5. Základy teorie ODR

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "5. Základy teorie ODR"

Transkript

1 5. Základ teorie ODR A. Diferenciální rovnice a související pojm Mnohé fzikální a jiné zákon lze popsat pomocí rovnic, v nichž jako neznámá vstupuje funkce, přičemž tto rovnice obsahují derivaci, příp. derivace neznámé funkce. Tto rovnice se nazývají diferenciální rovnice. Motivační příklad. Částka 1000 Kč se ročně úročí 10%. Na konci roku je pak na účtu částka 1100 Kč. Jestliže se úrok připisují půlročně, úročí se od polovin roku částka 1050 Kč a na konci roku je na účtu částka 1102,50 Kč. Výpočet lze teoretick stále zužovat: úročení probíhá čtvrtletně, měsíčně, týdně, denně atd. Vzniká ted otázka, kolik činí výše částk na účtu po roce spojitého úročení (tj. za předpokladu, že částka je úročena nepřetržitě). Nechť (t) vjadřuje výši částk v čase t, přičemž hodnota závisle proměnné je udávána v korunách a hodnota nezávisle proměnné t v rocích. Uvažujeme-li nejprve roční úročení, pak výše částk v libovolném čase t 1 lze určit jako řešení rovnice (t + 1) = (t) + (t) 10, t 1, přičemž hodnota (t) v čase t 0, 1 ) je dána počátečním vkladem, ted (t) = 1000 pro tato t. Odtud snadno ověříme, že (1) = (0) + 0.1(0) = Jsou-li úrok připisován půlročně, pak výši částk (t) v libovolném čase t 1 / 2 určíme jako řešení rovnice (t + 1 (t) ) = (t) , t 1 2, přičemž (t) = 1000 pro t 0, 1 / 2 ). Odtud ted (1) = 1102, 50. Označme nní h délku časového úseku (v rocích), po jehož uplnutí dochází k opětnému připisování úroků (v předcházejících úvahách jsme volili h = 1 a h = 1 / 2). Pak hodnotu (t) v libovolném čase t h určíme jako řešení rovnice (t + h) = (t) + (t) (t + h) (t) h = 10 h = (t), t h. (5.1) 10 přičemž (t) = 1000 pro t 0, h ). Při spojitém úročení je nní třeba provést limitní přechod pro h 0 (formálně vzato, jedná se o limitu zprava; je ale snadné ověřit, že vztah (5.30) má smsl i pro záporná h). Tím podle definice derivace rovnice (5.30) nabývá tvar d dt (t) (t) =, t 0, (5.2) 10 přičemž (t) = 1000 pro t = 0. Rovnice (5.31) je rovnicí, v níž jako neznámá vstupuje funkce (t) a tato rovnice obsahuje derivaci funkce (t). Jedná se ted o rovnici diferenciální (na rozdíl od vztahu (5.30), který není diferenciální rovnicí pro žádné h > 0). Později uvidíme, že jediným řešením rovnice (5.31) vhovujícím podmínce (0) = 1000 je funkce (t) = 1000 e t/10. Odtud ted plne, že výše částk (v korunách) po roce spojitého úročení činí (1) = 1105, 17. Definice 5.1. a) Občejnou diferenciální rovnicí (ODR) nazýváme rovnici, v níž se vsktuje (či vsktují) derivace hledané funkce jedné proměnné. b) Parciální diferenciální rovnicí (PDR) nazýváme rovnici, v níž se vsktují parciální derivace hledané funkce dvou nebo více proměnných. c) Řádem diferenciální rovnice nazýváme největší řád derivace hledané funkce v uvažované diferenciální rovnici. d) Diferenciální rovnici (ODR či PDR) nazýváme lineární, je-li tato rovnice lineární vzhledem ke hledané funkci i její derivaci (případně derivacím). Zkratk: LODR, LPDR. e) Označení ODR1 (či LODR1) značí občejnou diferenciální rovnici prvního řádu (či LODR prvního řádu). Zkratk ODRn a LODRn značí ODR a LODRn-tého řádu. V podobném smslu užíváme zkratk PDR1, PDRn, LPDR1, LPDRn. ÚM FSI VUT v Brně 30

2 V další části se budeme výhradně zabývat občejnými diferenciálními rovnicemi (přívlastek občejné budeme zpravidla vnechávat). Výše odvozená diferenciální rovnice () = () (5.3) 10 (nezávisle proměnnou nní značíme ) je příkladem LODR1. Tuto rovnici budeme stručně zapisovat ve tvaru = /10 (proměnnou u neznámé funkce ted nebudeme vpisovat). Linearitu této rovnice porušíme, uvažujeme-li na pravé straně výraz, který není lineární vzhledem k ; příkladem nelineární ODR1 je ted např. rovnice Podobně rovnice = , příp. = sin = je příkladem LODR2, zatímco podobná rovnice (druhého řádu) = již lineární není. Výše uvedené rovnice mají eplicitně vjádřenu derivaci nejvššího řádu; říkáme, že tto rovnice jsou dán v tzv. normálním tvaru. Užitím vztahu = d/d lze každou ODR1 v normálním tvaru přepsat pomocí diferenciálů; tento tvar pak nazýváme diferenciálním. Rovnice (5.3) v diferenciálním tvaru ted je d = d 10. Dále se budeme výhradně zabývat občejnými diferenciálními rovnicemi (přívlastek občejné zde budeme zpravidla vnechávat). Užití ODR. Diferenciální rovnice mají zásadní význam při řešení mnohých problémů fzikálních, technických a inženýrských. Bez diferenciálních rovnic b neblo možné provádět různé výpočt související s pružností a pevností materiálu, s řízením složitých jaderných reakcí, s let do vesmíru apod. V dalším tetu se omezíme pouze na modelové příklad, jejichž hlavním účelem bude ilustrovat probíranou látku a motivovat zavedení dalších pojmů. Rovnice (5.3) jako matematický model problému spojitého úročení je příkladem tzv. Malthusov rovnice = k, kde k 0 je reálná konstanta. K sestavení této rovnice vede následující úvaha: Nechť = (t) vjadřuje množství dané veličin v čase t. Za předpokladu, že okamžitá změna (přírůstek či úbtek) je v každém okamžiku úměrná hodnotě, pak dostáváme právě Malthusovu rovnici. Je snadné si rozmslet, že na tuto rovnici vede (po provedení potřebných zjednodušení) řada dalších problémů, jako např. populační problém. Všechn tto problém mají společné to, že k jejich jednoznačnému vřešení Malthusova rovnice nestačí. Je třeba ještě dodat informaci o hodnotě v některém pevném časovém okamžiku (nejčastěji se jedná o časový počátek; pak ted předepisujeme počáteční stav viz informace o počátečním stavu účtu v problému spojitého úročení). Jiným významným příkladem je rovnice mÿ = F (t,, ẏ) představující matematické vjádření druhého Newtonova zákona pro pohb hmotného bodu o hmotnosti m po ose. Je to ODR2 pro hledanou funkci = (t), která vjadřuje polohu hmotného bodu na ose. Druhá derivace d 2 / dt 2 má fzikální význam zrchlení hmotného bodu; daná funkce F vjadřuje výslednou vnější sílu, která působí na hmotný bod. Nechť na tento bod působí např. síla F úměrná výchlce z rovnovážné poloh a působící proti směru výchlk (ostatní síl jako je tření či gravitace neuvažujeme). Pak F = k, kde k > 0 je konstanta úměrnosti, a pohb hmotného bodu je ted popsán diferenciální rovnicí mÿ = k, nebo-li ÿ + ω 2 = 0, ω 2 = k > 0. (5.4) m ÚM FSI VUT v Brně 31

3 Později uvidíme, že každé řešení rovnice (5.4) lze psát ve tvaru (t) = C 1 cos ωt + C 2 sin ωt, (5.5) kde C 1, C 2 jsou obecné konstant. Konkrétní volbou dvojic C 1, C 2 dostaneme jednotlivá řešení (5.4). O tom, že se jedná skutečně o řešení, se snadno přesvědčíme dosazením (5.5) do (5.4); v tomto smslu také zavedeme za chvíli pojem řešení ODR. V aplikacích nás vžd zajímá pohb za konkrétních podmínek. Např. bod vchýlíme do vzdálenosti 0 od klidové poloh ( 0 má zápornou hodnotu, vchýlíme-li bod dolů) a pustíme. V okamžiku puštění kuličk začneme odčítat čas. Realizovali jsme tak tto dvě počáteční podmínk: kde ẋ má fzikální význam rchlosti. Vpočteme hodnot konstant C 1, C 2 z (5.4) pro případ (5.6). Platí (0) = 0, ẋ(0) = 0, (5.6) 0 = (0) = C 1 cos 0 + C 2 sin 0 = C 1, 0 = ẋ(0) = C 1 ω sin 0 + C 2 ω cos 0 = C 2 ω ; ted C 1 = 0, C 2 = 0 a odtud (t) = 0 cos ωt. (5.7) Uvedené dvě počáteční podmínk ted již hledané řešení (a tím i pohb hmotného bodu) určili vztahem (5.5) jednoznačně. V souladu s uvedenými příklad budeme dále uvažovat ODRn v normálním tvaru (n) = f(,,,..., (n 1) ), (5.8) kde f je reálná funkce definovaná na (n + 1)-rozměrné oblasti Ω R n+1, a pro tuto rovnici zavedeme některé související pojm. Definice 5.2. (Pojem řešení ODR) a) Řešením rovnice (5.8) nazýváme každou n-krát spojitě derivovatelnou funkci na nějakém intervalu I, která vhovuje dané rovnici, takže po dosazení této funkce a jejích derivací do dané rovnice dostaneme na intervalu I identickou rovnost. b) ODR budeme považovat za vřešenou, budeme-li znát všechna její řešení. c) Křivku, která znázorňuje některé řešení dané ODR, nazýváme integrální křivkou diferenciální rovnice. Samotné řešení nazýváme také integrálem diferenciální rovnice. Poznamenejme, že pokud definiční obor řešení dané rovnice nebude dopředu stanoven, budeme obvkle hledat řešení definovaná na maimálním možném intervalu (tato řešení se nazývají maimální; m budeme tento přívlastek vnechávat). Definice 5.3. (Počáteční podmínk a počáteční problém) Mějme dán libovolný, ale pevně daný bod ( 0, 0, 1,..., n 1 ) Ω. Úloha určit řešení rovnice (5.8), které vhovuje n počátečním podmínkám ( 0 ) = 0, ( 0 ) = 1,..., (n 1) ( 0 ) = n 1, (5.9) se nazývá počáteční problém (nebo také Cauchho úloha). Původ názvu počátečních podmínek (a ted i počátečního problému) plne z toho, že se nejčastěji předepisují v bodě, který reprezentuje časový počátek. Speciálně počáteční problém pro ODR1 je tvaru = f(, ), ( 0 ) = 0 a pro ODR2 pak = f(,, ), ( 0 ) = 0, ( 0 ) = 1. ÚM FSI VUT v Brně 32

