f x a x DSM2 Cv 9 Vytvořující funkce Vytvořující funkcí nekonečné posloupnosti a0, a1,, a n , reálných čísel míníme formální nekonečnou řadu ( )

Transkript

1 DSM Cv 9 Vytvořující fukce Vytvořující fukcí ekoečé poslouposti a0, a,, a, reálých čísel mííme formálí ekoečou řadu =. f a i= 0 i i Příklady: f = + = ) Platí: (biomická věta). To zameá, že fukce f ( ) ( ) = + je vytvořující fukcí pro posloupost,,,,0,0,0,. + g = = (součet prvích + čleů geometrické poslouposti s prvím čleem a ) Platí: kvocietem ). To zameá, že fukce g ( ) je vytvořující fukcí poslouposti,,,,, 0, 0,. ) Platí + krát h = = (součet ekoečé geometrické řady s prvím čleem a s kvocietem, < ). To zameá, že fukce h( ) je vytvořující fukcí ekoečé poslouposti,,,,,.

2 4) Platí fukci k = e = (Maclauriova řada pro!! e ). To zameá, že fukce k ( ) e fukcí ekoečé poslouposti,,,,,. 0!!!! = je vytvořující Pozámka: Uvedeé řady chápeme jako formálí výrazy, ezajímá ás jejich případá kovergece, zajímají ás koeficiety u jedotlivých moci proměé. Operace s vytvořujícími fukcemi: Součet, rozdíl, reálý ásobek: sčítáme, případě odčítáme příslušé koeficiety, případě ásobíme koeficiety daým reálým číslem. Souči: ( 0 )( 0 ) a b = a + a + a + a + b + b + b + b + = ( c 0 c c c ) = , kde platí: c0 = a0b0, c = a0b + ab 0, c = a0b + ab + ab0, atd. To zameá, že obě ekoečé řady postupě rozásobujeme. Při řešeí kokrétí úlohy pracujeme pouze s koečou částí vytvořující fukce (s koečými mohočley). i i f g i. i Příklad: Počítáme = ( + ) ( ) i= 0 Zajímají ás prví 4 čley výsledé řady. Nahradíme tedy obě řady mohočley. stupě a rozásobíme:

3 ( 4 )( ) = = Pozor: Vidíme, že u mociy vychází pro ekoečou řadu špatý koeficiet, protože k jeho správé hodotě přispívá ještě 4 třeba souči 5, který v ašem mohočleu už emáme. Musíme se tedy ve výsledé řadě omezit a prví 4 čley, které jsou správě, případě zařadit do obou čiitelů čley s vyššími mociami, pokud to charakter úlohy vyžaduje. Píšeme tedy ( 4 )( ) = = a( ) Podíl: a = b c. c0 c c c b = =, kde platí a0 Takže postupě počítáme: a0 = b0c0 c0 =, b0 a bc 0 a = b0c + bc 0 c = atd., (podle vzorců pro koeficiety b0 v součiu). Příklad: Opět ahradíme vytvořující fukce koečými , + a dělíme je podle mohočley předchozího pravidla (jedá se o jiý způsob děleí, ežli je děleí mohočleů se zbytkem). Vychází:

4 ( ) ( + ) 4 5 = Opět musíme dát pozor a to, že čley výsledého mohočleu, 4 počíaje 5 už ejsou pro hledaou řadu použitelé, protože při děleí jsme již esepisovali z dělece příslušé (vyechaé) mociy. ( ) Píšeme tedy: ( + + ) 5 7 = Teto způsob děleí vytvořujících fukcí dává jako výsledek ekoečou řadu i v případě děleí koečých mohočleů (pokud ejsou dělitelé beze zbytku). a = a + a + + a Pozámka: pro koečý mohočle 0 a a a a. Proto pro výpočet součtu všech = platí 0 koeficietů v daém polyomu stačí vypočítat jeho hodotu pro =. Příklady:. Jsou dáy vytvořující fukce f ( ) = 5 + +, g ( ) p( z) = + z + z. = +, (a) Sestavte tyto vytvořující fukce: f ( ) g ( ), f ( ) g ( ) p g ( ), g p( z ), f ( t ) p( t), (b) ajděte prvích pět čleů vytvořujících fukcí: f ( ) : g ( ), g ( ) : f ( ).

