Aplikace kinetických metod na dynamiku tekutin

Aplikace kinetických metod na dynamiku tekutin Martin Ptáček Abstrakt: Práce se zabývá aplikací kinetické metody na model mělké vody a porovnáním s přesným Riemannovským řešením a dalšími metodami pro řešení hyperbolických rovnic. V první části práce je popsán model. V další části je představena kinetická metoda. Následuje popis používaných numerických metod a obrázky získané z numerických simulací v systému Matlab. Úvod V této práci se budeme zabývat numerickými simulacemi modelu mělké vody z angl. Shallow-Water. Tento model se používá například při simulaci povodňových vln při protržení přehrady, vlny tsunami, a nebo dopadu kapky na vodní hladinu. Pro simulaci budeme používat kinetické schéma pro jednorozměrný a dvourozměrný model mělké vody. Při studiu literatury věnované dynamice tekutin se kinetické metody zdály být vhodné pro simulace modelu mělké vody. Myšlenka, na které jsou kinetické metody založeny, spočívá v transformaci modelu mělké vody na transportní rovnici u t + au = s nekonstantní rychlostí transportu a = at,. Důležitou součástí práce bylo vytvoření řešiče používajícího kinetické metody určeného pro výpočty jak D modelu, tak 2D modelu - zde používáme nestrukturované trojúhelníkové sítě. V závěrečné části této práce předložíme grafické výstupy tohoto řešiče. Jako testovací úlohu jsme zvolili problém protržení hráze z angl. Dam-break problem. U této testovací úlohy je známo eaktní řešení Riemannova problému. Díky tomu můžeme na grafu znázornit odchylky numerických řešení od řešení přesného. Zároveň u této úlohy můžeme porovnat výstupy kinetického schématu s výstupy klasických numerických metod pro řešení hyperbolických rovnic. 2 Model mělké vody 2. Model ve dvou prostorových proměnných Model mělké vody ve dvou rozměrech je popsán rovnicemi pro tloušt ku vodní vrstvy h, y, t a pro složky rychlosti u, y, t, v, y, t, g je gravitační konstanta [7, 8]. h t + hu + hv y =, hu t + hu 2 + 2 gh2 + huv y =, hv t + huv + hv 2 + 2 gh2 y =, Katedra Matematiky, Západočeská univerzita v Plzni, Univerzitní 22, 36 4 Plzeň, heky@students.zcu.cz

kde u = u, y, t, v = v, y, t, y Ω R 2, h = h, y, t t, T. 2 2.2 Model v jednom prostorovém rozměru Vztahy pro model mělké vody v jedné prostorové dimenzi [7, 8] plynou z dvourozměrného modelu. Vztahy získáme restrikcí ze dvou prostorových proměnných do jedné prostorové proměnné. Tím nám vypadne parciální derivace podle y a všechny členy, ve kterých vystupuje rychlost ve směru y. Model v jednom rozměru potom vypadá takto h t + hu =, hu t + hu 2 + g 3 2 h2 =, kde h je výška hladiny vodní vrstvy proto h >, u je rychlost pohybu této vrstvy a g je gravitační zrychlení a platí u = u, t Ω R, h = h, t t, T. 4 3 Kinetické metody V dalším tetu budeme značit dolními indey u rychlosti u složky rychlosti ve směru, tedy u značí rychlost ve směru osy a u y značí rychlost ve směru osy y. 3. Kinetické schéma pro jednorozměrný případ Mějme dánu počáteční úlohu ve tvaru w t + fw =, w, = w, R, t, T. 5 Gibbsovo equilibrium [3] vyjadřující hustotu částic je pro jednorozměrný model mělké vody definováno takto ht, ut, Gt,, = ct, χ, 6 ct, kde ct, 2 ght, =. 7 2 Reálná funkce χ, která je obsažena v rovnici Gibbsova equilibria, musí splňovat následující podmínky χ = χ, + χd =, + 2 χd =. 8 Tyto předpoklady splňuje například funkce normálního rozložení [, 2, 5].

