I. PŘÍKLADY Z FINANČNÍ MATEMATIKY Rozšíření spektra příkladů ze skript Bezvoda, Blahuš. Verze 11.3 2009 Metodické poznámky k zadaným příkladům. Všude jsou výsledky, zhusta naznačen postup. Výpočty je nutno zvládnout pomocí kalkulačky. Technické příčiny i pojetí přednášky nedovolují zahrnout do zkoušky použití Excelu. Nebude-li řečeno jinak, uvažujeme časový standard 30E/360, sazby roční a daň z výnosů 15% vybíraná srážkou. 1. V písemce nebude třeba určovat počty dní dlouhých časových intervalů 2. Př. 10/I. Vistasměnka je nástroj založený na úrokové sazbě i, tedy na polhůtní konstrukci odměny Václav Bezvoda Časové standardy Pro zvládnutí používání časových standardů sestavte tabulku, ve které budou uvedeny počty dní t typických časových intervalů podle všech používaných časových standardů. Nepracujte s dlouhými časovými intervaly. Vhodné je např..: Start Konec ACT 30E 30A 22.2.2008 3.3.2008 10 11 11 30.3.2008 30.5.2008 61 60 60 31.3.2008 31.5.2008 61 60 60 30.3.2008 31.5.2008 62 60 60 31.3.2008 30.5.2008 60 60 60 28.3.2008 31.5.2008 64 62 63 Zdůvodněte rozdíly a určete odpovídající hodnoty t r podle v praxi používaných standardů. I. Příklady na procvičení jednoduchého úročení (jednoduché úročení často plní úlohu dolního odhadu u úloh složeného úročení) Za připomínky všeho druhu předem děkujeme Nebude-li řečeno jinak, uvažuje se úroková sazba p.a. a časový standard 30E/360 Zápis tučně něco zvýrazňuje; nemá žádný zvláštní věcný význam 1. Klient uložil u banky 10 tis. Kč na období osm měsíců při úrokové sazbě 2% p.a. Jak velký bude úrok a jakou částku bude mít klient na účtu po uplynutí sjednané doby? Pojmenujte správně všechny použité veličiny. Jak se změní U, zvětší-li se i dvakrát a současně se doba trvání úvěru dvakrát zmenší? U = 10 000 * 0,02 * 8 / 12 = 133,33 Kč F = 10 000 ( 1 + 0,02 * 8 / 12 ) = 10 133,33 Kč Velikost U se nezmění Str. 1 z 9
2. Společnost se smluvně dohodla se svým odběratelem na uhrazení pohledávky ve výši 2 mil. Kč o šest měsíců později s tím, že částka pohledávky bude navýšena na 2,1 mil. Kč. Jaká úroková sazba (ve vyjádření p.a.) byla použita pro navýšení pohledávky? i = (U/P)/t r = (0,1 / 2 ) / 0,5 = 10 % 3. Jakou částku musí klient dnes uložit na svůj jednoduše úročený (netypické!) termínovaný vklad, aby za tři roky disponoval s částkou 500 tis. Kč? Uvažujte úrokovou sazbu u termínovaného účtu ve výši 1,5% p.a. a srážkovou daň z přijatých úroků ve výši 15%. Spočtěte také velikost vkladu v nedaněném případě! Proveďte zkoušku P = 500 / ( 1 + 0,015 (1-0,15) 3) = 481,6 Kč F = 481,6. (1 + 0,015. 0,85. 3) = 500,02 Případ bez daně v tis. Kč: P 2 = 500 / ( 1 + 0,015. 3) = 478,47 Kč Proč je P 1 větší, než P 2 4. Jak dlouhou dobu je nutné mít uloženy finanční prostředky na jednoduše úročeném běžném účtu se sazbou 2% p.a., aby se vložená částka zdvojnásobila? Uvažte případ nedaněný i zatížený srážkovou daní 15%. Bez daně: 2 = ( 1 + 0,02 n ) => n = 1 / 0,02 = 50 (let) (Návod: Použít např. vzorec t r =((F-P)/P)/i, kde F = 2P), místo t r > 1 píšeme často n resp. zdaněno 15% 2 = ( 1 + 0,02. 