Nesčíslněkrát jsem prošel kolem zelené sochy Ezry Cornella,



Podobné dokumenty
Gymnázium Vysoké Mýto nám. Vaňorného 163, Vysoké Mýto

( ) Jako základ mocnin nemusíme používat jen 10. Pokud není jasné, že číslo je uvedeno v desítkové soustavě, píšeme jej takto: ( ) 10

1.5.1 Číselné soustavy

MATA Př 3. Číselné soustavy. Desítková soustava (dekadická) základ 10, číslice 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

ČÍSELNÉ SOUSTAVY. Číselnou soustavu, která pro reprezentaci čísel využívá pouze dvou číslic, nazýváme soustavou dvojkovou nebo binární.

Základní jednotky používané ve výpočetní technice

Svobodná chebská škola, základní škola a gymnázium s.r.o. Dušan Astaloš. samostatná práce, případně skupinová práce. pochopení znaků vztahů mezi čísly

7 = 3 = = Učivo Vysvětlení Př. + pozn. Zlomek = vyjádření části celku 3 část snědla jsem 3 kousky

OD NULY K NEKONEâNU Poãítej jako EgypÈan âíslice, které nestárnou

Algoritmy I. Číselné soustavy přečíst!!! ALGI 2018/19

2.2 VYJADŘOVÁNÍ VELKÝCH ČÍSEL, POČÍTÁNÍ: NEPOZIČNÍ ČÍSELNÁ SOUSTAVA

ZŠ ÚnO, Bratří Čapků 1332

1. 1 P Ř I R O Z E N Á Č Í S L A

PRACOVNÍ LIST ŘÍMSKÉ ČÍSLICE

ČÍSELNÉ SOUSTAVY PŘEVODY

Instrukce: Jednotlivé části nejdou přesně po sobě, jak jsme se učili, je to shrnutí.

1.5.2 Číselné soustavy II

Struktura a architektura počítačů (BI-SAP) 5

Předmět: MATEMATIKA Ročník: PRVNÍ Měsíc: učivo:. ZÁŘÍ ŘÍJEN LISTOPAD PROSINEC

Číselné soustavy. Jedná se o způsob reprezentace čísel.

Rozšiřování = vynásobení čitatele i jmenovatele stejným číslem různým od nuly

1.5.7 Znaky dělitelnosti

Nápovědy k numerickému myšlení TSP MU

Výukový materiál zpracovaný v rámci projektu Výuka moderně Registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/

Řešení úloh z TSP MU SADY S 1

1. Základní pojmy a číselné soustavy

Matematika. Vlastnosti početních operací s přirozenými čísly. Sčítání a odčítání dvojciferných čísel do 1 000, zpaměti i písemně.

Historie číselných soustav

Měsíc: učivo:. PROSINEC Numerace do 7, rozklad čísla 1 7. Sčítání a odčítání v oboru do 7, slovní úlohy.

Konkretizovaný výstup Konkretizované učivo Očekávané výstupy RVP. Zápis čísla v desítkové soustavě - porovnávání čísel - čtení a psaní čísel

0,2 0,20 0, Desetinná čísla II. Předpoklady:

Dělitelnost čísel, nejmenší společný násobek, největší společný dělitel

Data v počítači. Informační data. Logické hodnoty. Znakové hodnoty

VY_32_INOVACE_CTE_2.MA_04_Aritmetické operace v binární soustavě Střední odborná škola a Střední odborné učiliště, Dubno Ing.

Matematika - 6. ročník Vzdělávací obsah

GEODETICKÉ VÝPOČTY I.

Úlohy krajského kola kategorie C

Y36SAP. Osnova. Číselné soustavy a kódy, převody, aritmetické operace Y36SAP Poziční číselné soustavy a převody.

M - 2. stupeň. Matematika a její aplikace Školní výstupy Žák by měl

Digitální učební materiál

Mocniny. Nyní si ukážeme jak je to s umocňováním záporných čísel.

