Úvod do fyziky plazmatu 1 Dfinic plazmatu (S. Ichimaru, Statistical Plasma Physics, Vol I) Plazma j jakýkoliv statistický systém, ktrý obsahuj pohyblivé nabité částic. Pozn. Statistický znamná makroskopický, tdy pro charaktristický rozměr L a hustotu volných lktronů n platí L >> n -1/3. Pozn. Téměř každý makroskopický systém obsahuj nějaké množství pohyblivých nabitých částic, al pokud j jjich vliv na chování systému zandbatlný, nmá smysl mluvit o plazmatu. Pozn. Podl této dfinic jsou za plazma považovány i systémy, ktré njsou makroskopicky nutrální, tzv. nnutrální plazma (např. svazky nabitých částic), ktré nsplňují jiné dfinic plazmatu. Jiná Dfinic plazmatu (F.F. Chn, Úvod do fyziky plazmatu) Plazma j kvazinutrální systém pohyblivých nabitých (a případně i nutrálních) částic, ktrý vykazuj kolktivní chování. Pozn. Tady jsou zmíněny základní vlastnosti plazmatu. Pozn. Kolktivní chování j tdy podstatné, nicméně nmusí dominovat. Kolktivní chování dominuj u idálního plazmatu.
Vznik plazmatu ionizační procsy 1. Ionizac kosmickým zářním Např. Ionosféra kolm změ od výšky cca 60 km do výšky cca 500 km j vrstva plazmatu, kd vzniká v důsldku ionizac kosmickým zářním (jak lktromagntickým, tak i korpuskulárním), jhož hlavním zdrojm j Slunc. Elktronová hustota j njvyšší cca 10 6 cm -3 v horní F-vrstvě (nad 00 km), kd j lktronová tplota T 000 K. Pozn. V důsldku působní ionizujícího zářní j v všch látkách kolm nás určité množství pohyblivých nábojů. I v malé nadmořské výšc v vzduchu v přírodě vzniká v 1 cm 3 cca 10 volných lktronů a záporných iontů za 1s. Část lktronů s přilpí na molkuly a vznikají záporné ionty. Typicky j v vnkovním prostoru 10 3 kladných iontů v cm 3 a poměr počtu kladných k počtu záporných iontů j cca 1.15. Pokud dojd k ionizaci působním fotonu, jd o fotoionizaci. Kvantum zářní musí mít nrgii větší nž ionizační nrgi U i ( ω > U i > 3.9 V ).
. Ionizac v lktrickém poli (srážková) Pokud k plynu přiložím silné lktrické pol, přítomné volné lktrony jsou urychlny a když získají dostatčnou nrgii, můž při srážc dojít k ionizaci odtržním orbitálních lktronů nutrálních částic. Elktrony uvolněné srážkovou ionizací (ionizací nárazm) jsou opět urychlny lktrickým polm a vytvářjí ionizační lavinu. Tak vzniká lktrický výboj. Např. v doutnavém výboji při tlaku 1 Torr j lktronová hustota n = 10 9 10 11 cm -3 a lktronová tplota T 10 4 K. 3. Ionizac zahřátím Místo působní lktrického pol lz látku ionizovat zvýšním tploty. Vazbná nrgi vnějších lktronů v atomu/molkul j několik V a tdy při tplotě 10 4 10 5 K j tplná nrgi lktronů dostatčná pro srážkovou ionizaci. Pak j navíc i nrgi vyzařovaných fotonů dostatčná pro fotoionizaci. V trmodynamické rovnováz j stupň ionizac dán ionizační rovnováhou. 3
