II. 3. Speciální integrační metody
|
|
|
- Zdeněk Havlíček
- před 6 lety
- Počet zobrazení:
Transkript
1 48 II. Integrální počet funkcí jedné proměnné II.. Speciální integrační metody Integrály typu f ( x, r x, r x,..., r k x ), tj. integrály obsahující proměnnou x pod odmocninou, kde k N a r,..., r k jsou přirozená čísla, řešíme substitucí t n x, kde n je nejmenší společný násobek čísel r,..., r k. Pomocí této substituce převedeme původní integrál na integrál z racionální lomené funkce. Integrály typu ) f (x, r ax + b, r N, r, a, b R, řešíme substitucí t r ax + b. Pomocí této substituce převedeme původní integrál na integrál z racionální lomené funkce. Integrály typu ( ) ax + b f x, r, cx + d kde r N, r, a, b, c, d R a ad bc 0, řešíme substitucí t r ax+b. Pomocí této cx+d substituce převedeme původní integrál na integrál z racionální lomené funkce. Integrály typu ( f x, ) ax + bx + c, kde b 4ac 0, tj. kvadratický polynom nemá dvojnásobný reálný kořen, řešíme pomocí tzv. Eulerovy substituce. Existuje několik variant těchto substitucí, zde uvedeme některé z nich: i) jestliže a > 0 a kvadratický polynom má dva reálné kořeny x < x, obdržíme ax + bx + c a (x x ) x x x x a x x x x x x, což s použitím substituce t x x x x ii) jestliže a < 0 a kvadratický polynom má dva reálné kořeny x < x, obdržíme ax + bx + c a převedeme na integrál z racionální lomené funkce; (x x ) x x x x a (x x ) x x x x, což s použitím substituce t x x x x převedeme na integrál z racionální lomené funkce; iii) jestliže a > 0 a kvadratický polynom má dva reálné kořeny x < x nebo jestliže kvadratický polynom nemá reálné kořeny, můžeme použít substituci ax + bx + c ± a x ± t, přičemž volba konkrétních znamének je zcela libovolná, čímž obdržíme integrál z racionální lomené funkce; iv) jestliže c 0, můžeme zavést substituci ax + bx + c ±x t ± c, s jejíž pomocí převedeme integrál na integrál z racionální lomené funkce. Integrály typu x m (a + bx n ) p, m, n, p Q, tedy tzv. binomický integrál, řešíme jednou z následujících substitucí i) jestliže p Z, volíme substituci x t s, kde s je společný jmenovatel m a n; ii) jestliže m+ n Z, volíme substituci a + bxn t s, kde s je jmenovatel p;
2 II.. Speciální integrační metody 49 iii) jestliže m+ + p Z, volíme substituci n ax n + b t s, kde s je jmenovatel p. Integrály typu sin n x cos m x, kde m, n Z řešíme pomocí substituce i) t sin x, jestliže m je liché a n sudé nebo nula; ii) t cos x, jestliže n je liché a m sudé nebo nula; iii) t cos x nebo t sin x, jestliže m a n jsou lichá čísla; iv) jestliže m i n jsou sudá čísla, případně některé z nich nula, upravíme výraz pomocí vzorců sin x krokem i) iv). Integrály typu cos x a cos x +cos x. Dále pokračujeme dle získaného výsledku R (sin x, cos x), řešíme pomocí substituce i) jestliže R(sin x, cos x) R(sin x, cos x), volíme substituci t sin x; ii) jestliže R( sin x, cos x) R(sin x, cos x), volíme substituci t cos x; iii) jestliže R( sin x, cos x) R(sin x, cos x), volíme substituci t tg x; iv) jestliže nenastane ani jedna z předchozích možností, použijeme k řešení tzv. univerzální substituci: t tg x x arctg x a + t dt. Potom z obrázku t x + t získáme identity sin x t + t a cos x + t sin x t + t a cos x t + t.
3 40 II. Integrální počet funkcí jedné proměnné (6) Pomocí vhodné substituce vypočtěte x + x + x +. x x + x + x + t x t 4 x t dt + t + t + t ( t t + t + ) ( t 4 dt t + x x + x + ln x + + C. t 4 + t + t dt t + 4 t + t + ln t + dt ) + C
4 II.. Speciální integrační metody 4 (64) Pomocí vhodné substituce vypočtěte + x x x + 6 x 5. + x x x + 6 t 6 x + t x 5 6t 5 dt t t 6t 5 + t dt 6 dt t 6 + t 5 t + ( 6 t t + ) ( ) t dt 6 t + t + t ln t + + C x 6 x + 6 x 6 ln 6 x + + C.
5 4 II. Integrální počet funkcí jedné proměnné (65) Pomocí vhodné substituce vypočtěte x + + x +. x + + t x + t + t(t + ) x + t dt t dt t t dt ( t + + ) ( ) t dt + t + ln t + C t x x ln x + + C.
6 II.. Speciální integrační metody 4 (66) Pomocí vhodné substituce vypočtěte x + x x. x + x x 4t t x+ x x +t t 4t (t ) dt t t + t 4t (t ) dt ( (t + )(t ) dt t + t + t + ln t + ln t + arctg t + C x + ln x + ln x + x + arctg ln x + x + x arctg x + C. ) dt x + x + C
7 44 II. Integrální počet funkcí jedné proměnné (67) Pomocí vhodné substituce vypočtěte x( x + 5 x ). x( x + 5 t 0 x x ) 0t 9 dt ( 0 t t + t t + 4 t 5 t + 0 0t 9 dt 0 t 0 (t 5 + t 4 ) ) dt ) + C ( ln t + t t + t ln t + 4t4 x ln ( 0 + x + ) x x 0 x 5 5 x + C. dt t 6 + t 5
8 II.. Speciální integrační metody 45 (68) Pomocí vhodné substituce vypočtěte x +. x + t x + x + x t x + t dt (t 4 + t ) dt ( t 5 ( ) (x + ) x t + t t t + dt t dt ) ( ) 5 + t + C t t C + C (x + ) x C.
9 46 II. Integrální počet funkcí jedné proměnné (69) Pomocí vhodné substituce vypočtěte x + + x +. x + + x + t 6 x + t 6t 5 dt + t 6t5 dt ( 6 t 6 + t 4 + t t t + + t ) dt + t 6t t t4 4 6t 6t + 6t + 6 ( t + t + t ) dt 6t t5 5 + t4 t t + 6t + ln + t 6 arctg t + C 6 6 (x + ) (x + )5 + (x + ) x + x x + + ln + x + 6 arctg 6 x + + C.