Lemma [4] Funkce ht, a ut, jsou slabým řešením soustavy mělké vody 3 právě tehdy, když Gt,, splňuje kinetickou rovnici Gt,, t Gt,, + kde Q = Qt,, je kolizní podmínka, pro kterou platí = Qt,,, 9 + Qt,, d =, + Qt,, d =, řešení rovnice 9 je entropické, pokud navíc platí + Kinetickou rovnici můžeme přepsat jako t Gt,, d + 2 Qt,, d. 2 Gt,, d = Z toho integrací získáme model mělké vody h + hu t hu hu 2 + g 2 h2 =. Qt,, d. Obecný důkaz lemmatu je proveden v [6]. Na oblasti R, T sestrojíme sít s uzly Xi n = X i, t n, i Z, n N. Definujeme i = i, kde je prostorový krok sítě a čas t n = n t, kde t je časový krok. Označme W n i aproimaci hodnoty w n i = w i, t n přesného řešení úlohy 9. Definujeme duální buňky C i jako C i = [X i, X 2 i+ ], X 2 i+ 2 = X i+x i+ 2 Řešení aproimujeme po částech konstantní funkcí, konstantní na C i s hodnotami W i = H, HU T. Aproimaci funkce G získáme pomocí diskretizace G n+ i = G n i G tn n G n, 2 i+ i i 2 2 kde G n i+ 2 = Zintegrujeme-li 2 podle získáme G n+ i d = G n i d tn i { G n i pro G n i+ pro <. G n i+ 2 d G n d, 3 i 2

to můžeme přepsat Přeznačením získáme H n+ i = H n i tn i G n i+ 2 d G n d. 4 i 2 H n+ i = Hi n F tn n F n, 5 H,i+ H,i i 2 2 F n H,i+ 2 = G n i d + G n i+d. 6 Obdobně toto provedeme s G a získáme H n+ i U n+ i = H n i U n i tn i 2 G n i+ 2 d 2 G n d. 7 i 2 Přeznačením získáme H n+ i U n+ i = Hi n Ui n F tn n F n, 8 HU,i+ HU,i i 2 2 Spojením rovnic 5 a 8 získáme W n+ i = W n i tn F n W F n W, 9 i+ i i 2 2 F n HU,i+ 2 = 2 G n i d + 2 G n i+d. 2 Tokovou funkci F n i+ 2 získáme tedy z F + a F F n i+ 2 = F W n i, W n i+ = F + W n i + F W n i+, 2 kde F + W n i = F W n i = + G n i d, G n i d. Rovnice 22 a 6 s funkcí χ zvolenou jako funkce normálního rozložení se dají přepsat jako F + W n i = h + i h χ i d, F W n i = h i 23 h χ i d. 22

Kinetické schéma je konzervativní pokud platí tzv. CFL podmínka, která zajišt uje nezápornost výšky hladiny h. [3] t n i min u n i +, 24 suppχcn i kde suppχ je kompaktní support funkce χ[2]. Konzistence a konvergence kinetické metody je dokázána v [6]. 3.2 Kinetické schéma pro dvourozměrný případ Mějme dánu počáteční úlohu ve tvaru w,y,t t + div F w, y, t =, w, y, = w, y, R, y R, t, T. 25 Na oblasti R 2, T sestrojíme trojúhelníkovou sít s uzly Pi n = P i, y i, t n, i Z, n N. Definujeme t jako časový krok, potom t n = n t je celkový čas v časové vrstvě n. Označme W n i aproimaci hodnoty w n i = w i, y i, t n přesného řešení úlohy 25. P i n i,j C i à i,j P j Obrázek : Duální buňka C i Na této síti zavedeme duální buňky C i, které budou mít středy v uzlech sítě P i, a jejich hrany budou spojnice těžišt okolních trojúhelníků. Tyto hrany označíme Γ i,j = ΓP i, P j a délku hran označíme L i,j = Γ i,j. Vnější normály hran duální buňky zapíšeme n i,j = np i, P j viz. obr. Plochu duální buňky označíme C i. Symbolem K i označíme množinu uzlů P j, které jsou spojeny s uzlem P i hranou. Okrajové duální buňky viz. obr2 zkonstruujeme tak, že hrany Γ i,j u okraje jsou spojnicí těžiště a středu okrajové hrany. Potom také sestrojíme okrajové hrany