5 Příklad: Máme k dispozici 4 jedokoruové, 4 dvoukoruové a pětikoruové mice. Které částky se dají vyplatit těmito micemi? Kolika způsoby můžeme vyplatit částku 4 koru? Kč micemi můžeme platit částky: 0/zp, /zp, /zp, /zp, 4/zp. Posloupost (,,,,) Kč micemi můžeme platit částky: 0/zp, /0zp, /zp, /0zp, 4/zp, 5/0zp, 6/zp, 7/0zp, 8/zp. Posloupost (,0,,0,,0,,0,) 5 Kč micemi můžeme platit částky: 0/zp, /0zp,, 5/zp, 6/0zp,, 0/zp. Posloupost (,0,0,0,0,,0,0,0,0,) Těmto posloupostem přiřadíme postupě vytvořující fukce: 4 f = , f = , 5 0 f = + +. Výzam je te, že apříklad ve fukci f u čleu 6 udává epoet 6 částku, kterou chceme pomocí dvoukoru zaplatit a koeficiet počet způsobů, kterými to můžeme udělat ( mice po Kč). Ptáme se, jak můžeme složit z daých micí částku 4 koru. Musí platit: 4 = i + i + i, kde i { 0,,,,4 }, i { 0,,4,6,8}, i { 0,5,0}. Například: 4 = 0+4+0, 4 = +8+5, 4 = ++0, 4 = +6+5, 4 = Popisujeme vlastě způsob, jak vziká při rozásobováí ašich mohočleů čle s epoetem 4., tedy -čle, ve kterém koeficiety u jedotlivých čleů udávají počet způsobů, kterými můžeme pomocí ašich micí zaplatit částky, které udává epoet u 4 proměé. Například u mociy je koeficiet 5, tedy částku 4 koru můžeme uvedeými micemi zaplatit 5 způsoby. Počet všech Vypočítáme souči f ( ) f ( ) f ( )

6 možostí, jak můžeme zaplatit částky od 0 koru do koru ašimi micemi se rová součtu koeficietů u všech čleů. Okamžitě tuto hodotu zjistíme, když určíme hodotu mohočleu pro =, tedy f f f = 5.5. = 75. Příklady:. V cukrárě mají těsě před zavřeím 4 kremrole, větríky, pučové řezy a rakvičky. Kolika způsoby může zákazík (a) koupit 7 zákusků, (b) koupit 7 zákusků, chce-li maimálě větríky a aspoň kremrole, (c) akoupit 7 zákusků, mají-li všeho dostatek? Návod a řešeí: (a) sestavíme vytvořující fukce pro jedotlivé druhy zákusků: k 4 f = (pro kremrole) v f = (pro větríky) p f r = (pro pučové řezy) f = + + (pro pučové řezy) Vypočteme vytvořující fukci fk ( ) fv ( ) f p ( ) fr ( ), což je mohočle stupě. V ěm ás zajímá koeficiet u čleu 7. (b) vytvoříme modifikovaé vytvořující fukce, odpovídající podmíkám: 4 f k ( ) = + +, f v ( ) beze změy. Opět vytvoříme souči ás zajímá opět koeficiet u čleu = + +, zbývající dvě poecháme 7. f f f f, v ěm k v p r

7 (c) Máme-li dostatek zákusků všech druhů, jedá se o kombiace k = 7 třídy z prvků = 4 druhů s opakováím. Jejich počet je k + 0 = = 0.. Kolika způsoby můžeme zaplatit přesě 7 Kč, máme-li k dispozici (a) 7 koruových micí, 4 dvoukoruy a 4 pětikoruy, (b) libovolé možství jedo, dvou a pětikoruových micí?. V květiářství mají rudé, bílé, růžové, žluté, fialové a žíhaé karafiáty, od každé barvy kusy. Kolik je možostí ákupu 5 karafiátů? 4. V květiářství mají 4 červeé, 5 bílých a 0 růžových růží. (a) Určete počet způsobů, jak koupit růží,. (b) Jak se změí výsledek úlohy (a), je-li všech růží, (i těch, které máme koupit) 5-krát větší? (c) Jak se změí výsledek úlohy (a), mají-li od všech barev aspoň kusů. 5. Kolika způsoby můžeme rozdat 4 dětem, Petrovi, Pavlovi, Lauře a Jaě, 0 úplě stejých míčů, jestliže každá dívka musí dostat aspoň jede míč a každý chlapec ejvýše tři?