ČESÉ VYSOÉ UČENÍ TECHNICÉ V PRAZE FAULTA ELETROTECHNICÁ ATEDRA ŘÍDÍCÍ TECHNIY BAALÁŘSÁ PRÁCE Optmální natavení PID regulátorů Praha 2008 Aam Chalupa
Prohlášení Prohlašuj, že jem vou bakalářkou prác vypracoval amotatně a použl jem pouze poklay (lteraturu, projekty, SW at.) uveené v přloženém eznamu. V Praze ne 2. června 2008. pop
Poěkování Tímto ěkuj veoucímu bakalářké práce Ing. Petru Huškov, Ph.D. za jeho pomoc a za ča, který m věnoval př zpracování práce.
Abtrakt Cílem bakalářké práce je navrhnout oubor funkcí, které by mohly být použty k optmálnímu natavení PID regulátoru. Proceury jou napány v programu Matlab a optmalzovány pomocí vntřních funkcí tohoto programu. Regulátory navržené tímto způobem jou náleně porovnávány regulátory, které jou navržené klackým frekvenčním metoam. Regulátory jou aplkovány na ytémy různých řáů, na kterých je pouzována kvalta jejch regulace.
Abtract Objectve of th bachelor the to propoe a et of proceure that can be utlze for PID controller optmum etup. Proceure are wrtten ung the Matlab computer program an optmze by nternal Matlab functon. Controller egne n th way are compare wth controller egne ung common frequency metho. Controller are apple wth ytem of fferent ynamc n orer to evaluate the qualty of ther control functonalty.
Obah APITOLA.... ÚVOD... APITOLA 2... 2 2. PID REGULÁTORY... 2 2.2 NASTAVENÍ PID REGULÁTORU... 4 2.3 FREVENČNÍ METODY NÁVRHU PID REGULÁTORŮ... 5 2.4 NÁVRH REGULÁTORU PRO ZVOLENOU FÁZOVOU BEZPEČNOST... 6 APITOLA 3... 0 3. OPTIMÁLNÍ NASTAVENÍ PID REGULÁTORU... 0 3.. Ampltuová bezpečnot... 3..2 Fázová bezpečnot... 2 3..3 Přechoová frekvence... 2 3..4 Utálená ochylka na vtupní gnál rampa... 2 3..5 Optmalzace... 3 3.2 REALIZACE V MATLABU... 4 3.2. fmncon( )... 4 3.2.2 fmnmax( )... 4 3.2.3 f( )... 5 3.2.4 f2( )... 5 3.2.5 man( )... 6 APITOLA 4... 8 4. POROVNÁNÍ REGULÁTORŮ... 8 4.. Sytém. řáu... 8 4..2 Sytém 2. řáu... 9 4..3 Sytém 3. řáu... 9 4..4 Sytémy vyšších řáů... 23 APITOLA 5... 27 ZÁVĚR... 27 LITERATURA... 29
aptola. Úvo PID regulátor je běžný nátroj používaný v aplkacích průmylového řízení. Může být použt k regulac rychlot, teploty, toku, tlaku a mnoha alších proceních proměnných. PID regulátory jou nejběžnější formou zpětné vazby. V oučanot e PID regulace využívá ve více než 95% přípaech proceního řízení a to ve všech ovětvích, ke je řízení používáno. Své využtí našly jako zařízení čtě mechancké, pneumatcké a amozřejmě elektroncké. V poleních letech e používají přeevším čílcové PID regulátory využívající mkroproceorů. Čato jou kombnovány logckým obvoy, ekvenčním funkcem, volč a jenouchým funkčním bloky k vytvoření ložtých automatzačních ytémů používaných v energetce, opravě č průmylové výrobě. Bakalářká práce e zaobírá optmálním natavením PID regulátoru. Inprací k jejímu zrealzování byly články [2][3]. Svou bakalářkou prác jem rozěll o pět kaptol. První kaptola obahuje tručný úvo o problematky PID regulátorů a rozvržení celé práce. Druhá čát práce rozebírá PID regulátor více oporobna a rozebírá jeho nataven a tanarní metoy návrhu. Třetí kaptola je útření čát mé práce. Zaměřl jem e v ní na optmální natavení PID regulátoru, zejména na funkce potřebné k optmalzac a nálenou mplementac v Matlabu. Ve čtvrté kaptole porovnávám vlatnot regulátorů natavených optmalzac regulátory navrženým klackým frekvenčním metoam. V závěrečné, páté kaptole e zabývám zhonocením práce.