C i à i,j P i n i,j ñ i,j à i,j P j Obrázek 2: Okrajová duální buňka C i Γ i,j = ΓP i, P j, spojující uzel sítě P i se středem okrajové hrany s normálou ñ i,j = ñp i, P j, a délku těchto hran označíme L. i,j = Γ i,j Symbolem Ki označíme množinu uzlů P j, které jsou spojeny s uzlem P i okrajovou hranou. Hodnoty funkcí ut n, i, y i a ht n, i, y i v uzlech sítě P i označíme ht n, i, y i Wi n = u t n, i, y i u y t n, i, y i v časové vrstvě n, která odpovídá času t n a v souřadnicích i, y i, které jsou souřadnicemi uzlu P i. Řešení budeme hledat jako po částech konstantní funkci, která má vždy na celé buňce C i konstantní hodnotu. Model mělké vody můžeme též zapsat jako z toho integrací dostaneme tvar W t + div F W =. 26 C i W t n+, i d C i W t n, i d + t n+ t n C i F W n ddt =, 27 který můžeme diskretizovat ve smyslu naší sítě takto W n+ i = W n i j K i σ i,j FW n i, W n j, n i,j j K i σ i,j FW n i, W n i, ñ i,j, 28

s σ i,j = tl i,j C i σ i,j = t L i,j C i. FW n i, W n j, n i,j je aproimace normálové složky toku F W n i,j kolmo na hranu Γ i,j. Tato aproimace je provedena pomocí jednorozměrného řešiče, protože lokálně tento problém vypadá jako jednorozměrná nespojitost. FW n i, W n j, n i,j = F + W i, n i,j + F W j, n j,i, 29 a F + W i, n i,j = n i,j n i,j F W j, n j,i = n j,i n j,i M i d, M j d. 3 3.3 Numerická implementace Nyní představíme naši implementaci této metody. Hodnoty výšky hladiny a rychlostí ve směrech a y W = h, u, u y. převedeme na normálové a tečné rychlosti ve smyslu normál hran a výška hladiny se nezmění Ŵ = h, u n, u τ, û = u n, u τ. Složky normál označíme n i,j = n, n y. Potom definujeme Ŵ jako transformaci do směru normály hrany a Ŵ = RW s R = F + = R ˆF +Ŵ, R = Následně spočítáme jednorozměrný případ ˆF + Ŵ i = h i ˆF Ŵ j = h j c j + n n n τ n τ n n y n y n n n y n y n χ, 3 h i d n, χ hj c j d n.. 32 Tečná složka rychlosti je v tomto případě konstatní, proto můžeme tok rychlosti ve směru tečny hrany spočítat jako 33 ˆF + u τ W i = u i,τ ˆF + h W i, ˆF u τ W j = u i,τ ˆF h W j. 34 Pro výpočet jedné časové vrstvy je nutno spočítat přibližně 6 počet uzlů integrálů funkcí F + a F, které jsou počítány gausovou kvadraturou.

3.4 Okrajové podmínky Okrajové podmínky budeme uvažovat na celé hranici sítě pouze odrazové, které simulují pevnou zed. Odrazovou okrajovou podmínku implementujeme tak, že normálové rychlosti u n okrajové hrany obrátíme orientaci. To můžeme zapsat takto [] W = 4 Numerické simulace 4. V jednom rozměru h u n u τ. 35 V jednom rozměru srovnáme aproimaci řešení získané kinetickou metodou s aproimacemi získanými dvoukrokovým LF řešičem prvního řádu, dvoukrokovým LW řešičem druhého řádu a s eaktním řešením Riemannova problému. Počáteční podmínku definujeme takto h = hl h r =, 2, 8 4.2 Grafické výstupy D, u = ul u r =. 36 Nyní srovnáme řešení kinetické metody s Laovou-Fridrichsovou metodou prvního řádu a s eaktním Riemannovým řešením..5.4 Výška hladiny v č ase t=.75 Kinetická metoda Laova Friedrichsova metoda Eaktní řešení.9.8 Rychlost v č ase t=.75 Kinetická metoda Laova Friedrichsova metoda Eaktní řešení.3.7.2.6 H. U.5.4.3.9.2.8..7 2 4 6 8. 2 4 6 8 Obrázek 3: Výška hladiny a rychlost proudění. Nyní srovnáme řešení kinetické metody s Laovou-Wendrofovou metodou druhého řádu a s eaktním Riemannovým řešením.