4 Definice 5.4. (Okrajové podmínk a okrajový problém) Tento problém se uvažuje zejména v případě ODR2, kd nezávisle proměnná má význam délk. Jde o úlohu určit řešení rovnice = f(,, ) splňující tzv. okrajové podmínk, které mohou být např. tvaru (a) = α, (b) = β nebo (a) = γ, (b) = δ, kde α, β, γ, δ jsou dané hodnot a a, b jsou koncové bod intervalu I, ve kterém hledáme řešení ODR2. Definice 5.5. (Druh řešení ODR) a) Obecným řešením rovnice (5.8) budeme rozumět každou funkci závisející na n obecných parametrech C 1,..., C n takových, že speciální (přípustnou) volbou C 1,..., C n lze získat řešení každého počátečního problému (5.8), (5.9). b) Partikulární řešení ODRn je takové řešení ODRn, které obdržíme z obecného řešení pevnou volbou konstant C 1,..., C n. c) Výjimečné (singulární) řešení je řešení ODRn, které nelze získat z obecného řešení žádnou volbou hodnot C 1,..., C n. Uvedené pojm ilustrujme na příkladu rovnice (5.4). Jejím obecným řešením je funkce (5.5). Dosazením počátečních podmínek (5.6) do obecného řešení jsme získali partikulární řešení (5.7). Výjimečné řešení rovnice (5.4) nemá. Geometrický význam ODR Diferenciální rovnice prvního řádu = f(, ) (5.10) přiřazuje každému bodu (, ) definičního oboru Ω funkce f směrnici příslušného řešení. Tím je v Ω dáno pole směrů, tzv. směrové pole. Toto směrové pole lze grafick znázornit tak, že zakreslíme dostatečně mnoho bodů (, ) Ω a tečn příslušných integrálních křivek o směrnicích f(, ) vznačíme krátkými úsečkami. Z geometrického hlediska řešit diferenciální rovnici (5.8) znamená vepsat do daného směrového pole křivk tak, ab jejich tečn dané směrové pole respektoval. U rovnice druhého řádu je každému bodu (, ) a směru přiřazena hodnota druhé derivace (tím je ted předepsána křivost hledané integrální křivk). Rovnice vššího řádu již nemají tak jednoduchou geometrickou interpretaci. Příklad 5.6. Sestrojme směrové pole diferenciální rovnice = /. Řešení. Funkce f(, ) = / je definována pro všechna reálná a s výjimkou bodů ležících na ose. Položíme-li = k, kde k R, obdržíme otevřené polopřímk = k ( 0). Jsou to křivk, v jejichž bodech je danou rovnicí předepsána táž hodnota směrnice = k; říká se jim izoklin. Pomocí izoklin pak snadno vidíme, že směrové pole dané rovnice má tvar znázorněný na obr Obr. 5.1: Izoklin a směrové pole rovnice = / ÚM FSI VUT v Brně 33

5 Odtud také plne, že v horní polorovině jsou integrálními křivkami půlkružnice = C 2, zatímco v dolní polorovině to jsou půlkružnice = C 2, kde C R +. B. Některé tp ODR1 V této kapitole uvedeme několik základních tpů ODR1, jejichž řešení lze nalézt v tzv. uzavřeném tvaru. Seznámíme se přitom s metodami umožňujícími vjádření přesného řešení dané rovnice, a to po konečném počtu kroků. Je tvaru kde g, h jsou funkce jedné proměnné. Platí B1. ODR1 se separovanými proměnnými = g()h(), (5.11) Věta 5.7. Nechť funkce g, resp. h je definovaná a spojitá na intervalu (a, b), resp. (c, d) a nechť pro každé (c, d) je h() 0. Dále nechť 0 (a, b), 0 (c, d) jsou libovolné bod. Pak má počáteční problém = g()h(), ( 0 ) = 0 (5.12) řešení definované na nějakém intervalu I. Toto řešení je určeno implicitně vzorcem () 0 dt h(t) = g(s) ds pro každé I. (5.13) 0 Praktický postup. Za předpokladů uvedených v předcházejícím tvrzení je řešení počátečního problému (5.12) dáno implicitně vztahem (5.12). Vztah d h() = g() d + C, C R (5.14) je ted obecným řešením rovnice (5.11). Mnemotechnick si vzorec (5.14) můžeme zapamatovat takto: V rovnici (5.11) místo napíšeme d / d a provedeme tzv. separaci proměnných. Výraz s proměnnými, resp. od sebe oddělíme na obou stranách rovnice. Tím obdržíme formální rovnost d = g() d. h() Obě stran rovnosti integrujeme a na pravou stranu připíšeme integrační konstantu, čímž obdržíme vzorec (5.14). Příklad 5.8. Určeme všechna řešení diferenciální rovnice = 1 (2 + 1). (5.15) Řešení. Zvolíme postup popsaný v předcházející poznámce. Předpoklad 0, rozdělí rovinu na čtři oblasti: Ω 1 = (0, ) ( 1/2, ), Ω 2 = (, 0) ( 1/2, ), Ω 3 = (, 0) (, 1/2), Ω 4 = (0, ) (, 1/2). Ve všech těchto oblastech postupně dostáváme: ÚM FSI VUT v Brně 34

6 d d = 1 (2 + 1), d = d, d d =, 1 2 ln = ln + C 1, C 1 R. Z tohoto tvaru lze hledanou funkci vjádřit eplicitně na levé straně, čímž se získaný výsledek značně zpřehlední. Než tak učiníme, zapíšeme obecnou konstantu C 1 ve tvaru (1/2) ln C, C 0, což nám umožní jednoduše upravit výsledek. Odlogaritmováním a úpravou vztahu dostáváme 1 2 ln = ln + 1 ln C, C R {0} = C 2, C R {0}. Nní přistoupíme k odstranění absolutních hodnot. V oblastech Ω 1 a Ω 2 platí = C 2, C > 0 a v oblastech Ω 3, Ω 4 pak = C 2, C < 0. Dohromad ted na uvedených oblastech platí = C 2, C R {0}. (5.16) Nní posoudíme případ = 0 (tj. = 1 / 2). Dosazením do rovnice (5.15) snadno vidíme, že tato konstantní funkce je také řešením. Protože toto řešení lze obdržet ze vztahu (5.16) volbou C = 0, všechna řešení rovnice (5.15) jsou tvaru = C 2 1 2, C R, kde místo C/2 píšeme C. Tato řešení, která tvoří současně obecné řešení dané rovnice, představují jednoparametrickou soustavu parabol znázorněnou na obr C > C = 0 C < 0 Obr. 5.2: Obecné řešení tvoří jednoparametrická soustava parabol Všimněme si, že každým bodem rovin, s výjimkou bodů ležících na ose, prochází právě jedna integrální křivka obecného řešení. Jinak vjádřeno, předepíšeme-li těmito bod počáteční podmínku, bude mít odpovídající počáteční problém právě jedno řešení. ÚM FSI VUT v Brně 35

7 B2. Lineární ODR1 Lineární diferenciální rovnice 1. řádu má obvkle tvar = a() + f(). (5.17) Je-li f() = 0 pro všechna uvažovaná, pak hovoříme o homogenní LODR1; v opačném případě se jedná o nehomogenní LODR1. Předpokládejme dále, že funkce a(), f() jsou spojité na intervalu I. Uvedeme nejobvklejší metodu řešení rovnice (5.17), tzv. metodu variace konstant. Řešení probíhá ve dvou krocích. I. Řešíme nejprve přidruženou homogenní LODR1 ve tvaru = a(), (5.18) v níž můžeme za předpokladu 0 separovat proměnné. Výše popsanou metodou separace proměnných lze určit obecné řešení h rovnice (5.18) ve tvaru h = Cv(), kde v() = e a() d, C R (volba C = 0 zahrnuje vloučený případ = 0, který je rovněž řešením (5.18)). II. Řešení původní nehomogenní rovnice (5.17) hledáme ve stejném tvaru, ale C již není číselná konstanta, nýbrž funkce proměnné (odtud je také název metod): = C()v() C() =? (5.19) Obecné řešení nehomogenní LODR1 se ted liší od obecného řešení homogenní LODR1 jen tím, že místo konstant C nastoupí vhodná (zatím neurčená) funkce C(). Tu určíme tak, že vztah (5.19) dosadíme do původní rovnice (5.17). Odtud po úpravě máme C ()v() = f(). (5.20) Protože v() > 0, lze rovnici (5.20) dělit v(), takže f() C() = u() d + C = f() e a() d d + C, kde C je obecná konstanta. Dosazením C() do vztahu (5.19) dostáváme obecné řešení lineární rovnice (5.17), zahrnující všechna řešení této rovnice. Toto řešení je přitom definováno na intervalu I, ted všude tam, kde jsou funkce a(), f() spojité. Příklad 5.9. Nalezněme řešení počátečního problému = 1 (2 + 1), (1) = 0. Řešení. Daná rovnice již bla rozřešena v oddíle B1 jako rovnice se separovanými proměnnými. Současně je však i rovnicí lineární, neboť lze psát ve tvaru = tj. a() = 2, f() = 1. (5.21) Ilustrujme proto při řešení této rovnice také metodu variace konstant: I. Nejprve nalezneme obecné řešení přidružené homogenní rovnice = 2. Separací proměnných dostáváme pro 0 a 0 h = C 2, C R, ÚM FSI VUT v Brně 36

8 kde volba parametru C = 0 zahrnuje i nulové řešení h = 0. II. Metodou variace konstant hledejme obecné řešení rovnice (5.21) ve tvaru = C() 2, C() =? Neznámou funkci C() určíme dosazením tohoto vztahu do (5.21): C () 2 + C()2 = 2 C()2 + 1, tj. C () = 1 3. Odtud pak integrací dostáváme C() = 1 3 d = 3 d = C = C, kde C je obecná konstanta. Zpětným dosazením C() máme = ( C)2 = C 2 1 2, C R. Dosadíme-li nní počáteční podmínku do obecného řešení, máme C = 1 / 2, a řešení daného počátečního problému je ted tvaru = 1 2 (2 1), (0, ). Následující dva tp lze převést vhodnou substitucí na rovnici se separovanými proměnnými, resp. rovnici lineární. Rovnici B3. ODR1 tvaru =f(/) ( = f ) (5.22) lze snadno převést substitucí () = u() (stručně: = u) (5.23) na ODR1 se separovanými proměnnými. Vskutku, ze substituce (5.23) plne = u + u, takže rovnice (5.22) přejde v rovnici u + u = f(u), neboli u = 1 (f(u) u), což je ODR1 se separovanými proměnnými. Odtud ted dále pro 0 a f(u) u dostaneme rovnici v diferenciálním tvaru du f(u) u = d. Její obecný integrál vjadřuje vztah mezi proměnnými a u. Ze vztahu (5.23) plne u = /. Užitím tohoto vztahu v obecném integrálu dostaneme obecné řešení v a. Příklad Nalezněme všechna řešení diferenciální rovnice = (5.24) Řešení. Rovnici (5.24) nejprve převedeme na požadovaný tvar (předpokládáme přitom, 0). Úpravou pravé stran obdržíme rovnici = 1 ( 2 ) ( = 1 ( ) ) 1 2. ÚM FSI VUT v Brně 37