aptola 2 2. PID regulátory r(t) e(t) u(t) g(t) y(t) Vtupní gnál Ochylka Ochylka Výtup Obr. 2. Schéma zapojení PID regulátoru ve zpětné vazbě PID regulátory e naží korgovat ochylku mez aktuálním tavem řízeného proceu a žáaným utáleným tavem. PID je zkratka pro 3 hlavní ložky regulátoru P-proporconální, I-ntegrační a D-ervační. Regulační algortmu (Obr. 2.) můžeme popat vztahem (2.), ke p je zeílení proporconální ložky, je zeílení ntegrační ložky, je zeílení ervační ložky a e(t) je regulační ochylka. t e( t) u( t) = p. e( t) e( τ ) τ. (2.) t 0 Poku tento výraz převeeme o Laplaceovy tranformace a ochylku e(t) převeeme na pravou tranu rovnce, otaneme přeno pro PID regulátor ve tvaru (2.2), který ále používám jako obecný tvar ve vé bakalářké prác. U ( ) C( ) = = p.. (2.2) E( ) 2
Zapojení na Obr. 2., které používám ve vé bakalářké prác, však není jeným možným zapojením PID. Extuje např. zapojení přeazenou proporconální ložkou (vz Obr.2.2) a mnoho alších. I e(t) P Σ y R (t) D Obr. 2.2 Schéma zapojení PID regulátoru přeazenou P ložkou. Nyní bych e blíže poíval, jaký vlv mají jenotlvé ložky PID na ytém. P Proporconální ložka je přímo úměrná regulační ochylce e(t). Vyoké proporconální zeílení nám zaručí velkou změnu na výtupu př změně ochylky. Přílš velká proporconální ložka však může způobt netabltu ytému. I Integrační ložka není závlá pouze na velkot ochylky, ale také na obě jejího trvání. Přítomnot ntegrační ložky způobuje nulovou utálenou regulační ochylku. Se zvětšováním ntegrační ložky rote rzko vznku oclací. V ouvlot ntegrační ložkou by bylo obré zmínt tzv. wnup. wnupu ochází ve chvíl, ky říící gnál už nerote, aturuje, ale výtup ntegrační ložky e naále zvyšuje. yž e pak změní znaménko regulační ochylky, začne opět kleat, ale trvá louho, než e otane po úroveň aturace. Důlekem je velký překmt a špatná přechoová charaktertka. D Dervační ložka ovlvňuje rychlot změny na výtupu regulátoru. Tento efekt je významný v blízkot žáané honoty, jelkož íky němu můžeme zmenšt překmt. Nevýhoou je, že ervací gnálu zelujeme šum, což může vét až k netabltě ytému. Tomuto efektu můžeme zabránt frekvenčním omezením, které nám níží zeílení na vyokých frekvencích. Např. přáním fltru typu olní proput. 3
Celý zpětnovazební ytém můžeme popat rovncí: [ R() - Y() ] Y() = G().U() = G().C().E() = G().C(). (2.3) ke Y() je Laplaceův obraz výtupu, R() Laplaceův obraz vtupního gnálu, G() je přeno regulované outavy a C() je přeno regulátoru. ytém: Jenouchou úpravou pak otáváme známý přeno pro zpětnovazební Y() G().C() = (2.4) R() G().C() 2.2 Natavení PID regulátoru V této pokaptole bych rá zmínl a tručně popal nejpoužívanější metoy k natavení PID regulátoru. První metoou je Zegler-Ncholovo pravlo (942). Toto a jemu poobná pravla nám pomohou pomocí jenouchých formulí natavt náš PID regulátor. Říká nám, že máme zvyšovat zeílení proporconální ložky až o chvíle, ky oáhneme tzv. krtckého zeílení c, př kterém výtup ytému začne oclovat. Poté je toto krtcké zeílení polečně peroou kmtání P c použto k opočítání kontant regulátoru pomocí formulí (2.5) (použl jem z [0]). p p. Pc p = 0,6. c, = 2., = (2.5) P 8 c Čato nám PID regulátor natavený těmto metoam nepokytuje v uzavřené myčce upokojující oezvu a výtup kmtá. Druhou z možnotí, jak natavt regulátor, je tzv. metoa pokuů a omylů (v anglčtně tral-an-error). Funguje tak, že zobrazíme přechoovou charaktertku uzavřené myčky a po letmém pohleu na charaktertku laíme regulátor tylem: poku je to pomalé, zvýším proporconální zeílení, poku mám nenulovou ochylku v utáleném tavu, zvenu honotu ntegrační ložky, 4
