INTERVALOVÉ ODHADY A TESTOVÁNÍ HYPOTÉZ INTERVALOVÉ ODHADY INTERVALOVÉ ODHADY PRO JEDEN PARAMETER

Transkript

1 INTERVALOVÉ ODHADY A TESTOVÁNÍ HYPOTÉZ INTERVALOVÉ ODHADY INTERVALOVÉ ODHADY PRO JEDEN PARAMETER 1. Podnik Canard chce za účelem snížení odchylek od předem stanovených (režijních) nákladů v jednotlivých střediscích majících k dispozici výkonnou reprografickou techniku získat informace o denní spotřebě fotokopii. Výzkum potřeby ve srovnatelných střediscích ukázal, že potřeba fotokopií během pracovního dne je náhodnou veličinou mající normální rozdělení se střední hodnotou 1200 a směrodatnou odchylkou 200 fotokopií. Odhadněte s 95%-ní spolehlivostí průměrnou denní potřebu fotokopií ve středisku během jednoho měsíce (20 pracovních dní) a dále tří měsíců (60 pracovních dní). Jaké závěry týkající se případného snížení odchylek od režijních nákladů můžete z výsledků vyvodit? 2. Při provádění auditu ve velkém průmyslovém podniku jsme ze souboru 2000 účetních položek náhodně vybrali 50 a nesoulad proti správné hodnotě jsme zjistili u 5 položek. Souhrnná částka těchto rozdílů činila 1242,- Kč, směrodatná odchylka 72,60Kč. Určete se spolehlivosti 0,95, v jakém intervalu lze očekávat průměrnou a úhrnnou chybu účtování v základním souboru. 3. Pro realizaci rozsáhlého šetření o diferenciaci mezd ve velkém průmyslovém podniku musíme velmi rychle získat určitou představu o průměrné odchylce mezd. Z celkového počtu zaměstnanců jsme jich náhodně vybrali 30 a určili průměrnou mzdu 9.450,-Kč a směrodatnou odchylku ve výši 1.200,-Kč. V jakém intervalu lze s 95% pravděpodobnosti očekávat směrodatnou odchylku mezd v celém podniku? Předpokládáme, že rozdělení mezd v základním souboru všech pracovníků podniku je normální. 4. Při kontrole data spotřeby určitého druhu masové konzervy ve skladech produktů masného průmyslu bylo náhodně vybráno 320 konzerv a zjištěno, že 59 z nich má prošlou záruční lhůtu. Stanovte 95% interval spolehlivosti pro odhad procenta konzerv s prošlou záruční lhůtou. 5. Ze základního souboru automaticky balených sáčků piškotů bylo vybráno 1% sáčků a zjištěna průměrná váha 15,8g a směrodatná odchylka 4,8g. Určete se spolehlivosti 0,99, v jakých mezích lze očekávat průměrnou váhu balíčků piškotů. 6. Hypermarket Hyper chce pro zkvalitnění služeb poskytovaných zákazníkům zkrátit dobu jejich čekání u pokladen. Náhodně bylo vybráno 10 zákazníků a byla změřena doba jejich čekání u pokladny (předpokládáme normalitu rozdělení dob čekání). Výsledky šetření (v sekundách): 50, 65, 30, 45, 35, 55, 70, 65, 50. a) V jakých mezích lze s pravděpodobnosti 0,95 očekávat průměrnou dobu čekání zákazníka na obsluhu? b) Jaká je horní hranice doby čekání, která nebude s pravděpodobností 0,95 překročena? 