Vybrané partie z biostatistiky

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "Vybrané partie z biostatistiky"

Transkript

1 1 Úvod Vybrané partie z biostatistiky , Běstvina Marie Turčičová MFF UK Pracovat budeme v programu R a jeho nástavbě RStudio, které si můžete bezplatně stáhnout zde: Analýzy si můžeme ukázat například na datech Iris.csv. Tato data byla nasbírána Edgarem Andersonem v roce 1935 a obsahují naměřené údaje o třech druzích rostlin (Iris setosa, versicolor a virginica). Od každého druhu bylo zkoumáno 50 jedinců a měřeny byly tyto veličiny: ˆ sepal length (délka lístku kalicha) ˆ sepal width (šířka lístku kalicha) ˆ petal length (délka okvětního lístku) ˆ petal width (šířka okvětního lístku) ˆ Species (odrůda). 2 Zahájení práce a načtení dat rm(list=ls()) # vyčištění pracovního prostředí Iris <- read.csv("popis/cesty/iris.csv", sep=";", dec = ",", header=true) attach(iris) # přímý přístup k jednotlivým proměnným v datech Nezapomeňte si uložit skript! # data 3 Základní popisné statistiky Na n náhodně vybraných jedincích jsme naměřili hodnoty znaku X. Máme tedy X 1, X 2,..., X n (tzv. náhodný výběr). Výběrový průměr (mean) mean(vyber) X = 1 n (X 1 + X X n ) = 1 n n i=1 X i Výběrový rozptyl (variance) Charakterizuje rozptýlenost (variabilitu) našich hodnot. s 2 = 1 [ (X1 n 1 X) 2 + (X 2 X) (X n X) 2] = 1 n 1 n (X i X) 2 Odmocnina z rozptylu se nazývá směrodatná odchylka (standard deviation), značí se s a opět charakterizuje rozptýlenost dat. i=1 var(vyber) sd(vyber) # výběrový rozptyl # výběrová směrodatná odchylka 1

2 Medián Hodnota, který se v uspořádaném výběru nachází uprostřed. Je-li hodnot sudý počet, je mediánem průměr dvou prostředních hodnot. Obvykle se značí X. median(vyber) p% kvantil Hodnota, která v uspořádaném výběru odděluje p% nejmenších hodnot. Např. 5% kvantil ja takové číslo, že 5 % hodnot v datech je menších než toto číslo a 95 % je větších. Významné kvantily: medián - 50% kvantil dolní kvartil - 25% kvantil (čtvrtina dat je menších nebo rovno tomuto číslu), značí se Q 1 horní kvartil - 75% kvantil (75 % dat je menších nebo rovno tomuto číslu), značí se Q 3 první decil - 10% kvantil quantile(vyber, prob=p) # p musí být číslo mezi 0 a 1 Užitečné grafy Krabicový graf (boxplot) boxplot(vyber) boxplot(vyber~faktor) # faktor určuje podskupiny Bodový graf (scatter plot) plot(vybery ~ vyberx) Sloupcový graf (barplot) barplot(table(vyber)) Koláčový graf (pie chart) pie(table(vyber)) 2

3 QQ-plot qqnorm(vyber) qqline(vyber) Histogram hist(vyber) QQ-plot: Pocházejí-li data z normálního rozdělení, měly by v QQ-plotu ležet přibližně na přímce. Příklad: Pro jednotlivé druhy vykreslete boxploty pro délku okvětního lístku (Petal Length). 4 Populace vs. výběr Principem statistiky je usuzování o celé populaci na základě několika (náhodně) vybraných jedinců (tzv. náhodného výběru). Hodnoty vypočtené z výběru jsou jen odhadem hodnot populačních. Populace Výběr populační průměr, výběrový průměr ( X) střední hodnota (µ) rozptyl (σ 2 ) výběrový rozptyl (s 2 ) populační medián výběrový medián Výběrový průměr je tedy pouze odhadem populačního průměru a je třeba k tomu tak přistupovat. Samozřejmě čím větší náš výběr je, tím jsou naše odhady přesnější. Stejně tak v následujících testech se testují hypotézy o populaci, avšak závěr činíme na základě výběru. Je zde tedy riziko chybného závěru. Pravděpodobnost chyby se vždy snažíme udržet malou, a to pomocí hladiny testu, což je maximální povolená pravděpodobnost chybného zamítnutí nulové hypotézy. Tato pravděpodobnost se vždy volí malá, typicky 0.05, a hraje důležitou roli v každém testu. Možnost chybného závěru musíme mít celou dobu na paměti a být opatrní ve formulování svých závěrů. Nezamítneme-li H 0, pak správný závěr je: Nelze zamítnout hypotézu, že...(tvrzení H 0 )... Zamítneme-li H 0, pak správný závěr je: Na hladině 5 % jsme prokázali, že...(tvrzení H 1 )...!!! Nikdy nezapomeňte ověřit předpoklady zvoleného testu!!! 5 t-testy Jednovýběrový t-test Předpokládejme, že rozdělení hodnot X 1, X 2,..., X n je normální (Gaussovo) se střední hodnotou µ a rozptylem σ 2 (tj. N(µ, σ 2 )). Testujeme hypotézu H 0 : µ = µ 0 (např. střední hodnota délky okvětního lístku je 5 cm) 3

4 proti jedné z alternativních hypotéz: H 1 : µ µ 0 H 1 : µ > µ 0 H 1 : µ < µ 0. Test se provádí pomocí testové statistiky T = X µ 0 n, s která má za platnosti nulové hypotézy rozdělení t n 1 (Studentovo t-rozdělení s n 1 stupni volnosti). Připomeňme, že s = 1 n (X i n 1 X) 2. i=1 Hypotézu H 0 zamítneme, pokud bude X příliš daleko od µ 0, tj. hodnota T bude velká. Hranice, od které už je T považováno za moc velké je dána kvantily rozdělení t n 1. Kuchařka: ˆ Nejprve spočítáme hodnotu T = X µ 0 s n. ˆ Pro H 0 : µ = µ 0, H 1 : µ µ 0 je rozhodovací pravidlo tvaru: T t n 1 (1 α 2 ), pak zamítáme H 0 ( Na hladině α jsme prokázali, že µ µ 0. ) T < t n 1 (1 α 2 ), pak nezamítáme H 0 ( Nelze zamítnout hypotézu, že µ = µ 0. ) ˆ Pro H 0 : µ = µ 0, H 1 : µ > µ 0 je rozhodovací pravidlo tvaru: T t n 1 (1 α), pak zamítáme H 0 ( Na hladině α jsme prokázali, že µ > µ 0. ) T < t n 1 (1 α), pak nezamítáme H 0 ( Nelze zamítnout hypotézu, že µ = µ 0. ) ˆ Pro H 0 : µ = µ 0, H 1 : µ < µ 0 je rozhodovací pravidlo tvaru: T t n 1 (1 α), pak zamítáme H 0 ( Na hladině α jsme prokázali, že µ < µ 0. ) T > t n 1 (1 α), pak nezamítáme H 0 ( Nelze zamítnout hypotézu, že µ = µ 0. ) Hodnota α se nazývá hladina testu a většinou se volí 5 %, tj (pak je 1 α 2 = a 1 α = 0.95). Hodnoty kvantilů t n 1 (1 α 2 ) a t n 1(1 α) si musíme najít v tabulkách. V praxi se rozhodování provádí na základě tzv. p-hodnoty, přičemž hypotézu H 0 zamítneme, bude-li p-hodnota menší než zvolená hladina testu (většinou 5 %, tj. 0.05). V opačném případě nulovou hypotézu nezamítáme. t.test(vyber,mu=mu0) t.test(vyber,mu=mu0,alternative="less") t.test(vyber,mu=mu0,alternative="greater") # pro H1: mu různé od mu0 # pro H1: mu < mu0 # pro H1: mu > mu0 P-hodnota (angl. p-value) udává pravděpodobnost, že za platnosti H 0 dostaneme data, která budou ještě horší než ta, co máme. (Horší ve smyslu: ještě více svědčící proti H 0 ). Lze ji také definovat jako nejmenší hladinu, na které bychom už H 0 zamítli. Předpoklad normality ohodnotíme pomocí Shapirova-Wilkova testu: H 0 : výběr pochází z normálního rozdělení H 1 : výběr nepochází z normálního rozdělení 4

