8.1.3 Rekurentní zadání posloupnosti I

Transkript

1 8.. Rekuretí zadáí poslouposti I Předpoklady: 80, 80 Pedagogická pozámka: Podle mých zkušeostí je pro studety pochopitelější zavádět rekuretí posloupost takto (sado kotrolovatelou ukázkou), ež dosazováím do rekuretího vzorce, jak je to uděláo v učebici a = a = : a = a ). ( + + Př. : apiš prvích pět čleů poslouposti ( 6 ) = poslouposti ež pomocí vzorce pro -tý čle.. Zkus ajít jié vyjádřeí Prvích pět čleů (dosazujeme do vzorce za ) ;;0; ; ;.... Jié vyjádřeí: Využijeme fakt, že každý čle poslouposti je o dva meší ež čle předchozí prví čle poslouposti je a každý další čle je o dva meší ež čle před ím. Pedagogická pozámka: Když příklad kotrolujeme, část žáků diktuje pouze vztah mezi čley a zapomíá a hodotu prvího. Stačí se zeptat zda vztah mezi čley určuje posloupost jedozačě a je jaso. Zkráceě píšeme: a = ; a+ = a ; : = prví čle je, = a každý další čle je o dva meší ež čle před ím, + jde o ekoečou posloupost, za dosazujeme všecha přirozeá čísla. Teto způsob zadáí poslouposti pomocí předchozího čleu se azývá rekuretí zadáí poslouposti (od latiského recurrere = vrátit se, jít zpět). Dodatek: Fukce rekuretě zadávat emůžeme, protože u ich eexistuje předchozí čle. Pedagogická pozámka: U ěkterých studetů se objevují velké potíže s pochopeím pricipu rekuretího zadáí. Vycházejí ze dvou zdrojů: studeti erozlišují hodoty poslouposti a a hodoty idexu, ebo si edokáží představit, jak za dosazujeme pro každý čle růzé kokrétí hodoty. Zřejmě mají špatou už základí představu o proměé, protože se stále saží představovat si pod jedu kokrétí hodotu a evidí, že vzorec a = a + ; : ám umožňuje postavit se a libovolé místo v poslouposti, eobsahuje iformaci o kokrétích hodotách, ale o tom, jak spolu sousedí hodoty souvisí.

2 Př. : apiš prvích sedm čleů rekuretě zadaých posloupostí: a = ; a+ = a + ; b) a = ; a+ = ( ) a ; c) a = ; a+ = a a; d) a = ; a+ = a + ; e) a = ; a = a + ; + + a = ; a = a + ; Prví čle je a každý čle je o dva větší ež čle předchozí: ;5;7;9;;;5;... b) a = ; a+ = ( ) a ; Prví čle je a = ( ) a = ( ) = a ; ; ;; ;8; 6;.... a každý čle je ásobek předchozího čleu: = = =, a c) a = ; a+ = a a; Prví čle je a každý další čle spočítáme tak, že od druhé mociy předchozí hodoty odečteme dvojásobek předchozí hodoty: = = =, a a a a a a ; ;;;;;;.... = = = d) a = ; a+ = a + ; Prví čle je a každý další čle spočítáme tak, že k předchozí hodotě přičteme pořadí předchozí hodoty v řadě: a = a + = + =, a = a + = + = ;;;7;;6;;... e) a = ; a = a + ; + Prví čle je a každý další čle spočítáme tak, že od trojásobku absolutí hodoty předchozího čleu odečteme druhou mociu pořadí počítaé hodoty: a = a ( + ) = ( + ) =, a a ( ) ;; ; 7; ; ;;.... = + = + = Pedagogická pozámka: Problémy astávají v bodech b) a d). Vždycky chci, aby žáci apsali, jaké hodoty do poslouposti spočítají oi a pak se bavíme o tom, co je a jejich představě špatě. Ty, co eví, odkazuji a ukázkový příklad. Je potřeba, aby všichi spočítali bod d). Jde zejméa o pečlivé rozepsáí a = a + = + =, hodě žáků má tedeci při výpočtu druhé čleu dosazovat = a počítat: a = a + = + =.

