Projek ŠABLONY NA GVM Gymnázium Velké Meziříčí regisrační číslo projeku: CZ.1.07/1.5.00/4.0948 IV- Inovace a zkvalinění výuky směřující k rozvoji maemaické gramonosi žáků sředních škol FINANČNÍ MATEMATIKA- ÚVĚRY Auor Jazyk Hana Macholová Češina Daum vyvoření 0. 4. 01 Cílová skupina Supeň a yp vzdělávání Druh učebního maeriálu Očekávaný výsup Anoace žáci 16 19 le gymnaziální vzdělávání vzorové příklady a příklady k procvičení žák je schopen sesavi umořovací plán, vypočía výši anuiy při dané výši úvěru, úrokové míry, frekvenci spláek a době splácení, umí zjisi, kolik v akových případech klien zaplaí na úrocích a dokáže porovna, jak se bude liši výše úroku při různé době splácení resp. frekvenci spláek. Dále umí vypočía, jakou čásku si může klien, pokud ví, kolik je schopen po určiou dobu při dané úrokové míře ročně (či s jinou frekvencí) spláce. maeriál je vhodný nejen k výkladu a procvičování, ale i k samosané práci žáků, k jejich domácí přípravě, velké uplanění najde zejména při přípravě žáků k mauriní zkoušce
Poznámka: Úmor je spláka jisiny dluhu, edy čás spláky, o kerou se snižuje výše dlužné čásky. Umořovací plán je přehled výše spláek úvěru včeně úroků z hlediska jejich časového rozložení. Obsahuje výši spláky, výši úmoru dluhu, výši úroku z dluhu, sav dluhu po odečení úmoru (zbývající dlužnou čásku). Anuiní spláka (anuia) je spláka opakující se v pravidelných časových inervalech. Tyo plaby mohou bý sále sejné konsanní anuia, ale není o pravidlem. Při výpočech budeme používa následující označení: V výše úvěru s výše anuiní spláky i úroková míra vyjádřená deseinným číslem úrokovací období banky n poče anui Budeme využíva zv. německý sandard 0E/, což je meoda určování délky úrokovacího období, kdy počíáme, že každý měsíc má 0 dnů, edy rok má dnů. Využijeme zejména následující vzah: V i s 1 1 i n Samozřejmě v případě, že úrokovací období bude jeden rok, můžeme ze vzahů zlomek vynecha, proože když dosadíme za =, pak dosaneme zlomek 1.
Řešené úlohy: 1) Banka poskyla podnikaeli koncem roku 010 úvěr ve výši 1000000 Kč. Roční úroková míra úvěru je 1% (úrokovací období je jeden rok) a podnikael ho má splai ve řech sejných splákách vždy na konci roku. První dvě spláky budou čini 400000 Kč. a) Určee výši řeí spláky. b) Jakou čásku zaplaí podnikael bance celkem. c) Sesave umořovací plán. a) Poslední spláka bude rovna výši dluhu na konci řeího roku (01). Určíme edy výše dluhu na koncích jednolivých le: Konec roku 011 před první splákou: Banka nejprve připíše úroky, edy dluh bude čini: 1000000 Kč 0,11000000 Kč 1000000 Kč 10000 Kč 110000 Kč Konec roku 011 po první spláce: 110000 Kč 400000Kč 70000 Kč Konec roku 01 před druhou splákou: Banka nejprve připíše úroky, edy dluh bude čini: 70000 Kč 0,170000 Kč 70000 Kč 86400 Kč 806400 Kč Konec roku 01 po druhé spláce: 806400 Kč 400000Kč 406400 Kč Konec roku 01 před poslední splákou: Banka nejprve připíše úroky, edy dluh bude čini: 406400 Kč 0,1 406400 Kč 406400 Kč 48768Kč 455168Kč Výše řeí spláky bude 455168 Kč. b) Celkovou čásku získáme jakou souče jednolivých spláek, edy 400000 Kč 400000 Kč 455168Kč 1696 Kč c) Umořovací plán: Spláka (Kč) Úrok (Kč) Úmor (Kč) Sav dluhu (Kč) Počáeční sav - - - 1000000 Konec r. 011 400000 10000 80000 70000 Konec r. 01 400000 86400 10 406400 Konec r. 01 455168 45768 406400 0