10 II.. Speciální integrační metody 47 (70) Pomocí vhodné substituce vypočtěte + x. x x t +x + x x x x t x t (t ) dt t dt t + C (t ) t t (t ) dt ( ) + x + C. x
11 48 II. Integrální počet funkcí jedné proměnné (7) Pomocí vhodné substituce vypočtěte (x + ) x + 4. (x + ) t x + x + 4 t dt ( 5(t + ) (t 4) x + 5 ln x + + t t t 4 dt ) dt t 48 ln t C. 5 ln x + 4 ln t 4 + C
12 II.. Speciální integrační metody 49 (7) Pomocí vhodné substituce vypočtěte x + x. x + x x + x + x x + x + x t x t dt t ( + t) t t t dt dt + t + t ( ) t Př. (45) t dt + t t t t + arcsin t dt + t t sin u t + arcsin t + sin u du t t + arcsin t ( sin u) du t sin u arcsin t u dt du t t t + arcsin t u cos u + C t t + arcsin t u sin u + C x x + arcsin x arcsin x x + C ( x ) x arcsin x + C.
13 40 II. Integrální počet funkcí jedné proměnné (7) Pomocí vhodné substituce vypočtěte x + x x + + x. x + x x + + x t t t + t t ( t t ( ( u u + u u + u u du u ln u + C 6 t x + t x t dt t t t ) t t t t t t t t ) ( u u + u ( 4 u u t t t + t t dt dt )) du ) du dt u t t u + u t du t t t ( ) 4 t t ln t t + C ( x ) 4 x + ln x x + + C 6 ( (x ) 4 (x ) / (x + ) / + 6 (x ) (x + ) 6 ) 4 (x ) / (x + ) / + (x + ) ln x x + + C ( x x + 4 (x ) / (x + ) / + 6 ( x ) 6 ) 4 (x ) / (x + ) / + x + x + ln x x + + C x x x ln x x C.
14 II.. Speciální integrační metody 4 (74) Pomocí vhodné substituce vypočtěte + x + x +. + polynom x + x + má reálné kořeny, x + x + t x x+ x t 6t t + (t + (x + ) x + +) t + + t dt t + x x+ 6t dt (t +) 6t t + t dt 6 (t + ) t + t + (t + )(t + t + ) dt ( t t + 4 ) 5 5 t + dt t 5 ln ( arctg t ) ln t C ln x x ln x x arctg x x + + C.
15 4 II. Integrální počet funkcí jedné proměnné (75) Pomocí vhodné substituce vypočtěte (x ) x + x +. polynom x + x + nemá reálné kořeny x + x + x + t (x ) x t t x + x + x t +t t x + t t t+ t (t t+) dt (t ) (t t+) ( (t ) dt t +t t t+ t + t dt t + + ) t + dt t t t ln t ln + ln x + x + x + + x x + x C.
16 II.. Speciální integrační metody 4 (76) Pomocí vhodné substituce vypočtěte x + x x +. x + x x + (t t+) (t ) polynom x x + nemá reálné kořeny x x + t x x t t (t t+) dt (t ) t t + dt t + t t t t ( t t + (t ) t(t ) dt ) u t dt ln t + du dt u ln t ln t ln t ln u (t ) + C ln x + x x + x ln + x x + ( u + ) du u 4x + x x + + C.
17 44 II. Integrální počet funkcí jedné proměnné (77) Pomocí vhodné substituce vypočtěte (x + 4) x + x 4. (x + 4) polynom x + x 4 má reálné kořeny, 4 x + x 4 (x + 4) x + 4 x x+4 t x x+4 x 4t + t x t 0t dt ( t ) 0t ( t ) ( 5 t ) 5 t t dt t 5 t dt 5 sgn ( t ) dt 5 sgn ( t ) t + C 5 sgn (x + 4) x x C 5 x x + x 4 + C.
18 II.. Speciální integrační metody 45 (78) Pomocí vhodné substituce vypočtěte x x + x +. x x + x + polynom x + x + má reálné kořeny, x x+ x + x+ t(t ) t ( t ) t t x+ x+ x t t x + t t dt ( t ) t t t ( t ) t t dt dt sgn ( t ) 4t ( t ) dt sgn ( t ) ( (t ) + (t + ) (t + ) + (t ) sgn ( t ) ( (t ) (t + ) ln t + + ln t sgn ( t ) ( t t ) ln t + t + C sgn ( t ) t t sgn ( t ) t + ln + C t x + sgn (x + ) x + x + sgn (x + ) x + x + x + sgn (x + ) ln x + x + sgn (x + ) ln x + sgn ( t ) ln x + sgn ( t ) ln x+ (t + ) t + C t + t + C ) dt ) + C + x+ + C x+ ( ) x + + x + x + + C x + ( ) x + x + sgn (x + ) ln x + + x + + C.
19 46 II. Integrální počet funkcí jedné proměnné (79) Pomocí vhodné substituce vypočtěte x + x + x. x + x + x polynom x + x má reálné kořeny ± 5 x + x x + t (t t ) (t + t + t + )( t) dt x t + t x + t (t t ) t (t t ) dt ( t) ( t + ( ) t ) dt t ln t + ln t + C x + x x ln x + x x + ln x + x x + C.
20 II.. Speciální integrační metody 47 (80) Pomocí vhodné substituce vypočtěte 4x + 6x 5. 4x + 6x 5 polynom x + x má reálné kořeny 5 a x + 4x 5 4 t 5 x x x 5+t t + x ( 5 x) ( ) x ( ) x 5 x x 5 x dt arctg t + C arctg t + x + C. t + t (t +) dt t (t +) t + t dt
21 48 II. Integrální počet funkcí jedné proměnné (8) Pomocí vhodné substituce vypočtěte x(7 + 5x 4 ). Jde o binomický integrál. x(7 + 5x 4 ) p Z x t, t dt t(7 + 5t ) t dt t ( t + 5t 4 ) dt 49t + 70t 5 + 5t 7 dt t4 56 ( t + 50t 4 ) + C 56 x x( x x 8 ) + C.
22 II.. Speciální integrační metody 49 (8) Pomocí vhodné substituce vypočtěte ( + 5x) 4. x Jde o binomický integrál. ( + 5x) 4 x 4 ( + 5x) p Z x t 4, 4t dt x t ( + 5t 4 ) 4t dt 4 ( + 5t 4 ) dt ( t t 8 + 5t ) ( dt 4 8t + t t9 + 5 ) t + C x( + 468x + 650x + 75x ) + C.
23 440 II. Integrální počet funkcí jedné proměnné (8) Pomocí vhodné substituce vypočtěte x x. Jde o binomický integrál. x p m+ Z, 4 Z n x x t, x t, t dt, x x 4t dt ( ) t ( t 4 ) t dt 4 ( t ) t dt 4 4 8t t 4 + 6t 6 t 8 dt 4 ( t 5 t t4 ) 9 t6 + C 4 [ 8 ( x) 8 5 ( x) ( x) ] 9 ( x) + C.