Ionizační rovnováha - Sahova rovnic [jdnotky SI] nn n i 1 3/ i.4 10 T xp n U = kt B Boltzmannova konstanta j k B = R/N A = 1.38 10-3 J/K = 8.6 10-5 V/K, a tdy k B T = 1 V při tplotě T = 11600 K, ionizační potnciál j například pro atom dusíku U i = 14.5 V (15.58 pro molkulu N ), pro Ar j U i = 15.76 V Za atmosférického tlaku j při tplotě 0 C hustota atomů v čistém argonu (Loschmidtovo číslo) n 0 =.6868 10 5 m -3 = n n + n i n n a dl (1) rovnovážná ionizac j n i /n n =.9 10-146. I pro tplotu 1 V j pro argon n i /n n 0.004. Pozn. Tplota plazmatu j většinou vysoká, proto s obvykl udává v V nbo v kv. J to praktické i z hldiska porovnání tploty s ionizačními nrgimi. Při vyšších tplotách bývá plazma ionizováno vícnásobně. 4. Tlaková ionizac Při vyšších hustotách můž být poloměr orbitů valnčních lktronů vzdálnosti atomů a pak můž dojít ionizaci i za pokojové tploty. (1) 4
5 U kovů při pokojové tplotě j hustota volných lktronů řádově 10 3 cm -3. Frmiho nrgi E F lktronů j při takové hustotě E F /3 π 3n = m π 7.9 V T, () a tdy lktronový plyn v kovch j dgnrovaný. Poměr Θ =T/E F nazývám paramtrm dgnrac. Pro dgnrovaný lktronový plyn (Θ << 1) j E F dobrým odhadm kintické nrgi lktronu. U polovodičů j hustota volných lktronů a děr podstatně nižší. Typickým příkladm plazmatu vzniklého tlakovou ionizací j vnitřk vyhořlé hvězdy. Vnitřk takové hvězdy j stlačn na tak vysokou hustotu, ž Frmiho nrgi lktronů j >> vazbná nrgi lktronů v atomu, a tudíž jsou všchny atomy úplně ionizovány. Přiblížní jdnokomponntního plazmatu (OCP) systém jdnoho druhu náboj uložný v homognním pozadí nutralizujícího náboj Pozn. Vlastnosti lktronů a iontů mohou být podstatně odlišné, proto j někdy užitčné s soustřdit na jdn druh náboj.
Typické lktronové hustoty a tploty něktrých typů plazmatu IG mzihvězdný plyn N plynná mlhovina I ionosféra GD doutnavý výboj SA slunční atmosféra AD obloukový výboj SC slunční koróna AGN aktivní galaktické jádro MF magntická fúz X rntgnová hvězda ICF inrciální fúz SI vnitřk slunc Γ = 0.543 dgnrované M kov, J - jádro Přvzato z Ichimaru, SPP I Joviánské planty WD bílý trpaslík r s j poměr střdní vzdálnosti lktronů k Bohrovu poloměru 6
Paramtr vázanosti, slabě a silně vázané plazma 7 Paramtr vázanosti pro OCP j poměr Coulombovské nrgi na střdní vzdálnosti částic k jjich průměrné kintické nrgii max(3/ T, E F ). Střdní vzdálnost R částic o hustotě n j 3 R = 4π n 1/3. (3) Pro ionty s R i obvykl nazývá poloměrm iontové sféry nbo také Wignr- Sitzovým poloměrm. Iontová sféra obsahuj všchny vázané a volné lktrony příslušjící daném iontu popis atomové fyziky hustého plazmatu Pro dgnrované lktrony j paramtr vázanosti Γ 1/3 7/3 3 m R 4/3 /3 S 0RE F n 0 a, (4) B Γ = = = 0.543 = 0.543 r 4π 3 π 4π 4π kd a B j Bohrův poloměr. Střdní vzdálnost lktronů s rovná Bohrovu poloměru pro hustotu n = 1.6 10 4 cm -3. Paramtr vázanosti dgnrovaných lktronů s hustotou klsá!!