0,85 n ) => n = 1 / 0,017 = 58,82(let 5. Věřitel nabízí dlužníkovi dvě možnosti uhrazení závazku: a) za rok částkou 15 mil. Kč b) za dva roky částkou 16 mil. Kč Jaká varianta je pro dlužníka výhodnější, jestliže je schopen si obstarat nyní potřebné finanční zdroje a zhodnocovat je sazbou jednoduchého úročení 4% p.a.? a) P = 15 000 000 / ( 1 + 0,04 * 1 ) = 14,42 mil. Kč výhodnější b) P = 16 000 000 / ( 1 + 0,04 * 2) = 14,79 mil. Kč K: Obstarám si 14,471; za půl roku bude 15 mio, zaplatím dluh nebo obstarám si 15,384; za rok bude 16 mio, zaplatím dluh co je lepší z hlediska výnosu? Uvážit však musím hledisko likvidity i všechna rizika. 6. Banka nabízí termínovaný vklad s úrokovou sazbou jednoduchého úročení 0,5 % p.q. S jakou částkou bude disponovat klient, jestliže bude mít 40 tis. Kč uloženo na uvedeném termínovaném vkladu rok a půl? F = 40 000 ( 1 + 0,005 * 4 * 1,5 ) = 41 200 Kč Str. 2 z 9
7. Klient uloží částku 20 000 Kč na běžný účet 15.10.2006. Jakou částku bude mít k dispozici 14.2.2007, jestliže běžný účet je úročen sazbou 1% p.a. bez připisování úroků. Uvažujte konvenci 30E/360. F = 20 000 ( 1 + 0,01 * 119 / 360 ) = 20 066,1 Kč 8. Jakou částku musí klient uložit dne 17.2.2007, aby dne 2.9.2007 disponoval částkou 1 mil. Kč? Uvažujte termínovaný vklad úročený sazbou 0,5% p.s., srážkovou daň z přijatých úroků ve výši 15% a konvenci úročení ACT/ACT. n P = 1 000 000 / ( 1 + 0,005 * 2 * ( 197 /365) * ( 1 0,15 )) = 994 631,7 Kč 9.(II Společnost obdržela za dodání zboží úhradu směnkou fixní (ze zákona neúročenou), která zní na směnečnou sumu 10 mil. Kč. Směnka je splatná 8.8.2007. Jakou částku společnost získá při eskontu směnky bankou dne 22.7.2007, jestliže sazba diskontu banky je ve výši 4% p.a.? Kolik činí diskont? Použijte standard ACT/365. Uvažte dále případ, že banka navíc účtuje 0,05 % směnečné částky jako pohyblivou provizi a 1000 Kč jako provizi pevnou D = 18 630,14 P = 10 000 000 (1-0,04*17/365) = 9 981 369,86 Pohyblivá provize činí 5000 Kč, provize celkem 6000Kč Společnost obdrží pak 9 975 369,86 Kč 10. Vista směnka (zákonem povoleno úročení) zní na částku 200 tis. Kč, je na ní uvedena úroková doložka ve výši 3% p.a. a datum vystavení 12.10.2006. Jakou částku dostane majitel směnky vyplacenou výstavcem dne 10.2.2007? Použijte standard ACT/365 F = 200 000 (1+0,03*121/365) = 201 989 11. Banka eskontovala směnku znějící na částku 800 000,- Kč 32 dnů před splatností (standard ACT/365). Použila přitom sazbu diskontu 9,5%. Banka navíc účtovala 0,15% ze směnečné částky jako provizi a 1000,- Kč jako pevný poplatek (odměnu) za služby. Jak n velký eskontní úvěr banka poskytla? Jaká byla celková hrubá výnosnost banky? Použijte standard ACT/365. D = 800 000*0,095*32/365= 6663,01 ; Provize = 800 000*0,0015 = 1200 ; Odm = 1000 P = 791 137, y celk = 12,78% 12. Diskontní vkladní list (dep.certifikát) znějící na USD20 000 nedaněný se dnem splatnosti 12.6.2006 byl zakoupen (a vypořádán) dne 17.5.2006 za USD 19 790. Kolik činil diskont a kolik roční diskontní sazba? Jaká byla výnosnost? Zvolte vhodný standard a zdůvodněte jej! Standard ACT/365, t = 26 D = 210, d = D / (F * t r ) = 14,74 %, i = 14,90 % Str. 3 z 9