poku m výlený ytém moc kmtá, zvýším ervační ložku. Výhoou této metoy je, že k ní nepotřebujeme žánou matematku a že okamžtě víme, co změna kontant ělá přechoovou charaktertkou. 2.3 Frekvenční metoy návrhu PID regulátorů Ačkolv pro metoy typu Zegler-Nchol atp. extují jenouchá pravla využívající měření z jenoho až vou boů frekvenční charaktertky, kvalta jejch regulace nemuí plňovat naše požaavky. Frekvenčním metoam návrhu e pokoušíme upravt frekvenční charaktertku ytému v otevřené myčce, tak abychom oáhl požaovaného tvaru frekvenční charaktertky v uzavřené myčce. Pomínkou pro úpěch těchto návrhů je, že řízený ytém muí být tablní. Ve frekvenční oblat jou užívány vě velčny, kterým můžeme měřt mez tablty ytému. První je ampltuová bezpečnot (GM gan margn), která říká, kolkrát e ještě může zvětšt zeílení v otevřené myčce než e zpětnovazební ytém otane na mez tablty. Tou ruhou je fázová bezpečnot (PM phae margn), která uává, o jak velkou fáz můžeme zpozt vtupní gnál než ytém oáhne -80 př jenotkovém zeílení a zpětnovazební ytém e tak otane na hranc tablty. (vz Obr. 2.2). Má-l být ytém tablní, muí být fázová bezpečnot klaná. Mmo zajštění tablty by měl náš ytém také vyhovovat požaavkům z hleka rychlot oezvy. Určujícím parametrem bývá v tomto přípaě šířka proputného páma ( BW ), což je frekvence, na níž poklene zeílení o 3B oprot zeílení na nízkých frekvencích. Šrší proputné pámo znamená kratší obu náběhu, ale na ruhou tranu ctlvot ytému na vyokofrekvenční rušení. Měřítkem kvalty regulace je také velkot regulační ochylky v utáleném tavu. 5
GM PM GM PM Obr. 2.3 - Fázová a ampltuová bezpečnot 2.4 Návrh regulátoru pro zvolenou fázovou bezpečnot Fázová bezpečnot e př návrhu frekvenčním metoam užívá nejčatěj, protože neurčtot způobená nelneartam a zpožěním píše ovlvňuje fáz než ampltuu. Máme přeno řízeného ytému P(), přeno regulátoru C(), přeno otevřené myčky L() = C().P() a přeno uzavřené myčky, mez nímž a přenoem otevřené myčky je jenoznačný vztah (2.6). L( ) T ( ) = (2.6) L( ) 6
Přeno C() můžeme vyjářt vztahem (2.7) (použl jem z článku [4]). C( ) =.( p. = 2 [ ( ). ] ).( ) =.. 2 p. = (2.7) Obr. 2.4 Uzavřená myčka Z toho plynou vztahy mez zlomovým frekvencem a zeílením jenotlvých ložek regulátoru (2.8). p =, = (2.8). Parametr volíme honý e zatím neznámou frekvencí PM, na které bueme oečítat fázovou bezpečnot výleného přenou otevřené myčky. Volíme = PM. Na této frekvenc zvýší ervační ložka fáz ytému o 45. Frekvenc volíme takovou, aby e vlv ntegrační korekce na frekvenc téměř neprojevl, typcky = 0,.. Na frekvenc by regulátor v přípaě abence ntegrační ložky zvýšl fáz ytému o 45. Jak je patrné z frekvenční charaktertky PID regulátoru (Obr. 2.4) ntegrační ložka pro = 0. způobí úbytek nárůtu o 5,7, a proto e fáze ytému zvýší jen o 39,3. Vz vztah (2.9), ke arg(l(j )) je fáze otevřené myčky na frekvenc, arg(p(j )) je fáze řízeného ytému na frekvenc a arg(c(j )) je fáze regulátoru na frekvenc. arg ( L( j )) = arg( P( j )) arg( C( j )) = arg( P( j )) 39, 3 (2.9) D D D D 7
= = Obr. 2.5 Frekvenční charaktertka PID regulátoru Z Obr 2.2 je patrné, že fázová bezpečnot PM je efnována výrazem (2.0). ( L( j )) 80 PM = arg D (2.0) Tuíž kombnací vztahů (2.9) a (2.0) zíkáme (2.) arg ( P( j )) = 80 PM 39, 3 (2.) D Neznámou frekvenc tey najeme na frekvenční charaktertce řízeného ytému P() v mítě, ke jeho fáze prochází (PM 29,3 ), ke PM je nám požaovaná fázová bezpečnot. Dále víme, že na frekvenc, ke měříme fázovou bezpečnot, by mělo být zeílení ytému v otevřené myčce jenotkové. Z tohoto přepoklau a přepoklau, že = 0,. můžeme ovot výpočet kontanty. (2.2 a 2.3) 8
9 ) ( 2. 2,0... ) ( ) ).( 0,..( ) ( ) ).(.( ) ( ) ( ). ( ) ( = = = = = = = = = D D D D D D D j P j P j j j j P j j j j P j C j P j L (2.2) Po zaokrouhlení,0 otaneme ze vztahu (2.2) vztah (2.3) ) ( 2. D j P = (2.3) Poté př využtí vztahu (2.8) otaneme vztahy pro otatní kontanty regulátoru. 2. 0,.,.,. p = = (2.4)
