Betonové konstrukce (S) Přednáška 5 Obsah Mezní únosnost prvků namáhaných osovou silou a ohybem, stav dekomprese, počáteční napjatost průřezu. Prvky namáhané smykem a kroucením, analýza napjatosti (pružná, plastická), dimenzování.. 1
Mezní únosnost prvků namáhaných osovou silou a ohybem Mezní únosnost prvků namáhaných osovou silou a ohybem Předpoklady řešení 1. Platí hypotéza o rovinnosti průřezů po deformaci 2. Existuje dokonalá soudržnost mezi oceli a betonem F p 5 cu = 0,0035 σ c x 4 r c F c 1 2 M Ed 3 r p F p M Rd F pt 2
3. V tažené části beton nepůsobí 4. Napětí určujeme z pracovních diagramů materiálu v závislosti na přetvoření (návrhové pracovní diagramy betonu a výztuží typy) 5. Mezní stav únosnosti nastane, je-li dosaženo: mezní poměrné přetvoření betonu v tlaku nebo mezní přetvoření předpínací příp. betonářské výztuže v tahu F p 5 cu = 0,0035 σ c x 4 r c Fc 1 2 M Ed 3 r p M Rd c = Δ p F pt F p 3
Mezní únosnost prvků namáhaných osovou silou a ohybem Metody řešení: Mezní únosnost ohýbaných průřezů s využitím stavu dekomprese metoda zavádějící zjednodušující předpoklad (není tedy obecná), že lze průřez převést do stavu dekomprese (tj. vnesením deformace v místě výztuže docílit nulového napětí v betonovém průřezu) Mezní únosnost ohýbaných průřezů v závislosti na počáteční napjatosti průřezu Obecná metoda 4
Mezní únosnost prvků namáhaných osovou silou a ohybem Stav dekomprese a základní napětí v předpínací výztuži (c) skutečná napjatost v průřezu při působení P : - v místě předpínací výztuže je napětí v betonu σ cp - a v předpínací výztuži σ p (d) vnesením deformace ε cp = σ cp /E c v úrovni předpínací výztuže docílíme: - napětí v betonu σ c = 0 ( stav dekomprese) a - v předpínací výztuží působí tzv. základní napětí σ p 0 a odpovídající základní předpínací síla P 0 5
Mezní únosnost prvků namáhaných osovou silou a ohybem Výpočet základního napětí v předpínací výztuži Dodatečně předpjaté prvky Pomocí předchozího vztahu pro napětí σ p a σ cp způsobená zatíženími působícími před i po zakotvení předpínací výztuže (tj. na oslabený i ideální průřez) Předem předpjaté prvky 0 p p E E V okamžiku těsně před vnesením předpětí je v betonu napětí nulové, tzn. základní napětí je rovno skutečnému napětí ve výztuži (veškerá zatížení od předpětí působí na ideálním průřezu). 0 p p c p cp 6
předpínání výztuže vnesení předpětí do prvku (stádium předpínání) stádium provozní p,max pm0 pmt pm Mezní únosnost prvků namáhaných osovou silou a ohybem Základní napětí nebo základní předpínací síla lze určit v kterékoli fázi působení konstrukce (čas t 0, t g1,t i, t ) (+) p p t 0 t v čase po vnesení předpětí t 0 : σ p se odvozuje z napětí těsně před vnesením předpětí (se zohledněním výrobních ztrát bez ztrát pružným přetvořením betonu) V čase t > t 0 : dtto viz výše se zohledněním i provozních ztrát (bez ztrát pružným přetvořením betonu) 7
Mezní únosnost prvků namáhaných osovou silou a ohybem Řešení: strana zatížení únosnosti účinky zatížení (návrhové hodnoty) +sekundární účinky předpětí normálová složka základní předpínací síly P 0 na excentricitě e p, tuto lze nahradit silou působící v těžišti P 0 a momentem P 0 e p Vždy namáhání kombinací ohybového momentu a předpínací síly Poznámka: Značení dle EC veličiny s indexem Ed zahrnují jak účinky zatížení tak účinky předpětí. 8
Mezní únosnost prvků namáhaných osovou silou a ohybem Řešení: strana únosnosti F pi = A pi σ pi podmínka rovnováhy normálových sil F c + F pi = N Ed P 0 moment na mezi únosnosti M Rd = F c z c + F pi z pi podmínka spolehlivosti M Rd M Ed P 0 e 9
Mezní únosnost prvků namáhaných osovou silou a ohybem Řešení: strana únosnosti 10
Mezní únosnost prvků namáhaných osovou silou a ohybem Určení mezní únosnosti Významné polohy přetvoření průřezu 11
