Vybrané partie z kvantitativního řízení rizikměření. rizika, meze celkového rizika

Vybrané partie z kvantitativního řízení rizikměření rizika, meze celkového rizika 24.10. a 31.10. 2014 1 Rizikové faktory a rozdělení ztráty Označme V(s) hodnotu portfolia(cenných papírů, derivátů, úvěrů, příp. celkovou hodnotu aktiv) v čase s. Pro daný časový horizont definujeme ztrátu zaobdobí[s,s+ ]vztahem L [s,s+ ] = (V(s+ ) V(s)). (1) Hodnota L [s,s+ ] jezpohledučasu snáhodnáveličina,můžemeuvažovat o jejím rozdělení pravděpodobností. Toto rozdělení může být chápáno jako podmíněné při znalosti vývoje do času s, nebo jako rozdělení nepodmíněné. Poznámka. Náhodná veličina V(s+ ) V(s) představuje zisk nebo ztrátu za období[s, s + ]. V řízení rizik nás zajímá zejména pravděpodobnost 1

velkých ztrát. Při formulaci(1) to znamená analyzovat pravý chvost rozdělení ztráty. Uvažujeme-li pevně daný časový horizont, můžeme zjednodušit značení přechodemkčasovéřadě V t = V(t ),odkud L t+1 = L [t,(t+1) ] = (V t+1 V t ). Hodnota V t semodelujejakofunkcenáhodnéhovektoruz t =(Z t,1,...,z t,d ), kde Z t,i,,...,d,představujítzv.rizikovéfaktory. Píšeme tedy V t = f(t,z t ) (2) pronějakouměřitelnoufunkci f:r + R d R. Předpokládáme,žehodnotarizikovýchfaktorůZ t jepozorovatelnávčase t.označíme-lijakox t =Z t Z t 1 vektorzměnrizikovýchfaktorů,můžeme psát L t+1 = (f(t+1,z t +X t+1 ) f(t,z t )). (3) ProtožeZ t jeznámévčase t,jerozděleníztrátyurčenorozdělenímzměnyv rizikovýchfaktorechx t+1.totolzevyjádřitnovýmoznačením L t+1 = l [t] (X t+1 ), (4) kde l [t] (x)= (f(t+1,z t +x) f(t,z t )),x R d. 2

Pokud je funkce f diferencovatelná, můžeme ztrátu(3) aproximovat výrazem ( ) d L t+1= f t (t,z t )+ f zi (t,z t ) X t+1,i, (5) kde f t,resp. f zi značípříslušnouparciálníderivacifunkce f.vtakovém případějevevztahu(4)nahrazenoperátor l [t] lineárnífunkcí ( ) d l[t](x)= f t (t,z t )+ f zi (t,z t ) x i. (6) Linearitavproměnných x i jevýhodouvýšeuvedenéaproximace.jejíkvalita je uspokojivá, pokud měříme riziko pro krátký časový úsek(malé změny rizikových faktorů) a pokud funkce f má malé druhé derivace. Poznámka. Ve formulích(2)-(5) jsme předpokládali, že čas měříme v jednotkách. Pokud uvažujeme měření času v letech, bude platit V t = f(t,z t )=g(t,z t ) a L t+1 = (g((t+1),z t +X t+1 ) g(t,z t )), přitom udává časový horizont v letech. Při odvození lineární aproximace (5) bychom pak dostali ( L t+1= g t (t,z t ) + ) d g zi (t,z t ) X t+1,i. (7) Prokrátkýčasovýhorizont přitombudeprvníčlenvzávorcenapravé straně(7) malý. 3

Podmíněné a nepodmíněné rozdělení ztráty Rozdílymezirozdělenímztráty L t+1 podmíněnýminformacídostupnou v čase t a rozdělením nepodmíněným závisí na vlastnostech časové řady {X t },t N.Předpokládejme,žezměnyrizikovýchfaktorůtvoří(striktně) stacionárníposloupnostsestacionárnímrozdělenímdanýmd.f. F X nar d. Označmejako S t = σ({x s, s t})sigmaalgebrugenerovanouhodnotami změnrizikovýchfaktorůdočasu t(tj.historiidočasu t).označme F Xt+1 S t podmíněnérozděleníx t+1 vzhledemkinformaciznámévčase t.obecněse totorozděleníbudelišitodstacionárníhorozdělenísd.f. F X.(Vpřípaděi.i.d. posloupnosti {X t }budouoběrozděleníshodná.) Podmíněné rozdělení ztráty při dané informaci v čase t má d.f. F Lt+1 S t (l)=p(l t+1 l S t )=P ( l [t] (X t+1 ) l S t ). Rozdělení tohoto typu se uplatňují zejména v řízení tržního rizika. Nepodmíněné rozdělení ztráty má d.f. F Lt+1 (l)=p(l t+1 l)=p ( l [t] (X t+1 ) l ), kterájevpřípaděstacionárníposloupnosti {X t }závislánad.f. F X stacionárního rozdělení. Nepodmíněné rozdělení se více uplatňuje při řízení rizik pro delší časové horizonty, například v kreditním riziku či v pojištění. Příklad1.Uvažujmeportfoliosloženézdakcií.Označmejako λ i množství 4