aptola 3 3. Optmální natavení PID regulátoru V této kaptole e buu věnovat optmálnímu natavení PID regulátoru. Je to těžejní čát mé práce. Inprací m byly články [2][3]. Návrh optmálně nataveného PID regulátoru je realzován ve frekvenční oblat. Můj návrh optmálně nataveného regulátoru nepracuje pouze fázovou bezpečnotí (přípaně jným, ale vžy jen jením parametrem) jako v přípaě frekvenčních meto, ale zohleňuje najenou fázovou (PM) a ampltuovou bezpečnot (GM), přechoovou frekvenc c, a velkot utálené ochylky na vtupní gnál rampa 2 (e ramp ). Ze jem e ochýll o půvoní myšlenky autorů článků [2][3], neboť on ve vých návrzích použl utálenou regulační ochylku oezvy na jenotkový kok (teay-tate error). Jelkož nám ale kažý PID regulátor, jehož ntegrační ložka je nenulová, zajtí, že je tato ochylka nulová, zvoll jem ochylku o rampy. Nyní je potřeba tanovt funkce, o kterých bue Matlab př optmalzac oazovat parametry PID. Celkem buou 4 (pro ampltuovou bezpečnot, fázovou bezpečnot, přechoovou frekvenc a utálenou ochylku na rampu). Tyto funkce by v eálním přípaě měly být rovné nule (GM=, PM=80, c=, e ramp =0). Př kažém návrhu volíme přeno řízeného ytému G() (potažmo G(j) pro Boeho tvar přenou), požaované honoty ampltuové bezpečnot GM ŽÁD, fázové bezpečnot PM ŽÁD, přechoové frekvence c_žád a utálené ochylky na rampu e ramp_žád. Přeno regulátoru je tvořen le vztahu (3.) z kontant PID, které př optmalzac oazuje Matlab. ( j) = p. j (3.) j Přechoová frekvence je frekvence, ky ampltuová charaktertka prochází 0B =, její velkot ovlvňuje obu náběhu (re-tme). 2 Rampa je gnál, který můžeme popat funkcí f(t) = t 0
GM ŽÁD φ ( p,, ) =, ( jgm ). G( jgm ) = 80 (3.2) ( jgm ). G( jgm ) ( j PM ). G( jpm ) φ 2 ( p,, ) =, ( jpm ). G( j PM ) = (3.3) 80 PM ŽÁD c _ ŽÁD φ 3 ( p,, ) =, ( j PM ). G( j PM ) = (3.4) PM φ 4 ( p,, ) = (3.5) e.lm. ( ). G( ) ramp _ ŽÁD 3.. Ampltuová bezpečnot Pro výpočet ampltuové bezpečnot je určena funkce Φ (3.2). Pomínka funkce nám říká, že frekvenc GM, e kterou počítáme, oečítáme na frekvenční charaktertce tam, ke fázová charaktertka prochází -80. Mez ampltuovou bezpečnotí a zeílením otevřené myčky na této frekvenc GM je vztah (3.6). GM = ( j ). G( j ) (3.6) GM GM Proto je vlatně funkce Φ (3.2) poílem žáané ampltuové bezpečnot a ampltuové bezpečnot otevřené myčky pro aný přeno řízeného ytému a aný regulátor.
3..2 Fázová bezpečnot Fázovou bezpečnot zohleňuje funkce Φ 2 (3.3). Pomínka této funkce nám říká, že frekvenc PM oečteme na frekvenční charaktertce, v mítě, ke ampltuová charaktertka prochází (0B).V této funkc není počítána přímo ampltuová charaktertka, nýbrž fáze otevřené myčky. Vztah (3.7) nám uváí ouvlot mez fázovou bezpečnotí a fází otevřené myčky př frekvenc PM. ( j ). G( j ) = 80 PM (3.7) PM PM Fáze otevřené myčky nabývá honot z ntervalu (-360,0>. Tuíž pro co největší fázovou bezpečnot potřebujeme, aby fáze j ). G( j ) byla co ( PM PM nejblíže nule. Výraz v čtatel funkce (3.3) je přepočítaná požaovaná fázová bezpečnot na fáz, jakou by měl ytém anou PM. 3..3 Přechoová frekvence Požaavek zajtt co největší přechoovou frekvenc c plní funkce Φ 3 (3.4). Přechoová frekvence c je efnovaná jako frekvence, př které je zeílení otevřené myčky jenotkové ( ( j). G( j) = ). Jak je vět, je to tejná frekvence jako ta, na které e měří fázová bezpečnot, a proto jem tuto frekvenc označl GM, tejně jako ve (3.3). 3..4 Utálená ochylka na vtupní gnál rampa výpočtu utálené ochylky na rampu e používá vztah (3.8). e ramp = (3.8) lm. ( ). G( ) 0 O mnmalzac této ochylky e tará funkce Φ 4 (3.5). Za přepoklau, že je přeno řízeného ytému ve tvaru (3.9) a přeno regulátoru ve tvaru (2.2), můžeme pro jenoušší výpočet ochylky na rampu ovot vztah (3.0). 2
