PARCIÁLN LNÍ ROVNICE

Transkript

1 PARCIÁLN LNÍ DIFERENCIÁLN LNÍ ROVNICE VE ZPRACOVÁNÍ OBRAZU Autor práce: Vedoucí práce: Anna Kratochvílová Ing.Tomáš Oberhuber

2 Zadání Najít vhodný matematický model pro segmentaci obrazových dat Navrhnout vhodnou diskretizaci a numerické schéma Vytvořit implementaci na počítači Aplikovat výsledný algoritmus na testovací snímky 2

3 Obsah prezentace Modely pro odstraňování šumu Level set metoda Numerické schéma Výsledky Závěr 3

4 Rovnice vedení tepla u 2 (,,) xyt =Δ uxyt (,,) na R (0, T ) t 2 uxyt (,, = 0) = u0(, xy) na R je ekvivalentní konvoluci Gaussovým jádrem x + y Gσ( x, y ) = 2exp 2 2πσ 2σ vyhlazování ve všech směrech; vyhlazování hran, detailů 4

5 Nelineárn rní modely u = t uxyt (,, = 0) = u0(, xy) ( c( u 2 ) u) Očekáváme, že: se vyhladí, co má být vyhlazeno; nepodstatné, homogenní oblasti a zvýrazní se hrany pravá strana rovnice by měla pro malé hodnoty vypadat jako rovnice vedení tepla pro velké hodnoty u by měla být téměř nulová. u 5

6 Model Perona-Malik cs () 1 = 1 + Ks u u(,,) x y t (,,) xyt = t 2 1 uxyt (,, ) + uxyt (,, = 0) = u0(, xy) pro malé hodnoty šumu metoda funguje dobře nemůže rozhodnout mezi pravými a falešnými hranami 6

7 Regularizace Perona-Malik místo u dosadíme vyhlazený Gσ u u u(,,) x y t (,,) xyt = 2 t 1 ( Gσ u) ( x, y, t) + uxyt (,, = 0) = u0(, xy) vyhlazováním dochází k odstranění šumu a hrany zůstanou zachované dochází ke zpomalení vyhlazování pouze o hranu, nikoli o šum 7

8 Level set metoda numerická metoda pro segmentaci objektů v obraze na základě detekce hran 2 nulová vrstevnice Ct () = { p φ(p, t) = 0}, kde p vývoj nulové vrstevnice level set rovnice 8

9 level set rovnice Level set metoda φ t + F φ = v místech hran - nulové nebo téměř nulové hodnoty. hrana se nenachází - funkce má vysoké hodnoty. 0 1 F = c = 0 p 1 + G σ I 0 se šumem - c κ 0 0 u 0 ut = c u + c u u difúzní člen stahuje křivku(střední křivost κ), a také se zastavuje na hranách(funkce c 0 ) advekční člen přitahuje level set křivku k hranám, 9 (hyperbolické rovnice)

10 Level set metoda rovnici můžeme přepsat jako: 0 u ut = u c u ve skutečnosti následující rovnice s Evans- 2 2 Spruck regularizací u u ε = ε + u dává stejný advekční člen jako rovnice bez regularizace. ut = ε + u c G I ( ) σ ε 2 u + u 2 10

11 metoda Perona-Malik Aproximace du ij, + hu ij = h 2 kde ij, 0,..., N dt = 1 + huij u0, ij = Phu 0 diskretizace na síť použití jiné kombinace dopředných a zpětných diferencí můžeme dostat odlišné chování metody časově náročné 11

12 Výsledky aplikace modelů rovnice vedení tepla metoda Perona-Malik regularizace modelu Perona-Malik level set metoda 12

13 rozmazání hran 75% Rovnice vedení tepla 13

14 Porovnání metod na odstraňov ování šumu 15% 50% 75% 14

15 data s reálným šumem Regularizace modelu 15

16 nulová vrstevnice Level set model 16

17 Level set model tvar level set funkce - vstup 17

18 Level set model tvar level set funkce t=

19 Level set model tvar level set funkce t=

20 Level set model změna topologie 20

21 Level set model tvar level set funkce t =

22 Level set model tvar level set funkce t =

23 Level set model reálná data 23

24 Závěr představené modely pro odstraňování šumu fungují spolehlivě pro malé množství šumu level set metodu použijeme na data, u kterých nejprve odstraníme šum modelem Perona-Malik nebo jeho regularizovanou variantou, a to kvůli snížení časové náročnosti této metody zadané úkoly výzkumného úkolu se podařilo splnit Děkuji za pozornost! 24