Pro klasické plazma (částic s nábojm Z) j 1/3 6 n 0.007 Z 18 3 ( Z) 10 K Γ= = 4π 0RT 10 cm T 8, (5) a tdy paramtr vázanosti rost s hustotou a klsá s tplotou. Pro lktrony a vodíkové ionty j Γ = 0.543 na modré čář na přdchozím obrázku. Elktrony jsou tdy silně vázané jn v črvně šrafovaném trojúhlníku. Pro ionty j Frmiho nrgi vlmi malá, a proto jsou vodíkové ionty silně vázané všud pod modrou čarou. Většinou s budm věnovat klasickému slabě vázanému plazmatu. Zvláště pro mnohonásobně ionizované plazma j pravděpodobnější, ž silně vázané budou ionty. Obvykl s proto jako míra vázanosti užívá iontový paramtr vázanosti Γ i. V slabě vázaném plazmatu j vzájmná potnciální nrgi částic malá v srovnání s jjich kintickou nrgií, a proto s jho trmodynamické vlastnosti blíží plynu a stavovou rovnici lz často aproximovat stavovou rovnicí idálního plynu.
Vlastnosti plazmatu kvazinutralita 9 Systém j kvazinutrální, pokud v objmch srovnatlných s třtí mocninou jho charaktristické rozměru L j jho clkový náboj mnohm mnší nž clkové množství kladného náboj (a absolutní hodnota clkového záporného náboj). Pozn. Charaktristická délka L musí být mnohm větší nž vzdálnost, na jakou s mohou vzdálit záporné náboj od kladných (obvykl lktrony od iontů). K oddělní nábojů opačného znaménka od sb j zapotřbí určitá nrgi. Makroskopické oblaky nábojů s mohou oddělit jn na vzdálnost, kdy s jjich vškrá tplná nrgi změní na potnciální.
10 Jdnoduchý fyzikální modl jaká j maximální tloušťka nkončné rovinné vrstvy lktronů, ktrá s můž posunout vůči npohyblivým iontům o clou svou tloušťku? (přdpokládám klasickou statistiku) Obr. 1 Posun vrstvy Vzniká rovinný kondnzátor s plošnou hustotou náboj σ a uvnitř j lktrické pol E σ = n E= σ / Potnciální nrgi lktronu j rovna tplné nrgii n Upot = E = = kbt Toto s nazývá lktronová Dbyova délka λ D 0 kt B λd =D= n (6) Elktronová Dbyova délka rost s odmocninou lktronové tploty T a klsá s odmocninou lktronové hustoty (koncntrac) n. Plazma j tdy kvazinutrální na vzdálnostch, ktré jsou podstatně větší nž Dbyova délka, podmínkou kvazinutrality j charaktristický rozměr L λ D. 1/ 0 0
Dbyovo stínění Statický náboj j v plazmatu stíněn, protož přitahuj opačné náboj a odpuzuj náboj stjného znaménka. Pozn. Dby (a Hückl) odvodili stínění v torii lktrolytů (193). Budm přdpokládat, ž tplota lktronů T nmusí být obcně rovna tplotě iontů T i. To s v plazmatu stává často, protož (jak později ukážm) j přnos nrgi mzi lktrony a ionty vlmi pomalý. Na rozdíl od učbnic [Chn] připustím, ž plazma můž být vícnásobně ionizovaná, označím Z střdní náboj iontů. Tdy náboj lktronu j q = a náboj iontu j q i = Z. Elktrostatické pol kolm náboj q T umístěného v počátku j dáno Poissonovou rovnicí r q ϕ = = n Zn r T ( ) δ( ) i 0 0 0 Nchť v (tam, kd ϕ = 0) j hustota náboj r = 0. Tdy n = n 0 = Z n i. Abychom mohli použít Boltzmannovu statistiku pro lktrony, musí být tplná nrgi lktronů větší nž jjich Frmiho nrgi, a tdy (7) 11
