ZPRACOVÁNÍ SIGNÁLŮ Z MECHANICKÝCH SYSTÉMŮ UŽITÍM FFT Jiří Tůma Štramberk 1997
ii
Anotace Cílem této knihy je systematicky popsat metody analýzy signálů z mechanických systémů a strojních zařízení. Obsahem knihy jsou následující kapitoly: teorie Fourierovy transformace, popis metod výpočtu FFT, popis charakteristik signálů, měření a vyhodnocování spekter a frekvenčních charakteristik a teorie analytického signálu s Hilbertovou transformací, která je základem k demodulaci signálů. V aplikační části je věnována pozornost diagnostice záběru ozubených kol a valivých ložisek.
Obsah Předmluva... 1 1. Úvod... 4 Signály... 4 2. Měření signálů z mechanických systémů a jejich vyhodnocení... 5 2.1. Snímače... 5 2.1.1. Síla... 5 2.1.2. Pohyb... 6 2.1.3. Hluk... 7 2.1.4. Intenzita hluku... 8 2.1.5. Strukturální intenzita... 9 2.1.6. Vzdálenost... 9 2.1.7. Otáčky... 9 2.2. Systémy snímačů... 10 2.3. Použití relativních jednotek pro hluk a vibrace... 11 2.4. Vyhodnocování signálů... 12 2.4.1. Analyzátory s konstantní relativní šířkou pásma (CPB)... 12 2.4.2. Analyzátory s konstantní absolutní šířkou pásma (FFT)... 13 2.4.3. Použití FFT analyzátorů... 15 3. Klasifikace signálů... 17 3.1.1. Obecné rozdělení... 17 3.1.2. Příklady signálů a jejich spekter... 19 4. Elementární deterministické signály... 24 4.1. Harmonický signál... 24 4.2. Diracova funkce... 26 4.3. Náhodné signály... 27 4.3.1. Střední hodnota signálu... 27 4.3.2. Rozptyl signálu... 28 4.3.3. Činitel výkyvu... 29 4.3.4. Korelační funkce... 29 4.3.5. Střední hodnota, rozptyl a korelační funkce harmonického signálu... 30 4.3.6. Střední hodnota, rozptyl a korelační funkce bílého šumu... 31 5. Fourierova transformace... 33 5.1. Fourierovy řady... 33 5.2. Fourierova transformace obecného signálu... 34 5.2.1. Fourierova transformace periodického signálu... 37 5.2.2. Fourierova transformace vzorkovaného signálu... 38 5.2.3. Fourierova transformace vzorkovaného periodického signálu... 39 5.3. Vlastnosti diskrétní Fourierovy transformace... 43 6. Charakteristiky náhodných signálů ve frekvenční oblasti... 47 6.1. Výkonová spektrální hustota... 47 6.1.1. Spektrum a autokorelační funkce periodického signálu... 48 6.1.2. Výkonová spektrální hustota bílého šumu... 48 6.2. Křížové spektrum... 49 6.3. Průchod signálu lineární dynamickou soustavou... 50 i
Metody zpracování signálů... 51 7. Algoritmus FFT a jeho vlastnosti...51 m 7.1. Metoda vybraných vstupních posloupností v algoritmu FFT pro N = 2...51 m 7.2. Metoda vybraných obrazových posloupností v algoritmu FFT pro N = 2...53 7.3. Vlastnosti algoritmu FFT...56 7.3.1. Urychlení výpočtu pro dva záznamy...56 7.3.2. Rychlost a přesnost výpočtu...56 7.4. Poměr signálu k šumu...58 7.5. Frekvenční rozsah analýzy signálů, antialiasingová filtrace...59 7.6. Frekvenční lupa...61 7.6.1. Frekvenční lupa s posuvem frekvence...62 7.6.2. Frekvenční lupa se záznamem signálu...63 8. Měření a vyhodnocování spekter signálů...65 8.1. Měření výkonové spektrální hustoty signálů...66 8.1.1. Periodogram...66 8.1.2. Stupnice pro výkonovou spektrální hustotu...66 8.1.3. Stupnice pro křížové spektrum...68 8.2. Charakteristiky pásmového filtru...69 8.3. Volba časového okna...70 8.3.1. Obdélníkové časové okno...70 8.3.2. Časová okna Hanning a Flat Top...74 8.4. Průměrování spekter a překrývání záznamů...79 8.4.1. Průměrování výkonových spektrálních hustot...79 8.4.2. Překrývání záznamů při průměrování...80 8.4.3. Přesnost odhadu spekter...82 8.5. Akustické váhové funkce...83 8.6. Spektrum integrovaných veličin...84 9. Měření signálů ze strojů pracujících cyklicky...85 9.1. Souběhová filtrace...85 9.2. Synchronní filtrace...91 9.2.1. Algoritmus synchronní filtrace...91 9.2.2. Přenosová funkce synchronní filtrace...92 9.2.3. Odstup výkonu signálu od šumu...94 9.2.4. Příklad účinku synchronní filtrace...96 9.3. Cepstrální