7. Z 90 zkoušek meze kluzu konstrukční oceli z produkce určité ocelárny byl vypočten výběrový průměr 251,3384MPa a výběrový rozptyl 319,4818. Najděte 80% intervaly spolehlivosti pro střední hodnotu a směrodatnou odchylku meze kluzu. (za předpokladu normality dat) 8. Byly testovány polovodičové součástky od dvou výrobců MM a PP. MM prohlašuje, že její výrobky mají nižší procento vadných. Pro ověření tohoto tvrzení bylo z produkce MM náhodně vybráno 200 součástek, z nichž 14 bylo vadných. Podobný experiment byl proveden u firmy PP s výsledkem 10 vadných ze 100 náhodně vybraných součástek. Nalezněte 95% interval spolehlivosti pro počet vadných součástek firmy MM. 9. Tabáková firma TAB prohlašuje, že jejich cigarety mají nižší obsah nikotinu než cigarety NIK. Pro ověření tohoto prohlášení bylo náhodně vybráno z produkce TAB 20 krabiček cigaret (po 20-ti kusech) a v nich bylo zjištěno (42,6 3,7) mg nikotinu (v jediné cigaretě). Ve 25-ti krabičkách cigaret NIK (po 20-ti kusech) bylo

2 zjištěno (48,9 4,3) mg nikotinu na cigaretu. Nalezněte 95% interval spolehlivosti pro obsah nikotinu v cigaretách TAB. 10. Radnice menšího města chce znát názor obyvatel na stavbu podzemního parkoviště v historickém centru. Ve výběrovém šetření odpovídali respondenti jen ano nebo ne na otázku, zda souhlasí se zamýšlenou stavbou. Z 500 dotazovaných jich 280 odpovědělo kladně. Odhadněte s pravděpodobnosti 0,95 podíl obyvatel města, kteří souhlasí se stavbou podzemního parkoviště v centru města. 11. Se spolehlivostí 0,95 odhadněte relativní četnost výrobků první jakosti v zásilce výrobků, bylo-li v náhodném výběru 500 výrobků zjištěno 378 výrobků první jakosti. (0,718; 0,793) 12. Při zjišťování přesnosti nově zavedené metody pro stanovení obsahu manganu v oceli bylo rozhodnuto provést 4 nezávislá měření u oceli se známým obsahem manganu, který je roven 0,30%. Stanovte odhad pro na hladině významnosti 0,1, když výsledky měření byly : 0,31% 0,3% 0,29% 0,32%. Údaje o obsahu manganu v oceli považujte za realizaci z normálního rozdělení. INTERVALOVÉ ODHADY PRO ROZDÍL, RESP. PODÍL PARAMETRŮ 1. Byly testovány polovodičové součástky od dvou výrobců MM a PP. MM prohlašuje, že její výrobky mají nižší procento vadných. Pro ověření tohoto tvrzení bylo z produkce MM náhodně vybráno 200 součástek, z nichž 14 bylo vadných. Podobný experiment byl proveden u firmy PP s výsledkem 10 vadných ze 100 náhodně vybraných součástek. Otestujte tvrzení firmy MM prostřednictvím intervalového odhadu na hladině významnosti 0, Tabáková firma TAB prohlašuje, že jejich cigarety mají nižší obsah nikotinu než cigarety NIK. Pro ověření tohoto prohlášení bylo náhodně vybráno z produkce TAB 20 krabiček cigaret (po 20-ti kusech) a v nich bylo zjištěno (42,6 3,7) mg nikotinu (v jediné cigaretě). Ve 25-ti krabičkách cigaret NIK (po 20-ti kusech) bylo zjištěno (48,9 4,3) mg nikotinu na cigaretu. Otestujte tvrzení firmy TAB prostřednictvím intervalového odhadu na hladině významnosti 0, Abychom odhadli rozdíl v cenách určitého druhu zboží dodávaného na trh dvěma výrobci, vybereme náhodně 6 prodejen nabízejících zboží od prvního výrobce, 4 od druhého. Sestrojte 95% interval spolehlivosti pro podíl rozptylů cen obou výrobců. 1. výrobce : výrobce : , 7 1 * 86 7, , 7 * , 6. Sestrojte 95% interval spolehlivosti pro rozdíl středních hodnot pevnosti dvou typů plastikových nákupních tašek, máte-li k dispozici hodnoty maximálního zatížení v kg. I. typ 5,4 5,6 5,1 4,1 5,3 3,7 5,8 5,3 II.typ 5,5 4,2 6,1 5,8 4,6 6,5 Hodnoty považujte za výběry z normálního rozdělení. ODHAD ROZSAHU VÝBĚRU 1. Výběrovým šetřením bychom chtěli odhadnout průměrnou mzdu pracovníků určitého výrobního odvětví. Z vyčerpávajícího šetření, které probíhalo před několika měsíci, víme, že směrodatná odchylka mezd byla