Digitalizace dat metodika

Vzdělávací obsah vyučovacího předmětu

Komisionální přezkoušení 1T (druhé pololetí) 2 x. 1) Z dané rovnice vypočtěte neznámou x:. 2) Určete, pro která x R není daný výraz definován:

Číselné soustavy a převody mezi nimi

Úvodní opakování, Kladná a záporná čísla, Dělitelnost, Osová a středová souměrnost

6.1.2 Operace s komplexními čísly

Číselné soustavy. Ve světě počítačů se využívají tři základní soustavy:

Mikroprocesorová technika (BMPT)

Přirozená čísla do milionu 1

STAROVĚKÁ ČÍNA. Nejstarší zprávy o matematice: 2. tisíciletí př. Kr. zkoumání kalendáře

Vyučovací předmět / ročník: Matematika / 4. Učivo

Typy násobení z různých koutů světa

1.3. Číselné množiny. Cíle. Průvodce studiem. Výklad

Prvočísla a čísla složená

Úvod do teorie dělitelnosti

DIGITÁLNÍ ARCHIV VZDĚLÁVACÍCH MATERIÁLŮ

4a) Racionální čísla a početní operace s nimi

1 Vzdělávací oblast: Matematika a její aplikace 2 Vzdělávací obor: Matematika 3 Vzdělávací předmět: Matematika 4 Ročník:

MĚSÍC MATEMATIKA GEOMETRIE

Očekávané výstupy z RVP Učivo Přesahy a vazby

Matematický KLOKAN kategorie Kadet

Kódy a kódování dat. Binární (dvojkové) kódy. Kód Aikenův

Historie výpočetní techniky

ŠVP Školní očekávané výstupy

ZLOMKY A RACIONÁLNÍ ČÍSLA. Pojem zlomku. Zlomek zápis části celku. a b. a je část, b je celek, zlomková čára

Téma 1: Numerické výpočty (číselné množiny, druhy čísel, absolutní hodnota, zaokrouhlování, dělitelnost čísel, společný násobek a dělitel čísel)

Matematika. Vlastnosti početních operací s přirozenými čísly

2.4 POZIČNÍ ČÍSELNÉ SOUSTAVY

Vzdělávací obsah vyučovacího předmětu MATEMATIKA pro 1. stupeň

5.2. Matematika a její aplikace Matematika

PJC Cvičení #2. Číselné soustavy a binární reprezentace proměnných

Poznámka: Násobení je možné vyložit jako zkrácený zápis pro součet více sčítanců. Například:

Téma 2 Principy kryptografie

Záznamový arch. Základní škola a Mateřská škola Brno, Bosonožské nám. 44, příspěvková organizace Číslo projektu: VY_42_INOVACE_01_ČP

Celá čísla. Celá čísla jsou množinou čísel, kterou tvoří všechna čísla přirozená, čísla k nim opačná a číslo nula.

MATEMATIKA - 4. ROČNÍK

Umění vidět v matematice

TEMATICKÝ PLÁN. září říjen

Číselné vyjádření hodnoty. Kolik váží hrouda zlata?

Člověk a jeho svět. ČJ a literatura

Očekávané výstupy z RVP Učivo Přesahy a vazby

MATEMATICKÝ SVĚT 1. PRVOČÍSLA

M - Příprava na 3. čtvrtletní písemnou práci

Rhindův papyrus (XV. dynastie, kolem 1560 př.kr., opis

MATEMATIKA II. období (4. 5. ročník)

Fz =a z + a z +...+a z +a z =

Variace. Mocniny a odmocniny

Matematika. poznává jednotlivá čísla do 20 na základě názoru. Přirozená čísla 1-5, 6-10, využívá matematické pomůcky

Předpokládané znalosti žáka 1. stupeň:

Vzdělávací oblast: Matematika a její aplikace Vyučovací předmět MATEMATIKA 1. OBDOBÍ Oblast:

UMÍ POČÍTAČE POČÍTAT?

Příloha č. 6 MATEMATIKA A JEJÍ APLIKACE

Projekt IMPLEMENTACE ŠVP. pořadí početních operací, dělitelnost, společný dělitel a násobek, základní početní operace

osobnostní rozvoj cvičení pozornosti,vnímaní a soustředění při řešení příkladů,, řešení problémů

Variace. Číselné výrazy

Kódováni dat. Kódy používané pro strojové operace

Univerzita Karlova v Praze Pedagogická fakulta

Teorie informace a kódování (KMI/TIK) Reed-Mullerovy kódy

Karnaughovy mapy. Pravdivostní tabulka pro tři vstupní proměnné by mohla vypadat například takto:

Transkript:

6. Poloha, poloha, poloha Nesčíslněkrát jsem prošel kolem zelené sochy Ezry Cornella, 1 aniž bych na ni vůbec pohlédl. Ale pak jsem se jednoho dne zastavil a podíval se na ni pozorněji. Ezra je oblečen na procházku a vypadá důstojně v rozevlátém plášti, vestě a vysokých botách, pravá ruka mu spočívá na vycházkové holi a přitom svírá klobouk se širokou krempou. Pomník působí skromným a prostým dojmem přesně takovým, jaký byl i muž na něm. Proto mi přišlo tak nepatřičné, že data na podstavci jsou vytesána v pompézních římských číslicích. 39 EZRA CORNELL MDCCCVII MDCCCLXXIV