5 shapiro.test(velicina) Je-li p-hodnota z tohoto testu větší než 0.05, tak nezamítáme, že data pocházejí z normálního rozdělení a můžeme to tedy předpokládat. Okometricky lze normalitu ohodnotit pomocí histogramu (zda má tvar Gaussovy křivky), nebo pomocí tzv. QQ plotu (pokud data pocházejí z normálního rozdělení, měly by body v tomto grafu ležet na přímce). hist(vyber,prob=true) qqnorm(vyber) qqline(vyber) # normální QQ graf # proloží přímku QQ grafem Neparametrické alternativy ˆ jednovýběrový Wilcoxonův test Předpokládá, že výběr X 1,..., X n pochází ze (spojitého) symetrického rozdělení (ohodnotíme okometricky pomocí histogramu). Testované hypotézy mají tvar: H 0 : populační medián je roven µ 0 H 1 má opět jeden z tvarů : H 1 : populační medián je µ 0 wilcox.test(velicina,mu=mu0) H 1 : populační medián je < µ 0 H 1 : populační medián je > µ 0 Testová statistika je založená na součtu pořadí hodnot X i µ 0 v případech, kdy X i > µ 0. Součet pořadí by za platnosti H 0 neměl být příliš malý ani příliš velký. V praxi se opět rozhodujeme pomocí p-hodnoty (vyjde-li p-hodnota menší než 0.05, zamítáme H 0, v opačném případě nezamítáme). ˆ znaménkový test Předpokládá pouze, že výběr pochází ze spojitého rozdělení. Tvar H 0 i H 1 je stejný jako u Wilcoxonova testu. Testová statistika je založená pouze na počtu rozdílů X i µ 0, které mají kladné znaménko. Hypotézu H 0 pak zamítáme, je-li tento počet příliš malý nebo velký. V praxi se opět rozhodujeme pomocí p-hodnoty. U <- sum(velicina > mu0) # počet kladných znamének n2 <- sum(velicina!= mu) # úprava počtu pozorování prop.test(u, n2) # znaménkový test Testujeme-li jednostrannou alterantivu, doplníme do příkazů alternative="less" nebo alternative="greater". Příklad: Otestujte nulovou hypotézu, že šířka lístku kalicha (Sepal Width) u odrůdy virginica je rovna 3.1 cm proti oboustranné alternativě. Hladinu testu uvažujte 5 %. Dvouvýběrový t-test Mějme dva výběry (klidně různě velké): X 1, X 2,..., X n N(µ 1, σ 2 ) Y 1, Y 2,..., Y m N(µ 2, σ 2 ), 5

6 Testujeme nulovou hypotézu proti jedné z alternativ H 0 : µ 1 = µ 2 H 1 : µ 1 µ 2 H 1 : µ 1 > µ 2 H 1 : µ 1 < µ 2. Testová statistika je založena na rozdílu výběrových průměrů X Ȳ a má tvar X T = Ȳ nm(n + m 2), (n 1)s 2 x + (m 1)s 2 n + m y kde s 2 x je výběrový rozptyl vypočtený z výběru X 1,..., X n a s 2 y je výběrový rozptyl vypočtený z Y 1,..., Y n. Tato statistika T má za platnosti nulové hypotézy rozdělení t n+m 2. Hypotézu H 0 zamítáme, pokud budou X a Ȳ od sebe příliš daleko (toto příliš daleko je kvantifikováno pomocí kvantilů rozdělení t m+n 2 ). Kuchařka: ˆ Nejprve spočítáme hodnotu T = X Ȳ (n 1)s 2 x +(m 1)s 2 y nm(n+m 2) n+m. ˆ Pro H 0 : µ 1 = µ 2, H 1 : µ 1 µ 2 je rozhodovací pravidlo tvaru: T t n+m 2 (1 α 2 ), pak zamítáme H 0 ( Na hladině α jsme prokázali, že µ 1 µ 2. ) T < t n+m 2 (1 α 2 ), pak nezamítáme H 0 ( Nelze zamítnout hypotézu, že µ 1 = µ 2. ) ˆ Pro H 0 : µ 1 = µ 2, H 1 : µ 1 > µ 2 je rozhodovací pravidlo tvaru: T t n+m 2 (1 α), pak zamítáme H 0 ( Na hladině α jsme prokázali, že µ 1 > µ 2. ) T < t n+m 2 (1 α), pak nezamítáme H 0 ( Nelze zamítnout hypotézu, že µ 1 = µ 2. ) ˆ Pro H 0 : µ 1 = µ 2, H 1 : µ 1 < µ 2 je rozhodovací pravidlo tvaru: T t n+m 2 (1 α), pak zamítáme H 0 ( Na hladině α jsme prokázali, že µ 1 < µ 2. ) T > t n+m 2 (1 α), pak nezamítáme H 0 ( Nelze zamítnout hypotézu, že µ 1 = µ 2. ) Kvantily t n+m 2 (1 α 2 ) a t n+m 2(1 α) si musíme najít v tabulkách. V praxi činíme závěr opět pomocí p-hodnoty (pro p-hodnotu menší než α zamítáme H 0 ). t.test(vyberx,vybery,var.equal = TRUE) Testujeme-li jednostrannou alterantivu, doplníme do příkazu opět alternative="less" nebo alternative="greater". Ověřování předpokladů: Předpokladem dvouvýběrového t-testu je normální rozdělení obou výběrů (nutno otestovat QQplotem: qqnorm(vyberx), qqnorm(vybery)) nebo Shapiro-Wilkovým testem (shapiro.test(vyberx), shapiro.test(vybery)) a rovnost rozptylů obou výběrů (lze otestovat F-testem: var.test(vyberx,vybery).) Jsou-li p-hodnoty těchto testů větší než 0.05, můžeme považovat předpoklady našeho t-testu za splněné. Modifikace pro nestejné rozptyly: Má-li každý z výběrů jiný rozptyl (tj. X 1,..., X n N(µ 1, σ1 2) a Y 1,..., Y n N(µ 2, σ2 2 )), tak nevadí, použijeme modifikaci dvouvýběrového t-testu: t.test(vyberx,vybery,var.equal = FALSE) 6

7 Neparametrická alternativa: dvouvýběrový Wilcoxonův test Též zvaný Mannův-Whitneyův test. Hypotézy mají malinko jiný tvar než výše: H 0 : oba výběry pocházejí ze shodného rozdělení (tj. mají i stejnou střední hodnotu) H 1 : výběry pocházejí z odlišného rozdělení. V rámci spojených výběrů se jednotlivým hodnotám (X 1,..., X n, Y 1,..., Y m ) přiřadí pořadí (od nejmenšího po největší) a vypočte se součet pořadí odpovídajících druhému výběru. Tento součet označme W y. Pokud H 0 platí, tak by se pořadí v obou výběrech neměla moc lišit. Hypotézu H 0 tedy zamítneme, pokud W y bude moc malé nebo moc velké. V praxi se rozhodujeme pomocí p-hodnoty. wilcox.test(vyber1,vyber2) wilcox.test(vyber~faktor) # nebo # faktor určuje rozdělení na výběry Příklad: Otestujte nulovou hypotézu, že délka lístku kalicha (Sepal Length) u odrůdy Virginica a Setosa je stejná oproti alternativě, že odrůda Virginica má kališní lístky delší. Hladinu testu uvažujte 5 %. 6 Analýza rozptylu (ANOVA) Potřebujeme-li otestovat rovnost středních hodnot u více než dvou výběrů, použijeme metodu zvanou analýza rozptylu (analysis of variance, ANOVA). Mějme k výběrů X 11, X 12,..., X 1n1 N(µ 1, σ 2 ) X 21, X 22,..., X 2n2 N(µ 2, σ 2 ). X k1, X k2,..., X knk N(µ k, σ 2 ). Výběry nemusejí mít stejnou velikost, ale mají shodný rozptyl. Testovat budeme rovnost středních hodnot: H 0 : µ 1 = µ 2 =... = µ k H 1 : alespoň jedna µ j se liší Na rozdíl od dvouvýběrového t-testu není test založen na porovnávání průměrů z jednotlivých výběrů, ale na rozkladu celkového rozptylu na (i) rozptyl průměrů jednotlivých skupin a (ii) rozptyl uvnitř skupin. Bude-li rozptyl průměrů skupin (neboli meziskupinový rozptyl) zanedbatelný v porovnání s rozptylem uvnitř skupin, znamená to, že rozdíl ve středních hodnotách je malý a H 0 tedy nelze zamítnout. Dobře je to vidět na následujícím obrázku (pro případ 3 skupin), kde jsou průměry jednotlivých skupin vyznačeny červeně. Testová statistika je rovna podílu rozptylu průměrů a rozptylu uvnitř skupin. F A = 1 k 1 1 k n k i=1 k i=1 n i( X i X ) 2 ni j=1 (X ij X i ), 2 kde X i je průměr i-tého výběru, X je celkový průměr vypočtený z hodnot ze všech výběrů a n je celkový počet hodnot, tj. n = n 1 + n n k. Pokud bude tento podíl výrazně větší než jedna (což je kvantifikováno pomocí kvantilu F -rozdělení), tak H 0 zamítáme. 7