3 750,-Kč. Odhad chceme provést s 95% spolehlivosti a jsme ochotni připustit maximální chybu ve výši 50,- Kč. Jak velký musíme provést výběr, abychom zajistili požadovanou přesnost a spolehlivost? 2. Jaký minimální rozsah výběru pro odhad podílu chybně zúčtovaných položek musíme navrhnout, chceme-li při 90% spolehlivosti zajistit přípustnou chybu 3 %. O možném podílu chybných položek nemáme při prováděném auditu žádnou informaci. 3. Ze základního souboru automaticky balených sáčků piškotů bylo vybráno 1% sáčků a zjištěna průměrná váha 15,8g a směrodatná odchylka 4,8g. Šíři intervalu pro odhad střední váhy balíčků piškot považuje vedení podniku za příliš velkou a požaduje při zachování stejné spolehlivosti (0,99), aby šíře intervalu nepřesáhla 1g. Určete, jaký by pro zajištění těchto podmínek musel být rozsah výběrového rozsahu. 4. Hloubka moře se měří přístrojem, jehož systematická chyba je nulová a náhodné chyby měření mají normální rozdělení se směrodatnou odchylkou 2 m. Kolik měření je nutno provést, aby se hloubka stanovila s chybou nejvýše 0,4 m se spolehlivostí 0,9. 5. Kolik měření výnosnosti je nutno provést, abychom s přesností nejvýše 0,15 m při hladině významnosti 0,05 mohli odhadnout výnosnost pšenice, pokud víme, že směrodatná odchylka je 0,5. (43) 6. Agentura provádějící průzkum veřejného mínění plánuje šetření, na základě kterého chce odhadnout, kolik procent voličů podporuje současnou vládní koalici. Předpokládejme (v praxi tomu tak ovšem není), že jsou dotazování vybírání zcela náhodně. Kolik dotazovaných by mělo být do výběru zařazeno, jestliže si vedení agentury přeje, aby se odhad z výběru nelišil od skutečného podílu příznivců koalice o více než 3%? (Volte hladinu významnosti 0,05.) JEDNOVÝBĚROVÉ TESTY JEDNOVÝBĚROVÉ TESTY PARAMETRICKÉ Test střední hodnoty 1. Mlýny Hrušov udávají na balících mouky váhu 1kg. Potravinářská inspekce otestovala 20 balíků mouky a zjistila váhu (0,95 0,08)kg. Může potravinářská inspekce na základě tohoto testu stíhat Mlýny Hrušov pro nedodržení udávané váhy výrobku? Ověřte čistým testem významnosti. 2. Výrobce garantuje, že jím vyrobené žárovky mají životnost v průměru hodin. Aby útvar kontroly zjistil, že tomuto konstatování odpovídá i v daném období vyrobená a expedovaná část produkce, vybral z připravené dodávky náhodně 50 žárovek a došel k závěru, že průměrná doba životnosti je 950 hodin a směrodatná odchylka doby životnosti pak 100 hodin. Je možné zjištěný rozdíl doby životnosti ve výběru připsat náhodě nebo je známkou nekvality produkce? 3. Automatická balící linka na ovoce má být seřízena na hmotnost balíčku 1000g. Zvážili jsme 7 náhodně vybraných balíčků a zjistili jsme tyto hodnoty: 1015, 982, 965, 970, 1006, 958, 950. Za předpokladu, že hmotnost balíčku má normální rozdělení, ověřte pro 0, 05, že linka je správně seřízena. 4. Spotřeba téhož auta byla testována 11-ti řidiči s výsledky: 8,8; 8,9; 9,0; 8,7; 9,3; 9,0; 8,7; 8,8; 9,4; 8,6; 8,9 (l/100 km) Lze výrobcem udávanou spotřebu 8,8 l/100 km považovat za pravdivou? Můžeme popřít tvrzení, že rozptyl získaných údajů je 0,1 (l/100 km) 2?

