doc. RNDr. Josef Kolář, CSc. Katedra teoretické informatiky FIT České vysoké učení technické v Praze c Josef Kolar, 2011 Základy diskrétní matematiky, BI-ZDM ZS 2011/12, Lekce 5 Evropský sociální fond. Praha& EU: Investujeme do vaší budoucnosti doc. Josef Kolář (FIT ČVUT) Ekvivalence ZDM, ZS 2011/12, Lekce 5 1/ 19
Definice ekvivalence Co je to ekvivalence? Ekvivalence(neformálně) je vzájemný vztah příbuznosti mezi nějakými objekty, ovšem ne každá příbuznost je ekvivalence. Příklad 1 Jednoduché příklady příbuznosti: relace asb df osoba ajesourozencemosoby b relace abb df osoba ajebratrancemosoby b Definice 2 ( ekvivalence) Binární relaci R na množině A nazýváme ekvivalencí na A, pokud je reflexivní, symetrická a tranzitivní. Jsou relace S a B uvedené výše ekvivalencemi? doc. Josef Kolář (FIT ČVUT) Ekvivalence ZDM, ZS 2011/12, Lekce 5 2/ 19
Rozklad na množině Připomeneme si pojem rozkladu, s nímž má ekvivalence těsný vztah. Definice 3 ( rozklad na množině) Pro neprázdnou množinu A nazýváme systém A={A i : i I }neprázdnýchpodmnožinmnožiny Arozklademna množině A, pokud splňuje následující dvě podmínky: i I A i= A (podmínkapokrytí) A i A j = provšechna i,j I,i j (podmínkadisjunkce) Prvky A i tohotosystémunazývámetřídamirozkladunamnožině A. S -sudáceláčísla, L -licháceláčísla, {S,L}jerozkladmnožiny Z celých čísel B = {0,1} -množinavšechbinárníchřetězů, B ij -podmnožina binárních řetězů, které obsahují přesně i nul a j jedniček, pak {B ij : i,j N}jerozklademnamnožině B. doc. Josef Kolář (FIT ČVUT) Ekvivalence ZDM, ZS 2011/12, Lekce 5 3/ 19
Třída prvku v ekvivalenci Definice 4 (třídaprvku)nechť Rjeekvivalencenamnožině A,potomprokaždý prvek a Anazývámetřídouprvku avekvivalenci Rpodmnožinu [a] R = {x A; xra}. Věta5 Nechť Rjerelaceekvivalencenanějakémnožině A,nechť a A.Potom mají třídy prvků v ekvivalenci R následující vlastnosti: 1 prokaždé b,c [a] R platí brc, 2 prokaždé b [a] R a c Aplatí brc c [a] R, 3 prokaždé b [a] R platí[a] R =[b] R, 4 prokaždé a,b Aplatí arb [a] R =[b] R, 5 provšechna a,b Aplatí,žebuď[a] R =[b] R,nebo[a] R [b] R =. doc. Josef Kolář (FIT ČVUT) Ekvivalence ZDM, ZS 2011/12, Lekce 5 4/ 19
Důkaz: Ekvivalence 1 prokaždé b,c [a] R platí brc: b,c [a] R bra cra SY bra arc TR brc 2 prokaždé b [a] R a c Aplatí brc c [a] R : b [a] R brc bra brc SY,TR cra c [a] R 3 prokaždé b [a] R platí[a] R =[b] R : Je b [a] R,vezměmelibovolné c [b] R.Pakje crb SY,2 c [a] R. Dokázalijsmetedy[b] R [a] R. Nechťnaopak c [a] R,tj. cra.nyní b [a] R bra SY arb.je ale cra arb TR crb c [b] R.Dokázalijsme[a] R [b] R. 4 prokaždé a,b Aplatí arb [a] R =[b] R : Důsledektvrzení3: arb a [b] R 3 [a]r =[b] R. Nechťnaopak[a] R =[b] R.Pak a [a] R =[b] R,tedy a [b] R a arb přímopodledefinice[b] R. doc. Josef Kolář (FIT ČVUT) Ekvivalence ZDM, ZS 2011/12, Lekce 5 5/ 19