9 Položíme proto u = /, ted = u + u, a daná rovnice se transformuje na tvar u + u = 1 2 ( u 1 ) u nebo-li za uvedeného předpokladu 0 u = 1 u u. (5.25) Po provedení separace proměnných, integraci a následné úpravě dostáváme obecné řešení rovnice (5.25) ve tvaru u 2 = C 1, C R {0}. Zpětným dosazením substituce lze snadno určit obecné řešení rovnice (5.24) ve tvaru = C, C R {0}. Obecné řešení ted opět zahrnuje všechna řešení dané rovnice, a tvoří jednoparametrickou soustavou kružnic se středem v bodě (C / 2, 0) a poloměrem C / 2. C < 0 C > 0 Obr. 5.3: Obecné řešení tvoří jednoparamterická soustava kružnic Z obr. 5.3 je rovněž patrné, že všemi bod rovin, s výjimkou bodů ležících na souřadnicových osách, prochází právě jedna funkce z obecného řešení. Bernoulliova rovnice je tvaru B4. Bernoulliova rovnice = a() + f() r, r R. (5.26) Poznamenejme, že v případě r = 0 nebo r = 1 je daná rovnice lineární, a proto budeme předpokládat r 0, r 1. Nechť dále funkce a(), f() jsou spojité v nějakém intervalu I. Ukážeme, že rovnici (5.26) lze substitucí u() = 1 r () (stručně: u = 1 r ) převést na LODR1. Vskutku, za předpokladu 0 položíme u = 1 r. Potom u = (1 r) r, takže Bernoulliova rovnice se transformuje na tvar u = (1 r)a()u + (1 r)f(), což je rovnice lineární. Tuto rovnici vřešíme (viz oddíl B2) a z jejího obecného řešení pak prostřednictvím dané substituce získáme obecné řešení původní rovnice (5.26). Kromě řešení, která dostaneme tímto postupem, má rovnice (5.26) pro r > 0 také řešení = 0. Příklad Nalezněme řešení počátečního problému = 2 2 2, (1) = 1. ÚM FSI VUT v Brně 38

10 Řešení. Daná rovnice již bla řešena v oddíle B3 pomocí substituce u = /. Lze ji však také upravit na tvar = 1 2 ( 1) (tj. a() = 1 2, f() =, r = 1) (5.27) 2 a řešit ji jako Bernoulliovu rovnici substitucí u = 1 r = 2. Při dosazování substituce budeme postupovat tak, že rovnici (5.27) nejprve vdělíme faktorem r = 1 (ted vnásobíme ) a poté do ní dosadíme u = 2, resp. u = 2. Dostáváme = 1 ( ) 2 2, ted u = u. (5.28) Tuto lineární rovnici vřešíme metodou variace konstant. I. Přidruženou homogenní rovnici u = u lze řešit separací proměnných, nebo další substitucí v = u /. Oběma způsob snadno zjistíme, že II. Nechť Dosazením do řešené lineární rovnice (5.28) máme C () + C() = C() u h = C, C R. u = C(), C() =?, tj. C () = 1. Odtud C() = + C, a obecné řešení rovnice (5.28) je ted tvaru Zpětným dosazením substituce pak dostáváme u = C 2, C R. 2 = C 2, C R. Dosazením počátečního bodu (1, 1) do obecného řešení dostáváme C = 2. Protože znaménko funkce je stejné jako znaménko -ové souřadnice počátečního bodu, hledané partikulární řešení je funkce tvaru znázorněná na obr = 2 2, (0, 2) C = Obr. 5.4: Partikulární řešení Rozmslete si přitom, proč je uvedený interval otevřený, ačkoliv krajní bod tohoto intervalu náleží do definičního oboru funkce. B5. Eaktní rovnice Předpokládejme, že jsou dán funkce P (, ), Q(, ), které jsou spojité i se svými prvními parciálními derivacemi v nějaké oblasti Ω. Eaktní rovnicí potom nazveme rovnici, kterou lze napsat ve tvaru P (, ) d + Q(, ) d = 0, ÚM FSI VUT v Brně 39

11 přičemž platí tzv. podmínka eaktnosti P (, ) = Q (, ). Věta Podmínka eaktnosti je ekvivalentní s eistencí kmenové funkce Φ(, ) (potenciálu), jejíž totální diferenciál je levá strana rovnice P (, ) d + Q(, ) d (Pfaffova forma). Řešení eaktní rovnice je dáno implicitně rovnicí Φ(, ) = C. Praktický postup při určení potenciálu. Protože levá strana rovnice je totálním diferenciálem hledané funkce Φ, platí P = Φ a Q = Φ. Odtud naopak Φ(, ) = P (, ) d + C(). (5.29) Zbývá určit funkci C(). Derivujme proto vztah (5.29) podle proměnné, tj. [ Φ (, ) = Protože Φ = Q, dostáváme rovnost [ ] [ P (, ) d + C() = ] P (, ) d + C (). ] [ P (, ) d + C () = Q(, ) = C () = Q(, ) ( [ ] ) = C() = Q(, ) P (, ) d d + K, ] P (, ) d kde integrační konstantu K obvkle nepíšeme, protože ji lze zahrnout do konstant C na pravé straně rovnice Φ(, ) = C. Poznamenejme ještě, že při určení kmenové funkce Φ jsme podobně mohli začít integrací funkce Q podle proměnné a následně vzniklý výraz derivovat podle. Příklad Nalezněte obecné řešení diferenciální rovnice = e 2 e. Řešení. Diferenciální tvar rovnice je }{{} e d + (e 2) d = 0. }{{} P Q Ověřme nejprve podmínku eaktnosti. Platí P = e a Q = e, tj. P = Q v celé rovině R 2. Hledejme nní kmenovou funkci Φ(, ). Φ = P d = e d = e + C() = Φ = e + C = e 2. }{{} Q Odtud a obecné řešení je dáno implicitně rovnicí C () = 2 = C() = 2 e 2 = C. ÚM FSI VUT v Brně 40

12 C. Eistence a jednoznačnost řešení počátečního problému pro ODR1 Zabývejme se nní otázkou, za jakých podmínek vůbec má daný počáteční problém řešení, případně, zda je toto řešení jediné. Uvažujme počáteční problém pro ODR1 = f(, ()) (5.30) ( 0 ) = 0. (5.31) Věta (Peanova) Nechť funkce f(, ) je spojitá v dvojrozměrné oblasti Ω obsahující ve svém vnitřku bod ( 0, 0 ). Potom eistuje alespoň jedno řešení počátečního problému (5.30), (5.31), které je definované a spojité v nějakém okolí bodu 0. Interpretujme volně základní mšlenku důkazu, neboť dává současně geometrický náhled, jak konstruovat alespoň přibližné řešení daného problému. Uvažujme diferenciální rovnici (5.30) a počáteční podmínku (5.31). Z bodu ( 0, 0 ) veďme přímku o směrnici f( 0, 0 ). Na této přímce zvolme bod ( 1, 1 ), kde 0 < 1 (viz obr. 1) a proložme jím přímku o směrnici f( 1, 1 ). Na ní opět zvolme bod ( 2, 2 ), kde 1 < 2, a celý postup opakujme. Získáme tak lomenou čáru, kterou bchom mohli analogick prodloužit také nalevo od bodu ( 0, 0 ). Budeme ji nazývat Eulerovou lomenou čarou. Ω ( 1, 1 ) ( 0, 0 ) ( 3, 3 ) ( 2, 2 ) Obr. 5.5: Eulerova lomenná čára Z obrázku je zřejmé, že jsou-li úsečk obsažené v Eulerově lomené čáře dostatečně krátké, může tato čára být rozumnou aproimací hledané integrální křivk procházející bodem ( 0, 0 ). Navíc lze sestrojit posloupnost Eulerových lomených čar, která konverguje k hledané integrální křivce (pokud tato eistuje). Následující příklad nám ukáže, že předpoklad Peanov vět sice zaručuje eistenci řešení daného problému, nikoliv však jeho jednoznačnost. Příklad Dosazením se můžeme přesvědčit, že počáteční problém = 3 2 3, (0) = 0 má řešení = 0 a = 3 (řešení vhovujících danému problému je ve skutečnosti nekonečně mnoho; k prokázání nejednoznačnosti stačí znát dvě různá řešení). Věta (Picardova) Nechť funkce f(, ) je spojitá v dvojrozměrné oblasti Ω obsahující ve svém vnitřku bod ( 0, 0 ). Dále nechť má f(, ) v každém bodě Ω parciální derivaci f/, která je na Ω ohraničená. Potom eistuje jediné řešení počátečního problému (5.30), (5.31), které je definované a spojité v nějakém okolí bodu 0. Rovněž důkaz Picardov vět je konstruktivní v tom smslu, že udává konstrukci přibližného (v limitě přesného) řešení daného problému. Idea spočívá v zavedení posloupnosti funkcí (zvané posloupnost Picardových aproimací) tvaru 0 () = 0, ÚM FSI VUT v Brně 41

13 1 () = 0 + f(t, 0 ) dt, 0 2 () = 0 + f(t, 1 (t)) dt, 0... n () = f(t, n 1 (t)) dt,... O této posloupnosti je pak třeba dokázat, že pro n stejnoměrně konverguje k hledanému řešení, přičemž toto řešení je určeno jednoznačně. Funkce f(, ) = z předcházejícího příkladu je spojitá v jakékoliv oblasti obsahující bod (0, 0), a proto řešení daného problému eistuje. V žádném okolí tohoto bodu však není derivace f/ = 2/ 1/3 ohraničená, a proto také není zaručena (a v našem příkladě ani splněna) jednoznačnost řešení. Poznámka Picardova věta i Peanova věta mají lokální charakter. Eistence řešení je totiž zaručena pouze v nějakém okolí bodu 0. Pro ilustraci této skutečnosti uvažujme počáteční problém = 1 + 2, (0) = 0. Tento problém má podle Picardov vět jednoznačně určené řešení, neboť f(, ) = 1 + 2, f (, ) = 2 jsou spojité funkce pro všechna reálná a všechna reálná. Neplne však odtud, že toto řešení eistuje také pro všechna reálná. Separací proměnných se lze snadno přesvědčit, že jediným řešením tohoto problému je funkce = tg, ( π/2, π/2). Ke stanovení odhadu velikosti intervalu, na němž je řešení definováno, lze užít následujícího vztahu: Nechť obě podmínk Picardov vět (f spojitá, f ohraničená) jsou splněn v obdélníku D = {(, ) : 0 a 0 + a, 0 b 0 + b} a označme M := ma{ f(, ), (, ) D}. Pak hledané řešení je definované a spojité alespoň v intervalu < 0 δ, 0 + δ >, kde ( ) b δ = min a,. M D. Základ numerického řešení počátečních problémů pro ODR1 V inženýrské prai se často setkáváme s diferenciálními rovnicemi, které nelze řešit analtick. Jedním z nejjednodušších tpů takové rovnice je tzv. Riccatiova diferenciální rovnice = a() 2 + b() + f() (ted rovnice, jejíž pravá strana je kvadratickou funkcí ). V této souvislosti nabývají na významu numerické metod řešení. V tomto oddíle se stručně seznámíme se základní mšlenkou numerického řešení počátečního problému (5.30), (5.31). Při numerickém řešení tohoto problému hledáme přibližné hodnot neznámé funkce ve zvolených bodech nějakého konečného intervalu 0, a. Tento interval rozdělíme na n stejně velkých dílků délk h = a / n bod 0 = 0, 1 = 0 + h,..., i = 0 + ih,..., n = a. Bod i budeme nazývat uzl a vzdálenost h dvou sousedních uzlů nazveme krokem. Hodnotu přesného řešení v uzlu i vjadřuje smbol ( i ) a hodnotu přibližného řešení v uzlu i označíme Y i. Jestliže se nám podaří ÚM FSI VUT v Brně 42

