9. Vícerozměrná integrace

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "9. Vícerozměrná integrace"

Transkript

1 9. Vícerozměrná integrace Tomáš Salač Ú UK, FF UK LS 2017/18 Tomáš Salač ( Ú UK, FF UK ) 9. Vícerozměrná integrace LS 2017/18 1 / 29

2 9.1 Elementy teorie míry Poznámka Na R n definujeme systém tzv. měřitelných množin, n, který má následující vlastnosti je-li A n, je i R n \ A n ; jsou-li A j n, pak j=1 A j n, j=1 A j n ; n, R n n ; všechny otevřené a uzavřené množiny z R n jsou prvky n ; Tomáš Salač ( Ú UK, FF UK ) 9. Vícerozměrná integrace LS 2017/18 2 / 29

3 9.1 Elementy teorie míry Definice 9.1 Buď n systém měřitelných množin na R n. nožinovou funkci µ : n R nazvu míra, pokud platí 1 µ(a) 0 pro všechna A n ; 2 µ( ) = 0; 3 jsou-li A j n po dvou disjunktní, pak platí tzv. princip spočetné aditivity, ( µ j=1 A j ) = µ(a j ). j=1 Zajímavá otázka: Existují neměřitelné množiny? Tomáš Salač ( Ú UK, FF UK ) 9. Vícerozměrná integrace LS 2017/18 3 / 29

4 9.1 Elementy teorie míry Definice 9.2 Buď n systém měřitelných množin na R n. íru λ n, definovanou na n, která navíc splňuje podmínku λ n ([a 1, b 1 ] [a n, b n ]) = (b 1 a 1 ) (b n a n ) nazvu Lebesgueovou n-dimenzionální mírou (na R n ). Poznámka nožinu [a 1, b 1 ] [a n, b n ] z předchozí definice nazýváme n-rozměrným intervalem (hranolem). Existuje více měr než jenom Lebesgueova. Uvažujte například jednorozměrnou míru µ, splňující µ((a, b)) = arctg b arctg a nebo { 0 x / A µ(a) = 1 x A. Tomáš Salač ( Ú UK, FF UK ) 9. Vícerozměrná integrace LS 2017/18 4 / 29

5 9.1 Elementy teorie míry Vlastnosti (Lebesgueovsky) měřitelných množin Translační invariance: posunutí, otočení, zrcadlení nemění hodnotu míry dané množiny. onotonie: A, B n, A B = λ n (A) λ n (B), tedy speciálně omezené množiny mají konečnou Lebesgueovu míru. A j n, A j A j+1 j N = λ n ( j=1 A j ) = lim j λ n (A j ). Tomáš Salač ( Ú UK, FF UK ) 9. Vícerozměrná integrace LS 2017/18 5 / 29

6 9.1 Elementy teorie míry A j n, A j A j+1 j N, k N, λ n (A k ) < = λ n ( j=1 A j ) = lim j λ n (A j ). axiom výběru zaručuje existenci Lebesgueovsky neměřitelné množiny Tomáš Salač ( Ú UK, FF UK ) 9. Vícerozměrná integrace LS 2017/18 6 / 29

7 9.1 Elementy teorie míry Definice 9.3 (nulové množiny) Řekneme, že množina A n je nulová (v míře λ n ), pokud λ n (A) = 0. Poznámka Někdy značíme N n := {A n, λ n (A) = 0}. A B, B je nulová, pak též A je nulová Prázdná množina a jednobodová množina jsou nulové = (podle principu spočetné aditivity) spočetné množiny jsou nulové (mají míru nula)! Tj. např. λ 1 (Q) = 0 (tedy speciálně neomezené množiny nemusejí mít nekonečnou míru). Tomáš Salač ( Ú UK, FF UK ) 9. Vícerozměrná integrace LS 2017/18 7 / 29

8 9.1 Elementy teorie míry Definice 9.4 (vlastnost s.v.) Řekneme, že nějaký výrok V (x), x A platí skoro všude (s.v.) na A (vzhledem k míře µ), pokud V (x) platí pro všechna x A \ N, kde µ(n) = 0. Příklady. Funkce x má s.v. na R vlastní derivaci. S.v. reálná čísla jsou iracionální. Pokud se dvě funkce liší nejvýše ve spočetně mnoha bodech, pak jsou si s.v. rovny. Tomáš Salač ( Ú UK, FF UK ) 9. Vícerozměrná integrace LS 2017/18 8 / 29

9 9.2 Vícerozměrný (Lebesgueův) integrál Definice Buď n. Řeknu, že funkce s : R je jednoduchá (schodovitá) na, pokud existují konstanty c 1, c 2,..., c k R a množiny 1, 2,..., k n takové, že Definiční obor fukce s, tj. D s = k j=1 j, přičemž λ n ( \ D s ) = 0 (tedy s je definována s.v. na ); s nabývá na j konstantní hodnoty c j, j = 1,..., k. 2 Je-li s : R je jednoduchá (schodovitá) na a navíc je s 0 s.v. na, definujeme (L) s(x) dλ n (x) := k c j λ n ( j ). (1) j=1 Tomáš Salač ( Ú UK, FF UK ) 9. Vícerozměrná integrace LS 2017/18 9 / 29

10 9.2 Vícerozměrný (Lebesgueův) integrál Poznámky. Je-li v (1) c j = 0 a λ n ( j ) =, klademe c j λ n ( j ) = 0. Jinak v součtu (1) používáme pravidla pro sčítání v rámci rozšířené reálné osy, R. Značení dλ n (x) zdůrazňuje roli Lebesgueovy míry příslušné dimenze. Často zjednodušujeme dλ n (x) dλ(x) dx. Role dimenze je někdy (zejména pro n = 2, 3) vyznačená znásobením symbolu integrálu: (L) s(x) dλ 3 (x) s(x) dx, apod... Tomáš Salač ( Ú UK, FF UK ) 9. Vícerozměrná integrace LS 2017/18 10 / 29

11 9.2 Vícerozměrný (Lebesgueův) integrál Úmluva. Pokud budeme v dalším textu mluvit o funkci f : R n R, budeme mít typicky na mysli tuto situaci: n, a f je definovaná alespoň s.v. na ; pokud je f 0 na, potom pro skoro všechna x platí f (x) = sup s(x), 0 s f kde s jsou jednoduché funkce definované na ; pro obecnou f píšeme f = f + f, kde f + := max{f, 0} a f := max{ f, 0}; o funkcích f + 0, f 0 předpokládáme, že mají vlastnost z předchozího bodu. Tomáš Salač ( Ú UK, FF UK ) 9. Vícerozměrná integrace LS 2017/18 11 / 29

12 9.2 Vícerozměrný (Lebesgueův) integrál Definice 9.6 (vícerozměrný Lebesgueův integrál) 1 Buď f : R n R, f 0 funkce (ve smyslu předchozí úmluvy). Pak definujeme: f (x) dλ n (x) := sup s(x) dλ n (x). (2) 0 s f 2 Buď f : R n R, f = f + f, (ve smyslu předchozí úmluvy). Pak definujeme: f (x) dλ n (x) := f + (x) dλ n (x) f (x) dλ n (x), (3) má-li rozdíl vpravo smysl. Tomáš Salač ( Ú UK, FF UK ) 9. Vícerozměrná integrace LS 2017/18 12 / 29

