Statistika (KMI/PSTAT)

Statistika (KMI/PSTAT) Cvičení šesté aneb Podmíněná pravděpodobnost Statistika (KMI/PSTAT) 1 / 13

Pravděpodobnost náhodných jevů Po dnešní hodině byste měli být schopni: rozumět pojmu podmíněná pravděpodobnost a umět jej vysvětlit na konkétních příkladech, rozumět pojmu rozklad prostoru elementárních jevů a umět jej vysvětlit na konkétních příkladech, rozumět pojmu úplná soustava náhodných jevů a umět jej vysvětlit na konkétních příkladech, rozumět vzorci pro výpočet průniku pravděpodobnosti v obecném případě (tj. založeném na podmíněné pravděpodobnosti) a umět jej použít v odpovídajících situacích, rozumět vzorci pro úplnou pravděpodobnost náhodného jevu a umět jej použít v odpovídajících situacích, rozumět tzv. Bayesově vzorci a umět jej použít v odpovídajících situacích. Statistika (KMI/PSTAT) 2 / 13

Podmíněná pravděpodobnost Náhodný pokus, který sledujeme, může být dodatečně omezen nějakou podmínkou, resp. může se stát, že v průběhu realizace náhodného pokusu získáme nějaké informace, které ovlivňují povědomí o výsledcích náhodného pokusu. Pro popis takové situace je vhodný pojem podmíněné pravděpodobnosti. Nejčastěji lze uchopit pojem podmíněné pravděpodobnosti tak, že při náhodném pokusu uvažujeme dva jevy - A a B - a zjišt ujeme, jaká je pravděpodobnost jevu A, jesliže víme, že nastal jev B a naopak. Mluvíme pak o podmíněné pravděpodobnosti jevu A za podmínky, že nastal jev B. Tuto situaci značíme symbolem P (A B). Ilustrační příklad I Náhodný pokus spočívá v hodu kostkou. Jev A nastane tehdy, padne-li číslo větší než 3. Jev B nastane tehdy, padne-li sudé číslo. Jaká je pravděpodobnost jevu A, víme-li, že nastal jev B, tedy víme-li, že padlo sudé číslo? Ilustrační příklad II Náhodný pokus spočívá konání koňského dostihu. Jev A nastane tehdy, zvítězí-li kůň se startovním číslem 1. Jev B nastane tehdy, zvítězí-li kůň se startovním číslem 2. Pravděpodobnosti jsou P (A) = 0.2, P (B) = 0.1. Během závodu kůň s číslem 1 klopýtnul na překážce a ze závodu odstoupil. Jaká je nyní pravděpodobnost jevu B? Statistika (KMI/PSTAT) 3 / 13

Podmíněná pravděpodobnost Počítáme-li nepodmíněnou pravděpodobnost jevu A, potom se jedná o relativní velikost jevu A vůči celému Ω. V případě P (A B) zjišt ujeme relativní velikost jevu A B vůči jevu B. Podmíněná pravděpodobnost jevu A za podmínky B Pravděpodobností náhodného jevu A za podmínky, že nastal jev B (pro nějž platí P (B) 0), budeme nazývat číslo P (A B) P (A B) =. P (B) Statistika (KMI/PSTAT) 4 / 13

Podmíněná pravděpodobnost Ilustrační příklad III Náhodný pokus spočívá v náhodném výběru jedné osoby. Jev A nastane tehdy, je-li touto osobou muž, je P (A) = 0, 5. Jev B nastane tehdy, má-li vybraná osoba řidičské oprávnění, je P (B) = 0, 75. Předpokládejme, že mezi muži i ženami je stejné procento osob s řidičským oprávněním (tj. předpokládáme nezávislost držení řidičského oprávnění na pohlaví). Je tedy: A... výběr muže, A... výběr ženy, B... výběr osoby s řidičským oprávněním, B... výběr osoby bez řidičského oprávnění. Vypočítejte a interpretujte hodnoty P (A B), P (A B). Statistika (KMI/PSTAT) 5 / 13

Podmíněná pravděpodobnost Ilustrační příklad IV Náhodný pokus spočívá v náhodném výběru jedné osoby. Jev A opět nastane tehdy, je-li touto osobou muž. Jev B opět nastane tehdy, má-li vybraná osoba řidičské oprávnění. Navíc nyní platí: P (A) = 0.60, P (B A) = 0.80, P (B A) = 0.65. Interpretujte hodnoty P (B A) a P (B A) a vypočítejte a interpretujte hodnoty: P (A B), P (B). Vzorec pro úplnou pravděpodobnost I Mějme jev A a jev k němu opačný A. Pak pro libovolný náhodný jev B platí P (B) = P (A) P (B A) + P (A) P (B A). Statistika (KMI/PSTAT) 6 / 13