i-téakcievportfoliuvčase t.proces(s t,i ) t N modelujevývojceny i-téakcie v čase. Za rizikové faktory volíme logaritmické ceny Z t,i =log S t,i,,...,d. Změny rizikových faktorů jsou potom X t+1,i =log S t+1,i log S t,i a hodnotu portfolia v čase t lze vyjádřit ve tvaru V t = d λ i exp(z t,i ). Proztrátuvobdobí[t,t+1]pakdostávámevztah d L t+1 = (V t+1 V t )= λ i S t,i (exp(x t+1,i ) 1). Lineární aproximace(5) má potom tvar d L t+1= λ i S t,i X t+1,i = V t d w t,i X t+1,i, (8) kdeváha w t,i =(λ i S t,i )/V t udávápodílzhodnotyportfoliainvestovanýv čase tdoakcie i. Z(8) vyplývá vyjádření lineárního operátoru ve tvaru l [t](x)= V t w tx. (9) 5

Dosadíme-li do(9) náhodný vektor X se střední hodnotou µ a varianční maticí Σ, snadno odtud vyjádříme E ( l [t](x) ) = V t w t µ, (10) Var ( l [t](x) ) = V 2 t w t Σw t. (11) Vzorce(10) a(11) lze využít k výpočtu prvních momentů rozdělení ztráty v podmíněné i nepodmíněné verzi. V prvním případě bychom dosadili za µ aσstředníhodnotu µ t avariančnímaticiσ t podmíněnéhorozdělenízměn rizikovýchfaktorů F Xt+1 S t.propotřebynepodmíněnéhorozděleníbychom využilistředníhodnotuavariančnímaticirozděleníx t+1 (resp.stacionárního rozdělení F X ). Příklad 2. Uvažujme portfolio složené z d bezrizikových obligací s nulovým kuponem. T i nechťznačídobusplatnostiobligace iap(s,t i )jejícenuvčase s, přitom předpokládáme u všech obligací jednotkovou nominální hodnotu p(t i,t i ).Nechť λ i jemnožstvíobligace ivportfoliu. Cenu v čase s obligace se splatností v čase T vyjádříme funkcí p(s,t)=exp( (T s)y(s,t)), kdezobrazení T y(s,t)představujevýnosovoukřivkuvčase s(přispojitém úročení). Za rizikové faktory při analýze změny hodnoty portfolia bereme 6

výnosy y(s,t i ),,...,d.potommůžemepsát(časměřímevletech) V t = d λ i p(t,t i )= d λ i exp( (T i t )y(t,t i )). Uveďme rovnou vyjádření linearizované ztráty pomocí(7) L t+1= kde d λ i p(t,t i )(y(t,t i ) (T i t )X t+1,i ), (12) X t+1,i = y((t+1),t i ) y(t,t i ). Ukážeme si souvislost formule(12) se známým pojmem durace portfolia. Pokud přijmeme zjednodušený model s plochou výnosovou křivkou y(s, T) = y(s) a jako jedinou možnou změnu budeme uvažovat posun výnosové křivky okonstantu,tj. y(s+,t)=y(s)+δprovšechna T,můžemepřepsat(12) do tvaru L t+1= V t (y(t ) D δ), kde D= d λ i p(t,t i ) V t (T i t ) je vážený průměr dob do splatnosti jednotlivých obligací, ve kterém jsou váhy úměrné diskontovaným hodnotám peněžního toku. Hodnota D tak odpovídá duraci, která vyjadřuje citlivost hodnoty porfolia na posun výnosové křivky o konstantu. 7

Tradiční využití durace v ALM spočívá v sestavení portfolia aktiv tak, aby durace portfolia aktiv a závazků byla rovna nule.tato strategie(imunizace) chrání portfolio před paralelním posunem výnosové křivky. Příklad 3. Uvažujme úvěrové portfolio sestávající z m úvěrů, expozice vůči protistraně ijeoznačenajako e i.uvažujmejednoletýhorizont( =1).Pro jednoduchost předpokládejme, že všechny úvěry jsou splatné ve stejném čase T > t.nechť Y t,i jenáhodnáveličina,prokterou Y t,i =1,pokuddojdek selháníprotistrany ivobdobí[0,t],ay t,i =0jinak.Vpřípaděselhánípředpokládámeztrátuceléexpozice e i.hodnotu i-téhoúvěruvčase tvyjadřujeme vztahem exp( (T t)(y(t,t)+c i (t,t))) e i, kde y(t,t)jebezrizikovývýnosac i (t,t)jekreditnírozpětípříslušnéprotistraně i při splatnosti úvěru v čase T. Pokud budeme navíc zjednodušovat předpokladem c i (t,t)=c(t,t),,...,m, můžeme vyjádřit hodnotu uvažovaného portfolia v čase t vztahem V t = m (1 Y t,i )exp( (T t)(y(t,t)+c(t,t))) e i. Riziko v případě úvěrového portfolia spočívá v riziku selhání protistrany, riziku poklesu hodnoty budoucích plateb při vzrůstu úrokových měr a rovněž 8