kt π 3n > E = m π B F Pozn. Při hustotě n = 10 9 m -3 typické pro pvnou fázi j E F = 7.9 V, pro hustotu plynu n =.7 10 5 m -3 j E F = 0.038 V = 440 K. V Boltzmannově statistic j pravděpodobnost obsazní stavu ~xp(-u/k B T) ϕ n 0 Zϕ n = n0 xp ni = xp kt B Z kt B i Hustoty lktronů a iontů lz tď dosadit do Poissonovy rovnic a tuto řšit. Řšní si zjdnoduším linarizací, budm přdpokládat, ž potnciální nrgi kintická. Pro x 1 j xp(x) 1 + x a rovnici (3) přpíšm Po substituci 1 d dϕ n 0 1 Z ϕ = r pro r 0 = + ϕ r dr dr 0 T Ti ϕ = ϕ / r má Poissonova rovnic tvar /3 d d ϕ ϕ = r λ D 1 (8) (9)
Potnciál statického náboj q T v plazmatu j tdy q T r ϕ = xp 4 p0r λd 13 (10) Na vzdálnosti λ D j potnciál odstíněn na 1/ vakuové hodnoty. Stínění j součtm lktronového stínění s λ D a iontového s λ Di. Dbyova délka λ D j kt kt kt λ = λ + λ λ = λ = = (11) B 0 B i 0 B i 0 D D Di D Di n ni Z n Z Při T > T i /Z dominuj iontové stínění statického náboj. Kolm každé nabité částic v plazmatu j určité stínění, tzv. dynamické stínění. Aby vzniklo stacionární iontové stínění, musí být rychlost nabité částic tplná rychlost iontů. Pokud j částic rychljší nž tplné ionty, al mnohm pomaljší nž j tplná rychlost lktronů, vytváří s stacionární stínění lktrony, al stínění ionty j < nž u statického náboj.
Přdpoklady obsažné v odvozní Při odvozní jsm používali hustoty nabitých částic, což s rozumnou přsností lz jn, pokud s jdná o vzdálnosti (v tomto případě λ D ) vlké v srovnání s střdní vzdálnosti mzi částicmi. Obvykl s požaduj, aby počt lktronů N D v lktronové Dbyově sféř N 4π 4π k T = = 1 3/ 3/ 3/ 3 0 B D λd n 3 1/ 3 3 n 14 (1) Vličině N D nbo jjímu násobku s říká plazmatický paramtr. Pro N D 1 j plazma idální a Dbyovo stínění j kolktivní děj. Pozn. Při N D <1 stínění xistuj také, al jho fluktuac > střdní hodnota stínění. Při linarizaci Poissonovy rovnic jsm přdpokládali, ž potnciální nrgi nabitých částic ϕ jjich tplná nrgi k B T. To jistě nplatí v bzprostřdní blízkosti počátku, al tam nplatí ani přdchozí přdpoklad. Stačí tdy přdpokládat, ž q T j tak malé, ž na střdní vzdálnosti mzi lktrony R = 3/ ( 4π n ) 1/3 nrovnost platí.
Kolktivní chování 15 Pojmm kolktivní chování označujm vzájmné působní částic pomocí makroskopických lktromagntických polí na rozdíl od mikroskopických polí, ktrými na sb působí částic při binární srážc. V důsldku stínění j binární působní v idálním plazmatu účinné jn do vzdálnosti Dbyovy délky, k působní nabitých částic na větší vzdálnosti dochází jn v důsldku makroskopických lktromagntických polí vytvářných makroskopickými kolktivními náboji a proudy. Fluktuac s vlnovou délkou větší nž Dbyova délka mají přvážně kolktivní charaktr, zatímco krátkovlnné fluktuac jsou přvážně dány pohybm jdnotlivých částic s dominancí binární intrakc. (podrobně v kniz Ichimaru). Rychlost změny systému v důsldku binárních srážk j dána srážkovou frkvncí n c. S rostoucí srážkovou frkvncí n c rost význam binárního působní. V plazmatu xistuj řada kolktivních pohybů, al njrychljší j pohyb oblaku lktronů vůči iontům v důsldku jjich vzájmného přitahování. Pro jdnoduchost budm pokládat ionty za homognní nutralizující pozadí.