3 Pedagogická pozámka: ásledující dva příklady jsou orietováy a orietaci v posloupostech. a začátku hodiy ejsou umístěy schválě, protože právě prví dva příklady studety orietaci ve čleech poslouposti učí. Př. : Je dáa posloupost ; ; 7; ; ;; ;966; 8 π. Urči čísla: a + ; ; a ; a + ;, pokud platí: a =. apíšeme si posloupost, ad každým čleem poslouposti je zapsáo jeho pořadí v řadě: a a a a a5 a6 a7 a8 a9. ; ; 7; ; π ; ; ; 966; 8 Čle a = je vyzače červeě. Z obrázku je vidět: + = 966 (čle ásledující za čleem a = ), = 7 (červeý čle je sedmý v řadě), = (čle předcházející čleu a = ), + = 8 (čle ásledující za čleem a + = 966 ), = (červeý čle je sedmý v řadě, čle který ho o tři předchází je čtvrtý). Př. : Je dáa posloupost ; ; 7; ; ;; ;966; 8 π. Urči čísla: a + ; ; a ; a + ;, pokud platí: a = 7. apíšeme si posloupost, ad každým čleem poslouposti je zapsáo jeho pořadí v řadě: a a a a a5 a6 a7 a8 a9. ; ; 7; ; π ; ; ; 966; 8 Čle a = 7 je vyzače červeě. Čle a = ásleduje po čleu a, ozačíme si ho modře. Z obrázku je vidět: = + π (čle ásledující za čleem a = ), = (modrý čle je čtvrtý v řadě), = (čle předcházející čleu a = 7 ), + = (čle ásledující za čleem a = + π ), = (modrý čle je čtvrtý v řadě, čle který ho o tři předchází je prví). Př. 5: apiš prvích sedm čleů rekuretě zadaé poslouposti a = ; a = ; a = a a ;. + + a = a a další hodotu počítáme z předchozí hodoty a hodoty, která předchází + + předchozí hodotu. ;; a = a a = = ;;

4 a = a a = = ;; ; ;; ; ; ;;;... Pedagogická pozámka: Většia žáků dokáže předchozí příklad vyřešit sama. Těm, kteří mají problémy, pomáhá, když si ajdou rozdíly s předchozími příklady. Př. 6: apiš prvích sedm čleů rekuretě zadaých posloupostí. a = ; a = ; a = a + a ; + + b) ; ; + + ; c) ; ; + + ; d) a = a = a = a a a = a = a = a a a = ; a = ; a = a + a a ; e) a = ; a = a + a ; a = ; a = ; a = a + a ; a = a + a = + = a = a + a = + = 7 ;;;7;;8;9;... b) + + a = ; a = ; a = a a ; a = a a = = 5 a = a a = 5 = ; ; 5; ;7;; ;... c) + + a = ; a = ; a = a a ; a = a a = = 7 a = a a = 7 = 5 ; ; 7; 5;9;9;;... d) a = ; a = ; a = a + a a ; a = a + a a = + = a = a + a a = + = 0 ; ; ;0;0;0;0;... e) a = ; a = a + a ; + + ejde určit, chybí druhé počátečí číslo. Př. 7: Urči desátý čle rekuretě zadaé poslouposti: a = ; a = ; a+ = a+ a;. Bohužel musíme spočítat všechy čley před desátým: ; ;; ; ; ;; ;; Desátým čleem poslouposti je číslo.

5 Předchozí příklad ukazuje asi ejvětší evýhodu rekuretě zadaých posloupostí i když ás zajímá kokrétí čle a e čley před ím, stejě je musíme určit, abychom zjistili hodotu hledaého čleu. ěkteré poslouposti jiak ež rekuretě zadat ejde (a rekuretí zadáí je možé je u posloupostí). Shrutí: Posloupost je možé zadat i pomocí odkazu a předcházející čley rekuretě. 5