24 II.. Speciální integrační metody 44 (84) Pomocí vhodné substituce vypočtěte + 4 x. x Jde o binomický integrál. + 4 x x ( + x 4 ) x (t ) tt (t ) dt ( ) t 7 7 t4 + C ( + x 4 4 ) 4 p m+ Z, Z n + x 4 t, x (t ) 4, 4(t ) t dt t (t ) dt t 6 t dt ( ) + x 4 + C
25 44 II. Integrální počet funkcí jedné proměnné (85) Pomocí vhodné substituce vypočtěte x ( ) x 7 7. Jde o binomický integrál. x ( ) x 7 7 x ( ) + x 7 7 p m+ Z, Z 7 n + x t 7, x 9(t 7 + ), 7 4(t 7 + ) t 6 dt (t 7 + ) t 4(t 7 + ) t 6 dt ( ) 6 t 8 dt 4t 9 + C 4 x C.
26 II.. Speciální integrační metody 44 (86) Pomocí vhodné substituce vypočtěte 4. + x 4 Jde o binomický integrál. 4 + x 4 ( + x 4 ) 4 p 4 Z, m+ n 4 Z, m+ n + p Z x 4 + t 4, x (t 4 ) 4, + x 4 t 4 x 4 t 4 (t 4 ), 4 (t4 ) 5 4 4t dt ) t (t 4 ) 4 (t 4 ) 5 4 4t dt ( 4 t ( (t )(t + )(t + ) dt 4 (ln t ln t + + arctg t) + C 4 t t 4 dt ) t 4 t + + dt t + 4[ ln( 4 x 4 + ) ln( 4 x ) + arctg( 4 x 4 + ) ] + C.
27 444 II. Integrální počet funkcí jedné proměnné (87) Pomocí vhodné substituce převeďte binomický integrál na integrál z racionální lomené funkce. x + x. x x( + x + x) p Z, m+ n Z, m+ n + p Z x + t, x (t ), + x t x t (t ), t(t ) dt (t ) t(t ) ( t)(t ) dt t (t ) dt.
28 II.. Speciální integrační metody 445 (88) Pomocí vhodné substituce převeďte binomický integrál na integrál z racionální lomené funkce. x 8 7x. x 8 7x p Z, m+ n Z, m+ n + p Z 8x 7 t, x (t + 7), 8 7x t x t 8(t + 7), t (t + 7) 4 dt (t + 7) t(t + 7) ( )t (t + 7) 4 dt 8 t (t + 7) dt.
29 446 II. Integrální počet funkcí jedné proměnné (89) Pomocí vhodné substituce vypočtěte cos 5 x sin x. ( cos 5 x sin x sin x ) cos x sin t sin x x dt cos x ( ) t (t t dt t 4 + t 6) dt t t5 5 + t7 7 + C sin x sin5 x 5 + sin7 x 7 + C.
30 II.. Speciální integrační metody 447 (90) Pomocí vhodné substituce vypočtěte cos 5 x sin 4 x. ( cos 5 x sin 4 x sin x ) cos x sin 4 t sin x x dt cos x ( ) t (t t 4 dt 4 t 6 + t 8) dt t5 5 t7 7 + t9 9 + C sin5 x 5 sin7 x 7 + sin9 x 9 + C.
31 448 II. Integrální počet funkcí jedné proměnné (9) Pomocí vhodné substituce vypočtěte sin x. sin x sin x sin x t cos x dt sin x dt t dt t ( ) t dt t + ln t ln t + + C ln cos x ln cos x + + C ln cos x cos x + + C ln sin x cos x + C ln tg x + C ln tg x + C.
32 II.. Speciální integrační metody 449 (9) Pomocí vhodné substituce vypočtěte sin x + 4 cos x + sin x. sin x + 4 cos x + sin x t cos x dt sin x t ( dt 5 t + 4 t + 4 cos x 5 cos x arctg + C. t + 4t + t dt ) dt t 5 arctg t + C
33 450 II. Integrální počet funkcí jedné proměnné (9) Pomocí vhodné substituce vypočtěte + sin x. t tg x sin x + sin t x +t dt +t t arctg + C +t dt + t +t ( ) arctg tg x + C. + t dt t + dt
34 II.. Speciální integrační metody 45 (94) Pomocí vhodné substituce vypočtěte sin 4 x cos 4 x. sin 4 x cos 4 x t tg x +t dt ( t + t + tg x t 4 (+t ) (+t ) + t dt ) dt t t + arctg t + C tg x + arctg (tg x) + C tg x t 4 + t dt tg x + x + C.
35 45 II. Integrální počet funkcí jedné proměnné (95) Pomocí vhodné substituce vypočtěte sin x sin x 5 t tg x sin x dt t + t + 5 t +t +t dt ( t + 4 dt t + t dt +t ) arctg t arctg 4t + + C 5 arctg 4 tg x + + C t + t dt + C
36 II.. Speciální integrační metody 45 (96) Pomocí vhodné substituce vypočtěte cos x. t tg x cos x +t dt arctg t + C +t t dt +t arctg ( tg x t + dt ) + C. dt t +
37 454 II. Integrální počet funkcí jedné proměnné (97) Pomocí vhodné substituce vypočtěte sin x + cos x. sin x + cos x t cos x dt sin x dt + t ln + t + C ln + cos x + C.
38 II.. Speciální integrační metody 455 (98) Pomocí vhodné substituce vypočtěte cos x sin x. cos x sin x t sin x t dt cos x t dt ( + t + ) dt t t + t + ln t + C sin x + sin x + ln sin x + C.
39 456 II. Integrální počet funkcí jedné proměnné (99) Pomocí vhodné substituce vypočtěte sin x sin x cos x. sin x sin x cos x tg x tg x t tg x +t dt ( ) t (t )(t + ) dt t + t dt t + ln t + ( ) t t + dt + dt t + ln t 4 ln t + + arctg t + C ln tg x 4 ln tg x + + x + C. t t + t dt
40 II.. Speciální integrační metody 457 (400) Pomocí vhodné substituce vypočtěte sin x + cos x. sin x + cos x t tg x t +t dt +t + t + t dt +t + t t + t + t + t dt t t + + t 4 ( + t )(t + ) dt t + dt t + t dt t t + dt + 4 dt t + t + t dt t t + dt + 4 dt t ( ) t + t dt + ln t arctg t ln + t + C ln tg x tg + ln x arctg tg x + C.
41 458 II. Integrální počet funkcí jedné proměnné (40) Pomocí vhodné substituce vypočtěte sin x. Tento příklad je jedním z mála příkladů, které lze řešit jiným způsobem než univerzální substitucí t tg x, ale právě využití této substituce je nejvýhodnější. (Porovnejte s Příkladem 9.) sin x t tg x +t dt + t t + t dt t dt ln t + C ln tg x + C.
42 II.. Speciální integrační metody 459 (40) Pomocí vhodné substituce vypočtěte + sin x. Tento příklad je možné řešit substitucí t x a následně substitucí z tg t. Výhodnější je ale následující způsob. + sin x + sin x cos x t tg x +t dt + t + t dt ( + t) dt t + + C tg x + + C. +t +t
43 460 II. Integrální počet funkcí jedné proměnné (40) Pomocí vhodné substituce vypočtěte + sin x. + sin x t tg x +t dt + t + t dt t + t + dt dt (t + +t ) + 4 t + y dt dy 4 (y + ) dy arctg y + C t + arctg + C arctg tg x + + C.