4 5. Potvrzuje náhodný výběr rozsahu 240, průměru a směrodatné odchylky 2 300, že průměrný příjem je ? Test rozptylu 1. Automat vyrábí pístové kroužky o daném průměru. Výrobce udává, že směrodatná odchylka průměru kroužku je 0,05mm. K ověření této informace bylo náhodně vybráno 80 kroužků a vypočtena směrodatná odchylka jejich průměru 0,04mm. Lze tento rozdíl považovat za významný ve smyslu zlepšení kvality produkce? 2. Při analýze diferenciace mezd ve velkém podniku bylo zjištěno, že průměrná měsíční mzda činila 9.386,-Kč a směrodatná odchylka mezd 1.562,- Kč. Po rozsáhlých organizačních změnách bylo nutné rychle posoudit, zda došlo ke změnám v diferenciaci mezd. Náhodně bylo vybráno 30 pracovníků a byla zjištěna směrodatná odchylka mezd 1.708,-Kč. Je možné na 5% hladině významnosti tvrdit, že organizační změny prohloubily diferenciaci mezd? 3. Pro deset náhodně vybraných balíčků kávy byly naměřeny tyto hodnoty hmotnosti: 1005, 998, 975, 1001, 999, 984, 1002, 995, 988, 993 g. Na 1% hladině významnosti: a) Ověřte hypotézu, že rozptyl hmotnosti balíčků kávy je 100 g 2. b) Ověřte předpoklad, že balíčky kávy mají střední hmotnost 1000 g. 4. Pro bavlněnou přízi je předepsaná horní mez variability pevnosti vlákna. Rozptyl pevnosti (která má normální rozdělení) nemá překročit 0,36. Při zkoušce 16-ti vzorků byly zjištěny výsledky: 2,22 3,54 2,37 1,66 4,74 4,82 3,21 5,44 3,23 4,79 4,85 4,05 3,48 3,89 4,90 5,37 Je důvod k podezření na vyšší variabilitu než je stanoveno? Ověřte na 5%-ní hladině významnosti? 5. Zácvik laboranta je úspěšný, pokud laborant při měření dosahuje směrodatné odchylky menší než 0,14. Jaký závěr učiníte z měření: 6,42 6,44 6,38 6,60 6,50 6,51? JEDNOVÝBĚROVÉ TESTY NEPARAMETRICKÉ Test relativní četnosti 1. Když házíme pětkrát mincí a pětkrát nám padne panna, můžeme tvrdit, že mince je falešná? Otestujte čistým testem významnosti na hladině významnosti 0, Firma TT udává, že 1% jejich rezistorů nesplňuje požadovaná kritéria. V testované dodávce 1000ks bylo nalezeno 15 nevyhovujících rezistorů. Potvrzuje tento výsledek tvrzení TT? Ověřte čistým testem významnosti. 3. Představenstvo velké akciové společnosti zvažuje odprodat část akcií zaměstnancům této společnosti. Odhaduje se, že zájem o nákup by mohlo projevit asi 20% z nich. Proto personální útvar připravil předběžný průzkum, v němž oslovil 400 náhodně vybraných pracovníků společnosti, z nichž zájem o nákup akcií projevilo 66 lidí. Je úvaha představenstva reálná? (Zvolte hladinu významnosti 0,05). 4. Při rozboru kvalifikace pracovníků podniku bylo zjištěno, že 30% pracovníků nemá kvalifikaci pro práci, kterou vykonávají. Podnik provedl určitou reorganizaci a realizoval systém školení. K posouzení účinnosti těchto opatření bylo náhodně vybráno 100 pracovníků, z nichž 25 nemělo požadovanou kvalifikaci. Rozhodněte na hladině významnosti 5%, zda opatření ke zvýšení kvalifikace byla účinná.