v riziku ztráty spočívající v nárůstu kreditního rozpětí. Jako vhodný vektor rizikových parametrů se tedy jeví Z t =(Y t,1,...,y t,m,y(t,t),c(t,t)). V případě řízení kreditního rizka není vzhledem k diskrétnímu charakteru indikátorů selhání a delšímu časovému horizontu vhodné používat lineární aproximaci ztráty. Klíčovou otázkou je v tomto případě nalezení vhodného modeluprosdruženérozděleníveličin Y t+1,i,,...,m. 2 Měření rizika Nejprve podáme přehled existujících přístupů k měření rizika ve finančních institucích. S mírami rizika se nejčastěji setkáváme v souvislosti se stanovením výše kapitálu potřebné k zajištění dostatečné ochrany proti neočekávaným budoucím ztrátám, dále jsou užívány jako nástroj pro managerské rozhodování a v oblasti pojišťovnictví lze nalézt paralelu k měření rizika ve stanovení výše pojistného jako kompenzace za převzetí rizika. Z historického hlediska je nejstarším přístupem ke kvantifikaci rizika přístup spočívající v součtu určitých nominálních hodnot příslušných položkám portfolia, z nichž každá může být vážena faktorem reprezentujícím rizikovost dané třídy aktiv. Příkladem takového postupu je tzv. standardizovaný přístup pro stanovení kapitálového požadavku k operačnímu riziku banky, zakotvený 9

v metodice Basel II. Při tomto přístupu je kapitálový požadavek pro rok t stanoven z formule C t S= 1 3 [ 3 8 ] max β j GI t i j,0 j=1, kde GI t i j jehrubývýnosvroce t iproliniipodnikání ja β j jsoukoeficienty předepsané pro jednotlivé linie podnikání(v rozmezí 12%-18%). Hrubý výnos zde představuje míru expozice riziku v jednotlivých liniích. Mezi míry rizika v širším smyslu by mohly být zařazeny míry citlivosti hodnoty portfolia na změnu v uvažovaných rizikových faktorech. Příkladem takové míry může být výše zmíněná durace. Míry citlivosti nemohou být sčítány pro různé rizikové faktory, nejsou tedy vhodné pro rozhodování o kapitálové přiměřenosti. V současné době je pojem míry rizika nejčastěji chápán jako míra založená na rozdělení pravděpodobností náhodné veličiny představující ztrátu. Jde o statistické ukazatele popisující podmíněné nebo nepodmíněné rozdělení ztráty za daný časový horizont. Mezi hlavní výhody tohoto přístupu patří jeho využitelnost pro všechny úrovně agregace od ztráty na jednom aktivu po celkovou pozici podniku, možnost zahrnout do modelu korelace a diverzifikační efekty, možnost porovnávání rozdělení ztráty pro různá portfolia. 10

Volba správného rozdělení a jeho odhad(založený na minulých zkušenostech) je hlavní otázkou tohoto přístupu. Dalšípřístupkměřenírizika,sekterýmselzesetkat,jezaloženýnazjišťování maximální ztráty, jaká může nastat při různých scénářích budoucích změnrizikovýchfaktorů.označíme-li χ = {x 1,...,x n }množinuscénářů (vektorů změn rizikových faktorů), pak můžeme výsledné riziko portfolia měřit hodnotou Ψ [χ,w] =max{w 1 l [t] (x 1 ),...,w n l [t] (x n )}, (13) kdew=(w 1,...,w n ) [0,1] n jsouváhyjednotlivýchscénářů,kterémohou sloužit zejména k oslabení vlivu extrémních scénářů na celkový výsledek. Pravděpodobnostnípohledna(13)můževycházetzpředstavy,ževáha w i mávýznampravděpodobnostihodnotyx i vrozdělenínáhodnéhovektorux, kterýnabýváhodnotyx i spravděpodobností w i ahodnoty0spravděpodobností1 w i.předpokládáme-li,že l [t] (0)=0,tj.hodnotaportfoliase nemění, pokud nedojde ke změně žádného rizikového faktoru, můžeme na hodnotu w i l [t] (x i )pohlížetjakonastředníhodnotuel [t] (X)přivýšeuvedenémrozdělení.Označíme-lijako δ x pravděpodobnostnímíru,kterápřiřazuje hodnotu1bodux R d,můžemevýšeuvedenérozdělenípopsatpomocí pravděpodobnostnímíry w i δ xi +(1 w i )δ 0.Nechť P [χ,w] = {w 1 δ x1 +(1 w 1 )δ 0,...,w n δ xn +(1 w n )δ 0 } 11