8 (a) Zde bychom asi H 0 zamítli. (b) Zde bychom asi H 0 nezamítli. Kuchařka: ˆ Vypočtu průměry v jednotlivých skupinách (tj. X 1, X 2 až X k ) ˆ Z hodnot ze všech výběrů vypočtu celkový průměr X (Pozor! Obecně není roven průměru z průměrů jednotlivých skupin!) ˆ Vypočtu statistiku F A = 1 k k 1 i=1 n i( X i X ) 2 1 k ni n k i=1 j=1 (X ij X. i ) 2 ˆ Je-li F A F k 1,n k (1 α), pak zamítáme H 0 ( Na hladině 5 % jsme prokázali, že skupiny nemají stejné střední hodnoty. ) Je-li F A < F k 1,n k (1 α), pak nezamítáme H 0 ( Nelze zamítnout hypotézu, že všechny skupiny mají stejné střední hodnoty. ) Kvantily F k 1,n k (1 α) jsou kvantily Fisherova F-rozdělení (zvané též Fisherovo- Snedecorovo rozdělení) se stupni volnosti k 1 a n k (toto rozdělení má dvoje stupně volnosti). Hodnoty kvantilů pro konkrétní α najdeme v tabulkách. V praxi se opět rozhodujeme pomocí p-hodnoty. Příkazy v R jsou: mod <- aov(vyber~faktor) summary(mod) # vytvoření modelu # tabulka analýzy rozptylu Při zamítnutí H 0 lze pak pomocí mnohonásobného porovnání zjistit, které výběry se od sebe signifikantně liší: TukeyHSD(mod) # mnohonásobné porovnání Jsou to ty, u nichž vyjde p-hodnota v Tukeyho testu nižší než Ověřování předpokladů: Otestování předpokladu normality výběrů se dělá až na konci celé analýzy, a to pomocí tzv. standardizovaných reziduí: shapiro.test(rstandard(mod)) # test normality (provedený na rezidua) Shodu rozptylů σ 1 = σ 2 =... = σ k lze ohodnotit okometricky z boxplotů, nebo pořádně otestovat pomocí Leveneova či Bartlettova testu (bartlett.test(vyber faktor)). Jsou-li p-hodnoty těchto testů větší než 0.05, tak můžeme považovat předpoklady ANOVy za splněné. Modifikace pro nestejné rozptyly: Pokud nám rozptyly nevyjdou stejné, nevadí - lze použít modifikaci ANOVy pro nestejné rozptyly: oneway.test(vyber~faktor) # analýza rozptylu při nestejných rozptylech 8

9 Neparametrická alternativa: Kruskalův-Wallisův test Předpokládá pouze, že výběry pocházejí ze spojitého (ne nutně normálního) rozdělení. Hypotézy mají opět malinko jiný tvar: H 0 : výběry pocházejí ze stejného rozdělení H 1 : výběry nepocházejí ze stejného rozdělení Testová statistika je založená na součtu pořadí (ve sdruženém výběru) pro každý z dílčích výběrů. Platí-li H 0, pak by žádný dílčí výběr neměl mít součet příliš velký ani příliš malý. V praxi se rozhodujeme opět pomocí p-hodnoty. kruskal.test(vyber~faktor) # faktor určuje rozdělení do výběrů Příklad: Otestujte nulovou hypotézu, že střední šířka lístku kalicha (Sepal Width) je u všech tří odrůd stejná. Hladinu testu uvažujte 5 %. 7 Raoův skórový test Jednovýběrový Zajímá nás, zda je pravděpodobnost p výskytu nějakého znaku rovna číslu p 0. Tedy H 0 : p = p 0 H 1 : p p 0. Mějme výběr n jedinců. Spočteme si počet výskytů daného znaku v našem výběru a označíme toto číslo jako Y. Testová statistika je založena na porovnání této napozorované četnosti Y s teoretickou (očekávanou) četností np 0 : Q = (Y np0 ) 2 np 0 (1 p 0 ) Platí-li H 0, neměla by být hodnota této statistiky moc velká (jako hranice se berou kvantily rozdělení χ 2 1 ). V praxi se rozhodujeme pomocí p-hodnoty. prop.test(y,n,p=p0) Příklad: Z 30 hodů kostkou padla šestka 7 krát. Není kostka cinknutá? Dvouvýběrový Tento test slouží pro porovnání pravděpodobností výskytu nějakého znaku ve dvou populacích. H 0 : p 1 = p 2 H 1 : p 1 p 2. Z první populace máme výběr o velikosti n 1, ze druhé výběr o velikosti n 2. V obou výběrech určíme četnosti sledovaného znaku ( Y 1 a Y 2 ). Test je založen na porovnání Y 1 /n 1 a Y 2 /n 2, tedy porovnání odhadů p 1 a p 2 v obou výběrech: Q = ( Y1 n 1 Y 2 n 2 ) 2 ( ) ( ). Y 1 +Y 2 n 1 +n 2 1 Y 1+Y 2 1 n 1 +n 2 n n 2 Platí-li H 0, neměly by být odhady Y 1 /n 1 a Y 2 /n 2 od sebe příliš daleko, tedy Q by mělo být malé (posuzuje se porovnáním s kvantily χ 2 1 rozdělení). V praxi se rozhodujeme na základě p-hodnoty. 9

10 prop.test(c(y1,y2),c(n1,n2)) Příklad: V roce 1954 byla provedena studie ohledně očkování proti obrně. Z 200 tisíc očkovaných dětí dostalo obrnu 57. Z 200 tisíc neočkovaných dětí dostalo obrnu 142. Má očkování smysl? 8 χ 2 test dobré shody Nějaký znak může nabývat k různých kategorií a my chceme ověřit, zda jsou pravděpodobnosti těchto kategorií (p 1,..., p k ) v populaci rovny nějakým předepsaným číslům (p 0 1,..., p0 k ). Hypotézy tedy mají tvar H 0 : p 1 = p 0 1, p 2 = p 0 2,..., p k = p 0 k H 1 : neplatí H 0 Našimi daty jsou četnosti jednotlivých kategorií v nějakém náhodném výběru (tzv. empirické četnosti). Označme si je Y 1, Y 2,..., Y k. Velikost našeho výběru opět označme n. Test provedeme tak, že porovnáme napozorované četnosti s četnostmi, které by odpovídali platnosti H 0. Tyto očekávané (teoretické) četnosti jsou samozřejmě rovny np 0 1, np0 2,..., np0 k. Porovnání provedeme pomocí testové statistiky X 2 = k i=1 (Y i np 0 i )2 np 0, i která má za platnosti H 0 přibližně (pro velké n) rozdělení χ 2 k 1. Empirické četnosti by se neměly od těch teoretických příliš lišit, což je kvantifikováno pomocí kvantilů χ 2 k 1. V praxi se rozhodujeme na základě p-hodnoty. chisq.test(nn,p=pp) # nn=napozorované četnosti, pp=teoretické pravděpodobnosti chisq.test(nn,p=pp)$expected # očekávané teoretické četnosti Předpokladem testu je, že všechny teoretické četnosti np 0 i jsou 5. Příklad: Rozhodněte, zda četnosti 95, 169, 89 odpovídají ideálnímu štěpnému poměru 1:2:1. 9 Korelace Na n jedincích jsme naměřili hodnoty dvou znaků (X a Y ). Máme tedy dva výběry X 1, X 2,..., X n Y 1, Y 2,..., Y n. Korelační koeficienty měří sílu závislosti mezi znaky X a Y. Nabývají přitom hodnot od -1 do 1, přičemž 0 odpovídá nezávislosti, 1 a -1 pak perfektní závislosti. Pozor! Korelace neznamená příčinnost!!! Pearsonův korelační koeficient Měří sílu lineární závislosti, tj. nabývá hodnoty 1 nebo -1, pokud mezi X a Y je lineární vztah (tj. graf X vs. Y bude přímka). r = n i=1 (X i X)(Y i Ȳ ) n i=1 (X i X) 2. n i=1 (Y i Ȳ )2 10