Vzorec pro úplnou pravděpodobnost Úplná soustava náhodných jevů - příklad V Uvažujme populaci v ČR. Tuto populaci můžeme rozdělit dle nejvyššího dosaženého vzdělání do čtyř skupin: jev A 1 - výběr osoby s nejvýše ZŠ jev A 2 - výběr osoby s SŠ bez maturity jev A 3 - výběr osoby s SŠ s maturitou jev A 4 - výběr osoby s VŠ Všimněte si, že každý občan patří právě do jedné skupiny (nemůže se najednou nacházet ve dvou skupinách) - každé dva různé jevy jsou navzájem neslučitelné. Sloučení všech skupin dává dohromady celou populaci ČR - sjednocení jevů dává Ω. Úplná soustava náhodných jevů Náhodné jevy A 1, A 2, A 3,...,A n budeme nazývat úplnou soustavou náhodných jevů právě tehdy, tvoří-li rozklad prostoru elementárních jevů, tj. pro všechna i j platí A i A j = a současně je A 1 A 2... A n = Ω. Statistika (KMI/PSTAT) 7 / 13

Vzorec pro úplnou pravděpodobnost Úplná soustava náhodných jevů - příklad VI Náhodný pokus spočívá v náhodném výběru osoby v ČR. Náhodný jev N nastane, je-li vybraná osoba nezaměstnaná. Dále mohou nastat tyto jevy: jev A 1 - výběr osoby s nejvýše ZŠ, jev A 2 - výběr osoby s SŠ bez maturity, jev A 3 - výběr osoby s SŠ s maturitou, jev A 4 - výběr osoby s VŠ. Platí: P (A 1 ) = 0.15, P (A 2 ) = 0.35, P (A 3 ) = 0.33, P (A 4 ) = 0.17 Statistika (KMI/PSTAT) 8 / 13

Vzorec pro úplnou pravděpodobnost Úplná soustava náhodných jevů - příklad VI Náhodný pokus spočívá v náhodném výběru osoby v ČR. Náhodný jev N nastane, je-li vybraná osoba nezaměstnaná. Dále mohou nastat tyto jevy: jev A 1 - výběr osoby s nejvýše ZŠ, jev A 2 - výběr osoby s SŠ bez maturity, jev A 3 - výběr osoby s SŠ s maturitou, jev A 4 - výběr osoby s VŠ. Platí: P (A 1 ) = 0.15, P (A 2 ) = 0.35, P (A 3 ) = 0.33, P (A 4 ) = 0.17 P (N A 1 ) = 0.11, P (N A 2 ) = 0.09, P (N A 3 ) = 0.06, P (N A 4 ) = 0.03 Statistika (KMI/PSTAT) 8 / 13

Vzorec pro úplnou pravděpodobnost Úplná soustava náhodných jevů - příklad VI Náhodný pokus spočívá v náhodném výběru osoby v ČR. Náhodný jev N nastane, je-li vybraná osoba nezaměstnaná. Dále mohou nastat tyto jevy: jev A 1 - výběr osoby s nejvýše ZŠ, jev A 2 - výběr osoby s SŠ bez maturity, jev A 3 - výběr osoby s SŠ s maturitou, jev A 4 - výběr osoby s VŠ. Platí: P (A 1 ) = 0.15, P (A 2 ) = 0.35, P (A 3 ) = 0.33, P (A 4 ) = 0.17 P (N A 1 ) = 0.11, P (N A 2 ) = 0.09, P (N A 3 ) = 0.06, P (N A 4 ) = 0.03 Vypočtěte P (N). Statistika (KMI/PSTAT) 8 / 13