3 0 0...... ) ( a a a a b b b b G m m m m n n n n = (3.9) 0 0 0 0 0 0 2 0 0 0 0........ )... lm(...... )...( lm b a a b a a a a b b b b a a a a b b b b e m m m m n n n n p m m m m n n n n ú ramp = = = = = (3.0) Díky tomu mohu funkc (3.5) vyjářt jenoušším vztahem (3.). 0 _ 0 4.. ),, ( b e a ŽÁD ramp p = φ (3.) 3..5 Optmalzace Nyní máme efnovány 4 funkce, které jou v eálním přípaě rovny 0, a poku e vypočítaná honota parametru houje honotou žáaného parametru, jou rovny. Naším cílem bue mnmalzovat tyto funkce. Toho ocílíme některou z optmalzačních funkcí v Matlabu. Tato optmalzační funkce bue pole určtého algortmu vybírat kontanty PID a oazovat je o optmalzované funkce Φ (ve tvaru 3.2 nebo 3.3). Výlekem optmalzace by měly být ony 3 kontanty PID, pro které má optmalzovaná funkce Φ nejmenší honotu. Nabízejí e nám 2 možnot. Buď můžeme mnmalzovat tyto 4 funkce jako celek, což znamená že výlená funkce, která e bue optmalzovat, bue váženým oučtem funkcí (3.2-3.5) a bue ána vztahem (3.2) ke w až w 4 jou váhové koefcenty pro kažou z funkcí Φ až Φ 4. 4 4 3 3 2 2.... ),, ( φ φ φ φ φ w w w w p = (3.2)
Vah je ze použto z toho ůvou, abychom př optmalzac mohl janě určt, na které z parametrů bue třeba př optmalzace klát ůraz. Druhou možnotí optmalzace je, že bueme mnmalzovat kažou z funkcí (3.2-3.5) zvlášť. Tuíž výtupem výlené funkce bue vektor (3.3). φ( p,, ) = [ w. φ, w2. φ2, w3. φ3, w4. φ4 ] (3.3) 3.2 Realzace v Matlabu V Matlabu je pro optmalzac využto optmalzačních funkcí z optmalzačního toolboxu. Optmalzační toolbox nám nabízí 2 optmalzační funkce, které e zají být využtelné: fmncon() a fmnmax(). 3.2. fmncon( ) Tato funkce e naží najít vázané mnmum kalární funkce několka proměnných a vychází z počátečního ohau. Obecně je funkce fmncon() nazývána vázanou nelneární optmalzací. Honota vrácená optmalzovanou funkcí pak vypaá le vztahu (3.). Optmalzuje e tey pouze jené čílo, ané váženým oučtem výtupu všech funkcí. Nevýhoou této metoy může být, že e velm obře mnmalzují tř funkce, ale je toho oaženo na úkor čtvrté. 3.2.2 fmnmax( ) Tato funkce e aplkuje na outavu funkcí více proměnných a mnmalzuje honotu nejhoršího přípau z těchto funkcí. Stejně jako fmncon() začíná v počátečním ohau oaném užvatelem. Této funkc e obvykle říká mnmax problém. Optmalzovaná funkce pro fmnmax() vrací vektor Vázané mnmum muí vyhovovat oatečné pomínce zaané rovncí g(x,y,z) = 0, 4
le vztahu (3.2). Funkce fmnmax() pak z tohoto vektoru vybírá vžy tu největší ložku, kterou e pokouší mnmalzovat. 3.2.3 f( ) Optmalzovanou funkc jem nazval ve vém programu f(). Tato funkce otává jako parametr vektor třem kontantam ( p,, ). Z těchto kontant vytvoří přeno regulátoru pole rovnce (2.2). V kóu funkce e zaává přeno řízeného ytému, který je ve tvaru (3.9). Tento přeno e zaává pomocí vektoru pro čtatele ve tvaru (b n, b n-,..., b, b 0 ) a vektoru pro jmenovatele ve tvaru (a m, a m-,..., a, a 0 ). Dále e zaávají požaované parametry GM ŽÁD, PM ŽÁD, c_žád a e ramp_žád a jenotlvé váhové koefcenty pro kažý z parametrů. Náleně e pomocí vntřní funkce Matlabu margn() vypočítají honoty frekvencí GM a PM pro otevřenou myčku. Tyto frekvence jou náleně oazeny o funkcí (3.2)-(3.5). Pro výpočet ampltuy otevřené myčky je v mém programu použta funkce ab() a pro výpočet fáze funkce angle(). Funkce angle vrací honotu fáze (argumentu komplexního číla) v raánech, a proto bylo potřeba tuto honotu převét na tupně. Funkce (3.4) je v mém programu jenouše realzována jako poíl žáané c_žád a PM, vypočtené funkcí margn(). Funkce zohleňující utálenou ochylku na rampu je v programu počítána le (3.). 3.2.4 f2( ) Funkc f2() jem vytvořl jako rozšíření funkce f(). Na rozíl o ní pracuje parametry uzavřené myčky a je vylepšená o pátý parametr, kterým je šířka proputného páma. Funkce zaané vztahy (3.2)-(3.5) jem zjenoušl a rozšířl o funkc Φ 5 vz vztahy (3.4)-(3.8). Míto utálené ochylky na vtupní gnál rampa je ve f2() počítáno utálenou regulační ochylkou (na jenotkový kok). Vztah (3.7) vychází z přenou uzavřené myčky ve tvaru 5