14 najít přibližné řešení Y i, kde i = 0, 1,..., n, pak lze vpočítat přibližnou hodnotu řešení () v libovolném bodě 0, a např. interpolací. Odvození jednotlivých numerických formulí spočívá nejčastěji buď v přibližné náhradě derivace () v jednotlivých uzlech i (např. pomocí diferenčního podílu), nebo v integraci rovnice (5.30) a následné přibližné náhradě vzniklého integrálu. Další možný přístup je založen na rozvoji hledaného řešení () v mocninnou (Talorovu) řadu se středem v bodě 0 a následném výpočtu příslušných koeficientů a k = (k) ( 0 )/k!. V dalším vužijeme postup založený na integraci řešené rovnice a přibližné náhradě integrálu. D1. Jednokrokové metod Jestliže rovnici (5.30) zintegrujeme v intervalu i, i+1, dostaneme takže i+1 i () d = i+1 i f(, ()) d, i+1 ( i+1 ) = ( i ) + f(, ()) d. (5.32) i Jednotlivé numerické metod se nní liší způsobem přibližného výpočtu integrálu na pravé straně (5.32). Eplicitní Eulerova metoda. Provedeme náhradu i+1 i f(, ()) d hf( i, ( i )) (v numerické matematice se tento tp náhrad nazývá obdélníková formule s uzlovým levým krajním bodem). Dosadíme-li tento vztah do (5.32), obdržíme vjádření ( i+1 ) ( i ) + hf( i, ( i )). (5.33) Tento vztah je však nepoužitelný, protože neznáme hodnotu ( i ). Proto zaměníme výraz ( i ), ( i+1 ) ve formuli (5.33) jejich přibližnými hodnotami Y i, Y i+1 a znaménko přibližné rovnosti nahradíme definitorick znaménkem rovnosti. Vztah (5.33) pak nabude tvaru Y i+1 = Y i + hf( i, Y i ). (5.34) Tento vztah je jednokroková numerická formule pro výpočet Y i+1 (neboť k výpočtu Y i+1 potřebujeme znát pouze hodnotu jedné předcházející aproimace Y i ). Protože známe Y 0 (můžeme totiž položit Y 0 = 0 ), lze postupně pomocí (5.34) vpočítat hodnot Y 1, Y 2,..., Y n. V této souvislosti ještě zdůrazněme, že aproimace Y i+1 je vjádřena na levé straně formule (5.34) eplicitně (není již obsažena na pravé straně), což usnadňuje výpočet. Metod s touto vlastností se nazývají eplicitní. Protože právě uvedený postup je spojován se jménem L. Eulera (z geometrického hlediska je metoda založena na konstrukci Eulerových lomených čar), tvoří předpis (5.34) základ tzv. eplicitní Eulerov metod. Vztah (5.34) jsme získali heuristick; je nutno zdůvodnit, že přibližné hodnot Y 1,..., Y n jsou rozumnou aproimací přesných hodnot ( 1 ),..., ( n ). Bez důkazu uveďme, že řešíme-li pomocí formule (5.34) s dostatečně malým krokem h konkrétní počáteční problém (5.30), (5.31), pak eistuje konstanta K > 0, nezávislá na h, taková, že ( i ) Y i Kh, i = 1,..., n. (5.35) Výraz ( i ) Y i představuje tzv. globální chbu aproimace Y i. Přívlastek globální zde znamená, že do této chb se promítají nepřesnosti způsobené přibližným výpočtem všech předcházejících hodnot Y 1,..., Y i 1. Numerické metod s odhadem globální chb tvaru (5.35) se nazývají metod 1. řádu přesnosti, a to podle první mocnin kroku h uvedené ve vztahu (5.35). Z tohoto vztahu rovněž plne, že blíží-li se délka kroku k nule, pak se přibližné hodnot řešení v uzlech i blíží k přesným hodnotám; jinak vjádřeno, uvedená metoda konverguje. Implicitní Eulerova metoda. Nní se vrátíme zpět ke vztahu (5.32), z něhož jsme pomocí náhrad integrálu obdélníkovou formulí s uzlovým levým koncovým bodem odvodili eplicitní Eulerovu metodu. Provedeme-li náhradu obdélníkovou formulí s pravým koncovým bodem, tj. i+1 i f(, ()) d hf( i+1, ( i+1 )), ÚM FSI VUT v Brně 43

15 obdržíme analogickým postupem implicitní Eulerovu metodu Y i+1 = Y i + hf( i+1, Y i+1 ), (5.36) kde i = 0, 1,..., n 1. Hledaná aproimace Y i+1 se ted vsktuje i na pravé straně (5.36), a k jejímu určení je třeba řešit obecně nelineární rovnici pro Y i+1. Lze ukázat, že tato metoda je opět prvního řádu přesnosti, tj. platí vztah (5.35). Komplikace, způsobená obtížemi při určování Y i+1 ze vztahu (5.36) je vvážena několika přednostmi. V následující poznámce zmíníme nejvýznamnější z nich. Stabilita implicitní formule. Uvažujme počáteční problém Jeho přesné řešení je tvaru () = e λ. Je proto přirozené požadovat Eplicitní Eulerova formule aplikovaná na (5.37) dává = λ (λ < 0), (0) = 1. (5.37) Y i > 0, i = 1, 2,.... (5.38) Y i+1 = Y i + hλy i = Y i (1 λ h). Z požadavku (5.38) v tomto případě plne (je totiž Y 0 = 1 > 0) 1 λ h > 0, tj. h < 1 λ. (5.39) Jestliže λ 1, je podmínka (5.39) značným omezením na délku kroku h. V případě implicitní Eulerov formule platí takže Y i+1 = Y i + hλy i+1 = Y i h λ Y i+1, Y i+1 = Y i 1 + λ h. Protože Y 0 = 1, je požadavek (5.38) splněn bez jakéhokoliv omezení na délku kroku h. Na řešení modelové úloh (5.37) jsme ukázali, že eplicitní Eulerova metoda je podmíněně stabilní, neboť v některých případech dává rozumné výsledk jen pro velmi malá h. Naopak implicitní Eulerova metoda je bezpodmínečně stabilní, tj. umožňuje řešit modelovou úlohu (5.37) bez omezení délk kroku h. Obecněji lze ukázat, že všechn bezpodmínečně stabilní metod jsou metod implicitní. Modifikace Eulerov metod. Eulerova metoda, popsaná v předcházející části, je metoda jednoduchá, avšak málo efektivní. Pro dosažení rozumné přesnosti je nutné volit (a to u eplicitní i implicitní formule) malý krok, ted velký objem výpočtů. Naznačíme proto způsob, jak lze např. eplicitní Eulerovu metodu zpřesnit. Vjděme opět ze vztahu (5.32). Jestliže integrál na pravé straně nahradíme vztahem i+1 i f(, () d h 2 [f( i, ( i )) + f( i+1, ( i+1 ))] (nazývaným lichoběžníková formule) a tuto náhradu dosadíme do (5.32), pak je tato úvaha základem tzv. lichoběžníkové metod Y i+1 = Y i + h 2 [f( i, Y i ) + f( i+1, Y i+1 )]. (5.40) Tuto implicitní metodu lze zapsat v eplicitním tvaru, nahradíme-li hodnotu Y i+1 na pravé straně (5.40) pomocí eplicitní Eulerov metod (5.34). Tímto dosazením dostáváme tzv. modifikaci Eulerov metod. Obě formule jsou metod 2. řádu přesnosti. Jinak vjádřeno, pro daný počáteční problém (5.30), (5.31) eistuje konstanta K > 0, nezávislá na h, taková, že volíme-li v uvedených formulích krok h dostatečně malý, pak platí ( i ) Y i Kh 2, i = 1,..., n. ÚM FSI VUT v Brně 44

16 Modifikace Eulerov metod představuje oproti eplicitní Eulerově metodě (5.34) ještě jeden rozdíl. Pro výpočet Y i+1 je nutné určit hodnotu funkce f(, ) ve dvou různých bodech. Metod s touto vlastností se nazývají dvoubodové. Eplicitní Eulerova metoda ted bla metoda jednobodová (při určování Y i+1 počítáme hodnotu f(, ) pouze v jednom bodě). Poznamenejme, že počet bodů, v nichž je nutné při výpočtu Y i+1 včíslit hodnotu funkce f(, ), je jednou z nejvýznamnějších charakteristik efektivnosti výpočtu. Zmíněné modifikace Eulerov metod patří mezi tzv. Rungov-Kuttov metod. Bez odvození uvedeme pouze nejznámější z nich, která je čtvrtého řádu přesnosti. Její schéma je tvaru kde Y i+1 = Y i + h 6 (k 1 + 2k 2 + 2k 3 + k 4 ), k 1 = f( i, Y i ), k 2 = f( i + h/2, Y i + hk 1 /2), k 3 = f( i + h/2, Y i + hk 2 /2), k 4 = f( i + h, Y i + hk 3 ). Výhodou jednokrokových metod tohoto tpu je mimo jiné skutečnost, že po výpočtu každého Y i+1 lze změnit délku kroku. Velkou nevýhodou této formule je, že se jedná o metodu čtřbodovou, přičemž vpočtené veličin k 1,..., k 4 není možno v dalším kroku vužít. Tato metoda je náročná na čas a užívá se zejména v kombinaci s tzv. vícekrokovými metodami, o nichž pojednáme v následujícím oddíle. D2. Vícekrokové metod Vícekrokovými metodami rozumíme metod, jejichž předpis pro výpočet aproimace Y i+1 závisí na více předcházejících aproimacích (nikoliv ted pouze na Y i ). Mezi nejužívanější vícekrokové metod patří metod Adamsov. Adamsov eplicitní metod. Při jejich odvození opět vjdeme z rovnosti ( i+1 ) ( i ) = i+1 i f(, ()) d (viz vztah (5.32)). Nahradíme-li funkci f(, ()) polnomem 1. stupně procházejícím dvěma bod ( i 1, f( i 1, ( i 1 ))) a ( i, f( i, ( i ))), pak po úpravě dostáváme ( i+1 ) ( i ) h 2 [3f( i, ( i )) f( i 1, ( i 1 )]. Odpovídající numerická formule je ted dána vztahem Y i+1 = Y i + h 2 [3f( i, Y i ) f( i 1, Y i 1 )]. (5.41) Tato formule je eplicitní dvoukroková metoda (k výpočtu Y i+1 je třeba znát dvě předcházející aproimace Y i, Y i 1 ). Známe-li ted Y 0, Y 1, můžeme z (5.41) určit Y 2, Y 3,..., Y n. Při stanovení Y 0, Y 1 položíme jako obvkle Y 0 = 0 a Y 1 vpočteme vhodnou jednokrokovou metodou (tj. jednokrokovou metodou téhož řádu). Lze ukázat, že metoda (5.41) je metoda druhého řádu přesnosti, a proto k určení Y 1 můžeme užít např. modifikaci Eulerov metod. Všimněme si, že při každém použití formule (5.41) se počítá jen jedna hodnota f( i, Y i ), neboť hodnota f( i 1, Y i 1 ) již bla vpočtena při předcházejícím použití této formule. Metoda (5.41) je ted jednobodová. Jestliže funkci f(, ()) nahradíme polnomem vššího stupně, obdržíme další vícekrokové formule z tříd Adamsových metod. Proložíme-li např. čtřmi bod ( i, f( i, ( i ))), ( i 1, f( i 1, ( i 1 ))),..., ( i 3, f( i 3, ( i 3 ))) interpolační polnom 3. stupně, pak lze analogickou úvahou jako v předcházejícím případě odvodit příslušnou čtřkrokovou eplicitní formuli. Adamsov implicitní metod. Zcela analogick lze odvodit Adamsov vícekrokové implicitní metod. Jediný rozdíl spočívá v tom, že mezi interpolační bod zahrneme také bod ( i+1, f( i+1, ( i+1 ))). Proložímeli ted např. čtřmi bod ( i+1, f( i+1, ( i+1 ))), ( i, f( i, ( i ))),..., ( i 2, f( i 2, ( i 2 ))) ÚM FSI VUT v Brně 45