Vzorec pro úplnou pravděpodobnost Úplná soustava náhodných jevů - příklad VI Náhodný pokus spočívá v náhodném výběru osoby v ČR. Náhodný jev N nastane, je-li vybraná osoba nezaměstnaná. Dále mohou nastat tyto jevy: jev A 1 - výběr osoby s nejvýše ZŠ, jev A 2 - výběr osoby s SŠ bez maturity, jev A 3 - výběr osoby s SŠ s maturitou, jev A 4 - výběr osoby s VŠ. Platí: P (A 1 ) = 0.15, P (A 2 ) = 0.35, P (A 3 ) = 0.33, P (A 4 ) = 0.17 P (N A 1 ) = 0.11, P (N A 2 ) = 0.09, P (N A 3 ) = 0.06, P (N A 4 ) = 0.03 Vypočtěte P (N). Vzorec pro úplnou pravděpodobnost II Necht A 1, A 2, A 3,...,A n je úplná soustava náhodných jevů, necht pro všechna i = 1, 2,..., n platí, že P (A i ) 0. Pak pro libovolný náhodný jev B platí P (B) = n P (A i ) P (B A i ) = P (A 1 ) P (B A 1 ) + P (A 2 ) P (B A 2 ) +... + P (A n) P (B A n). i=1 Statistika (KMI/PSTAT) 8 / 13

Bayesův vzorec Bayesův vzorec - příklad VII Náhodný pokus spočívá v náhodném výběru jedné osoby. Jev A nastane tehdy, je-li touto osobou muž. Jev B nastane tehdy, má-li vybraná osoba řidičské oprávnění. Opět platí: P (A) = 0.60, P (B A) = 0.80, P (B A) = 0.65. Vypočítejte a interpretujte hodnotu P (A B). Bayesův vzorec I Mějme jev A a jev k němu opačný A. Pak pro libovolný náhodný jev B (takový, že P (B) 0) platí vzorec: P (A) P (B A) P (A B) = P (A) P (B A) + P (A) P (B A). Statistika (KMI/PSTAT) 9 / 13

Bayesův vzorec - příklad VIII Náhodný pokus spočívá v náhodném výběru osoby v ČR. Náhodný jev N nastane, je-li vybraná osoba nezaměstnaná. Dále mohou nastat tyto jevy: jev A 1 - výběr osoby s nejvýše ZŠ, jev A 2 - výběr osoby s SŠ bez maturity, jev A 3 - výběr osoby s SŠ s maturitou, jev A 4 - výběr osoby s VŠ. Platí: P (A 1 ) = 0.15, P (A 2 ) = 0.35, P (A 3 ) = 0.33, P (A 4 ) = 0.17 Statistika (KMI/PSTAT) 10 / 13

Bayesův vzorec - příklad VIII Náhodný pokus spočívá v náhodném výběru osoby v ČR. Náhodný jev N nastane, je-li vybraná osoba nezaměstnaná. Dále mohou nastat tyto jevy: jev A 1 - výběr osoby s nejvýše ZŠ, jev A 2 - výběr osoby s SŠ bez maturity, jev A 3 - výběr osoby s SŠ s maturitou, jev A 4 - výběr osoby s VŠ. Platí: P (A 1 ) = 0.15, P (A 2 ) = 0.35, P (A 3 ) = 0.33, P (A 4 ) = 0.17 P (N A 1 ) = 0.11, P (N A 2 ) = 0.09, P (N A 3 ) = 0.06, P (N A 4 ) = 0.03 Statistika (KMI/PSTAT) 10 / 13

Bayesův vzorec - příklad VIII Náhodný pokus spočívá v náhodném výběru osoby v ČR. Náhodný jev N nastane, je-li vybraná osoba nezaměstnaná. Dále mohou nastat tyto jevy: jev A 1 - výběr osoby s nejvýše ZŠ, jev A 2 - výběr osoby s SŠ bez maturity, jev A 3 - výběr osoby s SŠ s maturitou, jev A 4 - výběr osoby s VŠ. Platí: P (A 1 ) = 0.15, P (A 2 ) = 0.35, P (A 3 ) = 0.33, P (A 4 ) = 0.17 P (N A 1 ) = 0.11, P (N A 2 ) = 0.09, P (N A 3 ) = 0.06, P (N A 4 ) = 0.03 Vypočtěte P (A 1 N). Statistika (KMI/PSTAT) 10 / 13

