Numerická integrace a derivace

HTML
DOWNLOAD

Rozměr: px

Začít zobrazení ze stránky:

Download "Numerická integrace a derivace"

Zuzana Urbanová
před 6 lety
Počet zobrazení:

1 co byste měli umět po dnešní lekci: integrovat funkce různými metodami (lichoběžníkové pravidlo, Simpson,..) počítat vícenásobné integrály počítat integrály podél křivky a integrály komplexních funkcí používat funkci quad pro integraci v jedné proměnné numericky derivovat, používat filtry Golay Savitzky

2 Lichoběžníková metoda, Simpsonova metoda (1/3, 3/8) (Newton Cotesovy vzorce) Lichoběžníková metoda

3 Lichoběžníková metoda chyba integrálu function s=trapz(func,a,b,n) s=0.0; h=(b a); dh=h/n; x=a; while (x<b dh) s=s+(feval(func,x+dh)+feval(func,x))/2.0*dh; x=x+dh; end Příklad: spočtěte lichoběžníkovou metodou a porovnejte s přesnou hodnotou

4 Simpsonovo pravidlo 1/3

5 Simpsonovo pravidlo 1/3 Příklad: spočtěte Simpsonovým pravidlem 1/3 a porovnejte s přesnou hodnotou

6 Simpsonovo pravidlo 3/8 obdoba pravidla 1/3, 4 body je proložen Langrangeův polynom 4 tého řádu Newton Cotesovy vzorce

7 Rombergova integrace function s=romberg(func,a,b,n) % funkce romberg pocita integral funkce func % na intervalu <a,b> Rombergovou metodou % zadava se funkce func, interval integrace % a pocet podintervalu IN=simps13(func,a,b,N); I2N=simps13(func,a,b,2*N); s=i2n+1./3.*(i2n IN); ale to není všechno...

8 Rombergova integrace dělení intervalu integrace určíme např. lichoběžníkovým pravidlem octave a matlab: funkce quad (viz help) Gaussova kvadratura

9 Vícenásobná integrace matlab = dblquad, triplequad octave = quad2dg, quadndg Příklad: Spočtěte lichoběžníkovou metodou nebo Simpsonovým pravidlem 1/3. Úloha: Napište skript, který spočte trojrozměrný integrál. Otestuje výpočtem

10 Vícenásobná integrace Octave function z=f2d(x,y) z=x.^2 3*y.^2+x.*y.^3; function z=f2dn(x) z=x(1,:).^2 3*x(2,:).^2+x(1,:).*x(2,:).^3; quad2dg('f2d',0,4, 2,2) quadndg('f2dm',[0, 2],[4,2]) function z=f3dn(x) z=x(1,:).^3 2*x(2,:).*x(3,:); quadndg('f3dn',[ 1,0, 4],[3,6,4])

11 Poznámka o adaptivních algoritmech: Lichoběžníková metoda i metody založené na Simpsonových pravidlech potřebují znát počet intervalů, kterým je mj. dána i přesnost výpočtu. Většinou však dopředu nevíme kolik intervalů máme zadat, abychom daný integrál spočetli s požadovanou přesností. Adaptivní algoritmy samy určují počet dělení daného intervalu/podintervalu tak, aby bylo dosaženo požadované přesnosti (za použití rekurze). function y=asimpson(func,a,b,iter,pres,maxit) % funkce asimpson integruje funkci func % na intervalu <a,b> adaptivni Simpsonovou % metodou 1/3 % iter udava pocet iteraci, pri volani se zadava 0 % nepovinne parametry pres a maxint udavaji % presnost a maximalni pocet rekurzi h=b a; c=(a+b)/2.0; % prostredek <a,b> % integral na <a,b> simps1=h*(feval(func,a)+4.0*feval(func,c)+feval(func,b))/6.0; d=(a+c)/2.0; % polovina <a,c> e=(b+c)/2.0; % polovina <c,b> % nyni spoctu integral pres <a,c>+<c,b> a porovnam s vysledkem <a,b> simps2=h*(feval(func,a)+4.0*feval(func,d)+2.0*feval(func,c) +4.0*feval(func,e)+feval(func,b))/12.0; % uz jsem dosahl max.poctu volani? if (iter+1>maxit) y=simps2; % disp('bylo dosazeno maximalniho poctu rekurzi.'); break; % dosahl jsem pozadovane presnosti? elseif (abs(simps2 simps1)<eps) y=simps2+(simps2 simps1)/15.0; % jestlize ne, delim interval dale (rekurze) else levy_simps=asimpson(func,a,c,iter+1,pres,maxit); pravy_simps=asimpson(func,c,b,iter+1,pres,maxit); y=levy_simps+pravy_simps; end;

12 Integrace funkce podél křivky Příklad: spočtěte integrál funkce pro podél křivky Řešení:

13 Integrace komplexních funkcí integrace nezávislá na dráze

14 Numerická derivace function y=derf(func,x,dx) % funkce pocita derivaci funkce func v bode x % pomoci definice derivace (f(x+dx) f(x))/dx % y=derf(func,x,dx) % parametr dx je nepovinny, dx=1e 5 if (nargin<3) dx=1e 5;end; y=(feval(func,x+dx) feval(func,x))/dx;

15 Numerická derivace jaké zvolit h? Nevillův algoritmus (podobný Rombergově integraci)

16 Numerická derivace Příklad: určeme derivaci v bodě

17 Numerická derivace tabulkových hodnot!!!! nutno vyhladit zašuměná data!!!!

18 vyhlazení zašuměných dat lze provést několika způsoby: 1) prokládáním známé funkce a její následnou derivací 2) prokládáním obecné funkce (polynomu) a její následnou derivací 3) aproximace spline funkcí 4) aplikací šumových filtrů (FT, Golay Savitzky) Golay Savitzkého filtry

19 Golay Savitzkého filtry nutno mít ekvidistatní data v x hodnota v bodě x i je aproximována pomocí n L bodů nalevo a n R napravo od x i v bodě xi počítáme aproximační polynom M tého řádu koeficienty c n jsou řešením soustavy rovnic nahradí li se f za jednotkové vektory e n (tj. sčítáme hodnoty na m tém řádku)

20 Golay Savitzkého filtry

22 Golay Savitzkého filtry přímý výpočet derivace první derivace vyšší derivace

23 Úkol: Najděte kořen rovnice s přesností Úkol: Aproximujte funkci erf(x) metodou nejmenších čtverců funkcí f(x) pro 51 hodnot x v intervalu <0,1>. Určete koeficienty c i a vytiskněte tabulku rozdílu erf(x) f(x) pro všech 51 hodnot x.

Podobné dokumenty

Numerická matematika Písemky

Numerická matematika Písemky Bodování Každá písemka je bodována maximálně 20 body. Celkem student může získat za písemky až 40 bodů, pro udělení zápočtu musí získat minimálně 20 bodů. Písemka č. 1 Dva