Doplňky k přednášce 23 Diskrétní systémy Diskrétní frekvenční charakteristiky

Transkript

1 Doplňky k přednášce 3 Dikrétní ytémy Dikrétní frekvenční charakteritiky Michael Šebek Automatické řízení

2 Automatické řízení - Kybernetika a robotika e jω Matematika: Komplexní exponenciála = coω+ jinω Eulerův vztah Komplexní exponenciála σ+ jω σ e = e coω+ jinω ( ) Mimochodem, plyne z něj nejhezčí vztah j matematiky e π = 1 Sinu a koinu jou periodické funkce periodou π, proto i funkce j e σ+ ω je periodická komplexní periodou πi a peciálně j e ω (komplex. funkce reálné proměnné) je periodická periodou π h j h e = e ω je periodická periodou π h = ω = ωn Uvnitř periody jou funkce ymetrické, neboť inu a koinu jou ym. Graf e jω v komplexní rovině ω e = 1 jω e = ω rad/ Graf e α+jω v komplexní rovině amplituda hodnot je vyznačená jaem, fáze hodnot barvou σ+ jω σ e = e σ+ jω e = ω rad/ Michael Šebek ARI-Dop-3-011

3 Automatické řízení - Kybernetika a robotika Frekvenční přeno a Bodeho graf frekvenční přeno Gz ( ) = Ge ( jωh ) je periodická funkce ω periodou π = ω = h ω a uvnitř periody je ymetrická j h graf Ge ( ω ) proto čato krelíme N jen pro 0 ω ω = ω = π N h tedy na horní polovině kružnice ωn = ωπ = h ω N = ωπ = h Michael Šebek ARI-Dop

4 Příklad Sytémy 1 pojitý přeno vzorkovaný periodami h = 0., 1, + ( 1) >> G=1/(1+)/ G = 1 / (+1) >> Gz1=cd(tf(G),0.) Tranfer function: z z^ z Sampling time: 0. >> Gz=cd(tf(G),1) Tranfer function: z z^ z Sampling time: 1 >> Gz3=cd(tf(G),) Tranfer function: z z^ z Sampling time: h1 = 0. ω = 30 ω h = 1 ω = 6 ω n h3 = ω = 3 ω n n ω = ω = π T N Michael Šebek - ČVUT

5 Dikrétní Bodeho graf Sytémy nelze krelit pomocí jednoduchých aymptot neplatí vztah mezi fází a derivací amplitudy v log-log ouřadnicích ϕ [ deg] vzorkování způobuje přídavné fázové zpoždění ϕ = G( jω) Gz( jω) ωt [ rad] 9ωh [ deg] tato aproximace je dobrá do ωt π tj. do protože přechodové frekvence bývají menší ωc < ω 4 odhadneme PM po vzorkování a tvarování tak, že od pojitého PM protě ωh ϕ = [ ] 9 odečteme faktor rad ωh[ deg] π = ω = ω 4 ωt Michael Šebek - ČVUT

6 Dikrétní Nyquitův graf Sytémy Gz ( ) = Ge ( jωh ) je periodická funkce ω periodou ω = ω = π Dikrétní Nyquitův graf proto ho čato krelíme jen pro j h Ge ( ω ) 0 (na horní polovině kružnice) Control Sytem Tbx ho (default) krelí na celé kružnici ωn ω ωn Příklad G ( ) = 11+ ω ωn = ω = π h G=1/(1+);nyquit(tf(G),cd(tf(G),0.), cd(tf(g),1),cd(tf(g),)) N h G,nyquit(G) G = 1 / 1 + ω = ω = 0 ω = π h ω = 0 15,7 Gz=cd(tf(G),0.), nyquit(gz) Tranfer function: z Sampling time: 0. Michael Šebek - ČVUT

7 Příklad pojitý přeno 1 + ( 1) Sytémy vzorkovaný periodami h = 0., 1, >> G=1/(1+)/ G = 1 / (+1) >> Gz1=cd(tf(G),0.) Tranfer function: z z^ z Sampling time: 0. >> Gz=cd(tf(G),1) Tranfer function: z z^ z Sampling time: 1 >> Gz3=cd(tf(G),) Tranfer function: z z^ z Sampling time: h1 = 0. ω = 30 ω h 1 ω = 6 ω h = 3 n ω = 3 ω = n n ωn = ω = π h ω = ω = 0 Michael Šebek - ČVUT