44 II.. Speciální integrační metody 46 (404) Pomocí vhodné substituce převeďte daný integrál na integrál racionální lomené funkce. sin x sin x + cos x. sin x sin x + cos x t +t + t t + t dt sin x + cotg x t tg x +t dt 4t ( + t ) ( + t t ) dt 4t ( + t ) (t + 5)(t 5) dt. Poznámka. Po rozkladu na parciální zlomky, integraci racionálních lomených funkcí a vrácení substituce vyjde [ ] arctgh 5 ( tg x ) 5 tg x tg x + + C 5 cos x 5 sin x arctgh [ ] 5 (sin x + cos x ) + C. 5 sin x
Integrální počet - II. část (další integrační postupy pro některé typy funkcí)
Integrální počet - II. část (další integrační postupy pro některé typy funkcí) Michal Fusek Ústav matematiky FEKT VUT, fusekmi@feec.vutbr.cz 7. přednáška z AMA1 Michal Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) 1 /
Matematická analýza ve Vesmíru. Jiří Bouchala
Matematická analýza ve Vesmíru Jiří Bouchala Katedra aplikované matematiky jiri.bouchala@vsb.cz www.am.vsb.cz/bouchala - p. 1/19 typu: m x (sin x, cos x) R(x, ax +...)dx. Matematická analýza ve Vesmíru.
Obsah. Aplikovaná matematika I. Gottfried Wilhelm Leibniz. Základní vlastnosti a vzorce
Neurčitý integrál Aplikovaná matematika I Dana Říhová Mendelu Brno Obsah Primitivní funkce, neurčitý integrál Základní vlastnosti a vzorce Základní integrační metody Úpravy integrandu Integrace racionálních
Kapitola 7: Neurčitý integrál. 1/14
Kapitola 7: Neurčitý integrál. 1/14 Neurčitý integrál 2/14 Definice: Necht f je funkce definovaná na intervalu I. Funkci F definovanou na intervalu I, pro kterou platí F (x) = f (x) x I nazýváme primitivní
arcsin x 2 dx. x dx 4 x 2 ln 2 x + 24 x ln 2 x + 9x dx.
Neurčitý integrál arcsin. Integrál najdeme integrací per partes. Pomocí této metody dostaneme arcsin = arcsin 4 = arcsin + 4 + C, (,. ln + 4 ln + 9. Tento integrál lze převést substitucí ln = y na integrál
Petr Hasil. Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF)
Neurčitý integrál Petr Hasil Přednáška z matematiky Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipĺıny společného základu
Kapitola 7: Integrál. 1/17
Kapitola 7: Integrál. 1/17 Neurčitý integrál - Motivační příklad 2/17 Příklad: Necht se bod pohybuje po přímce rychlostí a) v(t) = 3 [m/s] (rovnoměrný přímočarý pohyb), b) v(t) = 2t [m/s] (rovnoměrně zrychlený
SPECIÁLNÍCH PRIMITIVNÍCH FUNKCÍ INTEGRACE RACIONÁLNÍCH FUNKCÍ
VÝPOČET PEIÁLNÍH PRIMITIVNÍH FUNKÍ Obecně nelze zadat algoritmus, který by vždy vedl k výpočtu primitivní funkce. Nicméně eistují jisté třídy funkcí, pro které eistuje algoritmus, který vždy vede k výpočtu
F (x) = f(x). Je-li funkce f spojitá na intervalu I, pak existuje k funkci f primitivní funkce na intervalu I.
KAPITOLA 7: 7. Úvod Primitivní funkce [MA-6:P7.] Definice: Funkce F je primitivní funkcí k funkci f na intervalu I, jestliže pro každé I eistuje F a platí F f. Poznámky: Obsahuje-li I některý z krajních
SPECIÁLNÍCH PRIMITIVNÍCH FUNKCÍ
VÝPOČET PECIÁLNÍCH PRIMITIVNÍCH FUNKCÍ Obecně nelze zadat algoritmus, který by vždy vedl k výpočtu primitivní funkce. Pro různé situace se hodí různé metody (výpočtu!). Jak již bylo několikrát zdůrazněno,
Kapitola 7: Integrál.
Kapitola 7: Integrál. Neurčitý integrál. Definice: Necht f je funkce definovaná na intervalu I. Funkci F definovanou na intervalu I, pro kterou platí F (x) = f(x) x I nazýváme primitivní funkcí k funkci
7.1 Úvod. Definice: [MA1-18:P7.1a]
![7.1 Úvod. Definice: [MA1-18:P7.1a]](/thumbs/93/112780546.jpg "7.1 Úvod. Definice: [MA1-18:P7.1a]")
KAPITOLA 7: 7. Úvod Primitivní funkce [MA-8:P7.a] Definice: Funkce F je primitivní funkcí k funkci f na intervalu I, jestliže pro každé I eistuje F a platí F f. Poznámky: Obsahuje-li I některý z krajních
Matematická analýza 1b. 9. Primitivní funkce
Matematická analýza 1b 9. Primitivní funkce 9.1 Základní vlastnosti Definice Necht funkce f je definována na neprázdném otevřeném intervalu I. Řekneme, že funkce F je primitivní funkce k f na I, jestliže
1 1 x 2. Jedná se o diferenciální rovnici se separovanými proměnnými, která má smysl pro x ±1 a
. Řešené úlohy Příklad. (separace proměnných). Řešte počáteční úlohu y 2 + yy ( 2 ) = 0, y(0) = 2. Řešení. Rovnici přepíšeme do tvaru y 2 = yy ( 2 ) y = y2 y 2. Jedná se o diferenciální rovnici se separovanými
Diferenciální počet 1 1. f(x) = ln arcsin 1 + x 1 x. 1 x 1 a x 1 0. f(x) = (cos x) cosh x + 3x. x 0 je derivace funkce f(x) v bodě x0.