Mezní únosnost prvků namáhaných osovou silou a ohybem Obecnější metoda řešení MSÚ Počáteční napjatost v průřezu je vyvolaná předpětím, stálým zatížením, smršťováním a dotvarováním betonu. Z této napjatosti se vychází při analýze působení proměnných zatížení. 12
Mezní únosnost prvků namáhaných osovou silou a ohybem Stav napjatosti je obvykle výsledkem lineárního řešení (platnost Hookova zákona) a proto nemusí odpovídat skutečnosti (viz tvar pracovních diagramů materiálů) přenesená a nepřenesená napětí: ve vrstvě 1 ve vrstvě 3 ve vrstvě 4 13
Mezní únosnost prvků namáhaných osovou silou a ohybem Na straně zatížení: - proměnná zatížení - výslednice nepřenesených napětí Na straně únosnosti: - výchozí stav napjatosti průřezu, tzn. pro každá vlákna betonu (vrstvičku) jiný počáteční stav napjatosti (posun pracovního diagramu ) 14
Smyk - Analýza napjatosti namáhání předpjatých prvků Prvky namáhané smykem a kroucením Analýza napjatosti namáhání předpjatých prvků Ohybový moment a posouvající síla od zatížení Smyková trhlina vzniká ve stojině nosníku, typická pro PB Ohybově smyková trhlina vzniká v tažených vláknech typická pro ŽB σ x =0 σ 1 hlavní tah σ 2 hlavní tlak σ x normálové napětí τ xz - smykové napětí
Analýza napjatosti namáhání předpjatých prvků Kroucení trajektorie hlavních napětí ve tvaru šroubovice tahové a tlakové trajektorie kolmo na sebe (viz další list) Kombinace M, N, V, T od zatížení prostorová napjatost Vliv předpětí (působí proti zatížení): Ovlivnění směru a snížení velikosti hlavních napětí Redukce posouvající síly od vnějšího zatížení složkou předpínací síly kolmou ke střednici V pp (viz obr.) v případě náběhů svislými složkami sil v šikmém taženém nebo tlačeném pásu (podle EN na stranu únosnosti V Rd = V Rd,s + V ccd + V td )
Analýza napjatosti namáhání předpjatých prvků Příčné předepnutí (příčný ohyb deska, konzola) - σ y Svislé předpětí předpínací tyče σ z, zvětšení únosnosti ve smyku Trajektorie hlavních napětí pro kroucení: - čárkovaně pro tlak - plnou čarou pro tah
Analýza za předpokladu pružného chování Analýza za předpokladu pružného chování Běžné provozní zatížení nevznikají trhlinky (napětí v betonu v tahu je většinou menší než přípustné) Při statické analýze lze brát vztahy z teorie pružnosti (dle některých předpisů bylo možné brát i při výpočtu únosnosti ve smyku pomocí hlavních napětí viz ČSN 73 6207 dnes již neplatná) Předpoklad pružného chování pro stanovení únosnosti betonu ve smyku využívají i normy vycházející z teorie mezních stavů (neočekává se ohybová trhlina σ ct f ctd ): ČSN EN 1992-1-1 Pozn.: Při vzniku trhlin podobný postup jako u ŽB zohledňující vliv trhlin (viz EN 1992-1-1).
Analýza za předpokladu pružného chování Smyková napětí od V Kombinace zatížení (většinou max.v, odp. M,N,T) Napětí od svislé posouvající síly ve stojině t xz v přírubě t xy Ověření rozhodujících řezů Vodorovný ve stojině v těžišti při přechodu stojiny do příruby Svislý přírubou při napojení stěny Smykové napětí: t xz I V y z U b( y z )
Analýza za předpokladu pružného chování Smyková napětí od T kroucení může být Prosté rovinné průřezy, jen T Při němž dochází k deplanaci Volné krouceníneomezena Vázané kroucení-omezena průřezy a stanovení napětí: tenkostěnné (vzhledem k okrajovým podmínkám nelze zanedbat vázané kroucení) odvozeny zjednodušené vzorce - např. Bredtův vztah masivní vychází z rovnic pro prostorovou napjatost, smyková napětí získáme derivací Prandtlovy funkce podle z resp. y. U obecných průřezů pouze s použitím moderních numerických metod. τ t = T / (2.A k.t)
Analýza za předpokladu pružného chování Smyková napětí způsobená V a T se superponují Výpočet hlavního napětí obecně pro prostorovou napjatost běžně si vystačíme s rovinnou napjatosti (Mohrova kružnice): 1, 2 x 2 y x 2 y 2 t 2 xy pro horní desku komorového průřezu Ze vztahu je zřejmé, že max. hlavní napětí je v místě největšího smykového napětí a tam, kde je minimální tlakové normálové napětí. V tažené části se hlavní napětí nepočítá.