Bayesův vzorec - příklad VIII Náhodný pokus spočívá v náhodném výběru osoby v ČR. Náhodný jev N nastane, je-li vybraná osoba nezaměstnaná. Dále mohou nastat tyto jevy: jev A 1 - výběr osoby s nejvýše ZŠ, jev A 2 - výběr osoby s SŠ bez maturity, jev A 3 - výběr osoby s SŠ s maturitou, jev A 4 - výběr osoby s VŠ. Platí: P (A 1 ) = 0.15, P (A 2 ) = 0.35, P (A 3 ) = 0.33, P (A 4 ) = 0.17 P (N A 1 ) = 0.11, P (N A 2 ) = 0.09, P (N A 3 ) = 0.06, P (N A 4 ) = 0.03 Vypočtěte P (A 1 N). Bayesův vzorec II Necht A 1, A 2, A 3,...,A n je úplná soustava náhodných jevů, necht pro všechna j = 1, 2,..., n platí, že P (A j ) 0, necht pro náhodný jev B platí P (B) 0. Pak pro každé j = 1, 2,..., n platí P (A j B) = P (A j ) P (B A j ) n ( P (Ai ) P (B A i ) ) = P (A j ) P (B A j ) P (A 1 ) P (B A 1 ) +... + P (A n) P (B A. n) i=1 Statistika (KMI/PSTAT) 10 / 13

Podmíněná pravděpodobnost Příklad X Podstoupíte laboratorní vyšetření na přítomnost choroby, která se v populaci vyskytuje u 1 jedince z 1000 (tzv. prevalence nemoci). Pokud se u vyšetřovaného jedince nemoc vyskytuje, vyšetření ji ze vzorku 100% rozpozná. Necht má ale toto vyšetření zároveň 5% falešnou pozitivitu (tj. 5% zdravých jedinců bude mít pozitivní test na danou nemoc). Váš test vyšel pozitivní - s jakou pravděpodobností danou nemocí skutečně trpíte? Příklad XI Příklad obsahuje stejné zadání jako v předchozí úloze, nyní je však prevalence nemoci rovna 0.1, tj. nemoc se v populaci vyskytuje u jednoho jedince z 10. S jakou pravděpodobností danou nemocí trpíte, vyšel-li Vám pozitivní test na uvedenou chorobu? Statistika (KMI/PSTAT) 11 / 13

Úlohy k samostatné práci Příklad XII Dva stroje vyrábějí tentýž výrobek, první stroj vyrábí 60 % produkce a druhý stroj vyrábí 40 % produkce. Pravděpodobnost vyrobení zmetku u obou strojů je po řadě 5 % a 3 %. Jaká je pravděpodobnost toho, že náhodně vybraný výrobek z produkce je zmetek? Příklad XIII Uvažujme stejné zadání jako v předchozím příkladě. Náhodně vybraný výrobek je zmetek. Jaká je pravděpodobnost, že byl vyroben na prvním stroji, resp. druhém stroji? Příklad XIV Velkoobchod odebírá počítače od dvou dodavatelů. První dodavatel pokrývá odběr velkoobchodu z 80 %, přičemž 75 % dodávky tvoří počítače osazené procesorem Intel. Druhý dodavatel pokrývá odběr velkoobchodu ze zbývajících 20 %, přičemž 60 % dodávky tvoří počítače osazené procesorem Intel. Pokud by si zákazník vybral počítač zcela náhodně, jaká je pravděpodobnost, že tento počítač bude osazen procesorem Intel? Jaká je pravděpodobnost, že náhodně vybraný počítač s procesorem Intel pochází od prvního, resp. druhého dodavatele? Statistika (KMI/PSTAT) 12 / 13

Úlohy k samostatné práci Příklad XV Předpokládejme, že mezi profesionálními sportovci dopuje 0, 1% z nich (???). Dále předpokládejme, že antidopingoví komisaři zjišt ují případné používání dopingu testem s následujícími vlastnostmi. Pokud testovaný sportovec dopuje, test jej v 99% případů označí jako dopujícího. Pokud testovaný sportovec nedopuje, test jej v 95% případů označí za nedopujícího. Pokud sportovci vyšel pozitivní test na doping, jaká je pravděpodobnost, že skutečně dopuje? Příklad XVI Uvažujme stejné zadání jako v předchozím příkladě. Předpokládejme, že všichni sportovci, kteří měli pozitivní test, jsou podruhé podrobeni téže antidopingové kontrole, tj. stejnému testu. Jaká je nyní pravděpodobnost, že sportovec, který měl oba testy pozitivní, skutečně dopuje? Příklad XVII V osudí je 5 černých a 15 bílých kouĺı. Z osudí se vytáhne jedna koule, vrátí se zpět, přidá se 20 kouĺı stejné barvy, jakou měla vytažená koule a tah se opakuje. Jaká je pravděpodobnost, že druhá vytažená koule bude černá? Statistika (KMI/PSTAT) 13 / 13