicí 2x 5y 7 = 0. Směrový vektor přímky vyberte z možností A E. A) u = (2; 5) B) u = (2; 7) C) u = (5; 2) D) u = (5; 2) E) u = ( 3; 7) 2 body Z obecné rovnice přímky určíme normálový vektor přímky. Jeho souřadnice jsou koeficienty u proměnných x, y. Přímka p má normálový vektor n = (2; 5). Směrový vektor je kolmý k vektoru normálovému. Souřadnice směrového vektoru určíme tak, že zaměníme souřadnice vektoru n a u jedné souřadnice změníme znaménko. Vychází vektor u = (5; 2). Kontrolu provedeme výpočtem skalárního součinu n u = ( 5) 2 = 0. Skalární součin kolmých vektorů je rovný nule. Správně je možnost C. Řešení: C 11 Funkce jsou dány rovnicemi: f: y = 3 x 2, g: y = x 2 3. Rozhodněte o každém z následujících tvrzení ( ), zda je pravdivé (ANO), či nikoli (NE): ANO NE 11.1 Grafy funkcí se protínají na ose x Definiční obory obou funkcí se rovnají Obory hodnot obou funkcí se rovnají Vzdálenost vrcholů parabol, které jsou grafy funkcí, je menší než 7. Maturita z matematiky ZD 11

12 11.1 Graf funkce f dostaneme posunutím grafu funkce y = x 2 o 3 jednotky nahoru. Graf funkce g dostaneme posunutím grafu funkce y = x 2 o 3 jednotky dolů. Průsečíky grafů funkcí vypočítáme rovnicí 3 x 2 = x 2 3. Po úpravách vychází: 2x 2 = 6 x 2 = 3 x = ±3 Funkční hodnoty v průsečících f( 3) = g( 3) = 0, f( 3) = g( 3) = 0. Grafy funkcí se skutečně protínají na ose x. Tvrzení je pravdivé. Řešení: ANO 11.2 Do obou rovnic lze za proměnnou x dosazovat libovolné reálné číslo. Definiční obory obou funkcí jsou rovny množině všech reálných čísel. Tvrzení je pravdivé. Řešení: ANO 11.3 Obor hodnot funkce f je roven intervalu ( ; 3, obor hodnot funkce g je roven intervalu 3; + ). Tvrzení není pravdivé. Řešení: NE 12 Maturita z matematiky ZD

13 11.4 Z grafů funkcí je patrné, že vzdálenost vrcholů parabol je rovna 6. Tvrzení je pravdivé. Řešení: ANO 12 Řešte rovnici 4 6 = 1. x 2 x body Z možností A E vyberte číslo, které je rovno součtu všech kořenů dané rovnice. A) 0 B) 2 C) 2 D) 24 E) 24 Nejdříve zapíšeme podmínky pro neznámou x. Jmenovatelé zlomků se nerovnají nule. Výraz x 2 0, proto x 2. Výraz x + 2 0, proto x 2. Za těchto podmínek řešíme rovnici postupnými úpravami: 4 6 = 1 / (x 2)(x + 2) x 2 x + 2 4(x + 2) 6(x 2) = (x 2)(x + 2) 4x + 8 6x + 12 = x 2 4 2x + 20 = x 2 4 x 2 + 2x 24 = 0 Nyní můžeme využít poznatku, že podle Vietových vzorců pro součet kořenů kvadratické rovnice x 2 + px + q platí: x 1 + x 2 = p. V tomto případě je x 1 + x 2 = 2, což odpovídá možnosti C. Pro určení kořenů kvadratické rovnice můžeme využít vzorec s diskriminantem nebo oba Vietovy vzorce. Pro součin kořenů kvadratické rovnice platí: x 1 x 2 = q. V tomto případě x 1 x 2 = 24. Obě podmínky splňují pouze kořeny x 1 = 6, x 2 = 4. Součet kořenů opět vychází číslo 2. Při tomto postupu se můžeme přesvědčit, že úprava rovnice vynásobením obou stran výrazem (x 2)(x + 2) byla ekvivalentní. Oba kořeny splňují podmínky x ±2. Správná je možnost C. Řešení: C Maturita z matematiky ZD 13

14 VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOHÁM 13, 14 Z přístavu vypluly současně v 12:00 dvě lodi. Loď Anna plula směrem na sever rychlostí 30 km/h, loď Marie na jihovýchod rychlostí 40 km/h. Po 30 minutách plavby požádala Anna o pomoc v nouzovém stavu. Marie ihned změnila kurs a plula rychlostí 50 km/h směrem k Anně, která bez pohybu očekávala pomoc. 13 Jaká byla největší vzdálenost obou lodí? A) 20,6 km B) 23,4 km C) 28,6 km D) 30,8 km E) 32,4 km 2 body Nejdříve vypočítáme dráhy, které lodě urazily za 0,5 h. Anna urazila dráhu s 1 = 30 0,5 = 15 km, Marie s 2 = 40 0,5 = 20 km. Směr na sever a jihovýchod svírají úhel 135. Vzdálenost lodí vypočítáme z trojúhelníku PAM podle kosinové věty: AM = cos 135 AM 32,4 km Vzdálenost lodí je přibližně 32,4 km. Správná odpověď je E. Řešení: E 14 Maturita z matematiky ZD