Nalezněte definiční obor funkce Diferenciální počet f = ln arcsin + Definiční obor funkce f je určen vztahy Z těchto nerovností plyne < + ln arcsin + je tedy D f =, Určete definiční obor funkce arcsin
Vzdělávací materiál. vytvořený v projektu OP VK CZ.1.07/1.5.00/34.0211. Anotace. Integrální počet VY_32_INOVACE_M0308. Matematika
Vzdělávací materiál vytvořený v projektu OP VK Název školy: Gymnázium, Zábřeh, náměstí Osvobození 0 Číslo projektu: Název projektu: Číslo a název klíčové aktivity: CZ..07/.5.00/3.0 Zlepšení podmínek pro
c ÚM FSI VUT v Brně 20. srpna 2007
20. srpna 2007 1. 3 arctg x 1+x 2 dx 2. (x 2 + 2x + 17)e x dx 3. 1 x 3 x dx Vypočtěte integrál: 3 arctg x 1 + x 2 dx Příklad 1. Řešení: Použijeme substituci: arctg x = t 3 arctg x dx = 1 dx = dt 1+x 2
Příklad 1. Řešení 1a Máme vyšetřit lichost či sudost funkce ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z M1A ČÁST 3
Příklad 1 Zjistěte, zda jsou dané funkce sudé nebo liché, případně ani sudé ani liché: a) =ln b) = c) = d) =4 +1 e) =sin cos f) =sin3+ cos+ Poznámka Všechny tyto úlohy řešíme tak, že argument funkce nahradíme
Matematika pro všechny
Projekt OPVK - CZ.1.07/1.1.00/.007 Matematika pro všechny Univerzita Palackého v Olomouci Tematický okruh: Závislosti a funkční vztahy Gradovaný řetězec úloh Téma: Goniometrické rovnice Autor: Ondráčková
x 2 +1 x 3 3x 2 4x = x 2 +3
I. Určitý integrál I.. Eistence určitých integrálů Zjistěte, zda eistují určité integrály : Příklad. + + d Řešení : Ano eistuje, protože funkce f() + + je spojitá na intervalu,. Příklad. + 4 d Řešení :
Integrální počet - I. část (neurčitý integrál a základní integrační metody)
Integrální počet - I. část (neurčitý integrál a základní integrační metody) Michal Fusek Ústav matematiky FEKT VUT, fusekmi@feec.vutbr.cz 6. přednáška z AMA Michal Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) / 23 Obsah
Diferenciální rovnice separace proměnných verze 1.1
Úvod Diferenciální rovnice separace proměnných verze. Následující tet popisuje řešení diferenciálních rovnic, konkrétně metodu separace proměnných. Měl by sloužit především studentům předmětu MATEMAT na
y = 1 x (y2 y), dy dx = 1 x (y2 y) dy y 2 = dx dy y 2 y y(y 4) = A y + B 5 = A(y 1) + By, tj. A = 1, B = 1. dy y 1
ODR - řešené příkla 20 5 ANALYTICKÉ A NUMERICKÉ METODY ŘEŠENÍ ODR A. Analtické meto řešení Vzorové příkla: 5.. Příklad. Řešte diferenciální rovnici = 2. Řešení: Přepišme danou rovnici na tvar = (2 ), což
Příklad 1 ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z M1A ČÁST 12. a) 3 +1)d. Vypočítejte určité integrály: b) 5sin 4 ) d. c) d. g) 3 d. h) tg d. k) 4 arctg 2 ) d.
ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z MA ČÁST Příklad Vypočítejte určité integrály: a) +)d b) 5sin) d c) d d) d e) d f) g) d d h) tgd i) d j) d k) arctg) d l) d m) sin d n) ) d o) p) q) r) s) d d ) d d d t) +d u) d v) d ŘEŠENÉ
Test M1-ZS12-2 M1-ZS12-2/1. Příklad 1 Najděte tečnu grafu funkce f x 2 x 6 3 x 2, která je kolmá na přímku p :2x y 3 0.
Test M-ZS- M-ZS-/ Příklad Najděte tečnu grafu funkce f x x 6 3 x, která je kolmá na přímku p :x y 3 0. Zřejmě D f R. Přímka p má směrnici, tečna na ní kolmá má proto směrnici. Protože směrnice tečny ke
1 Polynomiální interpolace
Polynomiální interpolace. Metoda neurčitých koeficientů Příklad.. Nalezněte polynom p co nejmenšího stupně, pro který platí p() = 0, p(2) =, p( ) = 6. Řešení. Polynom hledáme metodou neurčitých koeficientů,
Teorie. Hinty. kunck6am
kytaristka@gmail.com www.natur.cuni.cz/ kunck6am 5. cvičení Teorie Definice. Necht funkce f je definována na neprázdném otevřeném intervalu I. Řekneme, že funkce F je primitivní funkce k f na I, jestliže
Seznámíte se s pojmem primitivní funkce a neurčitý integrál funkce jedné proměnné.
INTEGRÁLNÍ POČET FUNKCÍ JEDNÉ PROMĚNNÉ NEURČITÝ INTEGRÁL NEURČITÝ INTEGRÁL Průvodce studiem V kapitole Diferenciální počet funkcí jedné proměnné jste se seznámili s derivováním funkcí Jestliže znáte derivace
Vzdělávací materiál. vytvořený v projektu OP VK CZ.1.07/1.5.00/ Anotace. Integrální počet VY_32_INOVACE_M0307. Matematika
Vzdělávací materiál vytvořený v projektu OP VK Název školy: Gymnázium, Zábřeh, náměstí Osvobození 0 Číslo projektu: Název projektu: Číslo a název klíčové aktivity: CZ..07/.5.00/34.0 Zlepšení podmínek pro
Praha & EU: investujeme do vaší budoucnosti. Daniel Turzík, Miroslava Dubcová,
E-sbírka příkladů Seminář z matematiky Evropský sociální fond Praha & EU: investujeme do vaší budoucnosti Daniel Turzík, Miroslava Dubcová, Pavla Pavlíková Obsah 1 Úpravy výrazů................................................................
Matematika vzorce. Ing. Petr Šídlo. verze
Matematika vzorce Ing. Petr Šídlo verze 0050409 Obsah Jazyk matematiky 3. Výrokový počet.......................... 3.. Logické spojky...................... 3.. Tautologie výrokového počtu...............
FAKULTA STAVEBNÍ MATEMATIKA I MODUL 7 STUDIJNÍ OPORY PRO STUDIJNÍ PROGRAMY S KOMBINOVANOU FORMOU STUDIA
VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ FAKULTA STAVEBNÍ MATEMATIKA I MODUL 7 NEURČITÝ INTEGRÁL STUDIJNÍ OPORY PRO STUDIJNÍ PROGRAMY S KOMBINOVANOU FORMOU STUDIA Typeset by L A TEX ε c Josef Daněček, Oldřich Dlouhý,
1 Neurčitý integrál 1.1 NEURČITÝ INTEGRÁL
1 Neurčitý integrál 1.1 NEURČITÝ INTEGRÁL V předchozím semestru jsme se seznámili s derivováním funkcí. Nyní se přesuneme k integrování funkce, což je vlastně zpětný proces k derivaci. Ukážeme si, jakým
FUNKCE, ZÁKLADNÍ POJMY - CVIČENÍ
MENDELOVA UNIVERZITA V BRNĚ LDF MT MATEMATIKA FUNKCE, ZÁKLADNÍ POJMY - CVIČENÍ Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipliny
Neurčitý integrál. Robert Mařík. 4. března 2012
Neurčitý integrál Robert Mařík 4. března 0 V tomto souboru jsou vysvětleny a na příkladech s postupným řešením demonstrovány základní integrační metody. Ikonka za integrálem načte integrál do online aplikace
1. Několik základních pojmů ze středoškolské matematiky. Na začátku si připomeneme následující pojmy:
Opakování středoškolské matematiky Slovo úvodem: Tato pomůcka je určena zejména těm studentům presenčního i kombinovaného studia na VŠFS, kteří na středních školách neprošli dostatečnou průpravou z matematiky
NEURČITÝ INTEGRÁL - CVIČENÍ
MENDELOVA UNIVERZITA V BRNĚ LDF MT MATEMATIKA NEURČITÝ INTEGRÁL - CVIČENÍ Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipliny
Digitální učební materiál
Digitální učební materiál Číslo projektu Z..07/..00/4.080 Název projektu Zkvalitnění výuky prostřednictvím IT Číslo a název šablony klíčové aktivity III/ Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím IT
Úvod. Integrování je inverzní proces k derivování Máme zderivovanou funkci a integrací získáme původní funkci kterou jsme derivovali
NEURČITÝ INTEGRÁL Úvod Integrování je inverzní proces k derivování Máme zderivovanou funkci a integrací získáme původní funkci kterou jsme derivovali Umět pracovat s integrálním počtem Je důležité pro
Teorie. Hinty. kunck6am
kytaristka@gmail.com www.natur.cuni.cz/ kunck6am 5. cvičení Teorie Definice. Necht funkce f je definována na neprázdném otevřeném intervalu I. Řekneme, že funkce F je primitivní funkce k f na I, jestliže
Elementární funkce. Polynomy
Elementární funkce 1 Elementární funkce Elementární funkce jsou níže uvedené funkce a jejich složenin : 1. Polnom.. Racionální funkce. 3. Mocninné funkce. 4. Eponenciální funkce. 5. Logaritmické funkce.