13.Obtížný Typickým příkladem vlastní vista směnky je depozitní směnka. Zopakujte si její vlastnosti! (Např. nevztahuje se na ni pojištění a není daněna srážkou.) Depozitní směnka byla vystavena na sumu 500 000,- Kč na jeden měsíc dne 15.4.2000 při i = 4,85%. Po uplynutí jednoho měsíce bude směnka úročena další měsíc za stejných podmínek. a) Použijte časový standard ACT/360 a určete, jaký bude minimální a maximální úrok b) Jakou hodnotu představuje směnka jako platební nástroj ke dni 5.5.2000 při dohodnuté sazbě diskontu d = 8% a stejném časovém standardu (je to vhodný standard?) a) F min = 500 000*0,0485*30/360 = 502 020,82 U min = 2020,83 U max = 4109,03 b) Počet dní do spl.směnky je 10, kdy bude vyplaceno F min. Odpovídající diskont je D = 502 020,82*0,08*10/360 = 1115,60 ; P plat = F min.- D = 500 905,20 Standard z hlediska teoretického vhodný není, zvýhodňuje věřitele. 14. Diskontní vkladní list (dep.certifikát) znějící na USD 20 000 (nedaněný) se dnem splatnosti 12.6.2006 byl zakoupen dne 17.5.2006 za USD 19 790. Kolik činil diskont a kolik roční diskontní sazba? Jaká byla výnosnost? Zvolte vhodný standard a zdůvodněte jej! Nejvhodnější se jeví standard ACT / 365 D = USD 210 d = 210 /(20 000*26/365) = 14,74% 15. Úročený diskontní vkladní list se jmenovitou hodnotou 10 000 a úrokovou sazbou 3,5% p.a. je splatný za jeden rok. Určete hrubý a čistý výnos. Dále určete, jaký diskontní vkladní list s okrouhlou budoucí hodnotou odpovídá (přibližně) danému cennému papíru? Jaký diskontní produkt odpovídá přesně? U posledních dvou určete d a i Původní cenný papír má F = 10 350,-. Diskontní CP pro F = 10 000,- a P = 9650,- má parametry d = 3,5% a i = 3,63%. Přesně původnímu CP vyhovuje F = 10 350,-, P = 10 000,- a tedy d = 3,382% a přirozeně i = 3,5% II. Příklady na procvičení složeného úročení a úlohy smíšené Písmena SM za číslem příkladu značí smíšenou úlohu (JU a SU) 1SM Jaký úrok budete mít 31.12.2002 na vkladní knížce založené 31.12.2000 se základním vkladem 150 000,- Kč při úrokové sazbě 3,5%? Připisování úroku děje se vždy na konci kalendářního roku. Jaký (větší čí menší) by byl odpovídající jednoduchý úrok? F slož = 150 000*(1+0,035)^2 = 160 683,75 F jedn = 160500 tedy méně 2SM Spočtěte úrok z šestiměsíčního vkladu 10 000,- Kč a úrokové sazbě 6% p.a.na vkladní knížce v případě, že prostředky byly uloženy 1. 31.1.1998 a vybrány 31.7.1998 2. 30.9.1997 a vybrány 31.3.1998 a úroky se připisují každoročně k 31.12. 1. U 1 =300,- Kč; 2. F 1 = 10302,50, tedy U 2 = 302,50 Kč Funkce Excelu: F 1 = BUDHODNOTA(6%;2;0;150000;0) Str. 4 z 9
3. Pan Novák si u banky zřídil termínovaný vklad s revolvingem s počátečním vkladem 50 tis. Kč. Jaká částka bude na jeho účtu za čtyři roky v případě, že banka úročí příslušný vklad úrokovou sazbou 2% p.a. při ročním připisování úroků a jakou při připisování měsíčním? F 1rok = 50 000 * (1+0,02)^4 = 54 121,61 F 1měs = 50 000 * (1+0,02/12)^48 = 54 160,75 Častější připisování vede k většímu úroku Funkce Ex.: F slož1rok = BUDHODNOTA(2%;4;0;50000;0) resp = BUDHODNOTA(2%/12;4*12;0;50000;0) 4.Jakou částku by pan N. získal v případě jednoduchého úročení (dolní odhad úlohy 1) F jedn = 50 000 (1+0,02*4) = 54 000 5. Kolik získá pan N. v případě vkladu zatíženého srážkovou daní 15%? i daněné = i * (1 0,15) = 0,85 F 1rok = 50 000 * (1+0,02*0,85)^4 = 53 487,69 6. Jakou úrokovou sazbou musí být úročen účet, jestliže se hodnota finančních prostředků uložených na tomto účtu při ročním připisování úroků za 28 let zdvojnásobí? Jak se změní situace v případě, že úroky se budou připisovat dvakrát do roka Roční i(p.a.) = 2^(1/28 ) -1 = 2.506 % Vzorec i = (F/P)^(1/n) - 1 pro F = 2.P, Půlroční i(p.s.) = 2^(1/56) - 1 = 1,245 % p.s., tj. i nom = 2,490 %,s půlročním připisováním Funkce Ex.: y = ÚROKOVÁ.MÍRA(28;0;-1;2;0). Všimněte si rozdílných znamének parametrů a zdůvodněte je 7. Bezkupónový dluhopis o nominální hodnotě 10.000,- Kč splatný za tři roky se na trhu prodává za částku 8.890,- Kč. Jak vysoký hrubý výnos do splatnosti tento dluhopis investorovi přinese? y = 0,03999 8. Jakou částku musí klient dnes vložit na účet u banky, aby za dva a půl roku disponoval částkou 500 tis. Kč? Uvažujte úrokovou sazbu 0,5% p.s. a pololetní frekvenci úročení. P = 500 000 / (1+0,005)^(2.5*2) = 487 685 9.SM.Obtížný. Klient vložil na svůj účet u banky 20 tis. Kč. Za jak dlouhou dobu při ročním připisování úroků hodnota jeho vkladu vzroste na 28 tis. Kč, jestliže vklad u banky je úročen úrokovou sazbou 2% p.a. a uvažujeme srážkovou daň z přijatých úroků ve výši 15%? T = ln(28 000 / 20 000) / ln(1+0.02(1-0,15)) = 19,96, přibližně 20 let Jakou dobu by musel klient spořit v případě jinak stejných parametrů v případě jednoduchého úročení (dolní či lépe mezní odhad) Str. 5 z 9
T jedn = (28 000 / 20 000 1) / (0,02. 0,85) =23,53 let 10. Obtížný. Jaká byla úroková sazba z vkladu, jestliže částka 20 000,- Kč vzrostla v průběhu 4 let na 27 000,-? Úroky byly připisovány jedenkrát ročně, jinak bez pohybu. Jaká by byla odpovídající sazba v případě bez připisování. Vysvětlete rozdíl! i slož = (27/20)^0,25 1 = 0,078 ve složeném úročení; i jedn = 0,0875 v případě bez připisování 11. SM Klient vložil na svůj účet u banky 20 tis. Kč. Za jak dlouhou dobu při ročním připisování úroků hodnota jeho vkladu vzroste na 28 tis. Kč, jestliže vklad u banky je úročen úrokovou sazbou 2% p.a. a uvažujeme srážkovou daň z přijatých úroků ve výši 15%? n bez daně = ln(28 000 / 20 000) / ln(1+0.02) = 16,99 let a n s daní = ln(28 000 / 20 000) / ln(1+0.02(1-0,15)) = 19,96 let 12. Jakou dobu by musel klient spořit v případě jinak stejných parametrů jako v úloze 8 v případě jednoduchého úročení (dolní či lépe mezní odhad). Uvažte případ bez daně i s daní t r JU,bez daně = (28 000 / 20 000 1) / 0,02 =20 let t r JU,s daní = (28 000 / 20 000 1) / (0,02. 0,85) =23,53 let 13. Bezkupónový dluhopis o nominální hodnotě 10.000,- Kč splatný za tři roky se na trhu prodává za částku 8.890,- Kč. Jak vysoký hrubý výnos do splatnosti tento dluhopis investorovi přinese? y = 0,0399 14. Odběratel nabízí tři způsoby uhrazení částky za odebrané zboží. Která z těchto možností je pro dodavatele nejvýhodnější: a) okamžitě uhradí částku 2,4 mil. Kč b) za rok uhradí částku 2,6 mil. Kč c) za 2 roky uhradí částku 2,7 mil. Kč Uvažujme, že dodavatel může je zhodnocovat volné prostředky sazbou 5% p.a. Nakreslete peněžní toky! počet let odúročitel PV 2,4 0 1 2,400 2,6 1 1,05 2,476 2,7 2 1,1025 2,449 15. Obtížný Klient čerpal u banky úvěr ve výši 50 tis. Kč při úrokové sazbě 10% p.a. Po roce splatil částku 8 tis. Kč, v dalším roce částku X a konečně v dalším roce doplatil zbývající částku úvěru ve výši 45,87 tis. Kč. V jaké výši byla druhá splátka označená jako X? Nakreslete peněžní toky! první rok druhý rok třetí rok na začátku roku 50 47 41,7 Úrok 5 4,7 4,17 Splátka -8-10 -45,87 Str. 6 z 9
