9. Vícerozměrná integrace

Transkript

1 9. Vícerozměrná integrace Tomáš Salač Ú UK, FF UK LS 2017/18 Tomáš Salač ( Ú UK, FF UK ) 9. Vícerozměrná integrace LS 2017/18 1 / 29

2 9.1 Elementy teorie míry Poznámka Na R n definujeme systém tzv. měřitelných množin, n, který má následující vlastnosti je-li A n, je i R n \ A n ; jsou-li A j n, pak j=1 A j n, j=1 A j n ; n, R n n ; všechny otevřené a uzavřené množiny z R n jsou prvky n ; Tomáš Salač ( Ú UK, FF UK ) 9. Vícerozměrná integrace LS 2017/18 2 / 29

3 9.1 Elementy teorie míry Definice 9.1 Buď n systém měřitelných množin na R n. nožinovou funkci µ : n R nazvu míra, pokud platí 1 µ(a) 0 pro všechna A n ; 2 µ( ) = 0; 3 jsou-li A j n po dvou disjunktní, pak platí tzv. princip spočetné aditivity, ( µ j=1 A j ) = µ(a j ). j=1 Zajímavá otázka: Existují neměřitelné množiny? Tomáš Salač ( Ú UK, FF UK ) 9. Vícerozměrná integrace LS 2017/18 3 / 29

4 9.1 Elementy teorie míry Definice 9.2 Buď n systém měřitelných množin na R n. íru λ n, definovanou na n, která navíc splňuje podmínku λ n ([a 1, b 1 ] [a n, b n ]) = (b 1 a 1 ) (b n a n ) nazvu Lebesgueovou n-dimenzionální mírou (na R n ). Poznámka nožinu [a 1, b 1 ] [a n, b n ] z předchozí definice nazýváme n-rozměrným intervalem (hranolem). Existuje více měr než jenom Lebesgueova. Uvažujte například jednorozměrnou míru µ, splňující µ((a, b)) = arctg b arctg a nebo { 0 x / A µ(a) = 1 x A. Tomáš Salač ( Ú UK, FF UK ) 9. Vícerozměrná integrace LS 2017/18 4 / 29

5 9.1 Elementy teorie míry Vlastnosti (Lebesgueovsky) měřitelných množin Translační invariance: posunutí, otočení, zrcadlení nemění hodnotu míry dané množiny. onotonie: A, B n, A B = λ n (A) λ n (B), tedy speciálně omezené množiny mají konečnou Lebesgueovu míru. A j n, A j A j+1 j N = λ n ( j=1 A j ) = lim j λ n (A j ). Tomáš Salač ( Ú UK, FF UK ) 9. Vícerozměrná integrace LS 2017/18 5 / 29

6 9.1 Elementy teorie míry A j n, A j A j+1 j N, k N, λ n (A k ) < = λ n ( j=1 A j ) = lim j λ n (A j ). axiom výběru zaručuje existenci Lebesgueovsky neměřitelné množiny Tomáš Salač ( Ú UK, FF UK ) 9. Vícerozměrná integrace LS 2017/18 6 / 29

7 9.1 Elementy teorie míry Definice 9.3 (nulové množiny) Řekneme, že množina A n je nulová (v míře λ n ), pokud λ n (A) = 0. Poznámka Někdy značíme N n := {A n, λ n (A) = 0}. A B, B je nulová, pak též A je nulová Prázdná množina a jednobodová množina jsou nulové = (podle principu spočetné aditivity) spočetné množiny jsou nulové (mají míru nula)! Tj. např. λ 1 (Q) = 0 (tedy speciálně neomezené množiny nemusejí mít nekonečnou míru). Tomáš Salač ( Ú UK, FF UK ) 9. Vícerozměrná integrace LS 2017/18 7 / 29

8 9.1 Elementy teorie míry Definice 9.4 (vlastnost s.v.) Řekneme, že nějaký výrok V (x), x A platí skoro všude (s.v.) na A (vzhledem k míře µ), pokud V (x) platí pro všechna x A \ N, kde µ(n) = 0. Příklady. Funkce x má s.v. na R vlastní derivaci. S.v. reálná čísla jsou iracionální. Pokud se dvě funkce liší nejvýše ve spočetně mnoha bodech, pak jsou si s.v. rovny. Tomáš Salač ( Ú UK, FF UK ) 9. Vícerozměrná integrace LS 2017/18 8 / 29