13 9.2 Vícerozměrný (Lebesgueův) integrál Definice 9.7 Pokud f (x) dλ n(x) je definován (tj. má smysl rozdíl f + f ), říkáme, že integrál z f přes existuje a píšeme f L (). (Integrál, který existuje, může nabýt i nekonečných hodnot.) Pokud f d(x)λ n(x) je konečný (tj. oba integrály f +, f jsou konečné stejně jako jejich rozdíl), říkáme, že integrál z f přes konverguje a píšeme f L(). Poznámka Pokud existuje Newtonův i Lebesgueův integrál (v jedné dimenzi), pak se rovnají. Pokud existuje Riemannův integrál (opět v jedné dimenzi), pak existuje i Lebesgueův a rovnají se. Tomáš Salač ( Ú UK, FF UK ) 9. Vícerozměrná integrace LS 2017/18 13 / 29

14 9.2 Vícerozměrný (Lebesgueův) integrál Některé základní vlastnosti integrálu. (αf + βg) = α f + β g, pokud integrál vpravo má smysl. f, g L (), f = g s.v. na, = f = g. f g s.v. na, g R = f R. A j A j+1 j N, f L ( j=1 A j) = j=1 A j f = lim f. j A j A j A j+1 j N, k N, f R A k = j=1 A j f = lim f. j A j Tomáš Salač ( Ú UK, FF UK ) 9. Vícerozměrná integrace LS 2017/18 14 / 29

15 9.3 Fubiniho věta a věta o substituci Označení (k Fubiniho větě) Buď měřitelná v R n+k, označíme: P n () := {x R n, y R k, [x, y] }... projekce do R n. P k () := {y R k, x R n, [x, y] }... projekce do R k. Pro x P n () pevné: x, := {y P k (), [x, y] }... x-ový řez množinou. Pro y P k () pevné:,y := {x P n (), [x, y] }... y-ový řez množinou. Tomáš Salač ( Ú UK, FF UK ) 9. Vícerozměrná integrace LS 2017/18 15 / 29

16 9.3 Fubiniho věta a věta o substituci Věta 9.1 (Fubini) Buďte resp. P n () resp. P k () měřitelné v R n+k resp. R n resp. R k. Nechť f existuje. Potom ( ) f (x, y) dx dy = f (x, y) dy dx P n() x, ( ) = f (x, y) dx dy P k (),y Tomáš Salač ( Ú UK, FF UK ) 9. Vícerozměrná integrace LS 2017/18 16 / 29

17 9.3 Fubiniho věta a věta o substituci V situaci kartézského součinu množin i funkcí je znění Fubiniho věty jednodušší: Tvrzení 9.1 Buď = A 1 A n, f (x) = f 1 (x 1 ) f n (x n ). Nechť f existuje. Potom ( ) ( ) f (x) dx = f 1 (x 1 ) dx 1 f n (x n ) dx n. A 1 A n Tomáš Salač ( Ú UK, FF UK ) 9. Vícerozměrná integrace LS 2017/18 17 / 29

18 9.3 Fubiniho věta a věta o substituci Definice 9.8 Nechť G R n je otevřená množina. Zobrazení ϕ: G R n je regulární, jestliže (i) ϕ C 1 (G), (ii) determinant matice D ϕ D x (tj. jakobián zobrazení ϕ) je nenulový v každém bodě množiny G. Různá značení: ( ) D ϕ( x) det Jac ϕ ( x) J ϕ ( x). D x Tomáš Salač ( Ú UK, FF UK ) 9. Vícerozměrná integrace LS 2017/18 18 / 29

19 9.3 Fubiniho věta a věta o substituci Věta 9.2 (o substituci) Buďte, G R n otevřené množiny, buď ϕ : G regulární a prosté v G, a takové, že ϕ(g) =. Potom ( ) f ( y) d y = f ( ϕ( x)) D ϕ( x) det d x, (4) D x pro f : R, pokud aspoň jeden z integrálů existuje. G nemotechnická pomůcka: Při ztotožnění ϕ( x) y( x), je mnemonechnika pro výpočet správného jakobiánu tato: ( ) d y = D y det d x. D x Tomáš Salač ( Ú UK, FF UK ) 9. Vícerozměrná integrace LS 2017/18 19 / 29

20 9.4 Věty o limitních přechodech Věta 9.3 Uvažujme funkce f n definované na. Nechť pro s.v. x existuje lim n f n (x) = f (x). Nechť je dále splněna alespoň jedna z následujících tří podmínek: Potom (Levi I:) 0 f n f n+1 s.v., pro všechna n N; (Levi II:) g f n f n+1 s.v., pro všechna n N, a přitom g > ; (Lebesgue:) f n g s.v., pro všechna n N, a přitom g R. lim f n = lim f n (5) n n Tomáš Salač ( Ú UK, FF UK ) 9. Vícerozměrná integrace LS 2017/18 20 / 29

21 9.4 Věty o limitních přechodech Poznámka Vztah (5) (záměna limity a integrálu) platí také, pokud jsou Leviho podmínky splněny "zrcadlově vzhledem k nule", tj. pokud je splněna alespoň jedna z následujících podmínek: (Levi I :) 0 f n f n+1 s.v., pro všechna n N; (Levi II :) g f n f n+1 s.v., pro všechna n N, a přitom g <. Tomáš Salač ( Ú UK, FF UK ) 9. Vícerozměrná integrace LS 2017/18 21 / 29

22 9.4 Věty o limitních přechodech Věta 9.4 Uvažujme funkce f n definované na. Nechť pro s.v. x existuje n=1 f n(x) = f (x). Nechť je dále splněna alespoň jedna z následujících dvou podmínek: (Levi:) f n 0 s.v., pro všechna n N; (Lebesgue:) N n=1 f n g s.v., pro všechna N N, a přitom g R. Potom f n = n=1 n=1 f n Tomáš Salač ( Ú UK, FF UK ) 9. Vícerozměrná integrace LS 2017/18 22 / 29

23 9.4 Věty o limitních přechodech Poznámka Někdy se také hodí následující modifikace Lebesgueovy podmínky pro řady: Uvažujme funkce f n definované na. Nechť pro s.v. x existuje n=1 f n(x) = f (x). Buď a n := f n(x). Pokud číselná řada n=1 a n konverguje, pak f n = n=1 n=1 f n Tomáš Salač ( Ú UK, FF UK ) 9. Vícerozměrná integrace LS 2017/18 23 / 29

24 9.5 Integrály s parametrem Označení Budeme studovat následující situaci: R n je měřitelná množina (přes x "budeme integrovat"), množina N R k je množina "parametrů" α. K funkci f (x, α) : N R definujeme funkci F (α) := f (x, α) dx jako "integrál s parametrem α", kdykoli integrál vpravo konverguje. Zajímají nás vlastnosti funkce F. Tuto situaci budeme v tomto paragrafu nazývat "situace (P)". Tomáš Salač ( Ú UK, FF UK ) 9. Vícerozměrná integrace LS 2017/18 24 / 29

25 9.5 Integrály s parametrem Věta 9.5 (o limitě) Uvažujme situaci (P). Nechť existuje g L() taková, že f (x, α) g(x) s.v. na, a pro α U (α 0 ). Potom lim F (α) = α α 0 lim f (x, α) dx = α α 0 lim f (x, α) dx, α α 0 pokud limita vpravo za znamením integrálu existuje (vlastní). Tomáš Salač ( Ú UK, FF UK ) 9. Vícerozměrná integrace LS 2017/18 25 / 29