Analýza za předpokladu pružného chování Určení nebezpečného průřezu: řez I - 0,0 m v těžišti průřezu nebo přechod do horní příruby řez II - 1,0 m a III - 2,0 m posun k menšímu tlakovému napětí v přechodu stěny do dolní příruby řez IV - 3,0 m v místě neutrální osy v místě přechodu do dolní příruby při nulovém normálovém napětí tahy v tažené oblasti přenese výztuž poznámka ve skutečnosti bude mít prvek v podpoře plný průřez (s půdorysným náběhem) nebezpečný průřez tam, kde směrem od podpory začíná být stojina nejtenčí
Mezní plastická únosnost průřezu Mezní plastická únosnost průřezu překročí-li hodnota napětí v hlavním tahu pevnost betonu v tahu vznikne trhlina, neplatí pružnost. Řešení pro namáhání posouvající silou: 1) Z rovnováhy normálových a podélných smykových napětí odvodil Mörsch vztah pro max. hodnotu smykového napětí v průřezu porušeném ohybovou trhlinou. 2) Ritter a Mörsch model zatížení přenášeno systémem betonových vzpěr a ocelových táhel diagonální vzpěry se po vzniku trhliny tvoří pod úhlem 45 - příhradová analogie s konstantním úhlem diagonál. t b V w z
Mezní plastická únosnost průřezu 3) V průběhu vývoje změna příhradová analogie s variabilním úhlem diagonál (např. ČSN EN 1992-1-1). Předpokládejme betonový vyztužený element namáhaný pouze posouvající silou, porušen šikmými trhlinami pod úhlem θ = úhel tlakové diagonály. S ohledem na šikmé trhliny vzdoruje beton pouze v tlakové diagonále D. Svislou sílu přenáší třmínky (obr. (c)) V E. Vodorovnou složku zachycuje podélná předpínací popř. betonářská výztuž F s +ΔF p.
Mezní plastická únosnost průřezu Síla v diagonále (b): D = σ c. b w. z. cos θ D = V E / sin θ Napětí v tlakové diagonále: σ c = V E / (b w. z. sin θ. cos θ) = = V E. (tg θ + cotg θ ) / (b w. z) Lze při známém úhlu θ a při volbě napětí σ c rovné pevnosti betonu v tlaku určit V Rd,max.
Mezní plastická únosnost průřezu Svislá síla (c) : Síla v třmíncích: F sw = σ c. b w. s. sin 2 θ F sw = A sw. σ w Svislá síla = síla v třmíncích (po dosazení za σ c viz předcházející list): A sw. σ w / s = V E. tg θ / z při σ w = f ywd se určí V Rd,s.
Mezní plastická únosnost průřezu Vodorovná síla: F s + F p = V E. cotg θ kde F s je výslednice tahu v betonářské výztuži od posouvající síly, F p je výslednice tahu v předpínací výztuži od posouvající síly.
Mezní plastická únosnost průřezu Ve třech předcházejících rovnicích (podmínkách rovnováhy) jsou 4 neznámé: σ c, θ, σ w, F s + F p Možnosti řešení (stanovení sil pro únosnost): - vhodná volba úhlu tlakové diagonály θ (má mnoho řešení), - předpoklad dosažení pevnosti betonu v tlaku f cd (nutno zahrnout vliv snížení v důsledku příčných tahů), - dosažení meze kluzu (resp. návrhové pevnosti) ve výztuži: příčná výztuž: σ w = f ywd, podélná výztuž: F s + F p = F y Význam metody: - vysvětluje nárůst síly v podélné výztuži pravidlo o posunu obrazce této síly, - vysvětluje princip požadované únosnosti ve smyku třmínky v šikmém řezu musí přenést posouvající sílu na konci tohoto řezu, - je to metoda založená na teorii plasticity, protože splňuje podmínky rovnováhy, plasticity (nesplňuje podmínky kompatibility přetvoření).