11 Má-li vektor (X, Y ) dvourozměrné normální rozdělení (ohodnotíme okometricky z bodového grafu), pak lze testovat hypotézu H 0 : X, Y nezávislé, (tj. jejich korelace je 0) H 1 : X, Y závislé pomocí statistiky T = r 1 r 2 n 2, která má za platnosti H 0 rozdělení t n 2. Za platnosti H 0 by neměla být hodnota r (a tedy ani T ) příliš vzdálená od 0. Jako hranice onoho moc daleko se berou kvantily t n 2 rozdělení. V praxi se rozhodujeme standardně pomocí p-hodnoty. cor(vyber1,vyber2) cor.test(vyber1,vyber2) # Pearsonův korelační koeficient # test nezávislosti Je-li p-hodnota větší než 0.05, tak nezamítáme nezávislost veličin X a Y. V opačném případě jsme na hladině 5 % prokázali jejich závislost. Spearmannův korelační koeficient Měří sílu monotonní závislosti (ne jen lineární). Hodí se, chceme-li otestovat nezávislost dvou veličin, ale je porušen předpoklad normality. r = n i=1 (R i R)(Q i Q) 6 n i=1 (R i R) 2 n i=1 (Q i Q) = 1 2 n(n 2 1) n (R i Q i ) 2, i=1 kde R i je pořadí X i v rámci X 1,..., X n a Q i je pořadí Y i v rámci Y 1,..., Y n. K testu nezávislosti není potřeba normální rozdělení (X, Y ). cor(vyber1,vyber2,method="spearman") cor.test(vyber1,vyber2,method="spearman") # Spearmanův korelační koeficient # test nezávislosti Je-li p-hodnota větší než 0.05, tak nezamítáme nezávislost veličin X a Y. V opačném případě jsme na hladině 5 % prokázali jejich závislost. Příklad: Pomocí Pearsonova korelačního koeficientu otestujte závislost délky kališního a okvětního lístku (veličiny Sepal Length a Petal Length) pro odrůdu Setosa. Hladinu testu uvažujte 5 %. 11

Intervalové odhady. Interval spolehlivosti pro střední hodnotu v N(µ, σ 2 ) Interpretace intervalu spolehlivosti. Interval spolehlivosti ilustrace

Intervalové odhady. Interval spolehlivosti pro střední hodnotu v N(µ, σ 2 ) Interpretace intervalu spolehlivosti. Interval spolehlivosti ilustrace Intervalové odhady Interval spolehlivosti pro střední hodnotu v Nµ, σ 2 ) Situace: X 1,..., X n náhodný výběr z Nµ, σ 2 ), kde σ 2 > 0 známe měli jsme: bodové odhady odhadem charakteristiky je číslo) nevyjadřuje

Více

Intervalové odhady. Interval spolehlivosti pro střední hodnotu v N(µ, σ 2 ) Interpretace intervalu spolehlivosti. Interval spolehlivosti ilustrace

Intervalové odhady. Interval spolehlivosti pro střední hodnotu v N(µ, σ 2 ) Interpretace intervalu spolehlivosti. Interval spolehlivosti ilustrace Intervalové odhady Interval spolehlivosti pro střední hodnotu v Nµ, σ 2 ) Situace: X 1,..., X n náhodný výběr z Nµ, σ 2 ), kde σ 2 > 0 známe měli jsme: bodové odhady odhadem charakteristiky je číslo) nevyjadřuje

Více

letní semestr 2012 Katedra pravděpodobnosti a matematické statistiky Matematicko-fyzikální fakulta Univerzity Karlovy Matematická statistika

letní semestr 2012 Katedra pravděpodobnosti a matematické statistiky Matematicko-fyzikální fakulta Univerzity Karlovy Matematická statistika Šárka Hudecová Katedra pravděpodobnosti a matematické statistiky Matematicko-fyzikální fakulta Univerzity Karlovy letní semestr 2012 Opakování t- vs. neparametrické Wilcoxonův jednovýběrový test Opakování

Více

Jednofaktorová analýza rozptylu

Jednofaktorová analýza rozptylu Jednofaktorová analýza rozptylu David Hampel Ústav statistiky a operačního výzkumu, Mendelova univerzita v Brně Kurz pokročilých statistických metod Global Change Research Centre AS CR, 5 7 8 2015 Tato

Více

12. cvičení z PST. 20. prosince 2017

12. cvičení z PST. 20. prosince 2017 1 cvičení z PST 0 prosince 017 11 test rozptylu normálního rozdělení Do laboratoře bylo odesláno n = 5 stejných vzorků krve ke stanovení obsahu alkoholu X v promilích alkoholu Výsledkem byla realizace

Více

Pravděpodobnost a matematická statistika Doc. RNDr. Gejza Dohnal, CSc.

Pravděpodobnost a matematická statistika Doc. RNDr. Gejza Dohnal, CSc. Pravděpodobnost a matematická statistika Doc. RNDr. Gejza Dohnal, CSc. dohnal@nipax.cz Pravděpodobnost a matematická statistika 010 1.týden (0.09.-4.09. ) Data, typy dat, variabilita, frekvenční analýza

Více

Katedra matematické analýzy a aplikací matematiky, Přírodovědecká fakulta, UP v Olomouci

Katedra matematické analýzy a aplikací matematiky, Přírodovědecká fakulta, UP v Olomouci Zpracování dat v edukačních vědách - Testování hypotéz Kamila Fačevicová Katedra matematické analýzy a aplikací matematiky, Přírodovědecká fakulta, UP v Olomouci Obsah seminářů 5.11. Úvod do matematické

Více

RNDr. Eva Janoušová doc. RNDr. Ladislav Dušek, Dr.

RNDr. Eva Janoušová doc. RNDr. Ladislav Dušek, Dr. Analýza dat pro Neurovědy RNDr. Eva Janoušová doc. RNDr. Ladislav Dušek, Dr. Jaro 2014 Institut biostatistiky Janoušová, a analýz Dušek: Analýza dat pro neurovědy Blok 3 Jak a kdy použít parametrické a

Více

Statistika, Biostatistika pro kombinované studium. Jan Kracík

Statistika, Biostatistika pro kombinované studium. Jan Kracík Statistika, Biostatistika pro kombinované studium Letní semestr 2014/2015 Tutoriál č. 6: ANOVA Jan Kracík jan.kracik@vsb.cz Obsah: Testování hypotéz opakování ANOVA Testování hypotéz (opakování) Testování

Více

Pravděpodobnost a matematická statistika Doc. RNDr. Gejza Dohnal, CSc. dohnal@nipax.cz

Pravděpodobnost a matematická statistika Doc. RNDr. Gejza Dohnal, CSc. dohnal@nipax.cz Pravděpodobnost a matematická statistika Doc. RNDr. Gejza Dohnal, CSc. dohnal@nipax.cz Pravděpodobnost a matematická statistika Doc. RNDr. Gejza Dohnal, CSc. dohnal@nipax.cz Pravděpodobnost a matematická

Více

Analýza rozptylu. Ekonometrie. Jiří Neubauer. Katedra kvantitativních metod FVL UO Brno kancelář 69a, tel

Analýza rozptylu. Ekonometrie. Jiří Neubauer. Katedra kvantitativních metod FVL UO Brno kancelář 69a, tel Analýza rozptylu Ekonometrie Jiří Neubauer Katedra kvantitativních metod FVL UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz Jiří Neubauer (Katedra UO Brno) Analýza rozptylu 1 / 30 Analýza

Více

Charakteristika datového souboru

Charakteristika datového souboru Zápočtová práce z předmětu Statistika Vypracoval: 10. 11. 2014 Charakteristika datového souboru Zadání: Při kontrole dodržování hygienických norem v kuchyni se prováděl odběr vzduchu a pomocí filtru Pallflex

Více

Opakování. Neparametrické testy. Pořadí. Jednovýběrový Wilcoxonův test. t-testy: hypotézy o populačním průměru (střední hodnoty) předpoklad normality

Opakování. Neparametrické testy. Pořadí. Jednovýběrový Wilcoxonův test. t-testy: hypotézy o populačním průměru (střední hodnoty) předpoklad normality Opakování Opakování: Testy o střední hodnotě normálního rozdělení 1 jednovýběrový t-test 2 párový t-test 3 dvouvýběrový t-test jednovýběrový Wilcoxonův test párový Wilcoxonův test dvouvýběrový Wilcoxonův

Více

1 Tyto materiály byly vytvořeny za pomoci grantu FRVŠ číslo 1145/2004.

1 Tyto materiály byly vytvořeny za pomoci grantu FRVŠ číslo 1145/2004. Testy hypotéz na základě více než 2 výběrů 1 1 Tyto materiály byly vytvořeny za pomoci grantu FRVŠ číslo 1145/2004. Testy hypotéz na základě více než 2 výběrů Na analýzu rozptylu lze pohlížet v podstatě

Více

Úvod do analýzy rozptylu

Úvod do analýzy rozptylu Úvod do analýzy rozptylu Párovým t-testem se podařilo prokázat, že úprava režimu stravování a fyzické aktivity ve vybrané škole měla vliv na zlepšené hodnoty HDLcholesterolu u školáků. Pro otestování jsme

Více

Mann-Whitney U-test. Znaménkový test. Vytvořil Institut biostatistiky a analýz, Masarykova univerzita J. Jarkovský, L. Dušek

Mann-Whitney U-test. Znaménkový test. Vytvořil Institut biostatistiky a analýz, Masarykova univerzita J. Jarkovský, L. Dušek 10. Neparametrické y Mann-Whitney U- Wilcoxonův Znaménkový Shrnutí statistických ů Typ srovnání Nulová hypotéza Parametrický Neparametrický 1 skupina dat vs. etalon Střední hodnota je rovna hodnotě etalonu.