26 9.5 Integrály s parametrem Věta 9.6 (o spojitosti) Uvažujme situaci (P). Nechť existuje g L() taková, že f (x, α) g(x) s.v. na, a pro α G F, G otevřená. Nechť je dále f (x, α) spojitá na G v proměnné α (a to pro s.v. pevná x. Potom F je spojitá na G. Tomáš Salač ( Ú UK, FF UK ) 9. Vícerozměrná integrace LS 2017/18 26 / 29

27 9.5 Integrály s parametrem Věta 9.7 (o derivaci) Uvažujme situaci (P). Nechť existuje (vlastní) f α j (x, α) pro všechna α U(α 0 ); existuje g L() taková, že f α j (x, α) g(x) s.v. na, a pro všechna α U(α 0 ); existuje α 1 U(α 0 ) takové, že f (x, α 1) dx je konečný. Potom f (x, α) dx je konečný pro všechna α U(α 0), a F α j (α) = α j f (x, α) dx = f α j (x, α) dx. Tomáš Salač ( Ú UK, FF UK ) 9. Vícerozměrná integrace LS 2017/18 27 / 29

28 9.5 Integrály s parametrem Poznámka Funkce g z předchozích tří vět (mající konečný integrál), nazýváme integrabilní majoranty příslušného problému (problém limity, spojitosti, derivace). Všimněte si: integrabilní majoranty je potřeba hledat tak, aby nezávislely na parametru α. Jsou-li množiny a N ze situace (P) omezené, a f C( N), pak je integrabilní majorantou pro f konstanta (rovná maximální hodnotě f na N). Tomáš Salač ( Ú UK, FF UK ) 9. Vícerozměrná integrace LS 2017/18 28 / 29

29 9.6 Gamma funkce Definujme Γ(s) := 0 x s 1 e x dx. Potom platí: Γ je konečná pro s (0, + ), navíc Γ C (0, ). Γ(s + 1) = sγ(s) pro všechna s (0, + ). Γ(n + 1) = n! pro všechna n N. Γ( 1 2 ) = π, Γ(n ) = (2n 1)!! 2 n π = (2n)! 2 2n n! π pro všechna n N. Γ klesá na (0, x 0 ) a roste na (x 0, ), kde x ; lim s 0+ Γ(s) = lim s + Γ(s) = + ; Γ je ryze konvexní na (0, + ). Tomáš Salač ( Ú UK, FF UK ) 9. Vícerozměrná integrace LS 2017/18 29 / 29

9. Vícerozměrná integrace

9. Vícerozměrná integrace 9. Vícerozměrná integrace Aplikovaná matematika II, NMAF072 M. Rokyta, KMA MFF UK LS 2016/17 9.1 Elementy teorie míry Poznámka Na R n definujeme systém tzv. měřitelných množin, M n, který má následující

Více

Definice 1.1. Nechť je M množina. Funkci ρ : M M R nazveme metrikou, jestliže má následující vlastnosti:

Definice 1.1. Nechť je M množina. Funkci ρ : M M R nazveme metrikou, jestliže má následující vlastnosti: Přednáška 1. Definice 1.1. Nechť je množina. Funkci ρ : R nazveme metrikou, jestliže má následující vlastnosti: (1 pro každé x je ρ(x, x = 0; (2 pro každé x, y, x y, je ρ(x, y = ρ(y, x > 0; (3 pro každé

Více

Primitivní funkce a Riemann uv integrál Lineární algebra Taylor uv polynom Extrémy funkcí více prom ˇenných Matematika III Matematika III Program

Primitivní funkce a Riemann uv integrál Lineární algebra Taylor uv polynom Extrémy funkcí více prom ˇenných Matematika III Matematika III Program Program Primitivní funkce a Riemannův integrál Program Primitivní funkce a Riemannův integrál Lineární algebra Program Primitivní funkce a Riemannův integrál Lineární algebra Taylorův polynom Program Primitivní

Více

10 Funkce více proměnných

10 Funkce více proměnných M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika II kap. 10: Funkce více proměnných 16 10 Funkce více proměnných 10.1 Základní pojmy Definice. Eukleidovskou vzdáleností bodů x = (x 1,...,x n ), y = (y 1,...,y

Více

INTEGRÁLY S PARAMETREM

INTEGRÁLY S PARAMETREM INTEGRÁLY S PARAMETREM b a V kapitole o integraci funkcí více proměnných byla potřeba funkce g(x) = f(x, y) dy proměnné x. Spojitost funkce g(x) = b a f(x, y) dy proměnné x znamená vlastně prohození limity

Více

PRIMITIVNÍ FUNKCE. Primitivní funkce primitivní funkce. geometrický popis integrály 1 integrály 2 spojité funkce konstrukce prim.

PRIMITIVNÍ FUNKCE. Primitivní funkce primitivní funkce. geometrický popis integrály 1 integrály 2 spojité funkce konstrukce prim. PRIMITIVNÍ FUNKCE V předchozích částech byly zkoumány derivace funkcí a hlavním tématem byly funkce, které derivace mají. V této kapitole se budou zkoumat funkce, které naopak jsou derivacemi jiných funkcí

Více

Lebesgue Manuál. Josef Hekrdla 1. prosince (Vzniklo pro potřeby předmětu Matematická teorie signálů ) 1 Objem intervalu. 3

Lebesgue Manuál. Josef Hekrdla 1. prosince (Vzniklo pro potřeby předmětu Matematická teorie signálů ) 1 Objem intervalu. 3 Lebesgue Manuál Josef Hekrdla 1. prosince 2011 (Vzniklo pro potřeby předmětu Matematická teorie signálů Obsah I Měřitelné množiny v R p Lebesgueova míra 3 1 Objem intervalu. 3 2 Objem otevřené množiny.

Více

PRIMITIVNÍ FUNKCE DEFINICE A MOTIVACE

PRIMITIVNÍ FUNKCE DEFINICE A MOTIVACE PIMITIVNÍ FUNKCE V předchozích částech byly zkoumány derivace funkcí a hlavním tématem byly funkce, které derivace mají. V této kapitole se budou zkoumat funkce, které naopak jsou derivacemi jiných funkcí

Více

1 Topologie roviny a prostoru

1 Topologie roviny a prostoru 1 Topologie roviny a prostoru 1.1 Základní pojmy množin Intervaly a okolí Intervaly v rovině nebo prostoru jsou obdélníky nebo hranoly se stranami rovnoběžnými s osami souřadnic. Podmnožiny intervalů se

Více

VIII. Primitivní funkce a Riemannův integrál

VIII. Primitivní funkce a Riemannův integrál VIII. Primitivní funkce Riemnnův integrál VIII.2. Riemnnův integrál opkování Vět. Nechť f je spojitá funkce n intervlu, b nechť c, b. Oznčíme-li F (x) = x (, b), pk F (x) = f(x) pro kždé x (, b). VIII.3.