Mezní plastická únosnost průřezu Mezní plastická únosnost průřezu Řešení pro namáhání kroucením (po vzniku trhlin): nejúčinnější výztuž sledující trajektorie hlavních napětí (tvar šroubovice) to nelze, proto se používá výztuž jako: uzavřené třmínky svařované nebo kotvené přesahem podélná výztuž rozmístěná rovnoměrně po obvodě Tyto tvoří složky výsledné tahové síly ve směru hlavních tahů. rovnováhu zajišťují betonové vzpěry ve směru hlavních tlaků Toto vyztužení se superponuje se stávajícím vyztužením na M a V.
Mezní plastická únosnost průřezu Mezní plastická únosnost průřezu Řešení pro namáhání kroucením (po vzniku trhlin): kroucení vzdoruje účinný průřez (nebezpečí odprýskání betonu) používá se model tzv. ekvivalentního tenkostěnného uzavřeného průřezu (i pro plné průřezy), složené průřezy lze rozdělit na dílčí průřezy, stanovit pro ně únosnost v kroucení a následně stanovit celkovou únosnost jako součet únosností jednotlivých dílčích průřezů, dalším modelem je prostorová násobná příhradová soustava
Smyk podle EN ČSN 1992-1-1 Porušení smykem od V podle ČSN EN 1992-1-1 Prvky bez smykové výztuže 1) V oblastech bez ohybových trhlin (pokud napětí v tahu za ohybu je menší než f ctk,0,05 / c ) má být únosnost ve smyku omezena pevností betonu v tahu. V těchto oblastech je únosnost ve smyku dána vztahem: b w 2 V f f l S R d,c c td c p c td
Smyk podle EN ČSN 1992-1-1
Smyk podle EN ČSN 1992-1-1 2) U předpjatých nosníků bez smykové výztuže lze vypočítat únosnost ve smyku v oblastech s ohybovými trhlinami s použitím vztahu : V Rd,c = [C Rd,c.k.(100. l.f ck ) 1/3 + k 1. cp ].b w.d při minimu V Rd,c = (v min + k 1. cp ).b w.d C Rd,c = 0,18/ γ c, k = 1 + (200/d) 1/2 2,0, (d v mm), ρ l = A sl /(b w.d) 0,02, v min = 0,035.k 3/2.fck 1/2, cp = N Ed /A c < 0,2 f cd [MPa], N Ed normálová síla v průřezu od zatížení nebo předpětí [v N] (N Ed > 0 pro tlak). Vliv vnesených deformací na N Ed lze zanedbat, A C plocha betonového průřezu [mm 2 ], k 1 je 0,15.
Smyk podle EN ČSN 1992-1-1 Prvky se svislou smykovou výztuží V Rd,s = (A sw / s). z. f ywd. cotg V Rd,max = cw. b w. z. 1. f cd / (cotg + tan ) F Ed = 0,5. V Ed. (cotg - tan ) + N Ed = V Ed. a l / z + N Ed A sw,max /s 0,5. cw. 1. f cd. b w / f ywd - pro cotg =1,0 cw součinitel, kterým se zohledňuje stav napětí v tlačeném pásu: 1,0 pro nepředpjaté konstrukce (1 + cp /f cd ) pro 0 < cp 0,25 f cd 1,25 pro 0,25 f cd < cp 0,5 f cd 2,5 (1 - cp /f cd ) pro 0,5 f cd < cp < 1,0 f cd kde cp je průměrné napětí betonu v tlaku uvažované jako kladné, vyvolané návrhovou normálovou silou. Toto napětí se má získat zprůměrováním po betonovém průřezu při uvažování výztuže. Hodnota cp se nemusí počítat ve vzdálenosti menší než 0,5d. cot od líce uložení. α cw 1,25 1,00 0,25 0,5 0,75 1 σ c /f cd
Smyk podle EN ČSN 1992-1-1 Porušení smykem od T podle ČSN EN 1992-1-1 V Ei = T E. z i / (2.A k ) = T E / (2.A k. cot θ) pro z i z, prvky bez trhlin prvky s trhlinami