5 5. Je možno považovat za znalce vín člověka, který z 8 předložených druhů vína pozná vice než polovinu? (Ví, kterých 8 druhů mu bude předloženo, ale neví v jakém pořadí.) Ověřte na 5% ní hladině významnosti. 6. Závod obdržel zásilku součástek, v níž by podle smlouvy mělo být nejvýše 1% zmetků. Náhodně byl vybrán a zkontrolován vzorek 500 ks. Pro jaký počet zmetků v něm můžeme hypotézu, že v celé zásilce je nejvýše 1% zmetků, zamítnout na hladině významnosti 0,05? 7. Je padnutí 22 líců při 40 hodech mincí důkazem její nevyváženosti? Od jakého výběru je 55% líců již významný výsledek? 8. Výrobce předpokládel, že bude reklamováno 15% výrobků. Je tomu tak, jestliže z 900 výrobků bylo reklamováno 150? 9. Starosta obdržel při posledních volbách 60% hlasů. Bude stejně úspěšný i v příštích volbách, když ze 100 náhodně vybraných občanů je pro něj 48? 10. Při 200 hodech mincí byl rub zaznamenán 90 krát. Je důvod se domívat, že rub nepadá stejně často jako líc? Test mediánu 1. Na hladině významnosti 0, 05 ověřte hypotézu, že polovina jistých elektronických součástek má životnost nižší než 3000 hodin. Zjištěné hodnoty životnosti pro 20 náhodně vybraných součástek : 2850, 960, 2730, 2050, 3120, 1990, 2870, 2600, 1700, 4350, 920, 1960, 3020, 760, 5330, 1270, 110, 2310, 4070, 870. Test dobré shody, resp. Kolmogorovův-Smirnovův test 1. Při opakovaném házení hrací kostkou byly z 60 hodů zjištěny tyto výsledky : X i n i Ověřte pro 0, 01, že kostka má těžiště v geometrickém středu. 2. Ověřte na hladině významnosti 0,01 hypotézu, že počet prodaných knih na výstavě má rovnoměrné rozdělení. Čas návštěvy [h] Počet prodaných knih Čas návštěvy [h] n n ,62

6 3. Náhodná veličina popisuje počet prodaných knih za 1 den. Na 5% hladině významnosti otestujte hypotézu, že tyto hodnoty pochází z Poissonova rozdělení. V tabulce je uvedeno, kolikrát za dané období se vyskytl daný počet prodaných knih. Počet knih a víc Četnost (Nutno odhadnout parametr X a víc n P(x) 0,050 0,149 0,224 0,224 0,168 0,101 0,050 n 2,489 7,468 11,202 11,202 8,402 5,041 2,520 9,957 11,202 11,202 8,402 7, ,64 1,58 0,92 0,02 1,53 5,69 4. Otestujte, pro 1% riziko, že následující hodnoty pochází z rovnoměrného rozdělení s parametry 0 a 100. Získaný náhodný výběr je: 12, 89, 34, 67, 88, 57, 95, 8, 77, 24. DVOUVÝBĚROVÉ TESTY DVOUVÝBĚROVÉ TESTY PARAMETRICKÉ Test shody středních hodnot 1. Tabáková firma TAB prohlašuje, že jejich cigarety mají nižší obsah nikotinu než cigarety NIK. Pro ověření tohoto prohlášení bylo náhodně vybráno z produkce TAB 20 krabiček cigaret (po 20-ti kusech) a v nich bylo zjištěno (42,6 3,7) mg nikotinu (v jediné cigaretě). Ve 25-ti krabičkách cigaret NIK (po 20-ti kusech) bylo zjištěno (48,9 4,3) mg nikotinu na cigaretu. Ověřte tvrzení firmy TAB čistým testem významnosti. 2. Na základě testu chceme ověřit, zda výkon pracovníků v jistém podniku obuvnického průmyslu je významně vyšší než v jiném, kde se vyrábí stejný typ obuvi. Je znám rozptyl výkonů v obou podnicích 12 =20 a 22 =18. K ověření této hypotézy byl proveden náhodný výběr v prvním podniku o rozsahu 60 pracovníků a ve druhém podniku o rozsahu 50 pracovníků a byly vypočteny průměrné výkony v počtu páru za směnu 140 (pro první podnik) a 137 (pro druhý podnik). 3. Prodejna potravin odebírá uzenářské výrobky od dvou dodavatelů a za důležitou považuje dobu, která uplyne od předání objednávky do okamžiku dodání objednaného zboží. První dodavatel byl testován ve 14 případech: průměrná doba čekání na objednané zboží byla 51,25 hodin při rozptylu 7,47. U druhého dodavatele uzenin bylo provedeno deset pozorování: průměrná doba čekání na zboží byla 49,32 hodin oři výběrovém rozptylu 4,98. Na hladině významnosti 5% ověřte hypotézu, zda mezi oběma dodavateli existuje takový rozdíl v rychlosti dodávek uzenin, který by byl pro vedení prodejny potravin podstatný. Uveďte za jakého předpokladu je test důvěryhodný. 4. Ropná společnost chce postavit novou čerpací stanici na severním nebo jižním okraji menšího města. Projekt předpokládá, že bude vybrán ten výjezd z města, kde je vyšší intenzita provozu. Na severním výjezdu z města probíhalo šetření během 50 dní a byl zjištěn počet projíždějících vozidel (se směrodatnou odchylkou 70 vozidel). Na jižním výjezdu z města bylo za 45 dní zaznamenáno v průměru projíždějících vozidel (směrodatná odchylka 60 vozidel). Lze tento rozdíl považovat za statisticky významný? (Volte hladinu významnosti 0,05).