Více

1 Posloupnosti a řady.

1 Posloupnosti a řady. 1 Posloupnosti a řady. 1.1 Posloupnosti reálných čísel. Definice 1.1: Posloupností reálných čísel nazýváme zobrazení f množiny N všech přirozených čísel do množiny R všech reálných čísel. Pokud nemůže

Více

Definice 7.1 Nechť je dán pravděpodobnostní prostor (Ω, A, P). Zobrazení. nebo ekvivalentně

Definice 7.1 Nechť je dán pravděpodobnostní prostor (Ω, A, P). Zobrazení. nebo ekvivalentně 7 Náhodný vektor Nezávislost náhodných veličin Definice 7 Nechť je dán pravděpodobnostní prostor (Ω, A, P) Zobrazení X : Ω R n, které je A-měřitelné, se nazývá (n-rozměrný) náhodný vektor Měřitelností

Více

K oddílu I.1 základní pojmy, normy, normované prostory

K oddílu I.1 základní pojmy, normy, normované prostory ÚVOD DO FUNKCIONÁLNÍ ANALÝZY PŘÍKLADY PRO POROZUMĚNÍ LÁTCE ZS 2015/2016 PŘÍKLADY KE KAPITOLE I K oddílu I1 základní pojmy, normy, normované prostory Příklad 1 Necht X je reálný vektorový prostor a : X

Více

Dnešní látka Variačně formulované okrajové úlohy zúplnění prostoru funkcí. Lineární zobrazení.

Dnešní látka Variačně formulované okrajové úlohy zúplnění prostoru funkcí. Lineární zobrazení. Předmět: MA4 Dnešní látka Variačně formulované okrajové úlohy zúplnění prostoru funkcí. Lineární zobrazení. Literatura: Kapitola 2 a)-c) a kapitola 4 a)-c) ze skript Karel Rektorys: Matematika 43, ČVUT,

Více

VIII. Primitivní funkce a Riemannův integrál

VIII. Primitivní funkce a Riemannův integrál VIII. Primitivní funkce Riemnnův integrál VIII.2. Primitivní funkce Definice. Nechť funkce f je definován n neprázdném otevřeném intervlu I. Řekneme, že funkce F : I R je primitivní funkce k f n intervlu

Více

Teorie. Hinty. kunck6am

Teorie. Hinty.   kunck6am kytaristka@gmail.com www.natur.cuni.cz/ kunck6am 5. cvičení Teorie Definice. Necht funkce f je definována na neprázdném otevřeném intervalu I. Řekneme, že funkce F je primitivní funkce k f na I, jestliže

Více

11. Číselné a mocninné řady

11. Číselné a mocninné řady 11. Číselné a mocninné řady Aplikovaná matematika III, NMAF072 M. Rokyta, KMA MFF UK ZS 2017/18 11.1 Základní pojmy Definice Necht {a n } C je posloupnost komplexních čísel. Pro m N položme s m = a 1 +

Více

Riemannův určitý integrál

Riemannův určitý integrál Riemannův určitý integrál 1. Motivační příklad Příklad (Motivační příklad pro zavedení Riemannova integrálu). Nechť,. Vypočtěme obsah vybarvené oblasti ohraničené grafem funkce, osou a svislými přímkami

Více

Posloupnosti a jejich konvergence

Posloupnosti a jejich konvergence a jejich konvergence Pojem konvergence je velmi důležitý pro nediskrétní matematiku. Je nezbytný všude, kde je potřeba aproximovat nějaké hodnoty, řešit rovnice přibližně, používat derivace, integrály.

Více

(5) Primitivní funkce

(5) Primitivní funkce (5) Primitivní funkce Kristýna Kuncová Matematika B2 18/19 Kristýna Kuncová (5) Primitivní funkce 1 / 20 Def: Primitivní funkce Definice Necht funkce f je definována na neprázdném otevřeném intervalu (a,

Více

18 Fourierovy řady Úvod, základní pojmy

18 Fourierovy řady Úvod, základní pojmy M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika III kap. 18: Fourierovy řady 7 18 Fourierovy řady 18.1 Úvod, základní pojmy Otázka J. Fouriera: Lze každou periodickou funkci napsat jako součet nějakých "elementárních"

Více

Posloupnosti a jejich konvergence POSLOUPNOSTI

Posloupnosti a jejich konvergence POSLOUPNOSTI Posloupnosti a jejich konvergence Pojem konvergence je velmi důležitý pro nediskrétní matematiku. Je nezbytný všude, kde je potřeba aproximovat nějaké hodnoty, řešit rovnice přibližně, používat derivace,

Více

Teorie. Hinty. kunck6am

Teorie. Hinty.   kunck6am kytaristka@gmail.com www.natur.cuni.cz/ kunck6am 5. cvičení Teorie Definice. Necht funkce f je definována na neprázdném otevřeném intervalu I. Řekneme, že funkce F je primitivní funkce k f na I, jestliže

Více

To je samozřejmě základní pojem konvergence, ale v mnoha případech je příliš obecný a nestačí na dokazování některých užitečných tvrzení.

To je samozřejmě základní pojem konvergence, ale v mnoha případech je příliš obecný a nestačí na dokazování některých užitečných tvrzení. STEJNOMĚRNÁ KONVERGENCE Zatím nebylo v těchto textech věnováno příliš pozornosti konvergenci funkcí, at jako limita posloupnosti nebo součet řady. Jinak byla posloupnosti funkcí nebo řady brána jako. To

Více

Přednáška 6, 6. listopadu 2013

Přednáška 6, 6. listopadu 2013 Přednáška 6, 6. listopadu 2013 Kapitola 2. Posloupnosti a řady funkcí. V dalším jsou f, f n : M R, n = 1, 2,..., reálné funkce jedné reálné proměnné definované na (neprázdné) množině M R. Co to znamená,

Více

Kapitola 1. Úvod. 1.1 Značení. 1.2 Výroky - opakování. N... přirozená čísla (1, 2, 3,...). Q... racionální čísla ( p, kde p Z a q N) R...

Kapitola 1. Úvod. 1.1 Značení. 1.2 Výroky - opakování. N... přirozená čísla (1, 2, 3,...). Q... racionální čísla ( p, kde p Z a q N) R... Kapitola 1 Úvod 1.1 Značení N... přirozená čísla (1, 2, 3,...). Z... celá čísla ( 3, 2, 1, 0, 1, 2,...). Q... racionální čísla ( p, kde p Z a q N) q R... reálná čísla C... komplexní čísla 1.2 Výroky -

Více

Texty k přednáškám z MMAN3: 4. Funkce a zobrazení v euklidovských prostorech

Texty k přednáškám z MMAN3: 4. Funkce a zobrazení v euklidovských prostorech Texty k přednáškám z MMAN3: 4. Funkce a zobrazení v euklidovských prostorech 1. července 2008 1 Funkce v R n Definice 1 Necht n N a D R n. Reálnou funkcí v R n (reálnou funkcí n proměnných) rozumíme zobrazení

Více

17. Posloupnosti a řady funkcí

17. Posloupnosti a řady funkcí 17. Posloupnosti a řady funkcí Aplikovaná matematika III, NMAF073 M. Rokyta, KMA MFF UK ZS 2011/12 17.1 Stejnoměrná konvergence posloupnosti funkcí Definice Necht M je množina, f, f n : M R m, m, n N.