17 polnom 3. stupně, odvodíme po obvklých úpravách tříkrokovou implicitní formuli. D3. Metod tpu prediktor-korektor V tomto odstavci se ještě jednou vrátíme k otázce implicitních metod. Připomeňme, že při jejich užití je nutné řešit v každém kroku výpočtu (obecně nelineární) rovnici pro Y i+1. Nejobvklejší způsob řešení tohoto problému spočívá v tom, že implicitní formule sdružujeme s vhodnými eplicitními formulemi do dvojic, které současně užíváme v tzv. metodách prediktor korektor (česk: předpověď oprava). Danou eplicitní formulí se předpoví hodnota Y i+1, která se pak koriguje implicitní formulí. Jako prediktor a korektor je vhodné volit formule stejného řádu přesnosti. Například pomocí (5.41) a (5.40) obdržíme algoritmus P: Yi+1 = Y i + h 2 [3f( i, Y i ) f( i 1, Y i 1 )], K: Y i+1 = Y i + h 2 [f( i+1, Yi+1 ) + f( i, Y i )], který je tvořen eplicitní a implicitní formulí druhého řádu přesnosti. Smbol Yi+1 zde značí předpovězenou hodnotu a smbol Y i+1 hodnotu korigovanou. Shrnutí poznatků Občejná diferenciální rovnice je rovnice, jejíž neznámá je funkce (jedné proměnné), a která obsahuje derivaci (příp. derivace) této neznámé funkce. Řád nejvšší derivaci pak nazveme řádem rovnice. Rovnice tohoto tpu hrají zásadní roli při modelování mnoha technických a přírodovědných problémů. Ab tto model měl řešení určeno jednoznačně, je třeba s danou rovnicí uvažovat i doplňující podmínk, jejichž počet je roven řádu rovnice. Jsou-li tto podmínk předepsán pouze v jednom (nejčastěji počátečním) bodě, nazývají se podmínkami počátečními. Jsou-li předepsán v různých (nejčastěji okrajových) bodech, nazývají se podmínkami okrajovými. Pro několik speciálních tpů diferenciálních rovnic prvního řadu (a později uvidíme, že nejen prvního řádu) jsou znám metod vedoucí k nalezení přesného řešení. V obecném případě musíme přistoupit k numerickému (tj. přibližnému) řešení. Při jeho použití je vhodné mít k dispozici informaci, že daný počáteční problém má právě jedno řešení; z matematického hlediska tuto informaci dává Picardova věta. Numerické řešení je pak obvkle založeno na přibližné náhradě derivace hledané funkce, příp. na integraci diferenciální rovnice a následné přibližné náhradě integrálu. Právě způsob a přesnost této náhrad je rozhodující při odvozování jednotlivých numerických metod. Tto metod se klasifikují z několika hledisek. Mezi nejdůležitější hlediska patří konvergence metod, stabilita, objem výpočtů a odhad chb. ÚM FSI VUT v Brně 46

Základní pojmy teorie ODR a speciální typy ODR1

Základní pojmy teorie ODR a speciální typy ODR1 ODR1 1 Základní pojmy teorie ODR a speciální typy ODR1 A. Diferenciální rovnice a související pojmy Mnohé fyzikální a jiné zákony lze popsat pomocí rovnic, v nichž jako neznámá vystupuje funkce, přičemž

Více

y = 1 x (y2 y), dy dx = 1 x (y2 y) dy y 2 = dx dy y 2 y y(y 4) = A y + B 5 = A(y 1) + By, tj. A = 1, B = 1. dy y 1

y = 1 x (y2 y), dy dx = 1 x (y2 y) dy y 2 = dx dy y 2 y y(y 4) = A y + B 5 = A(y 1) + By, tj. A = 1, B = 1. dy y 1 ODR - řešené příkla 20 5 ANALYTICKÉ A NUMERICKÉ METODY ŘEŠENÍ ODR A. Analtické meto řešení Vzorové příkla: 5.. Příklad. Řešte diferenciální rovnici = 2. Řešení: Přepišme danou rovnici na tvar = (2 ), což

Více

4.1 Řešení základních typů diferenciálních rovnic 1.řádu

4.1 Řešení základních typů diferenciálních rovnic 1.řádu 4. Řešení základních tpů diferenciálních rovnic.řádu 4..4 Určete řešení z() Cauchov úloh pro rovnici + = 0 vhovující počáteční podmínce z =. Po separaci proměnných v rovnici dostaneme rovnici = d a po

Více

1. DIFERENCIÁLNÍ POČET FUNKCE DVOU PROMĚNNÝCH

1. DIFERENCIÁLNÍ POČET FUNKCE DVOU PROMĚNNÝCH 1. DIFERENCIÁLNÍ POČET FUNKCE DVOU PROMĚNNÝCH V minulém semestru jsme studovali vlastnosti unkcí jedné nezávislé proměnné. K popisu mnoha reálných situací obvkle s jednou proměnnou nevstačíme. FUNKCE DVOU

Více

6. DIFERENCIÁLNÍ POČET FUNKCE VÍCE PROMĚNNÝCH

6. DIFERENCIÁLNÍ POČET FUNKCE VÍCE PROMĚNNÝCH Funkce více proměnných 6 DIFERENCIÁLNÍ POČET FUNKCE VÍCE PROMĚNNÝCH Ve čtvrté kapitole jsme studovali vlastnosti funkcí jedné nezávisle proměnné K popisu mnoha reálných situací však s jednou nezávisle

Více

Numerické řešení diferenciálních rovnic

Numerické řešení diferenciálních rovnic Numerické řešení diferenciálních rovnic Omezení: obyčejné (nikoli parciální) diferenciální rovnice, Cauchyho počáteční úloha, pouze jedna diferenciální rovnice 1. řádu 1/1 Numerické řešení diferenciálních

Více

úloh pro ODR jednokrokové metody

úloh pro ODR jednokrokové metody Numerické metody pro řešení počátečních úloh pro ODR jednokrokové metody Formulace: Hledáme řešení y = y() rovnice () s počáteční podmínkou () y () = f(, y()) () y( ) = y. () Smysl: Analyticky lze spočítat

Více

8. Okrajový problém pro LODR2

8. Okrajový problém pro LODR2 8. Okrajový problém pro LODR2 A. Základní poznatky o soustavách ODR1 V kapitole 6 jsme zavedli pojem lineární diferenciální rovnice n-tého řádu, která je pro n = 2 tvaru A 2 (x)y + A 1 (x)y + A 0 (x)y

Více

8.1. Separovatelné rovnice

8.1. Separovatelné rovnice 8. Metody řešení diferenciálních rovnic 1. řádu Cíle V předchozí kapitole jsme poznali separovaný tvar diferenciální rovnice, který bezprostředně umožňuje nalézt řešení integrací. Eistuje široká skupina

Více

X = A + tu. Obr x = a 1 + tu 1 y = a 2 + tu 2, t R, y = kx + q, k, q R (6.1)

X = A + tu. Obr x = a 1 + tu 1 y = a 2 + tu 2, t R, y = kx + q, k, q R (6.1) .6. Analtická geometrie lineárních a kvadratických útvarů v rovině. 6.1. V této kapitole budeme studovat geometrické úloh v rovině analtick, tj. lineární a kvadratické geometrické útvar vjádříme pomocí

Více

Obyčejné diferenciální rovnice počáteční úloha. KMA / NGM F. Ježek

Obyčejné diferenciální rovnice počáteční úloha. KMA / NGM F. Ježek Občejné diferenciální rovnice počáteční úloha KMA / NGM F. Ježek (JEZEK@KMA.ZCU.CZ) Základní pojm Tp rovnic a podmínek, řád rovnice Počáteční úloha pro občejné diferenciální rovnice Řád metod a počet kroků

Více

Kapitola 10: Diferenciální rovnice 1/14

Kapitola 10: Diferenciální rovnice 1/14 Kapitola 10: Diferenciální rovnice 1/14 Co je to diferenciální rovnice? Definice: Diferenciální rovnice je vztah mezi hledanou funkcí y(x), jejími derivacemi y (x), y (x), y (x),... a nezávisle proměnnou

Více

Q(y) dy = P(x) dx + C.

Q(y) dy = P(x) dx + C. Cíle Naše nejbližší cíle spočívají v odpovědích na základní otázky, které si klademe v souvislosti s diferenciálními rovnicemi: 1. Má rovnice řešení? 2. Kolik je řešení a jakého jsou typu? 3. Jak se tato

Více

(0, y) 1.3. Základní pojmy a graf funkce. Nyní se již budeme zabývat pouze reálnými funkcemi reálné proměnné a proto budeme zobrazení

(0, y) 1.3. Základní pojmy a graf funkce. Nyní se již budeme zabývat pouze reálnými funkcemi reálné proměnné a proto budeme zobrazení .. Výklad Nní se již budeme zabývat pouze reálnými funkcemi reálné proměnné a proto budeme zobrazení M R, kde M R nazývat stručně funkce. Zopakujeme, že funkce je každé zobrazení f : M R, M R, které každému

Více

+ 2y. a y = 1 x 2. du x = nxn 1 f(u) 2x n 3 yf (u)

+ 2y. a y = 1 x 2. du x = nxn 1 f(u) 2x n 3 yf (u) Diferenciální počet příklad 1 Dokažte, že funkce F, = n f 2, kde f je spojitě diferencovatelná funkce, vhovuje vztahu + 2 = nf ; 0 Řešení: Označme u = 2. Pak je F, = n fu a platí Podle vět o derivaci složené

Více

8.3). S ohledem na jednoduchost a názornost je výhodné seznámit se s touto Základní pojmy a vztahy. Definice

8.3). S ohledem na jednoduchost a názornost je výhodné seznámit se s touto Základní pojmy a vztahy. Definice 9. Lineární diferenciální rovnice 2. řádu Cíle Diferenciální rovnice, v nichž hledaná funkce vystupuje ve druhé či vyšší derivaci, nazýváme diferenciálními rovnicemi druhého a vyššího řádu. Analogicky

Více

Obsah Obyčejné diferenciální rovnice

Obsah Obyčejné diferenciální rovnice Obsah 1 Obyčejné diferenciální rovnice 3 1.1 Základní pojmy............................................ 3 1.2 Obyčejné diferenciální rovnice 1. řádu................................ 5 1.3 Exaktní rovnice............................................

Více

1 1 x 2. Jedná se o diferenciální rovnici se separovanými proměnnými, která má smysl pro x ±1 a

1 1 x 2. Jedná se o diferenciální rovnici se separovanými proměnnými, která má smysl pro x ±1 a . Řešené úlohy Příklad. (separace proměnných). Řešte počáteční úlohu y 2 + yy ( 2 ) = 0, y(0) = 2. Řešení. Rovnici přepíšeme do tvaru y 2 = yy ( 2 ) y = y2 y 2. Jedná se o diferenciální rovnici se separovanými

Více

1. Obyčejné diferenciální rovnice

1. Obyčejné diferenciální rovnice & 8..8 8: Josef Hekrdla obyčejné diferenciální rovnice-separace proměnných. Obyčejné diferenciální rovnice Rovnice, ve které je neznámá funkcí a v rovnici se vyskytuje spolu se svými derivacemi, se nazývá

Více

Algebraické rovnice. Obsah. Aplikovaná matematika I. Ohraničenost kořenů a jejich. Aproximace kořenů metodou půlení intervalu.