analýza...98 10. Měření frekvenčních charakteristik...100 10.1. Výpočet frekvenční charakteristiky z experimentálních dat...100 10.2. Hodnocení přesnosti měření frekvenční charakteristiky - koherence...103 10.3. Algoritmus výpočtu frekvenční charakteristiky a koherence...105 10.4. Příklady měření frekvenčních charakteristik...106 10.4.1. Náhodný vstupní signál měřené soustavy...106 10.4.2. Deterministický vstupní signál měřené soustavy...108 10.5. Vyhodnocení spektra intenzity zvuku a strukturální intenzity...111 11. Analytický signál...112 11.1. Hilbertova transformace...112 11.1.1. Nepřímé odvození s využitím Fourierovy transformace...112 11.1.2. Souvislost analytického signálu s rotujícími vektory...115 ii
11.1.3. Definiční vzorec přímé transformace... 115 11.2. Rozbalení fáze analytického signálu... 116 12. Modulace a demodulace signálu... 118 12.1. Základní definice... 118 12.2. Amplitudová modulace a demodulace... 120 12.2.1. Spojitý harmonický modulační signál... 120 12.2.2. Obecný spojitý modulační signál... 121 12.2.3. Amplitudová demodulace signálu... 122 12.3. Fázová (frekvenční) modulace a demodulace... 125 12.3.1. Spojitý harmonický modulační signál... 125 12.3.2. Frekvenční modulace plynulou (lineární) změnou frekvence... 129 12.3.3. Fázová demodulace signálu... 131 12.4. Smíšená amplitudová a fázová (frekvenční) modulace a demodulace... 132 12.5. Příklad demodulace signálů... 135 12.5.1. Analýza obálky pro výpočet útlumu kmitání... 135 12.5.2. Analýza úhlových nebo torzních kmitů... 136 Měření a vyhodnocování diagnostických signálů... 138 13. Aplikace signálové analýzy v diagnostice strojních zařízení s ozubenými koly... 138 13.1. Výchozí teoretické principy... 138 13.2. Záběr ozubených kol... 140 13.2.1. Jednoduché soukolí... 141 13.2.2. Planetové soukolí... 143 13.3. Měření podílu ozubených kol na vnějším hluku vozidel... 146 13.3.1. Kinematická schémata agregátů vozidla s ozubenými koly... 146 13.3.2. Měření a rozbor vnějšího hluku vozidel... 147 13.4. Měření spekter hluku převodovky při rozběhu... 150 13.5. Měření hluku a vibrací převodovky při ustálených otáčkách... 155 13.5.1. Měření spekter s frekvenční lupou... 156 13.5.2. Měření odezev záběru ozubených kol u jednoduchého soukolí... 156 13.5.3. Vliv součinitele záběru na průměrnou odezvu záběru zubů... 160 13.5.4. Vliv otáček na průměrnou odezvu záběru zubů... 161 13.5.5. Detekce lokálních poruch ozubených kol... 161 13.6. Měření odezev záběru ozubených kol u planetového reduktoru... 162 14. Aplikace signálové analýzy v diagnostice valivých ložisek... 165 14.1. Příčiny vzniku vibrací a hluku ložisek... 165 14.2. Teoretický rozbor... 166 14.3. Příklad rozboru spektra vibrací valivého ložiska... 169 Literatura... 171 iii
Seznam základního značení a m hloubka amplitudové modulace nebo index fázové modulace a m,a, a m,f hloubka amplitudové modulace, index fázové modulace a(t) zrychlení pohybu jako funkce spojitého času [m s -2 ] a 1, a 2 zrychlení dvou bodů ve stejném směru pro měření strukturální intenzity [m s -2 ] a k (t) reálná část analytického signálu příslušného harmonickému signálu a ( t) + vektor rotující v kladném směru, rotující vektor příslušný amplitudově modulovanému signálu a ( t) vektor rotující v záporném směru A amplituda harmonického signálu A x1, A x2 amplituda harmonického signálu x 1 (t) a x 2 (t) A +, A amplituda vektoru rotujícího v kladném směru (+) a v záporném směru (-) b k (t) imaginární část analytického signálu příslušného harmonickému signálu C a, C c, C F kapacity kondenzátorů v náhradním schématu akcelerometru a nábojovém zesilovači D =σ 2 rozptyl náhodné proměnné nebo náhodného signálu D{x(t)} operátor rozptylu signálu x(t) DV průměr válivého členu ložiska [m] e(t) bílý šum se spojitým časem e t bílý šum s diskrétním časem E(t) obálka signálu, absolutní hodnota analytického