na konci roku 47 41,7 0 50000 = 8/1,1 + X/1,21 + 45870/1,331 16. Klient vloží na účet u banky 200 tis. Kč na dobu 3 let při úrokové sazbě 1% p.a. a čtvrtletní frekvenci úročení. Jakou částku bude mít k okamžiku ukončení vkladu na účtu? F = 200 000 (1+0,01/4)^(3*4) =206 083,20 17. Jakou částku musí klient dnes vložit na účet u banky, aby za dva a půl roku disponoval částkou 500 tis. Kč? Uvažujte úrokovou sazbu 0,5% p.s. a pololetní frekvenci úročení. P = 500 000 / (1+0,005)^(2.5*2) = 487 685,33 18. Klient si má zvolit z následujících tří možností jak si uložit své peněžní prostředky. Která z nich je pro něho nejvýhodnější: a) na účet úročený sazbou 2,12% p.a. s roční frekvencí úročení, b) na účet úročený sazbou 2,1% p.a. s čtvrtletní frekvencí úročení, c) na účet úročený sazbou 2,05% p.a. s měsíční frekvencí úročení. Nom. sazba Frekvence Efektivní sazba 2,12% 1 2,120% 2,1% 4 2,117% 2,05% 12 2,069% III. Oceňování investic (úlohy na diskontování slož.úročení 1. Firma zvažuje investiční projekt, který by v následujících třech letech měl přinést tato čistá cash flow: Rok 0-50 mil. Kč Rok 1 15 mil. Kč Rok 2 35 mil. Kč Rok 3 15 mil. Kč Má pro firmu smysl tento projekt realizovat jestliže její požadovaná výnosnost je ve výši 10% p.a.? Ano, má, pokud při výnosnosti do splatnosti 10% bude PV > 0 cash flow diskotní faktor, i=10% současná hodnota -50 1,00-50,00 15 0,91 13,64 35 0,83 28,93 15 0,75 11,27 Celkem 3,83 Str. 7 z 9
2. Firma se rozhoduje mezi následujícími třemi investičními projekty. Který je pro ni z hlediska čisté současné hodnoty nejvýhodnější, jestliže pracuje s požadovanou výnosností ve výši 8% p.a.? Projekt A Projekt B Projekt C Rok 0-10 mil. Kč -12 mil. Kč -15 mil. Kč Rok 1 7 mil. Kč 10 mil. Kč 9 mil. Kč Rok 2 7 mil. Kč 6 mil. Kč 10 mil. Kč Rok A B C 0-10 -12-15 1 6,481 9,259 8,333 2 6,001 5,144 8,573 2,483 2,403 1,907 Projekt A představuje za daných podmínek nejvyšší výnos. IV: Anuity Jaké budou konstantní polhůtní roční splátky desetiletého úvěru 10 000,- Kč při úrokové sazbě 11% p.a.?. Uvažujte standard 30E/360 =(1+i)^n 2,839 Koeficient 5,889 Splátka 1698,01 ((1+i)^n 1)/(i. (1+i)^n) 2. Jaký hypotéční úvěr odpovídá měsíčním splátkám 5500,- Kč po dobu 10 let při konstantní anualizované (nominální) úrokové sazbě 6% (1+i nom /12)^120 1,819 koef.(1+i nom /12)^120-1)/((1+i nom /12)^120.i nom /12) 90,073 P= 495403,99 4. Jaká jm.hodn.odpovídá polh.perpetuitě, která při úrokové sazbě 6,25% vyplácí ročně 800,- Kč. K = P.i ; P = K/i K = U, P = N Znam. nerespektujeme K = 800,00 Kč P = 12 800 Kč i(p.a.) = 6,25% 5. Jaký měsíční úrok odpovídá perpetuitě N = 10 000 Kč při úrokové sazbě i nom = 6%? Uvažujte standard 30E/360 K = U K = P. i Znaménka nerespektujeme Počet plat. obd. v roce 12 P= N 10 000 Kč i nom (p,.a.) 6% % i(p.m.) 0,005 U = K 50 Kč Str. 8 z 9
Str. 9 z 9