Více

Rozhodnutí / Skutečnost platí neplatí Nezamítáme správně chyba 2. druhu Zamítáme chyba 1. druhu správně

Rozhodnutí / Skutečnost platí neplatí Nezamítáme správně chyba 2. druhu Zamítáme chyba 1. druhu správně Testování hypotéz Nechť,, je náhodný výběr z nějakého rozdělení s neznámými parametry. Máme dvě navzájem si odporující hypotézy o parametrech daného rozdělení: Nulová hypotéza parametry (případně jediný

Více

letní semestr 2012 Katedra pravděpodobnosti a matematické statistiky Matematicko-fyzikální fakulta Univerzity Karlovy Matematická statistika t-test

letní semestr 2012 Katedra pravděpodobnosti a matematické statistiky Matematicko-fyzikální fakulta Univerzity Karlovy Matematická statistika t-test Párový Šárka Hudecová Katedra pravděpodobnosti a matematické statistiky Matematicko-fyzikální fakulta Univerzity Karlovy letní semestr 2012 motivační příklad Párový Příklad (Platová diskriminace) firma

Více

KORELACE. Komentované řešení pomocí programu Statistica

KORELACE. Komentované řešení pomocí programu Statistica KORELACE Komentované řešení pomocí programu Statistica Vstupní data I Data umístěná v excelovském souboru překopírujeme do tabulky ve Statistice a pojmenujeme proměnné, viz prezentace k tématu Popisná

Více

Problematika analýzy rozptylu. Ing. Michael Rost, Ph.D.

Problematika analýzy rozptylu. Ing. Michael Rost, Ph.D. Problematika analýzy rozptylu Ing. Michael Rost, Ph.D. Úvod do problému Již umíte testovat shodu dvou středních hodnot prostřednictvím t-testů. Otázka: Jaké předpoklady musí být splněny, abyste mohli použít

Více

Jednovýběrový Wilcoxonův test a jeho asymptotická varianta (neparametrická obdoba jednovýběrového t-testu)

Jednovýběrový Wilcoxonův test a jeho asymptotická varianta (neparametrická obdoba jednovýběrového t-testu) Jednovýběrový Wilcoxonův test a jeho asymptotická varianta (neparametrická obdoba jednovýběrového t-testu) Frank Wilcoxon (1892 1965): Americký statistik a chemik Nechť X 1,..., X n je náhodný výběr ze

Více

VYBRANÉ DVOUVÝBĚROVÉ TESTY. Martina Litschmannová

VYBRANÉ DVOUVÝBĚROVÉ TESTY. Martina Litschmannová VYBRANÉ DVOUVÝBĚROVÉ TESTY Martina Litschmannová Obsah přednášky Vybrané dvouvýběrové testy par. hypotéz test o shodě rozptylů (F-test), testy o shodě středních hodnot (t-test, Aspinové-Welchův test),

Více

Testy. Pavel Provinský. 19. listopadu 2013

Testy. Pavel Provinský. 19. listopadu 2013 Testy Pavel Provinský 19. listopadu 2013 Test a intervalový odhad Testy a intervalové odhady - jsou vlastně to samé. Jiný je jen úhel pohledu. Lze přecházet od jednoho k druhému. Například: Při odvozování

Více

15. T e s t o v á n í h y p o t é z

15. T e s t o v á n í h y p o t é z 15. T e s t o v á n í h y p o t é z Na základě hodnot náhodného výběru činíme rozhodnutí o platnosti hypotézy o hodnotách parametrů rozdělení nebo o jeho vlastnostech. Rozeznáváme dva základní typy testů:

Více

RNDr. Eva Janoušová doc. RNDr. Ladislav Dušek, Dr.

RNDr. Eva Janoušová doc. RNDr. Ladislav Dušek, Dr. Analýza dat pro Neurovědy RNDr. Eva Janoušová doc. RNDr. Ladislav Dušek, Dr. Jaro 2014 Institut biostatistiky Janoušová, a analýz Dušek: Analýza dat pro neurovědy Blok 4 Jak a kdy použít parametrické a

Více

Pravděpodobnost a matematická statistika Doc. RNDr. Gejza Dohnal, CSc.

Pravděpodobnost a matematická statistika Doc. RNDr. Gejza Dohnal, CSc. Pravděpodobnost a matematická statistika Doc. RNDr. Gejza Dohnal, CSc. dohnal@nipax.cz Pravděpodobnost a matematická statistika 2010 1.týden (20.09.-24.09. ) Data, typy dat, variabilita, frekvenční analýza

Více

11. cvičení z PSI prosince hodnota pozorovaná četnost n i p X (i) = q i (1 q), i N 0.

11. cvičení z PSI prosince hodnota pozorovaná četnost n i p X (i) = q i (1 q), i N 0. 11 cvičení z PSI 12-16 prosince 2016 111 (Test dobré shody - geometrické rozdělení Realizací náhodné veličiny X jsme dostali následující četnosti výsledků: hodnota 0 1 2 3 4 5 6 pozorovaná četnost 29 15

Více

UNIVERZITA OBRANY Fakulta ekonomiky a managementu. Aplikace STAT1. Výsledek řešení projektu PRO HORR2011 a PRO GRAM2011 3. 11.

UNIVERZITA OBRANY Fakulta ekonomiky a managementu. Aplikace STAT1. Výsledek řešení projektu PRO HORR2011 a PRO GRAM2011 3. 11. UNIVERZITA OBRANY Fakulta ekonomiky a managementu Aplikace STAT1 Výsledek řešení projektu PRO HORR2011 a PRO GRAM2011 Jiří Neubauer, Marek Sedlačík, Oldřich Kříž 3. 11. 2012 Popis a návod k použití aplikace

Více

NEPARAMETRICKÉ TESTY

NEPARAMETRICKÉ TESTY NEPARAMETRICKÉ TESTY Neparametrický jednovýběrový Jeden výběr jehož medián srovnáváme s nějakou hodnotou Wilcoxonův jednovýběrový test 1) Máme data z družice Hipparcos pro deklinaci (obdoba zeměpisné šířky)

Více

Me neˇ nezˇ minimum ze statistiky Michaela S ˇ edova KPMS MFF UK Principy medicı ny zalozˇene na du kazech a za klady veˇdecke prˇı pravy 1 / 33

Me neˇ nezˇ minimum ze statistiky Michaela S ˇ edova KPMS MFF UK Principy medicı ny zalozˇene na du kazech a za klady veˇdecke prˇı pravy 1 / 33 1 / 33 Méně než minimum ze statistiky Michaela Šedová KPMS MFF UK Principy medicíny založené na důkazech a základy vědecké přípravy Příklad Studie syndromu náhodného úmrtí dětí. Dvě skupiny: Děti, které

Více

31. 3. 2014, Brno Hanuš Vavrčík Základy statistiky ve vědě

31. 3. 2014, Brno Hanuš Vavrčík Základy statistiky ve vědě 31. 3. 2014, Brno Hanuš Vavrčík Základy statistiky ve vědě Motto Statistika nuda je, má však cenné údaje. strana 3 Statistické charakteristiky Charakteristiky polohy jsou kolem ní seskupeny ostatní hodnoty

Více

676 + 4 + 100 + 196 + 0 + 484 + 196 + 324 + 64 + 324 = = 2368

676 + 4 + 100 + 196 + 0 + 484 + 196 + 324 + 64 + 324 = = 2368 Příklad 1 Je třeba prověřit, zda lze na 5% hladině významnosti pokládat za prokázanou hypotézu, že střední doba výroby výlisku je 30 sekund. Přitom 10 náhodně vybraných výlisků bylo vyráběno celkem 540

Více

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA Testování hypotéz Nechť X je náhodná proměnná, která má distribuční funkci F(x, ϑ). Předpokládejme, že známe tvar distribuční funkce (víme jaké má rozdělení) a neznáme parametr

Více

Jednostranné intervaly spolehlivosti

Jednostranné intervaly spolehlivosti Jednostranné intervaly spolehlivosti hledáme jen jednu z obou mezí Princip: dle zadání úlohy hledáme jen dolní či jen horní mez podle oboustranného vzorce s tou změnou, že výraz 1-α/2 ve vzorci nahradíme