signálu E{x(t)} operátor střední hodnoty signálu x(t) f frekvence [Hz] F{x(t)} FT signálu se spojitým časem x(t) F{x t } DFT vzorkovaného signálu x t F N {x t } DFT vzorkovaného signálu x t ze záznamu o délce N F -1 {X(ω)} inverzní FT s výsledkem, kterým je signál se spojitým časem x(t) F -1 {F t } inverzní DFT s výsledkem, kterým je vzorkovaný signál x t f c střed propustného pásma filtru, centrální frekvence [Hz] f h horní frekvence pásmové propusti [Hz] f s dolní frekvence pásmové propusti, vzorkovací frekvence [Hz] f M frekvence nosné složky modulovaného signálu [Hz] f0 = 1 T základní frekvence periodického signálu f 1, f 2 frekvence otáček hřídelí [Hz] f z1 základní frekvence záběru ozubeného kola s počtem z 1 zubů [Hz] f(x) hustota rozdělení pravděpodobnosti f MAX maximální frekvence, onvykle frekvenční rozsah analyzátoru F k koeficienty rozvoje periodické funkce x(t) do tvaru Fourierovy řady F RE násobek frekvence otáček ložiska pro poruchu válivého členu ložiska F IR násobek frekvence otáček ložiska pro poruchu vnitřní dráhy ložiska F OR násobek frekvence otáček ložiska pro poruchu vnější dráhy ložiska F(t) budicí síla [N] g n (t) posloupnost funkcí s limitou, která je rovna Diracově funkci δ(t) G k koeficienty rozvoje periodické funkce y(t) do tvaru Fourierovy řady, DFT sudých vzorků, FT imaginární části analytického signálu G(jω) frekvenční charakteristika synchronního filtru h(t) impulsní charakteristika lineární soustavy iv
H(jω) frekvenční charakteristika lineární soustavy H xz (jω) frekvenční charakteristika lineární soustavy se signálem x(t) na vstupu a y(t) na výstupu H k DFT lichých vzorků, přenosový součinitel (komplexní číslo) H{x(t)} Hilbertova transformace signálu se spojitým časem x(t) H{x t } Hilbertova transformace vzorkovaného signálu x t i celé číslo, případně index I, I x vektor intenzity zvuku a jeho složka ve směru osy x [W m -2 ] Im{z(t)} imaginární část komplexního signálu z(t) j = 1 imaginární jednotka J i (a) Bessellova funkce prvního druhu celočíselného indexu k celé číslo, případně index K počet průměrování, počet hodnot při výpočtu aritmetického průměru K 0 zesílení nábojového zesilovače K(t) časově proměnná tuhost kontaktu ozubených kol [N m -1 ] L{x(t)} Laplaceova transformace signálu x(t) m celé číslo, případně index, exponent mocniny se základem 2 m k centrální (statistický) moment k-tého řádu m R redukovaná hmota [kg] M délka záznamu M < N M k počáteční (statistický) moment k-tého řádu n celé číslo, případně index, počet válivých členů valivého ložiska N délka záznamu (počet vzorků), obvykle mocnina 2 p akustický tlak [Pa], komplexní proměnná pro Laplaceovu transformaci, celočíselný násobek p x gradient akustického tlaku [Pa m -1 ] p A, p B akustický tlak v bodě A a v bodě B [Pa] p + (t) rotující vektor příslušný fázově modulovanému signálu p(t) chyba převodu v posunu ve směru tečny dotykové kružnice ozubení [m] PD roztečný průměr valivého ložiska [m] PSD i průměrované hodnoty výkonové spektrální hustoty psd i okamžité hodnoty výkonové spektrální hustoty R xx (τ) autokorelační funkce signálu x(t) R xy (τ) vzájemná korelační funkce signálů x(t) a y(t) RD průměr válečku ložiska [m] Re{z(t)} reálná část komplexního signálu z(t) s celkový skluz při odvalování valivého členu ložiska s i, s o skluz při odvalování na vnitřní a vnější dráze ložiska s(t) dráha (výchylka) jako funkce spojitého času [m] s A (t) amplitudový modulační signál s F (t) fázový modulační signál S(ω) Fourierovo spektrum signálu S 0 (ω) Fourierovo spektrum nosné složky modulovaného signálu S A (ω) Fourierovo spektrum amplitudového modulačního signálu S xx (ω) výkonová spektrální hustota, autospektrum S xy (ω) křížové spektrum t spojitý čas [s], v indexu diskrétní čas, tj. celé číslo T = 1 f 0 doba periody periodického signálu v