7 5. Denní přírustky váhy selat při krmení směsi A, resp. B jsou uvedeny v tabulce: Je mezi nimi rozdíl? Test shody rozptylů A B Podnik Čoko používá dva typy strojů pro automatické balení sušenek. Vedoucí střediska je přesvědčen, že variabilita vah sáčků sušenek balených na těchto dvou strojích není stejná. Bylo tedy náhodně vybráno 14 balíčků sušenek balených na prvním stroji a 8 balených na druhém stroji. Předpokládáme-li, že váha balíčků sušenek má normální rozdělení, lze potvrdit empirický názor vedoucího střediska? (Volte hladinu významnosti 0,05). STROJ 1 (g) 243,2 244,8 253,1 247,5 251,0 251,7 254,0 252,8 252,5 250,1 247,3 250,9 253,2 252,7 STROJ 2 (g) 250,2 250,1 251,3 249,1 249,9 250,8 251,9 252,2 Párové testy 1. Rozhodněte zda dva měřící přístroje poskytují naměřené hodnoty se stejnou směrodatnou odchylkou. Test proveďte na 10% hladině spolehlivosti. K dispozici jsou dvě skupiny po 5 opakovaných měřeních prováděných souběžně na obou přístrojích. Pro tyto hodnoty otestujte i shodu středních hodnot. (Nezapomeňte ověřit předpoklady testu.) 2. U 6 aut bylo zjištěno ojetí předních pneumatik v (mm): Ojíždějí se levá a pravá pneumatika stejně? 11,3 10,9 11,1 12,0 10,8 9,8 10,1 9,9 10,3 10,1 Pravá 1,8 1,0 2,2 0,9 1,5 1,6 Levá 1,5 1,1 2,0 1,1 1,4 1,4 DVOUVÝBĚROVÉ TESTY NEPARAMETRICKÉ Test shody relativních četností 1. Podnik Čoko vyrábějící čokoládové výrobky se rozhoduje, zda jako nezbytnou podmínku při dodávce prodejcům bude požadovat uchovávání výrobků (konkrétně čokoládových oplatek) před jejich prodejem v temnu. Provedl si proto test kvality oplatek po 30 dnech od jejich výroby. Celkem bylo zkontrolováno 14 balíčků čokoládových oplatek skladovaných v temné místnosti a 7 vystavených světlu. Závadnými se ukázaly po dvou balíčcích z každé skupiny. Ověřte na 5% hladině významnosti hypotézu, že kvalita čokoládových oplatek není ovlivněna skladováním na světle. 2. Mezi 60 náhodně vybranými muži bylo zjištěno 42 držitelů řidičského oprávnění. Mezi 45 ženami vlastnilo řidičák 16 žen. Ověřte předpoklad, že výskyt řidičáku je stejný jak u mužů, tak u žen. 3. Ověřte na 5% hladině významnosti předpoklad, že dvě výrobní dávky se neliší v podílu výrobků první jakosti. V prvním výběru bylo mezi 300 výrobky 180 výrobků první jakosti a v druhém výběru bylo mezi 400 výrobky 260 výrobků první jakosti.