Více

4ST201 STATISTIKA CVIČENÍ Č. 7

4ST201 STATISTIKA CVIČENÍ Č. 7 4ST201 STATISTIKA CVIČENÍ Č. 7 testování hypotéz parametrické testy test hypotézy o střední hodnotě test hypotézy o relativní četnosti test o shodě středních hodnot testování hypotéz v MS Excel neparametrické

Více

JEDNOVÝBĚROVÉ TESTY. Komentované řešení pomocí programu Statistica

JEDNOVÝBĚROVÉ TESTY. Komentované řešení pomocí programu Statistica JEDNOVÝBĚROVÉ TESTY Komentované řešení pomocí programu Statistica Vstupní data Data umístěná v excelovském souboru překopírujeme do tabulky ve Statistice a pojmenujeme proměnné, viz prezentace k tématu

Více

Pravděpodobnost a aplikovaná statistika

Pravděpodobnost a aplikovaná statistika Pravděpodobnost a aplikovaná statistika MGR. JANA SEKNIČKOVÁ, PH.D. 8. KAPITOLA STATISTICKÉ TESTOVÁNÍ HYPOTÉZ 22.11.2016 Opakování: CLV příklad 1 Zadání: Před volbami je v populaci státu 52 % příznivců

Více

ADDS cviceni. Pavlina Kuranova

ADDS cviceni. Pavlina Kuranova ADDS cviceni Pavlina Kuranova Testy pro dva nezávislé výběry Mannův Whitneyho test - Založen na Wilcoxnově statistice W - založen na pořadí jednotlivých pozorování (oba výběry spojeny do jednoho celku)

Více

Zápočtová práce STATISTIKA I

Zápočtová práce STATISTIKA I Zápočtová práce STATISTIKA I Obsah: - úvodní stránka - charakteristika dat (původ dat, důvod zpracování,...) - výpis naměřených hodnot (v tabulce) - zpracování dat (buď bodové nebo intervalové, podle charakteru

Více

15. T e s t o v á n í h y p o t é z

15. T e s t o v á n í h y p o t é z 15. T e s t o v á n í h y p o t é z Na základě hodnot náhodného výběru činíme rozhodnutí o platnosti hypotézy o hodnotách parametrů rozdělení nebo o jeho vlastnostech. Rozeznáváme dva základní typy testů:

Více

12. prosince n pro n = n = 30 = S X

12. prosince n pro n = n = 30 = S X 11 cvičení z PSI 1 prosince 018 111 test střední hodnoty normálního rozdělení při známém rozptylu Teploměrem o jehož chybě předpokládáme že má normální rozdělení se směrodatnou odchylkou σ = 3 jsme provedli

Více

12. cvičení z PSI prosince (Test střední hodnoty dvou normálních rozdělení se stejným neznámým rozptylem)

12. cvičení z PSI prosince (Test střední hodnoty dvou normálních rozdělení se stejným neznámým rozptylem) cvičení z PSI 0-4 prosince 06 Test střední hodnoty dvou normálních rozdělení se stejným neznámým rozptylem) Z realizací náhodných veličin X a Y s normálním rozdělením) jsme z výběrů daného rozsahu obdrželi

Více

Neparametrické metody

Neparametrické metody Neparametrické metody Dosud jsme se zabývali statistickými metodami, které zahrnovaly předpoklady o rozdělení dat. Zpravidla jsme předpokládali normální rozdělení. Např. Grubbsův test odlehlých hodnot

Více

Testování hypotéz testy o tvaru rozdělení. Jiří Neubauer. Katedra ekonometrie, FVL, UO Brno kancelář 69a, tel

Testování hypotéz testy o tvaru rozdělení. Jiří Neubauer. Katedra ekonometrie, FVL, UO Brno kancelář 69a, tel Katedra ekonometrie, FVL, UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz Statistickou hypotézou se rozumí určité tvrzení o parametrech rozdělení zkoumané náhodné veličiny (µ, σ 2, π,

Více

Vzorová prezentace do předmětu Statistika

Vzorová prezentace do předmětu Statistika Vzorová prezentace do předmětu Statistika Popis situace: U 3 náhodně vybraných osob byly zjišťovány hodnoty těchto proměnných: SEX - muž, žena PUVOD Skandinávie, Středomoří, 3 západní Evropa IQ hodnota

Více

Přednáška IX. Analýza rozptylu (ANOVA)

Přednáška IX. Analýza rozptylu (ANOVA) Přednáška IX. Analýza rozptylu (ANOVA) Princip a metodika výpočtu Předpoklady analýzy rozptylu a jejich ověření Rozbor rozdílů jednotlivých skupin násobné testování hypotéz Analýza rozptylu jako lineární

Více

STATISTICKÉ TESTY VÝZNAMNOSTI

STATISTICKÉ TESTY VÝZNAMNOSTI STATISTICKÉ TESTY VÝZNAMNOSTI jsou statistické postupy, pomocí nichž ověřujeme, zda mezi proměnnými existuje vztah (závislost, rozdíl). Pokud je výsledek šetření statisticky významný (signifikantní), znamená

Více

Testy nezávislosti kardinálních veličin

Testy nezávislosti kardinálních veličin Testy nezávislosti kardinálních veličin Komentované řešení pomocí programu R Ústav matematiky Fakulta chemicko inženýrská Vysoká škola chemicko-technologická v Praze Načtení vstupních dat Vstupní data

Více

5. Závislost dvou náhodných veličin různých typů (kategoriální a metrická veličina)

5. Závislost dvou náhodných veličin různých typů (kategoriální a metrická veličina) 5. Závislost dvou náhodných veličin různých typů (kategoriální a metrická veličina) Cílem tématu je správné posouzení a výběr vhodného testu v závislosti na povaze metrické a kategoriální veličiny. V následující

Více

KGG/STG Statistika pro geografy

KGG/STG Statistika pro geografy KGG/STG Statistika pro geografy 8. Analýza rozptylu Mgr. David Fiedor 13. dubna 2015 Motivace dosud - maximálně dva výběry (jednovýběrové a dvouvýběrové testy) Příklad Na dané hladině významnosti α = 0,05

Více

5. T e s t o v á n í h y p o t é z

5. T e s t o v á n í h y p o t é z 5. T e s t o v á n í h y p o t é z Na základě hodnot náhodného výběru činíme rozhodnutí o platnosti hypotézy o hodnotách parametrů rozdělení nebo o jeho vlastnostech. Rozeznáváme dva základní typy testů:

Více

Cvičení ze statistiky - 8. Filip Děchtěrenko

Cvičení ze statistiky - 8. Filip Děchtěrenko Cvičení ze statistiky - 8 Filip Děchtěrenko Minule bylo.. Dobrali jsme normální rozdělení Tyhle termíny by měly být známé: Centrální limitní věta Laplaceho věta (+ korekce na spojitost) Konfidenční intervaly

Více

Testování statistických hypotéz

Testování statistických hypotéz Testování statistických hypotéz 1 Testování statistických hypotéz 1 Statistická hypotéza a její test V praxi jsme nuceni rozhodnout, zda nějaké tvrzeni o parametrech náhodných veličin nebo o veličině samotné

Více

II. Statistické metody vyhodnocení kvantitativních dat Gejza Dohnal

II. Statistické metody vyhodnocení kvantitativních dat Gejza Dohnal Základy navrhování průmyslových experimentů DOE II. Statistické metody vyhodnocení kvantitativních dat Gejza Dohnal! Testování statistických hypotéz kvalitativní odezva kvantitativní chí-kvadrát test homogenity,

Více

Pravděpodobnost a matematická statistika Doc. RNDr. Gejza Dohnal, CSc.

Pravděpodobnost a matematická statistika Doc. RNDr. Gejza Dohnal, CSc. Pravděpodobnost a matematická statistika Doc. RNDr. Gejza Dohnal, CSc. dohnal@nipax.cz Pravděpodobnost a matematická statistika 2010 1.týden (20.09.-24.09. ) Data, typy dat, variabilita, frekvenční analýza

Více

DVOUVÝBĚROVÉ A PÁROVÉ TESTY Komentované řešení pomocí programu Statistica

DVOUVÝBĚROVÉ A PÁROVÉ TESTY Komentované řešení pomocí programu Statistica DVOUVÝBĚROVÉ A PÁROVÉ TESTY Komentované řešení pomocí programu Statistica Úloha A) koncentrace glukózy v krvi V této části posoudíme pomocí párového testu, zda nový lék prokazatelně snižuje koncentraci

Více

Pravděpodobnost a matematická statistika Doc. RNDr. Gejza Dohnal, CSc.