Algebraické rovnice. Obsah. Aplikovaná matematika I. Ohraničenost kořenů a jejich. Aproximace kořenů metodou půlení intervalu. Algebraické rovnice Aplikovaná matematika I Dana Říhová Mendelu Brno Obsah 1 Základní pojm 2 Metod řešení algebraických rovnic Algebraické řešení Grafické řešení Numerické řešení 3 Numerické řešení Ohraničenost

Více

Obyčejné diferenciální rovnice

Obyčejné diferenciální rovnice Obyčejné diferenciální rovnice Petra Schreiberová, Petr Volný Katedra matematiky a deskriptivní geometrie, FS Katedra matematiky, FAST Vysoká škola báňská Technická Univerzita Ostrava Ostrava 2019 OBSAH

Více

7. Soustavy ODR1 Studijní text. 7. Soustavy ODR1. A. Základní poznatky o soustavách ODR1

7. Soustavy ODR1 Studijní text. 7. Soustavy ODR1. A. Základní poznatky o soustavách ODR1 7 Soustavy ODR1 A Základní poznatky o soustavách ODR1 V inženýrské praxi se se soustavami diferenciálních rovnic setkáváme především v úlohách souvisejících s mechanikou Příkladem může být úloha popsat

Více

Příklady pro předmět Aplikovaná matematika (AMA) část 1

Příklady pro předmět Aplikovaná matematika (AMA) část 1 Příklady pro předmět plikovaná matematika (M) část 1 1. Lokální extrémy funkcí dvou a tří proměnných Nalezněte lokální extrémy funkcí: (a) f 1 : f 1 (x, y) = x 3 3x + y 2 + 2y (b) f 2 : f 2 (x, y) = 1

Více

11. přednáška 10. prosince Kapitola 3. Úvod do teorie diferenciálních rovnic. Obyčejná diferenciální rovnice řádu n (ODR řádu n) je vztah

11. přednáška 10. prosince Kapitola 3. Úvod do teorie diferenciálních rovnic. Obyčejná diferenciální rovnice řádu n (ODR řádu n) je vztah 11. přednáška 10. prosince 2007 Kapitola 3. Úvod do teorie diferenciálních rovnic. Obyčejná diferenciální rovnice řádu n (ODR řádu n) je vztah F (x, y, y, y,..., y (n) ) = 0 mezi argumentem x funkce jedné

Více

Diferenciální rovnice

Diferenciální rovnice Obyčejné diferenciální rovnice - studijní text pro cvičení v předmětu Matematika - 2. Studijní materiál byl připraven pracovníky katedry E. Novákovou, M. Hyánkovou a L. Průchou za podpory grantu IG ČVUT

Více

MATEMATIKA III. Olga Majlingová. Učební text pro prezenční studium. Předběžná verze

MATEMATIKA III. Olga Majlingová. Učební text pro prezenční studium. Předběžná verze Fakulta strojního inženýrství Univerzity J. E. Purkyně v Ústí nad Labem Pasteurova 7 Tel.: 475 285 511 400 96 Ústí nad Labem Fax: 475 285 566 Internet: www.ujep.cz E-mail: kontakt@ujep.cz MATEMATIKA III

Více

Studijní text pro obor G+K Katedra matematiky Fakulta stavební ROVNICE. Doc. RNDr. Milada Kočandrlová, CSc.

Studijní text pro obor G+K Katedra matematiky Fakulta stavební ROVNICE. Doc. RNDr. Milada Kočandrlová, CSc. Studijní text pro obor G+K Katedra matematiky Fakulta stavební České vysoké učení technické OBYČEJNÉ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE Doc. RNDr. Milada Kočandrlová, CSc. Lektorovali: RNDr. Milan Kočandrle, CSc.,

Více

2 Reálné funkce jedné reálné proměnné

2 Reálné funkce jedné reálné proměnné 2 Reálné funkce jedné reálné proměnné S funkcemi se setkáváme na každém kroku, ve všech přírodních vědách, ale i v každodenním životě. Každá situace, kd jsou nějaký jev nebo veličina jednoznačně určen

Více

Obyčejnými diferenciálními rovnicemi (ODR) budeme nazývat rovnice, ve kterých

Obyčejnými diferenciálními rovnicemi (ODR) budeme nazývat rovnice, ve kterých Obyčejné diferenciální rovnice Obyčejnými diferenciálními rovnicemi (ODR) budeme nazývat rovnice, ve kterých se vyskytují derivace neznámé funkce jedné reálné proměnné. Příklad. Bud dána funkce f : R R.

Více

Nejprve si připomeňme z geometrie pojem orientovaného úhlu a jeho velikosti.

Nejprve si připomeňme z geometrie pojem orientovaného úhlu a jeho velikosti. U. 4. Goniometrie Nejprve si připomeňme z geometrie pojem orientovaného úhlu a jeho velikosti. 4.. Orientovaný úhel a jeho velikost. Orientovaným úhlem v rovině rozumíme uspořádanou dvojici polopřímek

Více

Limita a spojitost funkce a zobrazení jedné reálné proměnné

Limita a spojitost funkce a zobrazení jedné reálné proměnné Přednáška 4 Limita a spojitost funkce a zobrazení jedné reálné proměnné V několika následujících přednáškách budeme studovat zobrazení jedné reálné proměnné f : X Y, kde X R a Y R k. Protože pro každé

Více

1.1 Existence a jednoznačnost řešení. Příklad 1.1: [M2-P1] diferenciální rovnice (DR) řádu n: speciálně nás budou zajímat rovnice typu

1.1 Existence a jednoznačnost řešení. Příklad 1.1: [M2-P1] diferenciální rovnice (DR) řádu n: speciálně nás budou zajímat rovnice typu [M2-P1] KAPITOLA 1: Diferenciální rovnice 1. řádu diferenciální rovnice (DR) řádu n: speciálně nás budou zajímat rovnice typu G(x, y, y, y,..., y (n) ) = 0 y (n) = F (x, y, y,..., y (n 1) ) Příklad 1.1:

Více

Extrémy funkce dvou proměnných

Extrémy funkce dvou proměnných Extrémy funkce dvou proměnných 1. Stanovte rozměry pravoúhlé vodní nádrže o objemu 32 m 3 tak, aby dno a stěny měly nejmenší povrch. Označme rozměry pravoúhlé nádrže x, y, z (viz obr.). ak objem této nádrže

Více

Diferenciální rovnice 1

Diferenciální rovnice 1 Diferenciální rovnice 1 Základní pojmy Diferenciální rovnice n-tého řádu v implicitním tvaru je obecně rovnice ve tvaru,,,, = Řád diferenciální rovnice odpovídá nejvyššímu stupni derivace v rovnici použitému.

Více

Homogenní rovnice. Uvažujme rovnici. y = f(x, y), (4) kde

Homogenní rovnice. Uvažujme rovnici. y = f(x, y), (4) kde Homogenní rovnice Uvažujme rovnici kde y = f(, y), (4) f(λ, λy) = f(, y), λ. Tato rovnice se nazývá homogenní rovnice 1. řádu. Ukážeme, že tuto rovnici lze převést substitucí na rovnici se separovanými

Více

1. Několik základních pojmů ze středoškolské matematiky. Na začátku si připomeneme následující pojmy:

1. Několik základních pojmů ze středoškolské matematiky. Na začátku si připomeneme následující pojmy: Opakování středoškolské matematiky Slovo úvodem: Tato pomůcka je určena zejména těm studentům presenčního i kombinovaného studia na VŠFS, kteří na středních školách neprošli dostatečnou průpravou z matematiky

Více

Věta 12.3 : Věta 12.4 (princip superpozice) : [MA1-18:P12.7] rovnice typu y (n) + p n 1 (x)y (n 1) p 1 (x)y + p 0 (x)y = q(x) (6)

Věta 12.3 : Věta 12.4 (princip superpozice) : [MA1-18:P12.7] rovnice typu y (n) + p n 1 (x)y (n 1) p 1 (x)y + p 0 (x)y = q(x) (6) 1. Lineární diferenciální rovnice řádu n [MA1-18:P1.7] rovnice typu y n) + p n 1 )y n 1) +... + p 1 )y + p 0 )y = q) 6) počáteční podmínky: y 0 ) = y 0 y 0 ) = y 1 y n 1) 0 ) = y n 1. 7) Věta 1.3 : Necht

Více

rovnic), Definice y + p(x)y = q(x), Je-li q(x) = 0 na M, nazývá se y + p(x)y =

rovnic), Definice y + p(x)y = q(x), Je-li q(x) = 0 na M, nazývá se y + p(x)y = Cíle Přehled základních typů diferenciálních rovnic prvního řádu zakončíme pojednáním o lineárních rovnicích, které patří v praktických úlohách k nejfrekventovanějším. Ukážeme například, že jejich řešení

Více

Vlastní čísla a vlastní vektory

Vlastní čísla a vlastní vektory 5 Vlastní čísla a vlastní vektor Poznámka: Je-li A : V V lineární zobrazení z prostoru V do prostoru V někd se takové zobrazení nazývá lineárním operátorem, pak je přirozeným požadavkem najít takovou bázi

Více

9. T r a n s f o r m a c e n á h o d n é v e l i č i n y

9. T r a n s f o r m a c e n á h o d n é v e l i č i n y 9. T r a n s f o r m a c e n á h o d n é v e l i č i n Při popisu procesů zpracováváme vstupní údaj, hodnotu x tak, že výstupní hodnota závisí nějakým způsobem na vstupní, je její funkcí = f(x). Pokud

Více

INŽENÝRSKÁ MATEMATIKA DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE října 2009

INŽENÝRSKÁ MATEMATIKA DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE října 2009 INŽENÝRSKÁ MATEMATIKA DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE 1 Robert Mařík 2. října 2009 c Robert Mařík, 2009 Obsah 1 Diferenciální rovnice úvod 4 2 DR se separovanými proměnnými 9 DR se sep. proměnnými.........................

Více

Diferenciální počet 1 1. f(x) = ln arcsin 1 + x 1 x. 1 x 1 a x 1 0. f(x) = (cos x) cosh x + 3x. x 0 je derivace funkce f(x) v bodě x0.

Diferenciální počet 1 1. f(x) = ln arcsin 1 + x 1 x. 1 x 1 a x 1 0. f(x) = (cos x) cosh x + 3x. x 0 je derivace funkce f(x) v bodě x0. Nalezněte definiční obor funkce Diferenciální počet f = ln arcsin + Definiční obor funkce f je určen vztahy Z těchto nerovností plyne < + ln arcsin + je tedy D f =, Určete definiční obor funkce arcsin

Více

5. Lokální, vázané a globální extrémy

5. Lokální, vázané a globální extrémy 5 Lokální, vázané a globální extrémy Studijní text Lokální extrémy 5 Lokální, vázané a globální extrémy Definice 51 Řekneme, že f : R n R má v bodě a Df: 1 lokální maximum, když Ka, δ Df tak, že x Ka,

Více

Diferenciální rovnice 3

Diferenciální rovnice 3 Diferenciální rovnice 3 Lineární diferenciální rovnice n-tého řádu Lineární diferenciální rovnice (dále jen LDR) n-tého řádu je rovnice tvaru + + + + = kde = je hledaná funkce, pravá strana a koeficienty

Více

Limita a spojitost funkce

Limita a spojitost funkce Limita a spojitost funkce Základ všší matematik Dana Říhová Mendelu Brno Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakult MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na disciplin společného základu

Více

Zavedeme-li souřadnicový systém {0, x, y, z}, pak můžeme křivku definovat pomocí vektorové funkce.