P ˇ REDNÁŠKA 3 FUNKCE
PŘEDNÁŠKA 3 FUNKCE 3.1 Pojem zobrazení a funkce 2 3 Uvažujme libovolné neprázdné množiny A, B. Přiřadíme-li každému prvku x A právě jeden prvek y B, dostáváme množinu F uspořádaných dvojic (x, y) A B,
Nalezněte obecné řešení diferenciální rovnice (pomocí separace proměnných) a řešení Cauchyho úlohy: =, 0 = 1 = 1. ln = +,
Příklad Nalezněte obecné řešení diferenciální rovnice (pomocí separace proměnných) a řešení Cauchyho úlohy: a) =, 0= b) =, = c) =2, = d) =2, 0= e) =, 0= f) 2 =0, = g) + =0, h) =, = 2 = i) =, 0= j) sin+cos=0,
Integrální počet funkcí jedné proměnné
Integrální počet funkcí jedné proměnné V diferenciálním počtu jsme určovali derivaci funkce jedné proměnné a pomocí ní vyšetřovali řadu vlastností této funkce. Pro připomenutí: derivace má uplatnění tam,
pouze u některých typů rovnic a v tomto textu se jím nebudeme až na
Matematika II 7.1. Zavedení diferenciálních rovnic Definice 7.1.1. Rovnice tvaru F(y (n), y (n 1),, y, y, x) = 0 se nazývá diferenciální rovnice n-tého řádu pro funkci y = y(x). Speciálně je F(y, y, x)
ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE. Matematika 0A1. Cvičení, zimní semestr. Samostatné výstupy. Jan Šafařík
Vysoké učení technické v Brně Stavební fakulta ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE Matematika 0A1 Cvičení, zimní semestr Samostatné výstupy Jan Šafařík Brno c 2003 Obsah 1. Výstup č.1 2 2. Výstup
Úvod, základní pojmy, funkce
Úvod, základní pojmy, funkce Michal Fusek Ústav matematiky FEKT VUT, fusekmi@feec.vutbr.cz 1. přednáška z ESMAT Michal Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) 1 / 69 Obsah 1 Matematická logika 2 Množiny 3 Funkce,
( ) ( ) ( ) ( ) Základní goniometrické vzorce III. Předpoklady: 4301, 4305
.. Základní goniometrické vzorce III Předpoklad 0, 0 Pedagogická poznámka Je zřejmé, že samostatně studenti všechn rovnice za jednu hodinu nevřeší. Pokud se objeví větší rozdíl mezi různými částmi tříd
1 Mnohočleny a algebraické rovnice
1 Mnohočleny a algebraické rovnice 1.1 Pojem mnohočlenu (polynomu) Připomeňme, že výrazům typu a 2 x 2 + a 1 x + a 0 říkáme kvadratický trojčlen, když a 2 0. Číslům a 0, a 1, a 2 říkáme koeficienty a písmenem
1 Integrální počet. 1.1 Neurčitý integrál. 1.2 Metody výpočtů neurčitých integrálů
Integrální počet. Neurčitý integrál Neurčitým integrálem k dané funkci f() nazýváme takovou funkci F (), pro kterou platí, že f() = F (). Neboli integrálem funkce f() je taková funkce F (), ze které bychom
Zimní semestr akademického roku 2014/ prosince 2014
Cvičení k předmětu BI-ZMA Tomáš Kalvoda Katedra aplikované matematiky FIT ČVUT Matěj Tušek Katedra matematiky FJFI ČVUT Obsah Cvičení Zimní semestr akademického roku 2014/2015 7. prosince 2014 Předmluva
Pavel Kreml Jaroslav Vlček Petr Volný Jiří Krček Jiří Poláček
VYSOKÁ ŠKOLA BÁŇSKÁ TECHNICKÁ UNIVERZITA OSTRAVA MATEMATIKA II Pavel Kreml Jaroslav Vlček Petr Volný Jiří Krček Jiří Poláček Vytvořeno v rámci projektu Operačního programu Rozvoje lidských zdrojů CZ.04..0/..5./006
Wolfram Alpha. v podobě html stránky, samotný výsledek je často doplněn o další informace (např. graf, jiné možné zobrazení výsledku a
Wolfram Alpha jde o výpočetní prostředí z nejrůznějších oborů (matematika, fyzika, chemie, inženýrství... ) přístupné online: http://www.wolframalpha.com/ Jaké matematické výpočty Wolfram Alpha zvládá?
Obecná rovnice kvadratické funkce : y = ax 2 + bx + c Pokud není uvedeno jinak, tak definičním oborem řešených funkcí je množina reálných čísel.