(3.9), ke poíl b 0 /a 0 je zeílení uzavřené myčky (mělo by být rovné pro nulovou utálenou regulační ochylku). GM ŽÁD φ ( p,, ) = (3.4) GM CL PM ŽÁD φ 2 ( p,, ) = (3.5) PM CL c _ ŽÁD φ 3 ( p,, ) = (3.6) PM _ CL b 0 φ 4( p,, ) = (3.7) a0 BW _ ŽÁD φ 5 ( p,, ) = (3.8) BW _ CL ó funkce je poobný funkc f() rozílem, že žáaným parametry jou GM ŽÁD, PM ŽÁD, BW_ŽÁD a c _ŽÁD pro uzavřenou myčku. Pátým parametrem je utálená regulační ochylka na vtupní gnál tvaru jenotkového koku. Tuto ochylku e nažíme mnmalzovat. Funkce f2() používá poobně jako v přechozím přípaě funkc margn() ke zjštění ampltuové bezpečnot v uzavřené myčce GM CL, fázové bezpečnot v uzavřené myčce PM CL a přechoové frekvence v uzavřené myčce PM_CL. Šířka proputného páma BW_CL v uzavřené myčce je počítána funkcí Matlabu banwth(). U Φ 2 je ošetřena tuace, ky je PM CL záporné a tuíž uzavřená myčka je netablní. V takovém přípaě je Φ 2 rovno velkému klanému čílu. 3.2.5 man( ) Funkc man() jem vytvořl pro pouštění optmalzace. Natavují e ze ntervaly, ve kterých e př optmalzac buou hleat jenotlvé kontanty PID, 6
počáteční honoty, ze kterých optmalzace vychází a také je ze možné měnt různé parametry optmalzace (počet terací atp.). Volba počátečních honot je velm ůležtá a ve značné míře ovlvňuje výleek optmalzace. Výběr optmalzace pomocí fmncon() č fmnmax() řeším okomentováním přílušného řáku v kóu mého programu. Dále je tejným způobem nutné ve funkc f() (potažmo f2()) vybrat, za-l výtup funkce bue kalár č vektor. 7
aptola 4 4. Porovnání regulátorů 4.. Sytém. řáu Pro ytém prvního řáu není algortmu pro vyhleávání optmálních parametrů an návrh regulátoru frekvenčním metoam moc vhoný. Jak je vět z obrázku 4., ampltuová bezpečnot je u ytémů prvního řáu vžy nekonečno, neboť fáze nky neoáhne -80. Fázová bezpečnot není nky menší než 90 (z fázové charaktertky), tuíž ytém je v uzavřené myčce vžy tablní. Jelkož e jená pouze o mulac, ke není omezený vtupní gnál ytému, nejlepší přechoové charaktertky bych oáhl nekonečným proporconálním zeílením v uzavřené myčce. Obr. 4. Frekvenční charaktertka ytému. řáu 8
4..2 Sytém 2. řáu I ytém ruhého řáu má ampltuovou bezpečnot rovnou nekonečno. Fáze oahuje -80 až př nekonečné frekvenc (vz. Obr 4.2). Fázová bezpečnot je vžy větší než 0, tuíž je ytém v uzavřené myčce je také vžy tablní. An ytém ruhého řáu e pro optmalzac nebo návrh regulátoru frekvenčním metoam přílš nehoí. Obr. 4.2 Frekvenční charaktertka ytému 2. řáu 4..3 Sytém 3. řáu Z frekvenční charaktertky ytému třetího řáu (Obr. 4.3) už můžeme jenoznačně určt ampltuovou a fázovou bezpečnot, a proto e pro návrh PID regulátoru frekvenčním metoam a nálenou optmalzac hoí. Jako první k pokuu jem zvoll ytém vyjářený přenoem (4.). 50 G ( ) = (4.) ( 0) ( 4) ( ) 9
Obr. 4.3 Frekvenční charaktertka ytému 3. řáu přenoem G () Nejříve jem navrhl PID regulátor frekvenční metoou pro PM=39,3. Dle vztahu (2.) př této fázové bezpečnot oečítám z frekvenční charaktertky frekvenc, ky je fáze rovna 80. Tuto frekvenc jem určl jako D = 7,4 (vz Obr. 4.3), a ále jem ze vztahů (2.3), (2.4) určl kontanty PID regulátoru (4.2). 8,2 freq ( ) = 2,2, 50 (4.2) Nyní přšla řaa na optmalzace. V kóu jem o funkce f2() zaal žáané honoty PM ŽÁD =50, GM ŽÁD =25B, c_žád = 0, BW_ŽÁD = 2. Tyto honoty nejou až tak moc ůležté, jou to jen jaké koefcenty, kterým jou optmalzované funkce (3.2)-(3.5) vynáobeny, nebo vyěleny (pole toho, jetl chceme počítaný parametr maxmalzovat, nebo mnmalzovat). Váhové koefcenty jem natavl ve propěch PM a GM. 20