je množina takových pravděpodobnostních měr odpovídajících všem scénářům. Pak lze(13) formalizovat jako Ψ [χ,w] =max{e P l [t] (X),P P [χ,w] }. (14) Pokudbychomv(14)nahradiliP [χ,w] libovolnoumnožinoupravděpodobnostních měr na prostoru změn rizikových faktorů, dostali bychom míru, která se nazývá zobecněný scénář. Výše popsaný způsob měření rizika založený na scénářích je užitečný pro portfolia závislá na relativně malém množství rizikových faktorů. Klíčovým problémem pak je volba vhodné množiny scénářů a vhodných vah. 2.1 Hodnota v riziku Označme F L (l)d.f.rozděleníztrátyzaobdobípevnězvolenédélky.(zde nerozlišujeme, zda se jedná o podmíněné či nepodmíněné rozdělení, případně linearizovanou ztrátu.) Definice. Mějme dánu hladinu spolehlivosti α (0, 1). Hodnota v riziku nahladině αjenejmenšíčíslo ltakové,žepravděpodobnost,žeztráta L překročíhodnotu l,nenívětšínež1 α.tj. VaR α =inf{l R:P(L > l) 1 α} (15) =inf{l R:F L (l) α}. (16) 12

Poslední výraz na pravé straně odpovídá definici kvantilové funkce příslušné d.f. F L,lzetedyříci,žehodnotavrizikuje α-kvantilrozděleníztráty L,tj. VaR α = q α (F L ).Vpraxisenejčastějivolí α=0,95nebo α=0,99. Příklady. Pokud předpokládáme, že rozdělení ztráty L je normální se středníhodnotou µarozptylem σ 2,můžemeVaRprodané αsnadnovypočítat ze vztahu VaR α = µ+σφ 1 (α), kdeφjed.f.rozdělení N(0,1). Podobně,pokud L µ σ má standardní t-rozdělení o ν stupních volnosti s d.f. t ν,můžemepsát VaR α = µ+σt 1 ν (α). Poznamenejme,ževtomtopřípaděplatíEL=µ,VarL= νσ2 ν 2 pro ν >2. Poznámky. 1) Nejčastěji kritizovanou vlastností V ar je to, že není obecně subaditivní, tj.sečteme-liztrátyzedvouportfolií, L=L 1 + L 2,nemusíprorozdělení součtu platit q α (F L ) q α (F L1 )+q α (F L2 ). (17) Vlastnost(17) odpovídá představě, že spojení portfolií přináší diverzifikační 13

efekt, který by se měl projevit snížením rizika. Rovněž z hlediska decentralizovaného řízení rizik by při platnosti(17) bylo zajištěno, že součet rizikových měr pro jednotlivé obchodní jednotky představuje horní mez pro celkové riziko podniku. 2)PřiinterpretacihodnotyVaRjetřebabrátvúvahu,žeodhadrozdělení ztráty podléhá modelovému riziku(např. pokud pracujeme s normálním rozdělením a skutečné rozdělení má těžké chvosty). Tato citlivost vůči modelovému riziku je tím výraznější, čím vyšší je zvolená hladina spolehlivosti α. 3) Volba vhodného časového horizontu a vhodné hladiny spolehlivosti αmůžebýtomezenaúčelem,projakýjemíravarpočítána.pokudjevar užívána k řízení celkového rizika podniku, je třeba volit horizont tak, aby odpovídal trhu, na kterém se odehrává většina obchodních aktivit. Například pojišťovna obvykle nemůže výrazně měnit portfolio smluv ani výši pojistného v kratších než ročních intervalech, tomu pak odpovídá roční horizont pro měření rizika příslušného investičního portfolia. Kratší horizont může naopak vyhovovat z důvodu užití lineární aproximace ztráty jako funkce změn rizikových faktorů a také spíše odpovídá představě, že skladba portfolia zůstává během dané doby neměnná. 14