Pravděpodobnost a matematická statistika Doc. RNDr. Gejza Dohnal, CSc. Pravděpodobnost a matematická statistika Doc. RNDr. Gejza Dohnal, CSc. dohnal@nipax.cz Pravděpodobnost a matematická statistika 2010 1.týden (20.09.-24.09. ) Data, typy dat, variabilita, frekvenční analýza

Více

2 ) 4, Φ 1 (1 0,005)

2 ) 4, Φ 1 (1 0,005) Příklad 1 Ze zásilky velkého rozsahu byl náhodně vybrán soubor obsahující 1000 kusů. V tomto souboru bylo zjištěno 26 kusů nekvalitních. Rozhodněte, zda je možné s 99% jistotou tvrdit, že zásilka obsahuje

Více

Korelace. Komentované řešení pomocí MS Excel

Korelace. Komentované řešení pomocí MS Excel Korelace Komentované řešení pomocí MS Excel Vstupní data Tabulka se vstupními daty je umístěna v oblasti A2:B84 (viz. obrázek) Prvotní představu o tvaru a síle závislosti docházky a počtu bodů nám poskytne

Více

Testování statistických hypotéz

Testování statistických hypotéz Testování statistických hypotéz Na základě náhodného výběru, který je reprezentativním vzorkem základního souboru (který přesně neznáme, k němuž se ale daná statistická hypotéza váže), potřebujeme ověřit,

Více

Příklad datového souboru. Pravděpodobnost vs. statistika. Formální definice. Teorie odhadu

Příklad datového souboru. Pravděpodobnost vs. statistika. Formální definice. Teorie odhadu Pravděpodobnost vs. statistika Teorie pravděpodobnosti pracuje s jednou nebo více teoretickými náhodnými veličinami, jejichž rozdělení je známo Statistika odvozovali jsme charakteristiky těchto rozdělení

Více

Jednofaktorová analýza rozptylu

Jednofaktorová analýza rozptylu I I.I Jednofaktorová analýza rozptylu Úvod Jednofaktorová analýza rozptylu (ANOVA) se využívá při porovnání několika středních hodnot. Často se využívá ve vědeckých a lékařských experimentech, při kterých

Více

7. Analýza rozptylu.

7. Analýza rozptylu. 7. Analýza rozptylu. Uvedeme obecnou ideu, která je založena na minimalizaci chyby metodou nejmenších čtverců. Nejdříve uvedeme několik základních tvrzení. Uvažujeme náhodný vektor Y = (Y, Y,..., Y n a

Více

Testování hypotéz o parametrech regresního modelu

Testování hypotéz o parametrech regresního modelu Statistika II Katedra ekonometrie FVL UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz Lineární regresní model kde Y = Xβ + e, y 1 e 1 β y 2 Y =., e = e 2 x 11 x 1 1k., X =....... β 2,

Více

Testy statistických hypotéz

Testy statistických hypotéz Testy statistických hypotéz Statistická hypotéza je jakýkoliv předpoklad o rozdělení pravděpodobnosti jedné nebo několika náhodných veličin. Na základě náhodného výběru, který je reprezentativním vzorkem

Více

Statistika. Testování hypotéz statistická indukce Neparametrické testy. Roman Biskup

Statistika. Testování hypotéz statistická indukce Neparametrické testy. Roman Biskup Statistika Testování hypotéz statistická indukce Neparametrické testy Roman Biskup (zapálený) statistik ve výslužbě, aktuálně analytik v praxi ;-) roman.biskup(at)email.cz 21. února 2012 Statistika by

Více

Testování hypotéz. 1 Jednovýběrové testy. 90/2 odhad času

Testování hypotéz. 1 Jednovýběrové testy. 90/2 odhad času Testování hypotéz 1 Jednovýběrové testy 90/ odhad času V podmínkách naprostého odloučení má voák prokázat schopnost orientace v čase. Úkolem voáka e provést odhad časového intervalu 1 hodiny bez hodinek

Více

Testování hypotéz o parametrech regresního modelu

Testování hypotéz o parametrech regresního modelu Testování hypotéz o parametrech regresního modelu Ekonometrie Jiří Neubauer Katedra kvantitativních metod FVL UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz Jiří Neubauer (Katedra UO

Více

Testování hypotéz. 1. vymezení základních pojmů 2. testování hypotéz o rozdílu průměrů 3. jednovýběrový t-test

Testování hypotéz. 1. vymezení základních pojmů 2. testování hypotéz o rozdílu průměrů 3. jednovýběrový t-test Testování hypotéz 1. vymezení základních pojmů 2. testování hypotéz o rozdílu průměrů 3. jednovýběrový t-test Testování hypotéz proces, kterým rozhodujeme, zda přijmeme nebo zamítneme nulovou hypotézu

Více

Statgraphics v. 5.0 STATISTICKÁ INDUKCE PRO JEDNOROZMĚRNÁ DATA. Martina Litschmannová 1. Typ proměnné. Požadovaný typ analýzy

Statgraphics v. 5.0 STATISTICKÁ INDUKCE PRO JEDNOROZMĚRNÁ DATA. Martina Litschmannová 1. Typ proměnné. Požadovaný typ analýzy Dichotomická proměnná (0-1) Spojitá proměnná STATISTICKÁ INDUKCE PRO JEDNOROZMĚRNÁ DATA Typ proměnné Požadovaný typ analýzy Ověření variability Předpoklady Testy, resp. intervalové odhad Test o rozptylu

Více

Normální (Gaussovo) rozdělení

Normální (Gaussovo) rozdělení Normální (Gaussovo) rozdělení Normální (Gaussovo) rozdělení popisuje vlastnosti náhodné spojité veličiny, která vzniká složením různých náhodných vlivů, které jsou navzájem nezávislé, kterých je velký

Více

TESTOVÁNÍ HYPOTÉZ STATISTICKÁ HYPOTÉZA Statistické testy Testovací kritérium = B B > B < B B - B - B < 0 - B > 0 oboustranný test = B > B

TESTOVÁNÍ HYPOTÉZ STATISTICKÁ HYPOTÉZA Statistické testy Testovací kritérium = B B > B < B B - B - B < 0 - B > 0 oboustranný test = B > B TESTOVÁNÍ HYPOTÉZ Od statistického šetření neočekáváme pouze elementární informace o velikosti některých statistických ukazatelů. Používáme je i k ověřování našich očekávání o výsledcích nějakého procesu,

Více

Náhodné veličiny, náhodné chyby

Náhodné veličiny, náhodné chyby Náhodné veličiny, náhodné chyby Máme náhodnou veličinu X, jejíž vlastnosti zkoumáme. Pokud známe její rozložení (např. z nějaké dřívější studie) nebo alespoň předpokládáme znalost rozložení, můžeme ji

Více

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA Definice lineárního normálního regresního modelu Lineární normální regresní model Y β ε Matice n,k je matice realizací. Předpoklad: n > k, h() k - tj. matice je plné hodnosti

Více

KGG/STG Statistika pro geografy

KGG/STG Statistika pro geografy KGG/STG Statistika pro geografy 9. Korelační analýza Mgr. David Fiedor 20. dubna 2015 Analýza závislostí v řadě geografických disciplín studujeme jevy, u kterých vyšetřujeme nikoliv pouze jednu vlastnost

Více

Normální (Gaussovo) rozdělení

Normální (Gaussovo) rozdělení Normální (Gaussovo) rozdělení f x = 1 2 exp x 2 2 2 f(x) je funkce hustoty pravděpodobnosti, symetrická vůči poloze maxima x = μ μ střední hodnota σ směrodatná odchylka (tzv. pološířka křivky mezi inflexními

Více

Průzkumová analýza dat

Průzkumová analýza dat Průzkumová analýza dat Proč zkoumat data? Základ průzkumové analýzy dat položil John Tukey ve svém díle Exploratory Data Analysis (odtud zkratka EDA). Často se stává, že data, se kterými pracujeme, se

Více

Cvičení 9: Neparametrické úlohy o mediánech

Cvičení 9: Neparametrické úlohy o mediánech Cvičení 9: Neparametrické úlohy o mediánech Úkol 1.: Párový znaménkový test a párový Wilcoxonův test Při zjišťování kvality jedné složky půdy se používají dvě metody označené A a B. Výsledky: Vzorek 1

Více

Statistická analýza jednorozměrných dat

Statistická analýza jednorozměrných dat Statistická analýza jednorozměrných dat Prof. RNDr. Milan Meloun, DrSc. Univerzita Pardubice, Pardubice 31.ledna 2011 Tato prezentace je spolufinancována Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem

Více

10. cvičení z PST. 5. prosince T = (n 1) S2 X. (n 1) s2 x σ 2 q χ 2 (n 1) (1 α 2 ). q χ 2 (n 1) 2. 2 x. (n 1) s. x = 1 6. x i = 457.