Rozklad definovaný ekvivalencí Věta6 Každá ekvivalence na neprázdné množině X definuje rozklad na této množině a každý rozklad na X definuje ekvivalenci. Důkaz: ekvivalence rozklad: Uvažujeme systém všechn různých tříd prvků [a] R,a X.Každátřídajeneprázdná(neboť a [a] R )azestejného důvodu a X [a] R = X(podmínkapokrytí). Podle části 5 předchozí věty jsou každé dvě různé třídy disjunktní, takže je splněna i podmínka disjunkce. rozklad ekvivalence:je-li {X i : i I} rozkladna X,pak definujeme ekvivalenci R na X takto: xry ( i I) x X i y X i Rjepakekvivalencína X,neboťmávlastnosti(RE),(SY)a(TR) (ověřit!) doc. Josef Kolář (FIT ČVUT) Ekvivalence ZDM, ZS 2011/12, Lekce 5 6/ 19
Faktorová množina Podle předchozí věty tedy: je-li Rekvivalencena X,pak systémtříd {[a] R ;a X}tvořírozkladna X. Nové pojmy a značení: 1 Tentosystémtřídseoznačujejako X/Ranazývásefaktorovou množinou množiny X podle ekvivalence R. 2 Zobrazení f: a [a] R nazývámepřirozenýmzobrazenímmnožiny X na faktorovou množinu X/R. 3 Pokudnehrozínedorozumění,značímesymbolem atřídu[a] R (určenou ovšem svým libovolným prvkem). doc. Josef Kolář (FIT ČVUT) Ekvivalence ZDM, ZS 2011/12, Lekce 5 7/ 19
Kongruence (mod p) Příklad 7 NamnožiněcelýchčíselZzavedemerelaci (mod p)prozvolené (nenulové) přirozené číslo p vztahem a b(mod p) df a b jedělitelné p. Tato relace je ekvivalencí(ověřit!) na Z a nazýváme ji kongruencí modulo p(nebotéžpodlemodulu p).jakáceláčíslajsouspolu kongruentní modulo p? Faktorovoumnožinu Z/ (mod p)tvoří ptříd Z p = {0,1,...,p 1} - tzv. úplná soustava zbytkových tříd modulo p. doc. Josef Kolář (FIT ČVUT) Ekvivalence ZDM, ZS 2011/12, Lekce 5 8/ 19
Vlastnosti ekvivalencí Věta8 Nechť R,S jsouekvivalencenamnožině X.Potomplatí: 1 R Sjeekvivalencena X 2 R Sjeekvivalencena X (R S) (S R) R S. Důkaz: R S: R S: (RE): X R X S X (R S) (SY): R=R 1 S= S 1 R S= R 1 S 1 =(R S) 1 (TR): R R R S S S (R S) (R S) (R R) (R S) (S R) (S S) (R R) (S S) (RE) a(sy) pro sjednocení ekvivalencí jsou zaručené (TR): R R R S S S (R S) (R S) = (R R) (R S) (S R) (S S) R S (R S) (S R) R S. doc. Josef Kolář (FIT ČVUT) Ekvivalence ZDM, ZS 2011/12, Lekce 5 9/ 19
Jak udělat ekvivalenci Jak pro zadanou relaci R získáme co nejmenší ekvivalenci S, která tuto relaci obsahuje? reflexivnostzajistímepomocí S = R X symetriizajistímesymetrizací,tj.pomocí S = R R 1 tranzitivnostzajistímepomocítranzitivníhouzávěru S = R + V jakém pořadí budeme tyto úpravy provádět? S=( R), kde R=R R 1 jesymetrizacerelace R Lze zadanou ekvivalenci R plně charakterizovat pomocí nějaké její minimální podmnožiny S R? Relace Sbymohlabýtasymetrická(atedyireflexivní)ataké bez tranzitivity - všechny tyto vlastnosti už umíme doplnit. doc. Josef Kolář (FIT ČVUT) Ekvivalence ZDM, ZS 2011/12, Lekce 5 10/ 19
Ekvivalence určená zobrazením Věta9 Nechť R je ekvivalence na množině X. Potom existuje zobrazení f: X Xtakové,žeplatí R=f f 1 Důkaz:(návod) Nechť X/R={X i ;i I}jerozkladmnožinyXpodleekvivalenceR. Vkaždétřídě X i zvolímejedenprvek x i jakožtoreprezentantatřídy X i.zobrazení fbudepřiřazovatkaždémuprvku x Xreprezentanta x i třídy X i =[x] R. Reprezentace ekvivalence pomocí tohoto zobrazení není ovšem minimální(proč?). Poznámka: Za zobrazení f jsme mohli vzít i přirozené zobrazení f: X P(X), f(a)=[a] R. doc. Josef Kolář (FIT ČVUT) Ekvivalence ZDM, ZS 2011/12, Lekce 5 11/ 19