Více

1 Báze a dimenze vektorového prostoru 1

1 Báze a dimenze vektorového prostoru 1 1 Báze a dimenze vektorového prostoru 1 Báze a dimenze vektorového prostoru 1 2 Aritmetické vektorové prostory 7 3 Eukleidovské vektorové prostory 9 Levá vnější operace Definice 5.1 Necht A B. Levou vnější

Více

22 Základní vlastnosti distribucí

22 Základní vlastnosti distribucí M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika IV kap. 22: Základní vlastnosti distribucí 5 22 Základní vlastnosti distribucí 22.1 Temperované distribuce Definice. O funkci ϕ C (R m ) řekneme, že je rychle klesající

Více

VI. Maticový počet. VI.1. Základní operace s maticemi. Definice. Tabulku

VI. Maticový počet. VI.1. Základní operace s maticemi. Definice. Tabulku VI Maticový počet VI1 Základní operace s maticemi Definice Tabulku a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n, a m1 a m2 a mn kde a ij R, i = 1,, m, j = 1,, n, nazýváme maticí typu m n Zkráceně zapisujeme (a ij i=1m

Více

Zobecněný Riemannův integrál

Zobecněný Riemannův integrál Zobecněný Riemannův integrál Definice (Zobecněný Riemannův integrál). Buď,,. Nechť pro všechna existuje určitý Riemannův integrál. Pokud existuje konečná limita, říkáme, že zobecněný Riemannův integrál

Více

Funkce jedn e re aln e promˇ enn e Derivace Pˇredn aˇska ˇr ıjna 2015

Funkce jedn e re aln e promˇ enn e Derivace Pˇredn aˇska ˇr ıjna 2015 Funkce jedné reálné proměnné Derivace Přednáška 2 15. října 2015 Obsah 1 Funkce 2 Limita a spojitost funkce 3 Derivace 4 Průběh funkce Informace Literatura v elektronické verzi (odkazy ze STAGu): 1 Lineární

Více

Matematická analýza 4

Matematická analýza 4 Matematická analýza 4 LS 2015-16 Miroslav Zelený 18. Metrické prostory III 19. Křivkový a plošný integrál 20. Absolutně spoj. fce a fce s konečnou variací 21. Fourierovy řady 18. Metrické prostory III

Více

1 Množiny, výroky a číselné obory

1 Množiny, výroky a číselné obory 1 Množiny, výroky a číselné obory 1.1 Množiny a množinové operace Množinou rozumíme každé shrnutí určitých a navzájem různých objektů (které nazýváme prvky) do jediného celku. Definice. Dvě množiny jsou

Více

Lineární algebra : Lineární prostor

Lineární algebra : Lineární prostor Lineární algebra : Lineární prostor (3. přednáška) František Štampach, Karel Klouda LS 2013/2014 vytvořeno: 17. dubna 2014, 14:43 1 2 3.1 Aximotické zavedení lineárního prostoru Číselné těleso Celou lineární

Více

PŘEDNÁŠKA 9 KŘIVKOVÝ A PLOŠNÝ INTEGRÁL 1. DRUHU

PŘEDNÁŠKA 9 KŘIVKOVÝ A PLOŠNÝ INTEGRÁL 1. DRUHU PŘEDNÁŠKA 9 KŘIVKOVÝ A PLOŠNÝ INTEGRÁL 1. DRUHU 6.1 Křivkový integrál 1. druhu Definice 1. Množina R n se nazývá prostá regulární křivka v R n právě tehdy, když existuje vzájemně jednoznačné zobrazení

Více

Základy matematiky pro FEK

Základy matematiky pro FEK Základy matematiky pro FEK 12. přednáška Blanka Šedivá KMA zimní semestr 216/21 Blanka Šedivá (KMA) Základy matematiky pro FEK zimní semestr 216/21 1 / 15 Integrování jako inverzní operace příklady inverzních

Více

16 Fourierovy řady Úvod, základní pojmy

16 Fourierovy řady Úvod, základní pojmy M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika IV kap. 16: Fourierovy řady 1 16 Fourierovy řady 16.1 Úvod, základní pojmy Otázka J. Fouriera: Lze každou periodickou funkci napsat jako součet nějakých "elementárních"

Více

Základy teorie pravděpodobnosti

Základy teorie pravděpodobnosti Základy teorie pravděpodobnosti Náhodná veličina Roman Biskup (zapálený) statistik ve výslužbě, aktuálně analytik v praxi ;-) roman.biskup(at)email.cz 12. února 2012 Statistika by Birom Základy teorie

Více

Kapitola 8: Dvojný integrál 1/26

Kapitola 8: Dvojný integrál 1/26 Kapitola 8: vojný integrál 1/26 vojný integrál - osnova kapitoly 2/26 dvojný integrál přes obdélník definice výpočet (Fubiniova věta pro obdélník) dvojný integrál přes standardní množinu definice výpočet

Více

Limita a spojitost funkce a zobrazení jedné reálné proměnné

Limita a spojitost funkce a zobrazení jedné reálné proměnné Přednáška 4 Limita a spojitost funkce a zobrazení jedné reálné proměnné V několika následujících přednáškách budeme studovat zobrazení jedné reálné proměnné f : X Y, kde X R a Y R k. Protože pro každé

Více

TEORIE MÍRY V některých předchozích kapitolách jste se setkali s měřením velikostí množin a víte, jaké byly těžkosti s měřením množin i na reálné ose.

TEORIE MÍRY V některých předchozích kapitolách jste se setkali s měřením velikostí množin a víte, jaké byly těžkosti s měřením množin i na reálné ose. TEORIE MÍRY V některých předchozích kapitolách jste se setkali s měřením velikostí množin a víte, jaké byly těžkosti s měřením množin i na reálné ose. Kvůli těmto těžkostem se měření zúžilo jen na délku

Více

Kapitola 7: Integrál.

Kapitola 7: Integrál. Kapitola 7: Integrál. Neurčitý integrál. Definice: Necht f je funkce definovaná na intervalu I. Funkci F definovanou na intervalu I, pro kterou platí F (x) = f(x) x I nazýváme primitivní funkcí k funkci

Více

Derivace funkce. Přednáška MATEMATIKA č Jiří Neubauer

Derivace funkce. Přednáška MATEMATIKA č Jiří Neubauer Přednáška MATEMATIKA č. 9-11 Katedra ekonometrie FEM UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz Šotová, J., Doudová, L. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné Motivační příklady

Více

terminologie předchozí kapitoly: (ϕ, Ω) - plocha, S - geometrický obraz plochy

terminologie předchozí kapitoly: (ϕ, Ω) - plocha, S - geometrický obraz plochy 2. Plošný integrál. Poznámka. Obecně: integrování přes k-rozměrné útvary (k-plochy) v R n. Omezíme se na případ k = 2, n = 3. Definice. Množina S R 3 se nazve plocha, pokud S = ϕ(), kde R 2 je otevřená

Více

19 Hilbertovy prostory

19 Hilbertovy prostory M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika III kap. 19: Hilbertovy prostory 34 19 Hilbertovy prostory 19.1 Úvod, základní pojmy Poznámka (připomenutí). Necht (X,(, )) je vektorový prostor se skalárním součinem

Více

OBECNOSTI KONVERGENCE V R N

OBECNOSTI KONVERGENCE V R N FUNKCE VÍCE PROMĚNNÝCH V reálných situacích závisejí děje obvykle na více proměnných než jen na jedné (např. na teplotě i na tlaku), závislost na jedné proměnné je spíše výjimkou. OBECNOSTI Reálná funkce

Více

Základy teorie množin

Základy teorie množin 1 Základy teorie množin Z minula: 1. Cantorovu větu (x P(x)) 2. základní vlastnosti disjunktního sjednocení, kartézského součinu a množinové mocniny (z hlediska relací, ) 3. vztah P(a) a 2 4. větu (2 a

Více

4 Integrální počet funkcí více reálných proměnných

4 Integrální počet funkcí více reálných proměnných Dvojné integrály - 61-4 ntegrální počet funkcí více reálných proměnných 4.1 Dvojné a dvojnásobné integrály Dvojné a dvojnásobné integrály na intervalech z Pod uzavřeným intervalem z rozumíme kartézský

Více

Matematika III. Miroslava Dubcová, Daniel Turzík, Drahoslava Janovská. Ústav matematiky

Matematika III. Miroslava Dubcová, Daniel Turzík, Drahoslava Janovská. Ústav matematiky Matematika III Řady Miroslava Dubcová, Daniel Turzík, Drahoslava Janovská Ústav matematiky Přednášky ZS 202-203 Obsah Číselné řady. Součet nekonečné řady. Kritéria konvergence 2 Funkční řady. Bodová konvergence.