9 9.2 Vícerozměrný (Lebesgueův) integrál Definice Buď n. Řeknu, že funkce s : R je jednoduchá (schodovitá) na, pokud existují konstanty c 1, c 2,..., c k R a množiny 1, 2,..., k n takové, že Definiční obor fukce s, tj. D s = k j=1 j, přičemž λ n ( \ D s ) = 0 (tedy s je definována s.v. na ); s nabývá na j konstantní hodnoty c j, j = 1,..., k. 2 Je-li s : R je jednoduchá (schodovitá) na a navíc je s 0 s.v. na, definujeme (L) s(x) dλ n (x) := k c j λ n ( j ). (1) j=1 Tomáš Salač ( Ú UK, FF UK ) 9. Vícerozměrná integrace LS 2017/18 9 / 29

10 9.2 Vícerozměrný (Lebesgueův) integrál Poznámky. Je-li v (1) c j = 0 a λ n ( j ) =, klademe c j λ n ( j ) = 0. Jinak v součtu (1) používáme pravidla pro sčítání v rámci rozšířené reálné osy, R. Značení dλ n (x) zdůrazňuje roli Lebesgueovy míry příslušné dimenze. Často zjednodušujeme dλ n (x) dλ(x) dx. Role dimenze je někdy (zejména pro n = 2, 3) vyznačená znásobením symbolu integrálu: (L) s(x) dλ 3 (x) s(x) dx, apod... Tomáš Salač ( Ú UK, FF UK ) 9. Vícerozměrná integrace LS 2017/18 10 / 29

11 9.2 Vícerozměrný (Lebesgueův) integrál Úmluva. Pokud budeme v dalším textu mluvit o funkci f : R n R, budeme mít typicky na mysli tuto situaci: n, a f je definovaná alespoň s.v. na ; pokud je f 0 na, potom pro skoro všechna x platí f (x) = sup s(x), 0 s f kde s jsou jednoduché funkce definované na ; pro obecnou f píšeme f = f + f, kde f + := max{f, 0} a f := max{ f, 0}; o funkcích f + 0, f 0 předpokládáme, že mají vlastnost z předchozího bodu. Tomáš Salač ( Ú UK, FF UK ) 9. Vícerozměrná integrace LS 2017/18 11 / 29

12 9.2 Vícerozměrný (Lebesgueův) integrál Definice 9.6 (vícerozměrný Lebesgueův integrál) 1 Buď f : R n R, f 0 funkce (ve smyslu předchozí úmluvy). Pak definujeme: f (x) dλ n (x) := sup s(x) dλ n (x). (2) 0 s f 2 Buď f : R n R, f = f + f, (ve smyslu předchozí úmluvy). Pak definujeme: f (x) dλ n (x) := f + (x) dλ n (x) f (x) dλ n (x), (3) má-li rozdíl vpravo smysl. Tomáš Salač ( Ú UK, FF UK ) 9. Vícerozměrná integrace LS 2017/18 12 / 29

13 9.2 Vícerozměrný (Lebesgueův) integrál Definice 9.7 Pokud f (x) dλ n(x) je definován (tj. má smysl rozdíl f + f ), říkáme, že integrál z f přes existuje a píšeme f L (). (Integrál, který existuje, může nabýt i nekonečných hodnot.) Pokud f d(x)λ n(x) je konečný (tj. oba integrály f +, f jsou konečné stejně jako jejich rozdíl), říkáme, že integrál z f přes konverguje a píšeme f L(). Poznámka Pokud existuje Newtonův i Lebesgueův integrál (v jedné dimenzi), pak se rovnají. Pokud existuje Riemannův integrál (opět v jedné dimenzi), pak existuje i Lebesgueův a rovnají se. Tomáš Salač ( Ú UK, FF UK ) 9. Vícerozměrná integrace LS 2017/18 13 / 29

14 9.2 Vícerozměrný (Lebesgueův) integrál Některé základní vlastnosti integrálu. (αf + βg) = α f + β g, pokud integrál vpravo má smysl. f, g L (), f = g s.v. na, = f = g. f g s.v. na, g R = f R. A j A j+1 j N, f L ( j=1 A j) = j=1 A j f = lim f. j A j A j A j+1 j N, k N, f R A k = j=1 A j f = lim f. j A j Tomáš Salač ( Ú UK, FF UK ) 9. Vícerozměrná integrace LS 2017/18 14 / 29