2.1.1 Další míry rizika založené na rozdělení ztráty Rozptyl. Význam rozptylu jako míry rizika je dán zejména vlivem Markowitzovy teorie portfolia. Nedostatkem této míry rizika může v určitých případech být předpoklad existence konečného druhého momentu rozdělení ztráty. To může být problém pro určité oblasti neživotního pojištění nebo v analýze škod z operačního rizika. Rozptyl také není vhodnou mírou rizika pro rozdělení s velkou šikmostí. (Horní) parciální moment je charakteristika založená na pravém chvostu rozdělení ztráty: UPM(k,q)= q (1 q) k df L (l). (18) Speciálně,pro k=0dostávámep(l q),pro k=1je(18)rovnoe ( ) (L q)i L q] apřivolbě k=2aq=elodpovídácharakteristika(18)tzv.hornísemivarianci rozdělení ztráty L. Zřejmě, čím vyšší hodnotu k zvolíme, tím je tato míra rizika konzervativnější, neboť dává větší váhu větším odchylkám od zvolené hodnoty q. Zbytková hodnota v riziku(expected shortfall, tail value at risk). Definice.Proztrátu LsE( L ) < asd.f. F L definujemezbytkovou 15

hodnotuvrizikunahladiněspolehlivosti α (0,1)vztahem ES α = 1 1 α 1 kde q u (F L )jekvantilováfunkcepříslušnád.f. F L. Zdefinice(19)vyplývásouvislostměrES α avar α : ES α = 1 1 α α 1 α q u (F L )du, (19) VaR u (L)du. ES α jetedyjakýmsiprůměremhodnotvarnavšechhladinách u α.zřejmě platí ES α VaR α. Pokuduvažujemerozděleníztráty Lsespojitoud.f. F L,můžemepsát ES α = E[L;L q α(f L )] 1 α =E(L L VaR α ), (20) kdee[x;a]=e(x I A ). ES α pakmůžebýtinterpretovánajakoočekávanáhodnotaztrátyzapodmínky,žeztrátapřekročíhodnotuvar α. K ddůkazu(20) uvažujme náhodnou veličinu U s rovnoměrným rozdělením naintervalu[0,1].svyužitímznáméhofaktu,ženáhodnáveličina F 1 (U) mád.f. F L můžemepsát E[L;L q α (F L )]=E[F 1 L (U);F 1 L (U) F 1 L 16 1 (α)]=e[f (U);U α], L (21)

přitom poslední rovnost vychází ze skutečnosti, že pro spojitou d.f. je kvantilováfunkce F 1 L rostoucí.poslednístředníhodnotuv(21)lzevyjádřitintegrálem 1 α F 1 L (u)du.druhárovnostv(20)pakplynezevztahu P(L q α (L))=1 α. Poznámka.Vztah(20)neplatíprovšechna α,pokud F L neníspojitá.v takovém případě lze(20) nahradit vztahem ES α = 1 1 α (E(L;L q α)+q α (1 α P(L q α ))). Nyníukážemeaplikaci(20)navýpočetES α prodvěběžněužívanáspojitá rozdělení. Příklady.Předpokládejme,žerozděleníztrátyje N(µ,σ 2 ).Potom kde φjehustotarozdělení N(0,1). ES α = µ+σ φ(φ 1 (α)) 1 α, Nechť má nyní ztráta L t-rozdělení s parametrem polohy µ a parametrem měřítka σ,tj. L= L µ σ má standardní t-rozdělení o ν stupních volnosti. Opět bude platit ES α = µ+σes α ( L). 17

Označíme-liopětd.f.náhodnéveličiny t ν apříslušnouhustotu g ν,lzez(20) odvodit ( ) ES α ( L)= g ν(t 1 ν (α)) ν+(t 1 ν (α)) 2. 1 α ν 1 Pro míru ES platí následující obdoba zákona velkých čísel: Tvrzení.Proposloupnost {L i } i N i.i.d.náhodnýchveličinsd.f. F L platí [n(1 α)] L i,n lim n [n(1 α)] =ES α s.j., (22) kde L 1,n L n,n a[n(1 α)]značínejvětšíceléčíslomenšíneborovné n(1 α). Výšeuvedenétvrzeníříká,ženaES α můžemepohlížetjakonalimitu průměrůz[n(1 α)]největšíchhodnotzvýběruorozsahu n.(22)poskytuje návodkodhaducharakteristikyes α,ovšemvsituaci,kdymámekdispozici velkérozsahydata[n(1 α)]jerelativněvelkéčíslo. 18

2.2 Koherentní míry rizika Mějme pravděpodobnostní prostor(ω, F, P) a konečný časový horizont. Označme L 0 (Ω,F,P)množinuvšechnáhodnýchveličinna(Ω,F,P),které jsou s.j. konečné. Finančnírizikabudemereprezentovatmnožinou M L 0 (Ω,F,P)náhodných veličin, které interpretujeme jako ztrátu za dobu. O množině M budeme předpokládat, že platí L 1 M, L 2 M L 1 + L 2 M, λ L 1 M, λ >0. Mírarizikajezobrazení ρ:m R. Hodnotu ρ(l) interpretujeme jako množství kapitálu, který je pořeba dodat k portfoliu s rizikem ztráty L, aby se toto riziko stalo akceptovatelným. Koherentní míra rizika splňuje následující axiomy: 1) translační invariance: Provšechna L Mavšechna l Rplatí ρ(l+l)=ρ(l)+l (23) (23) říká, že přičtení nebo odečtení deterministické hodnoty vede ke změně požadovaného kapitálu o stejnou částku. Uvažujme portfolio se ztrátou L. Přidánímkapitálu ρ(l)dostanemeupravenouztrátu L=L ρ(l)sρ( L)=0. 2) subaditivita: 19