Více

Míra a měřitelné funkce. 1.1 Měřitelné množiny. 1.2 Míra a vnější míra

Míra a měřitelné funkce. 1.1 Měřitelné množiny. 1.2 Míra a vnější míra KAPITOLA 1: Míra a měřitelné funkce P(X) = {A A X} potenční možina množiny X 1.1 Měřitelné množiny dále předpokládáme X Systém S podmnožin množiny X se nazývá algebra, jestliže (A1) S, (A2) (A3) A S X\A

Více

Matice. Je dána matice A R m,n, pak máme zobrazení A : R n R m.

Matice. Je dána matice A R m,n, pak máme zobrazení A : R n R m. Matice lineárních zobrazení [1] Připomenutí Zobrazení A : L 1 L 2 je lineární, když A( x + y ) = A( x ) + A( y ), A(α x ) = α A( x ). Což je ekvivalentní s principem superpozice: A(α 1 x 1 + + α n x n

Více

Interpolace, ortogonální polynomy, Gaussova kvadratura

Interpolace, ortogonální polynomy, Gaussova kvadratura Interpolace, ortogonální polynomy, Gaussova kvadratura Petr Tichý 20. listopadu 2013 1 Úloha Lagrangeovy interpolace Dán omezený uzavřený interval [a, b] a v něm n + 1 různých bodů x 0, x 1,..., x n. Nechť

Více

Matematika 2 LS 2012/13. Prezentace vznikla na základě učebního textu, jehož autorem je doc. RNDr. Mirko Rokyta, CSc. J. Stebel Matematika 2

Matematika 2 LS 2012/13. Prezentace vznikla na základě učebního textu, jehož autorem je doc. RNDr. Mirko Rokyta, CSc. J. Stebel Matematika 2 Matematika 2 14. přednáška Číselné a mocninné řady Jan Stebel Fakulta mechatroniky, informatiky a mezioborových studíı Technická univerzita v Liberci jan.stebel@tul.cz http://bacula.nti.tul.cz/~jan.stebel

Více

Aplikovaná matematika I, NMAF071

Aplikovaná matematika I, NMAF071 M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika I kap. 1: Úvod, čísla, zobrazení, posloupnosti 1 Aplikovaná matematika I, NMAF071 M. Rokyta, KMA MFF UK ZS 2013/14 Sylabus = obsah (plán) přednášky [a orientační

Více

Posloupnosti a řady. 28. listopadu 2015

Posloupnosti a řady. 28. listopadu 2015 Posloupnosti a řady Přednáška 5 28. listopadu 205 Obsah Posloupnosti 2 Věty o limitách 3 Řady 4 Kritéria konvergence 5 Absolutní a relativní konvergence 6 Operace s řadami 7 Mocninné a Taylorovy řady Zdroj

Více

I. D i s k r é t n í r o z d ě l e n í

I. D i s k r é t n í r o z d ě l e n í 6. T y p y r o z d ě l e n í Poznámka: V odst. 5.5-5.10 jsme uvedli příklady náhodných veličin a jejich distribučních funkcí. Poznali jsme, že se od sebe liší svým typem. V příkladech 5.5, 5.6 a 5.8 jsme

Více

15 Maticový a vektorový počet II

15 Maticový a vektorový počet II M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika III kap. 15: Maticový a vektorový počet II 1 15 Maticový a vektorový počet II 15.1 Úvod Opakování z 1. ročníku (z kapitoly 8) Označení. Množinu všech reálných resp.

Více

p(x) = P (X = x), x R,

p(x) = P (X = x), x R, 6. T y p y r o z d ě l e n í Poznámka: V odst. 5.5-5.10 jsme uvedli příklady náhodných veličin a jejich distribučních funkcí. Poznali jsme, že se od sebe liší svým typem. V příkladech 5.5, 5.6 a 5.8 jsme

Více

Věta o sedlovém bodu a Fredholmova alternativa

Věta o sedlovém bodu a Fredholmova alternativa Věta o sedlovém bodu a Fredholmova alternativa Petr Tomiczek Fakulta Aplikovaných věd Západočeská univerzita Plzeň 2006 obsah 1 Rozklad Hilbertova prostoru Uzavřený lineární a samoadjungovaný operátor

Více

( + ) ( ) f x x f x. x bude zmenšovat nekonečně přesný. = derivace funkce f v bodě x. nazýváme ji derivací funkce f v bodě x. - náš základní zápis

( + ) ( ) f x x f x. x bude zmenšovat nekonečně přesný. = derivace funkce f v bodě x. nazýváme ji derivací funkce f v bodě x. - náš základní zápis 1.. Derivace elementárních funkcí I Předpoklad: 1 Shrnutí z minulé hodin: Chceme znát jakým způsobem se mění hodnot funkce f ( f ( + f ( přibližná hodnota změn = přesnost výpočtu se bude zvětšovat, kdž

Více

Projekty - Úvod do funkcionální analýzy

Projekty - Úvod do funkcionální analýzy Projekty - Úvod do funkcionální analýzy Projekt č. 1. Nechť a, b R, a < b. Dokažte, že prostor C( a, b ) = f : R R: f je spojitá na D(f) = a, b s metrikou je úplný. ρ(f, g) = max f(x) g(x) x a,b Projekt

Více

7. Lineární vektorové prostory

7. Lineární vektorové prostory 7. Lineární vektorové prostory Tomáš Salač MÚ UK, MFF UK LS 2017/18 Tomáš Salač ( MÚ UK, MFF UK ) 7. Lineární vektorové prostory LS 2017/18 1 / 62 7.1 Definice a příklady Definice 7.1 Množina G s binární

Více

Uzavřené a otevřené množiny

Uzavřené a otevřené množiny Teorie: Uzavřené a otevřené množiny 2. cvičení DEFINICE Nechť M R n. Bod x M nazveme vnitřním bodem množiny M, pokud existuje r > 0 tak, že B(x, r) M. Množinu všech vnitřních bodů značíme Int M. Dále,

Více

DERIVACE FUNKCE KOMPLEXNÍ PROMĚNNÉ

DERIVACE FUNKCE KOMPLEXNÍ PROMĚNNÉ DERIVACE FUNKCE KOMPLEXNÍ PROMĚNNÉ vlastnosti holomorfní DERIVACE U reálných funkcí více reálných proměnných nebylo možné definovat derivaci analogicky definici reálné jedné reálné proměnné (nešlo dělit...)