15 9.3 Fubiniho věta a věta o substituci Označení (k Fubiniho větě) Buď měřitelná v R n+k, označíme: P n () := {x R n, y R k, [x, y] }... projekce do R n. P k () := {y R k, x R n, [x, y] }... projekce do R k. Pro x P n () pevné: x, := {y P k (), [x, y] }... x-ový řez množinou. Pro y P k () pevné:,y := {x P n (), [x, y] }... y-ový řez množinou. Tomáš Salač ( Ú UK, FF UK ) 9. Vícerozměrná integrace LS 2017/18 15 / 29

16 9.3 Fubiniho věta a věta o substituci Věta 9.1 (Fubini) Buďte resp. P n () resp. P k () měřitelné v R n+k resp. R n resp. R k. Nechť f existuje. Potom ( ) f (x, y) dx dy = f (x, y) dy dx P n() x, ( ) = f (x, y) dx dy P k (),y Tomáš Salač ( Ú UK, FF UK ) 9. Vícerozměrná integrace LS 2017/18 16 / 29

17 9.3 Fubiniho věta a věta o substituci V situaci kartézského součinu množin i funkcí je znění Fubiniho věty jednodušší: Tvrzení 9.1 Buď = A 1 A n, f (x) = f 1 (x 1 ) f n (x n ). Nechť f existuje. Potom ( ) ( ) f (x) dx = f 1 (x 1 ) dx 1 f n (x n ) dx n. A 1 A n Tomáš Salač ( Ú UK, FF UK ) 9. Vícerozměrná integrace LS 2017/18 17 / 29

18 9.3 Fubiniho věta a věta o substituci Definice 9.8 Nechť G R n je otevřená množina. Zobrazení ϕ: G R n je regulární, jestliže (i) ϕ C 1 (G), (ii) determinant matice D ϕ D x (tj. jakobián zobrazení ϕ) je nenulový v každém bodě množiny G. Různá značení: ( ) D ϕ( x) det Jac ϕ ( x) J ϕ ( x). D x Tomáš Salač ( Ú UK, FF UK ) 9. Vícerozměrná integrace LS 2017/18 18 / 29

19 9.3 Fubiniho věta a věta o substituci Věta 9.2 (o substituci) Buďte, G R n otevřené množiny, buď ϕ : G regulární a prosté v G, a takové, že ϕ(g) =. Potom ( ) f ( y) d y = f ( ϕ( x)) D ϕ( x) det d x, (4) D x pro f : R, pokud aspoň jeden z integrálů existuje. G nemotechnická pomůcka: Při ztotožnění ϕ( x) y( x), je mnemonechnika pro výpočet správného jakobiánu tato: ( ) d y = D y det d x. D x Tomáš Salač ( Ú UK, FF UK ) 9. Vícerozměrná integrace LS 2017/18 19 / 29

20 9.4 Věty o limitních přechodech Věta 9.3 Uvažujme funkce f n definované na. Nechť pro s.v. x existuje lim n f n (x) = f (x). Nechť je dále splněna alespoň jedna z následujících tří podmínek: Potom (Levi I:) 0 f n f n+1 s.v., pro všechna n N; (Levi II:) g f n f n+1 s.v., pro všechna n N, a přitom g > ; (Lebesgue:) f n g s.v., pro všechna n N, a přitom g R. lim f n = lim f n (5) n n Tomáš Salač ( Ú UK, FF UK ) 9. Vícerozměrná integrace LS 2017/18 20 / 29

21 9.4 Věty o limitních přechodech Poznámka Vztah (5) (záměna limity a integrálu) platí také, pokud jsou Leviho podmínky splněny "zrcadlově vzhledem k nule", tj. pokud je splněna alespoň jedna z následujících podmínek: (Levi I :) 0 f n f n+1 s.v., pro všechna n N; (Levi II :) g f n f n+1 s.v., pro všechna n N, a přitom g <. Tomáš Salač ( Ú UK, FF UK ) 9. Vícerozměrná integrace LS 2017/18 21 / 29