Provšechna L 1,L 2 Mplatí ρ(l 1 + L 2 ) ρ(l 1 )+ρ(l 2 ). (24) Subaditivita vyjadřuje představu, že riziko může být redukováno diverzifikací. Regulatorní kapitálový požadavek založený na míře rizika, která není subaditivní, může podněcovat snahu o redukci kapitálu rozštěpením do více jednotek. Subaditivita umožňuje decentralizaci systému řízení rizik. Požadujeme-li prodvěztráty L 1,L 2 omezení ρ(l 1 ) M 1, ρ(l 2 ) M 2,z(24)plynepro celkovouztrátu L=L 1 + L 2 omezení ρ(l) M 1 + M 2. 3) pozitivní homogenita: Provšechna L Makaždé λ >0máme ρ(λ L)=λ ρ(l). (25) Kobjasněnívýznamu(25)poznamenejme,žez(24)plyneproceléčíslo na ztrátu L M ρ(nl)=ρ(l+ +L) nρ(l). (26) Protože v tomto případě nedochází k diverzifikaci, měla by v(26) platit rovnost. 4) monotonie: 20

Pro L 1,L 2 Mtakové,že L 1 L 2 s.j.,platí ρ(l 1 ) ρ(l 2 ).Jepřirozené požadovat, aby portfoliu se ztrátou, která je za všech okolností větší, náležel větší kapitálový požadavek. Pokud míra rizika splňuje podmínky(24) a(25), je podmínka monotonie ekvivalentnípožadavku,aby ρ(l) 0pro L 0:Z(25)máme ρ(0) = ρ(λ0)=λ ρ(0), λ >0.Odtudplyne ρ(0)=0azpodmínkymonotonie dostáváme L 0 ρ(l) ρ(0)=0.nadruhoustranu,pokud L 1 L 2 a předpokládáme ρ(l 1 L 2 ) 0,potomz(24)plyne ρ(l 1 )=ρ(l 1 L 2 +L 2 ) ρ(l 1 L 2 )+ρ(l 2 ) ρ(l 2 ). Hodnota v riziku(var) je translačně invariantní, pozitivně homogenní a monotonnína L 0 (Ω,F,P).TytovlastnostiplynoupřímozdefiniceVaRjako kvantilu rozdělení ztráty. VaR obecně není subaditivní. Zbytková hodnota v riziku(es) je koherentní míra rizika. Translační invariance, pozitivní homogenita a monotonie plynou z reprezentace ES α = 1 1 α a z odpovídajících vlastností kvantilů. 1 α VaR u (L)du Kdůkazusubaditivityuvažujmeposloupnostnáhodnýchveličin L 1,...,L n spříslušnýmipořadovýmistatistikami L 1,n L n,n.prolibovolné m splňující1 m nmáme m L i,n =sup{l i1 + +L im :1 i 1 < < i m n}. 21

Uvažujmen.v. La Lsesdruženoud.f. Faposloupnostvektorů(L 1, L 1 ),...,(L n, L n ) sestejnoud.f. F.Označme(L+ L) i = L i + L i a(l+ L) i,n pořadovéstatistiky posloupnosti(l+ L) 1,...,(L+ L) n.musíplatit m (L+ L) i,n =sup{(l+ L) i1 + +(L+ L) im :1 i 1 < < i m n} sup{l i1 + +L im :1 i 1 < < i m n} +sup{ L i1 + + L im :1 i 1 < < i m n} = n L i,n + n L i,n. Položíme-li m=[n(1 α)],pakpři n z(22)plyne ES α (L+ L) ES α (L)+ES α ( L). Koherentní míra rizika jako zobecněný scénář. Definice. Označme P množinu pravděpodobnostních měr na prostoru(ω, F) apoložme M P = {L:E Q ( L ) <,Q P}.Potommírarizikaindukovaná množinouzobecněnýchscénářů Pjezobrazení ρ P : M P Rtakové,že ρ P (L)=sup{E Q (L),Q P}. Prokaždoumnožinu Ppravděpodobnostníchměrna(Ω,F)jemírarizika ρ P koherentnímírouna M P. Vlastnosti translační invariance, pozitivní homogenity a monotonie opět vyplývajípřímozdefinicemíry ρ P.Kověřenísubaditivitysistačíuvědomit, 22