Proč tam není prostě 1807 1874? Římské číslice mohou vypadat honosně, ale špatně se čtou a neobyčejně špatně se s nimi počítá. Ezra by na ně neměl trpělivost. Nalézt dobrou reprezentaci čísel byla úloha, jíž se lidé zabývali od nepaměti. Už od úsvitu civilizace vymýšleli různé systémy pro záznam čísel 2 a počítání s nimi, ať už pro obchod, výměru pozemků nebo záznamy o počtu dobytka. Téměř všechny tyto systémy měly jedno společné byly úzce spojeny s lidským tělem. Evoluce nám nadělila pět prstů na každé ruce a tento zvláštní anatomický fakt se odráží v primitivním systému záznamu čísel pomocí čárek. Tak třeba číslo 17 bylo napsáno jako Každá svislá čárka ve všech skupinkách musela původně označovat prst. Možná, že diagonální čára představovala palec mířící napříč zbývajícími prsty, když ruku zatneme v pěst. Římské číslice 3 jsou jen o málo dokonalejší. Původní svislé čárky dále vystupují v římských číslicích 2 a 3 zapisovaných jako II a III. Podobně diagonální čárka se objevuje v římské 5 jako V. Ale 4 je nejednoznačná. Občas ji psali jako IIII (to lze často vidět na nóbl hodinách), většinou ale jako IV. Když nižší číslovka (I) byla umístěna nalevo od větší (V), bylo třeba ji odečíst, zatímco ji bylo třeba přičíst, když byla napravo. Tak IV značí 4, kdežto VI znamená 6. Babyloňané 4 tak spjati s prsty rukou nebyli. Jejich početní systém byl založen na číslu 60 jasné znamení dobrého vkusu, protože 60 je mimořádně půvabné číslo. Krása 40

tohoto čísla je vnitřní a nemá nic společného s lidskými končetinami. 5 Šedesátka je nejmenší číslo, které je dělitelné beze zbytku 1, 2, 3, 4, 5, a 6. A to není všechno je dále dělitelná 10, 12, 15, 20 a 30. Vzhledem k takovému množství dělitelů je 60 mnohem vhodnější než 10 pro všechny výpočty, kde je třeba rozdělit celek na stejný počet dílů. Když dělíme hodinu na 60 minut a minutu na 60 vteřin nebo obvod kruhu na 360 stupňů, navazujeme na moudrost starých Babyloňanů. Ale nejdůležitějším dědictvím Babyloňanů je myšlenka, která je dnes tak běžná, že jen málokdo z nás oceňuje, jak chytrá a důvtipná je. Abychom ji ilustrovali, podívejme se blíže na náš desítkový systém, za který vděčíme Indům a Arabům a který tutéž myšlenku v moderní formě používá. Tento systém je místo na 60 založen na symbolech 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 a což je zvláště brilantní na 0. Těmto symbolům říkáme číslice. Tím největším vynálezem je, že ačkoliv je systém založen na číslu 10, neexistuje pro ně žádná číslice. Desítka je dána svou polohou místem rezervovaným pro desítku nikoliv nějakým symbolem. To samé platí o 100 nebo 1000 nebo jakékoliv jiné mocnině 10. Jejich výjimečný status není dán symbolem, ale polohou, mají rezervovaný svůj pozemek. Poloha, poloha, poloha. Srovnejte eleganci tohoto systému, jenž využívá polohy číslice, s mnohem primitivnějším použitím římských číslic. Potřebujete napsat 10? Desítku Římané měli je to X. Rovněž měli 100 (C) a 1000 (M) a také měli speciální symboly pro čísla s pětkami: V, L a D znamenaly 5, 50 a 500. Římané vyzdvihli do popředí několik privilegovaných čísel, zavedli pro ně speciální znaky a všechna ostatní, druhořadá čísla vyjádřili jako kombinace těchto privilegovaných čísel. 41