) Banka poskyla podnikaeli koncem roku 010 úvěr ve výši 1000000 Kč. Roční úroková míra úvěru je 1 % (úrokovací období je jeden rok) a podnikael ho má splai ve řech konsanních anuiách (sejných splákách) vždy na konci roku (edy spláky budou na konci prosince 011, 01 a 01). Urči výši jedné spláky. Kolik peněz zaplaí podnikael na úrocích? Řešení: Příklad nejprve vyřešíme bez využií vzorce: Výši spláky označíme s: Konec roku 011 před první splákou: Banka nejprve připíše úroky, edy dluh bude čini: 1 0,1 Kč 1000000 Kč 0,11000000 Kč 1000000 Konec roku 011 po první spláce: 1 0,11000000 s Konec roku 01 před druhou splákou: Banka nejprve připíše úroky, edy dluh bude čini: 1 0,1 1000000 s 1 0,1 Konec roku 01 po druhé spláce: 1 0,11000000 s1 0, 1 s Konec roku 01 před poslední splákou: Banka nejprve připíše úroky, edy dluh bude čini: 1 0,11000000 s 1 0,1 s 1 0,1 Konec roku 01 po druhé spláce: 1 0,1 1000000 s1 0,1 s s 1 0, 1 Po řeí spláce již musí bý úvěr splacen, edy musí plai rovnice: 1 0,11000000 s 1 0,1 s 1 0,1 1,1 1000000 s1,1 s1,1 1,1 1000000 1,1s s 1,1 s 0 s 0 s 0 1,1 1000000 1,1 s 1,1s s 0 1,1 1000000 s 1,1 1,1 1 0 1,1 1000000 s 1,1 1,1 1 s 41649 Kč 4
Rovnici jsme upravili a vyjádřili z ní neznámou s. Vypočíali jsme, že anuiní spláka bude čini 41649 Kč. Pozn.: Využili jsme zaokrouhlení na koruny (na nejbližší měnovou jednoku v oběhu), ale samozřejmě v případě bezhoovosní plaby by bylo možné zaokrouhlování i na haléře a záleželo by na smluvních podmínkách. Celkově ak podnikael zaplaí čásku: s 41649 149047 Kč Na úrocích ak zaplail: 149047 Kč 1000000 Kč 49047 Kč Nyní (pro ověření správnosi našeho výpoču) využijeme vzorec pro výpoče anuiy: Obecně pokud banka poskyne klienovi úvěr V s úrokovou mírou i při úrokovacím období dnů a dlužník splaí úvěr n anuiami, jež budou spláceny jednou za úrokovací období, pak výši anuiní spláky vypočíáme: V i s 1 1 i n 1000000 0,1 1 1 0,1 1000000 0,1 11,1 41649 ) Banka poskyla podnikaeli úvěr na 10 le ve výši 1000000 Kč. Roční úroková míra úvěru je 9 % (úrokovací období je jeden rok) a podnikael ho má splai v desei sejných splákách vždy na konci roku. a. Urči výši jedné spláky (zaokrouhlené na Kč). b. Kolik peněz zaplaí podnikael na úrocích? Řešení: a. Opě bylo možné využí odvození z minulého příkladu, nyní však rovnou využijeme vzorec pro výpoče výše anuiy: V i s 1000000 0,09 15580 n 10 1 1 0,09 1 1 i s 15580 Kč Výše jedné spláky je 15580 Kč. b. Celkem podnikael zaplaí 10 spláek po 15580 Kč, edy 155800 Kč. Na úrocích edy zaplaí 155800-1000000=55800 Kč. 5