8 Sytémy Dikrétní Nyquitovo kritérium tability Michael Šebek - ČVUT

9 Na rozdíl od pojitého případu Sytémy na rozdíl od pojitého případu netabilita je vně jednotkové kružnice, ale tuto oblat není jednoduché obkroužit konturou tabilní netabilní proto naopak obkroužíme oblat tability a omezíme e na případy, kdy funkce H( z) má z tejný počet nul a pólů označíme ho n To je plněno koro vždy, např. když Lz ( ) je triktně ryzí Tedy pro Hz ( ) = 1 + Lz ( ) označíme (jako ve pojitém případě) Z počet netabilních CL pólů = počet netabilních nul funkce H( z) P počet netabilních OL pólů = počet netabilních nul funkce H( z) N počet obkroužení kritického bodu -1 Nyquitovým grafem Lz ( ) ve tejném měru, ve kterém obkružujeme jednotkovou kružnici (obvykle proti měru hod. ručiček), opačná obkr. počítáme záporně Pak z principu argumentu plyne: N = počet tabilních nul H( z ) počet tabilních pólů H( z) N = ( n Z) ( n P) = P Z Z = P N Michael Šebek - ČVUT 009 9

10 Dikrétní Nyquitovo kritérium tability Sytémy Dikrétní Spojitý pro rovnání CL ytém má Z = P N netabilních pólů, kde Z = N + P N počet bodu -1 Nyquitovým grafem L() ale tady je N P počet netabilních OL pólů. Nyquitovo kritérium tability CL ytém je tabilní P= N P= N N počet obkroužení Nyquitova grafu L() ale tady P počet netabilních OL pólů je N, takže je Zvláštní případ: tabilní OL ytém Nyquitovo kritérium tability pro tabilní OL ytém Je-li OL ytém tabilní, pak je i CL ytém tabilní Nyquitův graf L() neobkrouží kritický bod -1 to vlatně tejně Michael Šebek - ČVUT

11 Odvození obojího - pro rovnání Sytémy n počet nul fce H( z ) (= OL pólů) = počet pólů H( z) (= CL pólů) Z počet netabilních CL pólů = počet netabilních nul funkce P počet netabilních OL pólů = počet netabilních nul funkce N počet obkroužení kritického bodu -1 Nyquitovým grafem ve tejném měru, ve kterém obkružujeme uvažovanou oblat Spojitý Dikrétní obkružujeme oblat netability po měru hodinových ručiček z Principu argumentu plyne N Z P Z toho plyne Z = P+ N CL tabilní když Z = 0, tj. když P= N tedy obkroužení opačným měrem tedy proti měru hodin. ručiček obkružujeme oblat tability proti měru hodinových ručiček z Principu argumentu plyne N = n Z n P = P Z = ( ) ( ) z toho plyne Z = P N CL tabilní když Z = 0, tj. když P= N tedy obkroužení tejným měrem tedy proti měru hodinových ručiček Michael Šebek - ČVUT

12 Příklad Sytémy Přeno otevřené myčky je netabilní, tedy P =1 Nyquitův graf je Lz ( ) = z >> a=z-,b= a = - + z b = >> nyquit(b/a) >> a+b an = z tedy je N =1 a uzavřená myčka je tabilní Opravdu charakteritický polynom uzavřené myčky je cz ( ) = z + = z, tedy tabilní ( ) Michael Šebek - ČVUT

13 Příklad Sytémy Vyhodnoťte CL tabilitu dikrétního ytému e outavou G ( ) = 1 ( + 1) vzorkovanou frekvencí 0.5 Hz (tj. periodou vzorkování h = ) tvarovacím členem nultého řádu (ZOH) a dikrétním proporcionálním regulátorem ( L( z) = KG( z) ) >> G=1/(1+)/ G = 1 / (+1) >> Gz3=cd(tf(G),) Tranfer function: 1.135z z^ z Sampling time: >> zpk(gz3) Zero/pole/gain: (z+0.53) (z-1) (z ) Sampling time: K=1;Lz=K*Gz3; nyquit(lz) N = 0, P= 0 Z = 0 >> pformat rootc >> Gzp=df(Gz3); >> K=1;Lz=K*Gzp; >> cl_char=lz.num+lz.den cl_char = (z i)(z i) >> itable(cl_har_pol) an = 1 Michael Šebek - ČVUT

14 Příklad: Dikrétní PM a GM Pro outavu G ( ) = 1 ( + 1) vzorkovanou frekvencí 5 Hz, ZOH a dikrétní P regulátor K = 1 najděte dikrétní PM a GM Sytémy >> Gz=cd(tf(1/(1+)^/),1/5,'zoh'); >> zpk(gz) Zero/pole/gain: (z+3.381)(z+0.4) (z-1)(z )^ Sampling time: 0. >> Lz=Gz;nyquit(Lz) GM 1.7 5dB, PM 17.5º pojité hodnoty koro tejné: GM 6dB PM 1º Korekce: PM di = PM ϕ poj = PM poj 9ωh = = = 17.5 Michael Šebek - ČVUT