Zavedeme-li souřadnicový systém {0, x, y, z}, pak můžeme křivku definovat pomocí vektorové funkce. KŘIVKY Křivka = dráha pohybujícího se bodu = = množina nekonečného počtu bodů, které závisí na parametru (čase). Proto můžeme křivku také nazvat jednoparametrickou množinou bodů. Zavedeme-li souřadnicový

Více

Obsah. Aplikovaná matematika I. Gottfried Wilhelm Leibniz. Základní vlastnosti a vzorce

Obsah. Aplikovaná matematika I. Gottfried Wilhelm Leibniz. Základní vlastnosti a vzorce Neurčitý integrál Aplikovaná matematika I Dana Říhová Mendelu Brno Obsah Primitivní funkce, neurčitý integrál Základní vlastnosti a vzorce Základní integrační metody Úpravy integrandu Integrace racionálních

Více

Matematická analýza III.

Matematická analýza III. 3. Implicitní funkce Miroslav Hušek, Lucie Loukotová UJEP 2010 V této kapitole se seznámíme s dalším možným zadáním funkce jejím implicitním vyjádřením. Doplní tak nám již známé explicitní a parametrické

Více

Limita a spojitost funkce

Limita a spojitost funkce Přednáška 5 Limita a spojitost funkce V této přednášce se konečně dostaneme k diferenciálnímu počtu funkce jedné reálné proměnné. Diferenciální počet se v podstatě zabývá lokálním chováním funkce v daném

Více

pouze u některých typů rovnic a v tomto textu se jím nebudeme až na

pouze u některých typů rovnic a v tomto textu se jím nebudeme až na Matematika II 7.1. Zavedení diferenciálních rovnic Definice 7.1.1. Rovnice tvaru F(y (n), y (n 1),, y, y, x) = 0 se nazývá diferenciální rovnice n-tého řádu pro funkci y = y(x). Speciálně je F(y, y, x)

Více

Riemannův určitý integrál

Riemannův určitý integrál Riemannův určitý integrál 1. Motivační příklad Příklad (Motivační příklad pro zavedení Riemannova integrálu). Nechť,. Vypočtěme obsah vybarvené oblasti ohraničené grafem funkce, osou a svislými přímkami

Více

Funkce dvou a více proměnných

Funkce dvou a více proměnných Funkce dvou a více proměnných. Motivace V praxi nevstačíme s funkcemi jedné proměnné, většina veličin závisí více než na jedné okolnosti, např.: obsah obdélníka: S( ) kinetická energie: Ek = = x mv ekonomika:

Více

Analytická geometrie lineárních útvarů

Analytická geometrie lineárních útvarů ) Na přímce: a) Souřadnice bodu na přímce: Analtická geometrie lineárních útvarů Bod P nazýváme počátek - jeho souřadnice je P [0] Nalevo od počátku leží čísla záporná, napravo čísla kladná. Každý bod

Více

Funkce základní pojmy a vlastnosti

Funkce základní pojmy a vlastnosti Funkce základní pojm a vlastnosti Základ všší matematik LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakult MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipĺın společného

Více

Derivace funkce. Obsah. Aplikovaná matematika I. Isaac Newton. Mendelu Brno. 2 Derivace a její geometrický význam. 3 Definice derivace

Derivace funkce. Obsah. Aplikovaná matematika I. Isaac Newton. Mendelu Brno. 2 Derivace a její geometrický význam. 3 Definice derivace Derivace funkce Aplikovaná matematika I Dana Říhová Mendelu Brno Obsah Směrnice přímk Derivace a její geometrický význam 3 Definice derivace 4 Pravidla a vzorce pro derivování 5 Tečna a normála 6 Derivace

Více

Funkce základní pojmy a vlastnosti

Funkce základní pojmy a vlastnosti Funkce základní pojm a vlastnosti Základ všší matematik LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakult MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na disciplín společného

Více

5.3. Implicitní funkce a její derivace

5.3. Implicitní funkce a její derivace Výklad Podívejme se na následující problém. Uvažujme množinu M bodů [x,y] R 2, které splňují rovnici F(x, y) = 0, M = {[x,y] D F F(x,y) = 0}, kde z = F(x,y) je nějaká funkce dvou proměnných. Je-li F(x,y)

Více

Otázku, kterými body prochází větev implicitní funkce řeší následující věta.

Otázku, kterými body prochází větev implicitní funkce řeší následující věta. 1 Implicitní funkce Implicitní funkce nejsou funkce ve smyslu definice, že funkce bodu z definičního oboru D přiřadí právě jednu hodnotu z oboru hodnot H. Přesnější termín je funkce zadaná implicitně.

Více

Řešíme tedy soustavu dvou rovnic o dvou neznámých. 2a + b = 3, 6a + b = 27,

Řešíme tedy soustavu dvou rovnic o dvou neznámých. 2a + b = 3, 6a + b = 27, Přijímací řízení 2015/16 Přírodovědecká fakulta Ostravská univerzita v Ostravě Navazující magisterské studium, obor Aplikovaná matematika (1. červen 2016) Příklad 1 Určete taková a, b R, aby funkce f()

Více

7. Funkce jedné reálné proměnné, základní pojmy

7. Funkce jedné reálné proměnné, základní pojmy , základní pojmy POJEM FUNKCE JEDNÉ PROMĚNNÉ Reálná funkce f jedné reálné proměnné je funkce (zobrazení) f: X Y, kde X, Y R. Jde o zvláštní případ obecného pojmu funkce definovaného v přednášce. Poznámka:

Více

Seznámíte se s pojmem primitivní funkce a neurčitý integrál funkce jedné proměnné.

Seznámíte se s pojmem primitivní funkce a neurčitý integrál funkce jedné proměnné. INTEGRÁLNÍ POČET FUNKCÍ JEDNÉ PROMĚNNÉ NEURČITÝ INTEGRÁL NEURČITÝ INTEGRÁL Průvodce studiem V kapitole Diferenciální počet funkcí jedné proměnné jste se seznámili s derivováním funkcí Jestliže znáte derivace

Více

2. DVOJROZMĚRNÝ (DVOJNÝ) INTEGRÁL

2. DVOJROZMĚRNÝ (DVOJNÝ) INTEGRÁL . VOJROZMĚRNÝ (VOJNÝ) INTEGRÁL Úvodem připomenutí základních integračních vzorců, bez nichž se neobejdete: [.] d = C [.] d = + C n+ n [.] d = + C n + [4.] d = ln + C [5.] sin d = cos + C [6.] cos d = sin

Více

Management rekreace a sportu. 10. Derivace

Management rekreace a sportu. 10. Derivace Derivace Derivace Před mnoha lety se matematici snažily o obecné vyřešení úlohy, jak sestrojit tečnu k dané křivce a také yzici zápolili s problémem určení rychlosti nerovnoměrného pohybu K zásadnímu obratu

Více

Necht na hmotný bod působí pouze pružinová síla F 1 = ky, k > 0. Podle druhého Newtonova zákona je pohyb bodu popsán diferenciální rovnicí

Necht na hmotný bod působí pouze pružinová síla F 1 = ky, k > 0. Podle druhého Newtonova zákona je pohyb bodu popsán diferenciální rovnicí Počáteční problémy pro ODR2 1 Lineární oscilátor. Počáteční problémy pro ODR2 Uvažujme hmotný bod o hmotnosti m, na který působí síly F 1, F 2, F 3. Síla F 1 je přitom úměrná výchylce y z rovnovážné polohy

Více

6. Lineární ODR n-tého řádu

6. Lineární ODR n-tého řádu 6. Lineární ODR n-tého řádu A. Obecná homogenní LODRn V předcházející kapitole jsme diferenciální rovnici (libovolného řádu) nazvali lineární, je-li tato rovnice lineární vzhledem ke hledané funkci y a

Více

Čebyševovy aproximace

Čebyševovy aproximace Čebyševovy aproximace Čebyševova aproximace je tzv hledání nejlepší stejnoměrné aproximace funkce v daném intervalu Hledáme funkci h x, která v intervalu a,b minimalizuje maximální absolutní hodnotu rozdílu

Více

8.4. Shrnutí ke kapitolám 7 a 8

8.4. Shrnutí ke kapitolám 7 a 8 8.4. Shrnutí ke kapitolám 7 a 8 Shrnutí lekce Úvodní 7. kapitola přinesla informace o druzích řešení diferenciálních rovnic prvního řádu a stručné teoretické poznatky o podmínkách existence a jednoznačnosti

Více

Úvodní informace. 17. února 2018

Úvodní informace. 17. února 2018 Úvodní informace Funkce více proměnných Přednáška první 17. února 2018 Obsah 1 Úvodní informace. 2 Funkce více proměnných Definiční obor Limita a spojitost Derivace, diferencovatelnost, diferenciál Úvodní

Více

Matematika I, část I. Rovnici (1) nazýváme vektorovou rovnicí roviny ABC. Rovina ABC prochází bodem A a říkáme, že má zaměření u, v. X=A+r.u+s.

Matematika I, část I. Rovnici (1) nazýváme vektorovou rovnicí roviny ABC. Rovina ABC prochází bodem A a říkáme, že má zaměření u, v. X=A+r.u+s. 3.4. Výklad Předpokládejme, že v prostoru E 3 jsou dány body A, B, C neležící na jedné přímce. Těmito body prochází jediná rovina, kterou označíme ABC. Určíme vektory u = B - A, v = C - A, které jsou zřejmě

Více

Funkce komplexní proměnné a integrální transformace

Funkce komplexní proměnné a integrální transformace Funkce komplexní proměnné a integrální transformace Fourierovy řady I. Marek Lampart Text byl vytvořen v rámci realizace projektu Matematika pro inženýry 21. století (reg. č. CZ.1.07/2.2.00/07.0332), na

Více

II.7.* Derivace složené funkce. Necht jsou dány diferencovatelné funkce z = f(x,y), x = x(u,v), y = y(u,v). Pak. z u = f. x x. u + f. y y. u, z.