u rychlost pohybu částic prostředí (vzduchu) [m s -1 ] u i, u o vstupní a výstupní napětí nábojového zesilovače x nezávisle proměnná x(t) signál, funkce spojitého času t, signál na vstupu soustavy x A t) amplitudově modulovaný signál x F t) fázově modulovaný signál x 1 (t), x 2 (t) svislá a vodorovná výchylka osy hřídele při měření jeho orbitálního pohybu [m] x P (t) pomocná funce, která je nenulová v časovém intervalu 0 až T x i, x k hodnoty (vzorky) vzorkovaného signálu x(t)*y(t) konvoluce signálů x(t) a y(t) x( t ) operátor střední hodnoty signálu x(t) X * horní index *, komplexně sdružená hodnota ke komplexnímu číslu X X(ω)*Y(ω) konvoluce obrazů FT, tj. X(ω) a Y(ω) X(p) Laplaceova transformace jako funkce komplexní proměnné p X(ω) FT signálu x(t) X k DFT vzorkovaného signálu x t y(t) signál, funkce spojitého času t, signál na výstupu soustavy, imaginární část analytického signálu y i, y k hodnoty (vzorky) vzorkovaného signálu Y k DFT vzorkovaného signálu y t Y(ω) Fourierova transformace signálu y(t) w(t) váhová funkce w ef (t) efektivní váhová funkce překrývaných záznamů w R (t) časové okno typu Rectangular (obdélníkové okno) w H (t) časové okno typu Hanning W R (ω) FT časového okna w R (t) W R (ω) FT časového okna w H (t) ( ) W = exp j2 π k N z počet zubů ozubeného kola z(t) komplexní signál jako funkce spojitého času t z t komplexní vzorkovaný signál Z k DFT komplexního vzorkovaného signálu z t α parametr autokorelační funkce náhodného signálu β(t) fáze analytického signálu δ(t) Diracova funkce f frekvenční šířka propustného pásma filtru frekvenční zdvih frekvenční modulace [Hz] t vzorkovací interval [s] x vzdálenost měřicích mikrofonů při měření intenzity zvuku [m] ϕ maximální změna fáze analytického signálu ω frekvenční zvih frekvenční modulace vyjádřený v úhlové frekvenci [rad s -1 ] ε relativní směrodatná odchylka chyby odhadu výkonové spektrální hustoty ε k,i chyby hodnot (komplexní číslo) ε α součinitel záběru profilu [-] ε β součinitel záběru kroku [-] ε γ celkový součinitel záběru [-] vi
ε(t) kinematické buzení [m] γ celé číslo, případně index γ i nerozbalené vzorky fáze analytického signálu [rad] ϕ počáteční fáze harmonického signálu [rad] ϕ m počáteční fáze harmonického fázového modulačního signálu [rad] ϕ x1 počáteční fáze harmonického signálu x 1 (t) a x 2 (t) [rad] ϕ + počáteční fáze harmonického signálu s amplitudou A + [rad] ϕ počáteční fáze harmonického signálu s amplitudou A [rad] λ celé číslo, případně index Φ fáze harmonického modulačního signálu Φ C okamžitá fáze fázově modulovaného signálu µ celé číslo, případně index ρ hustota prostředí [kgm -3 ], obvykle vzduchu σ směrodatná odchylka σ 2 = D rozptyl náhodné proměnné nebo náhodného signálu τ zpoždění, posunutí v korelační funkci, spojitá nebo diskrétní veličina ω = 2πf úhlová frekvence [rad s -1 ] ω s vzorkovací úhlová frekvence [rad s -1 ] ω m mezní úhlová frekvence spektra signálu [rad s -1 ] úhlová frekvence harmonického modulačního signálu [rad s -1 ] ω M úhlová frekvence nosné složky modulovaného signálu [rad s -1 ] ω C okamžitá úhlová frekvence fázově modulovaného signálu [rad s -1 ] Ω úhlová frekvence [rad s -1 ] ξ náhodná veličina, kvantovací šum Zkratky: COP CROSS DFT ESD FFT FT imag mag NCOP PSD PWR real RMS S/N koherentní výstupní výkon na výstupu lineární soustavy křížové spektrum diskrétní Fourierova transformace energetická spektrální hustota rychlá Fourierova transformace Fourierova transformace signálu se spojitým časem imaginární část Fourierovy transformace nebo analytického signálu absolutní hodnota Fourierovy transformace nebo analytického signálu (zkratka angl. označení magnituda) nekoherentní výstupní výkon na výstupu lineární soustavy výkonová spektrální hustota výkon reálná část Fourierovy transformace nebo analytického signálu efektivní hodnota signálu odstup signálu od šumu na výstupu lineární soustavy vii