8 4. V roce 1970 se narodilo chlapců a děvčat. Jsou pravděpodobnosti narození chlapce a děvčete stejné? Test nezávislosti v kontingenční tabulce 1. Pro diferencovaný přístup v personální politice potřebuje vedení podniku vědět, zda spokojenost v práci závisí na tom, jedná-li se o pražský závod či závody mimopražské. Výsledky šetření jsou v následující tabulce. Rozhodněte Stupeň spokojenosti MÍSTO Praha Venkov Velmi spokojen Spíše spokojen Spíše nespokojen Velmi nespokojen Podnik uspořádal školení výpočetní techniky na aplikaci Excel MS Office 97, jímž jsou vybaveny všechny počítače pracovníků ekonomického oddělení. Pokuste se prokázat, že školení ovlivnilo podíl pracovníků používajících tuto aplikaci pravidelně ve své práci. Výsledky šetření jsou v tabulce. Před školením Po školení Používá Nepoužívá Používá 28 4 Nepoužívá V průzkumu veřejného mínění byla sledována závislost mezi názorem na odstoupení vlády a věkem dotazovaných. Určete, zda daná závislost existuje (čistým testem závislosti) a nakreslete mozaikový graf pro tento případ. Věk. skupina Názor na odstoupení vlády ANO NE NEVÍM Do 20-ti let (20-35) let (36-55) let Nad 55 let Společnost vyrábějící automobily Mondavia chce nabídnout svým klientům speciální výbavu za velmi výhodných podmínek. Pro správnou orientaci reklamní kampaně ji zajímá, zda na tuto nabídku budou reagovat spíše soukromí majitelé nebo firmy. Marketingové oddělení společnosti proto oslovilo 100 soukromých majitelů a 150 firem s otázkou, zda by si za nabízených podmínek speciální výbavu objednali. Výsledky šetření jsou v následující tabulce. Rozhodněte o orientaci reklamní kampaně. ANO NE Soukromý majitel Firma V závodě byly vyzkoušeny dva technologické postupy. Je rozdíl mezi nimi z hlediska počtu nekvalitních výrobků statisticky významný, jestliže testy objevily 950 a 485 (resp. 50 a 15) kvalitních (resp. nekvalitních) výrobků? 6. Mezi 60 americkými studenty bylo zjištěno, že marihuanu kouří (resp. nekouří) 15 (resp. 20) mužů a 8 (resp. 17) žen. Lze prokázat souvislost mezi kouřením marihuany a pohlavím respondentů?

9 Syn Chování Hladina alkoholu 7. Byla zjišťována souvislost mezi hladinou alkoholu v krvi (nízká, střední, vysoká) a rychlostí reakce (dobrá, špatná) u 100 náhodně vybraných lidí. Existuje souvislost? Rychlost reakce Dobrá Špatná Nízká Střední 5 15 Vysoká Na základě údajů o 100 žácích rozhodněte, zda je souvislost mezi známkou z chování a z matematiky. Matematika 1 2 > > Lze z údajů o manželstvích uzavřených v roce 1957 prokázat závislost mezi stavem ženicha a stavem nevěsty při vstupu do manželství? Svobodná Vdova Rozvedená Svobodný Vdovec Rozvedený U 100 plodů neošetřených postřikem byla zaznamenána prvotřídní kvalita plodů v 58 případech, u 200 ošetřených ve 134 případech. Má postřik nějaký vliv na kvalitu plodů? 11. U 31 pacientů trpících chorobou bylo zjišťováno, zda byli očkováni a jaký průběh choroba má. Závisí průběh choroby na tom, zda pacient byl očkován? těžký lehký očkován 11 3 neočkován Je souvislost mezi barvou očí u syna a u otce? (1 000 údajů o kombinacích barev modrá, zelená-šedá, tmavě šedá-světle hnědá, hnědá.) Otec Modrá Zelená-šedá Tmavě šedá-světle hnědá Hnědá Modrá Zelená-šedá Tmavě šedá-světle hnědá Hnědá Dvouvýběrový Kolmogorovův Smirnovův test 1. Na 1% hladině významnosti ověřte předpoklad, že elektronické součásti určitého typu, pocházející od dvou výrobců, mají stejné rozdělení životnosti. Zjištěné hodnoty životnosti pro 20 náhodně vybraných součástek od prvního výrobce: 2850, 960, 2730, 2050, 3120, 1990, 2870, 2600, 1700, 4350, 920, 1960, 3020, 760, 5330, 1270, 110, 2310, 4070, 870. Životnost zjištěná pro deset součástek od druhého výrobce: 2980, 1850, 3150, 4310, 2880, 3260, 4430, 3730, 4490, Rozdělení náhodné veličiny neznáme.