Více

Derivace a monotónnost funkce

Derivace a monotónnost funkce Derivace a monotónnost funkce Věta : Uvažujme funkci f (x), která má na intervalu I derivaci f (x). Pak platí: je-li f (x) > 0 x I, funkce f je na intervalu I rostoucí. je-li f (x) < 0 x I, funkce f je

Více

Teorie měření a regulace

Teorie měření a regulace Ústav technologie, mechanizace a řízení staveb Teorie měření a regulace 22.z-3.tr ZS 2015/2016 2015 - Ing. Václav Rada, CSc. TEORIE ŘÍZENÍ druhá část tématu předmětu pokračuje. oblastí matematických pomůcek

Více

Úvod do teorie her

Úvod do teorie her Úvod do teorie her 2. Garanční řešení, hry s nulovým součtem a smíšené strategie Tomáš Kroupa http://staff.utia.cas.cz/kroupa/ 2017 ÚTIA AV ČR Program 1. Zavedeme řešení, které zabezpečuje minimální výplatu

Více

Diferenˇcní rovnice Diferenciální rovnice Matematika IV Matematika IV Program

Diferenˇcní rovnice Diferenciální rovnice Matematika IV Matematika IV Program Program Diferenční rovnice Program Diferenční rovnice Diferenciální rovnice Program Frisch a Samuelson: Systém je dynamický, jestliže jeho chování v čase je určeno funkcionální rovnicí, jejíž neznámé závisí

Více

IV. Základní pojmy matematické analýzy IV.1. Rozšíření množiny reálných čísel

IV. Základní pojmy matematické analýzy IV.1. Rozšíření množiny reálných čísel Matematická analýza IV. Základní pojmy matematické analýzy IV.1. Rozšíření množiny reálných čísel na množině R je definováno: velikost (absolutní hodnota), uspořádání, aritmetické operace; znázornění:

Více

Matematická analýza III.

Matematická analýza III. 1. - limita, spojitost Miroslav Hušek, Lucie Loukotová UJEP 2010 Úvod Co bychom měli znát limity posloupností v R základní vlastnosti funkcí jedné proměnné (definiční obor, monotónnost, omezenost,... )

Více

3. Derivace funkce Definice 3.1. Nechť f : R R je definována na nějakém okolí U(a) bodu a R. Pokud existuje limita f(a + h) f(a) lim

3. Derivace funkce Definice 3.1. Nechť f : R R je definována na nějakém okolí U(a) bodu a R. Pokud existuje limita f(a + h) f(a) lim 3 a b s = (a + b) 2 f(s) 3,46 4,680 3,93-2,9422 3,93 4,680 4,2962-2,034 4,2962 4,680 4,4886-0,0954 4,4886 4,680 4,5848 3,2095 4,4886 4,5848 4,5367,0963 4,4886 4,5367 4,526 0,427 4,4886 4,526 4,5006 0,508

Více

Poznámka. Je-li f zobrazení, ve kterém potřebujeme zdůraznit proměnnou, píšeme f(x) (resp. f(y), resp. f(t)) je zobrazení místo f je zobrazení.

Poznámka. Je-li f zobrazení, ve kterém potřebujeme zdůraznit proměnnou, píšeme f(x) (resp. f(y), resp. f(t)) je zobrazení místo f je zobrazení. 2. ZOBRAZENÍ A FUNKCE 2.1 Zobrazení 2. 1. 1 Definice: Nechť A a B jsou množiny. Řekneme že f je zobrazení množiny A do množiny B jestliže (i) f A B (ii) ke každému z množiny A eistuje právě jedno y z množiny

Více

10 Určitý integrál Riemannův integrál. Definice. Konečnou posloupnost {x j } n j=0 nazýváme dělením intervalu [a,b], jestliže platí

10 Určitý integrál Riemannův integrál. Definice. Konečnou posloupnost {x j } n j=0 nazýváme dělením intervalu [a,b], jestliže platí 10 Určitý integrál 10.1 Riemnnův integrál Definice. Konečnou posloupnost {x j } n j=0 nzýváme dělením intervlu [,b], jestliže pltí = x 0 < x 1 < < x n = b. Body x 0,...,x n nzýváme dělícími body. Normou

Více

Kapitola 7: Neurčitý integrál. 1/14

Kapitola 7: Neurčitý integrál. 1/14 Kapitola 7: Neurčitý integrál. 1/14 Neurčitý integrál 2/14 Definice: Necht f je funkce definovaná na intervalu I. Funkci F definovanou na intervalu I, pro kterou platí F (x) = f (x) x I nazýváme primitivní

Více

Obsah. Aplikovaná matematika I. Gottfried Wilhelm Leibniz. Základní vlastnosti a vzorce

Obsah. Aplikovaná matematika I. Gottfried Wilhelm Leibniz. Základní vlastnosti a vzorce Neurčitý integrál Aplikovaná matematika I Dana Říhová Mendelu Brno Obsah Primitivní funkce, neurčitý integrál Základní vlastnosti a vzorce Základní integrační metody Úpravy integrandu Integrace racionálních

Více

Matematická analýza 1

Matematická analýza 1 Matematická analýza 1 ZS 2019-20 Miroslav Zelený 1. Logika, množiny a základní číselné obory 2. Limita posloupnosti 3. Limita a spojitost funkce 4. Elementární funkce 5. Derivace 6. Taylorův polynom Návod

Více

8 Matice a determinanty

8 Matice a determinanty M Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika II kap 8: Matice a determinanty 1 8 Matice a determinanty 81 Matice - definice a základní vlastnosti Definice Reálnou resp komplexní maticí A typu m n nazveme obdélníkovou

Více

30. listopadu Derivace. VŠB-TU Ostrava. Dostupné: s1a64/cd/index.htm.

30. listopadu Derivace. VŠB-TU Ostrava. Dostupné:   s1a64/cd/index.htm. KMA/MAT1 Přednáška a cvičení č. 11 30. listopadu 2017 [KS] Jaromír Kuben Petra Šarmanová: Diferenciální počet funkcí jedné proměnné. VŠB-TU Ostrava. Dostupné: http://homel.vsb.cz/ s1a64/cd/inde.htm. 1

Více

Katedra matematiky Fakulty jaderné a fyzikálně inženýrské ČVUT v Praze Příjmení a jméno ➊ ➋ ➌ ➍ ➎ ➏ Bonus

Katedra matematiky Fakulty jaderné a fyzikálně inženýrské ČVUT v Praze Příjmení a jméno ➊ ➋ ➌ ➍ ➎ ➏ Bonus Zkoušková písemná práce č. 1 z předmětu 01MAB4 pondělí 25. května 2015, 9:00 11:00 Vypočítejte integrál y d(, y), kde Ω Objekt Ω načrtněte do obrázku! Ω = { (, y) R 2 :, y 0 4 + y 4 1 ( 4 + y 4 ) 3 16

Více

Úvod. Integrování je inverzní proces k derivování Máme zderivovanou funkci a integrací získáme původní funkci kterou jsme derivovali

Úvod. Integrování je inverzní proces k derivování Máme zderivovanou funkci a integrací získáme původní funkci kterou jsme derivovali NEURČITÝ INTEGRÁL Úvod Integrování je inverzní proces k derivování Máme zderivovanou funkci a integrací získáme původní funkci kterou jsme derivovali Umět pracovat s integrálním počtem Je důležité pro