že platí sup{e Q (L 1 + L 2 ),Q P}=sup{E Q (L 1 )+E Q (L 2 ),Q P} sup{e Q (L 1 ),Q P}+sup{E Q (L 2 ),Q P}. 2.3 Meze souhrnného rizika Budeme se zabývat problémem nalezení mezí pro míru souhrnného rizika, pokud jsou známy pouze dílčí informace o jednotlivých složkách rizika. Pro objasnění obecné formulace problému uvažujme náhodný vektor L=(L 1,...,L d ) reprezentujícíindividuálnírizika(ztráty)aměřitelnoufunkciψ:r d R, vyjadřující způsob agregace rizik. Uveďme některé příklady konkrétní podoby Ψ(L) vycházející z praxe: a)celkováztráta S d = d k=1 L k, b)maximálníztráta M d =max(l 1,...,L d ), c)plněnívxl-zajištění d k=1 (L i k i ) +, ( d ) d) plnění v SL-zajištění L i k. Uvažujme dále rizikovou míru ρ závislou na rozdělení n.v. Ψ(L). K výpočtu ρ(ψ(l)) je třeba znát sdružené rozdělení náhodného vektoru L. Předpokládejme,žeznámepouzemarginálníd.f. F i jehosložek L i,,...,d.za + 23

tétosituacechcemenajítmeze ρ min a ρ max takové,žeplatí ρ min ρ(φ(l)) ρ max. (27) Chceme, aby meze v(27) byly nejužší možné meze pro všechny náhodné vektory s danými marginálními rozděleními. Jde tedy vlastně o optimalizační úlohu spočívající ve výpočtu inf{ρ(ψ(l)):l i F i,,...,d} (28) sup{ρ(ψ(l)):l i F i,,...,d}. (29) Podle Sklarovy věty je závislostní struktura náhodného vektoru jednoznačně určena jeho kopulou. Hodnoty v(28) si tedy můžeme představit jako infimumasupremumbranépřesmnožinuvšechkopul Cna[0,1] d. Příklad- dosažitelná korelace. Mějmedvěrizika L 1,L 2 snulovoustředníhodnotouajednotkovýmrozptylem. Položme Ψ(L 1,L 2 )=L 1 L 2, ρ(ψ(l 1,L 2 ))=E(Ψ(L 1,L 2 ))=cor(l 1,L 2 ). Mírou souhrnného rizika je tedy v tomto případě koeficient lineární korelace mezi L 1 a L 2. Řešeníproblémunalezenímezípro ρ(ψ(l 1,L 2 ))vtomtopřípaděplynez následujícího tvrzení: 24

Věta1.Nechť(X 1,X 2 )jenáhodnývektorsmarginálnímid.f. F 1 a F 2 takovými,že0 <Var(X i ) <,,2,ablíženespecifikovanýmsdruženým rozdělením. Potom platí 1)Možnéhodnotykoeficientulineárníkorelacecor(X 1,X 2 )tvoříuzavřený interval[cor min,cor max ],kdecor min <0<cor max. 2)Minimálníhodnotacor min jedosažena,právěkdyžjsouveličiny X 1 a X 2 kontramonotonní.maximálníhodnotacor max jedosažena,právěkdyžjsou veličiny X 1 a X 2 komonotonní. Důkaz.Kdůkazuvyužijemenásledujícívyjádřeníkovarianceveličin X 1 a X 2 : Cov(X 1,X 2 )= (F(x 1,x 2 ) F 1 (x 1 )F 2 (x 2 ))dx 1 dx 2. (30) Pro sdruženou distribuční funkci dvourozměrného náhodného vektoru máme meze vyjádřené pomocí marginálních distribučních funkcí: max{f 1 (x 1 )+F 2 (x 2 ) 1,0} F(x 1,x 2 ) min{f 1 (x 1 ),F 2 (x 2 )}. (31) (V řeči kopul jde o vyjádření dolní a horní Fréchetovy meze.) Jezřejmé,žepřidaných F 1 a F 2 jeintegrandv(30)maximalizován,pokud kopula X 1 a X 2 jehornífréchetovamez C(u 1,u 2 )=min{u 1 u 2 }, tj.kdyžveličiny X 1 a X 2 jsoukomonotonní.naopak,minimálníbudeinte- 25

grand v případě kontramonotonních veličin s kopulou C(u 1,u 2 )=max{u 1 + u 2 1,0}. Snadnolzenahlédnout,žecor max 0,cor min 0.Kdůkazu1)jetřeba vyloučit nulovou hodnotu uvedených mezí. Takovou hodnotu bychom mohli dostat jen v případě, že jedno z marginálních rozdělení by bylo degenerované, tuto možnost jsme však v předpokladech věty vyloučili požadavkem nanenulovostrozptylůobouveličin.označme W(F 1,F 2 )sdruženérozdělení vektoru(x 1,X 2 )odpovídajícídolnífréchetověmeziam(f 1,F 2 )sdružené rozdělení odpovídající horní Fréchetově mezi. Potom rozdělení vzniklé směsí λ W(F 1,F 2 )+(1 λ)m(f 1,F 2 ),0 λ 1, má korelační koeficient λcor min +(1 λ)cor max. Prolibovolné ρ [cor min,cor max ]taklzevýšeuvedenýmpostupemzkonstruovat pomocí λ=(cor max ρ)/(cor max cor min ) sdruženou distribuční funkci s koeficientem korelace rovným ρ. Proilustraciuvažujmenynídvojicináhodnýchveličin X 1 a X 2 slogaritmickonormálnímrozdělením.konkrétně,log X 1 mározdělení N(0,1)alog X 2 má 26