4) Pan Veselý získal hypoeční úvěr ve výši 1500000 Kč na dobu 15 le a roční úrokovou mírou 5,5 % fixovanou na celou dobu splácení. Úvěr bude spláce měsíčními anuiami. a. Urči výši anuiy (zaokrouhlené na Kč) a celkovou čásku, kerou pan Veselý bance měsíčními anuiami splaí. Kolik by zaplail na úrocích? b. Urči výši anuiy v případě, že by pan Veselý měl daný úvěr na 0 le a čásku, kerou by celkem zaplail. Kolik by zaplail na úrocích? c. O kolik více zaplaí pan Veselý na úrocích při delší době splácení? a. Opě využijeme vzorec pro anuiní spláku a dosadíme: V 1500000 Kč, i 0,055, 0, n 115 180 V i s 1 1 i s 156 Kč n 0 1500000 0,055 0 1 1 0,055 180 156 Výše anuiy je edy 156 Kč. Celkově klien bance zaplaí 180 spláek po 156 Kč, edy 180156 Kč 06080 Kč Na úrocích zaplaí: 06080 1500000 Kč 706080 Kč b. Kdyby pan Veselý získal sejný úvěr na 0 le, pak by plailo: V 1500000 Kč, i 0,055, 0, n 10 s s 1 1 V i 1 1 i 8517 Kč n Výše anuiy edy byla 8517 Kč. 0 1500000 0,055 0 1 1 0,055 8517 Celkově by pan Veselý zaplail spláek po 8517 Kč, edy 8517 Kč 06610 Kč Na úrocích by zaplail: 06610 1500000Kč 156610 Kč 156610 706080 Kč 860040 c. Rozdíl ve výši úroků v jednolivých varianách je Kč Při delší době splácení by pan Veselý na úrocích zaplail o 860040 Kč více. 6
5) Pan Nový je schopen každoročně po dobu desei le na konci roku spláce čásku 50000 Kč. Jak velkou půjčku si může vzí na roční úrok 15 %? Řešení: Opě vyjdeme ze vzorce pro výpoče konsanní anuiy a z něho vyjádříme proměnnou V: V i s 1 1 i s 1 V i 1 i n n V i 1 1 i n s[1 (1 i) ] 50000 (1 1,15 V i 0,15 V 5098 Kč 10 n ) 5098 7
Úlohy k procvičení: 1) Pan Novák získal od banky začákem roku úvěr na čyři roky, kerý splaí ve čyřech ročních splákách. Banka úročí jednou ročně. Zde je jeho neúplný umořovací plán: Spláka [Kč] Úrok [Kč] Úmor [Kč] Sav dluhu [Kč] Počáeční sav - - - 000000 Konec 1. roku 700000 00000 Konec. roku 600000 Konec. roku 500000 Konec 4. roku a. Vypočěe z abulky výši úrokové míry úvěru. b. Doplňe nevyplněné údaje umořovacího plánu. c. Určee výši poslední spláky. d. Kolik pan Novák zaplaí bance celkem? e. Kolik činí celkem úrok? [a. 15 %; b. viz abulka níže, 1064900 Kč; 864900 Kč; 864900 Kč] Spláka [Kč] Úrok [Kč] Úmor [Kč] Sav dluhu [Kč] Počáeční sav - - - 000000 Konec 1. roku 700000 00000 400000 1600000 Konec. roku 600000 40000 000 140000 Konec. roku 500000 186000 14000 96000 Konec 4. roku 1064900 18900 96000 0 ) Pan Novák získal od banky půjčku vy výši 00000 Kč na roční úrok 14 %. Jak velká musí bý každoroční spláka dluhu koncem roku, chce-li pan Novák splai dluh za 5 le? [8585 Kč] ) Pan Marek je schopen každoročně po dobu panáci le na konci roku spláce čásku 60000 Kč. a. Jak velkou půjčku si může vzí na roční úrok 9 %? b. Kolik zaplaí celkem na úrocích? [a. 48641 Kč, b. 41659 Kč] 4) Neklapilovi získali hypoéční úvěr ve výši 1500000 Kč na dobu 15 le. Úroková míra bude po celou dobu splácení 7,5 %. a. Jaká bude výše spláky v případě, že budou úvěr spláce měsíčními anuiami, kolik v omo případě bance zaplaí celkem za 15 le? b. Jaká bude výše anuiy a kolik bance zaplaí celkem za 15 le v případě, že budou úvěr spláce ročními anuiami. [a. 1905 Kč; 50900 Kč, b. 16991 Kč; 548965 Kč] 8
Použié zdroje a lieraura: ODVÁRKO, Oldřich.: Maemaika pro gymnázia- Posloupnosi a řady. 1 vydání. Praha: Proméheus, 1995. ISBN 80-85849-91-7. ODVÁRKO, Oldřich. Úlohy z finanční maemaiky pro sřední školy. 1. vydání. Praha: Proméheus, 005. ISBN 80-7196-0-8. PETÁKOVÁ, Jindra. Maemaika: příprava k mauriě a přijímacím zkouškám na vysoké školy. 1. vydání. Praha: Promeheus, 1999. ISBN 80-7196-099-. 9