Obyčejné diferenciální rovnice počáteční úloha. KMA / NGM F. Ježek

Transkript

1 Občejné diferenciální rovnice počáteční úloha KMA / NGM F. Ježek (JEZEK@KMA.ZCU.CZ)

2 Základní pojm Tp rovnic a podmínek, řád rovnice Počáteční úloha pro občejné diferenciální rovnice Řád metod a počet kroků Eulerova metoda Metoda Runge-Kutta Adamsov vzorce Metoda prediktor-korektor

3 Základní pojm Občejná a parciální diferenciální rovnice Občejné obsahují jen derivace funkce jedné proměnné (nosník apod.) Parciální obsahují i parciální derivace funkcí více proměnných (vedení tepla apod.) Řád rovnice nejvšší derivace, která se v rovnici objevuje Lineární, resp. nelineární rovnice nejvšší derivace není, resp. je argumentem jiné funkce Řešení obecné a partikulární Obecné řešení zadání neobsahuje podmínk Partikulární jsou dán podmínk Partikulární jsou dán podmínk Podmínk počáteční a okrajové Počáteční jsou dán v jednom bodě (v jedné proměnné) Okrajové jsou dán ve více bodech (v jedné proměnné)

4 Základní pojm - příklad ' x = 0 Občejná diferenciální rovnice, prvního řádu, lineární, obecné řešení ' ' x' sin x = 0, (0) = 0, '(0) = 1 Občejná diferenciální rovnice, druhého řádu, lineární, partikulární řešení, počáteční úloha ( ') x = 0, (0) = 0, (1) = 1 Občejná diferenciální rovnice, prvního řádu, nelineární, partikulární řešení, okrajová úloha u u = tt x, u(0, x) = sin( x) Parciální diferenciální rovnice, druhého řádu, lineární,,p partikulární řešení,,počáteční úloha

5 Základní pojm - příklad 1 ' x = 0, ' 1 = 0, 1 0 (0) = 0 (0) = 1 Soustava občejných lineárních diferenciálních rovnic, prvního řádu, partikulární řešení, počáteční úloha

6 Počáteční úloha pro lineární diferenciální rovnice prvního řádu Velkým písmenem značíme aproximaci řešení Řad metod míra shod mezi přesným (analtickým) a přibližným (numerickým) řešením přesněji: mocnina, do které se shoduje rozvoj obou řešení v mocninou řadu N-kroková metoda hloubka paměti metod, kolik předcházejících hodnot je nutné znát k výpočtu další hodnot

7 Počáteční úloha pro lineární diferenciální rovnice prvního řádu Eulerova metoda = (x) ' = f ( x, ), ( x0) = 0 h > 0, xi = x0 + i. h f ( x 1, Y1 ) Y 0 = 0, Y1 = Y0 + h. f ( x0, Y0 ) Y 0 = 0 h Y Y 1 h x0 x 1 x

8 Počáteční úloha pro lineární diferenciální rovnice prvního řádu Eulerova metoda je jednokrokovou metodou prvního řádu Metoda Runge-Kutta je metodou jednokrokovou, ale již 4 řádu (v Talorově rozvoji numerického a analtického řešení se shodují koeficient u mocnit kroku až do čtvrté mocnin)

9 Počáteční úloha pro lineární diferenciální rovnice prvního řádu Vícekrokové metod Adamsova explicitní formule (čtřkroková, třetího řádu): Adamsova implicitní formule (rovnice) :

10 Počáteční úloha pro lineární diferenciální rovnice prvního řádu Algoritmus prediktor-korektor Rozběh několik prvních hodnot jednokrokovou metodou Predikce použití vícekrokové explicitní formule Korekce opakované použití iterací pomocí implicitní formule (zastavení na přesnost)

11 Metoda prediktor-korektor rozběh 1 Y4 q Y 4 = Y 4 0 Y4 predikce korekce Y 0 = 0 h Y Y 3 Y 1 h h h x x0 x 1 x x 3 4 x

12 Aplikace na soustav a rovnice vššího řádu Metod pro řešení počáteční úloh pro občejné lineární diferenciální rovnice prvního řádu jsou aplikovatelné l na řadu d dalších úloh: Soustav rovnic prvního řádu Rovnice vššího řádu Soustav rovnic vššího řádu

13 Soustava občejných diferenciálních rovnic prvního řádu počáteční úloha Výchozí formulace Vektorová formulace Použití vektorové formulace Eulerov metod Metod Runge Kutta Metod prediktor-korektor Řešení

14 Občejné diferenciální rovnice vššího řádu počáteční úloha Výchozí formulace Substituce Soustava diferenciálních rovnic prvního řádu počáteční úloha

15 Soustava občejných diferenciálních rovnic vššího řádu počáteční úloha Výchozí formulace Každou rovnici převedeme na soustavu rovnic prvního řádu Celou soustavu formulujeme vektorově Použití vektorové formulace Eulerov metod Metod Runge Kutta Metod prediktor-korektor

16 Příklad rovnice druhého řádu, Eulerova metoda Výchozí formulace Substituce Soustava diferenciálních rovnic prvního řádu počáteční úloha

17 Příklad skákající í míč = 9.8, (0) = 0, (0) = =, (0) = 0 = 9.8, (0) = 0 Pro jednotlivé skok skok se provádí výpočet zvlášť s novými počátečními podmínkami. Při dopadu derivace změní znaménko a vezme se 90 % její hodnot a počítá se další oblouk trajektorie. Eulerova metoda: r r r 1 f ( x, Y ) = ( Y, 9.8), Y0 = 0, Y0 = 0, Y0 = (0,0) r r r r Y 1 = Y 0 + h. f ( x 0, Y 0) = (0,0) + 0.1(0; 9.8) = (;19.0) [0.1;] r r r r Y = Y + h f ( x, Y ) = (;19.0) + 0.1(19.0; 9.8) = (3.90;18.04) [0.;3.90]