.5.4 Výška hladiny v č ase t=.75 Kinetická metoda Laova Wendrofova metoda Eaktní řešení.9.8 Rychlost v č ase t=.75 Kinetická metoda Laova Wendrofova metoda Eaktní řešení.3.7.2.6 H. U.5.4.3.9.2.8..7 2 4 6 8. 2 4 6 8 4.3 Grafické výstupy 2D Obrázek 4: Výška hladiny a rychlost proudění. Další testovací úloha představuje částečné protržení hráze ve střední části. 2 8 6 4 2 8 6 4 2 5 5 2 Obrázek 5: Výpočetní sít použitá pro následující simulaci 6482 trojúhelníků. Na okraji sítě je uvažována odrazová okrajová podmínka. Výška hladiny v nižší části je, 8 a ve vyšší části je rovna, 2 viz. obrázek 6. Rychlost vody ve směrech a y je rovna.

výška hladiny t=.5.3..2.5..9.95.8.9 2 5 2 5 5 y.85 5.8 Obra zek 6: Poc a tec nı vy s ka hladiny 6482 troju helnı ku výška hladiny t=.2.5.3..2.5..9.95.8.9 2 5 2.85 5 5 y.8 5 Obra zek 7: Vy s ka hladiny v c ase t =.2 6482 troju helnı ku Obra zek 8: Eperimenta lnı model.

5 Závěr Představili jsme model mělké vody, implementovali jsme kinetické schéma na tento model a ukázali jsme výstupy kinetické metody ve vizuálním porovnání s klasickými metodami, s eaktním Riemannovským řešením. Ukázali jsme použití pro jednorozměrný i dvourozměrný model. Kinetická metoda se ukázala býti použitelnou metodou prvního řádu. Při její implementaci se projevila její náročnost na procesorový čas - hlavně při výpočtu integrálů F + a F 23. Dalším krokem, kterým by se dalo pokračovat, je například přidat do modelu mělké vody profil dna a pokusit se použít pohyblivé okraje výpočtové oblasti, což by umožnilo simulovat např. vylití řeky z břehů při povodních nebo chování vlny tsunami při příchodu na pobřeží - kinetické metody to umožnují. Reference [] M.-O. Bristeau, B. Coussin, Boundary conditions for the shallow water equations solved by kinetic schemes, Rapport de recherche, INRIA, [ RR-4282 ], 2. [2] E. Audusse, M.-O. Bristeau, B. Perthame, Kinetic Schemes for Saint-Venant Equations with Source Terms on Unstructured Grids, Rapport de recherche INRIA [ RR-3989 ], 2. [3] E. Audusse, M.-O. Bristeau, Transport of Pollutant in Shallow Water. A Two Time Steps Kinetic Method, M2AN, vol. 37, no 2, pp. 389-46, 23. [4] E. Audusse, Modélisation hyperbolique et analyse numérique pour les écoulements en eau peu profondes, Th?se, Université Pierre et Marie Curie, 24 [5] B. Perthame, C. Simeoni, A kinetic scheme for the Saint-Venant system with a source term, Th?se, Département de Mathématiques et Applications, École Normale Supérieure, 45, rue d Ulm, 7523 Paris Cede 5, 25, France [6] R. Botchorishvili, B. Perthame, A. Vasseur, Schemas d Equilibre pour des Lois de Conservation Scalaires avec des Termes Sources Raides, Rapport de recherche INRIA [ RR-389 ], 2, France. [7] Leveque R. J.: Finite volume methods for hypebolic problems, Cambridge university press, 22 [8] Leveque R. J.: Numerical Methods for Conservation Laws, Research Institute Of Mathematics, Zürich 99 [9] Ptáček M.: Aplikace numerických metod na dynamiku tekutin, sbornik 7. studentská konference VŠTEZ, České vysoké učení technické v Praze,29, ISBN 978-8--4467-4