22 9.4 Věty o limitních přechodech Věta 9.4 Uvažujme funkce f n definované na. Nechť pro s.v. x existuje n=1 f n(x) = f (x). Nechť je dále splněna alespoň jedna z následujících dvou podmínek: (Levi:) f n 0 s.v., pro všechna n N; (Lebesgue:) N n=1 f n g s.v., pro všechna N N, a přitom g R. Potom f n = n=1 n=1 f n Tomáš Salač ( Ú UK, FF UK ) 9. Vícerozměrná integrace LS 2017/18 22 / 29

23 9.4 Věty o limitních přechodech Poznámka Někdy se také hodí následující modifikace Lebesgueovy podmínky pro řady: Uvažujme funkce f n definované na. Nechť pro s.v. x existuje n=1 f n(x) = f (x). Buď a n := f n(x). Pokud číselná řada n=1 a n konverguje, pak f n = n=1 n=1 f n Tomáš Salač ( Ú UK, FF UK ) 9. Vícerozměrná integrace LS 2017/18 23 / 29

24 9.5 Integrály s parametrem Označení Budeme studovat následující situaci: R n je měřitelná množina (přes x "budeme integrovat"), množina N R k je množina "parametrů" α. K funkci f (x, α) : N R definujeme funkci F (α) := f (x, α) dx jako "integrál s parametrem α", kdykoli integrál vpravo konverguje. Zajímají nás vlastnosti funkce F. Tuto situaci budeme v tomto paragrafu nazývat "situace (P)". Tomáš Salač ( Ú UK, FF UK ) 9. Vícerozměrná integrace LS 2017/18 24 / 29

25 9.5 Integrály s parametrem Věta 9.5 (o limitě) Uvažujme situaci (P). Nechť existuje g L() taková, že f (x, α) g(x) s.v. na, a pro α U (α 0 ). Potom lim F (α) = α α 0 lim f (x, α) dx = α α 0 lim f (x, α) dx, α α 0 pokud limita vpravo za znamením integrálu existuje (vlastní). Tomáš Salač ( Ú UK, FF UK ) 9. Vícerozměrná integrace LS 2017/18 25 / 29

26 9.5 Integrály s parametrem Věta 9.6 (o spojitosti) Uvažujme situaci (P). Nechť existuje g L() taková, že f (x, α) g(x) s.v. na, a pro α G F, G otevřená. Nechť je dále f (x, α) spojitá na G v proměnné α (a to pro s.v. pevná x. Potom F je spojitá na G. Tomáš Salač ( Ú UK, FF UK ) 9. Vícerozměrná integrace LS 2017/18 26 / 29

27 9.5 Integrály s parametrem Věta 9.7 (o derivaci) Uvažujme situaci (P). Nechť existuje (vlastní) f α j (x, α) pro všechna α U(α 0 ); existuje g L() taková, že f α j (x, α) g(x) s.v. na, a pro všechna α U(α 0 ); existuje α 1 U(α 0 ) takové, že f (x, α 1) dx je konečný. Potom f (x, α) dx je konečný pro všechna α U(α 0), a F α j (α) = α j f (x, α) dx = f α j (x, α) dx. Tomáš Salač ( Ú UK, FF UK ) 9. Vícerozměrná integrace LS 2017/18 27 / 29

28 9.5 Integrály s parametrem Poznámka Funkce g z předchozích tří vět (mající konečný integrál), nazýváme integrabilní majoranty příslušného problému (problém limity, spojitosti, derivace). Všimněte si: integrabilní majoranty je potřeba hledat tak, aby nezávislely na parametru α. Jsou-li množiny a N ze situace (P) omezené, a f C( N), pak je integrabilní majorantou pro f konstanta (rovná maximální hodnotě f na N). Tomáš Salač ( Ú UK, FF UK ) 9. Vícerozměrná integrace LS 2017/18 28 / 29

29 9.6 Gamma funkce Definujme Γ(s) := 0 x s 1 e x dx. Potom platí: Γ je konečná pro s (0, + ), navíc Γ C (0, ). Γ(s + 1) = sγ(s) pro všechna s (0, + ). Γ(n + 1) = n! pro všechna n N. Γ( 1 2 ) = π, Γ(n ) = (2n 1)!! 2 n π = (2n)! 2 2n n! π pro všechna n N. Γ klesá na (0, x 0 ) a roste na (x 0, ), kde x ; lim s 0+ Γ(s) = lim s + Γ(s) = + ; Γ je ryze konvexní na (0, + ). Tomáš Salač ( Ú UK, FF UK ) 9. Vícerozměrná integrace LS 2017/18 29 / 29