5. Funkce 9. ročník 5. Funkce ZOPAKUJTE SI : 8. ROČNÍK KAPITOLA. Funkce. 5.. Kvadratická funkce Obecná rovnice kvadratické funkce : y = ax + bx + c Pokud není uvedeno jinak, tak definičním oborem řešených
+ n( 1)n+1 (x 7) n, poloměr konvergence 6. 3.Poloměr konvergence je vždy +. a) f(x) = x n. (x 7) n, h(x) = 7 + 7(n+1)( 1) n. ( 1)n
VÝSLEDKY I. TAYLORŮV POLYNOM. a + b + 4 4 c + 0 d e + + 4 f + + 4 g + 70 4 h 4 4. a b c d - e log a f 0 g h i j k - 4. a 7 b 4. a AK absolutně konverguje b D diverguje c D d AK e D f AK g AK II. MOCNINNÉ
Matematika 1 pro PEF PaE
Reálné funkce 1 / 21 Matematika 1 pro PEF PaE 1. Reálné funkce Přemysl Jedlička Katedra matematiky, TF ČZU funkce Reálné funkce Základní pojmy 2 / 21 Zobrazení z množiny A do množiny B je množina f uspořádaných
4. OBYČEJNÉ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE
FBI VŠB-TUO 28. března 2014 4.1. Základní pojmy Definice 4.1. Rovnice tvaru F (x, y, y, y,..., y (n) ) = 0 se nazývá obyčejná diferenciální rovnice n-tého řádu a vyjadřuje vztah mezi neznámou funkcí y
I. TAYLORŮV POLYNOM. 2. a) x x3, b) x x3 + x5, c) 1 + 2x x2 2x 4, f (4) (0) = 48, d) x , c)
VÝSLEDKY I. TAYLORŮV POLYNOM. a) ( ) + ( ) ( 6 ), b) ( π ). a) +, b) +, c) + + 4, f (4) (0) = 48, d) + 4 4, e) + 0, f), g) ++ 6 4, h) + 70 4, i) 4 j) + 6 k) 7 8 40. + o( ), 8 4. a), b), c), d) -, e) 4
FUNKCE A JEJICH VLASTNOSTI
PŘEDNÁŠKA 3 FUNKCE A JEJICH VLASTNOSTI Pojem zobrazení a funkce Uvažujme libovolné neprázdné množiny A, B. Přiřadíme-li každému prvku x A právě jeden prvek y B, dostáváme množinu F uspořádaných dvojic
Řešení 1a Budeme provádět úpravu rozšířením směřující k odstranění odmocniny v čitateli. =lim = 0
Příklad Vypočítejte ity funkcí: a) b) c) d) Poznámka Po dosazení do všech těchto úloh dostaneme nedefinovaný výraz. Proto je třeba provést úpravy vedoucí k vykrácení a následně k výsledku. Řešení a Budeme
Vzorce pro poloviční úhel
4.. Vzorce pro poloviční úhel Předpoklady: 409 Chceme získat vzorce pro poloviční úhel vyjdeme ze vzorců pro dvojnásobný úhel: sin = sin cos, cos = cos sin. Výhodnější je vzorec cos = cos sin, obsahuje
y = 1/(x 3) - 1 x D(f) = R D(f) = R\{3} D(f) = R H(f) = ( ; 2 H(f) = R\{ 1} H(f) = R +
Funkce. Vlastnosti funkcí Funkce f proměnné R je zobrazení na množině reálných čísel (reálnému číslu je přiřazeno právě jedno reálné číslo). Z grafu poznáme, zda se jedná o funkci tak, že nenajdeme žádnou
Text může být postupně upravován a doplňován. Datum poslední úpravy najdete u odkazu na stažení souboru. Veronika Sobotíková
Tento text není samostatným studijním materiálem. Jde jen o prezentaci promítanou na přednáškách, kde k ní přidávám slovní komentář. Některé důležité části látky píšu pouze na tabuli a nejsou zde obsaženy.
Jan Kotůlek. verze 3 ze dne 25. února 2011
Integrace racionálních lomených funkcí Jan Kotůlek (kombinované studium, první soustředění) verze 3 ze dne 5. února 0 Abstrakt Tento článek je koncipován jako rozšířený zápis průběhu prvního soustředění
kuncova/, 2x + 3 (x 2)(x + 5) = A x 2 + B Přenásobením této rovnice (x 2)(x + 5) dostaneme rovnost
. cvičení http://www.karlin.mff.cuni.cz/ kuncova/, kytaristka@gmail.com Příklady Najděte primitivní funkce k následujícím funkcím na maimální možné podmnožině reálných čísel a tuto množinu určete.. f()
diferenciální rovnice verze 1.1
Diferenciální rovnice vyšších řádů, snižování řádu diferenciální rovnice verze 1.1 1 Úvod Následující text popisuje řešení diferenciálních rovnic, konkrétně diferenciálních rovnic vyšších řádů a snižování
Matematika 1 sbírka příkladů
Matematika 1 sbírka příkladů RNDr. Rudolf SCHWARZ, CSc. Brno 2012 1. Poznámka Výsledky jednotlivých příkladů mají tuto barvu. 2. Poznámka Pokud je v hranatých závorkách uvedeno písmeno, označuje, ze které
MATEMATIKA II V PŘÍKLADECH
VYSOKÁ ŠKOLA BÁŇSKÁ TECHNICKÁ UNIVERZITA OSTRAVA FAKULTA STROJNÍ MATEMATIKA II V PŘÍKLADECH CVIČENÍ Č. Ing. Petra Schreiberová, Ph.D. Ostrava 0 Ing. Petra Schreiberová, Ph.D. Vysoká škola báňská Technická
Matematika Kvadratická rovnice. Kvadratická rovnice je matematický zápis, který můžeme (za pomoci ekvivalentních úprav) upravit na tvar
Kvadratická rovnice Kvadratická rovnice je matematický zápis, který můžeme (za pomoci ekvivalentních úprav) upravit na tvar ax 2 + bx + c = 0. x neznámá; v kvadratické rovnici se vyskytuje umocněná na
4.3.8 Vzorce pro součet goniometrických funkcí. π π. π π π π. π π. π π. Předpoklady: 4306
..8 Vzorce pro součet goniometrických funkcí Předpoklady: 06 Vzorce pro součet goniometrických funkcí: sin + sin y = sin cos sin sin y = cos sin cos + cos y = cos cos cos cos y = sin sin Na první pohled
Pracovní materiál pro
Pracovní materiál pro Úvodní kurz pro FELÁKY Temešvár u Písku, září 01 Úvodem Tento text má sloužit jako přehled středoškolských znalostí a dovedností, které jsou nezbytné při studiu matematiky na vysoké
Diferenciální rovnice
Obyčejné diferenciální rovnice - studijní text pro cvičení v předmětu Matematika - 2. Studijní materiál byl připraven pracovníky katedry E. Novákovou, M. Hyánkovou a L. Průchou za podpory grantu IG ČVUT
Funkce základní pojmy a vlastnosti
Funkce základní pojm a vlastnosti Základ všší matematik LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakult MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na disciplín společného
16. Goniometrické rovnice
@198 16. Goniometrické rovnice Definice: Goniometrická rovnice je taková rovnice, ve které proměnná (neznámá) vystupuje pouze v goniometrických funkcích. Řešit goniometrické rovnice znamená nalézt všechny
MATEMATIKA 1B ÚSTAV MATEMATIKY
MATEMATIKA B Sbírka úloh Edita Kolářová ÚSTAV MATEMATIKY MATEMATIKA B Sbírka úloh Úvod Dostali jste do rukou sbírku příkladů k přednášce Matematika B - Sbírka úloh. Tato sbírka je doplněním tetu Fuchs,
(FAPPZ) Petr Gurka aktualizováno 12. října Přehled některých elementárních funkcí
1. Reálná funkce reálné proměnné, derivování (FAPPZ) Petr Gurka aktualizováno 12. října 2011 Obsah 1 Přehled některých elementárních funkcí 1 1.1 Polynomické funkce.......................... 1 1.2 Racionální
MENDELOVA UNIVERZITA V BRNĚ LDF MT MATEMATIKA NEURČITÝ INTEGRÁL
MENDELOVA UNIVERZITA V BRNĚ LDF MT MATEMATIKA NEURČITÝ INTEGRÁL Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipliny společného
Funkce základní pojmy a vlastnosti
Funkce základní pojm a vlastnosti Základ všší matematik LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakult MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipĺın společného
Metody výpočtu limit funkcí a posloupností
Metody výpočtu limit funkcí a posloupností Martina Šimůnková, 6. listopadu 205 Učební tet k předmětu Matematická analýza pro studenty FP TUL Značení a terminologie R značí množinu reálných čísel, rozšířenou
9.3. Úplná lineární rovnice s konstantními koeficienty
Úplná lineární rovnice s konstantními koeficienty Cíle Nyní přejdeme k řešení úplné lineární rovnice druhého řádu. I v tomto případě si nejprve ujasníme, v jakém tvaru můžeme očekávat řešení, poté se zaměříme
Seznámíte se s principem integrace metodou per partes a se základními typy integrálů, které lze touto metodou vypočítat.