Obr. 4.4 Přechoová charaktertka ytému přenoem G () řízeným optmálně nataveným regulátorem Pro optmalzac je nejůležtější volba počátečního tavu. Zvoll jem honoty regulátoru navrženého frekvenčním metoam. Po optmalzac funkcí fmnmax() jem obržel nové kontanty PID regulátoru (4.3). 7,79 optm ( ) = 7,46 2,87 (4.3) Jak vypaaly výlené přechoové charaktertky je vět na Obr. 4.4. Z přechoové charaktertky můžeme vět, že optmalzovaný ytém má nžší překmt a kratší obu utálení (ettlng-tme). Z Tab. 4. je zřejmé, že jme optmalzací zvýšl fázovou bezpečnot a šířku proputného páma, což má klaný vlv na rychlot oezvy ytému. Ča, za který e výtup přblíží na 2% k utálené honotě. 2
(cloe-loop) frekvenční metoa optmálně natavený PID GM PM 62,8 68,5 BW 0,2 4, c,9,46 Překmt 30% 7% Doba utálení 0,7 Tab. 4. Srovnání regulátoru navrženého frekvenční metoou a optmalzovaného pro ytém G Pro ruhý ytém, na kterém buu porovnávat kvaltu regulace, jem zvoll přeno (4.4). 450( 2) G 2 ( ) = (4.4) ( )( 6)( 8)( ) Pro zvolenou fázovou bezpečnot PM=39,3 jem frekvenčním metoam navrhl regulátor (4.5). Dle vztahu (2.) př této fázové bezpečnot oečítám z frekvenční charaktertky frekvenc, ky je fáze rovna 80. 8,50 freq ( ) = 6,93 0, 467 (4.5) Jeho kontanty jem opět použl jako počáteční tav optmalzace. Jako žáané honoty pro uzavřenou myčku jem natavl PM=70, GM=50B, c = 0,5 a BW = 20. Optmalzací jem zíkal regulátor přenoem (4.6). 8,32 optm ( ) = 4,2 0,795 (4.6) Porovnání jenotlvých parametrů uzavřené myčky pro oba regulátory můžeme vět v Tab. 4.2. Porovnat jejch přechoové charaktertky můžeme na Obr. 4.4. Optmalzací jme oáhl menšího překmtu, ale oba utálení e nám okonce proloužla. 22
(cloe-loop) frekvenční metoa optmálně natavený PID GM PM 57,2 58 BW 8,6 7,2 c 2,2 3,9 Překmt 26% 7% Doba utálení 0,54 0,35 Tab. 4.2 Srovnání regulátoru navrženého frekvenční metoou a optmalzovaného pro ytém G 2 Obr. 4.5 Přechoová charaktertka ytému G 2 () řízeným optmálně nataveným regulátorem 4..4 Sytémy vyšších řáů řízení jem zvoll ytém přenoem (4.7). 33750 G ( ) = (4.7) ( 7) ( ) ( 8) ( 6) ( 3) ( ) Frekvenčním metoam jem mu navrhl regulátor pro PM = 69,3 přenoem (4.8). 23
0,874 ( ) =,93 0, 854 (4.8) Pro optmalzac jem opět zvoll funkc f2() a žáané honoty GM=0, PM=60, c = 3 a BW = 4. Váhové koefcenty jem zvoll nejvyšší pro PM, polovční pro GM a čtvrtnové pro zbylé parametry. Optmalzací jem zíkal regulátor o přenou (4.9).,227 ( ) =,5576 0,4728 (4.9) (cloe-loop) frekvenční metoa optmálně natavený PID GM 8,92B,67B PM 66,2 07,5 BW 3,3,6 c 4,29 2,8 Překmt 2% 9% Doba utálení 5,2 2,6 Tab. 4.3 Srovnání regulátoru navrženého frekvenční metoou a optmalzovaného pro ytém přenoem le vztahu (4.7) Na Obr. 4.5 víme, že regulátor navržený optmalzací má ce vyšší překmt, ale méně ocluje a rychlej e utálí. Z Tab 4.3 můžeme zjtt, že jme zlepšl fázovou ampltuovou bezpečnot na úkor šířky proputného páma a přechoové frekvence. 24
Obr. 4.6 Přechoová charaktertka ytému přenoem le vztahu (4.7) řízeným optmálně nataveným regulátorem Polení ytém, který chc využít na porovnání, je zaán přenoem (4.0) 6 ( 0) ( 4) G() = (4.0) 2 ( ) ( 6) ( 3) ( 2) ( ) lackým frekvenčním metoam jem určl kontanty PID pro fázovou bezpečnot PM=39,7. Regulátor těmto kontantam má přeno aný vztahem (4.) 0,44 ( ) = 2,70, 45 (4.) Optmalzace má opět počáteční honoty rovny kontantám PID ze vztahu (4.), žáané honoty: GM=, PM=3, c = 2,5 a BW = 3, váhové koefcenty w=7 pro GM, w2=7; pro PM, w3=5 pro c, w4=3 pro utálenou regulační ochylku a w5= pro šířku proputného páma. Optmalzací jem zíkal regulátor přenoem (4.2) 25
0,97 ( ) =,8, 52 (4.2) Porovnání regulátoru navrženého frekvenčním metoam a optmalzovaného regulátoru najeme v Tab. 4.4 a na Obr. 4.7. Jak víme, větší váhy na GM a PM způobly zvětšení těchto parametrů na úkor otatních. Výlená přechoová charaktertka regulátoru navrženého optmalzací má menší překmt a výrazně rychlej e utálí na žáané honotě. (cloe-loop) frekvenční metoa optmálně natavený PID GM 0,47B 3,83B PM 30,8 78,9 BW 2,49,96 c 2,78 2,53 Překmt 2% 9% Doba utálení 2,7 5,6 Tab. 4.4 Srovnání regulátoru navrženého frekvenční metoou a optmalzovaného pro ytém přenoem le vztahu (4.0) Obr. 4.7 Přechoová charaktertka ytému přenoem le vztahu (4.0) řízeným optmálně nataveným regulátorem 26