10 DALŠÍ PŘÍKLADY 1. Při testování hypotéz stojí nulová hypotéza proti alternativní hypotéze. Chyba I. druhu je: a) skutečnost, že H 0 je chybná b) nesprávné zamítnutí H 0, která je ve skutečnosti správná c) pravděpodobnost zamítnutí H 0, která je ve skutečnosti správná d) zamítnutí H A v případě, že H 0 je chybná e) pravděpodobnost zamítnutí H 0, která je ve skutečnosti chybná 2. Byly testovány polovodičové součástky od dvou výrobců MM a PP. MM prohlašuje, že její výrobky mají nižší procento vadných. Pro ověření tohoto tvrzení bylo z produkce MM náhodně vybráno 200 součástek, z nichž 14 bylo vadných. Podobný experiment byl proveden u firmy PP s výsledkem 10 vadných ze 100 náhodně vybraných součástek. a) Otestujte tvrzení firmy MM čistým testem významnosti. b) Otestujte tvrzení firmy MM prostřednictvím intervalového odhadu na hladině významnosti 0,05. c) Nalezněte 95% interval spolehlivosti pro počet vadných součástek firmy MM. 3. Tabáková firma TAB prohlašuje, že jejich cigarety mají nižší obsah nikotinu než cigarety NIK. Pro ověření tohoto prohlášení bylo náhodně vybráno z produkce TAB 20 krabiček cigaret (po 20-ti kusech) a v nich bylo zjištěno (42,6 3,7) mg nikotinu (v jediné cigaretě). Ve 25-ti krabičkách cigaret NIK (po 20-ti kusech) bylo zjištěno (48,9 4,3) mg nikotinu na cigaretu. a) Ověřte tvrzení firmy TAB čistým testem významnosti. b) Otestujte tvrzení firmy TAB prostřednictvím intervalového odhadu na hladině významnosti 0,05. c) Nalezněte 95% interval spolehlivosti pro obsah nikotinu v cigaretách TAB. 4. Agentura STAT udává, že v lednu 1999 byla v populaci České republiky 30% podpora ČSSD (1000 respondentů) a při průzkumu v květnu 1999 (1600 respondentů) zjistili pouze 25% podporu této strany. Lze z těchto výsledků usuzovat na klesající podporu ČSSD? a) Ověřte čistým testem významnosti. b) Na základě květnového průzkumu učiňte 90% intervalový odhad ohledně procentuálního zastoupení voličů ČSSD v celé populaci. 5. Byly testovány magnetofony od dvou výrobců SONIE a PHILL. SONIE prohlašuje, že jejich magnetofony mají nižší procento reklamací. Pro ověření tohoto prohlášení bylo dotazováno několik prodejců magnetofonů a bylo zjištěno, že ze 150 prodaných magnetofonů firmy SONIE bylo v průběhu záruční doby reklamováno 5 výrobků a ze 220 prodaných magnetofonů PHILL bylo v záruční době reklamováno 9 výrobků. a) Otestujte pravdivost prohlášení firmy SONIE čistým testem významnosti. b) Otestujte pravdivost prohlášení firmy SONIE prostřednictvím intervalového odhadu na hladině významnosti 0,05. c) Najděte 95% interval spolehlivosti pro relativní počet reklamovaných magnetofonů firmy SONY. 6. Společnost EDUCO provádí každoročně srovnávání úrovně studentů různých středních škol. Nás v tuto chvíli zajímá srovnání úrovně studentů gymnázii a SPŚ. Srovnávacím kritériem byl test obecných znalostí. Tento test byl hodnocen (0 100) bodů. Pro orientační výsledek byly vyhodnoceny 24 testy studentů gymnázii s výsledky (78 9) bodů a 26 testů studentů SPŠ s výsledky (64 14) bodů. a) Potvrzují tyto výsledky předpoklad, že obecné znalostí gymnazistů jsou na vyšší úrovni než obecné znalosti studentů SPŠ? Ověřte čistým testem významnosti. b) Potvrzují tyto výsledky předpoklad, že obecné znalostí gymnazistů jsou na vyšší úrovni než obecné znalosti studentů SPŠ? Ověřte prostřednictvím intervalového odhadu na hladině významnosti 0,05. c) Najděte 95% interval spolehlivosti pro střední hodnotu počtu bodů studentů SPŠ.

11 lidí uvedlo, jakou číslici mají nejraději: Číslice Počet Lze tvrdit, že žádné číslici není dávána přednost?