Použijm opět modl rovinných vrstv (obr. 1). Rychlost uspořádaného pohybu lktronů j v d /dt = a pohybová rovnic pro lktrony j m dv n d n = E= = dt t m 0 d 0 Dochází tdy k plazmovým oscilacím s lktronovou plazmovou frkvncí ω p = n m 0 (13) 16 (14) Elktronová plazmová frkvnc ω p charaktrizuj sílu kolktivního působní, při ω p > n c kolktivní chování přvažuj. Pokud j srážková frkvnc n cn nabitých částic s nutrály > ω p, systém s chová spíš jako plyn. Elktronová plazmová frkvnc ω p, lktronová Dbyova délka λ D a tplná rychlost lktronů v T splňují jdnoduchý vztah v = kt/ m = ω λ T B p D Pozn. Pokud započtm i pohyb iontů, pak frkvnc plazmových oscilací j ωp = ωp + ωpi, kd ωpi = Zni /( 0 Mi ) = Zωp m / Mi.
Obr. Schéma srážky ( ˆr jdnotkový vktor v směru r, b srážkový paramtr) Kolmá složka síly j dána vztahm Srážková frkvnc nabitých částic qq qq F = 4πε = 4 kd jsm využili vztahu r = b/sinθ. Pro jdnoduchost budm přdpokládat, ž s nmění složka rychlosti v 0 nalétávající částic v směru pohybu přd srážkou (platí pro vlká b, kdy dochází jn k malé změně směru pohybu částic). Kolmou složku hybnosti částic získám časovou intgrací impulsu síly ( ) mv = F t dt 0 0 3 sinq sin q, 0r πε0b Závislost F na čas j dána závislostí úhlu θ. Pohyb v směru x pokládám za rovnoměrný, a proto t = x/v 0 = r cosθ/v 0 = b cosθ/(v 0 sinθ) a tdy dt = bd θ / v sin θ a tdy ( ) 0 17
v v qq sin ( )d qq sin d b = = = 4πε 4 v kd b 0 j Landauova délka π 0 3 0 0 0 q t t q q 0mb πε0mb 0 b 0, b = qq / (πε mv ) 0 0 0 0 Srážkový paramtr b 0 odpovídá rozptylu na 90, tdy ztrátě původního směru rychlosti. Účinný průřz pro rozptyl na úhl 90 j σ = πb 0. Srážková frkvnc (pro rozptyl na vlké úhly) j pak Rozptyl na malé úhly n L nqq 0 0 0 v0b0 3 4πε0 m v0 = π n = 18 (15) Elktrostatické pol - síla dalkého dosahu - nad rozptylm na vlké úhly často přvažuj suma mnoha rozptylů na malé úhly. K ztrátě původní orintac rychlosti tdy pravděpodobně dojd mnoha malými změnami vktoru rychlosti dřív, nž nastan jdna srážka s vlkým úhlm rozptylu. Srážková frkvnc (pro změnu hybnosti) j pak dfinována jako 1 lomno průměrnou dobou, za ktrou částic ztratí původní orintaci rychlosti.
19 Historii pohybu částic lz považovat za náhodnou procházku v prostoru rychlostí. Dojd-li v určitém časovém intrvalu k N srážkám, j změna např. y složky rychlosti v = v + v + + v, y y1 y yn Přitom střdní hodnota v = v = 0. Poněvadž lz považovat jdnotlivé srážky za nkorlované, j disprz v y D y yi N N = D = D = D = D ( v ) v ( v ) ( v ) y yi yi N y vy 1 i= 1 i= 1 Pro jdnu srážku s srážkovým paramtrm b j ( ) v ( ) ( ) v = v + b y v = z vy1 b = 0 0 0 0 Počt srážk s srážkovým paramtrm v intrvalu db j dn = n0v 0 πbdb a tdy clková disprz kolmé složky rychlosti j dána vztahm d ( ) 3 db 3 bmax v y = π n0 v0b0 π n0 v0b0 ln dt tot = b b min v b b
0 Divrgující intgrál jsm musli omzit. Spodní hranic j dána přdpokladm rozptylů na malé úhly, a tn pro srážkové paramtry mnší nž Landauova délka b 0 nplatí. Pro vlké srážkové paramtry nplatí přdpoklad o coulombickém působní mzi částicmi, nboť s zd uplatní Dbyovo stínění, proto volím b max = λ D. Označm pro srážku mzi lktrony s tplnou rychlostí v T λd π0λd m vt 3 3 Λ= = = π n λd = ND b (16) 0 Pokud j plazmatický paramtr N D vlký, pak i Λ vlké. Vličina lnλ s nazývá Coulombův (coulombovský) logaritmus. J to poměr srážkové frkvnc všch srážk k frkvnci rozptylu na úhly větší nž 90. Srážková frkvnc pro srážky lktronů s rychlostí v 0 s lktrony j 4 8 π n 0 n = ln Λ 3 4π m v. (17) ( ) 0 0 Srážková frkvnc coulombických srážk j v 3 a střdní volná dráha j v 4, proto rlativně rychlé lktrony z konc rozdělní rychlostí mají málo srážk a mohou bz větší změny směru projít poměrně vlkou vzdálnost.