aptola 5 Závěr Má bakalářká práce vychází z článků [2][3]. V této lteratuře e nacházely 4 funkce, které jem půvoně pro optmalzac chtěl použít, ale už př prvním tetování jem zjtl, že pro optmalzac nejou vyhovující. Problém byl v tom, že mnmální honota funkcí nebyla vžy 0, ale např. funkce pro fázovou bezpečnot mohla mít záporné honoty. Toto nejenotné chování funkcí by mohlo mít př optmalzac nežáoucí efekty. Autoř článku e také nažl mnmalzovat přechoovou frekvenc c za účelem rychlejší oezvy. Z několka pokuů v Matlabu jem zjtl, že pro zlepšení oby náběhu je potřeba tuto frekvenc naopak zvyšovat. Půvoní funkce jem tey upravl, aby vyhovovaly mým požaavkům (3.2)-(3.5). Nevýhoou těchto funkcí je, že mají tejnou trmot po překročení meze tablty. Optmalzační funkce překročení této meze proto njak nezaznamená. V tomto měru vím možné zlepšení. Poku by e poařlo vymylet funkce, které by po překročení meze tablty trmě toupaly, optmalzace by pak byla úpěšnější. Pro optmalzac e m více ověčla funkce fmnmax(), která mnmalzuje kažou funkc zvlášť (rep. vžy tu, jejíž honota je nejvyšší). Proto jou všechny regulátory v kaptole 4 navrženy optmalzací touto funkcí. Zároveň jem jako optmalzovanou funkc používal f2(), jelkož pracuje šířkou proputného páma. Jak jem ze vých pokuů zjtl, pro optmalzac je velce ůležtý počáteční tav. Nejlépe optmalzace funguje, poku jou jako počáteční tav nataveny parametry PID jž fungujícího regulátoru. Je to způobeno tím, že př zaání obrých počátečních honot začíná optmalzace v blízkot lokálního mnma. Graent má právný měr, tuíž e optmalzace velce rychle otane o lokálního mnma. Výleek optmalzace je také ovlvněn váhovým koefcenty. Jejch natavování bych přrovnal k metoě poku-omyl, neboť e m př tetování nepoařlo zjtt jejch eální natavení, které by platlo pro většnu ytémů. Poku nejme výtupem optmalzace pokojení, je třeba tyto váhové koefcenty natavt jnak. Na začátku vé práce jem měl přetavu, že vytvořím v Matlabu funkc, o které zaám přeno ytému a požaované honoty ampltuové bezpečnot, fázové bezpečnot, přechoové frekvence a utálené ochylky a funkce m během pár ekun vrátí regulátor. Takto bohužel optmalzace nefunguje. Autoř článku [2][3] zamýšlel 27
vytvořt outavu, která bue zjšťovat přeno určtého proceu v reálném čae a pole jeho změn upravovat natavení PID regulátoru. Mylím, že program, který jem vytvořl by k tomuto účelu mohl být po menších úpravách použt. Poku porovnám výtup ytému regulátorem navrženým frekvenční metoou a regulátorem po optmalzac, muím kontatovat, že zejména pro ytémy vyšších řáu pokytují optmalzované regulátory lepší kvaltu regulace, hlavně co e týče oby utálení. Pro ytémy prvního a ruhého řáu e naopak optmalzace vůbec nehoí. 28
Lteratura [] FRANLIN, Gene F., POWELL, J. Dav, EMAMI-NAEINI, Abba. Feeback Control of Dynamc Sytem. 5th eton. New Jerey : Prentce Hall, 2006. 90. ISBN 0-3-49930-0. [2] LIU, G.P., DALEY, S.: Optmal-tunng PID control for nutral ytem, Control Engneerng Practce 9, 200, pp.85 94 [3] LIU, G.P., DALEY, S.: Optmal-tunng PID controller egn n the frequency oman wth applcaton to a rotary hyraulc ytem, Control Engneerng Practce 7, 999, pp. 82-830 [4] HAVEL, Petr: Frekvenční metoy yntézy, 2005 [5] ŠEBE, Mchael: Slajy k přemětu ytémy a řízení, 2006 [6] ASTRÖM,.J.: Control Sytem Degn, 2002, pp.26-25 [7] PAZ, R. A.: The Degn of the PID Controller, 200 [8] Matlab R2006a: Help [9] Frequency Repone Analy an Degn Tutoral: http://www.engn.umch.eu/group/ctm/freq/freq.html [0] Wkpea, the free encyclopea: http://en.wkpea.org [] CREW, J.: How Do PID Controller Work: Applcaton & Theory http://ezneartcle.com/?how-do-pid-controller-work:-applcatonan-theory&=97894 29