rozdělení N(0,σ 2 ).Provýpočetmezídosažitelnékorelacevyužijemetoho,že vpřípaděkomonotonníchnáhodnýchveličinjevektor(x 1,X 2 )stejněrozdělenýjakonáhodnývektor(e Z,e σ Z ),kde Zmározdělení N(0,1).Odtud vypočteme cor max = e σ 1 (e 1)(e σ 2 1). (32) Pro výpočet dolní meze podobně využijeme reprezentaci kontramonotonních veličinpomocívektoru(e Z,e σ Z ),kde Zmározdělení N(0,1): cor min = e σ 1 (e 1)(e σ 2 1). (33) 27

2.3.1 Meze rizika měřeného pomocí VaR BudemesenynízabývatotázkounalezenímezíproVaR α (Ψ(L))přidaných marginálníchd.f. F i náhodnýchveličin L i,,...,dačástečnéinformaci ozávislostiveličin L i. Nejprve uveďme výsledek, který se týká chování VaR v případě součtu komonotonních rizik. Věta2.Nechť0 < α <1aL 1,...,L d jsoukomonotonnín.v.sd.f. F 1,...,F d, které jsou spojité a rostoucí. Potom VaR α (L 1 + +L d )=VaR α (L 1 )+ +VaR α (L d ). (34) Důkaz.Předpokládejmeprojednoduchost d=2.zkomonotonien.v. L 1 a L 2 plyne,ževektor(l 1,L 2 )mástejnérozděleníjako(f 1 1 (U),F 1 2 (U)),kde Ujen.v.srovnoměrnýmrozdělenímna(0,1).Lzepsát VaR α (L 1 + L 2 )=VaR α (F 1 1 (U)+VaR α (F 1 2 (U))=F 1 T(U) (α), kde T je rostoucí spojitá funkce daná předpisem Přitom T(x)=F 1 1 (x)+f 1 2 (x). P(T(U) T(α))=P(U α)=α. Dokazované tvrzení plyne ze vztahu F 1 1 T(U) (α)=t(α)=f1 (α)+f2 1 (α)=var α (L 1 )+VaR α (L 2 ). 28

Vzhledem k tomu, že míra VaR obecně není subaditivní, vyplývá z výše uvedeného tvrzení skutečnost, že VaR pro součet rizik není vždy největší v případě komonotonních rizik, tedy veličin s maximální korelací. Poznámka. Díky reprezentaci ES α = 1 1 α 1 α VaR u (L)du se přenáší aditivita pro komonotonní veličiny i na míru ES. Ta je však narozdíl od VaR subaditivní, tj. ES α (L 1 + L 2 ) ES α (L 1 )+ES α (L 2 ), případ komonotonních rizik, je tak vlastně nejhorším možným případem pro míru rizika součtu dvou veličin s danými marginálními rozděleními. Při hledání horní hranice pro VaR součtu rizik s danými marginály můžeme vycházet ze dvou typů situací: 1) známe pouze marginální rozdělení a na závislostní strukturu neklademe žádné omezení, 2) zavádíme omezení na sdružené rozdělení(závislostní strukturu) formulované pomocí kopul: Předpokládáme-li spojitost marginálních distribučních funkcí F i,,...,d,zesklarovyvětyvyplýváexistencejedinékopuly Ctakové,že F = C(F 1,...,F d ).Víme,žeprokaždoukopulumámemeze 29

vyjádřené dolní a horní Fréchetovou mezí, { d } max u i +1 d,0 C(u 1,...,u d ) min{u 1,...,u d }. Dolnímezjepřitomkopuloupouzevpřípadě d=2.přihledáníhornímeze pro VaR budeme v některých případech předpokládat, že kopula sdruženého rozdělení uvažovaných rizik splňuje nerovnost C C 0 pronějakoukopulu C 0. Vpřípadě d=2jemožnézakopulu C 0 brátdolnífréchetovumezapřípad 1) je tak vlastně speciálním případem omezené situace popsané v bodě 2). UveďmebezdůkazuvztahprohornímezproVaRsoučtuvomezeném případě popsaném v bodě 2). V tomto případě platí VaR α (L 1 + +L d ) VaR α,max, kde ( VaR α,max = inf F 1 u [0,1] d 1 (u 1 )+ +F 1 d (u d) ).,C 0 (u)=α Literatura: A.J.McNeil, R.Frey, P.Embrechts, Quantitative Risk Management. Concepts, Technics and Tools. Princeton University Press, 2005. 30