1 Srážkovou frkvnci lktronů s tplnou rychlostí v 0 = v T = (k B T /m ) 1/ nazývám fktivní srážkovou frkvncí 4 8 π n n c = ln Λ 1/ 3/ 4π m k T (18) ( ) ( ) 0 B Poměr srážkové frkvnc k plazmové frkvnci j n ln ( 3 / c 1 ln Λ ND ) = = 01 pro N 1 3 D n 3 N / ω p l p 0 D D ( ) (19) Pro vlké hodnoty N D dominuj kolktivní chování charaktrizované ω p nad vlivm binárních intrakcí charaktrizovaných n c. Takové plazma s nazývá idální plazma. Něktré jvy lz pak popsat v přiblížní bzsrážkového plazmatu. Idální plazma j kvazinutrální a dominuj v něm kolktivní působní v důsldku makroskopických nábojů a proudů.
Poměr potnciální a kintické nrgi Porovnjm nrgii lktronu v poli njbližšího lktronu, vzdálného o střdní vzdálnost R = [3/(4π n )] 1/3 s jho kintickou nrgií (uvažujm ndgnrované plazma) 1/3 n 3 Wp = W 1/3 /3 k kt B 4p R 3 4p W ( ) 0 0 /3 3 1/ p 3 n 3/ 3/ 3/ = /3 k 9 4p0 B 9 D (0) W k T N V idálním plazmatu j N D 1 a kintická nrgi částic j tdy jjich vazbná (potnciální) nrgi. Idální plazma j slabě vázané. Tím s idální plazma přibližuj plynu, často mluvím o ionizovaném plynu. Stavová rovnic idálního plynu j pak dobrou aproximací stavové rovnic lktronů v idálním plazmatu.
Různé typy plazmatu Plazma v přírodě Idální - výboj; ionosféra; slunční vítr; vnější vrstvy hvězd; mzihvězdný plyn Idální i nidální - vnitřky hvězd (střd slunc j téměř idální plazma r = 150 g/cm 3, T = 1.35 kv, Γ = 0.14) Nidální - lktronový plyn v kovch (dgnrované plazma), lktrolyty, jádra vlkých plant Plazma v laboratoři Idální - výboj různých typů (lktronky, výboj pro črpání plynových lasrů, pinč, kapilární výboj); MHD gnrátory; iontové motory, lasrové plazma z plynných trčů Idální i nidální - lasrové plazma z pvných (či kapalných) trčů Nidální suprchladné plazma (nlinární fotoionizací lasrm ochlazovaných par lz získat plazma o tplotě cca 1 K, hustoty 10 6-10 9 cm -3 ) 3
4 Počt částic (lktronů + iontů) v Dbyově sféř o poloměru λ D Přvzato z R.P. Drak, High-Enrgy-Dnsity Physics, Springr 006 (a) Plazma z matriálů s vysokým atomovým číslm, kd s přdpokládá střdní ionizac Z = 0.63 T, kd T j v V. (b) Plazma z matriálů s nízkým atomovým číslm, kd s přdpokládá střdní ionizac Z=4
Typické paramtry různých form plazmatu zd vždy n λ D 3 > 1 a ω p > n i. 5
Typické tploty a hustoty různých form plazmatu 6