II.7.* Derivace složené funkce. Necht jsou dány diferencovatelné funkce z = f(x,y), x = x(u,v), y = y(u,v). Pak. z u = f. x x. u + f. y y. u, z. II.7.* Derivace složené funkce Necht jsou dán diferencovatelné funkce z = f(,), = (u,v), = (u,v). Pak u = u + u, v = v + v. Vpočítejte derivace daných diferencovatelných funkcí. Příklad 0. Jsou dán diferencovatelné

Více

7. Derivace složené funkce. Budeme uvažovat složenou funkci F = f(g), kde některá z jejich součástí

7. Derivace složené funkce. Budeme uvažovat složenou funkci F = f(g), kde některá z jejich součástí 202-m3b2/cvic/7slf.tex 7. Derivace složené funkce. Budeme uvažovat složenou funkci F = fg, kde některá z jejich součástí může být funkcí více proměnných. Předpokládáme, že uvažujeme funkce, které mají

Více

Diferenciální počet funkce jedné proměnné 1

Diferenciální počet funkce jedné proměnné 1 Diferenciální počet funkce jedné proměnné Limita funkce Pojem limita můžeme česk vjádřit jako mez, případně hranice Zavedení pojmu limita si objasníme na příkladu Příklad : Funkce f ( ) Obr 6: Graf funkce

Více

Matematika III. Miroslava Dubcová, Daniel Turzík, Drahoslava Janovská. Ústav matematiky

Matematika III. Miroslava Dubcová, Daniel Turzík, Drahoslava Janovská. Ústav matematiky Matematika III Řady Miroslava Dubcová, Daniel Turzík, Drahoslava Janovská Ústav matematiky Přednášky ZS 202-203 Obsah Číselné řady. Součet nekonečné řady. Kritéria konvergence 2 Funkční řady. Bodová konvergence.

Více

0.1 Úvod do lineární algebry

0.1 Úvod do lineární algebry Matematika KMI/PMATE 1 01 Úvod do lineární algebry 011 Lineární rovnice o 2 neznámých Definice 011 Lineární rovnice o dvou neznámých x, y je rovnice, která může být vyjádřena ve tvaru ax + by = c, kde

Více

SOUSTAVY LINEÁRNÍCH ALGEBRAICKÝCH ROVNIC

SOUSTAVY LINEÁRNÍCH ALGEBRAICKÝCH ROVNIC SOUSTAVY LINEÁRNÍCH ALGEBRAICKÝCH ROVNIC Pojm: Algebraická rovnice... rovnice obsahující pouze celé nezáporné mocnin neznámé, tj. a n n + a n 1 n 1 +... + a 2 2 + a 1 + a 0 = 0, kde n je přirozené číslo.

Více

9.5. Soustavy diferenciálních rovnic

9.5. Soustavy diferenciálních rovnic Cíle Budeme se nyní zabývat úlohami, v nichž je cílem najít dvojici funkcí y(x), z(x), pro které jsou zadány dvě lineární rovnice prvního řádu, obsahující tyto funkce a jejich derivace. Výklad Omezíme-li

Více

1 Řešení soustav lineárních rovnic

1 Řešení soustav lineárních rovnic 1 Řešení soustav lineárních rovnic 1.1 Lineární rovnice Lineární rovnicí o n neznámých x 1,x 2,..., x n s reálnými koeficienty rozumíme rovnici ve tvaru a 1 x 1 + a 2 x 2 +... + a n x n = b, (1) kde koeficienty

Více

6. dubna *********** Přednáška ***********

6. dubna *********** Přednáška *********** KMA/MAT2 Přednáška a cvičení č. 8, Obyčejné diferenciální rovnice 2 6. dubna 2016 *********** Přednáška *********** 1 Existence a jednoznačnost řešení Cauchyovy úlohy Stále uvažujeme rovnici y = f(t, y).

Více

Matematická analýza ve Vesmíru. Jiří Bouchala

Matematická analýza ve Vesmíru. Jiří Bouchala Matematická analýza ve Vesmíru Jiří Bouchala Katedra aplikované matematiky jiri.bouchala@vsb.cz www.am.vsb.cz/bouchala - p. 1/19 typu: m x (sin x, cos x) R(x, ax +...)dx. Matematická analýza ve Vesmíru.

Více

0.1 Úvod do lineární algebry

0.1 Úvod do lineární algebry Matematika KMI/PMATE 1 01 Úvod do lineární algebry 011 Vektory Definice 011 Vektorem aritmetického prostorur n budeme rozumět uspořádanou n-tici reálných čísel x 1, x 2,, x n Definice 012 Definice sčítání

Více

Derivace funkcí více proměnných

Derivace funkcí více proměnných Derivace funkcí více proměnných Pro studenty FP TUL Martina Šimůnková 16. května 019 1. Derivace podle vektoru jako funkce vektoru. Pro pevně zvolenou funkci f : R d R n a bod a R d budeme zkoumat zobrazení,

Více

4. OBYČEJNÉ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE

4. OBYČEJNÉ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE FBI VŠB-TUO 28. března 2014 4.1. Základní pojmy Definice 4.1. Rovnice tvaru F (x, y, y, y,..., y (n) ) = 0 se nazývá obyčejná diferenciální rovnice n-tého řádu a vyjadřuje vztah mezi neznámou funkcí y

Více

12. Křivkové integrály

12. Křivkové integrály 12 Křivkové integrály Definice 121 Jednoduchou po částech hladkou křivkou v prostoru R n rozumíme množinu bodů [x 1,, x n ], které jsou dány parametrickými rovnicemi x 1 = ϕ 1 t), x 2 = ϕ 2 t), x n = ϕ

Více

Soustavy lineárních diferenciálních rovnic I. řádu s konstantními koeficienty

Soustavy lineárních diferenciálních rovnic I. řádu s konstantními koeficienty Soustavy lineárních diferenciálních rovnic I řádu s konstantními koeficienty Definice a) Soustava tvaru x = ax + a y + az + f() t y = ax + a y + az + f () t z = a x + a y + a z + f () t se nazývá soustava

Více

Diferenciální rovnice a jejich aplikace. (Brkos 2011) Diferenciální rovnice a jejich aplikace 1 / 36

Diferenciální rovnice a jejich aplikace. (Brkos 2011) Diferenciální rovnice a jejich aplikace 1 / 36 Diferenciální rovnice a jejich aplikace Zdeněk Kadeřábek (Brkos 2011) Diferenciální rovnice a jejich aplikace 1 / 36 Obsah 1 Co to je derivace? 2 Diferenciální rovnice 3 Systémy diferenciálních rovnic

Více

Necht tedy máme přirozená čísla n, k pod pojmem systém lineárních rovnic rozumíme rovnice ve tvaru

Necht tedy máme přirozená čísla n, k pod pojmem systém lineárních rovnic rozumíme rovnice ve tvaru 2. Systémy lineárních rovnic V této kapitole se budeme zabývat soustavami lineárních rovnic s koeficienty z pole reálných případně komplexních čísel. Uvádíme podmínku pro existenci řešení systému lineárních

Více

Nyní využijeme slovník Laplaceovy transformace pro derivaci a přímé hodnoty a dostaneme běžnou algebraickou rovnici. ! 2 "

Nyní využijeme slovník Laplaceovy transformace pro derivaci a přímé hodnoty a dostaneme běžnou algebraickou rovnici. ! 2 ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z MB ČÁST Příklad Nalezněte pomocí Laplaceovy transformace řešení dané Cauchyho úlohy lineární diferenciální rovnice prvního řádu s konstantními koeficienty v intervalu 0,, které vyhovuje

Více

Diferenciální rovnice

Diferenciální rovnice Diferenciální rovnice Průvodce studiem Touto kapitolou se náplň základního kurzu bakalářské matematiky uzavírá. Je tomu tak mimo jiné proto, že jsou zde souhrnně využívány poznatky získané studiem předchozích

Více

1 Mnohočleny a algebraické rovnice

1 Mnohočleny a algebraické rovnice 1 Mnohočleny a algebraické rovnice 1.1 Pojem mnohočlenu (polynomu) Připomeňme, že výrazům typu a 2 x 2 + a 1 x + a 0 říkáme kvadratický trojčlen, když a 2 0. Číslům a 0, a 1, a 2 říkáme koeficienty a písmenem

Více

i=1 Přímka a úsečka. Body, které leží na přímce procházející body a a b můžeme zapsat pomocí parametrické rovnice

i=1 Přímka a úsečka. Body, které leží na přímce procházející body a a b můžeme zapsat pomocí parametrické rovnice I. Funkce dvou a více reálných proměnných 1. Úvod Značení: V textu budeme používat označení: N pro množinu všech přirozených čísel; R pro množinu všech reálných čísel; R n pro množinu všech uspořádaných

Více

8 Limita. Derivace. 8.1 Okolí bodu. 8.2 Limita funkce

8 Limita. Derivace. 8.1 Okolí bodu. 8.2 Limita funkce 8 Limita Derivace 81 Okolí bodu Okolím bodu a nazveme otevřený interval (a r, a + r), kde a, r jsou reálná čísla Číslo r je poloměr okolí, a jeho střed Okolí bodu a lze zapsat a

Více

MATLAB a numerické metody

MATLAB a numerické metody MATLAB a numerické metod MATLAB je velmi vhodný nástroj pro numerické výpočt mnoho problémů je již vřešeno (knihovní funkce nebo Toolbo), jiné si můžeme naprogramovat sami. Budeme se zabývat některými

Více

Elementární křivky a plochy

Elementární křivky a plochy Příloha A Elementární křivky a plochy A.1 Analytický popis geometrických objektů Geometrické vlastnosti, které jsme dosud studovali, se týkaly především základních geometrických objektů bodů, přímek, rovin

Více

Petr Hasil. Prvákoviny c Petr Hasil (MUNI) Úvod do infinitezimálního počtu Prvákoviny / 57

Petr Hasil. Prvákoviny c Petr Hasil (MUNI) Úvod do infinitezimálního počtu Prvákoviny / 57 Úvod do infinitezimálního počtu Petr Hasil Prvákoviny 2015 c Petr Hasil (MUNI) Úvod do infinitezimálního počtu Prvákoviny 2015 1 / 57 Obsah 1 Úvod Funkce Reálná čísla a posloupnosti Limita a spojitost

Více

14. Monotonnost, lokální extrémy, globální extrémy a asymptoty funkce

14. Monotonnost, lokální extrémy, globální extrémy a asymptoty funkce . Monotonnost, lokální extrém, globální extrém a asmptot funkce Studijní text. Monotonnost, lokální extrém, globální extrém a asmptot funkce A. Rostoucí a klesající funkce Pojm rostoucí, klesající a konstantní

Více

f(x) = arccotg x 2 x lim f(x). Určete všechny asymptoty grafu x 2 2 =

f(x) = arccotg x 2 x lim f(x). Určete všechny asymptoty grafu x 2 2 = Řešení vzorové písemky z předmětu MAR Poznámky: Řešení úloh ze vzorové písemky jsou formulována dosti podrobně podobným způsobem jako u řešených příkladů ve skriptech U zkoušky lze jednotlivé kroky postupu

Více

Lineární algebra : Metrická geometrie

Lineární algebra : Metrická geometrie Lineární algebra : Metrická geometrie (16. přednáška) František Štampach, Karel Klouda LS 2013/2014 vytvořeno: 6. května 2014, 10:42 1 2 Úvod Zatím jsme se lineární geometrii věnovali v kapitole o lineárních

Více

Matematika (CŽV Kadaň) aneb Úvod do lineární algebry Matice a soustavy rovnic

Matematika (CŽV Kadaň) aneb Úvod do lineární algebry Matice a soustavy rovnic Přednáška třetí (a pravděpodobně i čtvrtá) aneb Úvod do lineární algebry Matice a soustavy rovnic Lineární rovnice o 2 neznámých Lineární rovnice o 2 neznámých Lineární rovnice o dvou neznámých x, y je

Více

Funkce pro studijní obory

Funkce pro studijní obory Variace 1 Funkce pro studijní obory Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je povoleno pouze s uvedením odkazu na www.jarjurek.cz. 1. Funkce Funkce je přiřazení,

Více