10. cvičení z PST. 5. prosince T = (n 1) S2 X. (n 1) s2 x σ 2 q χ 2 (n 1) (1 α 2 ). q χ 2 (n 1) 2. 2 x. (n 1) s. x = 1 6. x i = 457. 0 cvičení z PST 5 prosince 208 0 (intervalový odhad pro rozptyl) Soubor (70, 84, 89, 70, 74, 70) je náhodným výběrem z normálního rozdělení N(µ, σ 2 ) Určete oboustranný symetrický 95% interval spolehlivosti

Více

ANALÝZA DAT V R 7. KONTINGENČNÍ TABULKA. Mgr. Markéta Pavlíková Katedra pravděpodobnosti a matematické statistiky MFF UK.

ANALÝZA DAT V R 7. KONTINGENČNÍ TABULKA. Mgr. Markéta Pavlíková Katedra pravděpodobnosti a matematické statistiky MFF UK. ANALÝZA DAT V R 7. KONTINGENČNÍ TABULKA Mgr. Markéta Pavlíková Katedra pravděpodobnosti a matematické statistiky MFF UK www.biostatisticka.cz PŘEHLED TESTŮ rozdělení normální spojité alternativní / diskrétní

Více

Pracovní adresář. Nápověda. Instalování a načtení nového balíčku. Importování datového souboru. Práce s datovým souborem

Pracovní adresář. Nápověda. Instalování a načtení nového balíčku. Importování datového souboru. Práce s datovým souborem Pracovní adresář getwd() # výpis pracovního adresáře setwd("c:/moje/pracovni") # nastavení pracovního adresáře setwd("c:\\moje\\pracovni") # nastavení pracovního adresáře Nápověda?funkce # nápověda pro

Více

Ing. Michael Rost, Ph.D.

Ing. Michael Rost, Ph.D. Úvod do testování hypotéz, jednovýběrový t-test Ing. Michael Rost, Ph.D. Testovaná hypotéza Pokud nás zajímá zda platí, či neplatí tvrzení o určitém parametru, např. o parametru Θ, pak takovéto tvrzení

Více

Testování statistických hypotéz. Ing. Michal Dorda, Ph.D. 1

Testování statistických hypotéz. Ing. Michal Dorda, Ph.D. 1 Testování statistických hypotéz Ing. Michal Dorda, Ph.D. 1 Úvodní poznámky Statistickou hypotézou rozumíme hypotézu o populaci (základním souboru) např.: Střední hodnota základního souboru je rovna 100.

Více

Vysoká škola ekonomická v Praze

Vysoká škola ekonomická v Praze Vysoká škola ekonomická v Praze Fakulta informatiky a statistiky Studijní program: Kvantitativní metody v ekonomice Studijní obor: Statistické metody v ekonomii Autor bakalářské práce: Jakub Zajíček Vedoucí

Více

Neparametrické testy

Neparametrické testy Neparametrické testy Dosud jsme se zabývali statistickými metodami, které zahrnovaly předpoklady o rozdělení dat. Zpravidla jsme předpokládali normální (Gaussovo) rozdělení. Například: Grubbsův test odlehlých

Více

Matematická statistika. Testy v. v binomickém. Test pravděpodobnosti. Test homogenity dvou. Neparametrické testy. statistika. Testy v.

Matematická statistika. Testy v. v binomickém. Test pravděpodobnosti. Test homogenity dvou. Neparametrické testy. statistika. Testy v. Opakování Opakování: y o střední hodnotě normálního 1 jednovýběrový t-test 2 párový t-test 3 výběrový t-test Šárka Hudecová Katedra a matematické statistiky Matematicko-fyzikální fakulta Univerzity Karlovy

Více

STATISTIKA A INFORMATIKA - bc studium OZW, 1.roč. (zkušební otázky)

STATISTIKA A INFORMATIKA - bc studium OZW, 1.roč. (zkušební otázky) STATISTIKA A INFORMATIKA - bc studium OZW, 1.roč. (zkušební otázky) 1) Význam a využití statistiky v biologických vědách a veterinárním lékařství ) Rozdělení znaků (veličin) ve statistice 3) Základní a

Více

PSY117/454 Statistická analýza dat v psychologii seminář 9. Statistické testování hypotéz

PSY117/454 Statistická analýza dat v psychologii seminář 9. Statistické testování hypotéz PSY117/454 Statistická analýza dat v psychologii seminář 9 Statistické testování hypotéz Základní výzkumné otázky/hypotézy 1. Stanovení hodnoty parametru =stanovení intervalu spolehlivosti na μ, σ, ρ,

Více

Cvičení 12: Binární logistická regrese

Cvičení 12: Binární logistická regrese Cvičení 12: Binární logistická regrese Příklad: V roce 2014 konalo státní závěrečné zkoušky bakalářského studia na jisté fakultě 167 studentů. U každého studenta bylo zaznamenáno jeho pohlaví (0 žena,

Více

Normální rozložení a odvozená rozložení

Normální rozložení a odvozená rozložení I Normální rozložení a odvozená rozložení I.I Normální rozložení Data, se kterými pracujeme, pocházejí z různých rozložení. Mohou být vychýlena (doleva popř. doprava, nebo v nich není na první pohled vidět

Více

5 Vícerozměrná data - kontingenční tabulky, testy nezávislosti, regresní analýza

5 Vícerozměrná data - kontingenční tabulky, testy nezávislosti, regresní analýza 5 Vícerozměrná data - kontingenční tabulky, testy nezávislosti, regresní analýza 5.1 Vícerozměrná data a vícerozměrná rozdělení Při zpracování vícerozměrných dat se hledají souvislosti mezi dvěma, případně

Více

Testy dobré shody Máme dvě veličiny, u kterých bychom chtěli prokázat závislost, TESTY DOBRÉ SHODY (angl. goodness-of-fit tests)

Testy dobré shody Máme dvě veličiny, u kterých bychom chtěli prokázat závislost, TESTY DOBRÉ SHODY (angl. goodness-of-fit tests) Testy dobré shody Máme dvě veličiny, u kterých bychom chtěli prokázat závislost, např. hmotnost a pohlaví narozených dětí. Běžný statistický postup pro ověření závislosti dvou veličin je zamítnutí jejich

Více

Návod na vypracování semestrálního projektu

Návod na vypracování semestrálního projektu Návod na vypracování semestrálního projektu Následující dokument má charakter doporučení. Není závazný, je pouze návodem pro studenty, kteří si nejsou jisti výběrem dat, volbou metod a formou zpracování

Více

Porovnání dvou výběrů

Porovnání dvou výběrů Porovnání dvou výběrů Menu: QCExpert Porovnání dvou výběrů Tento modul je určen pro podrobnou analýzu dvou datových souborů (výběrů). Modul poskytuje dva postupy analýzy: porovnání dvou nezávislých výběrů

Více

Intervaly spolehlivosti

Intervaly spolehlivosti Intervaly spolehlivosti = intervalové odhady neznámého parametru (odhad pro π, µ, σ 2, ), odvozují se z příslušné CLV spolehlivost = 1 α = pravděpodobnost, že neznámá hodnota parametru je intervalem pokryta;

Více

STATISTIKA VĚDA O USUZOVÁNÍ NA ZÁKLADĚ DAT. Patrícia Martinková Ústav informatiky AV ČR

STATISTIKA VĚDA O USUZOVÁNÍ NA ZÁKLADĚ DAT. Patrícia Martinková Ústav informatiky AV ČR STATISTIKA VĚDA O USUZOVÁNÍ NA ZÁKLADĚ DAT Patrícia Martinková Ústav informatiky AV ČR martinkova@cs.cas.cz www.cs.cas.cz/martinkova 1.LF UK, 22. a 30. března 2017 Motivace 1 Velké množství (medicínských

Více

4EK211 Základy ekonometrie

4EK211 Základy ekonometrie 4EK211 Základy ekonometrie ZS 2015/16 Cvičení 1: Opakování ze statistiky LENKA FIŘTOVÁ KATEDRA EKONOMETRIE, FAKULTA INFORMATIKY A STATISTIKY VYSOKÁ ŠKOLA EKONOMICKÁ V PRAZE Z čeho studovat 1) Z KNIHY Krkošková,

Více

diskriminaci žen letní semestr 2012 1 = výrok, o jehož pravdivosti chceme rozhodnout tvrzení o populaci, o jehož platnosti rozhodujeme

diskriminaci žen letní semestr 2012 1 = výrok, o jehož pravdivosti chceme rozhodnout tvrzení o populaci, o jehož platnosti rozhodujeme motivační příklad Párový Párový Příklad (Platová diskriminace) firma provedla šetření s cílem zjistit, zda dochází k platové diskriminaci žen Šárka Hudecová Katedra pravděpodobnosti a matematické statistiky

Více