Více

Matematika V. Dynamická optimalizace

Matematika V. Dynamická optimalizace Matematika V. Dynamická optimalizace Obsah Kapitola 1. Variační počet 1.1. Derivace funkcí na vektorových prostorech...str. 3 1.2. Derivace integrálu...str. 5 1.3. Formulace základní úlohy P1 var. počtu,

Více

Limita a spojitost funkce

Limita a spojitost funkce Limita a spojitost funkce Základ všší matematik Dana Říhová Mendelu Brno Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakult MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na disciplin společného základu

Více

Petr Hasil. Prvákoviny c Petr Hasil (MUNI) Úvod do infinitezimálního počtu Prvákoviny / 57

Petr Hasil. Prvákoviny c Petr Hasil (MUNI) Úvod do infinitezimálního počtu Prvákoviny / 57 Úvod do infinitezimálního počtu Petr Hasil Prvákoviny 2015 c Petr Hasil (MUNI) Úvod do infinitezimálního počtu Prvákoviny 2015 1 / 57 Obsah 1 Úvod Funkce Reálná čísla a posloupnosti Limita a spojitost

Více

Matematika 4 FSV UK, LS Miroslav Zelený

Matematika 4 FSV UK, LS Miroslav Zelený Matematika 4 FSV UK, LS 2017-18 Miroslav Zelený 13. Diferenční rovnice 14. Diferenciální rovnice se separovanými prom. 15. Lineární diferenciální rovnice prvního řádu 16. Lineární diferenciální rovnice

Více

Určete (v závislosti na parametru), zda daný integrál konverguje, respektive zda konverguje. dx = t 1/α 1 dt. sin x α dx =

Určete (v závislosti na parametru), zda daný integrál konverguje, respektive zda konverguje. dx = t 1/α 1 dt. sin x α dx = . cvičení http://www.karlin.mff.cuni.cz/ kuncova/ kytaristka@gmail.com Teorie Věta 1 (Abelovo-Dirichletovo kritérium konveregnce Newtonova integrálu). Necht a R, b R a necht a < b. Necht f : [a, b) R je

Více

Dodatek 2: Funkce dvou proměnných 1/9

Dodatek 2: Funkce dvou proměnných 1/9 Dodatek 2: Funkce dvou proměnných 1/9 2/9 Funkce dvou proměnných Definice: Reálnou funkcí dvou reálných proměnných, definovanou na množině M R 2, rozumíme předpis f, který každé uspořádané dvojici reálných

Více

Komplexní analýza. Holomorfní funkce. Martin Bohata. Katedra matematiky FEL ČVUT v Praze

Komplexní analýza. Holomorfní funkce. Martin Bohata. Katedra matematiky FEL ČVUT v Praze Komplexní analýza Holomorfní funkce Martin Bohata Katedra matematiky FEL ČVUT v Praze bohata@math.feld.cvut.cz Martin Bohata Komplexní analýza Holomorfní funkce 1 / 8 Derivace Definice Necht f je komplexní

Více

Organizace. Zápočet: test týden semestru (pátek) bodů souhrnný test (1 pokus) Zkouška: písemná část ( 50 bodů), ústní část

Organizace. Zápočet: test týden semestru (pátek) bodů souhrnný test (1 pokus) Zkouška: písemná část ( 50 bodů), ústní část Matematika I 1/15 2/15 Organizace Zápočet: test 6. + 11. týden semestru (pátek) 80 bodů 50 79 bodů souhrnný test (1 pokus) Zkouška: písemná část ( 50 bodů), ústní část www.vscht.cz/mat Výuka www.vscht.cz/mat/jana.nemcova

Více

Úvodní informace. 17. února 2018

Úvodní informace. 17. února 2018 Úvodní informace Funkce více proměnných Přednáška první 17. února 2018 Obsah 1 Úvodní informace. 2 Funkce více proměnných Definiční obor Limita a spojitost Derivace, diferencovatelnost, diferenciál Úvodní

Více

Otázku, kterými body prochází větev implicitní funkce řeší následující věta.

Otázku, kterými body prochází větev implicitní funkce řeší následující věta. 1 Implicitní funkce Implicitní funkce nejsou funkce ve smyslu definice, že funkce bodu z definičního oboru D přiřadí právě jednu hodnotu z oboru hodnot H. Přesnější termín je funkce zadaná implicitně.

Více

Matematika I A ukázkový test 1 pro 2014/2015

Matematika I A ukázkový test 1 pro 2014/2015 Matematika I A ukázkový test 1 pro 2014/2015 1. Je dána soustava rovnic s parametrem a R x y + z = 1 x + y + 3z = 1 (2a 1)x + (a + 1)y + z = 1 a a) Napište Frobeniovu větu (existence i počet řešení). b)

Více

Faculty of Nuclear Sciences and Physical Engineering Czech Technical University in Prague

Faculty of Nuclear Sciences and Physical Engineering Czech Technical University in Prague Tomáš Faculty of Nuclear Sciences and Physical Engineering Czech Technical University in Prague 1 / 63 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 2 / 63 Aritmetický vektor Definition 1 Aritmetický vektor x je uspořádaná

Více

Univerzita Karlova v Praze procesy II. Zuzana. funkce

Univerzita Karlova v Praze   procesy II. Zuzana. funkce Náhodné 1 1 Katedra pravděpodobnosti a matematické statistiky Univerzita Karlova v Praze email: praskova@karlin.mff.cuni.cz 11.-12.3. 2010 1 Outline Lemma 1: 1. Nechť µ, ν jsou konečné míry na borelovských

Více

Necht L je lineární prostor nad R. Operaci : L L R nazýváme

Necht L je lineární prostor nad R. Operaci : L L R nazýváme Skalární součin axiomatická definice odvození velikosti vektorů a úhlu mezi vektory geometrická interpretace ortogonalita vlastnosti ortonormálních bázi [1] Definice skalárního součinu Necht L je lineární

Více

Téma 22. Ondřej Nývlt

Téma 22. Ondřej Nývlt Téma 22 Ondřej Nývlt nyvlto1@fel.cvut.cz Náhodná veličina a náhodný vektor. Distribuční funkce, hustota a pravděpodobnostní funkce náhodné veličiny. Střední hodnota a rozptyl náhodné veličiny. Sdružené

Více

Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Posloupnosti a řady funkcí. študenti MFF 15. augusta 2008

Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Posloupnosti a řady funkcí. študenti MFF 15. augusta 2008 Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Poslounosti a řady funkcí študenti MFF 15. augusta 2008 1 3 Poslounosti a řady funkcí Požadavky Sojitost za ředokladu stejnoměrné konvergence Mocninné

Více

PŘEDNÁŠKA 2 POSLOUPNOSTI

PŘEDNÁŠKA 2 POSLOUPNOSTI PŘEDNÁŠKA 2 POSLOUPNOSTI 2.1 Zobrazení 2 Definice 1. Uvažujme libovolné neprázdné množiny A, B. Zobrazení množiny A do množiny B je definováno jako množina F uspořádaných dvojic (x, y A B, kde ke každému

Více

Funkce a limita. Petr Hasil. Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF)

Funkce a limita. Petr Hasil. Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) Funkce a limita Petr Hasil Přednáška z matematiky Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipĺıny společného základu

Více