15 14 V kolik hodin doplula Marie k Anně? A) v 12:55 B) v 13:09 C) v 13:23 D) v 13:35 E) v 13:49 2 body Využijeme výsledek předchozího příkladu a vypočítáme dobu plavby Marie směrem k Anně: t = AM : 50 32,4 : 50 0,648 h 39 min. Celková doba plavby je ještě o 30 min delší, tedy 1 h 9 min. Marie doplula k Anně ve 13 h 9 min. Správná odpověď je B. Řešení: B max. 4 body 15 První čtyři členy každé z následujících posloupností jsou utvořeny podle jistého pravidla. Předpokládejte, že tímto pravidlem je určen každý člen počínaje pátým. Podle něho z možností A F vyberte vzorec pro n-tý člen ; 32; 32; 32; ; 16; 8; 4; ; 16; 0; 16; ; 16; 8; 4; A) a n = 32 ( 1 2 ) n 1, n ϵ N B) a n = 32 16(n 1), n ϵ N C) a n = 32 16n, n ϵ N D) a n = 32 ( 1) n, n ϵ N E) a n = 32 ( 1 2 ) n 1, n ϵ N F) a n = 32 ( 1) n 1, n ϵ N Podle zadání vzorcem pro n-tý člen (A F) je možné udělat výčet prvních čtyř členů a k nim najít příslušné možnosti Rychlejší cesta spočívá v odhadu vzorců, které připadají k výčtům členů v úvahu. Maturita z matematiky ZD 15

16 15.1 Ve výčtu se střídají pouze znaménka členů. Vyzkoušíme možnosti D a F. V alternativě D je první člen posloupnosti roven 32, v alternativě F vychází 32 a dále se znaménka střídají. Správně je F. Řešení: F 15.2 V této posloupnosti je následující člen roven polovině předchozího. Jde o geometrickou posloupnost s kvocientem 0,5. Tomu odpovídá pouze možnost A. Řešení: A 15.3 V této posloupnosti je následující člen o 16 menší než předchozí. Jde o aritmetickou posloupnost s diferencí 16. Tomu odpovídají možnosti B, C. Výpočtem prvního členu zjistíme, že vyhovuje možnost B. V možnosti C je první člen roven nule. Řešení: B 15.4 V této posloupnosti následující člen vypočítáme z předchozího násobením číslem 0,5. Jde o geometrickou posloupnost s kvocientem 0,5. Tomu odpovídá pouze možnost E. Řešení: E KONEC TESTU 16 Maturita z matematiky ZD

17 III. KLÍČ 1) Maximální bodové ohodnocení je 35 bodů. 2) Úlohy 1 8 jsou otevřené. 3) Úlohy 9 15 jsou uzavřené, s nabídkou možných odpovědí, kde u každé úlohy, resp. podúlohy je právě jedna odpověď správná. Tabulka úspěšnosti Počet bodů Výsledná známka Úloha Správné řešení Počet bodů 1 n = bod 3 4,8 cm 2E 2mgh 4 v = m cm cm 2 6 x = max. 2 bod s 9 D 2 body 10 C 2 body ANO 11.2 ANO 11.3 NE 11.4 ANO 4 podúlohy 2 b. 3 podúlohy 1 b. 2 podúlohy 0 b. 1 podúloha 0 b. 0 podúloh 0 b. 12 C 2 body 13 E 2 body 14 B 2 body Maturita z matematiky ZD 17

18 F 15.2 A 15.3 B 15.4 E max. 4 body 4 podúlohy 4 b. 3 podúlohy 3 b. 2 podúlohy 2 b. 1 podúloha 1 b. 0 podúloh 0 b. 18 Maturita z matematiky ZD

19 IV. ZÁZNAMOVÝ LIST 1) Maximální bodové ohodnocení je 35 bodů. 2) Úlohy 1 8 jsou otevřené. Zapište výsledek. 3) Úlohy 9 15 jsou uzavřené, s nabídkou možných odpovědí, kde u každé úlohy, resp. podúlohy je právě jedna odpověď správná. Zapište vybranou možnost. Tabulka úspěšnosti Počet bodů Výsledná známka Úloha Správné řešení Počet bodů bod max. 2 bod body 10 2 body body 13 2 body 14 2 body 4 podúlohy 2 b. 3 podúlohy 1 b. 2 podúlohy 0 b. 1 podúloha 0 b. 0 podúloh 0 b. Maturita z matematiky ZD 19

20 max. 4 body 4 podúlohy 4 b. 3 podúlohy 3 b. 2 podúlohy 2 b. 1 podúloha 1 b. 0 podúloh 0 b. 20 Maturita z matematiky ZD