.. Integrace metodou per partes.. Integrace metodou per partes Průvodce studiem V předcházející kapitole jsme poznali, že integrování součtu funkcí lze provést jednoduše, známe-li integrály jednotlivých
Limita funkce. FIT ČVUT v Praze. (FIT) Limita funkce 3.týden 1 / 39
Limita funkce FIT ČVUT v Praze 3.týden (FIT) Limita funkce 3.týden 1 / 39 Definice funkce. Zobrazení (f, D f ), jehož definiční obor D f i obor hodnot H f je podmnožinou množiny reálných čísel, se nazývá
Matematika II: Pracovní listy do cvičení
Matematika II: Pracovní listy do cvičení Radomír Paláček, Petra Schreiberová, Petr Volný Katedra matematiky a deskriptivní geometrie VŠB - Technická univerzita Ostrava Příklady Integrální počet funkcí
Matematická analýza 1, příklady na procvičení (Josef Tkadlec, )
Matematická analýza, příklady na procvičení (Josef Tkadlec, 6.. 7) Reálná čísla. Určete maximum, minimum, supremum a infimum následujících množin: Z; b) M = (, ), 5 ; c) M =, Q; d) M = { + n : n N}; e)
KFC/SEM, KFC/SEMA Elementární funkce
Elementární funkce Požadované dovednosti: lineární funkce kvadratická funkce mocniná funkce funkce s asolutní hodnotou lineárně lomená funkce exponenciální a logaritmická funkce transformace grafu Lineární
Goniometrické a hyperbolické funkce
Kapitola 5 Goniometrické a hyperbolické funkce V této kapitole budou uvedeny základní poznatky týkající se goniometrických funkcí - sinus, kosinus, tangens, kotangens a hyperbolických funkcí - sinus hyperbolický,
KOMPLEXNÍ ČÍSLA INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ
KOMPLEXNÍ ČÍSLA Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu INVESTICE
ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE. Matematika I/2 BA07. Cvičení, zimní semestr
Vysoké učení technické v Brně Stavební fakulta ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE Matematika I/ BA07 Cvičení, zimní semestr DOMÁCÍ ÚLOHY Jan Šafařík Brno c 0 () Integrace užitím základních vzorců.
4.1 Řešení základních typů diferenciálních rovnic 1.řádu
4. Řešení základních tpů diferenciálních rovnic.řádu 4..4 Určete řešení z() Cauchov úloh pro rovnici + = 0 vhovující počáteční podmínce z =. Po separaci proměnných v rovnici dostaneme rovnici = d a po
Obecnou definici vynecháme. Jednoduše řečeno: složenou funkci dostaneme, když dosadíme za argument funkci g. Potom y f g
Složená funkce Obecnou definici vynecháme Jednoduše řečeno: složenou funkci dostaneme, když do funkce y f dosadíme za argument funkci g Potom y f g Funkce f je vnější složka, funkce g vnitřní složka Pochopitelně
Bakalářská matematika I
1. Funkce Diferenciální počet Mgr. Jaroslav Drobek, Ph. D. Katedra matematiky a deskriptivní geometrie Bakalářská matematika I Některé užitečné pojmy Kartézský součin podrobnosti Definice 1.1 Nechť A,
1. Písemka skupina A...
. Písemka skupina A.... jméno a příjmení Načrtněte grafy funkcí (v grafu označte všechny průsečíky funkce s osami a asymptoty). y y sin 4 y y arccos ) Určete, jestli je funkce y ln prostá? ) Je funkce
Limita ve vlastním bodě
Výpočty it Definice (a případné věty) jsou z knihy [] příklady z [] [] a []. Počítám u zkoušky dvacátou itu hlavu mám dávno už do čista vymytu papír se značkami skvěje z čela mi pot v proudech leje než
Limita a spojitost funkce
Limita a spojitost funkce Základ všší matematik Dana Říhová Mendelu Brno Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakult MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na disciplin společného základu
Obsah Obyčejné diferenciální rovnice
Obsah 1 Obyčejné diferenciální rovnice 3 1.1 Základní pojmy............................................ 3 1.2 Obyčejné diferenciální rovnice 1. řádu................................ 5 1.3 Exaktní rovnice............................................
4.3.1 Goniometrické rovnice
.. Goniometrické rovnice Předpoklady: 6, 7 Názvosloví: Goniometrické rovnice: rovnice, ve kterých se neznámá objevuje uvnitř goniometrických funkcí. g x = a, kde Základní goniometrická rovnice: každá rovnice
ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE. Matematika I/1 BA06. Cvičení, zimní semestr
Vysoké učení technické v Brně Stavební fakulta ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE Matematika I/1 BA06 Cvičení, zimní semestr DOMÁCÍ ÚLOHY Jan Šafařík Brno c 2014 1 (1) Určete rovnici kručnice o
Algebraické výrazy-ii
Algebraické výrazy-ii Jednou ze základních úprav mnohočlenů je jejich rozklad na součin mnohočlenů nižšího stupně. Ne všechny mnohočleny lze na součin rozložit. Pro provedení rozkladu můžeme použít: 1.
26. listopadu a 10.prosince 2016
Integrální počet Přednášk 4 5 26. listopdu 10.prosince 2016 Obsh 1 Neurčitý integrál Tbulkové integrály Substituční metod Metod per-prtes 2 Určitý integrál Geometrické plikce Fyzikální plikce K čemu integrální
15. KubickÈ rovnice a rovnice vyööìho stupnï
15. KubickÈ rovnice a rovnice vyööìho stupnï Čas od času je možné slyšet v pořadech o počasí jména jako Andrew, Mitch, El Ňiňo. otom následuje zpráva o katastrofálních vichřicích, uragánech a jiných mimořádných