Římský číselný systém měl ale velké potíže, když měl zvládnout jakékoliv větší číslo než pár tisíc. Jako provizorní řešení, které by nás dneska svou elegancí neuspokojilo, zavedli vědci, kteří ve středověku stále ještě pracovali s římskými číslicemi, vodorovnou čárku nad používaným symbolem pro násobení tisícem. Tak například X znamenalo deset tisíc a M znamenalo tisíc tisíců čili milion. Násobení miliardou (tisícem milionů) se zřídkakdy vyskytovalo, ale kdyby ano, prostě jste nad M dali dva pruhy. Jak vidíte, bylo to zábavné. Ale v indicko-arabské číselné soustavě je hračka napsat libovolně velké číslo. Všechna čísla mohou být napsána pomocí týchž deseti číslic, stačí je dát na správné místo. Kromě toho je tato notace vnitřně konzistentní. Kupříkladu každé číslo menší než milion může být vyjádřeno pomocí šesti či méně číslic. Snažte se to dokázat slovně, pomocí čárek nebo římských číslic! Nejdůležitější je, že v pozičním systému, kde velikost čísla je dána polohou číslic, se každý může naučit aritmetiku. Stačí si osvojit pár znalostí tabulku násobků a její analog pro sčítání. Jakmile tohle umíte, nic víc už nepotřebujete. Libovolný výpočet zahrnující libovolnou dvojici čísel, bez ohledu na to, jak jsou velká, může být proveden uplatněním stejných pravidel znovu a znovu, rekurzivně. Pokud to zní jako mechanická záležitost, tak přesně to také chci zdůraznit. V systému, kde záleží na poloze číslic, můžeme naprogramovat stroj, aby aritmetiku prováděl za nás. Od prvních dnů mechanických kalkulátorů až po dnešní superpočítače bylo možné zautomatizovat aritmetické operace díky té úžasné myšlence, že o velikosti čísla rozhoduje poloha číslic. Ale pravým hrdinou tohoto příběhu je 0. Bez nuly by se celý systém zhroutil. Je to právě nula, která nám umožňuje rozlišit mezi 1, 10 nebo 100. 42

Všechny systémy, kde rozhoduje poloha číslic, jsou založeny na jednom čísle, kterému se oprávněně říká základ číselné soustavy. Náš systém má základ 10 neboli je decimální (od latinského decem znamenající deset ). Po poloze jednotek odpovídají další místa desítkám, stovkám, tisícům a tak dále, což jsou všechno mocniny deseti: 43 10 = 10 1 100 = 10 10 = 10 2 1000=10 10 10 = 10 3. Jak jsem už řekl, při volbě číselné soustavy se základem 10 hrály roli spíše biologické než logické důvody, takže se nabízí otázka: existuje nějaký jiný základ číselné soustavy, s nímž by se počítalo rychleji nebo snadněji? V mnoha směrech to platí pro základ 2, slavný a dneska všudypřítomný binární systém používaný v počítačích a všech digitálních zařízeních od mobilních telefonů až po fotoaparáty. Ze všech možných číselných soustav si vystačí s nejmenším počtem číslic jsou jen dvě: 0 a 1. Díky tomu vyhovuje dokonale logice elektronických prvků nebo jiných zařízení, které přepínají mezi dvěma stavy ano nebo ne, otevřeno nebo zavřeno. Na binární soustavu si člověk musí chvíli zvykat. Místo mocnin 10 v ní vystupují mocniny 2. I teď je, stejně jako v desítkovém systému, velikost čísla dána polohou číslic, ale jednotlivá místa nyní odpovídají dvěma, čtyřem a osmi, protože 2 = 2 1 4 = 2 2 = 2 2 8 = 2 2 2 = 2 3. Samozřejmě, číslice 2 v binárním systému neexistuje, tak jako neexistuje číslice pro 10 v desítkovém systému.

V binárním systému je 2 zapsána jako 10, což znamená jednou 2 a nulkrát 1. Podobně 4 má tvar 100 (jednou 4, nulkrát 2 a nulkrát 1) a 8 je 1000. Význam binární soustavy daleko překračuje rámec matematiky. Náš svět se mění binárně. Během posledních desetiletí jsme si začali uvědomovat, že všechny informace nejen čísla, ale také verbální, obrazové a zvukové informace mohou být zakódované jako posloupnost nul a jedniček. Čímž se dostáváme zpátky k Ezrovi Cornellovi. Za jeho postavou stojí na podstavci dokonale skrytý telegrafní přístroj nenápadné připomenutí Ezrovy role při vybudování společnosti Western Union a propojení severoamerického kontinentu. Když se z tesaře stal podnikatel, Cornell pracoval pro Samuela Morseho, jehož jméno nese abeceda složená 44

z teček a čárek, na něž se přeměnila angličtina vysílaná telegrafním klíčem. Tyto dva útlé symboly byly technickými předchůdci dnešních nul a jedniček. Morse pověřil Cornella, aby vybudoval první telegrafní spojení z Baltimore do amerického Capitolu ve Washingtonu, D. C. Když byla linka 24. května 1844 oficiálně otevřena, Morse poslal jako první zprávu telegram: What hath God wrought Co učinil s ním Bůh silný. 45